Análisis elemental de estructuras. Enfoque práctico. Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto
119
PLASTICIDAD Problema nº 53
Dada una viga apoyada-apoyada con carga uniformemente repartida de sección rectangular (b=20cm, h=50cm) y σy=260 MPa, hallar: - El valor de la carga q que provoca el máximo momento flector elástico. - El valor de la carga q que provoca el máximo momento flector plástico. - El factor de forma de la sección. 20cm
q m c 0 5
5m
Solución.
Momento flector máximo → M =
q L2 8
=
25 q 8
a) Valor de la carga q que provoca el máximo momento flector elástico. Módulo resistente elástico de una sección rectangular → W = q L2 σ y
=
M W
=
8 bh
2
=
3 q L2 4bh
2
⇒q=
4 σ y b h 2 2
b h2 6
.
= 693 ,33
3 L
kN m
6
b) Valor de la carga q que provoca el máximo momento momento flector plástico. Módulo resistente plástico de una sección rectangular → Z = q L2 σ y
=
M Z
=
8 b h2
2
=
q L
2b h2
⇒q=
2 σ y b h L2
4
c) Factor de forma de la sección. f =
M p M f
=
Z W
= 1 ,5
bh 4
2
.
2
= 1040
kN m
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120
Problema nº 54
Dada una sección rectangular de ancho b y canto h, y tensión de fluencia σy, determinar el momento flector que produce el estado tensional que se indica en la figura, que corresponde a la sección parcialmente plastificada.
σy
h/4
h
M h/4
σy
b
Solución.
a) Fuerzas que actúan en las zonas 1 a 4.
=
C 2
C 1
=
T 1
T 2
=
1 h
h
=
2 4
4
b σ y
b σ y
=
bh 8
σ y
b) Momento que generan estas fuerzas. M = C 1 d 1 + C 2 d 2
= σ y
bh 3 h 4
4
+ σ y C1
d
1
4/ h 3
d
2
C2
3 / h
T1 T2
bh h 8 3
1 2 3 4
=
11 48
bh
2
σ y
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121
Problema nº 55
Una sección de tipo caja doblemente simétrica con altura h=0,5m., ancho b=0,3m. y espesor de pared constante t=25mm. La viga se construye de acero con una tensión de fluencia σy=230 MPa. Calcular el momento plástico M p, el módulo plástico Z y el factor de forma f. b t
z
l.n.e.
h
y Solución a) Hallemos los términos de la sección
Hallemos el momento de inercia respecto al eje z:
=
I z 1
I z =
12
300 * 500
3
−
1 12 1
12
b h3 −
1 12
( b − 2t )( h − 2t )3
=
( 300 − 2 * 25 )( 500 − 2 * 25 )
3
= 1226562500 mm4
Hallemos el módulo resistente respecto al eje z: W z
=
2 I z h
=
2 * 1226562500 500
= 4906250 mm 3
b) Posición de la línea neutra plástica
Dada la simetría de la figura es evidente que la línea neutra elástica coincide con la línea neutra plástica al ser el eje z la línea que divide a la figura en 2 partes de áreas iguales. c) Módulo plástico Z h 2( y 1
=
h 2
− t )t 2
− t 2 Am
h
t
2
2
+ b t ( −
)
t (
=
h 2
− t ) 2 +
bt ( h − t ) 2
Am
) , siendo Am
=
A 2
2
⎛ h ⎞ − t ⎟ + bt ( h − t ) 2 ⎠ ⎝ = 2t ⎜
y 1 + y 2
Z =
A 2
( y 1
= 2 y1
Am
h
+ y 2 ) = Am ( y 1 + y 2 ) = 2 t ( − t ) 2 + bt ( h − t ) = 6093750 mm 3 = 2
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122
d) Momento plástico
M p = σ y Z =230*6093750 = 1401562500 Nmm = 1,40 106 Nm e) Factor de forma f =
Z
=
W
6093750 4906250
= 1 ,242
Problema nº 56
Una viga simplemente simétrica de sección T tiene unas dimensiones b=120mm, a=200mm, ta=20mm y t b=25mm. Calcular el módulo plástico Z y el factor de forma f. ta
2 c
a
z 1 c
bt
b
y Solución a) Hallemos los términos de la sección
a.1) Centro de gravedad de la sección: c1 =
∑ a i y i ∑ ai
25 + 200 * 20 * (100 + 25) 2 = 76,785 mm 120 * 25 + 200 * 20
120 * 25 *
c2=200+25-c1= 148,215 mm
a.2) Momento de inercia de la sección I z
=
1 3
t a c 2
3
+
1 3
b c1
3
−
1 3
( b − t a )( c 1
− t b ) 3 = 35186011,9 mm 4
a.3) Módulo resistente W z
=
I z c2
=
35186012 148 ,215
= 237399,5 mm 3
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b) Hallemos la línea neutra plástica
Sabemos que la línea neutra plástica divide a la sección en 2 partes iguales:
2 h
z 1 h
l.n.plástica
y A T = 7000 mm 2 ⇒
A = 3500 = h 2 20 ⇒ h 2 = 3500 = 175mm ⇒ h 1 = 50mm 2 20
c) Módulo plástico Z y 2
y1 =
Z =
=
h2 2
=
175 2
= 87 ,5mm
120 * 25 * ( 12 ,5 + 25 ) + 20 * 25 * 12 ,5 120 * 25 + 20 * 25
A 2
( y 1
= 33 ,928 mm
+ y 2 ) = 3500 ( 87 ,5 + 33 ,928 ) = 425000 mm 3
d) Factor de forma f =
Z W
=
425000 237399 ,5
= 1 ,79
123
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124
Problema nº 57
Una viga apoyada-apoyada con una luz L soporta una carga uniformemente distribuida que actúa en toda la longitud de la viga. Determinar la longitud L p de la zona plástica en medio de la viga cuando el momento flexionante máximo es igual al momento plástico M p. q
Lp L
Solución
Si la carga que provoca el momento plástico M p es q u, entonces la ecuación de la parábola del momento flector M p sabemos que es: q u x 2 q u L q u L2 M p ( x ) = − + x , y el momento máximo será: M p = 2 2 8 L − L p El valor de esta ecuación a una distancia a = es el valor del momento máximo 2 elástico My. L − L p 2 q ( ) u L − L p q L L − L p 2 + u = M p ( ) = M y = − 2
=
2
q u L ( L − L p ) 4
2
q u ( L − L p )
−
2
=
8
q u ( L
8
y M
M y
2
=
qu L
Sabemos ya que, M p
=
− L p 2
L p
L2
=1−(
L p L
)
2
⇒(
8
L
)
2
p M
2
2
L
− L p 2 )
L Lp
a
M p
2
2
y M y
=
= 1−
1 M p M y
L p = L 1 −
1 f
q u ( L2 − L p ) 8
⇒
; sabemos que f =
M p M y
, ⇒
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125
Problema nº 58
Determinar la carga última Pu para la viga de 2 vanos cargada como se muestra en la figura 2P
2L/3
P
L/3
L/2
L/2
Solución
Nos hallamos ante una estructura hiperestática de grado 2, por tanto es necesario que se produzcan 3 rótulas plásticas para que se produzca el mecanismo de colapso general (Casos A ó C). Ahora bien, vamos a ver que también con 2 rótulas se puede producir un mecanismo parcial de la estructura (Caso B). Suponemos los siguientes 3 casos de mecanismos de colapso: 2P
P
2P Mp θ A
A
2θ Mp
Mp
3θ P
Mp
B
θ 2P Mp θ
C
Mp
2θ 3θ
Mp
θ 2θ
Mp
4θ
2θ
P
2θ
Apliquemos para cada uno de los casos posibles el método de los trabajos virtuales y hallemos la carga P más pequeña que produce el mecanismo de colapso a)Caso A
∑ W F = 0 ⇒ 2 P (
2 3
L θ ) − M P θ − M P 3θ − M P 2θ
= 0 ⇒ PuA =
9 M p 2 L
b)Caso B
∑ W F = 0 ⇒ P (
1 2
L θ ) − M P θ − M P 2θ
M p
= 0 ⇒ PuB = 6
L
c)Caso C
∑ W F = 0 ⇒ 2 P (
2 3
L θ ) − M P θ − M P 3θ − M P 4θ
− P 2θ
L 2
= 0 ⇒ PuC = 24
M p L
Obsérvese en el 3º caso que la carga P del segundo vano está siendo levantada y por tanto realiza un trabajo negativo.
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126
Una vez halladas las 3 cargas últimas para los casos planteados, observamos que la carga última de la estructura será la del caso A ⇒ Pu =
9 M p 2 L
, al ser la más pequeña de las
cargas de colapso.
Problema nº 59
Determinar la carga última q u para la viga de 2 vanos mostrada en la figura; a) si β = 2/3, y b) si β =1 q
βL
L
Solución
Nos hallamos ante una estructura hiperestática de grado 2, por tanto es necesario que se produzcan 3 rótulas plásticas para que se produzca el mecanismo de colapso general, como se muestra en el caso A. En el caso B vemos que también con 2 rótulas se puede producir un mecanismo parcial de la estructura. Suponemos los siguientes 2 casos de mecanismos de colapso. q
A
Mp θ A
θ Mp
Mp
2θ b Mp θ
B
Mp
θ1 θ + θ1
Apliquemos para cada uno de los casos posibles el método de los trabajos virtuales y hallemos la carga q más pequeña que produce el mecanismo de colapso a)Caso A
Se producen 3 rótulas plásticas en el vano izquierdo de la viga continua. Dada la simetría del caso, la rótula plástica en el vano se produce en el centro de la luz. Sabemos que el trabajo realizado por la carga q es W= (q * Area del triángulo desplazado)
∑ W F = 0 ⇒ q
1 2
L θ
L 2
M p
− M P θ − M P 2θ − M P θ = 0 ⇒ quA = 16
L2
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127
b)Caso B
b.1) Supongamos que β=1. Sabemos por lo visto en la teoría que en el caso de una viga empotrada-apoyada que soporta una carga uniforme q en toda su luz, el mecanismo de colapso se forma con 2 rótulas plásticas, una en el empotramiento, y la otra en b = L (2 − 2 ) , y que la carga última vale: 2 M p 2 L − b q uB = , si b = L( 2 − 2 ) ⇒ b L L − b q uB
=
2 L − L( 2 − 2 )
2 M p
L2 ( 2 − 2 ) L − L( 2 − 2 ) quB
= ( 6 + 4
M p 2) 2 L
2 2
=
3 2
−4
M p 2
=
L
M p
= 11 ,658
2
L
b.2) Supongamos ahora que β=2/3. En la expresión anterior q uB = 11,658 2 3
L ⇒ q uB
M p L2
, sustituimos L por
= 11 ,658
M p
2 2 ( L ) 3
= 26 ,23
M p L2
Conclusión:
Si β=1, el mecanismo se produce en el vano derecho con q u = 11,658 ya que 11,658
M p L2
< 16
M p
M p L2
< 26,23
,
M p L2
Si β=2/3 , el mecanismo se produce en el vano izquierdo con q u = 16 ya que 16
L2
M p L2
M p L2
.
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128
Problema nº 60
La viga empotrada - apoyada soporta una carga q en la mitad del vano. Determinar la carga última q u de esta viga q
L/2
L/2
Solución
Nos hallamos ante una estructura hiperestática de grado 1, por tanto harán falta 2 rótulas plásticas, una se formará en el empotramiento y la segunda en el vano a una distancia b. b 1
Mp
2
θ1
θ
θ + θ1
Mp
En este caso desconocemos el trabajo realizado por la carga q al producir el desplazamiento virtual propuesto en la figura. Vamos a hallarlo de modo semejante al utilizado para hallar el trabajo de una carga q que ocupa todo el vano. W 1
b
1
o
2
= ∫ θ x q dx = L
W 2
2
−b
= ∫
θ 1 (
0
L 2
2
b q θ , tomando los ejes del sistema 1.
+ x ) q dx =
Sabemos que θ1 =
1 2
b 2 q θ 1
− L b q θ 1 +
3
L2 q θ 1 , tomando los ejes del sistema 2. 8
b θ , por tanto el trabajo total realizado por la carga q en la mitad L − b
del vano es:
− 8 Lb + 3 L2 ) 2 8 ( L − b ) Apliquemos ahora el teorema de las fuerzas virtuales para el sistema propuesto en la figura: ∑ W F = 0 ⇒ W q − M P θ − M P ( θ + θ 1 ) = 0 ⇒ W q
1 2
b q θ + 2
=
1
2
b q θ +
q b θ ( 4b
2
8 M p ( 2 L − b ) − 8 Lb + 3 L2 ) − M p θ − M P ( θ + θ 1 ) ⇒ q = 8 ( L − b ) L b ( 4b − 3 L )
q b θ ( 4b
2
Para hallar el valor mínimo de esta q=f(b), hacemos dq db Si
dq db
=−
=0 ⇒
dq db
=−
16 M p ( 2b
− 8 Lb + 3 L2 )
L b 2 ( 4b − 3 L ) 2
16 M p ( 2b 2 − 8 Lb + 3 L2 ) L b ( 4b − 3 L ) 2
2
2
cogemos el valor de b =
= 0⇒b = 1 2
1 2
( 4 L ± 10 L );
( 4 L − 10 L )
Análisis elemental de estructuras. Enfoque práctico. Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto
129
ya que se trata de un punto b del intérvalo [0,L/2]. M p 8 10 M p = q u = 22 , 799 , que es el valor de la carga última. L2 13 10 − 40 L2
Problema nº 61
Determinar la carga última q u para la viga de tres vanos como se muestra en la figura: 5q
q
5q
8
6
6
Solución
Se trata de una viga continua, estructura hiperestática de grado 2, así que son necesarias 3 rótulas plásticas para que se produzca el mecanismo de colapso general (casos A y D), aunque también es posible que se produzca un mecanismo de colapso parcial con sólo 2 rótulas en los vanos extremos (casos B y C, simétricos). Suponemos los siguientes 4 casos de mecanismo de colapso: 5q
q
8
6
Mp
A
5q
θ
6
θ Mp
θ
Mp
θ 2θ
Mp
B
Mp
2θ Mp
C
θ Mp
Mp
D
θ Mp
θ 2θ
θ
2θ θ
θ Mp
θ 2θ θ 2θ
Apliquemos para cada uno de los casos posibles el método de los trabajos virtuales y hallemos la carga q más pequeña que produce el mecanismo de colapso.
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130
a)Caso A
Se producen tres rótulas plásticas en el vano central. Dada la carga continua en todo el vano, la rótula plástica se produce en el centro de la luz. Sabemos que el trabajo realizado por la carga distribuida q es W=q*(Área del triángulo desplazado) Σ W F
M p ⎛ 8 (4θ ) ⎞ = 0 ⇒ q⎜ ⎟ − M pθ − M pθ − M p 2θ ⇒ q u = 4 ⎝ 2 ⎠
b)Casos B y C
En los tramos externos de la viga continua, la rótula plástica del vano se produce en el centro de la luz, punto de aplicación de la carga puntual. Sabemos que el trabajo realizado por la carga puntual 5q es W=5q*(Desplazamiento de la rótula) Σ W F
= 0 ⇒ 5q .3θ − M pθ − M p 2θ ⇒ q u =
M p 5
c)Caso D
Puede darse el caso de que se produzcan las tres rótulas una en cada vano de la viga continua. Observemos que en este caso el trabajo realizado por la carga uniforme del vano central es negativa, puesto que se opone al movimiento. Σ W F
M p ⎛ 1 ⎞ = 0 ⇒ (5q.3θ ).2 − q⎜ 8 .4θ ⎟ − M p 2θ − M p 2θ − M p 2θ ⇒ q u = 2 ,33 ⎝ 2 ⎠
Así, el mecanismo se producirá según los casos B y C, ya que la carga última q u es la M p menor de entre los cuatro casos, por tanto, q u = 5
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131
Problema nº 62
Sea la viga continua de la figura, de sección rectangular constante en los 3 tramos. 1. Hallar el mecanismo de colapso plástico 2. Hallar el canto h necesario para soportar el momento plástico requerido, supuesto que se conocen el ancho b de la viga, y la tensiónσy. P
P
q=P/4 2
6
P
2
2
6
8
Solucion a)
Hallemos el mecanismo de colapso de esta viga continua
Se trata de una viga continua, estructura hiperestática de grado 3, así que son necesarias 4 rótulas plásticas para que se produzca el mecanismo de colapso general, aunque también es posible que se produzca un mecanismo de colapso parcial con tres rótulas en el primer y segundo vano ycon sólo 2 rótulas en el vano extremo. Suponemos los siguientes casos de mecanismos parciales de colapso: P
A
Mp a θ
θ Mp
B
b
P
Mp c
2θ Mp a
θ Mp
C
P
q=P/4
b
Mp c
2θ
C1
Mp a θ b
Mp
C2
Mp a
θ/2 3/2θ
θ
2θ Mp
C3
c
b
Mp a θ Mp
c
3θ
3θ b
c
2θ
Apliquemos para cada uno de los casos posibles el método de los trabajos virtuales y hallemos la carga P más pequeña que produce el mecanismo de colapso. 1) Caso A
Necesitamos tres rótulas platicas, una en el empotramiento, otra en el propio vano y la última en el apoyo.
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132
∑ W f = 0 ⇒ W p + W q + W a + W b + W c = 0 ⇒ P ⋅θ ⋅
L 2
L
L
2 9
2
+ ⋅ q ⋅ θ ⋅ − M p ⋅θ − M p ⋅ 2θ − M p ⋅θ = 0 ⇒
⇒ 3 P ⋅θ + ⋅ P ⋅θ = 4 M p ⋅θ ⇒ P =
16
4
21
⋅ M p ⇒ P = 0.762 ⋅ M p
2) Caso B
de nuevo se producirán tres rótulas plásticas, dos en los apoyos y una tercera en el vano.
∑ W f = 0 ⇒ W q + W a + W b + W c = 0 ⇒
L 2
L
⋅ q ⋅θ ⋅ − M pθ − 2 ⋅ M pθ − M pθ = 0 ⇒ 2
5
⇒ 4 ⋅ P ⋅θ = 4 ⋅ M pθ ⇒ P = ⋅ M p ⇒ P = M p 6
3) Caso C
En el ultimo vano el problema se resume al de una barra empotrada apoyada con dos cargas puntuales dispuestas de forma simétrica que implica dos rotulas para alcanzar un mecanismo de colapso y tres posibilidades: que la rótula del vano sea efecto de una carga , de otra o ambas , según se expresa en C1, C2 y C3 respectivamente. C1
∑ W f = 0 ⇒ W p1 + W p 2 + W a + W b = 0 ⇒ ⇒ 3 ⋅ P ⋅ θ =
5 2
L 3
M p ⋅θ ⇒ P
L
1
3
3
2
2
⋅ P ⋅θ + ⋅ P ⋅θ − M p ⋅θ −
M p
⋅θ = 0 ⇒
5
= ⋅ M p ⇒ P = 0.833 M p 6
C2
∑ W f = 0 ⇒ W p1 + W p 2 + W a + W b = 0 ⇒
L
L
⋅ P ⋅θ + 2 ⋅ ⋅ P ⋅θ − M p ⋅θ − 3 ⋅ M p ⋅θ = 0 ⇒
3
3
2
⇒ 2 ⋅ P ⋅θ + 4 ⋅ P ⋅θ = 4 M p ⋅θ ⇒ P = ⋅ M p ⇒ P = 0.6 6 M p 3
C3
∑ W f = 0 ⇒ W p 2 + W a + W b = 0 ⇒
L 3
⋅ P ⋅θ − M p ⋅θ − 2 ⋅ M p ⋅θ = 0 ⇒ 3
⇒ 2 ⋅ P ⋅θ = 3 M p ⋅θ ⇒ P = ⋅ M p ⇒ P = 1.5 M p 2
Analizados los 5 casos que estudiamos observamos que la carga de colapso más pequeña 2 será el producido en el tercer vano y el segundo supuesto. P = ⋅ M p 3 b) Hallamos el canto h necesario para soportar el momento plástico requerido, supuesto que se conocen el ancho b de la viga, y la tensión y. M p
= σ y ⋅ Z = σ y ⋅
bh 4
2
⇒h=
4 ⋅ M p σ y
⋅b
