Problemas sobre métodos numéricos

Pauta POR Cálculo Numérico.  Ingeniería Civil Mecánica. 5 de Enero de 2009 2 semestre 2008 

Profesor : Amador Guzmán. Ayudante: Gerardo Silva Oelker. Problema 1. (2 puntos) Calcule para x = 1 la función de Bessel de orden cero dada por la integral: π

J 0 (x) =

 

cos(x cos(x sin(θ sin(θ))dθ ))dθ

0

Use una fórmula de cuadratura Gaussiana con dos sumandos. ¿Es exacta su aproximación?, si no lo es, explique por qué. Solución. Como se necesita la función de Bessel para x = 1 , laintegral que se debe resolver es: π

J 0 (1) =

 

cos(sin(θ cos(sin(θ ))dθ ))dθ

0

Para utilizar cuadratuta Gaussiana el intervalo de la integral debe ser [ 1, 1], por lo tanto, se debe hacer un cambio de variables de la forma:

−

[0, [0, π ]

[ 1, 1]

−→

↑

θ

− ↑

y = aθ + b

Evaluando en los límites de cada intervalo se obtiene el sistema:

−1 = b

1 = πa

Luego el cambio de variables es de la forma: y = Reemplazando en la integral:

J 0 (1) =

2θ π

−1

− 1 y dy = 2

dθ π

1

    cos

sin

−1

π [y + 1] 2



π dy 2

Con dos sumandos los parámetros de la fórmula son:

ω0 = ω1 = 1;

x0,1 =

± √ 13

Luego

J 0 (1)

≈ cos

   − √   π sin 2

1 +1 3

J 0 (1)

π + cos 2

≈ 2.5638

   √   sin

π 2

1 +1 3

π 2

Resp.

Observación: El valor exacto J 0 (1) = 2. 2.4039, Explique usted porque la aproximación no es exacta y como podría mejorar.

Problema 2. (2 puntos) Dos escaleras se cruzan es un pasillo. Cada escalera está colocada de la base de la pared a algún punto de la pared opuesta. las escaleras se cruzan a una distancia h = 8[m 8[m], encima del suelo. Si las escaleras miden 20[m 20[m] y 30[m 30[m], calcule el ancho w del pasillo. Para ello plantee ecuaciones convenientes para cada escalera en términos de los ángulos que estas hacen con el suelo. Indicación: Use Newton-Rhapson en dos variables y dos iteraciónes. Solución.

1

Situación física de las escaleras:

Figura 1:Situación física

Para resolver este ejercicio se deben plantear ecuaciones trigonométricas básicas.

cos(φ) =

ω ; 20

tan(φ) =

h = L

tan(β ) =

ω 30

h ⇒ L = tan(φ)

h ω

cos(β ) =

−L

h ⇒ ω − L = tan(β  )

=

Sumando las dos últimas ecuaciones, se obtiene:

ω=

∴

h sin(φ + β ) sin(φ)sin(β )

h sin(φ + β ) ; 20 sin(φ) sin(β )

cos(φ) =

h sin(φ + β ) 30 sin(φ)sin(β )

cos(β ) =

De acá se obtiene el sistema de ecuaciones no lineales:

f 1 = 20 cos(φ)sin(φ) sin(β )

− sin(φ + β ) = 0 f 2 = 30 cos(β ) sin(φ) sin(β ) − sin(φ + β ) = 0

(1) (2)

El método de Newton-Rhapson generalizado:

−→x +1 = −→x − D−1−→ →x ) F (− k

k

Donde:

−→x =

k

f 

  φ β 

y Df  viene dado por:

Df  = Iteración 1: k = 0 Suponiendo que las escaleras están en 45.



∂f 1 ∂x ∂f 2 ∂x

∂f 1 ∂y ∂f 2 ∂y



−→x 1 = −→x 0 − D−1−→ →x 0) F (− f 

  −→ −→  −    −  −   −→

−→x 0 = ∴

π/4 π/4

x1 =

;

π/4 π/4

F ( x 0 ) =

0.929 2.607

0 7.071 10.607 0

Iteración 2: k = 1 2

;

−1

Df  = 0.929 2.607

0 10.607

=

7.071 0

0.54 0.917





−→x 2 = −→x 1 − D−1−→ →x 1) F (− f 

−→x 1 = ∴



0.54 0.917

−→x 2 =





;

0.54 0.917



−→ →x 1) = −0.947 F (− −0.502

−

0.059 0.138

0.053 0.079

−

   −   −1

;

Df  =

0.059 0.138

0.947 0.502

−

=

0.053 0.079

−

0.622 1.008





Finalmente reemplazando en una de las ecuaciones del principio:

ω = 16.253[m] Resp.

Problema 3. (2 puntos) Considere el siguiente conjunto de valores.

x f (x)

0 2.5

0.25 4.122

0.5 6.796

0.75 11.204

1.0 18.473

1.25 30.456

1.5 50.214

1.75 82.789

2.0 136.495

Se pide determinar el área bajo la curva que forma el conjunto de datos utilizando: 1. Mínimos cuadrados discretos con una función del tipo:

f (x) = αβ x Encuentre las ecuaciones normales y resuelva el sistema mediante el método de Gauss-Jacobi con una tolerancia de

ε

∼ 10−3

2. Trapecio compuesto de dos subintervalos. Suponga que la función original es f (x) = 2.5 exp(2x) ¿Qué aproximación es mejor y porqué? Solución.

1. Antes de encontrar las ecuaciones normales se debe linealizar la función f (x) de la siguiente forma:

f (x) = αβ x

\ ln

ln f  = ln α + x ln β  F  = A + xB Donde:

F  = ln f ;

A = ln α;

B = ln β 

Debido a que se cambio la función al aplicar logaritmo natural, también se debe aplicar logaritmo natural a la tabla de datos.

ln f  = F 

0.9162

1.4163

1.9163

2.4162

2.9163

3.4162

3.9163

4.4163

4.9162

Para encontrar las ecuaciones normales se debe minimizar el error cuadrático medio de la siguiente forma: n

E  =

 i=1

(F i

− (A + x B))2 i

Error cuadrático medio

Derivando con respecto a los parámetros A y B :

∂E  = ∂A

n

 − 2

(F i

i=1

3

− (A + x B)) = 0 i

∂E  = ∂B

n

 − 2

(F i

i=1

− (A + x B))x i

i

=0

Reordenando ambas ecuaciones y escribiendo el sistema en forma matricial se obtiene:



      9 i=1 xi 9 2 i=1 xi

n 9 i=1 xi



Calculando las sumas correspondientes.

A B

=

9

n = 9;

9 i=1 F i xi



9





xi = 9;

i=1

x2i = 12.75

i=1

9

9

 

   

F i = 26.2463;

i=1

El sistema queda:

9 i=1 F i

F i xi = 33.7463

i=1

9 9 9 12.75

A B

=

26.2463 33.7463



Utilizando el método de Gauss-Jacobi (GJ) para resolver el sistema lineal:

9A + 9B = 26.2463 9A + 12.75B = 33.7463 Para emplear el método de GJ se debe reordenar el sistema para obtener un esquema iterativo de la forma

A(k+1) = 1/9(26.2463

− 9B( )) B ( +1) = 1/12.75(33.7463 − 9A( ) ) k

k

k

De este esquema para k = 0, 1, 2... se obtiene:

α = 2.5;

β  = 7.3891

Observación: Escoja ud. un vector inicial para comenzar las iteraciones. ¿Converge el sistema para todo vector inicial? Finalmente la función queda:

f (x) = 2.5 7.3891x

·

Para calcular el área se debe integrar entre 0 y 2 la función antes obtenida: 2

 

A=

0

2

x

2.5 7.3891 dx = 2.5

·

 

7.3891x dx

0

Reescribiendo la función de manera más conveniente:

7.3891x = eln(7.3891

x

)

= ex ln(7.3891)

Se puede integrar fácilmente: 2

A = 2.5

  0

x ln(7.3891)

e

2.5 dx = ex ln(7.3891) ln(7.3891)

2. Trapecio compuesto de dos subintervalos

⇒ h = 0.25

T 1 =

 

2

= 0

2.5 (e2 ln(7.3891) ln(7.3891)

0.25 (2.5 + 2 4.122 + 6.796) = 2.1925 2

·

0.25 (6.796 + 2 11.204 + 18.473) = 5.9596 2 0.25 T 3 = (18.473 + 2 30.456 + 50.214) = 16.1998 2 0.25 T 4 = (50.214 + 2 82.789 + 136.495) = 44.0358 2 T 2 =

·

·

·

4

− 1) = 66.9983

Resp.

Sumando todos los trapecios se obtiene:

T  = 68.3877 Resp. Errores: Como se conoce la función sólo hay que integrarla entre 0 y 2. 2

Aexacta =

 

2.5e2x dx = 66.9983

0

Se deja que ud. estudie cual es la mejor aproximación y tratar de explicar por qué.

5