FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS
INTRODUCCIÓN En los temas anteriores se explicó acerca de la presión dentro de un fluido en reposo, dicha presión da como resultado la existencia de fuerzas distribuidas sobre cualquier superficie finita que se encuentre en contacto con el fluido. Dentro del análisis estático se requiere considerar las reacciones externas a las fuerzas de presión. A lo largo del trabajo se determinará la magnitud de la fuerza resultante junto con su línea de acción. Así como también la aplicación dentro de la ingeniería.
OBJETIVOS -
Objetivo General
Analizar cómo actúan la presión y fuerza sobre una superficie plana
-
Objetivos Específicos
1. Determinar las variaciones del centro de presión con respecto a la profundidad 2. Determinar la localización de fuerzas, y aplicar los cálculos adecuados para superficies planas verticales, horizontales e inclinadas 3. Analizar cómo actúa la fuerza de presión en una compuerta de agua
CONTENIDO CONCEPTO GENERAL Las fuerzas hidrostáticas sobre superficies planas están relacionadas con el efecto del peso del fluido sobre las superficies que lo contienen. Por ejemplo, un depósito con una base plana y horizontal de área Ab que contenga una altura H de agua soportará una fuerza vertical hacia abajo en la base, la cual queda expresada por:
La presión sobre cualquier superficie sumergida varía linealmente con la profundidad, en nuestro caso que nos referimos a superficie plana, este se relaciona a un problema de flexión y compresión combinadas en resistencia de materiales, ya que en ambos se presenta una distribución lineal de esfuerzos; desde el punto de vista de la hidrostática se utilizaran fórmulas que incluyen al centro de gravedad y momentos de inercia de la sección plana.
Fig,1 superficies planas sumergidas
A las superficies planas para el análisis se las ha dividido de la siguiente manera: -
Superficie plana horizontal Superficie plana vertical Superficie plana inclinada
SUPERFICIE PLANA HORIZONTAL Una superficie plana en posición horizontal dentro de un fluido en reposo, se encuentra sujeta a una presión constante. La magnitud de la fuerza que actúa sobre una sola cara de la superficie es igual a: F= P A
Fuerza sobre la superficie plana horizontal Se considera a continuación el estanque de fig. 1, el que contiene un líquido de densidad
Fig.2 Fuerza sobre la superficie plana horizontal.
Determinemos la fuerza de presión del líquido sobre el fondo. La fuerza de presión está dada por Trabajando con presiones relativas:
De este modo, la fuerza de presión es
Pero
Pero
corresponde al volumen del líquido sobre la superficie, V, o sea tenemos
es la masa del líquido sobre la superficie, m, quedando la fuerza:
Resultando que la fuerza de presión sobre una superficie horizontal es igual al peso del fluido sobre ella.
En términos de presiones absolutas, la fuerza vertical es igual al peso del líquido sobre la superficie libre más la fuerza que ejerce la presión atmosférica en la superficie, matemáticamente queda expresado así:
Fabs = (P + Patm)ab
Fuerza bajo la superficie plana horizontal
Fig.3 Fuerza bajo la superficie plana horizontal.
Se considera el caso en que el líquido está debajo de la superficie. Calculemos la fuerza de presión del líquido sobre la superficie 1. Trabajemos con presiones relativas. La superficie se encuentra a una profundidad h1 de la superficie libre del líquido. La presión del líquido a una profundidad h1 es:
Y el área de la superficie en la que actúa esta presión es:
De este modo, la fuerza de presión es:
Pero Vsobre:
corresponde al volumen sobre la superficie que estamos calculando la fuerza,
Fig.4 Presión sobre la superficie plana horizontal. O sea, la fuerza de presión corresponde al peso del volumen de líquido que estaría entre la superficie en la cual estamos calculando la fuerza hasta el nivel de la superficie libre.
SUPERFICIE PLANA VERTICAL
Fig.5 Fuerza sobre la superficie plana vertical.
En esta figura se muestra la distribución de la presión sobre una superficie vertical. Como se indica en la ecuación:
La presión varía en forma lineal con la profundidad del fluido. Las longitudes de las flechas punteadas representan la magnitud de la presión del fluido en puntos diferentes sobre la superficie. Debido a que la presión varía en forma lineal, la fuerza resultante lineal se calcula por medio de la ecuación:
Pero la presión promedio es la que se ejerce en la mitad del muro, entonces: ⁄
⁄
La distribución de la presión sobre la parte inferior de la superficie es mayor que la fuerza sobre la parte superior. El centro de presión está en el centroide del triángulo de distribución de la presión, a un tercio de la distancia desde el fondo de la pared. En este punto la fuerza resultante actúa en forma perpendicular a la pared.
Procedimiento para calcular la fuerza sobre una superficie plana vertical 1. Calcular la magnitud de la fuerza resultante
, por medio de la ecuación:
⁄ 2. Localice el centro de presión a la distancia vertical de h/3, a partir del fondo de la pared. 3. Muestre la fuerza resultante que actúa en el centro de presión, en forma perpendicular a la pared.
SUPERFICIE PLANA INCLINADA
Fig.6 Fuerzas sobre superficie plana inclinada
En cualquier área pequeña dA existe una fuerza dF que actúa en forma perpendicular al área, debido a la presión P del fluido. Pero la magnitud de la presión a cualquier profundidad h en un líquido estático de peso específico es:
Entonces, la fuerza es:
Debido a que el área esta inclinada un ángulo , es conveniente trabajar en su plano, la posición sobre el área a cualquier profundidad h, es:
Donde “y” se mide a partir del nivel de la superficie libre del fluido, a lo largo del ángulo de inclinación del área.
La suma de la fuerza en toda la superficie se obtiene por medio de: ∫
∫
∫
Por mecánica sabemos que ∫
Es igual al producto del área total por la distancia al centroide del área desde el eje de referencia. Es decir: ∫
La Fuerza resultante
Al hacer la sustitución
es:
encontramos que:
Expresado en palabras, la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre una cara de una superficie sumergida en un líquido en reposo es igual al producto del área por la presión en su centroide.
CENTRO DE PRESIÓN: Es el punto sobre el área donde actúa la fuerza resultante, tiene el mismo efecto que una fuerza distribuida en toda el área debido a la presión del fluido.
Fig.7 Centro de presión
Para su deducción se empieza definiendo que, el momento de cada fuerza pequeña dF con respecto a su eje es
Pero
[
]
Integrando obtenemos ∫
∫ ∫
El momento de inercia de toda área con respecto al eje desde el que se mide se define por ∫
Despejando
Sabemos que
Entonces
Por el teorema de transferencia de momento, tenemos:
La ecuación final de centro de presión resulta ser:
Donde:
El centro de presión siempre estará por debajo del centroide
APLICACIÓN COMPUERTAS DE AGUA
Fig.8 Compuertas de agua COMPUERTAS DE AGUA, se utilizan para controlar el nivel del agua en estanques y canales aguas arriba de la compuerta. El principio de funcionamiento: La compuerta está fijada a un brazo oscilante, equilibrado por uno o más contrapesos. Solidariamente unido a la compuerta tipo sector se encuentra un fluctuador sumergido en el agua aguas arriba de la compuerta. Si el nivel aguas arriba se eleva el fluctuador elevará la compuerta incrementando la abertura por la cual fluye el agua, y por lo tanto dejando salir mayor cantidad de agua, el nivel aguas arriba tenderá a disminuir. Si el nivel agua arriba de la compuerta se reduce, la compuerta siguiendo el fluctuador se baja y disminuye el caudal de salida.
EJERCICIO DE APLICACIÓN Una de las aplicaciones más comunes de la fuerza de presión que actúa sobre superficies planas son las compuertas de agua, además en las presas, estructuras de contención, etc.
La compuerta de la figura tiene 5ft de ancho, está articulada en el punto B y descansa sobre una pared lisa en el punto A. Calcular: a) La fuerza sobre la compuerta debida a la presión del agua b) La fuerza horizontal P que se ejerce sobre la pared en A
Solución: Para a)
√
Su centro de gravedad está ubicada en la mitad de AB, es decir a 3ft de B La profundidad entonces es
Para este caso se despreciara la presión atmosférica, porque actúa en ambas caras
(
)
Para b) Hallemos el centro de presión
417 Para hallar la distancia del centroide al centro de presión utilizaremos la siguiente fórmula:
Es decir la distancia del centroide al centro de presión
(
)
A continuación se halla P ∑
CONCLUSIONES Es importante, para el diseño de presas, tanques y obras de descarga, como compuertas. Para superficies horizontales, la determinación de la presión, es sencilla porque la presión es constante. Para determinar la fuerza de presión sobre las superficies inclinadas o verticales han de aplicarse los conceptos de cálculo integral. La fuerza resultante para una superficie plana horizontal se determina por:
Resultando entonces, que la fuerza de presión sobre una superficie horizontal es igual al peso del fluido sobre ella.
Para superficies planas verticales e inclinadas, se determina por: Teniendo en cuenta que dentro de la deducción se usa:
La fuerza resultante debido a la presión del fluido actúa en el centro de presión sobre un área vertical o inclinada.
RECOMENDACIONES Para encontrar la fuerza resultante que actúa sobre la superficie plana, se debe inicialmente encontrar el centro de presión del área de interés, dado que en este punto actúa esta fuerza. Tener presente que el centro de presión siempre estará bajo el centroide. Identificar la forma de la superficie donde actúa la fuerza para así utilizar el procedimiento acorde a la misma. Tomar en cuenta que la presión atmosférica en ciertos casos actúa sobre ambas partes de la superficie, por lo que la misma se anula, pero en otros casos esta presión si se considera. BIBLIOGRAFÍA -
STREETER, V. Mecánica de fluidos, México – Editorial Mc Graw Hill, 6ta Ed. 1975, pág. 56 – 60 SOTELO, G. Hidráulica general volumen 1, Fundamentos, México – Editorial Limusa S.A. 5ta Ed. 1981, pág. 45 – 49 MOTT, R. Mecánica de fluidos aplicada. México – Editorial Prentice Hall Hispanoamericana S. A., 1996, pág. 86 – 96 SHAMES, I. La mecánica de los fluidos, España – Ediciones del Castillo, 1967, pág. 61 67
LINKOGRAFIA -
http://www.ucm.es/info/fisatom/docencia/hidraulica/dt/temas/Capitulo%2006.pdf http://s3.amazonaws.com/lcp/ingantoniofuentes/myfiles/GE-UNIDAD-II-2.pdf http://es.scribd.com/doc/4698951/Fuerzas-sobre-supreficies https://www.ucursos.cl/ingenieria/2009/2/CI3101/1/material_docente/bajar?id_material=245946
