Pelmsf os v Areas Sombreadas Del gráfico
Resolución No 1
10h ^ A6eco=-:"=5h
z
. lro*20.'}n=rsn A8neco=[-o /
r
2Am
:,..,.,i'ii...,,,,",i.r¡. i:.. .:.:riri¡t
.tt
:t:
pidnn -4it.t = 5h = 1 Ar.¡r*io 15h 3 t
\
¿.a.¿ 7.r, \ 4
-+
ili:ril
Perírnetro = 3(4)
:r:'r"
ii
,i:,
r::i
\'
'¡lr'"':''1r¡
2& :rr [{étodo
.rirrr',lii
se$$tbado.,,tr
Analizando un triángulo
::
':.:¡
,
Trazadgo
.,,iiil
h r$gjiar6
del tríángulo ABD
= 12 m
:i :ir
t
total'11,.{iiángulos:i Del gráfico, observarrsts'en r L ir. n: .:: if equiláteros sombreados {gi12 m de,,p¡i1¡q-l¡.g: cada uno
ll .,¡: "f,
i
10
4-s.;¡ S
10 1
ÁIil.=3s=5 Resolución 1er
lf
Chve D
2
Máodo
Resolución No 3
Identificando la altura del trapecio, observamos que es también altura del triángulo BCD
tru l^/ \" Bloc
n20
==
Del gráfico DH
Del gráfico
e-s
AQ=QD=AD=12 m
¡
DH2 =52
m{QDC=30"
En Por simetría se observa que
Parmeno de
h
:: AderrÉs
'l
lregión sombreada/
regiones
el AAHB
AAeHo AAor¡a
(.q¿=eca=úRD =los =4se =lnp =f,pa=f,ea
(
DH=3
hiangulares
360"
...
-+
-42
el N'DHB
AH y analizando las
Trazando
Además r^^ -%{L2JQ?"\ - rn
altura, luego en
.iii'
= 8{2n)=16n
1
5
-+
A6nsp
=k
AADHB = 5k
A\,oHe=5k=9 -+ k=* IO
2
i il ll'.. i:,1 &l.et,.AABC
' .''
Resolución N" 4
A¿leHe = AAnnc = 6k
:il
;l Clave N.A. Resolución
Trazando los radios
de los
cuadrantes
obliene un triángulo equilátero, es decir
o AE=ED=DA=6
N" 5
r
m{EDA = m{EAD = 600 o m{BAE = m{CDE = 30" Entonces
Aso*b = Aúou"o
-(O*.o
+2A4asE)
Aso,u = u, Asomb =
-l
Resolución N" 9
t tJlt-*zi'to=']!g=o"l ll [360"
L4
Por dato
))
. cF=s -> AD=4cF 4
go-sJs -a"
Trazando GH, se obtiene regiones equivalentes
,'. Aso'b = 3(12 4$
-21tt m2
F k -¡-3k------{ G
Clar¡e D o E
T k
R*olución N" 7 En el grálico
+
o ABCD es un paralelogramo o M es punto medio de BC
3k
I
I
I
l_ L---
!1
-------------J
.
d"tsr*j* ,,.:"'\e i\ t r:i: efi¡, i'= 5¡'z hiangulares proporcionaléd..,¡b su base
.
Asomu _ srirrj 4. - 12k -3 At""t**
.ii
.¡
'\,ji
i..
Chr¡¿ C Resolución No
8
t...
Ai*u
,l
.
.,ur,t .,.i: ,.rr,
',:rr.-
.ijit. _i::
,.: As.-1, '1,1k' 11 '':'._ ANosoru 5kz 5 i. '\' \ li .. ::
.'
Trazando lqg:'rtiüios de la semicircunlerencia, se obdierié un sector circular cuyo ángulo es x
traslaciando regiones eq uiva lentes, fenemos :
t
4a I
I
DI ( ñ"" l-
Aflneco
[rcmLrada/
4
¡-2 - (4a)2 4 Clave A
Chve B
)i
Rescilución Nc 10
Trazando las dos diagonales del cuadrddo y
aT
= 11k2
l::r':'ir:r'
2a
*
4.,5 En
el AABC
------f cr*0=30o
reF
@ittt4!tili'ti:::,.::t:::.:t 2a+28
En la figura
trc"emrUt@gPdfllE$¡$
*x=
Del gráfico
1800
2(30")+x=1800 x
-
Aso*u = Ail¿eco +24¡or'ro
l2O"
Finalmente Asomb =
-
A ._ Asomb =
A4coo
-AAcoo
o**o =f.9)' *rl¡u'.2121 "L
4
\2)
_
xeJlf $zo"t -_zlieJl) ---¡60" z
"nn
ñSomb _
ro"
^2 ?_
J
nu2
g
I
.'. Aso.b=}-(r+2t
.'. Aso*b = (4r - 316) cmz Chve C
¡ir
:il:l
Clave A
i 'i
it:i¡'i
N" 11
Resolución
,ii
,i
t:
N' 13 Trazladando adecuadamnete Rasolución
regiones
eo titca le nte$;rqilsrrlos
' *2+*2=(4f¡2 _>'x=r¡ t ,...
(
eaimeto an
(región
'
u )= 74x =14&i) = s6 u
rcmbreada,/
j
:'
,.'
.r,,
i.
WI n\úxü l
' 't:. '( Aflneco t2' (' ,{,nu ,qrnu l)= 1n*"o - 122 =72"^t . tsombreada) 2 2
..j .
""n€hve D:i
irrrr¡ii,i:|¡'ri::iii}'
Cbr¡g B
,,rt,ri:, ¡i:r:,
Resolución
N" 12
Trazando radios auxiliares y trasladando regiones equivalentes, observamos que se
T*
forma un secto¡ círcular
al2
I
al2
Io
Resolución I''1" 14
N
l-alz---+*alz-1
" 'l.'*ffi
r9dn9-q.l&g*rp,9Q11 (
Realizando trazos auxiliares, observame que
ñnu ) ftG)2(60") ¡'R2 =
"' [**t,nua.
J= 360"
6
A5o^brnu¿u =
AH*asono ABCDee
Cbve E Resolución
95
p=
N" 15
4somurea¿a
4..
"1664
' 'Hffinono
TA
P= 95
245 "
=245
100Vo=37.5Va
I
Chve A
8
l"
H
t-4---+-4-1
A*o.o
= 40
-
4'
jit',,¡::"
.,,
't...1:i
j.
ti Asonb = 4(10 - ¡) cm?
e4.$fÍí 'Pé$nt¡o
1\
= é.rr ¡"Jg1 ': i'¡r':
+BE
'
zneJz)$s") . 2neJl)Fao)
3600
.
.6
360"
*oJ?" *rJl =8" 66
Resolución No 16
=
sJz" . ^ r; _+ ¿\l¿
_ 5,{ln+12,{l 6
...
/ Per¡meho de la \ Jt | ^"....""_.-_.. l=#(s¡+12) ombreada/ [región
cm
6
Clave E
- 19-
.
m{QCR = m
Deahí
45' (A isósceles)
m{RQC = 90"
Entonc¿s
Aso.b = Aboq. -Agnqc
T
n{2)2
ASomb= ^
-
4
2Q) 2
... Aso*b =(n-2)cmz Clave E Del
gráfico fYlfi = Qft = a n QH = b
Err el \.QTR (por relaciones métricas en
jii'
un
hiángulo rectángulo)
'ili:i:Rootu"tun ii :ili :¡
$
i
QTz =QHxQR 62
=bxa
*
Uo
j, .:?ot dato
so.¡,,,,¡1ntos medios de BC
y CD
¡i*f'¡,,ry
ii
-)
:
: l.
i | !i¡\ i.':ü A¡ . D A
Ánu l=uo=99=18o-' fsombreadal 2 2
.(
#"*=+
'$'
Resolución No 19
.N'I..f,¡,r,ko,\
\
iq* -"
-l
.
Sea'2-OS
el
área
,,'.,ffD*.eotqn*:
de la región
t!
Se hazan los radios auxiliares y se observa qu¿ el triángulo QRC es isósceles (QR
=
Ademas
o mAQ = 90" o m{QCA = 45" -20 -
QC)
.
Asoru _75_7 20S 20
Apataldogramo (ángulo central) (ángulo inscrito)
cuadrangular
Resolución N" 21 Recuerda
-4 l" \
^ axt .5=-
<-b
2
. t-.---h f .'=[+)' .,,::
4
ü}
1 F__ 5 _l
Entonces
Tomando tangentes
.
tg{c¿}
*A +;-
':r:::::!
\
r
a
:j
tafc¿ +
:ir
45ql
t'\
'' ,' '
l'ii,,.,,ir(o*+s")
-3T+ :tgg + ts 45" x + 4 De donde - 5 j ,1-'tgcr.tgp I j..
'.
A{coo
=
tt
Además
:: ¡l
Io+ro),_
\2
)
t"
Asomb
5
5
s=**4 -+ \ ,,,\. :¡. .ill
:,:
-,,
- Adcoo
x=41
:t:
'
.'.
x(5) ^ Ac^-r 22
41(5)
=1O2,5 cm2
10(3+r) _n
Chve E
2
3r=6 -) j
x+4
r-1o -
\
rii:r
8r=15+5r-9
,
,,1r,.¡,.,;¡¡'.,..,¡i:r
=
ii::r'
': A $ eeco = A{eoe
a
;*1 Reemplazando -e-r-
I
"-} I$-=e -e x=6 2 'i¡...," ,':' ':l'.-..: l'r I ii':
tt.
r=2
R¿solución N" 23
=(u*]o)r=tu. , C|clve B
A------_-F
R¿solución No 22
C
Recue¡da
_ tgcr+tgP ' 1- tgcr .tgp
tolo+B) '
Trazando triangulares
PM y
analizando
las
regiones
1
. AABC
o r
(BO es mediana)
AAoeo=AAaoNa=S
. AAPM
m{CAB =
tr,r-
elff ryp,!.!ffi 8á,q#&9'l.r
30"
(ángulo inscri{o)
N ABC (teorema de Pitágoras)
(PO es mediana)
AC2
+22
AAsop=AAom¡=k
=42 -¡
Ac=zJl
Finalmente
r ABPC
(PM es med¡ana)
. ABAC
.
Asomb
(AM es mediana)
AAg¡M =AAr'aec
-+ 2S=S+3k S=3k
iiiAs.*u l
Finalmente expresando todas las rcgiones triangulares en función de K,
tenemos t:
.;:
j,:
.,r,t'i;.
B
A\,¡ce -( A4eao * A4oec
Asomu =
A^epNt = AA¡¡pc =S+k
.,,,,iijl
"'t
ii
r,
(*ef
@o"t n{2)2(60")) =z$Ql , -l 360. - 360. J
=rJU-(t.+)
Ai*o =d2J3-nlmz r'l: \'::' ::it
,i
..,::jr
,ll
I ,: 'i,, i ,
)
Clave B
ir.L
l:*s
',t,..,j,.' ,Lir, Reso'h$ión No ¿S$' 'ii
Sea x
$do
d4,'gua¡$rado ABCD
poi:,¿atáii BD 't:
.
--1r{" i lj rii
iu:
N BAD (teol¿'W-á; pilágoras) Bh2
+
.,"
ADz
=BD?, -+
x2 +x2 =L2
oL2
Asomb 8k ". AAoo= 12k=Z3
2
R¿solución N" 24
'2 6V
,\a F-
4 -----"----"--
decir forman un tríángulo equilátero
Trazando CR Y BS, observamos que en el centro se forrnan cuatro cuadriláteros. siendo uno de ellos (ONTM) h veínteava parte del
Además
área del cuadrado ABCD, además el triángulo OCD es la cuarta pade del área del cuadrado
Como el arco CO ha sido trazado tomando B como centro, enlonces BO = BC = & = 2 es
.
mCB =
-22-
60"
(ángulo cenhal)
ABCD.
¿Qde:C"rVs¡p.3Q11 Resolución N" 27
Entonc¿s
( x."
Ano*o )= [sombreada./ 4
Atrooo _
Por dato
. BP-5 -) rc3
20
*2*212
r
4205 7lL'1
BP=
5a^
PC=3a
A6unR =8cm2
Elzl (*n^)L2 10
\*mbreadaJ
Resolución I.{" 26
l\
i Ll*riiü" BM v".ffi nara analizat las regiones L: hiangillare li tli *..i*'-' ,i r i I
e
.
ABPC (fP
...l
::]'
L
es:ce.viana)
.lj: .1 'a6t Sf n
AMÉp
A75pq6 = 3k
"'=
(Rt\l es mediana)
,'AÁr*=Aa^nc=8cm2 o
N, MDC (teorema de
,
ras)
...t.
'
+L2
=toz
,,r AMBC (BN es mediana)
,:.
l'"
- ,2
[s*!] \ 2)
Piiágo.
'
i
i
t2
A4smi=AAenc=8k ii:::"''
.,r.i,:*r,,¡
-En.¿t$iánsulo BMC (MP es ceviana)
i.uii,.,,:"r''i'i"" 13k _
25+5L+f;-+ L" = 100
53
16+3k _)
ct2
39k=g0+15k
24k=ffi
"- +5L-75=0 4
L2
Del gráfico
+4L-60=A
(L*6)(L+10)=0
-+ L=
6
( tu* )=rnu*rn Isombreada/
(
tu." 'l=or=so*
=80+24 =1A4
cmz
(sombreada J
Clav¿ C
Chve B - 23-
i-llsffi*rb,4ffi,?!fl #9ll* Por
dato Aflneco
= 20
20k=2Q
'
(
tu*
. l= 3k=
-) k=1
3(1)= 3 mz
t.smbr€ada/
Clave D R¿soh¡ción
I.,1"
3O
Trasladando regiones equivalentes observamos que se obtiene un cr¡adrante
( ñ.u ) AO [ombreada/
*L2
4
4
OB 10
A
&
{# &
Pertmetf1É --
eÉ
á_ z'd g á:
ffi EB y
T¡azando
----------{
@).9 9)l-zJll
z))
\2) Clave B
analizando
triangulares
.
AAn¡c
. ABEC
=lffz -) ¡dl|z
(EN es nredíana)
AAee¡, =
AAnc =k
Al*laeco . ' AAcnv
-)
A466v
"' . ABEA
AAeENa = 3k
(EM es mediana)
A¿eerur:A¡n¡re=3k -24-
= 5k
n(r+212
-n¡2 =16n
4¡n- 4n = !6n
,gfut.-.V¡¡xto.fr\t
Deahí
OB =
5 -)
OP=R=sJt
(-.ffi*)=9 ffi .@ =xgJll2 -to2 +L6n = (66n -100) u2
Del gráfico
53+k=Sr+51+k
Clave A
Ss =Sr +Sz Rcsolución ltlo 32 Recuerda (En un triángulo equilátero)
m2 -)
Como S, + So = 10
.: ,.
W",,..,.-, ,irr¡rt\.. i¡ri ,i.r:¡..trr li..r; J ii. .,fi\, r rl.
Ss=10m2 Clave
Ao
D
.,,1t
:,,,
rj
':
Entonces sí el radio menor mide r, se deduce
i
que
..
t,,
it
"n\ot".ioti$F..$, ta
ie&plucióri'l.ss,e¡iüuentra en el problema 14
:: .
\
li,,
.
ii;
,: j
r:i!
Clave A
n..,:.,,i,,-l.'.¡$-
i:,
i:)li. .¡ -:lt:i,
¡-','ü Como el radio mayor mide
3r-12 -) ..(
An"u
Trasladado los arcos MN, NP, pQ y QM según indica la figura, se deduce que el contorno de
)=ao..,=a v
[sombreada]
Clave E
la región sombreada está conformada por dos círcunferencias y un cuadrado, es decir 2e
Rcsolución N" 33 En el trapecio BEDC
Perímebo
AAerE =AAcro
*k
Recuerda
N-'-Z -)
l^\
,l
I
=
2@+ Tl I \--l
I
= 2(2nR)+4(2R) = 4ztR+8R
S=A+B
=
4R(¡t+21
Clave A
- 25-
rywn*iÉ4*¡L'r,il,r,,'.,r
',', '
r[¡cr'*qdg.s*lrqQls:m¡!-
Resoh¡ción No 36
(a+b\z =a2 +bz +2ab
Sabemos que
232
Reemplazando
=!72 +2ab
248 =Zab 120 = ab
A
|
14
*::
dni
l=
uu = 120
*2
\rectángulorl
Del gráfico
1O+L2+t4 p=--_z--'
Chr¡e A
P=18
Sabemos AAaec =1lnb-10Xn- tZl(p-Ml,
R¿sohrción No 38 x el lado del cada cuadrado
A6aec = {88(8X6X4)
AAo"" =24J6 ".'..
xxx (0
AdenÉs A6aec = Pxr A6aec = 18R
-
e.7.>
at¿
x=31
Igualando (l) y (ll)
T_*z
=g1z =g61 cm2
e;m
Clave C
Resolucién I.{" 37
B
Por dato
Como la diagonal menor es igual a uno de
Perimetuo== 46 2b +a\ = q6 a
*b =23
......(l)
En eltriángulo ADC (leorena de Pitágoras) a2 +b2
=fiz
sr,rs
lados, entonces el triángulo ABD es equilátero
...,.. (lI\
(l+nu )
., I t=-l- ^í.'Jd) l='fombreadaf [ 4 )
u'Jl 2
Clave B
,'Q&€.-.1hrp80:$1 Del gráfico
Resolución No 4O
r0
(I
\ombreadaJ
_
A'OB'-
i r.t
:lt
:ii
j:,it¡x,t.,,,'. Cla.-v¡ C
'.i
.jt
Resolución No
,ii,$iiri,i,¡i
l.\
.,,.t'
.¡j
,¡i
f
irlt lR"ouol
.
r.iónIt"
43
Seá r el mdio inicial
I .o***o \= q (A=+[¡(s)l= rz' ,n. \de la figura/ lL
Clave B
jrii rir
=36 -> 2r--6 + t=3
41 Del enunciando
- t2\
sombreada es necesario conoc€r [a longitud de los radios y el ángulo que comprenden el sector
¡i ...
¡ut{Rz
360"
Por lo tanto, para calcular el átea de la región
An=36*' (2r\2
360"
360"
9ea2r el lado del cuadrado
Pordaio
arn \l= ¡R2a n 2o
, \l,.Á ii\ini.iut = nt2 i , t\ i 9r¿*.¿" su ra¡lio d¡¡rrenta en 1 cm
I
i i
\
li ii
Arüá'fi'ñ!t- nk+r)z ,¡isrri'*
D"l enünciar¡$q,.
ni
..;:ii
..lf*,,,.$.}!-
nrz =7*
-t r=3 Por dato
Perímetroa
.' *.,,.¡'r Ii,l
2(3a) = x
Chve B
Reolrción N" 42
En eltriángulo AED
A6oeo=A¿peq=AAqro=S En el triángulo AMQ (AE es mediana)
AAr*=AAeao=25
Er
s+#@¡wít&:i*:|,t,.....:,,i.,,.
: .,.
i"ljq;Flmgb,.llfiEpqmqüCe.]L
En eltriángulo DNP (DE es medi^na)
Resolución
If
46
AAoNe=AAEop=2S B
T
A¡asgP = 12s
/Ñ--
10
Además A¡r.ABcD = 6A s2
12S=60 -)
. ( Á'"u )=ut=
S=5
D iil.
s$t=Z|uz
1
En el triángulo BAD (teorema de Piiágoras)
Isombreada J
BD2 =LO2 +102
BD=1OJ'
+BD+BC
[
=
rrf"-+W+10J2
+10
Chve C
Perímetro
: f^+M+Bc+ED \_-/ = ¡(10)+2¡(10)+20+10 =
302¡ + 30
= 30(¡+1) cm Por dato
Cbve N.A.
- 28-
e.
l1
Del gráfico
DP
PQ=QB
Resolución No 49
Trasladando áreas equivalentes se obliene la
Debido a que
m
siguiente figura
2r(6)(30')
Ad€rnas úpq=--860.-=n Po¡ simetría s¿ observa que
(.p¿=(qc=24pq=2x
PM
Por lo tanlo
!&^)=o^,=e -Aa¡ca ,rQ\2 tt
4(2\
-4 Resolución N"
..21 u2
¿18
B
Chve C
dePubliaciona
AG r
nuco,Z2 de En eltrapecio GBCF
Aaco*
=
Aapoc
o En el paralelograrno ABCG
A6nec=AAecc =9+S Por propiedad del hapecio (hapecio GBCF)
s
=,',6(4)
-)
s=
6
Clave D
matz o de 201 1
