Prueba de Shapiro-wilk Para Probar Normalidad

PRUEBA DE SHAPIRO-WILK PARA PROBAR NORMALIDAD Lic. Alejandra Valencia Cruz OBJETIVO Determinar si una muestra aleatoria presenta distribución normal. La lógica de la prueba se basa en las desviaciones que presentan las estadísticas de orden de la muestra respecto a los valores esperados de los estadísticos de orden de la normal estándar. SUPUESTOS 1. 2. 3. 4.

Una muestra Observaciones independientes Muestreo aleatorio Variables en escala de intervalo o razón

TIPO DE HIPÓTESIS A PROBAR Ho: La muestra aleatoria tiene una distribución normal. Hipótesis alterna sin dirección Hi: La muestra aleatoria no tiene una distribución normal. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL Cuantiles de W. TIPO DE DATOS Puntajes individuales. FÓMULA _ W= ∑ an-i+1 (x n-i+1 - x i) 2/ ∑ (x - x)2 = b2/S2

REGLA DE DECISIÓN Si Wo ≤ Wt, α ∴Rechazamos Ho (Tabla cuantiles de W)

Donde an-i+1= cuantiles esperados de x i x n-i+1 = dato mayor de la muestra ordenada x i = dato menor de la muestra ordenada x = dato de la muestra ordenada x = media de la muestra

EJEMPLO En un centro de investigación sobre trastornos de la alimentación se llevó cabo un estudio para probar una nueva terapia en mujeres anoréxicas. Los efectos benéficos de la intervención se observarían en el peso ganado (en kg.) por las mujeres al término de tres meses. El estudio se realizó con una muestra aleatoria de siete mujeres y los datos obtenidos son los siguientes. 6 1 -4 8 -2 5 0 Antes de proceder a analizar los datos con pruebas de inferencia estadística se desea corroborar si se distribuyen de manera normal. Probar la hipótesis nula de que la distribución de la muestra es normal.

SOLUCIÓN Variable en escala de razón: peso ganado Paso 1. Establecer las hipótesis a probar Ho: La distribución de la muestra es normal. Hi: La distribución de la muestra no es normal. Paso 2. Elegir la prueba estadística Dado que interesa probar que la muestra presenta distribución normal y se cuenta con puntajes individuales y en escala de razón, y la muestra fue tomada de forma aleatoria, se aplicará la prueba de Shapiro-Wilk. Paso 3. Especificar alfa Se empleará un α = 0.05 Paso 4. Región de Rechazo Todos los valores menores o iguales a Wt con un alfa de .05 Paso 5. Decisión Para obtener el valor observado de W y tomar la decisión estadística se aplica el procedimiento con la fórmula de W.

5.1 . Obtener el estadístico Calcular los datos necesarios para aplicar la fórmula de W como se muestra en la tabla 1. Los coeficientes an-i+1 para calcular b se obtienen de la tabla 17. El número de coeficientes a emplear se determina dividendo la muestra a la mitad, si n es par la mitad es exacta (n=2k), si n es impar se considera el número inmediato superior (n=2k+1). El valor de cada coeficiente se obtiene intersectando el tamaño de n con el de i (número de coeficiente). En el ejemplo n = 7, la mitad sería 3.5, por lo tanto, se considerará 4 como el número de coeficientes a obtener. Consultando la tabla 17, tenemos que para n=7 el primer coeficiente tiene un valor de .6233, como se puede observar en el siguiente extracto de la tabla 17. i/n 1 2 3 4

6 .6431 .2806 .0875

7 .6233 .3031 .1401 .0000

8 .6052 .3164 .1743 .0561

Tabla 1. Procedimiento de cálculo para aplicar la fórmula de W. (x-x)2 S2

Coeficiente an-I+1

(dato mayor –dato menor)

an-i+1 (x n-i+1 - x i) (b)

6

Ordenación de menor a mayor (x) -4

-4-(2)=-6 36

.6233

8-(-4)= 12

.6233 (12)= 7.4796

1

-2

-2-(2)=-4 16

.3031

6-(-2)= 8

.3031(8)= 2.4248

-4

0

0-2=-2

4

.1401

5-0 = 5

.1401(5)= 0.7005

8

1

1-2=-1

1

.0000

-2

5

5-2=3

9

5

6

6-2=4

16

0

8

8-2=6

36

PUNTAJE

_ x =2

Σ S2 = 118

FÓRMULA W= ∑ an-i+1 (x n-i+1 - x i) 2/ ∑ (x - x)2 = b2/S2 = 10.60492 / 118= 112.4639 / 118 = .9530

(x n-i+1 - x i)

Σ b = 10.6049

5.2. Obtener W de tablas. El valor de Wt se obtiene de la tabla 18 intersectando el tamaño de n con el nivel de significancia especificado. n 6 7 8

0.02 .743 .760 .778

0.05 .788 .803 .818

0.10 .826 .838 .851

5.3 Comparar el valor observado y el valor esperado aplicando la regla de decisión Si Wo ≤ Wt, α ∴Rechazamos Ho .9530 > .803 Dado que Wo > Wt , α 0.05; podemos aceptar Ho Decisión estadística: Dado que aceptamos Ho podemos decir que la distribución de la muestra es normal. Conclusión: Existe suficiente evidencia estadística para decir que los datos de la muestra se distribuyen de manera normal, por lo tanto, se puede asumir que se cumple el supuesto de normalidad y se puede proceder a analizar los datos con estadística paramétrica.

CALCULO DE W UTILIZANDO SPSS BASE DE DATOS Para capturar los datos primero se define la variable correspondiente en una columna con el siguiente procedimiento: Data Define variable Variable name: nombra la variable. En este caso la variable se llama peso. OK Una vez definida la variable teclea los valores correspondientes en forma de lista. En la figura 1 se muestra como deben quedar capturados los datos.

RUTA PARA REALIZAR EL ANALISIS ESTADISTICO Statistics (o Analize). Summarize (o Descriptive Statistics). Explore. Dependent list: pasar la variable a analizar. Factor list: pasar la variable de agrupación en el caso de que se quiere checar normalidad en más de una muestra. Display: marcar plots. Plots: boxplots: none, descriptive: desmarcar stem and leaf, marcar normality plot with tests. Continue: dar click. OK: dar click.

HOJA DE RESULTADOS (OUTPUT)

Cuadro de resumen que indica el número y porcentaje de casos analizados

Explore Case Processing Summary

N PESO

Cases Missing N Percent 0 .0%

Valid Percent 7 100.0%

N

Total Percent 7 100.0%

Resultados de la prueba de Shapiro-Wilk

Tests of Normality a

Kolmogorov-Smirnov Statistic df Sig. .179 7 .200*

PESO

Statistic .951

Shapiro-Wilk df 7

Sig. .707

*. This is a lower bound of the true significance. a. Lilliefors Significance Correction

Valor del estadístico W

Probabilidad asociada al estadístico W.

PESO Normal Q-Q Plot of PESO

Gráfica para checar normalidad.

1.5

1.0

La línea verde representa la distribución normal y los puntos rojos la distribución de los datos de la muestra. Para decir que los datos se comportan conforme a la normal deben estar ubicados sobre la línea (o lo más cercano posible).

.5

Expected Normal

0.0

-.5

-1.0

-1.5 -6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Observed Value

Detrended Normal Q-Q Plot of PESO

Gráfica para checar normalidad.

.4 .3 .2 .1

Dev from Normal

-.0 -.1 -.2 -.3 -6

-4

-2

Observed Value

0

2

4

6

8

10

Muestra la distribución de los datos por arriba y por debajo de la media representada por la línea recta. Si la distribución es normal debe presentarse una distribución simétrica de los datos con respecto a la línea recta. Esta gráfica comúnmente no se emplea.

INTERPRETACION DE LA HOJA DE RESULTADOS El valor del estadístico W es igual a .951 con una probabilidad asociada de . 707 (W=.951, p=.707). Aplicando la siguiente regla de decisión: Si pspss > α

Aceptamos H0.

Si pspss ≤ α

Rechazamos H0.

tenemos que .707 > .05, por lo que aceptamos H0. En conclusión podemos decir que la distribución de la muestra es normal. Si observamos también la gráfica Normal Q-Q podemos ver que los datos se distribuyen a lo largo de la línea recta y están muy cerca de ella, lo cual nos indica normalidad.