UNIVERSIDAD TÉCNICA DE BABAHOYO.
MÉTODOS PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS DE TRANSPORTE.
GILMA TABLADA MARTÍNEZ. INGENIERA EN MATEMÁTICAS. AGOSTO 2014
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE. El problema de transporte puede ser resuelto por el Método Simplex tradicional o cualquier otro método analítico. Sin embargo, esta metodología se hace muy tediosa por la cantidad y magnitud de sus variables y datos. Problemas de transporte. Consiste en encontrar un plan de transportación óptimo de productos o bienes desde diferentes centros de oferta a varios centros de demanda. Están incluidos en una amplia gama de problemas, que se conocen como problemas de redes. Estos problemas de transportación óptima pueden hacerse con el fin de que los costos de transportación sean mínimos o de que la ganancia de transportación se maximice. Los modelos de distribución de recursos o transportación deben tener las siguientes condiciones generales:
Se deben cumplir las exigencias de los clientes. No se puede exceder la capacidad de producción o existencia de los productos. La demanda no puede exceder a la oferta.
Para estos modelos las variables representan las cantidades de productos que se enviarán desde un centro de producción a un centro de recepción, por lo que llevarán 2 índices. El primero indica el número de la planta y el segundo el número de punto de recepción, de forma tal que
→ Número de productos que se enviarán desde el centro de producción
recepción .
al centro de
Antes de formular un modelo matemático para un problema de transporte, es posible dibujar un diagrama de redes esquemático para representar los diversos componentes del problema, como se ilustra en la figura 1. Los círculos o nodos nodos representan las plantas de producción y los centros de recepción o clientes. Cada arco arco indica que los productos pueden embarcarse desde la planta hasta el cliente .
Nodo: Nodo: Un círculo en un diagrama de redes que representa un aspecto importante de un problema, como la fuente y destino de bienes en un problema de transportación. Arco: Arco: Una línea que conecta dos nodos en un diagrama esquemático que representa una relación entre estos dos nodos, como podría ser una posible ruta para el embarque de bienes en un problema de transportación. Además de los nodos y arcos, el diagrama de redes incluye los datos del problema. En este caso, los números que están junto a los nodos correspondientes a los centros de producción indican el número de productos que se oferta en cada centro, los números que están junto a los nodos correspondientes a los demandantes o clientes indican el número de productos que se solicitan allí. Finalmente, las variables del problema se escriben junto a cada arco representan los embarques de productos desde la planta correspondiente al cliente asociado. Todos los aspectos importantes de este problema se incluyen en este diagrama de redes y, como verá, el diagrama simplifica la formulación matemática del modelo. Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 2
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE. El problema de transporte puede ser resuelto por el Método Simplex tradicional o cualquier otro método analítico. Sin embargo, esta metodología se hace muy tediosa por la cantidad y magnitud de sus variables y datos. Problemas de transporte. Consiste en encontrar un plan de transportación óptimo de productos o bienes desde diferentes centros de oferta a varios centros de demanda. Están incluidos en una amplia gama de problemas, que se conocen como problemas de redes. Estos problemas de transportación óptima pueden hacerse con el fin de que los costos de transportación sean mínimos o de que la ganancia de transportación se maximice. Los modelos de distribución de recursos o transportación deben tener las siguientes condiciones generales:
Se deben cumplir las exigencias de los clientes. No se puede exceder la capacidad de producción o existencia de los productos. La demanda no puede exceder a la oferta.
Para estos modelos las variables representan las cantidades de productos que se enviarán desde un centro de producción a un centro de recepción, por lo que llevarán 2 índices. El primero indica el número de la planta y el segundo el número de punto de recepción, de forma tal que
→ Número de productos que se enviarán desde el centro de producción
recepción .
al centro de
Antes de formular un modelo matemático para un problema de transporte, es posible dibujar un diagrama de redes esquemático para representar los diversos componentes del problema, como se ilustra en la figura 1. Los círculos o nodos nodos representan las plantas de producción y los centros de recepción o clientes. Cada arco arco indica que los productos pueden embarcarse desde la planta hasta el cliente .
Nodo: Nodo: Un círculo en un diagrama de redes que representa un aspecto importante de un problema, como la fuente y destino de bienes en un problema de transportación. Arco: Arco: Una línea que conecta dos nodos en un diagrama esquemático que representa una relación entre estos dos nodos, como podría ser una posible ruta para el embarque de bienes en un problema de transportación. Además de los nodos y arcos, el diagrama de redes incluye los datos del problema. En este caso, los números que están junto a los nodos correspondientes a los centros de producción indican el número de productos que se oferta en cada centro, los números que están junto a los nodos correspondientes a los demandantes o clientes indican el número de productos que se solicitan allí. Finalmente, las variables del problema se escriben junto a cada arco representan los embarques de productos desde la planta correspondiente al cliente asociado. Todos los aspectos importantes de este problema se incluyen en este diagrama de redes y, como verá, el diagrama simplifica la formulación matemática del modelo. Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 2
Suponga que queremos enviar ciertos productos desde centros de producción a centros de recepción o clientes con sus correspondientes ofertas y demandas de cada uno de los centros. El gráfico de redes se presenta a continuación: Centros de producción
.
1
.
2
.
Centros de recepción
. 2
1
2
2
. 3
3
Figura 1. Estructura general de un modelo de de transporte Los modelos de transporte pueden ser de dos tipos:
Balanceados. No balanceados.
Cuando la cantidad de productos o bienes ofertados es igual a la cantidad de productos o bienes demandados se dice que el modelo es balanceado, balanceado, caso contrario, se dice que es no balanceado. Primeramente vamos a estudiar los métodos de solución para problemas balanceados. El modelo para un problema de transporte balanceado es el siguiente: Min
∑ ∑
Sujeto a:
( ) ∑ ∑ ∑ ∑ Los métodos de transporte en sentido general tienen los siguientes pasos: 1. Determinar una solución inicial factible básica. 2. Aplicar la condición de optimalidad optimalidad para encontrar una variable de entrada, entre todas las variables no básicas. Si se satisface la condición de optimalidad terminar el proceso. De lo contrario vaya al paso 3. Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 3
3. Utilizar la condición de factibilidad para factibilidad para encontrar la variable saliente, de entre todas las variables básicas y determinar la nueva solución factible básica. Regrese al paso 2. Prueba de optimalidad. Consiste en encontrar los indicadores de la tabla simplex para analizar la posibilidad de encontrar una nueva variable básica. Las variables básicas tienen indicador nulo. La variable que ingresa a la base es la que tiene indicador más negativo. La variable entrante entrante a la base es la que tiene el menor coeficiente y debe cumplir las siguientes condiciones: 1. Satisfacer las condiciones de disponibilidades de oferta y requerimientos de demanda. 2. No se permiten envíos de cantidades negativas de recursos por ninguna vía. Prueba de factibilidad. Consiste en encontrar un nuevo plan de transportación con costo menor a los obtenidos en las soluciones básicas anteriores. Los modelos de distribución de recursos o transportación deben tener las siguientes condiciones generales:
Se deben cumplir las exigencias de los clientes. No se puede exceder la capacidad de producción o existencia de los productos. La demanda no puede exceder a la oferta.
El método de solución de problemas de transporte se basa en una tabla, llamada tabla característica de transportación, transportación , en la que se plasman los datos del problema de la siguiente forma:
En la parte superior derecha de cada cuadrícula en el cuerpo de la tabla, se escriben los coeficientes de la FO, o sea, los costos de transportación desde un origen a un destino. Los valores de oferta se ponen en la columna final. En la última fila se ponen los valores de demanda. En la parte inferior izquierda de cada cuadrícula en el cuerpo de la tabla, se escriben los valores de las variables del modelo, o sea, los valores de envíos o cantidades de transportación desde un origen a un destino. Cuando no se hace envío desde un origen a un destino no se pone ningún valor en esa posición, o en su defecto se coloca un cero.
Antes de aplicar un método de solución, se debe verificar la condición de equilibrio.
ESTRUCTURA DE LA TABLA CARACTERÍSTICA DE TRANSPORTE PARA UN PROBLEMA CON 3 OFERETANTES Y 4 CLIENTES. Para la elaboración de la tabla característica vamos a considerar un problema con 3 centros de oferta y 4 centros de recepción. La información brindada para plantear el problema es:
Costos de los embarques posibles.
Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 4
Demanda de los clientes (Centros de distribución)
Oferta de las Plantas. (Plantas de producción)
Las variables para este problema serían:
Cantidad a transportar desde la planta al centro de recepción . Clientes
2
s e t n a t r e f
2
2
22
3
3
22
24
24
33
2
34
34
3
4
Demandas
O f e r t a s
3
2
23 33
32
4
23
3
32
4
2
3
3
4
Ecuación de balance
SOLUCIÓN INICIAL PARA UN PROBLEMA DE TRANSPORTE. La solución inicial para un problema de transporte puede encontrarse de manera arbitraria, haciendo asignaciones a las variables, sin descuidar las condiciones de ofertas y demandas; sin embargo, esto no es aconsejable porque podemos violar criterios técnicos como el número de asignaciones que deben hacerse o encontrar soluciones iniciales que dificulten el proceso de cálculo de la solución óptima. Para encontrar la solución usaremos dos métodos diferentes:
Método de la esquina noroeste. Método de la celda de mínimo costo.
La solución inicial de un problema de transportación debe tener variables básicas. Si se encuentra un plan de transportación inicial con un número menor de embarques, siguiendo alguno de los métodos que vamos a estudiar, entonces se asigna cero en una celda vacía hasta completar el número de variables básicas que necesitamos. MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE. Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 5
El método consiste en asignar al destino 1 la mayor cantidad posible de la oferta 1 y así sucesivamente se van haciendo las asignaciones de las ofertas recorriendo la tabla de izquierda a derecha y de arriba abajo para satisfacer las demandas; según se requiera teniendo en cuenta los valores de la tabla. MÉTODO DE LA CELDA DE MÍNIMO COSTO. El método consiste en buscar la oferta de menor costo en la tabla y asignar al destino correspondiente según los valores de la tabla y así sucesivamente seguir haciendo asignaciones hasta satisfacer las demandas y ofertas. Ejemplo de un problema de transporte. Una empresa posee dos plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y 400 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a tres centros de distribución con demandas diarias de 200, 200 y 250 unidades, respectivamente. Los costos de transporte en $/unidad del producto son:
C. de Dist. 1
C. de Dist. 2
C. de Dist. 3
21 28
25 13
15 19
Planta 1 Planta 2
Se quiere encontrar una solución inicial para el problema de transportación descrito anteriormente. La tabla característica para este problema es: C. de Dist. 1
C. de Dist. 2
21
C. de Dist. 3
25
15
Planta 1
250 28
13
19
Planta 2
400 200
a)
200
250
650
Usando el método de la esquina noroeste debemos realizar los siguientes pasos: 1. Hacer la asignación posible al destino 1 desde la planta 1. 21
25
15
250 200 28
13
19
400 200
Ing. Gilma Tablada Martínez.
200
250
650
Investigación Operativa. 6
2. Asignar a la centro 2 las 50 unidades restantes de la planta 1. 21
25
15
250 200
50 28
13
19
400 200 3.
200
250
650
Asignar al centro 2 150 unidades de las 400 que oferta la planta 2. 21
25
15 250
200
50 28
13
19 400
150 200
200
250
650
4. Las 250 unidades restantes de la planta 2 se asignan al centro 3. 21
25
15
250 200
50 28
13
19
400 150 200
250 200
La solución inicial de embarque debe tener
250
650
Esta solución tiene 4 variables básicas y por lo tanto cumple la condición inicial del método de transporte. Caso contrario debíamos añadir un cero en una celda vacía y considerarlo un embarque. Verifiquemos que también cumple con los requerimientos de demanda de cada centro de distribución y las limitaciones de oferta de cada planta.
Requerimiento de demanda 1
Requerimiento de demanda 2
2 22
Ing. Gilma Tablada Martínez.
Requerimiento de demanda 3
Limitaciones de oferta 1
Limitaciones de oferta 2
23
2
22 23
Investigación Operativa. 7
Para este caso la solución inicial es: Asignar 200 unidades diarias al centro de distribución 1 desde la planta 1, 50 al centro 2 desde la planta 1, 150 al centro 2 desde la planta 2 y 250 al centro 3 desde la planta 2. El valor de costo para la FO se calcula:
es el costo de transportación para esta solución inicial. b) Usando el método de la celda de mínimo costo debemos realizar los siguientes pasos: 1. Buscar el menor costo de envío en la tabla ($13.00), y asignar la mayor cantidad posible a ese centro. 21
25
15
250 28
13
19
400 200 200
200
250
650
2. Buscar el menor costo de los restantes sin cubrir ($15.00), y hacer la mayor asignación posible. 21
25
15
250 250 28
13
19
400 200 200
200
250
650
3. Buscar el menor costo de los restantes sin cubrir ($19.00), y hacer la mayor asignación posible. 21
25
15
250 250 28
13
19
400 200 200
0 200
250
650
4. Buscar el menor costo de los restantes sin cubrir ($21.00), y hacer la mayor asignación posible. Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 8
21
25
15
250 0
250 28
13
19
400 200 200
0 200
250
650
5. Buscar el menor costo de los restantes sin cubrir ($25.00), y hacer la mayor asignación posible. 21
25
15
250 0
0
250
28
13
19
400 200 200
0 200
250
650
6. Buscar el menor costo de los restantes sin cubrir ($28.00), y hacer la mayor asignación posible. 21
25
15
250 0
0
250
28
13
19
400 200
200 200
0 200
250
650
Para este caso la solución inicial es: Asignar 250 unidades diarias al centro de distribución 3 desde la planta 1, 200 al centro 1 desde la planta 2 y 200 al centro 2 desde la planta 2. El valor de costo para la FO se calcula:
es el costo mínimo de transportación. Note que la solución inicial consta de tres embarques y se requieren 4, por lo que se hace necesario asignar cero a una variable no básica cualquiera para garantizar el número de mínimo de envíos en la solución inicial. Generalmente la solución inicial generada con el método de mínimo costo genera una solución inicial más próxima a la solución óptima. Verifiquemos que también cumple con los requerimientos de demanda de cada centro de distribución y las limitaciones de oferta de cada planta.
Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 9
Requerimiento de demanda 1
Requerimiento de demanda 2
3
2 22
Limitaciones de oferta 1
Limitaciones de oferta 2
2
22
Limitaciones de oferta 3
3
Deber 1: Para los datos de costos de envío por unidad, ofertas y demandas que se muestran en la siguiente tabla, plantee la tabla característica y encuentre una solución inicial. Centros de oferta 1 2 3 Demandas
1
Centros de demanda 2 3
4
Ofertas
10
15
20
14
400
5
7
6
8
300
9
10
15
13
150
200
200
150
300
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE. 1. MÉTODO DEL CRUCE DEL ARROYO. Pasos del método:
1. Encontrar la solución inicial. Verificar que tenga asignaciones. Si es menor completar con ceros. 2. Hacer la prueba de optimalidad para cada solución encontrada. 3. Hacer la prueba de factibilidad para cada solución encontrada. 4. Encontrar la cantidad a enviar de modo que el costo total de envío sea mínimo. Prueba de factibilidad y optimalidad para el método del cruce del arroyo. -
Prueba de factibilidad. Consiste en formar los circuitos cerrados posibles desde las celdas de las variables no básicas de la tabla característica inicial (las que no tiene envíos asociados). Los circuitos formados tienen como vértices celdas con variables básicas y estas serán los vértices de los mismos.
Para encontrar el valor de la variable entrante se envía desde una celda actualmente vacía una unidad de transportación. Esto se logra hallando los costos reducidos para las celdas vacías (variables no básicas). El costo reducido es el valor en el que cambia la FO al enviar una unidad por el circuito correspondiente a una celda vacía.
–
A la celda de la variable no básica se asigna un signo y de manera alternada se asigna y a las restantes celdas del circuito. El signo indica un incremento en el costo de la transportación y el signo indica una disminución en el valor de la FO.
–
Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 10
Dentro del circuito de costo reducido más negativo se toma la menor cantidad a transportar asociada a los costos que tienen signos negativos en el circuito. Este valor se suma y se resta al circuito de acuerdo con su signo y se genera la próxima tabla característica. -
Prueba de optimalidad. Consiste en verificar la optimalidad de la solución nueva encontrada consiste en comprobar si todos los costos reducidos son positivos.
Selección de la solución inicial para nuestro ejemplo. Tomemos la solución inicial para nuestro problema obtenida por el método de la esquina noroeste. 21
25
15
250 200
50 28
13
19
400 150 200
250 200
250
650
En esta solución inicial tenemos 2 variables no básicas, 3 y 2 , por tanto vamos a tener 2 circuitos con las característica antes mencionadas. Los circuitos para calcular el costo reducido se pueden representar en la misma tabla, pero para ganar en claridad los representaremos en tablas separadas. También pueden plantearse los cálculos sin que sean dibujados en la tabla. Para nuestro caso la tabla que representa al circuito correspondiente a la variable 21
200
25
28
200
15
250
50
13
150 200
2 es:
19
400 250 250
650
Costo reducido:
La tabla que representa al circuito correspondiente a la variable 21
200
25
50 28
150 200
Costo reducido: Ing. Gilma Tablada Martínez.
200
3 es: 15
13
19
250 250
250
400 650
6 Investigación Operativa. 11
El segundo costo calculado es negativo, por lo que la variable
3 es la que entra a la base.
Para calcular el valor posible a asignar a 3 tomamos el menor de los envíos establecidos para las variables básicas del circuito con signo en este caso 50. Ese valor se suma y se resta según indican los signos de las celdas del circuito.
3 2 22 23 La nueva solución es:
3 22 23 Restableciendo nuestra tabla característica: 21
25
15
250 200
50 28
13
19
400 200 200
200 200
250
650
Haciendo la prueba de optimalidad para esta solución: 21
25
200
200
13
200 200
250
25
200
400
6
650
250
Costo reducido:
19
200 200
13
200
Costo reducido:
15
50
28
250
19
200
21
200
50
28
15
250
400
650
Como todos los costos reducidos son positivos la solución es óptima. Se calcula el costo total mínimo. Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 12
Costo total = (200*21) + (50*15) + (200*13) + (200*19) = 4200 + 750 + 2600 + 3600 = $11 350.00 El nuevo plan de transportación es
3 ; 22 y 23
Deber 2: Use el método del cruce del arroyo para resolver el problema del deber 1 y encontrar un plan de transportación óptimo. 2. MÉTODO DE MODIFICADO DE DISTRIBUCIÓN (MODI) Condición de factibilidad: Las variables básicas tienen indicadores nulos, pero para las variables no básicas debemos calcularlos. Para ello, a cada fila asociamos los valores para y para las columnas y cada variable básica hacemos corresponder una ecuación, de manera tal que .
Determinamos arbitrariamente cualquier o igual a cero para luego ir calculando los otros. En nuestro caso hagamos . Para los cálculos nos auxiliamos de la siguiente tabla:
Variables básicas
Ecuación
Solución
2 2 2 2 3
2 2 2 2 3
Como resultado de estas operaciones tenemos:
, , 2 , 2 , 3 . Para cada variable no básica evaluamos Variables no básicas
Ecuación
3 3 2 2
Los cálculos anteriores equivalen a calcular la fila de indicadores de la tabla simplex, o sea, los coeficientes de las variables estructurales en la FO. En nuestro caso sería:
0
0
-12
15
0
0
Condición de optimalidad. La solución es óptima ti todos los indicadores son no negativos. En este caso la solución no es óptima. Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 13
Los valores antes calculados de manera independiente podrían ser calculados directamente en la tabla característica para simplificar el cálculo de la siguiente manera: Los indicadores para las variables no básicas aparecen en azul en el cuerpo de la tabla. Partiendo de que
21
25 21
27 25
15
250
0
200
50
-12
28
13
19
400
-8
15
150
250
200
200
250
650
19 – ( – 8+15) = -
28 – ( – 8 + 21) =
La variable entrante es
3 porque tiene el coeficiente más negativo.
Las condiciones que debe cumplir como VE determinan el valor máximo de la variable entrante y la variable que sale de la base.
Para encontrar el valor de la variable entrante se construye un circuito cerrado con segmentos verticales y horizontales (no diagonales) desde la celda de la VE, actualmente vacía. Cada esquina del circuito debe ser una celda con una variable básica, excepto la de la variable entrante. Para cada VNB hay exactamente un circuito. El circuito puede hacerse en cualquier sentido. A la VE se le asigna la cantidad y en el sentido del circuito diseñado se resta y se suma la cantidad a las asignadas anteriormente a las variables del circuito, comenzando por un + en la celda de la VE.
21
25 21
0
200
50 28
200
150 +
25
15
13
-8
15
27
-12 19
250 -
200
250
400 650
Luego de asignar las cantidades a las variables se calcula el valor de análisis:
250
a través del siguiente
23 2 22
El valor de es 50 porque es valor que hace cero a la variable básica con menor valor.
Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 14
Esta variable se convierte en la variable saliente. Si se anulasen 2 variables al mismo tiempo se escoge arbitrariamente cualquiera de las ellas. En este método, al igual que en el Simplex, en cada iteración sale una variable de la base y entra otra, por lo que se mantendrán 4 variables básicas. Ahora el nuevo plan de transportación es:
3 22 23 Probemos si se cumplen las condiciones de oferta y de demanda. Requerimiento de demanda 1
Requerimiento de demanda 2
Limitaciones de demanda 3
Limitaciones de oferta 1
Limitaciones de oferta 2
22
3 23
3
22 23
Actualizando la tabla característica: 21
25
15
250 200
50 28
13
19
400 200 200
200 200
250
650
Debemos hacer las pruebas de optimalidad. Calculemos los valores básicas.
y para las variables básicas y los indicadores para las variables no
Variables básicas
Ecuación
3 2 3 2 2
Solución
3 3 2 2 2
Para las variables no básicas los indicadores son: Variables no básicas
Ecuación
2 26 2 2
Los indicadores para las variables estructurales son: Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 15
0
16
0
3
0
0
La solución es óptima porque todos los indicadores son no negativos. El plan de embarque óptimo tiene costo mínimo de $11 350.00; enviando desde la planta 1 200 unidades al centro de distribución 1 y 50 al centro de distribución 2 y enviando desde la planta 2 200 unidades al centro de distribución 2 y 200 al centro de distribución 3.
Deber 3: Use el método MODI para resolver el problema del deber 1 y encontrar un plan de transportación óptimo.
3. MÉTODO DE MULTIPLICADORES TRANSPORTACIÓN.
PARA
SOLUCIONAR
PROBLEMAS
DE
Este método de solución de problemas de transporte parte de una solución inicial y requiere de las pruebas de optimalidad y factibilidad. Es bastante parecido al anterior, se diferencia en el criterio para calcular los indicadores de la FO y el criterio para escoger la variable entrante. Para ilustrar el método apliquémoslo al ejemplo anterior. Tomemos la tabla característica inicial aplicando el método de la esquina noroeste: 21
25
15
250 200
50 28
13
19
400 150 200
250 200
250
650
Como ya verificamos las condiciones de la solución inicial, obviemos esos pasos. Vayamos directamente a la prueba de optimalidad. Prueba de optimalidad para el método de multiplicadores. Las variables básicas tienen indicadores nulos, pero para las variables no básicas debemos calcularlos en función de los valores para las filas y para las columnas. Para cada variable básica corresponde una ecuación, en la que .
Determinamos arbitrariamente otros. En nuestro caso hagamos
cualquier o igual a cero para luego ir calculando los
. Para los cálculos nos auxiliamos de la siguiente tabla:
Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 16
Variables básicas
Ecuación
2 2 2 2 3 Para cada variable no básica evaluamos Variables no básicas
Solución
2 2 2 2 3
Ecuación
3 3 2 2
Los cálculos anteriores equivalen a calcular la fila de indicadores de la tabla simplex, o sea, los coeficientes de las variables estructurales en la FO. En nuestro caso serían:
0
0
12
-15
0
0
Los valores antes calculados de manera independiente podrían ser calculados directamente en la tabla característica para simplificar el cálculo, partiendo de que . Los indicadores para las variables no básicas aparecen en azul en el cuerpo de la tabla.
21
25 21
27 25
15
250
0
200
50
12
28
13
19
400
-8
-15
150
250
200
200
250
650
3 porque tiene el coeficiente mayor (positivo). Para encontrar el valor de la variable entrante se construye un circuito cerrado con La variable entrante es
segmentos verticales y horizontales (no diagonales) desde la celda de la VE, actualmente vacía. Cada esquina del circuito debe ser una celda con una variable básica, excepto la de la variable entrante. Para cada VE hay exactamente un circuito. El circuito puede hacerse en cualquier sentido comenzando por la celda de la VE, a la que se le asigna la cantidad y en el sentido del circuito diseñado se resta y se suma la cantidad a las asignadas anteriormente a las variables del circuito, comenzando por un + en la celda de la VE.
21
25 21
0
200
50 28
-12
-15
Ing. Gilma Tablada Martínez.
150 +
31 25
15
13
250
16 19
250 -
400
Investigación Operativa. 17
200
200
250
650
Luego de asignar las cantidades a las variables se calcula el valor de análisis:
a través del siguiente
23 2 22
El valor de es 50 porque es valor que hace cero a la variable básica con menor valor. Esta variable se convierte en la variable saliente. Si se anulasen 2 variables al mismo tiempo se escoge arbitrariamente cualquiera de las ellas. Ahora el nuevo plan de transportación es: 21
9 21
15 25
15
250
0
200
-16 28
13
4
-3 200
200 200
19
200 250
400 650
Como todos los indicadores son negativos, la solución es óptima. Los envíos son:
; 3 ; 22 y 23 para un costo de $11 350.00 Mediante el método anterior probamos que esta solución fue la óptima. Deber 4: Use el método de multiplicadores para resolver el problema del deber 1 y encontrar un plan de transportación óptimo.
4. MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL (MAV). Este método permite resolver el problema en su totalidad sin necesidad de tener una solución inicial. Pasos del método. 1. Determinar una penalización para cada fila o columna, restando los dos costos menores de esa fila o columna. Las penalizaciones se denotarán y respectivamente. 2. Determinar la mayor penalización. Si hay más de una penalización mayor con igual valor, se escoge arbitrariamente cualquiera. 3. Asignar la mayor cantidad posible a la variable con el costo unitario mínimo de esa fila o columna elegida. 4. Eliminar la fila o columna satisfecho, llenando de ceros las celdas vacías para que no se tomen en cuenta en cálculos posteriores.
Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 18
5. Si sólo queda una fila o columna sin eliminar, continúe con el método de costo mínimo para balancear el sistema. 6. Si no se cumple el paso 5, vaya al paso 1 sino al paso 7. 7. Halle el valor de costo de la FO. Aplicación del MAV para nuestro ejemplo. Este método parte de la tabla característica con los costos de cada envío y las condiciones de demanda y oferta. 21
25
15
250 28
13
19
400 200
200
250
650
A la tabla, según avanza el método se agregan filas y columnas para incorporar las penalidades obtenidas. 21
25
28
15
13
200
200 12
7
250
6
400
6
19
250
650
4
Penalidades de demanda
Penalidades de oferta
Como la mayor penalidad la tiene la segunda columna (12) y el costo menor en esa columna lo tiene la celda (2, 2), corresponde asignar 200 unidades al centro de distribución 2, que es su demanda; por lo que se tacha esa columna. 21
25
15
250 0 28
13
19
400 200 200
200 -------
21
250
25
650
15
250
6
0 28
Ing. Gilma Tablada Martínez.
13
19
Investigación Operativa. 19
Se vuelven a penalidades, cuenta los columna
400
9
200 200
200 -------
7
250
650
4
calcular las sin tomar en costos de la eliminada.
La máxima penalidad corresponde a la oferta 2, de los costos disponibles el menor es 19 en la celda (2, 3), a ella se asigna lo que resta de la oferta 2 siempre y cuando el valor de la demanda para el centro 3 lo permita. 21
25
15
250
6
400
----
0 28
0
13
200 200
19
200 200 -------
250
650
Se vuelven a calcular las penalidades: 21
25
15
250
6
400
----
0 28
0
13
200 200
19
200 200 -------
250
650
Como sólo nos queda la fila de la oferta 1, se asignan las cantidades posibles.
21
200
25
0 13
200 200
Ing. Gilma Tablada Martínez.
250
6
400
----
50
28
0
15
19
200 200 -------
250
650
Investigación Operativa. 20
Todas estas tablas pueden ser resumidas en una sola, añadiendo en cada paso una nueva fila y una nueva columna para los y según se muestra a continuación:
Oferta 21
200
25
0 13
200
Demanda.
200
2
250
6
6
400
6
9
6
50
28
0
15
2
19
200 200 12
7
250
650
4
7
4
Completada la distribución, se procede a hacer el análisis de optimalidad para esta solución. Prueba de optimalidad para el MAV. Consiste en formar todos los circuitos posibles desde las celdas vacías y calcular para cada uno de ellos el costo reducido. También se puede aplicar la prueba del método MODI. El costo reducido se calcula asignando a cada celda del circuito el envío de una unidad y se corresponde al costo del envío de esa unidad. Si todos los costos reducidos son positivos la solución es óptima, de lo contrario se toma el circuito con costo más negativo y se resta y suma la cantidad a las variables básicas del circuito para encontrar el nuevo plan de envío con costo menor. La celda de la VB que comienza el circuito siempre es positiva y en los restantes vértices se alternan los signos – y + en el sentido que fue escogido el circuito.
Para este ejemplo tenemos 2 circuitos porque tenemos 2 celdas vacías que representan las variables no básicas. 21 200
25
0 28
0 200
200
21
200
0
200 250
400
6
650
250
19 200
Ing. Gilma Tablada Martínez.
13
200
Costo reducido:
15 50
200
250
19
25
28 0
50
13 200
200
15
250
400
Costo reducido:
650
Investigación Operativa. 21
Como todos los costos reducidos son positivos la solución es óptima. Se calcula el costo total mínimo: Costo total = (200*21) + (50*15) + (200*13) + (200*19) = 4200 + 750 + 2600 + 3600 = $11 350.00 El nuevo plan de transportación es:
3 22 y 23 . La solución encontrada por cada uno de los métodos estudiados es la misma. Sin embargo, la solución inicial encontrada al aplicar el método MAV coincide con la solución óptima del problema encontrada en varios pasos en los restantes métodos.
Deber 5: 1. 2.
Use el método MAV para resolver el problema del deber 1 y encontrar un plan de transportación óptimo. Compare las soluciones encontradas por cada uno de los diferentes métodos. Haga un resumen con los resultados que obtenga.
MAXIMIZACIÓN PARA PROBLEMAS DE TRANSPORTACIÓN. Los problemas de planificación de transportación también incluyen la maximización de las ganancias en las transportaciones, siempre y cuando las ofertas y las demandas estén balanceadas. Para estos problemas se aplican las mismas herramientas de solución estudiadas y los pasos a seguir son los mismos: -
Búsqueda de una solución inicial con envíos que satisfagan las condiciones de oferta y demanda. No se permiten cantidades de envíos negativos Verificar las condiciones de optimalidad de la solución. Verificar las condiciones de factibilidad de la solución.
Modelo matemático para el problema de transportación. FO:
∑ ∑
Sujeto a:
∑ ( ) ∑ ∑ ∑ Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 22
Los métodos para obtener la solución inicial son: -
Método de la Esquina Noroeste. Método de la ganancia máxima. Método de la aproximación de Vogel.
Método del Cruce del arroyo para problemas de maximización. La solución es óptima si todos los costos reducidos son negativos para las variables no básicas. Si la solución no es óptima se toma como VE a la que tenga el costo reducido mayor. En el circuito correspondiente a esa variable se toma la menor asignación con signo negativo para la VE y ese valor se adiciona o resta a las VB, según indican los signos de las variables que forman el circuito. Método de multiplicadores para problemas de maximización. La solución es óptima si todos los indicadores son positivos para las variables no básicas. Si la solución no es óptima se toma como VE a la que tenga el indicador más negativo. En el circuito correspondiente a esa variable se toma la menor asignación con signo negativo para la VE y ese valor se adiciona o resta a las VB, según indican los signos de las variables que forman el circuito.
Método MAV para problemas de maximización. Las penalizaciones se calculan tomando en cuenta los mayores cotos de las filas o columnas. De las penalizaciones calculadas se toma la menor. Las asignaciones se hacen tomando el criterio de mayor ganancia. Se repite el proceso hasta que sólo nos quede una fila o columna por eliminar.
Ejemplo de un problema de maximización. Una empresa ecuatoriana envía desde su cede en Quito a sus unidades portuarias en Manta, Esmeralda y Guayaquil 400, 200 y 150 toneladas de un determinado producto, respectivamente para atender pedidos de Panamá, Honduras y Venezuela con las siguientes consideraciones:
Panamá Honduras Venezuela
Ing. Gilma Tablada Martínez.
Pago
Requerimiento (Toneladas)
($/Ton)
200 300 250
120 000.00 110 000.00 100 000.00
Investigación Operativa. 23
Los costos de transporte en $/toneladas del producto son: Desde Manta Esmeralda Guayaquil
Hasta (por mar) Honduras Venezuela 25 000 20 000 20 000 20 000 15 000 15 000
Panamá 25 000 25 000 20 000
Costo desde la planta al puerto. 50 000.00 40 000.00 30 000. 00
Se requiere formular un modelo de Programación Lineal que permita satisfacer los requerimientos de demanda y garantizar la ganancia máxima.
Solución al problema de maximización. La información brindada para plantear el problema es: -
Precio de venta de cada tonelada del producto.
-
Costos de los embarques posibles de cada tonelada.
-
Costo de transportación desde la planta a cada unidad portuaria.
-
Demanda de los clientes.
-
Oferta desde las unidades portuarias.
Las variables para este problema son:
Cantidad a transportar desde la unidad portuaria al país . ( ) En base a los datos de precio y costos debemos encontrar el valor de ganancia neta desde cada unidad portuaria a cada país. FO:
∑ ∑
Por ejemplo de Manta a Panamá la ganancia neta sería:
( ) . 00 Del mismo modo procedemos con los demás, de manera tal que las ganancias netas serían: De Manta a Honduras $35 000.00 De Manta a Venezuela $30 000.00 De Esmeraldas a Panamá $55 000.00 De Esmeraldas a Honduras $50 000.00 De Esmeraldas a Venezuela $40 000.00 De Guayaquil a Panamá $55 000.00 De Guayaquil a Honduras $50 000.00 Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 24
De Guayaquil a Venezuela $40 000.00 Esquema del modelo para el problema Unidades portuarias
Países
M
3
2
P
H
V
2
E
3
150
G
22 23
32 33
750
750 Tabla característica para el modelo. En la tabla 45
35
30
400 55
50
40
200 70
65
55
250 200 300 250 característica vamos a ubicar la cantidad de miles solamente.
Ing. Gilma Tablada Martínez.
750
Investigación Operativa. 25
Apliquemos el método de aproximaciones de Vogel para encontrar una solución inicial al problema. Calculemos las penalizaciones y asignaciones.
45
35
55
300
250
15
15
15
45
35
55
0
750
2 400
10
10
200
5
5
250
5
55
0
200
300
250
15 10
15 15
15 10
35
150
750
2 3
30
400
10
10
200
5
5
150
5
10
250
55
50
150
40
0
70
65
0
55
0
200
300
250
15 10 -
15 15 -
15 10 -
Ing. Gilma Tablada Martínez.
5
40
65
45
2 3
150
0
70
150
5
30
50
200
50
200
0
200
200
10
55
0
400 40
65
150
2
30
50
70
750
Investigación Operativa. 26
Calculemos los costos reducidos para las variables no básicas:
6 El mayor costo reducido corresponde al circuito , por lo que la VE es Procedemos con la metodología conocida para encontrar la nueva solución.
De las variables que integran el circuito de mayor contribución, la que tiene menos asignación es 2, por lo que es la variable que sale de la base y esa cantidad se adiciona o resta a las variables del circuito según el signo que tienen.
La tabla característica que muestra la nueva solución es: 45
35
30
400 50
100
250
55
50
40
200 0
200
0
70
65
55
250 150
0 200
0 300
250
750
Calculemos los costos reducidos para las variables no básicas:
6
No hay costo reducido positivo, esto es que la ganancia no se incrementará con un nuevo envío por lo que la solución obtenida es óptima. Debemos proceder a calcular el valor de ganancia según los valores de las variables básicas y sus contribuciones:
La ganancia neta de la compañía es de $33 750 000.00, haciendo los siguientes envíos: 50 Toneladas desde Manta a Panamá, 100 Toneladas desde Manta a Honduras, 250 Toneladas desde Manta a Venezuela, 200 Toneladas desde Esmeralda a Honduras y 150 Toneladas desde Guayaquil a Panamá. Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 27
Deber: Una empresa con el fin de incrementar sus ventas y posicionarse en el mercado, ha instalado 3 distribuidores 1, 2 y 3. La empresa tiene cuatro compradores potenciales A, B, C y D. Las ganancias, ofertas y demandas se muestran en la siguiente tabla: A
B
C
D
O ertas
1
80
70
60
60
80 000
2
5
70
80
70
40 000
3
70
50
80
60
70 000
Demandas
50 000
40 000
60 000
40 000
Encuentre un plan óptimo de distribución para maximizar las ganancias.
CASOS ESPECIALES EN LOS PROBLEMAS DE TRANSPORTE. Al aplicar las técnicas de transporte para resolver un problema de PL se pueden presentar algunos de los siguientes casos: -
Soluciones óptimas múltiples.
-
Rutas no aceptables.
-
Soluciones degeneradas.
-
Problemas no balanceados.
Soluciones Múltiples. Hay múltiples soluciones cuando los indicadores o costos reducidos de alguna variable no básica es cero. Este concepto coincide con el del método simplex. El ejemplo de maximización resuelto en la actividad anterior tiene soluciones múltiples pues la vía Guayaquil-Honduras tiene costo reducido cero al aplicar la prueba de optimalidad. Esto significa que podemos tener otro plan de transportación por esta vía con el mismo valor de ganancia. Como ejercicio haga la prueba este nuevo plan de transportación. Rutas no aceptables. Estas situaciones se producen por alguna de las siguientes razones: -
Limitaciones por características de la región.
-
Inseguridad de alguna ruta.
-
Muy caro el costo de transportación.
-
Excesivo gasto de tiempo en la transportación.
Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 28
En tales casos se asigna un valor de costo M muy grande para de minimización y –M para indicar la no rentabilidad de esa ruta en problemas de maximización. Ejemplo de problema con rutas no aceptadas. Para la siguiente tabla de datos encuentre un plan de distribución óptimo que minimice los costos de embarque y transportación que se dan en el cuerpo de la tabla: D1
D2
D3
Ofertas
O1
$2
$2
$3
7
O2
$2
$3
--
8
O3
$3
$1
$4
5
Demandas
6
3
11
20
La tabla característica es: 2
4
5
7 1
5
M
8 3
5
6
5 6
3
11
20
Aplicando el método MAV se obtienen las primeras penalidades, de ellas escogemos la mayor penalización que es 4, sombreamos la fila y hacemos las asignaciones respectivas:
2
4
1
6
5
5
2
6 1
Ing. Gilma Tablada Martínez.
5
3 1
2
8
4
5
2
M
0
3
7
6
11 1
20
Investigación Operativa. 29
Calculemos las nuevas penalizaciones y escogemos de ellas la mayor. Como hay dos penalizaciones que son iguales y mayores, escogemos cualquiera de ellas y repetimos el proceso anterior. Vamos a escoger la primera fila que tiene menores costos: 2
0
4
5
1
2
8
4
5
2
2
6
1
6
7 5
M
2
0
3
5
6 1 1
6
3 1 1
11 1 1
2
20
Ahora sólo se puede calcular penalizaciones en la última fila y en ella se hacen las últimas asignaciones: 2
0
4
1 5
2 5
0 6 1 1 --
2
2
--
8
4
--
--
5
2
2
2
M
0
3
0
7 6
1
6
5
6
5 3 1 1 --
11 1 1 --
20
Se debe verificar el número de asignaciones y el balance en ellas. Hay 5 asignaciones y están balanceadas. A continuación debemos calcular los costos reducidos para las variables no básicas para saber si la solución obtenida es óptima:
: Para 23: 6 Para 3: 6 Para 32: 6 Para
Los costos reducidos son no negativos, esto significa que no existe otro envío que permita minimizar los costos. Procedemos a calcular el costo mínimo:
6 6 6 Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 30
El costo mínimo es de $80.00, enviando desde el origen 1 1 unidad al destino 2 y 6 unidades al destino 3; desde el origen 2, 6 unidades al destino 1 y 2 al destino 2 y desde el origen 3 5 unidades al destino 3 Problemas de transportación no balanceados. Cuando el problema de transportación es no balanceado, significa que hay mayor oferta que demanda o viceversa. En estos casos se introduce al modelo un destino u origen ficticio según convenga, con el fin de equilibrar el modelo y aplicar los métodos estudiados. Ejemplos de problema de transporte no balanceado. 1. La empresa MG Autos tiene tres plantas, ubicadas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleans y dos centros de distribución, uno en Denver y otro en Miami. Las capacidades de las plantas son 1 000, 1300 y 1 200 autos respectivamente y las demandas de los centros de distribución son de 2 300 y 1 400 autos respectivamente. Se desea encontrar una distribución óptima en la que los autos recorran la menos distancia. La siguiente tabla muestra el millaje entre las plantas y los centros de distribución: Denver
Miami
Los Án eles
80
215
Detroit
100
108
Nueva Orleans
102
68
Debemos agregar las demandas y ofertas al cuadro y chequear el balance de las ofertas y las demandas. Denver
Miami
Ofertas
80
215
1 000
Detroit
100
108
1 300
Nueva Orleans
102
68
1 200
2 300
1 400
Los Ángeles
3 500 Demandas
3700
Como tenemos mayor demanda que oferta, agregamos una planta ficticia con millaje cero con el fin de balancear el modelo. Denver
Miami
O ertas
Los Án eles
80
215
1 000
Detroit
100
108
1 300
Nueva Orleans
102
68
1 200
Planta icticia
0
0
200
Demandas
2 300
1 400
3 700
Ing. Gilma Tablada Martínez.
3 700
Investigación Operativa. 31
2. Si por el contrario tuviésemos el caso en que la oferta supera a la demanda, se procede del mismo modo, sólo que agregaríamos un centro de distribución ficticio. Por ejemplo: Denver
Miami
O ertas
Los Án eles
80
215
1 000
Detroit
100
108
1 500
Nueva Orleans
102
68
1 200 3 700
Demandas
1 900
1 400
3 300
En este caso, para equilibrar el sistema, debemos agregar un centro de distribución ficticio de la siguiente manera: Denver
Miami
Centro icticio
O ertas
Los Án eles
80
215
0
1 000
Detroit
100
108
0
1 500
Nueva Orleans
102
68
0
1 200 3 700
Demandas
1 900
1 400
400
3 700
Una vez que tenemos los problemas balanceados se procede a buscar una solución inicial y aplicar alguno de los métodos conocidos para encontrar su solución óptima.
EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.
Decir si son Verdaderos o Falsos los siguientes enunciados: a. Para equilibrar un modelo de transporte, tal vez sea necesario añadir tanto un punto de origen como de destino. _____ b. Las cantidades enviadas a un punto de destino ficticio representan el excedente en el punto de origen del envío. _____ c. Las cantidades enviadas a un punto de origen ficticio representan un faltante en los puntos destino de recibo. _____ d. Los modelos de transporte no se utilizan para maximizar ganancias. _____ e. Los modelos de transportación no se pueden resolver usando el método simplex. _____ f. Un modelo de transporte que no está equilibrado no se puede resolver aplicando ninguno de los métodos estudiados. _____ g. Para poder resolver el problema de transportación, necesariamente la solución inicial debe tener variables básicas. _____ h. El método de la esquina noroeste permite encontrar la solución óptima del problema de transporte. ____
Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 32
i. El objetivo fundamental del problema de transporte es 2. Para los siguientes tablas características encuentre las soluciones iniciales usando los métodos estudiados y haga comparaciones de los resultados obtenidos: a.
b.
1
2
6
7
0
4
2
12
3
1
5
11
10
10
10
5
1
8
12
2
4
0
14
3
6
7
4
9
10
11
3. Para las siguientes tablas de datos de un problema de transporte, en las que se muestra el costo de transportación de trasladar un artículo desde un origen a un destino , encuentre la solución inicial y luego determine la solución óptima, que generen un costo mínimo.
a. D1
D2
D3
Ofertas
O1
$0
$2
$1
6
O2
$2
$1
$5
9
O3
$2
$4
$3
5
Demandas
5
5
10
D1
D2
D3
Ofertas
O1
$0
$4
$2
8
O2
$2
$3
$4
5
O3
$1
$2
$0
6
Demandas
7
6
6
D1
D2
D3
Ofertas
O1
---
$3
$5
4
O2
$7
$4
$9
7
O3
$1
$8
$6
19
Demandas
5
6
19
b.
c.
4. Dos mataderos, P y Q, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmente en tres ciudades, R, S y T. La cantidad consumida es 20, 22 y 14 toneladas, Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 33
respectivamente en cada ciudad. El matadero P puede producir cada semana 26 toneladas de carne, y el Q, 30. Determinar cuál es la distribución de transporte que supone un costo mínimo, sabiendo que los costos de transporte en dólares, por tonelada de carne, desde cada matadero de a cada ciudad, son los reflejados en la siguiente tabla: Ciudades
Mataderos
5.
R
S
T
P
1
3
1
Q
2
1
1
Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. Planificar la distribución de frutas para que el costo de transporte sea mínimo. El costo del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro: Mercados Almacenes
1
2
3
A
10
15
20
B
15
10
10
6. Una fábrica de jamones tiene dos secaderos A y B que producen 50 y 80 jamones por mes. Se distribuyen a tres tiendas de las ciudades M, N y O cuya demanda es 35, 50 y 45 respectivamente. El costo del transporte por jamón en dólares se ve en la tabla siguiente: Tiendas
Secaderos
M
N
O
A
5
6
8
B
7
4
2
¿Cuántos jamones deben enviarse desde cada secadero a cada tienda para hacer mínimo el gasto en transporte? 7. La empresa Gal elabora cerveza, como uno de sus productos, en tres plantas localizadas en tres ciudades del país, A, B y C. Este producto se transporta a cuatro almacenes localizados en cuatro ciudades del país, 1, 2, 3 y 4 para su posterior distribución. Cada camión puede transportar 1000 cajas de cerveza. La cantidad de cajas de cerveza, disponibles en las plantas, para transportar es la siguiente: A: 90 000; B: 40 000; C: 80 000. Las cajas de cerveza que requiere cada almacén son las siguientes: 1: 40 000; 2: 60 000; 3: 50 000; 4: 60 000. Se desea minimizar los costos totales de transporte de los camiones de cerveza desde las 3 plantas hasta los cuatro almacenes. Los costos de transporte (en cientos dólares) por camión de cerveza, se indican en la siguiente matriz de costos que se le presenta: Plantas
Almacenes 1
2
3
4
A
10
20
5
9
B
2
10
8
30
C
1
20
7
10
Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 34
Aplique el método de la esquina noroeste para encontrar una solución inicial factible y con un método de transportación conocido halle un plan de transportación óptimo. 8. Su empresa realiza la publicidad de sus productos con cuatro firmas que existen en el mercado: F1, F2, F3, y F4. Actualmente saca al mercado un nuevo producto y desea tener disponibles 30 unidades de publicidad en prensa, 15 en televisión, y 25 en radio, dentro de tres meses. Dado el tamaño de las firmas se espera que F1 pueda elaborar 15 unidades de publicidad en total, F2 puede elaborar 25 en total, F3 puede elaborar 10 en total y F4 puede elaborar 20 unidades de publicidad en total. Plantee y resuelva un modelo para minimizar los costos totales de la publicidad del producto elaborado por las 4 firmas existentes en el mercado, que se realizará en los tres medios publicitarios. Los costos de las ofertas que presentaron esas firmas (en cientos de dólares por unidad de publicidad) se presentan a continuación: Medios de divulgación
Firmas que fabrican el producto F1
F2
F3
F4
Prensa
16
20
12
12
TV
26
20
30
21
Radio
22
15
23
14
9. Una compañía tiene tres fábricas (A, B y C) para ensamblar computadoras, y dispone de tres tiendas habilitados para la venta (D, E y F). Las cantidades producidas por A, B y C son 1 000, 5 000 y 4 000 unidades por día respectivamente. La máxima cantidad que puede vender el almacén D es 3 000 unidades/día, el E puede vender 6 000 unidades/día y el F puede vender 7 000 unidades/día. Los costos (en dólares) de transporte de cada fábrica a cada almacén están dados en la siguiente tabla: Demanda
Suministro
D
E
F
A
1
4
2
B
3
1
2
C
4
5
2
Encuentre un plan de distribución óptimo, que permita satisfacer los requerimientos de demanda al mínimo costo. 10. Encontrar la solución óptima de los problemas no balanceados de MG Autos, propuestos como ejemplos en el texto anterior, que generen un costo mínimo. 11. Una empresa manufacturera elabora un producto en tres países diferentes P1, P2 y P3, que debe ser transportado a tres distribuidores situados en tres diferentes ciudades C1, C2 y C3 para su posterior venta. La cantidad de unidades de producto disponible en P1 es de 9.000, en P2 existen 4.000 y en P3, 8.000. Las unidades de producto requeridas en C1 es de 6.000, en C2: 5.000 y en C3: 7.000. Los costos unitarios de transporte, en unidades monetarias, desde cada país hasta cada una de los distribuidores de las tres ciudades se muestran en la siguiente matriz: Países P1
Ing. Gilma Tablada Martínez.
Distribuidores C1
C2
C3
10
20
9
Investigación Operativa. 35
P2
8
10
6
P3
10
30
7
Se desea minimizar los costos totales de transporte del producto desde los cuatro países hasta los distribuidores de las tres ciudades. 12. La Empresa transportista posee varios camiones usados para acarrear piedra molida para proyectos de carreteras en el municipio. El contratista de carreteras para quien trabaja le ha dado el programa de la semana siguiente: Cargas de camiones Proyectos
Necesidades Semanales
A
50
B
45
C
50
Información de Costos: Proyectos A
B
C
Disponibilidad de cada planta
W
4
3
3
75
X
6
7
6
60
Y
4
2
5
40
Planta
Calcule el plan óptimo del transporte con costo mínimo. 8. Tres huertos de naranjos suministran cajas de naranjas a 4 detallistas. La cantidad demandada diariamente por los detallistas es de 150, 150, 400 y 100 cajas, respectivamente. La oferta en los tres huertos es de 150, 200 y 250 cajas al día. El costo de transporte por caja desde los huertos hasta los detallistas se proporciona en la siguiente tabla: Huertos
Detallistas 1
2
3
4
1
1
2
3
2
2
2
4
1
2
3
1
3
5
3
Construya la tabla característica y resuelva el problema de transporte. 9. Tres centros de distribución a cinco distribuidores. El costo del envío se basa en el millaje entre los puntos de origen y destino y es independiente de si el camión hace viaje con cargas totales o parciales. La tabla muestra el millaje entre los centros de distribución y las distribuidoras, junto con las cifras mensuales de oferta y de demanda dadas en el número de automóviles. Un camión con carga completa incluye 18 automóviles y el costo de transporte por milla es de $25.00. Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 36
Distribuidores
Centros de distribución
1
2
3
4
5
1
100
150
200
140
35
400
2
50
70
60
65
80
200
3
40
90
100
150
130
150
Demandas
100
200
150
160
140
Ofertas
Formule el modelo de transporte y halle un envío óptimo. 10. Tres plantas de energía eléctrica con capacidades de 25, 40 y 50 millones de kilovatios por hora, proporcionan la electricidad a tres ciudades. La demanda en las tres ciudades se calcula en 30, 35 y 25 kilovatios por hora. La tabla que se muestra a continuación proporciona el precio en dólares por millón de kilovatios por hora en las tres ciudades: Distribuidores
Países
C1
C2
C3
P1
$600
$700
$400
P2
$320
$300
$350
P3
$500
$480
$450
Durante el mes de agosto hay un incremento de 20% en la demanda de cada una de las tres ciudades que se puede satisfacer comprando electricidad a otra red a un precio más elevado ($1 000.00 por millón de kilovatios por hora). Sin embargo, la red no está conectada con la ciudad 3. La compañía de servicios públicos quiere determinar el plan más económico para la distribución y la compra de la energía eléctrica adicional. a. Determine un plan de distribución óptima para la compañía de servicios públicos. b. Determine el costo de energía adicional en el mes de agosto. 11. Un taller elabora tres productos X, Y y Z y la demanda de éstos es de 90, 210 y 120 unidades por semana, respectivamente. Los productos pueden fabricarse por uno de los tres métodos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se indica la capacidad de producción de cada método y las ganancias asociadas a cada producto según el método de fabricación. Método
Unidad / Semana
Producto
1
160
2 3
Ganancia/ Unidad ($) 1
2
3
X
139
140
137
120
Y
209
207
210
140
Z
254
255
255
Para el problema realice lo siguiente: a. Tabla característica del modelo. b. Solución inicial por el método de la esquina noroeste. c. Solución óptima por el método del cruce del arroyo. d. Plantee la interpretación económica de la solución. 12. Una empresa, con el fin de incrementar las ventas y de posicionarse en el mercado ha instalado tres distribuidoras, estratificándolas por clases sociales: 1, 2 y 3. La empresa tiene 4 compradores potenciales: A, B, C y D. Las ganancias por unidad de producto de los distribuidores se muestran en la siguiente tabla: Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 37
Compradores A
B
C
D
1
80
70
60
60
2
50
70
80
70
3
70
50
80
60
Distribuidores
La capacidad de ventas de la distribuidora 1,2 y 3 es de 80 000, 10 000 y 50 000 unidades por mes respectivamente. El departamento de mercado realizó un pronóstico de la demanda esperada por parte de los clientes y los resultados son: Compradores
Demanda (Unidades/mes)
A
50 000
B
40 000
C
60 000
D
40 000
Plantee la tabla característica del modelo y encuentre la ganancia máxima de los distribuidores. 13. Florida Citrus, Inc., procesa jugo de naranja y lo transforma en concentrado congelado en tres plantas localizadas en Tampa, Miami y Jacksonville. De cualquiera de los dos huertos ubicados cerca de Orlando y Gainesville se pueden enviar naranjas hacia cualquier planta. El huerto que está cerca de Orlando tiene 20 000 libras de naranjas y el huerto cercano a Gainesville tiene 12 000 libras de naranjas. La planta de Tampa requiere al menos 8 000 libras de naranjas para cumplir su cuota de producción. Las plantas de Miami y Jacksonville requieren cada una al menos 11 000 libras de naranjas. Use la técnica de agrupamiento para identificar todos los grupos de restricciones y las restricciones de cada grupo. Los costos de embarque e ingresos se ofrecen en las tablas que se muestran a continuación: Costo de embarque ($/ton)
Desde Tampa
Miami
Jaksonville
Orlando
50
75
60
Gainesville
60
90
45
Ingresos ($/ton de naranjas procesadas) Tampa
550
Miami
750
Jaksonville
600
Dado el costo de embarque y el precio de venta del concentrado, el objetivo, sujeto a ciertas restricciones de oferta y demanda, es determinar, cómo embarcar estas naranjas desde los dos huertos a las tres plantas procesadoras para maximizar la ganancia total. 14. Una empresa de alquiler de carros sirve a siete ciudades y presenta actualmente un exceso de carros en tres ciudades (C1, C2, C3) y una carencia de ellos en cuatro de las ciudades (D1, D2, D3 y D4). El exceso de carros: es de 20 en C1, 20 en C2 y 32 en C3. La Ing. Gilma Tablada Martínez.
Investigación Operativa. 38
escasez de carros es de 16 en D1, 20 en D2, 20 en D3 y 16 en D4. La tabla o matriz de distancias en kilómetros, entre las ciudades se le presenta al finalizar el enunciado. Los valores de F en la tabla, representan distancias muy largas. Esto indica que no es posible transportar carros desde C1 hasta D4, ni desde C3 hasta D2 por alguna razón, por ejemplo, porque las vías están en reparación y no se permite el paso. (Si en la solución final aparece una cantidad de carros con ese costo será la confirmación de que no existe solución óptima posible para el modelo). Se desea determinar cómo distribuir los carros para satisfacer las restricciones y minimizar la distancia total recorrida.
15. World Airlines reabastece sus aeronaves regularmente en los cuatro aeropuertos en donde da D1 D2 D3 D4 servicio. La C1 17 23 20 F turbosina C2 23 15 23 20 puede 25 F 13 21 C3 comprarse a tres vendedores posibles en cada aeropuerto. La tabla indica (1) el costo de entrega (compra más embarque) por mil galones de cada vendedor a cada aeropuerto, (2) el número disponible de miles de galones que cada vendedor puede suministrar cada mes y (3) el requerimiento mensual de turbosina (en miles de galones) en cada aeropuerto. Aeropuerto
Costo de entrega
Cantidad de combustible requerido
Vendedor 1
Vendedor 2
Vendedor 3
1
900
800
900
260
2
900
1 200
1 300
270
3
800
1 300
500
450
4
1 000
1 400
1 000
480
360
500
600
Provisión máxima
For mule un modelo y resuelva usando un método de transportación, para determinar las cantidades que se deben comprar y enviar por parte de cada vendedor a cada aeropuerto para minimizar el costo total. 16. La empresa americana COMPUTER produce dos tipos de computadoras: PC y VAX. Las computadoras se fabrican en dos lugares: Nueva York y Los Ángeles. La sucursal de Nueva York puede producir hasta 800 computadoras y la de Los Ángeles hasta 1 000 computadoras. COMPUTER vende no más de 900 PC y 900 VAX. El beneficio de venta (sin contar la mano de obra) y el tiempo de fabricación asociado a cada sucursal y a cada producto es el siguiente: Beneficio de venta ($) New York
Los Ángeles
PC
600.00
1 000.00
VAX
800.00
1 300.00
Ing. Gilma Tablada Martínez.
Tiempo de fabricación (hrs) New York
Los Ángeles
PC
2
3
VAX
2
4
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