Concurso Nacional de Matemática César Vallejo
Tema
P Quinto Grado de Secundaria operador lógico , tal que la matriz matriz principal principal 1. Se dene el operador p q] ∼ q es FFVV. FFVV. Entonces, el operador puede de [ p ser reemplazado por A) ↔
B) →
C) ∧
D) ∨
4. Si R es la región convexa que verica el sistema de inecuaciones lineales
2. La profesora Teresa, al nalizar el año escolar, comparó las 5 notas obtenidas por los hermanos Álex y Eduardo en el curso de Matemática; estas notas se muestran en la siguiente tabla, donde {a ; b ; c ; d} ⊂ Z+.
Álex Eduardo
a b
b a
18
c
15 18
A) 2/15 B) 2/3 C) 4/11 D) 7/11
2 x + y ≤ 1 ; x − 3 y ≤ 2 ; x ≥ 0 , calcule el área que encierra R.
c d
Al comparar las notas, la profesora se dio cuenta que los promedios aritméticos son a y c , respectivamente, siendo estos números consecutivos. Además, la varianza de las notas son dos pares consecutivos. Considere que Eduardo tuvo mejor promedio que su hermano y mayor varianza. Calcule a×b+c. A) 286
A)
C)
21
u
2
25
25
u
2
42
B)
D)
5
u
2
14 25
u
2
21
5. Para recuperarse de una enfermedad, Juan tiene que tomar, junto con su alimentación, dos clases de componentes a los que llamaremos A y B. El médico le ha indicado dos tipos de dietas y Juan necesita tomar, como mínimo, 70 unidades de A y 120 unidades de B. La concentración concentración de dichos componentes es:
B) 214 C) 241
D) 254 3. Un inversionista extranjero desea invertir en el Perú. La probabilidad de que invierta en agricultura es 2/5 y de que invierta en textilería es 3/5; además, se sabe que si él invierte en agricultura o textilería, la probabilidad de que duplique sus inversiones al año es 0,60 y 0,70, respectivamente. Si al nal del año el inversionista ha duplicado su inversión, ¿cuál es la probabilidad de que haya invertido en agricultura?
• •
Dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B Dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B
Si se sabe que para un mes de tratamiento el precio de la dieta D1 es de S/.250 y el precio de la dieta D2 es de S/.150, ¿cuál es la distribución óptima que minimiza el costo mensual? A) 20 D1 y 30 D2 B) 25 D1 y 25 D2 C) 30 D1 y 20 D2 D) 15 D1 y 35 D2 (Chiclayo - Trujillo - Huacho) Zona Norte
P-1 P1
Prueba Eliminatoria - Quinto Grado de Secundaria 6. Sea f : R → R una función inyectiva, tal que su inversa está denida por 1 − 2 x ; x ≥ 0 ; * f ( x ) = 2 x + 1 ; x < 0
10. En el gráco mostrado, ABCD y AMNC son cuadrados, AD = 4 2 y TL = 2 . Calcule PD. N
Calcule la imagen de f (*−1) mediante f *.
P
M
A) 2 T
B) –1 C) 1
L
B
C
D) – 3 O
7. Sea
( xf)
A
= log a 1 − log 1 x; 0 <
una función real logarítmica. Halle su dominio.
D
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
A) Dom( f )=〈0; 1〉
1
B) Dom( Dom ( f ) = 0 ;
a
C) Dom( f )=〈0; a〉 D) Dom( Dom ( f ) =
1
a
;
11. En el gráco, QT ⊥ OB ; QH ⊥ OA ; m AOB=60º; FH=FT ; =1. Calcule la medida del diedro que deHO = 2 3 y FQ =1. terminan los planos que contienen a los triángulos HFT y HQT .
+∞
F
8. Resuelva la siguiente ecuación en diferencias diferencias xn+1 – xn=2; x0=3
e indique el valor de x2010. B
A) 4017 B) 4023 C) 4025 D) 4027 9. Dado un triángulo rectángulo ABC , recto en B y ubicado en un plano, por el incentro I de dicho triángulo se traza una recta perpendicular al plano que contiene al triángulo ABC y en la recta se ubica el punto Q . Si =2, calcule el ángulo que forman las rectas IQ = 2 y QC =2, AI y QC .
A) 45º B) 30º C) 53º D) 60º
P-2 P2
Zona Norte (Chiclayo - Trujillo - Huacho)
A) 30º C) 37º
T Q A
60º
O
H
B) 45º D) 60º
12. Dado un tetraedro regular A-BCD , se traza la altura AH (H sobre la cara BCD). Si el área de la proyección de dicho tetraedro en un plano que es paralelo a los segmentos AH y DC es 6 , calcule la longitud de la arista del tetraedro. A)
2
B)
3
C) 2 D)
6
Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 13. Se tiene un hexaedro regular ABCD-EFGH , cuya arista mide a. Calcule el volumen del poliedro, cuyos vértices son EBDHFC .
17. Simplique la expresión. tan
π
+ tan
7
2π 7
A) C)
a
B)
2 2a
3
D)
3
a
tan
3
Calcule
2π 7
3 3 4
a3
A)
tan
C)
tan
π 7
3π 7
B)
tan
D)
tan
2π 7
4π 7
.
CD
18. En un triángulo ABC se cumple B
D
β
A
C
1
C) 2
D)
15. A partir del gráco se cumple que
A+ sen C+ sen( A+ 2 B)
cos
A− cos C+ cos ( A+ 2 B) cot
C 2
1.
=−
.
A)
2 −1
B)
C)
3
D)
2 +1
2−
3
19. El punto M pertenece a la recta L , tal que 2 AM2+MB2 adopta su mínimo valor. Determine la suma de coordenadas de dicho punto.
B) 1
2
sen
Calcule
α
A)
tan 7
14. En el gráco se cumple que cos(a – b)=3cos(a+b). BD
3π 7
π 3
− tan
1 4
b
c = a+
Y
.
2
B(3;
4)
C L : x – 2y– 2y – 2=0 A(0;
b
1)
a X
c
A
B
Entonces se cumple A) C)
a
=
b
2
3
a
b
=
5
=
12
c
B)
4
=
c
D)
13
a
=
3
a
b
=
4
=
7
b 24
c
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
5
=
c 25
20. Se dene la función f mediante la siguiente regla f) ( x
2 π 2 π . cos x− = sen x− cos − x+ 3 3 2
2
2
16. Simplique la expresión. 3
tan
x − cot 3 x
tan x − cot x
− sec
2
x − csc 2 x
Entonces f π + f (π) será igual a 2
A) − A) –1
B) 1
C) 3
D) –3
C) 0
1 2
B) –1
D) 1
(Chiclayo - Trujillo - Huacho) Zona Norte
P-3 P3
Prueba Eliminatoria - Quinto Grado de Secundaria 21. Luego de resolver la ecuación sec
2
x 2
+ csc
2
x 2
(
B
x + cot 2 x )
= 16 csc 2
calcule la suma de las dos menores soluciones positivas. x
A)
C)
π
π
B)
4 3π
2
A
D) p
4
A)
22. Si DE=4 y EF =1, =1, calcule tanacotb.
C) C
cot β + cot 2θ 1 + cot β tan tan θ
G
D
B
A) 1/5 B) 2/5 C) 3/5 D) 5/3 23. En el triángulo acutángulo ABC se tiene que AM=MC ; m ABC =b y mBCA=q. Obtenga el equivalente de tan x.
P-4 P4
1 + tan tan β cot 2θ cot θ + cot 2β 1 + cot cot θ cot 2β
entonces el valor de cos AcosB(1+cosC ) es
β
A) 1/2 C) 1/4 A
D)
cot β + cot 2θ
)=1, 2sen AsenB(1 – cosC )=1,
α E
1 + tan tan θ tan tan 2β
B)
C
24. En un triángulo ABC se cumple que
α F
cot θ + cot 2β
M
Zona Norte (Chiclayo - Trujillo - Huacho)
B) 3/8 D) 3/4
25. Si se cumple que cos x
π = 8 sen3 , x + 6
determine la suma de valores de d e la siguiente siguiente expresión. 8 cos
A) 0 C) 2
3
x + π − sen x 6 B) 1 D) 3
