Fuerzas sobre superficies sumergidas La fuerza sobre una superficie sumergida se compone de: 1. La magnitud de la fuerza. 2. La dirección de la fuerza. 3. La línea de acción de la fuerza.
Sea la superficie de la figura, se desea determinar la fuerza sobre su superficie superior, si ésta está bajo la presión de un líquido mientras que por el otro lado no tiene presión aplicada. Cp: centro de presión Cg: centroide x , y : coordenadas del centroide de la placa x', y': coordenadas del centro de presión de la placa. y : coordenada del elemento diferencial de presión θ : ángulo de la placa con el eje vertical h: altura desde la superficie libre la elemento diferencial FR : fuerza resultante
Las fuerzas que actúan sobre superficies sumergidas son paralelas y su resultante se aplica sobre un punto llamado centro de presión. El Centro de presión está desp despla laza zado do,, resp respec ecto to al cent centro ro de masa masas s o Cent Centro roid ide e siem siempr pre e en sent sentid ido o descendente por ser la presión mayor a medida que descendemos. Para Para deter determin minar ar el punt punto o de aplica aplicació ción n de la fuerz fuerza, a, es necesa necesari rio o estab establec lecer er condición de equilibrio incluyendo suma nula de momentos.
Las Las fuerz fuerzas as hidro hidrostá státic ticas as que que actúa actúan n sobre sobre una una superf superfici icie e plan plana a forma forman n un volumen cuya base (cara izquierda) es la superficie y cuya altura es la presión. Para determinar la fuerza sobre una superficie curva se descompone la fuerza en sus compone componentes ntes vertical vertical y horizo horizontal ntal.. La compon componente ente horizo horizontal ntal es la fuerza fuerza hidrostática que actúa sobre la proyección vertical. La componente vertical es la fuerza hidrostática que actúa sobre la proyección horizontal más el peso del fluido contenido en el volumen. Cuand Cuando o la superf superfici icie e está está en contac contacto to con con vario varios s fluid fluidos os se trata trata de mane manera ra independiente la zona afectada por cada fluido. La diferencia básica en el cálculo de la fuerza que actúa sobre una superficie curva respecto de una plana radica en el hecho de ser dF perpendicular en todo momento a la superficie, entonces cada diferencial de fuerza tiene una dirección diferente. Para simplificar la operación de totalización solo debemos sumar los componentes de los vectores fuerza, referidos a un eje de coordenadas adecuado. Por lo tanto en este este caso caso debe debemo mos s apli aplica carr 3 vece veces, s, como como máxi máximo mo,, la ecua ecuaci ción ón para para la superficie.
MECANICA DE FLUIDOS
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS
Practica
INTRODUCCION
Un fluido es un estado de la materia materia en el que la forma de los cuerpos no es constante y es estático si todas y cada una de sus partículas se encuentran en reposo o tienen una velocidad constante con respecto a un punto de referencia inercial, de aquí que la estática de fluidos cuente con las herramientas para estudiarlos, con la certeza de que en este caso no tendremos esfuerzos cortantes y que manejaremos solo distribuciones escalares de presión, lo cual es el objetivo principal de esta práctica.
Esta Esta dist distri ribu buci ción ón de pres presio ione ness a lo larg largoo de tod todaa el área área fini finita ta pued puedee reemp reempla laza zars rsee convenientemente por una sola fuerza resultante, con ubicación en un punto específico de dicha área, el cual es otro punto que le corresponde cuantificar a la estática de fluidos.
OBJETIVOS GENERALES
Análisis práctico-teórico de las fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana sumergida en un fluido incompresible en reposo.
ESPECIFICOS
Análisis cualitativo de las fuerzas ejercidas por el fluido sobre la superficie superf icie plana sumergida. Determinación práctica de la fuerza de presion ejercida sobre la superficie y su ubicación. Determinación teórica de la fuerza de presion y la ubicación dentro de la superficie sumergida. Comparación de los datos teóricos y prácticos de la experiencia. Análisis del momento con respecto al eje de giro de una compuerta.
MARCO TEÓRICO
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS
Superficies Horizontales
Una superficie plana en una posición horizontal en un fluido en reposo está sujeta a una presion constante. La magnitud de la fuerza que actúa sobre la superficie es:
Fp = ∫ p dA = p ∫ dA = pA
Todas las fuerzas elementales pdA que actúan sobre A son paralelas y tienen el mismo sentido. sentido. Por consiguiente consiguiente,, la suma escalar de todos estos estos elementos elementos es la magnitud de la fuerza resultante.
Figura 1
Su dirección es perpendicular a la superficie y hacia esta si p es positiva. Para encontrar encontrar la línea de acción de la resultante, es decir, el punto en el área donde el momento de la fuerza distribuida alrededor de cualquier eje a través del punto es 0, se seleccionan arbitrariamente los ejes xy, tal como se muestra en la figura.1. Puesto que el momento de la resultante debe
ser igual al momento del sistema sistema de fuerzas distribui distribuidas das alrededor alrededor de cualquier eje, eje, por ejemplo el eje y ,
pAx’ = ∫ A xp dA
Donde x’ es la distancia desde el eje y hasta la resultante. Como p es constante,
x’= 1/A ∫ A A x dA =
xg
en la cual x g g es la distancia al centroide del área. Por consiguiente, para un área horizontal sujeta a una presión estática, la resultante pasa a través del centroide del área.
Superficies Planas Inclinadas
En la figura 2 se indica una superficie plana por la línea A’B’. Esta se encuentra inclinada un ángulo θ desde la horizontal. La intersección del plano del área y la superficie libre se se toma como el eje x. el eje y se toma como el plano del área, con el origen O, tal como se muestra en la superficie libre. El área inclinada arbitraria arbitraria esta en el plano xy . Lo que se busca busca es la magnitud, dirección y línea de acción de la fuerza resultante debida al líquido que actúa sobre un lado del área.
Figura 2
La magnitud de la fuerza δF que actúa sobre un electo con un área δA en forma de banda con espesor δy espesor δy con sus bordes largos horizontales es: δF = p δA = γh δA = γy sen θ δA
Debido a que todas estas fuerzas elementales son paralelas, la integral sobre el área es la magnitud de la fuerza F, que actúa sobre un lado del área.
F = ∫ A pdA = γ sen θ ∫ ydA = γ sen θ y A = γhA = pG A
con la relaciones tomadas de la figura ysen θ=h y p G =γh la presión en el centroide del área. En palabras, la magnitud de la fuerzas ejercida en uno de los lados del área plana sumergida en un líquido es el producto del área por la presion en su centroide. En esta forma se debe notar que la presencia de una superficie libre libre no es necesaria. Para determinar la presión en el centroide centroide cualquier cualquier medio se puede utilizar. utilizar. El sentido de la fuerza es empujar empujar el área si elementos de fuerzas son perpendiculares perpendiculares a la superficie, la pG es positiva. Como todos los elementos línea línea de acción acción de la result resultante ante tambié tambiénn es perpendic perpendicula ularr a la superfic superficie. ie. Cualqu Cualquier ier superficie puede rotarse alrededor de cualquier eje que pase por su centroide sin cambiar la magnitud de su resultante, si el área total permanece sumergida en el líquido estático.
Centro de Presión
La línea de acción de la fuerza resultante tiene su punto de aplicación sobre la superficie en ) apreciable también en un punto conocido como centro de presión, con coordenadas (x p , y p )
la figura. A diferencia de lo que ocurre con una superficie horizontal, el centro de presión presión de una superfic superficie ie inclinad inclinadaa no se enc encuen uentra tra en el centroide centroide.. Para Para enc encontr ontrar ar el cen centro tro de presión, se igualan los momentos de la resultante x pF y y pF al momento de las fuerzas distribuidas alrededor de los ejes x y y , respectivamente; por consiguiente,
xpF = ∫ A xp dA y ypF = ∫ A yp dA
El elemento de área de x pF debe ser δxδy. δxδy. Al resolver resolver las coordenadas coordenadas para para el centro de presión se obtiene:
xp = 1/F ∫ A A xp dA
y yp = 1/F ∫ A A yp dA
en muchas de las aplicaciones de estas ecuaciones pueden ser evaluadas en una forma más conveniente a través de una integración gráfica; para áreas simples, éstas pueden transformarse en ecuaciones generales así:
xp = 1/(γyg Asenθ) Asenθ) ∫ A A xγysenθ dA = 1/(yg A) A) ∫ A xy dA = Ixy/yg A A
obteniendo finalmente:
xp = Ixy g/yg A A + xg
aquí debemos aclarar para x p que:
xp > xg, entonces el centro de presión está a la izquierda del centro de gravedad. xp< xg, el centro de presión está a la derecha del centro de gravedad. xp = 0, el centro de presión esta justamente por debajo del centro de gravedad y el Ixy g =0 Cuando cualquiera de los ejes centroidales x=x g g y y=y g g se encuentra sobre un eje de simetría de la superficie, I xy g desaparece y el centro de presión se encuentra en x=x g g. Debido a que I xy g puede ser positivo o negativo, el centro de presión puede estar a cualquier lado de la línea x=x . Para calcular y p procedemos así:
yp = 1/(γyg Asenθ) Asenθ) ∫ A A yγysenθ dA = 1/(yg A) A) ∫ A y2 dA = Ix/yg A A
En el teorema de ejes paralelos para momentos de inercia
Ix = IG + yg2 A
en el cual I G es el segundo momento de área alrededor de su eje centroidal horizontal. Si I x se elimina de la ecuación, tenemos:
yp = IG /yg A A + yg o yp – yg = IG/yg A A
I G siempre es positivo, por consiguiente, y p – y g g siempre es positivo y el centro de presión siempre está por debajo del centroide de la superficie. Se debe enfatizar que y g g y y p – y g g son
distancias en el plano de la superficie.
El Prisma de Presión
Figura 3
Otro enfoque al problema de determinar la fuerza resultante y la línea de acción de la fuerza sobre una superficie plana está dado por el concepto de un prisma de presión. Este es un volumen prismático con su base conformada por el área superficial dada y con altitud sobre cualquier punto de la base dada por p=γh, h es la distancia vertical hasta la superficie libre como se observa en la figura 3. (Se puede utilizar una superficie libre libre imaginaria para definir h si no existe existe una superfic superficie ie libre real). real). En la figura, figura, γh puede dibujarse en cualquier escala conveniente conveniente de tal manera que su traza sea OM. La fuerza que actúa sobre un elemento de área diferencial δA es:
δF = γhδA = δV
el cual es un elemento elemento de volumen volumen del prisma prisma de presión. Después Después de integrar, integrar, F= V , el volumen del prima de presión es igual a la magnitud de la fuerza resultante que actúa en uno de los lados de la superficie. Y tememos que:
xp = 1/V ∫V x dV y
yp = 1/V ∫V y dV
Lo cual muestra que x p y y p son las distancias al centroide del prima de presion, por consiguiente, la línea de acción de la resultante pasa a través del centroide del prima de presió presión. n. Para Para alg alguna unass áreas áreas simples simples,, el prima prima de presión presión es más conven convenien iente te que la integración integración o que el uso de ecuaciones. ecuaciones. Por ejemplo ejemplo un área rectangular rectangular con uno de sus bordes en en la superficie superficie libre libre tiene un prisma prisma en forma de cuña. cuña. Su centoide centoide está a 1/3 de la altitud desde desde la base; por consiguiente, consiguiente, el centro centro de presión se encuentra encuentra a 1/3 de la altitud desde su borde más bajo.
Efectos de la Presión Atmosférica Sobre las Fuerzas en Áreas Planas
En la discusión sobre fuerzas de presión, la presión datum no se mencionó. mencionó. Las presiones se calcularon mediante p=γh en donde h es la distancia vertical por debajo de la superficie libre. libre. Por consigu consiguien iente te el dat datum um tomado tomado fue una presión presión manométri manométrica ca 0, o la presión presión atmosf atm osféri érica ca local. local. Cuando Cuando el lad ladoo apu apuest estoo de la sup superfi erficie cie se encuentra encuentra abierto abierto a la atmósfera, se ejerce una fuerza sobre ésta, causada por la atmósfera, igual al producto de la presión atmosférica p0 y al área p0 A, basado en el 0 absoluto como datum. En el lado líquido la fuerza es:
∫ (p0 + γh) dA = p0 A A + γ∫ h dA
El efecto de p0 A de la atmósfera actúa en forma igual a ambos lados y no contribuye a la fuerza resultante o a su localización.
Mientras se seleccione la misma presión datum para todos los lados de un cuerpo libre, la fuerza resultante y el momento pueden determinarse construyendo una superficie libre a presión 0 de este datum y utilizando los métodos anteriores. MATERIALES
Un banco hidrostático provisto de: una bomba de pie, un tanque presurizado, un recipiente rectangular transparente, con su aditamento giratorio para medición de fuerzas sobre superficies planas y un mesón de soporte en acero inoxidable. Juego de pesas, monedas, arandelas metálicas y en general todo lo que pueda ser colocado en el platillo de la balanza.
Cinta métrica, regla o escuadra.
Balanza.
Limpiones.
PROCEDIMIENTO
La recolección de los datos correspondientes a esta experiencia se dio de la siguiente manera:
1. Se midieron midieron las las dimensione dimensioness de la sección sección rectangul rectangular ar de la superfic superficie. ie. 2. Se midió midió la dista distanc ncia ia desde desde el punto punto C del del eje eje sobr sobree el cual cual se reali realiza zará rá momento momento hasta el extremo donde se colocan los pesos para equilibrar el sistema. 3. Se sumi sumini nistr stróó agua agua al sist sistem emaa exac exacta tame mente nte hasta hasta el borde borde supe superi rior or de la secció secciónn transversal rectangular del elemento sumergido.
4. Se equilibró equilibró la superfici superficiee colocando colocando pesos pesos en uno de los los extremos extremos del eje eje al cual cual está conectado el elemento. 5. Se Tomó Tomó la lectura lectura de la altura altura que alcanz alcanzóó el agua dentro dentro del recipi recipiente ente rectangula rectangular. r. 6. Se Llevaro Llevaronn todos los pesos pesos coloca colocados dos para para equilibr equilibrar ar el elemento elemento a la bal balanz anzaa y se registró su masa. 7. Se repitieron repitieron los pasos pasos anteriores anteriores para para diferentes diferentes alturas alturas del nivel nivel del agua agua dentro del del recipiente y se registraron cada cada uno de estos estos datos. datos. 8. Se Calculó Calculó la fuerza fuerza de presió presiónn por el método método del prisma prisma de de presiones. presiones. 9. Se Comprobó Comprobó matemátic matemáticame amente nte,, utiliza utilizando ndo los datos recolecta recolectados dos,, que el sistem sistemaa estaba en equilibrio. 10. Se Calculó Calculó teóricamente teóricamente el peso W necesario necesario para tal equilibrio, equilibrio, en cada caso, y se hizo una tabla comparativa entre estos datos y los prácticos.
MONTAJE
DATOS
Dimensiones del Área transversal
b = 10cm 10cm = 0.1m h = 7.8cm = 0.078m
Área de la sección transversal
A = 0.1m * 0.078m = 7.8 *10-3
Altura del recipiente
H = 25.5cm = 0.255m
Distancia del punto O hasta donde se aplica el peso
K = 31.5cm = 0.315m
Los demás datos se encuentran en las figuras correspondientes a cada paso del procedimiento experimenta CÁLCULOS
1
Experimentalmente, equilibramos la fuerza P ejercida por el agua poniendo una masa, que corresponde a un peso W; como se muestra.
Teoricamente lo demostramos utilizando el método de prisma de presiones para areas rectangulares. (el prisma está descrito en la figura). La base de esta prueba consiste en que al aplicar la sumatoria de momento usando los valores de W obtenidos experimentalmente, el resultado debe dar aproximadamente cero* cero*.
2
Experimentalmente, equilibramos la fuerza P ejercida por el agua poniendo una masa, que corresponde a un peso W; como se muestra.
Teoricamente lo demostramos utilizando el método de prisma de presiones para areas rectangulares. (el prisma está descrito en la figura). La base de esta prueba consiste en que al aplicar la sumatoria de momento usando los valores de W obtenidos experimentalmente, el resultado debe dar aproximadamente cero* cero*.
3
Experimentalmente, equilibramos la fuerza P ejercida por el agua poniendo una masa, que corresponde a un peso W; como se muestra.
Teoricamente lo demostramos utilizando el método de prisma de presiones para areas rectangulares. (el prisma está descrito en la figura). La base de esta prueba consiste en que al aplicar la sumatoria de momento usando los valores de W obtenidos experimentalmente, el resultado debe dar aproximadamente cero* cero*.
ANALISIS DE RESULTADOS Y OBSERVACIONES OBSERVACIONES
(*) A causa de errores milimétricos en los que se incurre al efectuar mediciones y practicas de este tipo, o a la supresión de algunos decimales en el momento de realizar los cálculos, el resultado se aproxima, Pero en realidad es muy difícil que sea exactamente cero.
Tabla Comparativa
CASO
W. EXPERIMENTAL(N)
W. TEO TEORICO(N)
1
2. 5
2 .2 6
2
4. 02
3 .7 1
3
4. 82
4 .5 4
Los resultados de los análisis matemáticos y teóricos, arrojaron datos muy cercanos a los obtenidos de manera práctica, lo que nos indica que en realidad los métodos de cálculo fueron realmente acertados.
Aunque el equipo de laboratorio no esta perfectamente calibrado, pudimos realizar un experimento satisfactorio.
Una leve corriente de aire impidió por momentos que el sistema estuviera realmente estático. Lo mismo ocasiono el movimiento natural del fluido al ser introducido en el recipiente.
El ele elemen mento to equ equili ilibra brante, nte, nun nunca ca est estuvo uvo en una pos posici ición ón totalm totalment entee horizo horizontal ntal,, pero pero su inclinación era en realidad tan insignificante, que decidimos despreciarla CONCLUSION
Así como en otras experiencias, pudimos darnos cuenta, que, aunque muy cercanos, los valores arrojados por la teoría y la practica, no son exactamente iguales; debemos presumir que dicho margen de error se debe a la mala calibración de los instrumentos, al error humano que se introduce en cualquier tipo de medición, a factores ambientales como corrientes de aire y al apremio, que no nos permitió esperar a que el fluido estuviera total totalme mente nte en repos reposo. o. De todo todoss mo modo doss fue mu muyy grati gratififica cant ntee comp compro roba barr me medi dian ante te la experiencia, que los métodos matemáticos que hemos estado estudiando son en realidad útiles y fáciles de aplicar.
La observación de la utilidad práctica de los estudios de física y matemáticas lleva a que el estudiante sienta un mayor interés por la materia. Acá comprendimos la importancia de conocer como se puede utilizar el método matemático a la hora de resolver un problema cotidiano de cualquier ingeniero de nuestra rama o de una rama afín.
BIBLIOGRAFIA
Victor L. Streeter; Mecánica de Fluidos Novena edición. Editorial Mc Graw Hill
Irving H. Shames; Mecánica de los Fluidos. Editorial Mc Graw Hill.
Sotelo, Gilberto ; Hidraulica general. Ed. Limusa Noriega Editores.
http://www.loner.ccsr.uiuc.edu/
Fuentes suministradas por el docente y monitor de laboratorio.
Ejercicio Un tanque de aceite tiene un panel triangular derecho cerca de la parte inferior, al igual que en la figura. E2.6. omitiendo P a, encontrar la (a) fuerza hidrostática hidrostática y (b) CP en el panel.
a) El triángulo triángulo tiene tiene propiedad propiedades es dadas en la figura figura el centroide centroide es un tercio tercio hacia arriba (4 m) y más de un tercio (2 m) desde la esquina izquierda inferior, como se muestra. El área es:
½(6m)(12m) = 36m 2
Los momentos de inercia son
La profundidad del centroide es hCG = 5 + 4 = 9 m; entonces la fuerza hidrostática es
F = pghCGA = (800 kg/m 3)(9.807 m/s2)(9 m)(36 m2)
2.54 x 106 (kg ∙m)/s2 = 2.54 x 106 N = 2.54 MN
La posición CP está dada por
La fuerza resultante F = 2.54 MN actúa a través de este punto, hacia abajo y a la derecha del centroide de la figura.
