PROBLEMAS DE TRANSPORTE, ASIGNACION Y TRANSBORDO PROBLEMA 1. General Ford produce automóviles en L.A. y Detroit y tiene un almacén en Atlanta; la compañía suministra automóviles a clientes en Houston y Tampa. El costo de enviar un automóvil entre los puntos se da en la Tabla 60 (“ - “significa “significa que no se permite un envió). L.A. puede producir hasta 1 100 automóviles y Detroit puede producir hasta 2 900 automóviles. Houston debe recibir 2 400 automóviles y Tampa debe recibir 1 500 automóviles. De L.A. Detroit Atlanta Houston Tampa
L.A. 0 145 105 89 210
Detroit 140 0 115 109 117
A ($) Atlanta 100 111 0 121 82
Houston 90 110 113 0 -
Tampa 225 119 78 0
a) Formule un problema de transporte equilibrado que pueda utilizarse para minimizar los costos de envió en que se incurre para satisfacer las demandas de Houston y Tampa.
Para abastecer a Houston se envía 1 100 automóviles de L.A. y 1 300 automóviles de Detroit, a su vez para abastecer a Tampa se envían 1 600 automóviles a Atlanta de los cuales se envían 1500 automóviles a su destino final. Costo mínimo: Z = 1100*90 + 1300*110 + 1600*111 + 1500*78 = $ 536 600 b) Modifique la respuesta al inciso a) si no se permiten los envíos entre L.A. y Detroit. No se ve alterada la respuesta. Para abastecer a Houston se envía 1 100 automóviles de L.A. y 1 300 automóviles de Detroit, a su vez para abastecer a Tampa se envían 1 600 automóviles a Atlanta de los cuales se envían 1500 automóviles a su destino final. Costo mínimo: Z = 1100*90 + 1300*110 + 1600*111 + 1500*78 = $ 536 600
Para abastecer a Houston se envía 1 100 automóviles de L.A. y 1 300 automóviles de Detroit, a su vez para abastecer a Tampa se envían 1 600 automóviles a Atlanta de los cuales se envían 1500 automóviles a su destino final. Costo mínimo: Z = 1100*90 + 1300*110 + 1600*111 + 1500*78 = $ 536 600 b) Modifique la respuesta al inciso a) si no se permiten los envíos entre L.A. y Detroit. No se ve alterada la respuesta. Para abastecer a Houston se envía 1 100 automóviles de L.A. y 1 300 automóviles de Detroit, a su vez para abastecer a Tampa se envían 1 600 automóviles a Atlanta de los cuales se envían 1500 automóviles a su destino final. Costo mínimo: Z = 1100*90 + 1300*110 + 1600*111 + 1500*78 = $ 536 600
c) Modifique la respuesta al inciso a) si se permiten los envíos entre Houston y Tampa a un costo de $ 5. No se ve alterada la respuesta. Para abastecer a Houston se envía 1 100 automóviles de L.A. y 1 300 automóviles de Detroit, a su vez para abastecer a Tampa se envían 1 600 automóviles a Atlanta de los cuales se envían 1500 automóviles a su destino final. Costo mínimo: Z = 1100*90 + 1300*110 + 1600*111 + 1500*78 = $ 536 600
PROBLEMA 2: Cinco trabajadores están disponibles para llevar a cabo cuatro tareas. El tiempo que tarda cada trabajador para llevar a cabo la tarea se da en la tabla. El objetivo es asignar los trabajadores a las tareas con el fin de minimizar el tiempo requerido total para llevar a cabo cuatro tareas.
TRABAJADOR 1 2 3 4 5
TAREA 1 10 12 12 6 16
TIEMPO (horas) TAREA 2 TAREA 3 15 10 8 20 9 12 12 15 12 8
TAREA 4 15 16 18 18 12
SOLUCION Se observa claramente que es un problema de asignación y que la mejor forma de resolver es aplicando el Método húngaro. PASO 1: primero identificamos el mínimo de cada renglón y lo restamos de los
elementos del resto. La matriz quedara de la siguiente manera: TRABAJADOR TAREA 1 TAREA 2 TAREA 3 TAREA 4 1 10 15 10 15
2 3 4 5
12 12 6 16
8 9 12 12
20 12 15 8
16 18 18 12
MINIMO DE FILA 10 8
9 6
TRABAJADOR 1 2 3 4 5
TAREA 1 0 4 3 0 8
TAREA 2 5 0 0 6 4
TAREA 3 0 12 3 9 0
TAREA 4 5 8 9 12 4
PASO 2: De la matriz que resulte del paso 1 identificamos el mínimo de cada
columna y restamos este a cada columna. De la siguiente manera:
TRABAJADOR 1 2 3 4 5 MINIMO COLUMNA
TAREA 1 0 4 3 0 8 0
TAREA 2 5 0 0 6 4 0
TAREA 3 0 12 3 9 0 0
TAREA 4 5 8 9 12 4 5
TRABAJADOR 1 2 3 4 5
TAREA 1 0 4 3 0 8
TAREA 2 5 0 0 6 4
TAREA 3 0 12 3 9 0
TAREA 4 1 4 5 8 0
Con estos dos pasos aun no podemos asegurar una asignación factible, entonces proseguimos con los pasos. PASO 3: Tratamos de cubrir todos los ceros con el mínimo posible de líneas
horizontales y verticales.
TRABAJADOR 1 2 3 4 5
TAREA 1 0 4 3 0 8
TAREA 2 5 0 0 6 4
TAREA 3 0 12 3 9 0
TAREA 4 1 4 5 8 0
El mínimo de líneas es 4, ahora seleccionamos el número menor que no esté cubierto (en este caso el 3) por las líneas y lo restamos a los demás que tampoco estén cubiertos. Además le sumamos 1 a las intersecciones de las líneas.
TRABAJADOR 1 2 3 4 5
TAREA 1 1 4 3 0 9
TAREA 2 6 0 0 6 5
TAREA 3 0 9 0 3 0
TAREA 4 1 1 2 5 0
En este tablero observamos que ya podemos asignar un trabajador para cada tarea así: La tarea 1 es realizada por el trabajador 4, la tarea 4 por el trabajador 5, la tarea 2 por el trabajador 2 y la tarea 3 por el trabajador 5. Entonces la suma de tiempos para cada trabajador con su respectiva tarea es: 10 + 8 + 6 + 12 = 36 minutos, este sería el tiempo mínimo que necesitan los trabajadores para realizar las tareas.
PROBLEMA 3. Una compañía debe satisfacer las demandas siguientes para un producto: enero, 30 unidades; febrero, 30 unidades; marzo, 20 unidades. La demanda podría acumularse a un costo de $5/unidades/mes. Toda la demanda debe satisfacer al final de marzo, se incurre en un costo de pedidos pendientes de 5(2)=$10. La capacidad de producción mensual y el costo de producción unitario durante cada mes se dan en la tabla. Se estima un costo de tendencia de $20/unidad en el inventario al final de cada mes. Equilibrar: Enero Enero Febrero Marzo Demando
∑Demanda =80
Febrero
Marzo
40
40
41
0
42
42
0
0
41
30
30
20
∑Oferta=100
Oferta 35 30 35
80
10
entonces agregamos una columna con 20 de
demanda para que este equilibrado
Enero
Febrero
Marzo
Oferta
Enero
40
40
41
20
35
Febrero
0
42
42
20
30
Marzo Demando
0
0 30
30
41 20
M
35
20
a) Formule un problema de transporte equilibrado que pudiera utilizarse para determinar cómo minimizar el costo total (entre otros, costo de pedidos pendientes, tendencia y producción) de satisfacer la demanda. Xij: Cantidad de artículos producidos en el mes i con destinos a las ventas del mes j con (i=E, F, M j=E, F, M) Función a Optimizar:
( ) ( ) ( ) ( )
Sujeto a: Restricción de demanda: Enero……. X11+ X12 +X13+ X14 <=35 Febrero……….. X22+ X23 +X24<=30 Marzo……………
X33 +X34<=35
Restricción de demanda: Enero………………… X11 <=30 Febrero…………. X12+ X22 <=30 Marzo…….. X13+ X23 + X33 <=20
Pedidos pendientes X14+ X24 +X34<=20
b) Utilice el método de Vogel para hallar una solución factible básica.
E E F M
2 5
F
M
1
20
35
380
380
380
390
420
425
5 20
30
20
20
20
405
0
410
M
35
0
410
(-)
(-)
405
0 0
3
30 0 0 400 (-)
2
410
400
30 405 (-) (-) (-)
20 0 0 15 15
20 0 0 0 0
N=NC+NF-1 6=3+4-1
la solución es no degenerada
Entonces la solución inicial es: Z= 25(0)+5(0)+30(0)+20(410)+15(20)+5(20) Z=8600
c) Utilice el simplex de transporte para determinar cómo satisfacer la demanda de cada mes. Asegúrese de dar una interpretación de solución óptima( por ejemplo, 20 unidades de demanda del mes 2 de satisfacen de la producción del mes 1)
V1=0 M1=0 M2=0
2
V2=0
V3=410
400
-405 405
2
410
1
20
0
-420 420
-15 425
5
20
5 0
3
0
410
V4=20
M
M3=0
0
M-
Como todos los valores de las variables no básicas son negativo y cero la solución es óptima de esta manera el valor de Z=8600. La solución óptima es que:
25 unidades de demanda del mes de Enero se satisfacen de la producción de febrero. 5 unidades de demanda del mes de Enero se satisfacen de la producción de Marzo. 30 unidades de demanda del mes de Febrero se satisfacen de la producción de Marzo. 20 unidades de demanda del mes de marzo se satisfacen de la producción de Enero. 15 unidades se quedan en el almacén de la producción de Enero. 5 unidades se quedan en el almacén de la producción de febrero.
PROBLEMA 4: Appletree cleaning tiene cinco trabajadoras domésticas. Para completar la limpieza de una casa deben aspirar, limpiar la cocina, limpiar el baño y hacer una tabla general. El tiempo que tarda cada empleado en hacer el trabajo se muestra en la tabla, A cada sirvienta se le asigna una tarea. Usa el método húngaro para determinar las asignaciones que minimizan el número total de horas-criada necesarias para limpiar la casa. CRIADA 1 2 3 4 5
LIMPIEZA CON ASPIRADOR 6 9 8 7 5
TIEMPO (HORAS) LIMPIEZA DE LIMPIEZA DEL LA COCINA BAÑO 5 2 8 7 5 9 7 8 5 6
ARREGLO GENERAL 1 3 4 3 4
SOLUCION: Nos piden resolver por el método húngaro, por lo que primero debemos balancear la tabla a una max:
CRIADA 1 2 3 4
LIMPIEZA CON ASPIRADOR 6 9 8 7
5
5
TIEMPO (HORAS) LIMPIEZA LIMPIEZA ARREGLO DE LA DEL BAÑO GENERAL COCINA 5 2 1 8 7 3 5 9 4 7 8 3 5
6
4
FICTICIO 0 0 0 0 0
Ahora, debemos escoger el mínimo valor en cada fila, para restarle a todos los valores de su respectiva fila:
TIEMPO (HORAS)
CRIADA 1 2 3 4 5
LIMPIEZA CON ASPIRADOR 6 9 8 7 5
LIMPIEZA DE LA COCINA 5 8 5 7 5
LIMPIEZA ARREGLO DEL BAÑO GENERAL 2 7 9 8 6
FICTICIO
1 3 4 3 4
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Nos damos cuenta que todos los menores valores son cero, por lo que no afectara en las filas. Ahora hacemos lo mismo con las columnas:
CRIADA 1 2 3 4 5
LIMPIEZA CON ASPIRADOR 6 9 8 7 5 5
TIEMPO (HORAS) LIMPIEZA LIMPIEZA ARREGLO DE LA DEL BAÑO GENERAL COCINA 5 2 1 8 7 3 5 9 4 7 8 3 5 6 4 5
2
FICTICIO 0 0 0 0 0
1
0
En este caso, los valores si son distintos a cero, por lo que si afectara en la resta en sus columnas, entonces pasamos a restar:
LIMPIEZA CRIADA CON ASPIRADOR 1 1 2 4 3 3 4 2 5 0
TIEMPO (HORAS) LIMPIEZA LIMPIEZA ARREGLO DE LA COCINA DEL BAÑO GENERAL 0 3 0 2 0
0 5 7 6 4
FICTICIO
0 2 3 2 3
Observamos que tenemos 11 ceros, que se pueden cubrir con 4 rayas:
0 0 0 0 0
CRIADA 1 2 3 4 5
LIMPIEZA CON ASPIRADOR 1 4 3 2 0
TIEMPO (HORAS) LIMPIEZA LIMPIEZA ARREGLO DE LA DEL BAÑO GENERAL COCINA 0 0 0 3 5 2 0 7 3 2 6 2 0 4 3
FICTICIO 0 0 0 0 0
Sabemos que el cuadro es de 5x5, por lo que los ceros, deben ser cubiertos por cinco líneas también, entonces le restamos a los valores no cubiertos el menor de ellos y le aumentamos a los cubiertos 2 veces .Quedando ahora si cubiertos por 5 rectas: CRIADA 1 2 3 4 5
LIMPIEZA CON ASPIRADOR 1 2 3 0 0
TIEMPO (HORAS) LIMPIEZA LIMPIEZA ARREGLO DE LA DEL BAÑO GENERAL COCINA 0 0 0 2 3 0 0 7 3 0 4 0 0 4 3
FICTICIO 2 0 2 0 2
Entonces, ya hemos encontrado, la respuesta: X13: 2
X44: 3
X25: 0
X51: 5
X32: 5 Por lo tanto, el tiempo mínimo de limpieza será: 2+0+5+3+5 = 15 horas RPSTA: 15 HORAS
PROBLEMA 7: Hay tres distritos escolares en el centro de Busville. El número de estudiantes negros y blancos en cada distrito se muestra en la tabla 70. La suprema corte requiere que las escuelas de Busville estén equilibradas en cuanto a razas. Así, cada escuela debe tener exactamente 300 estudiantes, y cada escuela debe tener
el mismo número de estudiantes negros. Las distancias se muestran en la tabla. Formule un problema de transporte equilibrado que se pueda utilizar para determinar la distancia total mínima por la que se debe llevar en autobús a los estudiantes, con la que aún se satisfacen los requerimientos de la corte.
N° de Estudiantes
Distancia a (millas)
Distrito
Blancos
Negros
Distrito 2
Distrito 3
1
210
120
3
5
2
210
30
3
180
150
4
Solución: Planteamiento B1
N1
B2
N2
B3
N3
0
M
3
M
5
M
B1
capacidad 210
M
0
M
3
M
5
N1
120 3
M
0
M
4
M
B2
210 M
3
M
0
M
4
N2
30 5
M
4
M
0
M
B3
180 M
5
M
4
M
0
N3 orden 200
150 100
200
100
200
100
900
Tabla óptima: B1
N1
B2
N2
B3
N3
0
M
3
M
5
M
capacidad
B1
210 200 M
10 0
M
3
M
5
N1
120 100 3
M
20 0
M
4
M
B2
210 200 M
3
M
10 0
M
4
N2
30 30 5
M
4
M
0
M
B3
180 180 M
5
M
4
M
0
N3
150 50
Orden 200
100
200
100
100 200
100
900
Vemos que del distrito 1 se deben trasladar 10 estudiantes blancos al distrito 3 y 20 estudiantes negros al distrito 2. Del distrito 2 se deben trasladar 10 estudiantes blancos al distrito 3. Del distrito 3 se trasladan 50 estudiantes negros al distrito 2.
PROBLEMA 10: Determinar la solución óptima para el problema de transporte equilibrado de la tabla 72.
Solución: Método de Vogel: Paso 1. Por reglón y por columna se identifican los costos más bajos,
posteriormente se restan dichos valores y a ese resultado se le llama “penalización”.
Paso 2: Se identifica el reglón o columna con la mayor penalización, de ese reglón
o columna identificar el mínimo costo y asignarle la mayor cantidad posible de producción o material a transportar.
Paso 3. Reducir la tabla de transporte sombreando las columnas o filas satisfechas
y repetir el proceso desde el paso 1.
Finalmente tenemos:
Z (min): 4*10 + 2*5 + 8*5 + 4*10 =120 Prueba de optimalidad con el cruce del arroyo:
A2: +4-2+8-4=6
B1: +12-8+2-4=2 Como ambos costos reducidos son positivos (A2, B2): Z (min): 4*10 + 2*5 + 8*5 + 4*10 =120 (Valor optimo)
PROBLEMA 11. En el problema 10, suponga que se incrementa s 1 a 16 y d 3 11. El problema aún está equilibrado, y debido a que se deben enviar 31 unidades (en lugar de 30), se pensaría que habría un aumento en los costos de envío totales. Muestre que el costo de envío total disminuyo en $2. A esto se le conoce como paradoja “má s por menos”. Esplique por qué al incrementar tanto la demanda como el suministro
disminuyo el costo. Por medio de la teoría de precios sombra, explique cómo se podría haber predicho que incrementar a s 1 y d 3 en 1 disminuiría el costo en $2.
4
2
4 16
12
8
4 15
10
10
10
Solución: a) Hallando la solución inicial por Vogel. suministro Penaliz.
4
2
10
6 12
8
10 8
Demanda Penaliz.
4 16
2
15
4
4
4
11
10 6
10 0
b) Analizando si la solución inicial es óptima. Sumin.
4
2
10
6 12
10 v1=4
(-)
v2=2
u1=0
16
8
(-) Demanda
4 4
4
11
10
10 v3=-2
u2=6
15
c) Calculando el nuevo valor de la función objetivo (en el problema 10 min Z = 130 )
Se obtiene el mismo resultado si se hubiera realizado utilizando el análisis de sensibilidad para problemas de transporte, cuando incrementa tanto el suministro como la demanda; y es que según este análisis el valor de la nueva función objetivo es: ()
Y es que los valores que toman u i como v j son los valores del precio sombra tanto del suministro como de la demanda. De la definición de precio sombra, si se tuviera que incrementar en 1 el lado derecho de la i-ésima restricción de suministro y la j-ésima restricción de la demanda, el valor de z óptimo disminuiría en – u i -v i . De manera equivalente, si se tuviera que disminuir en 1 el lado derecho de la i-ésima restricción de suministro y la j-ésima restricción de la demanda, el valor de z óptimo disminuiría en – ui -v i .
PROBLEMA 12: Utilice el método de la esquina noroeste, el método del costo mínimo y el método de Vogel para hallar las soluciones factibles básicas del problema de transporte de la tabla.
MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE:
Se escoge el menor entre 3 y 5 y se coloca en la casilla. La primera columna se elemina ya que no quedaria nada y se actualiza la tabla quedando 2 por la primera fila y se empieza por la segunda columna.
Se escoge el menor entre 2 y 3 y se coloca en la casilla. La primera fila se elemina ya que no quedaria nada y se actualiza la tabla quedando 1 por la primera columna y se empieza por la segunda fila.
Se escoge el menor entre 1 y 9 y se coloca en la casilla. La segunda columna se elemina ya que no quedaria nada y se actualiza la tabla quedando 9 por la segunda fila y se empieza por la tercera columna.
Se escoge el menor entre 12 y 9 y se coloca en la casilla. La segunda fila se elemina ya que no quedaria nada y se actualiza la tabla quedando 3 por la tercera columna y se empieza por la tercera fila.
Se escoge el menor entre 3 y 15 y se coloca en la casilla. La tercera columna se elemina ya que no quedaria nada y se actualiza la tabla quedando 12 por la tercera fila y se empieza por la cuarta columna.
Por ultimo se coloco 12 y como se puede observar todo cuadra y estaria la tabla final.
MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO:
Se empieza por la casilla de menor costo, en este caso el de costo 1 y se elige el menor entre 12 y 15, se elimina la cuarta columna ya que no quedaria nada y se actualiza la tabla quedando 3 por la tercera fila y se empieza por el menor costo de la fila donde estamos en este caso seria la tercera fila.
Se escoge la casilla con el costo 4, se escoge el menor entre 3 y 12 , se elimina la tercera fila ya que no quedaria nada y se actualiza la tabla quedando 9 por la tercera columna y se empieza por el menor costo de la columna donde estamos en este caso seria la tercera columna.
Se escoge la casilla con el costo 3, se escoge el menor entre 9 y 5 , se elimina la primera fila ya que no quedaria nada y se actualiza la tabla quedando 4 por la tercera columna y se empieza por el menor costo de la columna donde estamos en este caso seria la tercera columna.
Se escoge la casilla con el costo 10 , se escoge el menor entre 4 y 10 , se elimina la tercera columna ya que no quedaria nada y se actualiza la tabla quedando 6 por la segunda fila y se empieza por el menor costo de la fila donde estamos en este caso seria la segunda fila.
Se escoge la casilla con el costo 5, se escoge el menor entre 3 y 6, se elimina la primera columna ya que no quedaria nada y se actualiza la tabla quedando 3 por la segunda fila y se empieza por el menor costo de la fila donde estamos en este caso seria la segunda fila.
Por ultimo se coloco 3 en la casilla de menor costo y como se puede observar todo cuadra y estaria la tabla final
MÉTODO DE VOGEL:
Primero se resta los dos costos menores de cada fila y columna y se escoge el mayor, en este caso seria 13, es decir trabajaría en la primera columna, escojo el menor costo de esta columna y evaluó el menor valor entre 3 y 10 .Se elimina la primera columna ya que no quedaria nada y se actualiza la tabla quedando 7 por la segunda fila.
Se vuelve a resta los dos costos menores de cada fila y columna y se escoge el mayor, en este caso seria 7, es decir trabajaría en la segunda fila, escojo el menor costo de esta fila y evaluó el menor valor entre 12 y 7 .Se elimina la segunda fila ya que no quedaria nada y se actualiza la tabla quedando 5 por la cuarta columna.
Se vuelve a resta los dos costos menores de cada fila y columna y se escoge el mayor, en este caso seria 5, es decir trabajaría en la cuarta columna, escojo el menor costo de esta fila y evaluó el menor valor entre 5 y 15 .Se elimina la cuarta columna ya que no quedaria nada y se actualiza la tabla quedando 10 por la tercera fila.
Se vuelve a resta los dos costos menores de cada fila y columna y se escoge el mayor, en este caso seria 8, es decir trabajaría en la primera fila, escojo el menor costo de esta fila y evaluó el menor valor entre 5 y 12 .Se elimina la primera fila ya que no quedaria nada y se actualiza la tabla quedando 7 por la tercera columna.
Por último como solo queda la tercera fila empezamos por el menor costo y balanceamos.
PROBLEMA 15: Para el problema de Powerco, encuentre el intervalo de valores de c 24 para los que la base actual sigue siendo óptima.
Solución: Partiendo de la solución óptima dada:
8
6
10 10
9
12
9 25
13
45 14
16
30
20 v2=6
50
u2=3
40
u3=3
5
10 45 v1=6
u1=0
7 5
9
35
30 v3=10
30 v4=2
El análisis de sensibilidad está dado por lo siguiente: La condición de optimalidad. Ésta está dada por lo siguiente:
Como X24 es una variable no básica, se utilizará la segunda ecuación para encontrar los intervalos correspondientes para C 24
Por lo tanto, el valor mínimo que puede tener C 24 es de 5. El intervalo será de:
0
5
Interpretación: El costo mínimo que debe tener el trasladar de la planta 2 a la ciudad 4 debe ser de $5 para conservar la solución óptima presentada al inicio de la solución.
PROBLEMA 17: Una compañía produce automóviles en Atlanta, Boston, Chicago y Los Ángeles. Los automóviles se envían a almacenes en Memphis, Milwaukee, Nueva York, Denver y San Francisco. El número de automóviles disponibles en cada planta se da en la tabla 75. Cada almacén necesita tener disponible el número de automóviles mostrados en la tabla 76. La distancia (en millas) entre las ciudades se da en la tabla 77. a) suponiendo que el costo (en dólares) de enviar un automóvil es igual a la distancia entre dos ciudades, determine un programa de envió óptimo. b) suponiendo que el costo (en dólares) de enviar un automóvil es igual a la raíz cuadrada de la distancia entre dos ciudades, determine un programa de envió óptimo.
Tabla 75 Planta Atlanta Boston Chicago L.A
N° de automóviles disponibles 5000 6000 4000 3000
Tabla 76 Almacén Memphis Milwaukee N.Y Denver San Francisco
Automóviles Requeridos 6000 4000 4000 2000 2000
Tabla 77 Memphis Atlanta Boston Chicago L.A
Milwaukee 761 1051 87 2012
371 1296 530 1817
N.Y 841 206 802 1786
Denver 1398 1949 996 1059
S.F 249 3095 2142 379
Solución: Memphis Milwaukee Atlanta Boston Chicago L.A
N.Y
Denver
S.F
371
761
841
1398
249
5000
1296
1051
206
1949
3095
6000
530
87
802
996
2142
4000
1817
2012
1786
1059
379
3000
6000
4000
4000
2000
2000
18000
Por el método de Vogel Memphis Milwaukee Atlanta Boston Chicago L.A
N.Y
Denver
S.F 0
5000 1000
4000
1000
0
0
0
4000 0
0
1000
2000
0
0
0
0
a) Z = 5000*371 + 1000*1296 + 4000*87 + 1000*1949 + 0*996 + 1000*1059 + 2000*379 = 8089000 Memphis Milwaukee Atlanta Boston Chicago L.A
N.Y
Denver
S.F
19.2614
27.5862
29
37.39
15.78
5000
36
32.4191
14.3527
44.1474
55.6327
6000
20.0217
9.3273
28.3196
31.5594
46.2817
4000
42.6262
44.8553
42.261
32.5422
19.4679
3000
6000
4000
4000
2000
2000
18000
Memphis Milwaukee V=19
Atlanta U=0 Boston U=17 Chicago U=1 U=17 L.A
V=8
N.Y
Denver
S.F
V=
V=-3
V=15
V=2
V=-17 0
5000 1000 0 0
1000 0
4000
0
4000 0
0
2000
2000
0
0
0 0
b) Z = 5000*√371 + 1000*√1296 + 4000*√87 + 4000*√206 + 2000*√1059 + 2000*√379 +1000*0= 331047.5231
PROBLEMA 18: Durante los siguientes tres trimestres, Airco enfrenta las siguientes demandas para compresores de acondicionadores de aire: trimestre 1, 200; trimestre 2, 300; trimestre 3, 100. Durante cada trimestre se pueden producir unos 240 compresores de aire. Los costos de producción por compresión durante cada trimestre se dan en la tabla 78. El costo de mantener en inventario un compresor de aire es $100/trimestre. La demanda podría acumularse (siempre y cuando se cumpla al final del trimestre 3) a un costo de $60/compresor/trimestre. Formule el tableau para un problema de transporte equilibrado cuya solución indica a Airco cómo minimizar el costo total de satisfacer las demandas para los trimestres 1 a 3.
TABLA 78 Trimestre 1 $200
Trimestre 2 $180
Trimestre 3 $240
SOLUCION:
Ti (Trimestre i del periodo) Xi: Producción en el Ti (i=1, 2,3) Yi: Excedente en el Ti (i=1, 2,3) Wi: Costo mensual de almacenamiento en el Ti (i=1, 2,3) Producción mensual Inv. Inicial + Producción – Ventas = Inv. Final
Asumiendo: Inv. Inicial (T1) = 0 T1: T2: T3:
X1 – 200 = Y1 X1 ≤ 240 Y1 + X2 – 300 = Y2 X2 ≤ 240 Y2 + X3 – 100 =Y3 X3 ≤ 240
Al final de Y3 que va al almacenamiento se procura vender, así que: Oferta = Demanda
X1 + X2 + X3 = 600 + Y3 Costo de Almacenar:
T1: T2: T3:
10Y1 = W1 10Y2 = W2 60Y3 = W3
Se tiene el siguiente PL. Min Z = 200X1 + 180X2 + 240X3 + W1 + W2 + W3 s.a.: X1 – Y1 = 200 X1 ≤ 240 X2 + Y1 – Y2 = 300 X2 ≤ 240 X3 + Y2 – Y3 = 100 X3 ≤ 240
X1 + X2 + X3 = 600 + Y3 10Y1 = W1 10Y2 = W2 60Y3 = W3 X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3, W1, W2, W3 ≥ 0
PROBLEMA 20: Durante cada uno de los dos meses siguientes se pueden producir tantas como 50 unidades/mes de un producto a un costo de 12 $/unidad durante el mes 1 y 15$/unidad durante el mes 2.el cliente el cliente está dispuesto a comprar unas 60 unidades/mes. Durante los dos meses siguientes. El cliente pagara 20$/unidad
durante el mes 1 y 16$/unidades durante el mes 2. Cuesta 1$/unidad mantener en inventario una unidad durante un mes. Formule un problema de transporte equilibrado cuya solución indicara como maximizar la ganancia. Formulación Del Problema:
Xij: cantidad enviada del producto i al cliente j Cij: Costo por envio de producto i al cliente j Minimizar: ∑ ∑
SUJETO A: Oferta:
Demanda:
PARA TODO:
Determinación De La Solución Óptima: Creamos un nodo ficticio (fila) porque la suma de lo que se está demandando es mayor a lo que se está ofertando. D>O
Tablero inicial:
Formatted: Space
After: 8 pt, Line spacing: Multiple 1.08 li
12
13
M
15
0
0
50 50 20
Nodo ficticio 60
60
120
Por el Método del Noreste se obtiene el siguiente tablero, del cual comenzaremos con las iteraciones.
12
50
M
10
0
13
0
40
0
20
0
0
0
PRIMERA ITERACIÓN:
Formatted: Font
color: Green
Formatted: Normal, Line
No bullets or numbering
12 M 0
50 10
+
V1=12
13 15 0
spacing: single,
No bullets or numbering
0
15
0
Formatted: Normal, Line
-
U1=0
40
U2=M-12
20
U3=M-27
V2=27-12
spacing: single,
Como hay un valor no negativo en las variables no básicas, entonces hacemos un rizo 12
13
50
M
10
15
0
+
0
V1=12
-
U1=0
40
U2=M-12
20
Formatted: Indent:
Left: 0", Space After: 8 pt, Line spacing: Multiple 1.08 li
U3=M-27
V2=27-12
Luego tenemos:
12
13
50
M
15
0
0
0
10
50 10
SEGUNDA ITERACION
Formatted: Font
color: Green
Formatted: Normal, Line
No bullets or numbering
12
50
M 0
10
V1=12
13 15 0
-
U1=0
50
U2=3
10
U3=-12
V2=12
spacing: single,
Como los valores de las variables no básicas son negativos, entonces se llegó al óptimo. Calculamos el valor de Z.
Z = 1350 Formatted: Space
After: 8 pt, Line spacing: Multiple 1.08 li
1
2
3
4
5
Como el cliente pagara por los productos, 20$ y 16$ en los dos meses, entonces determinamos la utilidad.
Finalmente la Utilidad
PROBLEMA 21: La compañía Carte caterer debe tener el siguiente número de servilletas de limpieza disponibles al comienzo de los siguientes 4 días: día 1, 15; día 2, 12; día 3, 18; día 4, 6. Después de ser usada, una servilleta se limpia por medio de uno de los dos métodos: servicio rápido o servicio lento. El servicio rápido cuesta $10 por servilleta, y una servilleta que de limpia vía rápida está disponible para uso del día posterior a su último uso. El servicio lento cuesta $6 por servilleta, y estas servilletas se pueden volver a usar después de que se usaron por última vez. Las servilletas nuevas se compran a un costo de $20 por servilleta. Formule un problema de transporte equilibrado para minimizar el costo de satisfacer la demanda de servilletas durante los siguientes cuatro días. Solución:
Formatted: Font:
1
Bold, Font color: Accent
0 1 2 3 4
20) M) M) M) M)
15
20) 10) M) M) M)
12
15
20) 6) 10) M) M)
3 12 3
12
20) 6) 6) 10) M)
0) 0) 0) 0) 0)
6
18
6
20)
15
20) 16
+M-
20) + M20
20)
-
0)
36
u1=0
M)
-
10)
12
6)
3
6)
-
0)
-
u2=6-M
M)
-
M)
-
10)
12
6)
-
0)
-
u3=10-M
M)
-
M)
+4
M)
3
10)
6
0)
9
u4=0
M)
-
M)
+4
M) 0
M)
-
0)
6
u5=0
v4=10
v5=0
v1=20
v2=M+4
v3=M
20)
15
20)
3
20)
-
20)
-
0)
33
u1=0
M)
-
10)
9
6)
6
6)
-
0)
-
u2=-10
M)
-
M)
-
10)
12
6)
-
0)
-
u3=-6
M)
-
M)
-
M)
0
10)
6
0)
12
u4=0
M)
-
M)
-
M)
-
M)
-
0)
6
u5=0
v1=20
v2=0
v3=16
v4=10
v5=0
0° 1° 2° 3° 4°
20) M) M) M) M)
2°
3°
4°
5°
15
20) 10) M) M) M)
3 9
20) 6) 6 10) 12 M) M)
20) 6) 6) 10) M)
0) 0) 0) 0) 0)
6
9 6
51 15 12 18 6
51
Formatted Table
Tablero factible y optimo:
1°
36
33
12 6
PROBLEMA 23: Una firma que produce un solo producto tiene tres plantas y cuatro clientes. Las tres plantas producirán 3000, 5000, 5000 unidades respectivamente durante el siguiente periodo. La firma tiene el compromiso de vender 4000 unidades al cliente 1, 3000 unidades al cliente 2 y por menos 3000 unidades al cliente 3. Ambos clientes 3 y 4 tienen que comprar tantas unidades como sea posible. La ganancia asociada se da en la tabla. Formula el problema. Y formule el problema de transporte equilibrado que se puede utilizar para maximizar la compañía.
Utilidad
cliente1
Cliente2
Cliente3
Cliente4
Planta1
65
63
62
64
Planta2
68
67
65
62
Planta3
63
60
59
60
SOLUCION
Formatted: Underline Formatted: Justified, Space
Formulación del problema.
Formatted: Space After:
After: 8 pt
8 pt
Xij = cantidad enviada de la planta i al cliente j. Gij = ganancia por unidad enviada de la planta i al cliente j. FUNCION OBJETIVO:
Formatted: Underline
MAXIMIZAR:
∑ ∑
Sujeto a: Por la oferta:
Por la demanda:
Formatted: Space After:
8 pt
Formatted: Space After:
8 pt
Para todo:
Formatted: Centered
Hallando SolucionSolución Optima Por MetodoMétodo Simplex Obs. Debido a que el problema no estaestá equilibrado. Se procede a equilibrar la oferta de las plantas y la demanda de los clientes. Considerar la demanda para el cliente 3 = 3000 (según la ayuda del asesor) . x1
x2
x3
x4
OFERTA
y1
65
63
62
64
3000
y2
68
67
65
62
5000
y3
63
60
59
60
5000
4000
3000
3000
3000
13000
DEMANDA
SOLUCION
Hallando solución básica mediante método noroeste
Tablero Inicial: -65
-63
-62
-64
-68
-67
-65
-62
-63
-60
-59
-60
4000
3000
3000
3000 5000 5000 3000
Formatted: Underline,
Font color: Accent
Formatted: Underline,
Font color: Accent
Formatted: Underline,
Font color: Accent
Formatted: Justified, Space
After: 8 pt
Tablero final: -65
-63
-62
-64
-67
-65
-62
0
3000 -68 1000 -63
3000 -60
0
1000 -59
-60 2000
0
0
3000
0
0
0
Valor de Z=
Simboliza la secuencia del
REALIZANDO 1 ITERACION
-65
3000
-68
-63 -67
1000 -63
1
3000
-60
-
-62
0
1
-64
-65
1000
-62
-59
2000
-60
-
3000 V1=-65
-65
2000
-68
V2=-64
V4=-63
-63
-62
-64
-67
-65
-62
2000 -63
V3=-62
1000
3000 -60
-59
3000
-60
2000
U1 =0 U2=-3 U3=3
Z
REALIZAR 2DA ITERACION:
-65
2000
-63
-68
2000
-67
-63
2
V1=-65
-63
3000
-60
0
-62
2000 2000
-
-65 -59
V2=-64
-65 -68
-
-
3000
V3=-65
-64
1000
-62 -60
U1 =0
-
U2=-3
2000
U3=4
V4=-64
-63
-62
-64
-67
-65
-62
3000
3000 -60
-59
3000
-60
Z=832000 Formatted: Font:
REALIZAR 3RA ITERACION:
Formatted: Indent:
or numbering
-65
-
-63
-
-62
Bold
-
-64
3000
U1 =0
Left: 0.5", No bullets
-68
2000
-67
1
-65
-62
-
3000 -63
2000
V1=-67
-60
-
-59
V2=-66
-65
-63
-68
-67
-62 -65
4000
-60
-59
-60
U3=4
V4=-64
V3=-63
3000 -63
3000
U2=-1
-64
2000 1000
3000
-62 -60
Z=834000
REALIZAR 4TA ITERACIÓN
-65
-
-68
-63
-
-67
-62 -65
3000 -63
4000
V1=-67
-60
-
V2=-65
-59
2000 1000
V3=-63
-64
3000
U1 =0
-
U2=-2
-62 -60
U3=4
V4=-64
variablesVariables no básicas negativas, por lo tanto ya no se realiza masmás iteraciones. SOLUCION OPTIMA= 834000
PROBLEMA 25: Una casa tiene cuatro pinturas valiosas que se ponen a la venta. Cuatro clientes hacen ofertas para las pinturas. El cliente 1 está dispuesto a comprar 2 pinturas, pero los clientes entre si están dispuestos a comprar a lo sumo una pintura. Los precios que cada cliente está dispuesto a pagar se dan en la tabla 84. Utilice el método hungaro para determinar cómo maximizar el ingreso total recibido de las ventas de las pinturas.
Tabla 84 Oferta para ($) cliente 1 2 3 4
Pintura 1 8 9 9 ---
Pintura 2 11 13 -----
Pintura 3 --12 11 12
Pintura 4 --7 --9
Solución:
Formatted: Font:
color: Accent 1
Como maximizamos, hay que cambiar de signo: Aumentamos un reglonreglón porque el cliente uno puede comprar dos pinturas por lo tanto debemos colocar una columna ficticia también. Pintura 1
Pintura 2
Pintura 3
Pintura 4
ficticio
-8 -8 -9 -9 -M
-11 -11 -13 -M -M
-M -M -12 -11 -12
-M -M -7 -M -9
0 0 0 0 0
Valor absoluto M M 13 M M
Para hallar ceros en cada fila y en cada columna, sumaremos el mayor elemento en términos absolutos de cada fila: Pintura 1 M M
Pintura 2 M M
Pintura 3 0 0
Pintura 4 0 0
ficticio M M
(Default) Tahoma, Font
4 M 0
0 0 0
1 M M
6 0 M
13 M M
Todos los elementos son positivos, así que podemos utilizar la tabla como si fuera un problema de minimización Restamos el menor de cada columna: Pintura 1 M M 4 M 0 0
Pintura 2 M M 0 0 0 0
Pintura 3 0 0 1 M M 0
Pintura 4 0 0 6 0 M 0
ficticio M M 13 M M 13
Pintura 2 M M 0 0 0
Pintura 3 0 0 1 M M
Pintura 4 0 0 6 0 M
ficticio M M 0 M M
Y queda Pintura 1 M M 4 M 0
Procedemos a marcar líneas que tachen los ceros: Pintura 1 M M 4 M 0
Pintura 2 M M 0 0 0
Pintura 3 0 0 1 M M
Pintura 4 0 0 6 0 M
ficticio M M 0 M M
Pintura 1 0 0 4 0
Pintura 2 0 0 0 M
Pintura 3 M M 7 0
Pintura 4 M M 12 M
ficticio 0 0 0 0
M
M
0
0
0
Restamos el menor de cada columna: Luego la asignación queda : Cliente 4
pintura 4
Cliente3
pintura3
Cliente 2
pintura 2
cliente 1
pintura 1
PROBLEMA:
Resolviendo por el método Noroeste. Tenemos el siguiente cuadro
Calculamos los coeficientes básicos.
Formatted: Centered
Formatted: Heading
2
Ecuaciones de las variables no básicas
Colocamos los valores en la tabla
