- En el ∆ AOB: ⦠ ABO = ⦠ ABC + ⦠CBO → ⦠CBO = 45° = ⦠BCO - Si BC = 6√ 2u → BO = 6u - Área sombreada: Área =
(AC)(BO) ()( 6) = = 6u
METODO DE LAS DIFERENCIAS: El área pedida se ha restado un área menor de un área mayor.
Ejemplo 3: Hallar el área sombreada si se sabe que ABCD es un rectángulo. AD = 12u y BC = 10u. Además m y n son puntos medios de AB y BC respectivamente.
Sol. - Realizamos trazos auxiliares al rectángulo ABCD, de tal manera que el triángulo mBn sea proporcional a dicho rectángulo.
Ejemplo 2: Hallar el área sombreada:
- El área del ∆mBn es la 8va parte del área del rectángulo ABCD Atotal = Área ABCD ÷ 8 Atotal = (12 x 10) ÷ 8 = 15u Sol. - El área sombreada es la resta del área del cuadrado menos el área del circulo inscrito dentro de ella. - Atotal = A□ - A○ - A□ → lado = 8cm A□ = L2 = 64cm2 - A○ → radio = 4cm A○ = R2 = 16cm2 → Atotal = A□ - A○ → Atotal = 64cm2 - 16cm2 → Atotal = 16(4 – )cm2
METODO DE LAS TRASLACIONES: Es el traslado de partes de las regiones a ciertos espacios de la figura para obtener una región regular conocida. Ejemplo 4: Hallar el área sombreada si ABCD es un cuadrado de 20 cm de lado.
METODO DE LOS TRAZOS Y LAS PROPORCIONES: Consiste en hacer trazos auxiliares para convertir la figura sombread en parte proporcional de la figura a la que pertenece. http://preuniversitario-matematicas-ciencias.blogspot.pe/
Sol. - Trazamos la recta AC - Trasladamos regiones R y S
- ∆ ABO es la cuarta parte del cuadrado ABCD Atotal =
rea 0 = = 100cm2 4 4
a) 8u2 d) 18u2
b) 10u2 e) 24u2
c) 12u2
4. Hallar el área sombreada, el radio del cuadrante circular es 2√ 6
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hallar el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 15cm y sus catetos están en relación de 3 a 4. a) 40cm2 d) 50cm2
b) 44cm2 e) 54cm2
c) 48cm2
2. Hallar el área de la región sombreada si ABDC es un cuadrado de 10m de lado y m es punto medio de AB
a) 20m2 b) 25m2 c) 30m2 d) 35m2 e) 40m2
a) 2π + 2 b) 2π - 3 c) 3π + 3 d) 3π - 2 e) 3π - 4 5. Hallar el área sombreada si el radio del círculo es 4cm. a) 8√ 2cm2 b) 8√ 3cm2 c) 16√ 2cm2 d) 16√ 3cm2 e) 32√ 2cm2 6. Si ABCD es un rectángulo, AB = 5u y AB = 10u. Hallar el área sombreada.
3. Si ABCD es un cuadrado de 12u de lado y además "n" es punto medio de AD. Hallar el área de la región sombreada http://preuniversitario-matematicas-ciencias.blogspot.pe/
a) 20u2 b) 25u2 c) 30u2 d) 35u2 e) 40u2
7. Si ABCD es un cuadrado de lado 8u; m y n son puntos medios de BC y CD. Hallar el área sombreada.
a) 4(8 – ) u2 b) 2(8 – ) u2 c) (8 – ) u2 d) 4(4 – ) u2 e) 2(8 – ) u2
a) 2cm2 b) 4cm2 c) 5cm2 d) 6cm2 e) 8cm2
11. Hallar el área sombreada (corona circular) AB = BC = CD = 4m
8. Si ABCD es un cuadrado de lado 6u y O es el centro de dicho cuadrado. Hallar el área sombreada.
a) 18(4 – ) u2 b) 36(4 – ) u2 c) 72(4 – ) u2 d) 18(4 – 4) u2 e) 36(4 – 4) u2 9. Si ABCD es un cuadrado de lado 4u y O es el centro del círculo. Hallar el área sombreada.
a) 8π m2 b) 16π m2 c) 32π m2 d) 48π m2 e) 64π m2
12. Hallar el área sombreada (semicorona circular). Si: AD y BC son diámetros; AB = CD = 4m
u2 4 b) u2 9 c) u2 9 d) u2 4 9 e) u2
a)
10. Si ABCD es un cuadrado de lado 4cm. Hallar el área sombreada.
a) 128π m2 b) 130π m2 c) 132π m2 d) 134π m2 e) 136π m2
13. Si AC es diámetro; O es radio; B, d, e son puntos de tangencia. Hallar el área sombreada. R = 3m
16. Hallar el área sombreada si el cuadrado ABCD tiene de lado 15cm y m, n, p, s son puntos medios. a) 40 cm2 b) 45 cm2 c) 50 cm2 d) 55 cm2 e) 60 cm2
2π m2
a) d) 5π m2
3π m2
b) e) 6π m2
c)
17. Hallar el área sombreada donde el cuadrado ABCD tiene de lado 12cm; m y n son puntos medios.
4π m2
14. Hallar el área sombreada si en la figura se muestra dos semicircunferencias y una circunferencia inscrita en el cuadrado ABCD cuyo lado mide 4a cm.
a) 2a2π m2 b) 2aπ m2 c) a2π m2 d) aπ m2 e) 4a2π m2
a) 40 cm2 b) 38 cm2 c) 34 cm2 d) 32 cm2 e) 30 cm2
18. Hallar X si BC // AD y se indica el área de cada región en cm2.
15. Hallar el área sombreada si el cuadrado ABCD fue dividido en 9 cuadraditos congruentes y el lado del cuadrado mide 3m.
a) 2 m2 b) 4 m2 c) 5 m2 d) 6 m2 e) 8 m2 a) 8cm2 d) 12cm2
19. EXAMEN SM. En la figura, ABCD es un 1 rectángulo y OC = PD = 4 CD. Si M y N son puntos medios de BC y AD, respectivamente, halle la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada. a) 3/5 b) 5/3 c) 8/3 d) 3/8 e) 5/8
20. EXAMEN SM. En la figura ¿qué fracción del área del hexágono regular ABCDEF es el área de la región sombreada?
