Ecuación de quinto grado
Polinomio de Polinomio de 5º grado con cuatropuntos cuatropuntos extremos. extremos.
En matemática matemática,, se denomina ecuación de quinto grado o ecuación quíntica a una ecuación polinómica polinómica en en que el exponente de la variable independiente de mayor grado es cinco. Es de la forma general:
donde a, b, c , d , e y f son son miembros de un cuerpo cuerpo !abitualmente, !abitualmente, en análisis matemático y álgebra clásica, el de los n"merosracionales n"meros racionales,, el de los reales o los comple#os comple#os$$ pero en álgebra abstracta se usan otros cuerpos % &, y . 'ebido a que son de grado impar, la gráfica de las funciones qu(nticas se parece a la de las funciones c"bicas, c"bicas, incluso puede poseer un máximo máximo y y un m(nimo m(nimo locales locales adicionales. )a derivada derivada de de una función qu(ntica es una función cuártica y su integral integral una unafunción función s*xtica. s*xtica. Índice +ocultar
% -"squeda de ra(ces de una ecuación qu(ntica qu(nti ca
•
o
%.% aso inicial inici al
o
%./ 0actori1ación de radical radicales es
o
%.2 3tros m*todos anal(ticos anal(ti cos
o
%.4 *todos num*ricos
•
/ 6*a 6*ase se tamb tambi*n i*n
•
2 7eferencias y notas
•
4 8obre el tema
•
5 Enlaces externos
Búsqueda de raíces de una ecuación quíntica+editar Encontrar las ra(ces de un polinomio valores de x que satisfacen tal ecuación& en el caso racional dados sus coeficientes !a sido un importante problema matemático. )a resolución de ecuaciones lineales, cuadráticas, c"bicas y cuárticas mediante factori1ación de ra(ces es bastante sencilla cuando las ra(ces son racionales o reales$ tambi*n !ay fórmulas que proporcionan las soluciones. 8in embargo, no !ay una fórmula general en t*rminos de ra(ces para las ecuaciones de quinto grado sobre los racionales$ mediante un n"mero finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracciones de ra(ces. Esto lo probó por primera ve1 el teorema de 9bel7uffini, publicado en %;/4, que fue una de las primeras aplicaciones de la teor(a de grupos en el álgebra. Este resultado tambi*n se cumple para ecuaciones de mayor grado.
Caso inicial+editar 8ea la ecuación x5 % < =, se factori1a el primer miembro$ cuyo resultado conlleva el
•
binomio x % y un polinomio mónico completo de cuarto grado, todos los coeficientes igual a %. En el >cuadrinomio> que corresponde a una ecuación rec(proca se divide entre x /, se forman trinomios que sean cuadrados perfectos$ se !ace cambio de variable de x ? %@x < t. 8e resuelve en t, luego en x. 8e obtienen, de este modo netamente algebraico, las cinco ra(ces de la unidad, cuatro de ellas comple#as y primitivas. /
Factorización de radicales+editar 9lgunas ecuaciones de quinto grado se pueden resolver mediante factori1ación de radicales, como por e#emplo x 5 A x 4 A x ? % < =, que puede escribirse como x / ? %& x ? %& x A %&/ < =. 3tras qu(nticas como x 5 A x ? % < = no pueden factori1arse de manera sencilla. Bvariste Calois desarrolló t*cnicas para determinar si una ecuación dada podr(a ser resuelta mediante factori1ación, lo que dio pie al campo de la teor(a de Calois. Dsando esta teor(a, o!n 8tuart Clas!an, Ceorge Paxton Foung y arl 7ungemostraron en %;;5 que cualquier qu(ntica resoluble irreducible en forma de -ringerrard, debe for1osamente tener la siguiente forma:
donde
y
son racionales. En %GG4, 8pearman y Hilliams dieron una alternativa,
con . 'ado que !aciendo un uso #uicioso de las transformaciones de Isc!irn!aus se puede convertir una qu(ntica a forma de -ringerrard, esto da una condición necesaria y
suficiente para que se pueda resolver mediante ra(ces. )a relación entre las parametri1aciones de %;;5 y %GG4 puede verse definiendo la expresión
donde
y obtenemos la primera parametri1ación usando el caso negativo de la ra(1 cuadrada, mientras que el caso positivo nos da la segunda con . Por tanto esto es una condición necesaria pero no suficiente& para que la qu(ntica resoluble irreducible
con coeficientes racionales debe satisfacer la curva cuadrática simple
siendo a e y racionales.
Otros métodos analíticos+editar Iambi*n existen otros m*todos para resolver qu(nticas. errard mostró alrededor de %;25 que las qu(nticas se pueden resolver usando ultraradicales tambi*n conocidos como radicales de -ring&, las ra(ces reales de t 5 ? t A a siendo a un n"mero real. En %;5; !arles Jermite mostró que el radical de -ring se pod(a caracteri1ar en t*rminos de las funciones t!eta de acobi y sus funciones modulares el(pticas asociadas, usando un enfoque similar al más familiar usado al resolver ecuaciones c"bicas mediantefunciones trigonom*tricas. )eopold KronecLer desarrolló una manera más sencilla de derivar el resultado de Jermite usando Ieor(a de grupos, prácticamente al mismo tiempo que 0rancesco -riosc!i. ás adelante, 0elix Klein llegó a un m*todo particularmente elegante que relaciona las simetr(as del icosaedro, la teor(a de Calois y las funciones modulares el(pticas que aparecen en la solución de Jermite, dando una explicación de por qu* deben aparecer, y desarrolló su propia solución en t*rminos de las funciones !ipergeom*tricas generali1adas. El matemático mexicano Craciano 7icalde Camboa %;M2%G4/& descubrió un m*todo para la resolución de la ecuación de quinto grado mediante el uso de funciones el(pticas.
Métodos numéricos+editar )os m*todos num*ricos como el m*todo de NeOton7ap!son o de prueba y error dan resultados muy rápidamente si sólo se necesitan valores aproximados para las ra(ces, o si se sabe que las soluciones comprenden sólo expresiones sencillas como en exámenes&. Iambi*n se pueden usar otros m*todos como el de )aguerre o el deenLinsIraub para encontrar num*ricamente las ra(ces de una qu(ntica de forma más fiable.
