INTRODUCCIÓN
El modelo de transporte es un caso especial en la programación lineal. El problema tiene como objetivo minimizar los costos de distribución de cierto número de unidades de las fuentes u orígenes a los destinos. En el modelo más elemental, las fuentes son entidades que ofertan cierto número de unidades, mientras que los orígenes reciben cierto número de unidades. Esto implica que los orígenes son proveedores de unidades y los destinos, constituyen las entidades que demandan estas. El problema es muy común en la práctica. Por ejemplo, en un sistema logístico los orígenes pueden ser las plantas de producción con cierta capacidad instalada para un producto y los destinos los almacenes que generan la demanda de este. El objetivo sería determinar el plan de distribución que minimice los costos de transporte sujeto a no excederla capacidad instalada y a satisfacer la demanda. En este trabajo veremos cómo se plantea un problema de transporte, para luego tratar 4 métodos de inicialización los cuales se utilizan para dar una distribución o asignación inicial. OBJETIVO Resolver problemas de transporte con los métodos de la Esquina Noroeste, método del Costo Mínimo, método de aproximación de Vogel y el método de Russell.
MARCO TEÓRICO
1. Modelo de programación lineal del problema problema de Transporte En la construcción de todo modelo es necesario contar con información, por esto suponemos que conocemos los costos unitarios de transporte desde cada uno delos orígenes a cada uno de los destinos del problema de transporte, así como la oferta y demanda de cada centro. Utilizamos el término oferta (a) como la cantidad debienes o productos disponibles en cada origen, centro de producción, fábrica o taller, es decir, del centro de producción, y el término demanda (b) lo asociamos con la cantidad de bienes o productos que cada destino requiere. Con la información anterior es evidente que las variables de decisión son la cantidad de productos que se envían del origen al destino , lo cual denotamos por . Loscostos unitarios por transportar un producto del i-ésimo origen al j-ésimo destino se denotan como . Entonces, la función objetivo asociada al problema de transporterepresenta el costo total de transporte.
La función objetivo se obtiene de la suma de todos los productos del costo unitario por el número de bienes enviados desde cada origen a cada destino, es decir:
í ∑ ∑ . = =
Sujeto a:
∑ 1,2,… ,( , (1) ó () . =
∑ 1,2, … , (2) ó () .
=
Para este modelo se supone que existe el equilibrio entre la oferta y la demanda, es decir, que se cumple la igualdad:
=
=
∑ ∑ Si no se cumple esta igualdad, se anexa un origen o destino artificial, según sea el caso, donde se producirá o recibirá, recibi rá, según corresponda el exceso de productos, productos , ya sea para la oferta en el primer caso o para la demanda en el segundo.
También está presente en este modelo la condición de no negatividad, expresada como a continuación se presenta:
≥ 0 1,2,… ,; 1,2,… ,
En resumen, el modelo de transporte de forma general se puede escribir como:
í ∑ ∑ . = =
:
∑ 1,2,… , =
∑ 1,2,…, =
≥ 0 1,2,… ,; 1,2,… , Este modelo tiene como objetivo minimizar el costo total de transportar los productos desde cada origen a cada destino, satisfaciendo la demanda en todo momento. De manera esquemática, el problema de transporte se puede representar como en la figura.
2. Algoritmo de Transporte El modelo de transporte es un caso particular de programación lineal, sin embargo, su solución por los métodos que hasta el momento hemos estudiado en clases, representa una gran inversión de tiempo y poder de cómputo, motivo por lo que se han propuesto otros métodos para resolver el problema de transporte. Estudiaremos los siguientes: Método de la esquina noroeste, Método del costo mínimo, Método de aproximación de Vogel y Método de Russell, para resolver los modelos asociados al problema de transporte. 2.1. Tabla inicial y Algoritmo de Transporte Cualquiera que sea el método por el cual se resuelva el problema de transporte, primero es necesario construir lo que denominaremos Tabla inicial; en ésta se concentra la información de los costos unitarios de transporte de todos los orígenes a todos los destinos, así como la oferta y la demanda de cada uno de ellos; sobre la tabla inicial, se opera para determinar el valor de las variables de decisión. Los pasos a seguir para la construcción de la tabla se muestran a continuación. Construcción de la TABLA INICIAL 1. Verificar que oferta total sea igual a la demanda total. 2. Construir una tabla de r filas y s columnas. Donde r es el número de orígenes más dos y s es el número de destinos más dos. 3. En la primera fila, a partir de la segunda columna, escribir el nombre de todos los destinos o una etiqueta que los identifique claramente. En la última celda de esta fila escribir la etiqueta oferta. 4. En la primera columna, a partir de la segunda fila, escribir el nombre de todos los orígenes o una etiqueta que los identifique claramente. En la última celda de esta columna escribir la etiqueta demanda. 5. En las intersecciones de cada fila y columna, escribir el costo de transportar una unidad desde el origen asociado a esa fila hasta el destino asociado a esa columna. 6. En la columna oferta se coloca la oferta del origen asociado al origen en cada fila. 7. En la fila demanda se coloca la demanda requerida asociada al destino en cada columna. Con estos siete pasos se obtiene la tabla inicial del problema de transporte. Diferentes autores utilizan diversos formatos de la tabla inicial; sin embargo, debido a la experiencia que se ha acumulado en la investigación de operaciones, se propone utilizar el formato de tabla inicial que se observará en el siguiente ejemplo.
Ejemplo de tabla inicial Con la tabla inicial planteada para un problema de transporte, es momento de aplicar alguno de los métodos de solución. Así que a continuación se presenta el algoritmo general para resolver problemas de transporte. ALGORITMO GENERAL 1. Construir la tabla inicial del problema de transporte. 2. Buscar una solución inicial y verificar que sea óptima mediante las herramientas matemáticas: Método de la esquina noroeste. Método del costo mínimo. Método de Vogel. Método de Russell.
Y si se encontrara la solución óptima termina el proceso; en caso contrario, continúa. 3. Realizar los ajustes necesarios para encontrar una mejor solución y continuar desde el paso 2. 2.2. Métodos de aproximación para obtener una solución básica inicial Para aplicar el método simplex al problema de transporte, primero debemos obtener una solución inicial con m + n - 1 variables básicas. Donde m es el número de columnas y n el número de renglones de la tabla inicial. Existen varios métodos para crear la solución inicial, pero trataremos 4 métodos, los cuales son: Costo mínimo, Vogel, Esquina Noroeste y Russell. -
MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO El método del costo mínimo determina una mejor solución inicial al concentrarse en las rutas más económicas. Asigna lo más posible a la celda con el costo unitario mínimo (los empates se rompen arbitrariamente). Luego se tacha la fila o columna satisfecha y se ajustan las cantidades de oferta y demanda como corresponda. Si
una fila o una columna se satisfacen al mismo tiempo, sólo se tacha una. A continuación, seleccione la celda no tachada con el costo unitario mínimo y repita el proceso hasta que se deje sin tachar exactamente una fila o columna. -
ALGORITMO DE VOGEL
El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3 pasos fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la culminación del método. PASO 1 Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas. PASÓ 2 Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la resta realizada en el "Paso 1" se debe escoger el número mayor. En caso de haber empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal). PASÓ 3 De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de empate solo se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0). PASÓ 4 DE CICLO Y EXCEPCIONES - Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda, detenerse. - Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva, determine las variables básicas en la fila o columna con el método de costos mínimos, detenerse. - Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda, determine las variables básicas cero por el método del costo mínimo, detenerse. - Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que las ofertas y las demandas se hayan agotado. EJEMPLO
Consideremos nuevamente un problema de transporte balanceado que tiene 3 fuentes de oferta (silos) y 4 fuentes de demanda (molinos). Los valores numéricos en la esquina superior derecha de cada cuadro, en adelante representan el costo unitario de transporte desde el silo i al molino j . Por ejemplo es el costo unitario de transporte desde el silo 1 al molino 1.
Según lo descrito anteriormente el primer paso consiste en calcular el factor de penalización para cada fila y columna de la tabla que representa el problema de transporte anterior. Por ejemplo, en la fila 1 el mínimo costo es $2 y y el costo unitario siguiente al mínimo es $10. En consecuencia la penalización de dicha fila es $8 ($10-$2). Se replica el mismo cálculo para cada fila y columna de la tabla lo cual es trivial y reporta los siguientes resultados (se han marcado las penalizaciones de las respectivas filas y columnas con color naranjo para mayor claridad):
Como la fila 3 tiene la máxima penalización ($10) y la celda correspondiente a tiene el costo unitario mínimo de esa fila, se asigna 5 unidades a (más no es necesario aun cuando la capacidad del silo 3 lo permite dado que la demanda del molino 1 es de sólo 5 unidades). Con esto la columna 1 se debe tachar (lo hemos marcado con color amarillo) y se procede a calcular las nuevas penalizaciones como se aprecia a continuación:
Ahora la penalización máxima es $9 ($11-$2) lo cual se alcanza en la fila 1. En consecuencia se asigna la máxima cantidad posible a la variable , con lo que se obtiene , y al mismo tiempo se satisfacen tanto la fila 1 como la columna 2. En forma arbitraria se tacha la columna 2 y se ajusta a cero la oferta en la fila 1. Al continuar de la misma forma, ahora la fila 2 es la que produce la máxima penalización correspondiente a $11 ($20-$9), por tanto se asigna , con lo que se tacha la columna 3 y quedan 10 unidades en la fila 2. Sólo queda la columna 4 y tiene 15 unidades de oferta positiva. Al aplicar el Método del Costo Mínimo a esa columna, se asigna de forma sucesiva (se recomienda verificar dichos resultados). Notar adicionalmente que hay otras soluciones posibles que dependen de cómo se rompen los empates. El valor de la función objetivo asociado a esta solución factible inicial es Z=15(2)+0(11)+15(9)+10(20)+5(4)+5(18)=$475 que es similar a lo alcanzado por el Método del Costo Mínimo, no obstante, en general el Método de Aproximación de Vogel reporta mejor solución de inicio. - MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE Es un método poco eficiente, ya que las soluciones iniciales están alejadas de la solución óptima, y en general se necesitan bastantes iteraciones para alcanzar dicha solución debido a que en ninguna fase del proceso de búsqueda de una solución inicial factible se tiene en cuenta la información referente a los costes unitarios de transporte y, por lo general, la solución obtenida difiere notablemente de la solución óptima. (DOMINGUEZ MACHUCA, 1995) El método de la esquina noroeste consta, de manera resumida, de los siguientes pasos:
1. Obtener la tabla inicial del problema de transporte. 2. Asignar en la celda de la esquina noroeste de la tabla, celda (1,1), tantas unidades de producto como sea posible. 3. Ajustar la oferta y demanda según corresponda y cancelar las celdas restantes de la fila o columna que ya está satisfecha. 4. Trasladarse hacia la celda de la derecha (si se canceló la columna) o hacia la celda de abajo (si se canceló la fila) y asignar tantas unidades como sea posible. Si es la última celda disponible termina, en otro caso, continuar en el paso tres. 5. Interpretar la solución factible del modelo con el valor de las variables x ij 6. Calcular los costos marginales de las celdas no básicas. Si los costos marginales son cantidades positivas, la solución es óptima y el proceso termina. Si los costos marginales son cantidades negativas, se requiere formar otra tabla. Según (ARBONES, E. A. 1990) una forma más sencilla se sigue los siguientes pasos: PASO 1: En la celda seleccionada como esquina Noroeste se debe asignar la máxima cantidad de unidades posibles, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda. PASO 2: En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso. PASO 3: Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método, "detenerse".
La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar nuevamente el "Paso 1". -
MÉTODO DE RUSSELL
̅
Para cada renglón de origen i que queda bajo consideración, debe determinarse el mayor costo unitario cij de los que quedan en ese renglón. Para cada columna de destino j que todavía está bajo consideración, se determina , el mayor costo unitario de los que hay en esa columna. Para cada variable x ij que no haya sido seleccionada en estos renglones o columnas, se calcula se elige la variable con el mayor negativo de .
̅
∆ − ̅− ̅
∆
PROCEDIMIENTO
A continuación se indicara el procedimiento que se debe seguir para encontrar una solución inicial básica factible, para un problema de transporte, por el método de Russell. Paso 1: determinar para cada una de las filas de la tabla, el valor A i, para i=1,2,…, m, en donde Ai representa el valor máximo que toma el coeficiente en la fila i-esima.
Paso 2: determinar para cada una de las filas de la tabla, el valor B j para j= 1,2,…,n en donde B j representa el valor máximo que toma el coeficiente en la columna j- esima
Paso 3: determinar para cada una de las celdas de la tabla, el siguiente índice:
+ −
Representa un indicador que nos dice que tan buena es la celda (i, j) si se hiciera una asignación sobre ella.
Paso 4: seleccionar la celda con el mayor Identificar la fila a la que pertenece esa celda con el subíndice k y la columna con el subíndice m . Sobre esta celda se hará la asignación. Sea KKm, la cantidad de producto a asignar en la celda ( k, m) Por tanto: K Km =min (OK, Rm) ¿Es el valor OK < Rm? Si la respuesta es si: recalcular el requerimiento que queda por satisfacer en el destino m, de la siguiente forma: R m= Rm - OK y elimine la fila k Si la respuesta es no: recalcular la oferta disponible del origen k, de la siguiente forma: OK = OK - Rm y elimine la columna m Paso 5: ¿se tiene ya (m+n-1) celdas asignadas (variables básicas)? Si la respuesta es sí: pare el procedimiento. Ya se encontró una solución inicial básica factible Si la respuesta es no: vaya al paso 1, y repita el procedimiento. En el paso 1 no se toman en cuenta las filas o columnas que han sido eliminadas.
RESOLUCIÓN
1. En el modelo de transporte siguiente la demanda total excede la oferta total. Suponga que los costos unitarios de penalización por demanda insatisfecha son 10, 8 y 7 dólares para los destinos 3, 2 y 1. Determine la solución óptima utilizando el método del COSTO MÍNIMO. A 7 6 5 75
1 2 3
→
B 1 4 2 20
C 5 6 3 50
↓ 10 80 15
Solución:
Por existir una demanda insatisfecha agregamos una columna más a la tabla inicial y colocamos los costos de penalización que nos da el problema. A 1 2 3 4 (DI)
→
75
(1,)
B
C
7
1
5
6
4
6
5
2
3
7
8
10
20
50
↓ 10 80 15 40 145
($1).
La celda tiene el costo unitario mínimo en la tabla Lo máximo que puede enviarse a través de es , con lo que satisfacen la fila
Tachamos la fila 1 y ajustamos la demanda de la columna B a . A continuación, la celda tiene el costo unitario mínimo no tachado Asignamos , y tachamos la columna B porque se satisface y ajustamos la oferta de la fila 3 a .
(1,) 10
10 ($2).
(3,) 10 15 − 5 5
(3,) 5
20−10
($3).
La celda tiene el costo unitario mínimo no tachado Asignamos , y tachamos la fila 3 porque se satisface y ajustamos la demanda de la columna C a .
50 − 5 45
A 7
1
3
1
5
6
4
6
5
2
3
10
5
7
4 (DI)
C
10
2
→
B
8
75
10
2010
5045
↓ 10 80 155 40 145
Como se observa de las celdas no tachadas, encontramos dos costos unitarios mínimos iguales, la teoría dice que los empates se rompen arbitrariamente, escogemos entonces trabajar con la celda
(2,).
(2,) 45
($6). 80− 45 35
La celda tiene el costo unitario mínimo no tachado Asignamos , y tachamos la columna C porque se satisface y ajustamos la oferta de la fila 2 a .
A 7
1
6
1
5
4
6 45
5
3
2 10
75
3 5
7
4 (DI)
C
10
2
→
B
8 2010
10 5045
↓ 10 8035 155 40 145
(2,) tiene el costo unitario mínimo no tachado ($6). Asignamos 35 , y tachamos la fila 2porque se satisface y ajustamos la demanda de la columna Aa75−3540 . Finalmente, la celda (4,) tiene el costo unitario mínimo único no tachado ($7). Asignamos 40 , con lo que satisfacen tan la fila 4
La celda
como la columna A.
A 7
1 2
→
C 1
5
4
6
10 6 35
45 5
3 4 (DI)
B
2 10
3 5
7
8
10
40 7540
2010
5045
Terminado ello, se lograron determinar las variables básicas son:
10 35 45 10 5 40 Obteniendo un costo mínimo de transporte de 805 dólares.
↓ 10 8035 155 40 145
(+−16) que
2. En el problema 1 supongamos que no existen costos de penalización y la demanda en el destino C debe satisfacerse de manera exacta. Reformule el problema y obtenga la solución óptima utilizando el método Vogel 1 2 3 DEMANDA
A
B
C
7 6 5 75
1 4 2 20
5 6 3 50
OFERTA 10 80 15
RESOLUCION -
P R I ME R P A S O :
A
B 7
DEMANDA CP -
C 1
5
6
4
6
5
2
3
0
0
0
10
20 10 1
75 1
50
OFERTA
CP
10
4
80
2
15
1
40
0
145
2
S E G UNDO P A S O:
A
40 DEMANDA CP
75 35 5
B
C
6
4
6
5
2
3
0
0
0
20 10 2
50 3
OFERTA
CP
80
2
15
1
40
0
145
-
TE R C E R P A S O :
A
B
C
6
4
6
5
2
3 15
DEMANDA CP -
75 35 1
20 10 2
50 35 3
B
C
OFERTA
CP
80
2
15
1
145
CUARTO PASO:
A 6 DEMANDA CP
4
6
35
10
35
75 35 1
20 10 2
50 35 3
OFERTA
CP
80
2
145
T A B L A D E D I S T R I B U C IO N F IN A L
A
B 7
35
40 DEMANDA
75
6
10 10
C 1
5
4
6
5
2
0
0 20
OFERTA
35 15
3 0
50
COSTO DE TRANSPORTE: 515 unidades monetarias
10 80 15 40 145
3. Se hace pedido a una papelería de 800 rollos de papel satinado de 30 pulg de ancho, 500 rollos de 45 pulg de ancho y 1000 rollos de 50 pulg de ancho. La papelería tiene solo rollos de 108 pulg de ancho. Sabiendo que el máximo desperdicio aceptable de papel por rollo es de 22 pulg? SOLUCIÓN: A) FORMULANDO LAS VARIABLES DE DECISIÓN
X número de rollos cortados de diferentes maneras,j 1,2,3,4,5
18
30
30
30
3
30
30
45
18 45
13
45
45
50
8 50
50
B) FUNCIÓN OBJETIVO
18 + 3 +18 +13 + 8 C) FORMULANDO LA PROGRAMACIÓN LINEAL
18 + 3 +18 +13 + 8 S.a.:
3 + 2 + 0 + 0 + 0 800 0 + 1 + 2 + 1 + 0 500 0 + 0 + 0 + 1 + 2 1000
Por lo tanto tendremos:
18 + 3 +18 +13 + 8 S.a.:
3 + 2 800 1 + 2 + 1 500 1 + 2 1000 X ≥0;∀ 1,2,3,4,5
Papel corrugado de 30 pulg. Papel corrugado de 45 pulg Papel corrugado de 50 pulg
D) UTILIZANDO SOLVER DE EXCEL PAPELERIA DESPERDICIOS DE LOS INSUMOS NECESIDADES (pulgadas)
Rollos en
Rollos en
Rollos en
Rollos en
Rollos en
X1
X2
X3
X4
X5
266.6666667
0
0
500
0
18
3
18
13
8
COSTO
F.O
11300
LIMITACIONES Papel corrugado de 30 pulg.
3
2
0
0
0
800
800
Papel corrugado de 45 pulg
0
1
2
1
0
500
500
Papel corrugado de 50 pulg
0
0
0
1
2
500
1000
4. La empresa SIVA elabora la cerveza “AMISTAD” que se distribuye a nivel nacional a partir de dos fábricas de cerveza. Una en el norte y otra en el sur del país. La cerveza se envía a 4 mayoristas que se encargan de la distribución subsecuente, por lo que la empresa se ocupa sólo de la distribución a los mayoristas. Los costos de distribución por conjunto de 100 cajas que se envían a cada mayorista; se presenta en la siguiente tabla junto con la oferta mensual en cada fábrica y la demanda mensual de cada mayorista. a) Aplicando el método de la esquina del NOR-OESTE encuentre la solución factible básica inicial y el mapa de distribución b) Encuentre lo miso aplicando el método RUSSELL.
A Fábrica del Norte 21 Fábrica del Sur 10 Demanda en cientos de 200 cajas
B 15 14 250
C 18 16 400
D 9 23 350
Oferta en cientos de cajas 550 650
SOLUCION a) METODO NOR-OESTE 200
21
14
16
300 200
9
100
250 10
18
15
250
400
550
350
23
350 350
650
1200
300
200 250 100 300 350 200(21) +250(15) +100(18) +300(16) +350(23) 22600 u.m
350
100
MAPA DE DISTRIBUCION 200 Norte
A 250
100 B 300
Sur 350
C
D
b) Método de Russell
↓ 21
15
18 350
21
21
21
35
10
14
16
23
34
24
25
200
250
400
23 350
21
15
18
23
→
9
550
200
21
650
23
Reduciendo tabla: 1 1
2 21
15
21 200 2
21
18
200 650
21
21
10
14
16
200
17 250
18 400
21
15
18
27
V j
ui
3
450
16
Siguiente: 2 1
200
15 18
2
ui
3 18
200
18
16
450
16
18 14
17
18 250
400
50
V j
15
18
Siguiente: 2 2
14
200
400
16
16
V j
ui
3 450
400
16
16 50
400
14
16
Tabla final 21
18
15
550
350
200 10
9
14
16
200
50
400
200
250
400
23
650 350
1200
Para eliminar un columna con mayor índice
21 21 21 34 24 25 23
35
XB:
200 250 100
Celda con mayor
300 350 200(15) +350(9) +200(10) + 50(14) +400(16) Z 15250 u.m MAPA DE DISTRIBUCION
A Norte 200 350
B
50 Sur
C
D
RESULTADOS Y DISCUSIONES
Para el primer ejercicio: XB:
10 35 45 10 5 40
Obteniendo un costo mínimo de transporte de 805 dólares. Según Hamdy, existen diferentes métodos de aproximación para los problemas de transporte, una de ellas es el de costo mínimo, y pasos con los que ayudan a resolver más fácilmente los problemas.
Así como en la resolución se exponen, con el que se obtiene un costo de 805 dólares la cual es la solución óptima, es decir que la empresa redujo sus costos de transporte a 805 dólares para transportar sus diferentes productos a sus destinos A, B y C
Para el segundo ejercicio: COSTO DE TRANSPORTE: 515 unidades monetarias Según Geo tutoriales, El Método de Aproximación de Vogel es una versión mejorada del Método del Costo Mínimo y el Método de la Esquina Noroeste que en general produce mejores soluciones básicas factibles de inicio, para lo cual se siguen pasos que se detallan en la resolución, asi con la ayuda de los pasos del método Vogel se obtuvo un costo de transporte de 515 unidades monetarias.
Como se observa, se agrego una fuente 4, la cual es una fuente ficticia, lo que representa que la cantidad de envío que se anotó (resolución) es la cantidad que no se va enviar.
Para el tercer ejercicio:
X número de rollos cortados de diferentes maneras,j 1,2,3,4,5 18 + 3 +18 +13 + 8 S.a.:
3 + 2 800 1 + 2 + 1 500 1 + 2 1000
Papel corrugado de 30 pulg. Papel corrugado de 45 pulg Papel corrugado de 50 pulg
X ≥0;∀ 1,2,3,4,5 Por Excel: X1=266.67 X2=0 X3=0 X4=500 X5= 0 Según IngenieríaIndustrial online.com, Solver es una herramienta que forma parte de una serie de comandos a veces denominados de "análisis Y si". Con Solver, puede buscarse el valor óptimo para una fórmula de celda, denominada celda objetivo, en una hoja de cálculo. Solver funciona en un grupo de celdas que estén relacionadas, directa o indirectamente, con la fórmula de la celda objetivo. Solver ajusta los valores en las celdas cambiantes que se especifiquen, denominadas celdas ajustables, para generar el resultado especificado en la fórmula de la celda objetivo. Pueden aplicarse restricciones para restringir los valores que puede utilizar Solver en el modelo y las restricciones pueden hacer referencia a otras celdas a las que afecte la fórmula de la celda objetivo, lo cual lo constituyen en una herramienta adecuada para solucionar problemas de programación lineal. Siguiendo los pasos para la resolución con este programa se obtuvieron los valores ya expresados.
X1: Se cortaran 266.67 rollos de la primera manera, en el que se divide en 3 de 30 pulgadas, por lo que dá 800.01 rollos de 30 pulgadas como se pide X2: No se cortaran rollos de la segunda manera X3: No se cortarán rollos de la tercera manera X4: Se cortarán 500 rollos de la cuarta manera en el que se dividen en 45 y50 pulgadas, es decir que se obtiene 500 rollos de 45 pulgadas y 500 rollos de 50 pulgas, por lo que los pedidos de: 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas y los 500 rollos de 45 están satisfechas Se utilizaron los 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas, así como los 500 rollos de papel corrugado de 45 pulgadas. Sin embargo no se utilizan 500 rollos de papel corrugado de 50 pulgadas. Por lo antes expuesto la sumatoria de los rollos de 50 pulgadas se obtienen 1000, por lo cual queda satisfecha también el ultimo pedido.
Para el cuarto ejercicio: Según método NOR- OESTE
200
250 100 300 350 200(21) +250(15) +100(18) +300(16) +350(23) 22600 u.m Según método RUSSELL
200 250 100 300 350 200(15) +350(9) +200(10) + 50(14) +400(16) Z 15250 u.m
Según Dominguez, Nos dice que el método de la esquina NOR-OESTE es un método poco eficiente, ya que las soluciones iniciales están alejadas de la solución óptima, nos expone también una serie de pasos para su resolución con los que se logró resolver con éxito el ejercicio planteado así como el mapa de distribución Según Patiño E y Lozano R. en los que nos plantea pasos para resolver el ejercicio, se observa que la cantidad de cálculos que toca realizar hace que la solución final sea muy cercana a la esperada, pero debido a esto, no lo hace el método más utilizado para la solución de problemas de transporte, ya que muchas veces se prefiere la simplicidad, a cambio de un poco de cercanía con la solución óptima.
Al desarrollarlos por los dos métodos y al hacer una simple comparación nos daremos cuenta que el método de la esquina NOR-OESTE es poco eficiente como fue afirmado por autor, ya que nos brinda un costo mayor al del método Russell. CONCLUSIONES
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Se conoció los diferentes pasos y criterios que hay que tener en cuenta para resolver los diferentes métodos Se logró resolver y determinar los valores para los diferentes problemas con los métodos de: Esquina Noroeste, del costo mínimo, de aproximación Vogel y de Russell. Se interpretó los resultados que se obtuvieron en los diferentes problemas
BIBLIOGRAFÍA
ARBONES, E. A. (1990): Logística empresarial. Barcelona: Ed. Marcombo DOMINGUEZ MACHUCA, J.A. (1995): Dirección de operaciones. Aspectos estratégicos en la producción y los servicios. Madrid: Ed. McGraw-Hill Interamericana de España. Hamdy A. Taha. “INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES”. Novena edición. Pearson educación, México. 2012. Juan Manuel Izar Landeta. “INVESTIGACION DE OPERACIONES para administración”. Universidad Autonoma de San Luis Potosi, Mexico. 1996. Patiño E. y Lozano R. “METODO DE APROXIMACION DE RUSSELL”. Universidad Piloto De Colombia, Facultad De Ingenieria,2014
Páginas Web: Blog sobre la Gestión e Investigación de Operaciones. Disponible en:
http://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/metodo-deaproximacion-de-vogel-algoritmo-de-transporte-en-programacion-lineal/ “Matematicas para los negocios”. Disponible en: http://gc.initelabs.com/recursos/files/r157r/w13110w/MateNegocios_unidad%205.p df Ingeniería Industrial online.com ; Disponible en: https://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingenieroindustrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-ensolver/
