Es t et r abaj o es t á di r i gi do a l os es t udi ant es uni v er s i t ar i os que desean ampl i aryafinar s us
c onoc i mi ent os
par a
r e al i z a r u n b ue n a ná l i s i s s obr e
l as
f uer z as
hi dr os t át i c asenl osdi f er ent es c ampos
en
es t e
c as o
s u pe r fi c i e sp l a na s ,c o n l o s
(n. civil
!áina -
IN&RO'UCCI(N *a estática de 5uidos estudia los ases + los l"quidos en equilibrio o re6oso. A di)erencia de los l"quidos3 los ases tienen la cualidad de co&6ri&irse3 6or lo tanto el estudio de a&bos 5uidos 6resentan alunas caracter"sticas di)erentes7 el estudio de los 5uidos l"quidos se lla&a hidrostática + el estudio de los ases se lla&a aerostática. !or tener un &ovi&iento uni)or&e en sus 6lanos ad+acentes la estática de 5uidos no tiene &ovi&iento relativo u otras )uerzas que traten de de)or&arlo. El es)uerzo nor&al es la )uerza que actúa de )or&a 6er6endicular al cuer6o. *a estática de 5uidos se utiliza 6ara calcular las )uerzas que actúan sobre cuer6os 5otantes o su&eridos. Es utilizada co&o 6rinci6io de construcci8n de &uchas obras de inenier"a3 co&o 6resas3 túneles sub&arinos3 entre otros.
(n. civil
!áina 0
OB)E&I*OS
•
•
•
•
•
A9anzar nuestros conoci&ientos acerca de las co&6onentes de la )uerza hidrostática de una su6er9cie 6lana en eneral.
Encontrar la )uerza ejercida 6or cualquier 5uido estático que actúe sobre un área 6lana horizontal.
De9nir el tér&ino centro de 6resi8n.
(ncluir el e)ecto de una cara de 6resi8n sobre el l"quido3 en la )uerza sobre una su6er9cie 6lana.
A6licar la teor"a en los ejercicios de a6licaci8n.
(n. civil
!áina :
ES&+&ICA 'E LOS FLUI'OS *a estática de los 5uidos estudia las condiciones de equilibrio de los 5uidos en re6oso3 + cuando se trata s8lo de l"quidos3 se deno&ina hidrostática. Desde el 6unto de vista de inenier"a civil es &ás i&6ortante el estudio de los l"quidos en re6oso que de los ases3 6or lo cual aqu" se hará &a+or hinca6ié en los l"quidos +3 en 6articular3 en el aua.
Ecuaci,n Funda%enal de la -idr"sica Con esta ecuaci8n 6ode&os resolver el caso eneral3 es decir el re6oso absoluto + el re6oso relativo3 tanto 6ara 5uidos l"quidos + ases. Considere&os un ele&ento di)erencial ortoédrico de di&ensiones d;3 d+ + dz3 el cual lo he&os se6arado de un &edio continuo de 5uido en re6oso3 co&o se &uestra en la 9ura siuiente3 en donde se hallará las )uerzas que 6roducen en los di)erentes ejes la 6resi8n + la aceleraci8n de las 6art"culas 5uidas<
(n. civil
!áina =
$ea >6? la 6resi8n que actúa sobre cada una de las caras del triedro &ás 6r8;i&o al orien de coordenadas. $obre las caras del triedro o6uesto las 6resiones serán res6ectiva&ente< p +
∂p ∂p dx p + dy ∂x ∂y
p +
∂p dz ∂z
%abiéndose des6reciado in9nitési&as de orden su6erior al 6ri&ero. $ea ' @ *a ,esultante de las )uerzas e;teriores o 'uerza 2otal e;terna3 6or unidad de &asa3 que su6one&os a6licada en el centro de ravedad de la &asa >d&? del ele&ento di)erencial ortoédrico de volu&en d ∀ =dxdydz (n. civil
!áina
Es decir<
F =a x + a y + a z
F/ 'uerza 6or unidad de &asa debida a la inercia que se oriina 6or la aceleraci8n e;terna al 5uido7 es una )uerza &ásica.
a x , a y , a z
3 son sus co&6onentes. 2a&bién se le
deno&ina aceleraci8n e;terna [ a ] ⃗
Co&o el ele&ento di)erencial de 5uido se encuentra en equilibrio3 se veri9ca3 en cada eje coordenado<
∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ∑ F z=0 C"ndici,n de e0uili1ri" en el e2e “3”!
p.dxdz − ( p +
∂ p dy).dxdz + a y . ρ .dxdydz = φ ∂ y
$i&6li9cando<
∂ p = ρ .a y ∂ y
De iual &anera realizando el equilibrio en los ejes >;? + >z?3 resulta<
∂ p = ρ .a x ∂ x ∂ p = ρ .a z ∂ z
D8nde<
∂ p .i = ρ .a .i x ∂ x
3
∂ p . j = ρ .a . j y ∂ y
+
∂ p k = ρ .a .k z ∂ z
456
*as e;6resiones 4563 son conocidas co&o las Ecuaci"nes esicas de Euler. (n. civil
!áina 4
$u&ando &ie&bro a &ie&bro las Ecuaciones estáticas de Euler3 tendre&os< ⃗ ⃗ ⃗ ∂p ⃗ ∂p ⃗ ∂p ⃗ i+ j + k = ρX i + ρY j + ρZk ∂x ∂y ∂z
El 6ri&er &ie&bro de la ecuaci8n corres6onde al desarrollo de
∇p
<
∇p = ρ( X i + Y j + Zk )
Ade&ás ree&6lazando 4763 en la e;6resi8n anterior3 resulta< ∇p = ρF
486
*a e;6resi8n 4863 es conocida co&o la Ecuaci,n Funda%enal *ec"rial de la -idr"sica3 " Ecuaci,n de Euler3 a6licable tanto 6ara 5uidos en re6oso absoluto o relativo. dr
!ro+ectando la e;6resi8n 4863 seún la direcci8n > ?< Donde<
dr = dxi
+ dy j + dz k
∇p • dr = ρF • dr
El desarrollo de la e;6resi8n anterior resulta< ∂p ∂p ∂p dx + dy + dz = ρXdx + ρYdy + ρZdz ∂x ∂y ∂z
El desarrollo del 6ri&er &ie&bro de la ecuaci8n corres6onde a >d6?3 lueo esta 6uede ser escrita3 co&o< dp = ρ( Xdx + Ydy + Zdz)
(n. civil
496 !áina
*a e;6resi8n 4963 es conocida co&o la Ecuaci,n Funda%enal Analíica de la -idr"sica3 " Ecuaci,n de Euler3 a6licable tanto 6ara 5uidos en re6oso absoluto o relativo.
*ariaci,n de la Presi,n de un Fluid" Lí0uid" S"%eid" a su Pes" Pr":i"
A6licando la ecuaci8n )unda&ental anal"tica de la hidrostática 496 Donde< X=φ
Y=φ
+
Z = −g
,ee&6lazando en la Ecuaci8n 4963 tendre&os< dp = −ρgdz = − γ dz
dp =
dp
γ
−γ dz
= −dz
dp
γ
+ dz = φ
(n. civil
!áina
En el caso de los l"quidos3 @ Cte7 lueo tendre&os< 1
γ ∫
∫
dp + dz = φ
(nterando 6ara los 6untos ! / + !- en el interior + en la su6er9cie libre3 res6ectiva&ente del 5uido en re6oso< 1
φ
γ ∫p
dp +
z2
∫ dz = φ z1
1
− p + (z 2 − z1 ) = φ γ z2
− z1 = h
$abiendo que< e;6resi8n anterior<
p γ
=h
8
+ ree&6lazando + aco&odando la
p = hγ
4;6
*a e;6resi8n 4;6< es conocida co&o la Ecuaci,n Funda%enal de la Esica de l"s Fluid"s Lí0uid"s " Inc"%:resi1les en Re:"s" A1s"lu" 6ara el caso de 6resiones relativas.
FUERZA -I'ROS&+&ICA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA CONCEP&O =ENERAL *a acci8n de una )uerza ejercida sobre una su6er9cie 6lana3 da co&o resultado una 6resi8n3 que en el caso de un l"quido3 deter&ina la e;istencia de nu&erosas )uerzas (n. civil
!áina /
distribuidas nor&al&ente sobre la su6er9cie que se encuentra en contacto con el l"quido. $in e&baro desde el 6unto de vista de análisis estático3 es conveniente ree&6lazar estas )uerzas3 6or una )uerza resultante única equivalente.
a 'uerzas sobre su6er9cies 6lanas horizontales< En todos los 6untos de la su6er9cie 6lana la 6resi8n es la &is&a e iual a γ . h . Manitud<
F =∫ p . dA = p ∫ dA = pA
Direcci8n< ' es 6er6endicular a la su6er9cie 6lana. (n. civil
!áina //
$entido< ' está diriido hacia la su6er9cie 6lana. !unto de a6licaci8n< El 6unto >C? lla&ado centro de 6resiones. Considérese que la su6er9cie horizontal está contenida en el 6lano FG. Co&o ' es resultante de un conjunto de )uerzas 6aralelas se veri9ca que >el &o&ento de la resultante es iual a la su&a de los &o&entos de las co&6onentes.?
(n. civil
!áina /-
❑
F . x ' =∫ p .dA . X A
p . A . x ' = p∫ d A . X A
x ' =
1
A
❑
∫ dA . X A
Y ' =
Análoa&ente<
1
❑
∫ dA.Y
A A
Es decir3 el centro de 6resiones coincide con el centroide del área de la su6er9cie 6lana horizontal.
a 'uerzas sobre su6er9cies 6lanas inclinadas< Considere&os el caso eneral en que el 6lano donde se encuentra la su6er9cie 6lana su&erida >A? )or&e un ánulo >H? con el 6lano 6iezo&étrico.
a6 'eer%inaci,n de la Fuer>a 4F6 *a )uerza ele&ental d' debida a la 6resi8n sobre el ele&ento dA es< dF = p.dA
(n. civil
7 !ero
p
= γ h !áina /0
dF = γ hdA
*ueo<
7 Ade&ás<
h = ysenα
dF = γ ysenα dA.................(1)
∫
F = dF
$iendo 6aralelas todas las )uerzas d' I+a que son nor&ales a cada dA3 la )uerza resultante '3 debida a la 6resi8n será< 3 sustitu+endo I/ ⇒ F = ∫ γ ysenα dA
∫
F = γ senα ydA...............( 2)
∫ ydA = Y A G
!or de9nici8n de centro de ravedad< I0. Donde< Y G
∫ ydA =
..
&o&ento del área con res6ecto al eje F
=
A =
Krdenada del centro de ravedad Lrea total de la su6er9cie 6lana su&erida
I0 en I-<
F = γ senα Y G A
. I:7 6ero
Y G senα = hG
⇒ F = γ hG A................(α )
Es decir< >La ?uer>a @idr"sica s"1re una su:ercie :lana su%ergida< es igual a la :resi,n relaiva al cenr" de gravedad< %uli:licada :"r el rea?. b Deter&inaci8n del Centro de !resiones (n. civil
!áina /:
*a l"nea de acci8n de la )uerza resultante >'? corta a la su6er9cie en un 6unto que se lla&a centro de 6resiones3 que no coincide en eneral con el centro de ravedad Is8lo en las su6er9cies horizontales coinciden3 6orque G@G6 !ara deter&inar las coordenadas del centro de 6resiones IF63 G67 se utiliza el teore&a de los &o&entos I2eore&a de arinon< >El &o&ento de la resultante es iual a la su&a de los &o&entos de las co&6onentes?
B.6 C+LCULO 'E P A6licando el teore&a de los &o&entos res6ecto al eje >F?3 se tiene< = ∫ dF ∗ y
MR
M R
=
7
!ero
MR
= F ∗ yp
. Donde<
Mo&ento de la resultante
∫ dF ∗ y =
Mo&ento de las co&6onentes
⇒ F ∗ y p = ∫ y ∗ dF.......... ......( 5)
De I/
dF = γ ysenα dA
∫
γ senα yG Ay p = γ senα y 2 dA
(γ senα yG A) y p
I/ + I: en I=<
ysenα dA) = ∫ y (γ
y dA ∫ = 2
Y p
y G A
∫ y dA = I 2
x
=
Donde< &o&ento de inercia de la su6er9cie >A?3 res6ecto al eje >;?. (n. civil
!áina /=
⇒
Y p
En I<
=
I x y G . A
.......... .......... .(7)
!ero es &u+ usual trabajar con los &o&entos de inercia res6ecto a los ejes centroidales3 6aralelos a los ejes >;? e >+?. !ara ello a6lica&os el teore&a de $teiner<
Res:ec" al e2e I x
x
!
= I x + AY G2 .....................(8)
I en I4< Y p
=
+ AY G2
I x
Y G A
I x
Y p
=
Y p
=
Y p
= Y G +
Y G A
I x Y G A
+
AY G2 Y G A
+ Y G
I x Y G A
I x
......( β )
Donde<
Y G A
>0
Es decir! El centro de 6resiones está debajo del centro de ravedad3 e;ce6to en las su6er9cies horizontales que coinciden (Y p
= Y G )
B.D6 C+LCULO 'E
X P
Ahora a6lica&os el teore&a de los &o&entos res6ecto al eje G< (n. civil
!áina /
MR
= ∫ dF ∗ x
7 !ero
MR
= F ∗ Xp
⇒ F ∗ Xp = ∫ x ∗ dF (9)
I/ + I: en I< (γ senα Y G A) X p
X p
=
= ∫ x(γ ysenα dA)
∫ xydA (10) Y G A
∫ xydA = I
xy
Donde<
!roducto de inercia de la su6er9cie >A?3 res6ecto a los ejes >;? e >+?. ⇒
X p
en I/<
=
I xy Y G A
(11)
.
A6licando $teiner res6ecto a los ejes centroidales tiene< I xy
= I xy + X G Y G A (12)
X p
I/- en I//< X p
=
X p
=
I xy Y G A
I xy Y G A
(n. civil
+
=
I xy + X G Y G A Y G A
X G Y G A Y G A
+ X G
!áina /4
x
e
y
3 se
X p
I xy
= X G +
Y G A
(γ )
I xy
El valor 6uede ser 6ositivo o neativo de &odo que el >C6? 6uede encontrarse a uno u otro lado de de #. Basta que la su6er9cie 6lana inclinada tena un eje de si&etr"a 6ara que X p
I xy
= φ
3 en cu+o caso<
= X G
Co&entario< !or lo eneral las situaciones de interés se relacionan con su6er9cies 6lanas que tienen uno o dos ejes de si&etr"a3 de &odo que s8lo se trata de deter&inar el valor de >G6?.
(n. civil
!áina /
C"%:"nenes de la Fuer>a -idr"sica de una Su:ercie Plana Inclinada!
Fh
= Fsenα
Fh
= γ h GSsenα
F H
=
pG S v Fh
= γ hGS v
F!
= F cs α
F!
= γ hGS cs α
F!
= γ hGSh
F!
= p GSh
$iendo< F!
= γ ∀
F!
= γ hGSh
*ueo<
>!ara calcular las co&6onentes de la resultante total de las 6resiones3 sobre una su6er9cie inclinada3 se to&an su6er9cies i&ainarias3 que resultan de las 6ro+ecciones de (n. civil
!áina /
dicha su6er9cie sobre 6lanos 6er6endiculares a dichas co&6onentes?.
