Razon Amien To

%1$n 1) $ 1

S

+. Suma de los !n" primeros pares consecutivos. consecutivos. S = 2 + 4 + ! + 8 + & + 2n

SERIES y SUCESIONES

S

Diferenciando Conceptos:-.

2

1

+1 9

+ 1

; 11

;

;

3

+ 3

3

S

1

2

3

18

3

suma de los término términoss de una Seri Serie: e: Es la suma

S

4

nn

3

...

n

5

#

"

S

... 1

bien se relacionan ya que toda la serie es una sucesión; pero toda sucesión no es serie (suma).

prim primer eros os

S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n nn 2

1)

820

S

=

+ $$ + %$ + ... + %$

%(% + )($% + )

a1

a2 +r

a3 +r

1314) 2#) !

S

819

...

an

2

a1 n

S

xq

xq

1 2 3

552

1)

3 )

2

4!5 3

S

4!2

$

$

= % + & + '$ + ... + '$

So,ución: 2

2

S 1

2

2

2

3

5

2

2

... 15 ) 1

2

2 )

n 15

S

=

'(' + )($.' + ) 

S 1 240 5)

− ( ')

S 1 235

S

= %% + &% + '% + ... + 3%

ompletando la suma S

 %(% + )  S=  $  

2

4

luego$

%.& ⇒ S =   $

&. alcul alculara r- S  1 + 3 +  + / + ... + 4/

So,ución: Sera- A = &+

= 23

4 5 ... 30) 1 2)

30  30

+. alcul alculara r- S

So,ución: 13

23

33

43

53

... 183 ) 13

n 18

3(3 + ) 

S

=  

S

=

S

29 241 9

. Suma de la rogresión *eométrica.

xq

S

2324)

= 13 + 23 + 33 + ... + 133 sera- n  13 S

S = 8 281

S = t 1 + t 2 + t 3 + t 4 + ... + t n

n

3. alcul alculara r-

1ando forma-

+r  

an

S

n#me n#mero ross

a4

⇒

. alcul alculara r- S  3 + 4 +  + ... + 30



So,ución:

S

46

ompletando la suma

%. alcul alculara r- S  1 + 8 + 2/ + ... + 2 19/

'. Suma de la rogresión Ar Aritmétic itmética. a.

=

S

So,ución:

"

2

2

S!"#!S $%&'()!S !n" !n"

S

$. alcul alculara r- S  1 + 4 + 9 + ... + 19

S

So,ución:

S

sera- n  13 luego-

valor  

¡Cuidado  Sucesión no es igual que serie, si

2

S = $

2

1)

40 40 1)

5#!

So,ución:

1ando forma-

3

2

1 3

9 + 10 + 12 + 15 + 19 + 24 = 89

S

S

&. Suma de los primeros primeros impares. impares.

sucesión. Al resultado de efectuar la serie se le llama valor de la serie.

. Suma Suma de los los consecutivos

3

So,ución:

Sera- n / &0 luego-

2

... n

!

+ 4

serie

2

4

nn 1)2n 1)

S

+2

2

%. Suma Suma de los los cubo cuboss de los !n" !n" prim primero eross consecutivos.

+ 1 14

2

S

secuencia cia de términ términos os Suce Sucesi sión ón:: Es una secuen regidos por una ley de formación. 8 ; 9 ; 10 ; 11

2

S

'. alcul alculara r- S  2 + 4 +  + 8 + ... + 4

S

!*ep,os:

. alcul alculara r- S  1 + 2 + 3 + ... + 40

2

4# 1 2

S

sera- 2n luego-

S = n  n + 1)

$. Suma Suma de los cuadra cuadrados dos de los !n" primeros primeros consecutivos.

2uego-

 − ( + 3)

$

[9(19)]

$

2

− (9) S

29 232

23 )

S!"#!S S)!!$&'"#'S

% Suma de n#meros pares al cubo.

. Suma de los productos consecutivos. a)

S = 1 • 2 + 2 • 3 + 3 • 4 + ... + n5n + S

=

n( n + )(n + $) %

S

S

$n$ (n + ) $

!*ep,o: alcular- S

alcular- S  2 +  + 12 + ... + 342

luego- S

So,ución:

S

=

%

%

%

= $ + & +  + ... + $0

So,ución: Se 4ace- $n

!*ep,o:

=

= $0 →

n

2

2 .10 (10

200121)

S

=2 ∧

1onde- b 2uego-

= 23 + 43 + 63 + ... + (2n)3

%

+ 1) 2

+ r 

+ r 

luego18.19.20 S 3 b)

S

S

2280 S

S = 1• 2 • 3 + 2 • 3 • 4 + 3 • 4 • 0 + ...

n(n + )(n + $)(n + %) & !*ep,o: S

=

alcular-

S = 6 + 24 + 60 + ... + 3360

So,ución: S = 1• 2 • 3 + 2 • 3 • 4 + 3 • 4 • 0 + ... + & • luego-

n(n + 1)( 6n

4

alcular- S = 1 + 2

S

= n 2 (2n 2 − 1)

= 3 ($ − ) ⇒

S

= %0&

+ 3 + ... + 10

4

S

=

S=

1

1

+

1.2

$

+ 5.0 + 0 − )

%0 0()(000 + 500 + 5)

%0

S = 25 333

1

S

=

b

n +1

S

=

+

+ ... +

2.3

3.4

17.18

1

1

1

+

1.2 

+

2.3 

+ ... +

3.4 

r =1

17.18  

r =1

1  1 1   ⇒ S = . −   1  1 18     b)alcular1 S= 4

S=

−b

b −1

!*ep,o: alcularS = 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 1 024

So,ución: 1 2 3 4 10 S = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2

= 12 + 3 2 + 5 2 + ... + ( 2n − 1)2

⇒

r =1

+

1

1

+

28

n( 4n

2

− 1)

3

1

+ ... +

70

So,ución:

10( 4.102

− 1)

3

→

⇒

n

= 10

S = 1 330

1 720

"%"!S#$ '"#&&#C'

 .&  r =%

+

 &.+  r =%

+

 +.0  r =%

+ ... +



Definición: Se llama progresión aritmética (.A.) a una sucesión

&0   . de n#meros, en la cual un término cualquiera del r = primero ser6 igual al anterior aumentando en una constante denominada ra7ón (r).

Representación y Notación:

1  1 1     ⇒ S = 14 . − 3  1 43   43  

c) alcular1 S= 2.6

=

alcular- S = 12 + 32 + 5 2 + ... + 192

S=

luego-

S=

S

Se 4ace- 2n − 1 = 19 2uego-

17 S = 18

1ando la forma-

= b1 + b2 + b3 + b 4 + ... + bn

1  1 1   ⇒ S = 11 S = . −   4  2 24   96  

1

So,ución:

'. Suma de potencias de igual base.

r = 4

!*ep,o:

1 r =1

%

20  .24 

luego-

S

luego-

0(0 + )(. 0

!*ep,o:

S

4

r = 4

+. Suma de los cuadrados de los primeros impares.

So,ución:

1e la suma- n  10 2uego-

S

alcular- S = 13 + 33 + 5 3 + ... + 17 3 So,ución: Se 4ace- 2n 6 1  1/ n9 luego- S = 9 2 (2.9 2 − 1)

4

10  .14 

r = 4

1

+ ... +

!*ep,os:

So,ución:

S = 14280

= 13 + 33 + 5 3 + ... + (2n − 1)3

+ 9n 2 + n − 1)

30

$. Suma de n#meros impares al cubo. S

3

1

+

6.10  

a)alcular-

!*ep,o:

S=

1ando forma, tenemos-

14.15.16.17 ⇒ S= 4

=

= 14 + 24 + 3 4 + ... + n 4

2.6 

       

1

+

r = 4

+ r 

1   1 1 S=  − r    a1 an

1

=

S

1 1 1 + + + ... + a1.a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4 a     n      

24 200

&. Suma de las cuartas de los 7n  primeros consecutivos.

So,ución:

. Suma de las inversas de los productos.

1ando forma, tenemos-

S = 1• 2 + 2 • 3 + 3 • 4 + ... + 18 • 19

= 10

210 +1 − 2 ⇒ S = 2 046 S= 2 −1

S=

= 0

n

+

1 6.10

+

1 10.14

+ ... +

) Sea la sucesión

a1, a2, a3, 1

+r

+r

a4 ,...,an +r  

20.2 $) 8#meros en progresión Aritmética

÷ (a1);(a1 + r );(a1 + 2r ),...,[a1 + (n − 1)r ] +r

+r  

+r

+r

: 6,

+r  

6,

+0

6,

6,

6

+0 +0 +0

Propiedades:

Donde: r ! ra"#n de $a %.&. an ! t*rno en*o ($to)

1ada- 9

n ! nero de t*rno Sn ! -a de $o n 'rero t*rno %.&. ! 'rore#n art*t/a : ! n/o de $a %.&.

a, a$ , a% : (.A.

Se cumple

⇒ r = a $ − a = a % − a $

$. En toda .A. la suma de dos términ os equidistantes de los etremos nos da una misma cantidad.

Clasificación:

! 9 12 15 18 21 24 2#

%.&. re/ente

33

r0 s'(a = 33

10, 15, 20, 25, 30, 35 +5 +5 +5 +5 +5 %.&. De/re/ente

%. Es una .A. de n#mero de términos impares se cumplir 6 que el término central es igual a la semisuma de los términos etremos.

3

3

3

t/ =

Fórmulas: an 1

$. =érmino enésimo-

a20

=

a20

= 40 + 76 = 116

n / $0 %. alcular-

a1

S = 85 + 90 + 95 + 100 + ... + 2360

2

r  = 5;

'. Suma de .A. Sn

an 2

como- an

a1 .n

- 2a1 n 1) r ,

an

$%0 − 3' '

= 2360;

n = S =

+

n = &' $) alc ulo de la suma


= 85;

a1

n=

)

= a + (n − )r

 $%0 + 3'      .&' $    

S= 

n 2

∴

S = ''+ &)0

PROBLEMA RE!EL"O DE P#A#

&. En la .A. 4allar el n#mero de términos si la suma de términos es '+0 y el n#mero de términos entre % y %0 e igual al n#mero de términos que 4ay entre %0 . >allar el n#mero de términos de 3; $&; %0; %; #0 y . ?.; $3$. Solución: !9 Solución: %+  ..........    ..  + %0 +  ..........    .. + ; Es una .A. donde@ n@ tér minos

n=

como-

an

= 3 ⇒ 282

n

n= 45

$. 1ada la progresión&0; &&; &3; '$; ?

.
r  an

22 + 4 = 13 2

⇒ a 20 = 40 + ( 20 − 1) 4

Solución:

a Se cumple-

= a + (n − ) r

r  = 4 a20

&. =érmino centralan

omo- an

a1 = 4

1

4* #* 10* 13 * 1!* 19* 22

:40, 37, 34, 31, 28, 25 3

a1 r 

r/

1ada-

r0

3

n 1) r 

an

n

%

. 2a ra7ón de una .A. es igual a la diferencia de dos términos consecutivos.

a1 ! 'rer t*rno

a1

%. 8#mero de términos-

r!0

%) inco n#meros en . A. (a − 2r ); (a − r ); a ; (a + r ), (a + 2r )

+r

an

%.&. ra$

>allar el vigésimo término. Solución: Se tiene que-

an

− a r

$3$ − 3 

+

bserve que- t c omo-

+

S = 

@ n@ tér minos

= %0

 an + a      .n   $  

...()

ero-

tc

a n + a  

=     

$

    

...( $)


S

= (t c ) . n

↓ '+0

= (%0) . n ⇒

n

= 5

='

B tér minos

=

⇒

NO"A: $nterpolación de medios aritm%ticos a,

3a

= 63 →

a

= 21

5

$) (21 − r )

2

2

2

+ 21 + (21 + r ) = 1395

.......... .......... ..., b

      @ m@ medios aritmético s

⇒

2

2 (21 2

2r 


+ r 2 ) + 212 = 1395

= 72

→

r  = 6

las edades seran∴ 15; 21  27

b−a r  = +1

Donde: q ! ra"#n de $a %.. a1 ! 'rer t*rno an ! t*rno en*o ($to) n ! nero de t*rno Sn ! -a de $o n 'rero t*rno de $a %.. S< ! -a $=te

+ (5n + 2n ); ∀ n ∈  . >alla r el 2

décimo término. Solución:

n = 1 ⇒ S1 = 5 (1) + 2 (1)2 a1 = 5 + 2 ⇒ a1 = 7 n = 2 ⇒ S2 = 5 (2) + 2 (2)2 a1 + a2 = 10 ⇒ a2 = 11

1)

÷ ÷ t1,

t2, xq

t3, xq

t4, , tn xq

8#meros en . *.

2)

ya podemos calcular la ra7ón-

r  = 11 − 7

⇒ r  = 4 como- a n = a1 + (n − 1) r  piden- a10 = a 7 + (10 − 1) 4 ∴ a10 = 43 . 2as edades de tres 4ermanos est6n en .A. creciente, cuya suma es % y la suma de sus cuadrados es %5'. >allar sus edades.

(t1) xq

3)

÷ ÷ 2,

3; 6; 12; 24 ; 48; 96; 192

6, 18, 54, 162

x3 x3 x3

t/

x3 Se cumple-

%.. De/re/ente 0q1 1 1 1 1 1 ÷ ÷ 8, 16, 32, 64, 128 x1>2

x 1>2 x1 >2 x 1> 2

xq

a q

xq

xq

#1

q0

÷ ÷ 4, 8, 16, 32, 64

xq

x(2) x ( 2) x ( 2) x ( 2)

Solución: Sean las edades-

Propiedades:

(a − r ); a; (a + r ) 8 %.&.

. 2a ra7ón de una .*. es igual al cociente de dos términos consecutivos.

)

(a − r ) + a + (a + r )

= 63

1ada- 9

t1, t 2, t3 8%.;.

t/

=

3 x192

=

24

.
%.. ?/$ante ; a ; aq ; aq2

⇒

Fórmulas:

xq

a ; q2

2; 4; 8; 16; 32; 64

'rod-/to ! 128

q0

inco 8#meros en . *.

t2

%. En una .*. de n#mero de términos impar se cumplir6 que el término central es igual a la ra7 cuadrada del producto de los términos etremos.

%.. re/ente

(t1.q), (t1.q2), , (t1.qn1),

t3

$. En toda .*. el producto de dos términos equidistantes de los etremos nos da una misma cantidad.

Clasificación:

Representación y Notación:

=

128

Definición: Se llama progresión geométrica (.*.) a una sucesió n de n#meros, en la cual un término cualquiera diferente del primero, ser6 igual al anterior multiplicado por una constante llamada ra7ón (q).

t q= 2 t1

⇒

%.. ! 'rore#n eo*tr/a ÷ ÷ ! n/o de $a %.&.

PRO&RE$'N &EOM("R$CA

'. 2a suma de los !n" términos de una .A. es

Se cumple-

q=

tn tn − 

$. =érminos enésimotn

=

n −1

t1.q

%. =érmino central t/

=

t1.t n

&. Suma de los !n" primeros términos de una .*.

t .( q − 1) Sn = 1 n q−1 '. Suma de los infinitos términos de una .*. decreciente (!suma lmite")-

S2

=

t − q

;

0< q

<

PROBLEMA RE!EL"O DE P#&# . >allar !" en la .*.

÷÷

2

x

or la ra7ón- q =


2x −1

2

x

=

t1 =

t3 t2

2x −1

−

x 2

3x −2

2

,

  

= 22(3x − 2) −(2x −1)

1 243

olución: 6lculo de la ra7ón-

312

or % a ambos términos3S = 9 + 99 + 999 + ... + 999 .... 999

1 7

2

+

7

− 1) + (10

 

2

− 1)(10 3 − 1) + ... +

3S

=

3S

2 = (101 + 10 + 103 + ... + 10n )+A nA e/          

,

1 81

3S = 1e donde-

1

1 7

2

+

3

7

+ ...

4

7

S=

10 (10 − 1) + n ( −1) 10 − 1 1+ n − 10 − 9n 10 S=

1

1−

NO"A:

S

=

7 48

+

7 2

48

⇒

omo- S

=

n t1(q

− 1)

q −1

a (an − 1) ⇒ S= 1 a −1 + 1 n −a a S= a −1

7 48

3

t1

1− q 1

#3

1− q

'. >allar la suma de la serie

S = 1− A)

−

3 4

1 1 + 3 9

−

1 27

4

C)

3

+

1 − 1 81 243

1

)

1)

4

1

+ ... E)

3

3 4

. >allar la suma de la serie

 t .( qn − 1)   = 2. 1  q −1   =

tiene %0 términos Du6l es el #ltimo término A) $555 C) $333 ) $+35 1) $+30 E) $+55

+

16

S< = 2 [ Sn ]

1) %%&0 E) %&&0

0; /; 2; 3; 124; << t 30

49

or fórmulas-

, ....

1) +00+ E) +003

S  1 + 1 + 4 + 10 + 19 + <.......($0 sumandos)

'. El lmite de la suma de los infinitos términos de una .*. decreciente es el doble de la suma de sus !n" primeros términos. >allar la ra7ón. 1ato-

C) +00' ) +00

A) %&%0 C) &%&0 ) %0&0 &. 2a sucesión-

olución:

= a1 + a2 + a3 + ... + an

$. >allar la suma de los &3 primeros términos de la serie

%. alcular !S" en-

2

=

1 1 ⇒ q=n 2 2

 + 11 + 1/ + 23 + 29 + <....

⇒S=

S

qn =

. >allar el término de lugar 0 de la sucesión'; $$; $5; %; <... A) &%0 C) &% ) &&' 1) &$3 E) &'0

1 1

1−

2

+

7

=1

A) +00&

2 2

2q

!CE$'N ) ER$E  AR$"M("$CA ) &EOM("R$CA

+-)a $=)(te 1 q= 2 7

1

n

27

S

+

+-)a $=)(te 1 q= 2 7

A nA /@ra+ (101

2

 1 1    2 2   S =  + + ... +  + + ...   7 73    72 74          

7

$. >allar el décimo tercer término.

1

t1 . q

olución:

4x − 2 − x = 6x − 4 − 2x + 1 2 3x − 2 = 2( 4x − 3) 4 4 = 5x ⇒ x = 5

729

=

AnA/@ra+

2 x −1

=

olución:

n −1

    

igualando eponentes-

÷÷

S

%. EfectuarS = 3 + 33 + 333 + ... + 333 .... 333

Cuscando bases iguales-

2

q=3

1

t2

4

⇒

. 313 −1 = ⇒ t13 = = 36 729 36 t13 = 729

2uego2

&. >allar la suma-

729 omo- t n

t1, t2, t3 8 %.;.

omo-

q = 243 1

,22 x −1, 43 x − 2 ,...

olución:

n

1

S = 1+ '

 1 − qn    1− q   

2.

n


2 3

1 3 (

+1+ 9

3 4

1 27 C

+

3 2

1 81

+

D 9

1 243

+ ...

! 3n

+. Si Sn  1 + 2 + 3 + ............ + n alcular- S1 + S2 + S3 + ..............+ S20 A) '&0 C) +$&0 E) $&+0 1) &+$0 E) +&$0

3. 2uc4a y ili leen una novela de iro Alegra, 2uc4a lee 0 p6ginas diarias y ili lee  p6gina el er da, $ el $do da y as sucesivamente. D1espués de cuantos das coincidir6n si empie7an al mismo tiempo A) 0 C) $0 E) 5 1) $ E) &$ 5. Fna pelota se suelta desde una altura de + metros, si en cada rebote alcan7a una altura igual a los $G% de la altura anterior. alcular la distancia total recorrida 4asta que se detenga A) 3'm C) 3&m ) $0m 1) 0m E) 30m 0. =res n#meros positivos se 4allan en .A. al ser aumentados en %; % y + respectivamente forman una .*. de suma $3. >allar los % n#meros. A) %; ' y + C) ; ' y 5 E) %;  y 5 1) %; + y  E) %; & y 5

11. Sean =1 > =2 las races de la ecuación=2 6 ? +   0 > =3 > =4 las races de la ecuación- ?2 6 80? + n  0@ se sabe que los n#meros; =1@ =2@ =3@ =4 (en la sucesión dada) forma una .*. creciente. El valor de m H n esA) $' C) $0 E) 0$& 1) 0$3 E) 0$0 $. Augusto y elia leen una novela de %000 p6ginas, A gusto lee 00 p6ginas diarias y elia lee 0 p6ginas el primer da $0 el segundo da, %0 el tercero y as sucesivamente. Si ambos comien7an a leer el $$ de febrero de un aIo bisiesto. En que fec4a coincidir6n en leer la misma p6gina por primera ve7 y cuantas p6ginas 4abr6n ledo 4asta ese da A) 0 de mar7o; 300 C) $ de mar7o; 00 )  de mar7o; 00 1) 0 de mar7o; 500 E)  de mar7o; 500 %. En el consultorio de un pediatra, tres madres de tres niIos de- ; %+ y $35 das de nacidos esperan para ser atendidas; el médico para atenderlas; le pide averiguar dentro de cuantos das las edades de sus niIos estar6n en .*. en ese tiempo la edad del tercero ser6A) %0&das C) $5& ) $5 1) %0+ E) %05 &. Si la sucesión ASnB n

≥ 1 est6 definido por-

S1  1; S2  2; Sn  Sn-1 + S n62; n a,,ar 7S/: a) 3

b) 0

'. alcular-

!

c) $ =

1 3

d) %

3

+

3

≥  3

3

+

0   3

0

+

e) $ / 3

/

+ ........∞

. alcular el valor de2

=

/

+

12

3/

+

144

d) %G++ e) G5

÷

5. 1ada la .A. @ <.........@4/@<........@ 19 1onde el n#mero de términos que 4ay entre &+ y '5 es el triple del n#mero de términos que 4ay entre ' y &+. el n#mero de términos de la .A. esa) 5 b) $0 c) $ d) $$ e) $% $0. Sean-

S  @4+0@02/+ 0@0002/ + 0@000002/ + ...........   1 + 0@3 + 0@09 + 0@002/ + 0@0081 + .......... Entonces el valor de S J K es aproimadamentea) 0 b)  c) $ d) % e)& $. S los radios de una sucesión de circunferencias 1+;

2

+;

4

+;

3

2 a 

b)

3

1 8

+;.........

.

2a suma de sus correspondientes longitudes es igual aa) .π   b) $ .π   c) & .π   d) 3 .π   e)  .π   $$. Se tiene un tri6ngulo equil6tero cuyo lado mide !a". Se toma los puntos medios de sus lados y al unrseles se forma otro tri6ngulo equil6tero, en este triangulo a su ve7 se toman los puntos medios de sus lados y se les une, formando otro tri6ngulo equil6tero y repetimos la operación infinitas veces.

' H ' H ' H '

c) $0 H $0 H $0 H ?.............H $0

2

3

a) $'0 b) $&0 c) $0 d) $+0 e) $30

4 2 a 

e)

3

2 a 

$3. 1eterminar la sumatoria-

3



+ ........

3. En una .A. el tercer término es igual a cuatro veces el primero y el seto término es igual a +. >allar la suma de los oc4o primeros términos. a) 00 b) 0 c) $0 d) 30 e) 0'

son-

2 a 

d)

+. >allar la ra7ón de una .A. en la cual la suma de los 7n primeros términos vale- 5n2 + /n a) + b) 3 c) 5 d) 0 e) 

1

2 a 

a) 0 b) $0 c) %0

1/28

a)  b) G% c) +G

1

a)

3

a) 'G%$ b) 'G c) 'G& d)  e) $G$'

"

alc ular la suma de las 6reas de todos estos tri6ngulos formados, incluyendo el mayor.

$%. Se deLa caer una bola desde una altura de 00 metros. En cada rebote la bola eleva los $G% de la altura desde la que cayó por #ltima ve7. DMué distancia recorre la bola 4asta que queda en reposo por la resistencia del aire a) $00m b) %00m c)&00m d)'00m e) 00m $&. A lo largo de un camino 4aba un n#mero impar de piedras, a 0 metros una de la otra. Se quiso  Luntar estas piedras en el lugar donde se encontraba la piedra central. El 4ombre encargado podra llevar una sola piedra. Empe7ó por uno de los etremos y las trasladaba sucesivamente. Al recoger todas las piedras, el 4ombre camino %Nm. Du6ntas piedras 4aba en el camino a) $5 b) + c) & d) 5 e) $' $'. 2a suma de los  términos centrales de una progresión aritmética creciente de  términos es & y el producto de sus etremos es &.. Du6l es la ra7ón de la progresión a) $ b) & c) % d) ' e)  $. Si- AC / C /  alcular- C1 H 1E H EO H O* H<.... a) 1 + b) c)

2

3

2

∞ C

2 H

 −

2

 −

2

F

d) 1 −

2

e) 1 +

2

D

I

$5. Evaluar la sumatoria-

4

∑ E 2 5E − 3 E=1

d) '

e) 5

3

2E

∑ E = 0E +1

a) G% b) 3G' c) %G

d) &G5

%0. Du6ntas campanadas da un reloL en $& 4oras, si no suena m6s que a las 4oras, dando en cada 4ora tantas campanadas como el n#mero que representa la 4ora El reloL est6 graduado convencionalmente de una a $ 4oras. a) &3 campanadas b) ' c) &5 d) '3 e) 8.A. %. Fna progresión armónica es una sucesión de n#meros tales que sus inversas est6n en progresión aritmética. Sea Sn la suma de los !n" primeros términos de la progresión armónica (por eLemplo, S % representa la suma de sus tres primeros términos). Si los tres primeros términos de una rogresión armónica es %, &, - 1eterminar- S4. a) $' b) $ c) $3 d) %0 e) %' %$. Si se interpola cinco medias geométricas entre 3 y '3%$, el quinto término de la progresión total esa) 3& b) &3 c) +&3 d) +3& e) 8.A.

G

%%. 1e una .*. con el primer termino distinto de

E

cero y r 0 y una sucesión aritmética con el primer término igual a cero, se suman los términos correspondientes de las dos sucesiones se obtiene una tercera sucesión- 1@ 1@ 2....  Entonces la suma de los die7 primeros términos de la nueva sucesión esa) 53+ b) 5&5 c) 5+3 d) 3+5

$+. alcular la sumaAtotal del siguiente arreglo- B $ % H % & H & H &

≠

D 3P 6 8

C %!"'D%"!S C%!S&%S

%!"'D%"!S '&!F&#C%S Son smbolos que relacionan cantidades en función a reglas o condiciones en la cual se define una operación =oda operación matem6tica presenta una regla de definición y un smbolo que lo identifica, llamado operador matem6tico. Entre los m6s conocidos tenemos.

$G $oHre de %peración 1. 'dición 2. Sustracción 3. u,tip,icación 4. DiJisi ón . "adicación . Ka,or 'Hso,uto

,a %perador ateItico + 6 ?

L L

Aparte de estas operaciones matem6ticas 4ay muc4as otras que se usan en la matem6tica. Se puede definir muc4as otras operaciones en base a las conocidas, con reglas arbitrarias y utili 7ando operaciones matem6tic as arbitrariamente as

•

a

 b

(a

+ b 2 ( a − b)    

=

operador 

3

)

onsiste en combinar dos o m6s operadores con sus respectivas leyes de formación, la cual 4ay que definirla empleando las operaciones dadas esto es-

Si ? + 1  ? 6 1 ; ? + 1  3? +  a,,ar: 4 4 .

perador matem6tico Oila de entrada

a H c

a a H a

H H c d

c c d a

d d a H

d

d

a

H

c

A los resultados obtenidos al operar los elementos se le llama cuerpo de la tabla, que se 4a determinado gracias a una regla de definición que dio origen a la tabla 1ada la tabla 1 2 3 4

1 2 3 4

regla de formación

>allar

Si a M H  4a 2 6 3H4 a,,ar: !  3 M 2

( %!"'D%"!S C%% N$C#%$!S Si a H  3a + 3H 6 2 a H  a2 6 a ? H + 2H >allar- !"

   a     ,     H    a    t    a     ,    e     d    o    p    r    e    u     C

DiaOona, principa,

ara el meLor entendimiento y comprensión de eLercicios de operaciones matem6ticos los distribuimos de la siguiente manera

' %!"'D%"!S S#)!S

A)

En lugar de una ley de formación, para obtener el resultado, la operación binaria puede presentar estos resultados en una tabla de doble entrada. ero Dqué es una tabla de doble entrada y como se define en ella la operación binaria bservemos.

⊗

1 2 3 4

el

2 3 4 1

3 4 1 2

resultado

( 3 ⊗ 2 ) + ( 4 ⊗ 1) R  = (1 ⊗ 3) − ( 2 ⊗ 4)

?   54

?

$)

)%

) &))?.

C) Absurdo ) 0 1) 

 J y /

( x +3 y + x −5 y )

4allar !m" de0 J m /  A) & C) % ) ' 1)  &. Si a • b /

    

2

a  b

+

35 b

4 a . b

a

       

>allar el valor de !E"

A) $ C) ' ) % 1) & E)  '. Si- a Q H  53P 6H >allar 7? de: 53? 6 1 Q 5? + 1  20 A) $ C) % ) & 1) ' E)  . Se define  / $ J  alcularP % H ' H + Q A) '0 C) &' ) '& 1) '

$

2

A) $a H $ 1) $a J $ 3. Se define

alcular ( % H & ) A) $3 C) $0 ) 3 1) $$ 1 4

f5a + 1  53P + 2 4allar f5a 6 1

3 5

C 2P + 4

1 3

E) %$

%. 1ados los siguientes operadores

  ?  ? 63

)

C) &a H & E) a H &

) &a H &

?+1

    

ax

+  b  

ax

ax

−  b

 b

f  

  =  

C)

4 5

 2?

/ $ + '

>allar % + % A) $$ C) $0 ) $& 1) $3 &. Si

3

2

E) 3

Adem6s $ H  /  H 5

E) &$

    alcular (f($) H f(%)) ÷ f        A)

+ ! 2 " 1) + !3 " 2 ) + ... + ! 25 " 24)

$. Si se define- $ H  / & H 



"%()!'S "%!S&%S

( 3P 6 4

!1 " #)

 C) $' ) % 1) &5

5

' 2P + 2

=

) / (& H %)

>allar- f(a J de-

E) 

a Q H  5a2 6 H2

  5  5   <

1

!2a + b) si a ≥ b  !a + b) si a < b

. Si-

calcular el valor de-

f( J

b/

>allar- ( $ ) ( $ % ) A) $ C) % ) & 1) '

E) 3

+. Si se define

4 1 2 3

E) 5

0. Si

E) $

%. Se define la operación

. Sea la relación

52

a b + b a a + b

b/

4allar-  / ((( 

D %!"'D%"!S C%$ &'()'S

   a     d    a    r    t    n    e    e     d    a    n    +    u     ,    o     C

$. si a

5. Si- f(n) / ?n + >n Adem6s- f() / $ f($) / % calcularf(%) / D A) ' C) % ) & 1) +

! 3P + 8

)

5 3

1)

1 1 4

E)

a Q  5a 6 12 a Q  2 5a + 12 >allar- ( 2 ) A) $ C)  ) 0 1) &

E) %

E) 3

A)

'. Se define  6   / & +  4allar 7? en% / $ + $0 A)  C) $ ) % 1) &

1; 2; 4

E) '

B$ aor 

. Si se define  / (  6  )

E) 

 / $ + +

+. Si

Se denomina as al menor de los m#ltip los en com#n que presenta $ o m6s n#meros 5U+. ELemplo-

>allar $ + % + & 3. Si se define- n / n2 6 ; n >allar 7?

x  − 3

2os divisores comunes de $ o m6s n#meros son los divisores de su respectivo 1.

Vnio CoTn T,tip,o 5C

/  + 



 R+

$Teros

/ %

2

A)  C) + ) & 1) %

3 E) 5 $

5. Si x

3

+3

3

 ?2 + 

T,tip,os 8; 1; 24; 32; 40; 48; ; 4; /2.... 12; 24; 3; 48; 0; /2; 84; 9; 108...

24 ; 48; 72; ...

36 24 12

2. or Descoposición Siu,tanea:

ELemplo -

alcular el 1 de- 42; 48; 4

2 D 3  7 8 9 2

1 P&$; &3; '&Q / 2.3    P&$; &3; '&Q / 24.33./  3024

F=#% C%R$ D#K#S%"

C P3; $Q / $& $ota:

Es un procedimiento que nos permite calcular el 1 para $ n#meros solamente mediante divisiones sucesivas.

$#% C%R$ R)&#)%

2os m#ltiplos comunes de $ o m6s n#meros son los m#ltiplos de su respectivo .

aso general- alcular el 1 para $ n#meros ' y

I?io CoTn DiJisor 5CD Se denomina as al mayor de los divisores en com#n que presenta $ o m6s n#meros 5U+. ELemplo-

$Teros DiJisores 8 1; 2; 4;8 12 1; 2; 3; 4; ; 12

&%D% '"' C')C)'" !) CD W !) C 1. or Descoposición Canónica: 1ados $ o m6s n#meros descompuestos canónicamente, el 1 ser6 igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor eponente y el  ser6 igual al producto de los factores primos y no comunes elevados al mayor eponente posible. !*ep,o 1: Sean los n#meros

( 5' Z (

q1

q2

 &

C

r 1

r 2

r 1

r 2

r 3

0

o/ente

Ged-o

H  & C r 1 q1

q3 q4 r 3

H C r 1 r 2 q2

CD X3; /Y  1 C X3; /Y  21 ELemplo $-

CD X103; 81Y  1 C X103; 81Y  81000 i

3. ',Oorito de !uc,ides 5DiJisiones SucesiJas:

E) %'

0

CD X'; (Y  1 C X'; (Y  '.(

B$ enor 

A) $0 C) % ) &$ 1) $+

D

i A y B son PE$ se cumple:

 1PA; C; Q / 22.3. 4  2 2 ⇒ PA; C; Q / 2 .3 . ./ .11.13

E%ro entre F

2

ropiedades

⇒

 54  27  9  9  9  1

1

1 P%00; 5$Q / $

 & ! C ! 24.35.52.72.11  ! 22.3.5.13

42  48 21  24 7  8 1  8 1  1 1  1

3

300 132 36 24 12

23.32.5.7

T,tip,os counes:

alcular ( +% J 0 )

2

!*ep,o 2: Sean los n#meros

$ota:

>allar ' $ A) ' C) $ ) 0 1) '

H r 2 r 3 0 q4

!*ep,o: calcular el 1 para %00 y %$.

 CDX300; 30; 40Y  22.3.  CX300; 30; 40Y  23.32.2

CD (3; $) / &

Adem6s-  /  ?2 J 0

H r 1 r 2 r 3 q3

300 ! 22.3.52 360 ! 23.32.5 540 ! 23.5

DiJisores counes:

o

 &  = C  se cumple:

CD X'; (Y  ( C X'; (Y  ' ELemplo -

CD X400; 20Y  20 C X400; 20Y  400 ELemplo $-

D

CD X108; 104Y  104 C X108; 104Y  108 i a * o m+s n,meros se les di-ide entre su MCD. los cocientes o/tenidos resultan ser PE$#

Caso Oenera,: Sean A y C los n#meros y adem6s-

CD X'; (Y  d.

 & H d

C H d

=α

!*ep,o: Ca,cu,ar e, CD de 34 6 1 > 3 6 1

=β

CD X34 6 1; 3 6 1Y  3CDX4; Y  6 1  32 6 1  8

%BSI

i se sa/e 3ue:

!*ep,o: Sean &0 y %$ los n#meros y adem6s-

CD X40; 32Y  8 H

40 8

=5

H

32 8

H K!

=4

o

a + r  o b + r  o / + r 

o

H K!

  r  o '  r  o q  r 

o

K !  [a; b; / ] + r 

%BSI on lo cual se deduce que-

o

 & ! dα

C ! dβ

;

K !  [; '; q]  r 

Para el n,mero A y B cuyo MCD 0 d y cuyo MCM 0 m se cumple:

ELemploo

 & ! dαβ

; &.C ! d

H K! 7  3

5o + 2 4+2

5o  3 10  3

o

ea el MCD 1A. B. C2 0 d# e cumple:

D  & J ; CJ ; J ! dJ D [ &J; CJ; J ] ! d.J  & C  d D ; ; ! J J J J

o

K ! 60 + 2

o

K !  [ 7 ; 5; 10 ]  3 o

K ! 70  3

 & ; C ;  ; D ; B

t

D  & ; C ;  #!

o

K !  [3; 5; 4] + 2

o

Caso 4eneral: calcular el MCD de A. B. C. D y E 

Sea el  PA; C; Q / m Se cumplet

o

H K! 3 + 2

[

t

t

!

]

D [&; ] ! J1

D [C; B] ! J2

D  &t ; Ct ; t !  .t D [J1; D] ! J3

 & C   D ; ; ! t t t t

D [J3; J2] ! J4

ean los n,meros: ? 6 1; ?n 6 1 Entonces se cumple

n

CD X; nY

CD X?  6 1; ?  6 1Y  ?

 6 1

!ntonces e, CD X'; (; C; D; !Y  [4 %HserJación:

8o va importar el orden como se tomen las letras. el 1 siempre resultar6 ser igual en cualquier caso.

$#% C%R$ R)&#)% W F=#% C%R$ D#K#S%"

+. El n#mero de p6ginas de un libro es mayor que '00 y menor que 00. si se cuenta de % en % sobra $, de ' en ' sobran & y de + en + sobran . Du6ntas p6ginas tiene el libro A) '$& C) '$ ) '%& 1) '&+ E) '&

. 1ado el n#mero %'00A) Du6ntos divisores tiene C) Du6ntos divisores son primos absolutos ) Du6ntos divisores son compuestos 1) Du6ntos divisores son mayores de $0 a) +$, &, +, '3 b) +0, &, +, '5 c) +%, 3, %, '+ d) %, $, +, '3 e) +$, +, &, '3

3. =res ciclistas partieron al mismo tiempo y de la misma lnea de una pista circular. En cada vuelta tardaron respectivamente 3, 0, $ segundos. Du6ntas vueltas 4abr6 dado cada uno de los ciclistas cuando 4ayan pasado nuevamente y a la ve7 por la lnea de partida A) ', % y & C) ', $ y 0 ) ', & y $ 1) $, 3 y 5 E) 8A

$. El  de $ n#mero enteros es $$ &00 al calcular el 1 mediante el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes sucesivos- $, ' y %. >allar uno de los n#meros. A) &0 C) 30 ) '0 1) +$0 E) 50 %. >oy las % campanadas de una iglesia 4an sido tocadas simult6neamente; si en adelante la primera ser6 tocada + das, la segunda cada & das y la tercera cada 0 das. 1espués de qué tiempo se volver6n a tocar Luntas A) %0 das C) $0 ) +0 1) &0 E) $30

5. >allar el n#mero de ladrillos necesarios para construir un cubo compacto sabiendo que su arista est6 comprendida entro $ y % m y que las dimensiones del ladrillo a usarse son de $0, ' y 3cm. A) '+0 C) +$0 ) 0$0 1) 5& E) 50 0. 2as longitudes de las circunferencias de las ruedas delanteras y traseras de una locomotora son respectivamente $'0 y &$' cm. DMué distancia tendr6 que recorrer la locomotora para que una de las ruedas dé $3+0 vueltas m6s que la otra A) +&$,'m C) 3&$,'m ) +5$,'m 1) '5$m E) 5$m

&. Se trata de depositar el aceite de % barriles que tienen $0, %00 y &$0 Titros de capacidad en envases que sean iguales entre s. Du6l es la menor cantidad de envases que se empleara para que todos estén llenos y no desperdiciar aceite A) %0 C) ' E) % 1) & E) $+ '. Andrea compró cierto, n#mero de traLes por SG. $0'00 y vendió unos cuantos en SG. '000 cobrando por cada traLe lo mismo que le 4aba costado. >allar cu6ntos traLes quedan si el precio de estos fue el mayor posible. A)  C) % ) %0 1) ' E) 8.A. . 2as dimensiones de un terreno rectangular son 35& y %'&m, Se desea parcela do en terrenos cuadrados de tal modo que no sobre nada y se obtenga el menor n#mero de parcelas Du6ntas parcelas cuadradas resultaran A) %'& C) 35& ) 3 5&0 1) 3 +5 E) 3+5

. Se 4an colocado postes igualmente separados en el contorno de un campo triangular con una puerta en el centro del lado m6s largo, suLeto por dos de los postes seIalados, sabiendo que 4ay un poste en cada vértice y los lados miden- 3$, $%& y $ m; la puerta tiene  m de anc4o y que la distancia entre poste y poste es un n#mero entero comprendido entre & y $0 metros.; Du6ntos postes se colocaron A) ' C) '$ ) '% 1) '& E) ' $. Se 4a dividido un terreno rectangular en parcelas, obteniéndose 03 parcelas cuadradas de $m$ cada una. En cada esquina de las parcelas se 4a colocado un poste, si se 4an necesitado %0 postes, calcular la diferencia entre el largo y el anc4o del terreno r ectangular. A) %%m C) $$rn ) &&m 1) $m E) %$m

%. Carbara es una niIa muy golosa tal que debe consumir un pastel cada 5 4oras, y una gaseosa cada ' 4oras necesariamente para poder sobrevivir, si 4oy domingo $+ de diciembre de 53+ 4a consumido a la ve7 un pastel y una gaseosa eactamente a las 034.Du6l es la fec4a m6s próima en la que Ana ara volver6 a consumir un pastel y una gaseosa a la ve7 también domingo y a la misma 4ora A) & de Oebrero de 533 C) %0 de ar7o de 533 )  de Abril de 533 1)  de Abril de 533 E) $ de ayo de 533

'$F)#S#S C%(#$'&%"#%

El suceso A o el suceso C, en el sentido E5CL!)EN"E6 se puede reali7ar de-

1 3 5 7 9

8

81; 83; 85; 87; 89

$0 n#meros

Nora rIctica b

2ima J >uancayo se puede viaLar en tren o en ómnibus; si 4ay % rutas para el tren y & para el ómnibus. Du6ntas maneras tenemos para viaLar 2ima J >uancayo

1 3 5 7 9 4 . 5 ! 20 nero

<a

$ota:  Este principio se puede generali7ar para m6s de $ sucesos

!*ep,o 1: Du6ntos n#meros se pueden obtener, si !a" es cifra par y $b" es cifra impar.

So,ución 2

4

6

1 3 5 7 9 1 3 5 7 9

1 3 5 7 9

En palabras El suceso !a" se puede reali7ar de & maneras El suceso !b" se puede reali7ar de ' maneras. ada suceso a y b en forma conLunta es un n#mero. El cual se puede reali7ar de&.'  $0 maneras que equivale a obtener$0 n#meros

Se llama combinación a cada grupo que puede formarse con varios elementos, tomados de uno en uno; de dos en dos; de tres en tres, etc. tal que en cada grupo EL ORDEN DE LO ELEMEN"O D

NO $N"EREA# Esto es-

(1) (2)  &

61; 63; 65; 67; 69

Com/inación

1e una ciudad A a otra C 4ay & caminos diferentes y de C a  4ay % caminos diferentes. D1e cu6ntas maneras se podr6 ir de A a , pasando por C

21; 23; 25; 27; 29

(3) (4)

C

(7)

5N = 10 3 N 2N

0 maneras de formar el comité

Si dos grupos tienen los mismos elementos pero en orden diferente, se trata de la misma combinación

Solución or lo menos $ significa$ ó % ó & ó ' y observe que son sucesos ecluyentes. 2uego tenemos-



5 2

+ 53 + 54 + 55 = 26

Ejemplo 3 En una caLa 4ay  bolas numeradas D1e cu6ntas maneras se puede etraer a lo m6s & bolas

olución A ,o m6s & bolas significa ó $ó % ó & y observe que son sucesos ecluyentes6 6 6 6  +  +  +  4 = 56 1 2 3 ropiedades



.

n

N,mero de Com/inaciones

(5) (6)

M-an/ao

U>ay + manerasV %Hs\rJese: que cada ruta ecluye a la otra

!*ep,o 2:

Solución

41; 43; 45; 47; 49

ren 1 ren 2 ren 3 Lnb- 1 Lnb- 2 Lnb- 3 Lnb- 4

 53 =

Ejemplo 2 En una caLa 4ay ' bolas numeradas D1e cu6ntas maneras se puede etraer por lo menos $ bolas

Solución

2 4 6 8

rincipio u,tip,icatiJo Si el suceso !A" se puede reali7ar de !m" maneras. El suceso !C" se puede reali7ar de !n" maneras Entonces El suceso A y C se puede reali7ar en forma conLunta dem.n maneras

maneras

Ejemplo:

UEn =otalV

a

m + n

Solución bserve que- el orden de las tres personas no interesa, puesto que cualquiera que sea el orden de las tres personas, se tratara del mismo comité. Uues bien, estamos ante un caso de combinaciónV




515; 515; 515/; 525; 525; 525/; 535; 53 5; 535/; 545; 545; 545/. E n t ot al - &. %  $ maneras rincipio 'ditiJo El suceso A se puede reali7ar de m maneras. El suceso C se puede reali7ar de n maneras entonces-

El n#mero de combinaciones de !m" elementos tomados de !n" en !n" est6 dado por-

 n =

ELemplo-

nN ( − n)N

ELemplo  Se dispone de ' personas para formar un comité de % personas. D1e cu6ntas maneras se puede formar el comité

10 8



=

10 8 =

N

  1.2.3.... 0  1 adem6s- 0 ] n ^ 

=   −n

Weamos-

10 2 =

10 8

 −1

$.

n

10N 8N 2N

10N 2N 8N 

2uego-

10 2



= 10 2

−1  +  n −1 = n

7

5

ELemplo-

+ 74 = 85

 75 = Weamos-

74 = 8

=

5

7N = 21 5N 2N

7N = 35 4N 3N 8N 5N 3N

= 56

7 5 de donde-

ELemploD1e cu6ntas maneras pueden sentarse ' personas en ' asientos uno a continuación del otro

= 85

Se dispone de m elementos, de los cuales n elementos deben ocupar lugares fiLos, entonces el n#mero de permutaciones de los m elementos est6 dado por-

Permutaciones con Repetición

% = ( − n)N

1 +  2 + ... + P = 

Ejemplo:

m- de elementos idénticos entre si, pero diferentes a los otros.

>allar el n#mero de permutaciones con las letras de la palabra TS2A, si la primera letra debe ser !T".

7ariación Se llama variación a cada grupo que puede formarse con varios elementos, tomados de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres, etc. tal que en cada grupo 4ay que tener en cuenta el orden de sus elementos.

$Tero de Kariaciones El n#mero de variaciones de !m" elementos tomando !n" en !n" est6 dado por-

N

O n = ( − n)N

Solución bsérvese el detalle siguiente &

C



C

&

5N

O 3 = 2N = 60 anera Permutación n

=

%n

1N+ 2 N ... P N

Solución

 &: +e re'te 3 e/e+ D: Se re'te 2 e/e+ K: Se re'te 2 e/e+

%7 =

7N = 30 3N 2N 2N

Permutaciones Circulares El n#mero de permutaciones de 7n elementos, dispuestos circularmente, est6 dado por-

%n = (n − 1)N Ejemplo

Se llama permutación a cada variación en la cual intervienen todos los elementos disponibles.

On

% =

=

nN

D1e cu6ntas maneras se pueden sentar & personas, alrededor de una mesa circular Solución

54 6 1   perutaciones

'$F)#S#S C%(#$'&%"#% . Entre 2ima y >uancayo 4ay ' lneas diferentes de automóviles y entre >uancayo y Ayacuc4o 4ay % lneas de automóviles, D1e cu6ntas maneras puedo una persona ir de 2ima a Ayacuc4o pasando por >uancayo y regresar en lneas diferentes A) 0 C) 50 ) 00 1) $0 E) '0 $. En un eamen se ponen + temas para que el alumno escoLa &. D1e cu6ntas maneras puede 4acerlo A) ' C) $' ) %' 1) &0 E) '' %. 0 corredores. D1e cu6ntas maneras diferentes pueden obtener % premios distintos A) '0 C) &0 ) +00 1) +$0 E) 3&0 &. Fn grupo esta conformado por + personas y desean formar una comisión integrada por un presidente y un secretario. D1e cuantas maneras puede formarse dic4a comisión A) & C) $ ) &$ 1) %0 E) ' '. Se tiene 5 banderillas donde $ son blancas; % roLas y & negras. D1e cu6ntas maneras se pueden 4acer seIales poniendo todas las banderas en fila A) 0'0

. Se tiene l6pices de + colores. D1e cu6ntas maneras se pueden formar grupos de % ó $ elementos con dic4os l6pices A) %'

C) '0 ) $0 1) %$0 E) &30

C) &3

) '

1) &

E) +$

+. En un campeonato de f#tbol- $ equipos deben  Lugar todos contra todos si llegan % equipos m6s. Du6ntos partidos adicionales deben Lugarse A) '

Solución

N

7 $etra+ a tota$ 

Son las mismas personas pero $ maneras diferentes de sentarse; es decir 4ay que tener en cuenta el orden de los elementos. 2uego, estamos ante un caso de 7AR$AC$'N# 5

 ; ... ; 

2 P Similarmente paraEl n#mero de permutaciones de los !m" elementos est6 dado porELemplo-

Ejemplo: Du6ntas palabras de + letras se pueden formar con las letras de las palabras A8AA8

Ejemplo >ay ' personas y sólo una banca con capacidad para % personas. D1e cu6ntas maneras pueden sentarse

Permutaciones con Lu4ares Fi8os

olución %5 = 5N = 120 Se dispone de !m" elementos, tales que-

+ 74

%4 = 3N = 6 anera

C) $'

) %0

1) %5

E) &$

3. Se tiene una mesa redonda en la cual se pueden sentar + muLeres y + 4ombres. D1e cu6ntas maneras lo podr6n 4acer con la condición de que no queden Luntos dos 4ombres

' 12 ( 13 C 14 D 13 6 12 !  =  5. D1e cu6ntas maneras se pueden colocar $ libros diferentes sobre una estantera de manera que tres de ellos siempre deben de estar Luntos

' 3 . 9 ( 3 . 10 d 3 . 11 ! 3. /

C 3 .12

0. Fna moneda cuyas caras est6n marcadas con los n#meros $ y % respectivamente es tirada ' veces. D1eterminar de cu6ntas maneras se obtendr6 corno suma $ A) $0 C) 0 E) %0 1) ' E) 0 . 1e un grupo de  peruanos, + c4ilenos y  argentinos se quieren seleccionar un comité de 0 personas de tal modo en el que se encuentren % peruanos; & c4ilenos y % argentinos. D1e cu6ntas formas diferentes se puede 4acer dic4a selección A) '000 C) 000 E) +000 1) 3000 E) 5000 $. Fn equipo cientfico consta de $' miembros de los cuales & son doctores; 4allar el n#mero de grupos de % miembros que se pueden formar de manera que en cada grupo 4aya por lo menos un doctor. A) 5+0 C) 530 ) 5'0 1) 5&0 E) 50

"!)' D! #$&!"S

Concepto: Es una parte de la Aritmética omercial que nos enseIa a determinar la ganancia o utilidad que se obtiene al reali7ar un préstamo, la inversión o la imposición de un capital a ciertas condiciones pre determinadas.

#$&!"S Es la ganancia o beneficio que nos produce un capital al ser prestado a ciertas condiciones de tiempo y tasa pre establecidas.

!)!!$&%S 1. Capita, 5C : El capital que 4aremos referencia, se conocer6 a todo aquello que nos produce ganancia, com#nmente capitales monetarios.

2. &iepo 5t - onoceremos como tiempo, al intervalo durante el cual est6 prestado el capital. uede estar epresado en das, meses, aIos, bimestres, trimestres, semestres, etc.

I =

xtxG 100

ondiciones-

t y "_ est6n epresados en las mismas unidades temporales

R9

aIos meses das bimestres trimestres semestres

anual ensual 1iario Cim estral =rimestral semestral

. . .

. . .

!t" en meses

#%"&'$&!: •

uando no se menciona las unidades de tiempo en la cu6l se aplica la tasa, debemos asumir que son anuales.

• Se conoce también a la tasa de interés anual

con el nombre de "\dito y si esta epresado en tanto por  se le conoce con el nombre de

"atio. C)'S!S D! #$&!"S '. #nter\s Sip,e onoceremos como interés simple al interés generado por un capital constante durante el periodo de préstamo (Los intereses generados por períodos de tiempo no se acumulan al capital ).

##

xt xG 100

!t" en das

⇒ I =

⇒ I  =

xt xG 1200

x t xG 36000

"asas E3ui-alentes 3_ ensua, ]Z 3_ anua, 2_ ensua, ]Z 12_ seestra, 24_ anua, ]Z 8_ cuatriestra, 9_ seestra, ]Z _ cuatriestra, 12_ Hianua, ]Z _ anua, 18_ seestra, ]Z 9_ anua, 1_ anua, ]Z 4_ triestra,

Fn préstamo es impuesto a interés compuesto cuando los intereses que produce dic4o capital, tan pronto como sean producidos form6ndose un nuevo capital. Entonces se dice que los interese se capitali7an.

M = C (1 + R%) t  t y <_ en las mismas unidades temporales !*ep,o: alcular el interés compuesto que genera SG. 0000 al $0 _  anual capitali7able anualmente durante & aIos.

T / $0+% J 0000 / 0+%

. DMué monto nos genera un capital de SG. &000 prestado al %X bimestral durante ' semestres

"eso,ución:

C  S. 4000 "  3_ Hiestra, t   seestres 3_ Hiestra, ]Z 9_ seestra, I =

xtxG 100

t y < en las mismas unidades

So,ución: In/a$ 10000

a'ta$ na$ 20736 12000

14400

I=

4000 x 5 x 9 100

= 1800

17280

20R I1 ! 2000

20R I 2 ! 2400

20R I 3 ! 2880

20R I4 ! 3456

1 aQo

1 aQo

1 aQo

1 aQo

=iempo de capitali7ación-  aIo

#nter\s  Cfina, 6 Cinicia, Tnterés / $0+% J 0000 / 0+% Ftili7ando-

C final  = C (1 + R%) t 

Consideraciones de tiepo

1296 x10000 = 20736 625

!`!"C#C#%S ')#C'&#K%S

(. #nter\s Copuesto

uando la tasa es anual (< _ anual)

3. &asa de #nter\s 5" _ - Es un indicador en tanto por ciento que nos indica la cantidad de unidades que se desea ganar por cada 00 unidades de capital en un perodo de tiempo determinado.

Se conocer6 as, a la suma del capital m6s el interés producido en un determinado tiempo.

M = C + I 

t

⇒ I =

 @na$ =

onto

!*ep,o:

!t" en aIos

  6  4  @na$ = 10000 ( 1 + 20 R) 4 =      x 10000   5  

1 e /oer/a$ ! 30 d=a 1 aQo /oer/a$ ! 360 d=a 1 aQo /on ! 365 d=a 1 aQo beto ! 366 d=a

Oórmula *eneral-

onto    &000 + 300   '300 $. D1urante cu6nto tiempo 4ay que depositar un capital al _ mensual para que se cuadruplique

"eso,ución: ; t / b; < / _ mensual / $ _ anual



 I

onto /   4C

"eso,ución:

 4C  C + #  #  3C

 ; G ! 2,5R en-a$;


xtx12 100

= 3

ee ! 

#9

; "_ anua,  b

onto    C + #  /040

1ato-

t: eses; "_ ensua,

I

=

2 5

x

1 2

xD =

C + #1 +#2  /040

D 5


+

( 2  > 7 ) x 20 x 9 ( 5  > 7 ) x 40 x 9 + = 70 1200 1200

+

2160 x 9  44  =+ = = 7040 8400 35 35

Sabemos-

"eso,ución:

 x t x( 2,5 )

C  S. 3000; "  2_ ensua,

100

t x( 5 > 2 ) =2 100

xtxG 100


t  80 
I1 2

3000

2000

 !  I2

I =

onto    1 + 2

   C1 + #1 + C2 + #2

  000 + 420 + 120  S. 40 &. Du6ntos meses se debe depositar al régimen de interés simple un capital al 2@_  mensual para que los intereses obtenidos sean iguales a $ veces al capital

3. Fn capital se impuso a interés simple al 3_ durante ' aIos, $ meses y $0 das y otro capital que esta con el anterior en la relación 34, se impuso al 4_ durante el mismo tiempo. 2os capitales con sus intereses 4an dado una suma de

Ftili7ando-

I =

xtxG 1200

S. /4280. 1eterminar la suma de los capitales impuestos.

C " 10_ Hiestra,0_ anua,; t   eses@ 10 dVas  190 dVas

3 ee 7 ee

3000 x 7 x 2 + 100

C  S. 00 "pta

 C  4#

"eso,ución:

4 ee

 = 3000 + 2000 +

!+I

#  C +#

t: eses; "_ ensua,

1

= 2 x

xtxG 36000

"eso,ución:
→

G = 7 ,5

"  /@ anua, +. 2os 2/  de un capital se imponen al 20_ y el resto al 40_ si luego de 5 meses el monto es S. /040. Du6l es el capital


= 1140 =

t- meses;
 = 4x

t: eses; "_ ensua,

I

5 t ! 9 ee 7

"1  20_ "2  40_

 ; t ! 3 aQo; 4 ee ! 40 ee

xtxG I = 100

%. 2a Sra. itita depositó SG. %000 en un banco al $X mensual luego de & meses depositó SG. $000 m6s y % meses después retiró su capital e intereses. Du6nto de dinero retiró

2 7

"eso,ución:

I!2x

 t  2

2 aos 
I =

t

1ato-



. DA qué porcentaLe debe ser colocado un capital para que en % aIos & meses produ7ca un interés equivalente a los 2 de la mitad del monto

x190 x 60 36000

C  S. 300 
"eso,ución:

1

G1 ! 3R

2

G2 ! 4R

t ! 5 aQo 2 ee ! 1880 d=a  20 d=a

1ato-

H

2 1

=

3 4

→  2 = 3P

Q 1 + 2  /4280 C1 + C2 + #1 + #2  /4280

; 1

= 4P

4P + 3 P +

7P +

( 4P ) x1880 x 3 36000

+

( 3P ) x 36

45120 P 94 P 619 P = 7P + = 36000 75 75  E  9000 C1 + C2  /E  3000 "pta.

3