PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN POR METAS Problema 1 La empresa DYNAMIX, fabrica tres clases de abrigos para caballero: deportivo (A), formal (B) y ejecutivo (C). Debido a la naturaleza competitiva del negocio y a la gran demanda de mano de obra de la industria es de gran importancia mantener satisfechos a los empleados. El Jefe de Producción de la empresa considera que una forma de satisfacer las necesidades de sus empleados es ofrecerles empleo de tiempo completo, aun cuando esto exija producir en exceso e incurrir en algunas pérdidas. Por fortuna, el Jefe de Producción espera que la demanda de sus productos siga siendo bastante elevada. De hecho, para satisfacer parte de la demanda, podría ser necesario trabajar tiempo extra. Las tres líneas de abrigos de la empresa se fabrican en dos departamentos. La tabla adjunta es un programa semanal de requerimientos de mano de obra y materiales para el proceso de fabricación. Los precios unitarios para las tres líneas son $100, $150 y $250, respectivamente. El Jefe de Producción ha determinado que a un ritmo normal de producción los costos variables son de $70, $80 y $100 por abrigo, respectivamente. Los costos de tiempo extra son $2 por hora por encima del salario normal para el departamento 1 y $3 para el departamento 2. Los materiales para el tiempo extra pueden adquirirse a un costo de $2 por metro por encima del costo normal. El Jefe de mercadeo ha pronosticado que la demanda del mercado para el abrigo deportivo es de 1,000 unidades por semana, y la demanda de las otras dos líneas es de 500 y 200 unidades, respectivamente. El nivel de equilibrio de producción es de 100 unidades del producto A, y 50 unidades de cada uno de los otros dos productos.
Dpto. 1 Dpto. 2 Material
Requerimientos por abrigo Deportivo Formal Ejecutivo (horas/unidad) (horas/unidad) (horas/unidad) 4 12 10 6 6 16 Deportivo Formal Ejecutivo (metros/unidad) (metros/unidad) (metros/unidad) 8 6 12
Disponibilidad (horas/unidad) 8,000 4,000 Disponibilidad (metros/unidad) 8,000
El Jefe de Producción ha identificado, en orden de prioridad, las siguientes metas: 1) Utilizar toda la capacidad de producción disponible, es decir, no debe existir tiempo ocioso en ningún departamento. 2) Alcanzar los niveles de producción de punto de equilibrio en cada una de las líneas de productos. 3) Dado que es probable que exista escasez de mano de obra en el departamento 2, y dado que puede enviarse personal, en tiempo extra, a ese departamento, el tiempo extra aquí puede ser mayor que el del departamento 1. Sin embargo, el tiempo extra del departamento 2 no debe exceder de 600 horas. El tiempo extra del departamento 1 no debe exceder de 200 horas. 4) Alcanzar una meta de utilidades semanales de $20,000. 5) Satisfacer todas las demandas del mercado. Dentro de esta meta, deben utilizarse ponderaciones distintas para reflejar la contribución unitaria normal a las utilidades. Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Solución Variables de decisión X1: cantidad de abrigos deportivos que se fabricarán durante la semana X2: cantidad de abrigos formales que se fabricarán durante la semana X3: cantidad de abrigos ejecutivos que se fabricarán durante la semana Función objetivo Minimizar Z = P1 (U1 + U2) + P2 (U3 + U4 + U5) + P3 (V6 + V7) + P4 (U9) + P5 (30 U10 + 70 U11 + 150 U12) Restricciones de metas Utilizar toda la capacidad de producción 4 X1 + 12 X2 + 10 X3 + U1 – V1 = 8000 6 X1 + 6 X2 + 16 X3 + U2 – V2 = 4000 Satisfacer los niveles de producción del punto de equilibrio X1 + U3 – V3 = 100 X2 + U4 – V4 = 50 X3 + U5 – V5 = 50 Limitar el tiempo extra en los dos departamentos a 200 y 600 horas, respectivamente
V1 + U6 – V6 = 200 V2 + U7 – V7 = 600 Alcanzar utilidades semanales de $20,000 8 X1 + 6 X2 + 12 X3 + U8 – V8 = 8000 30 X1 + 70 X2 + 150 X3 – 2V1 – 3V2 – 2V8 + U9 – V9 = 20000 Satisfacer toda la demanda del mercado X1 + U10 = 1000 X2 + U11 = 500 X3 + U12 = 200 Rango de existencia Xj, Ui, Vi 0 Problema 2 La compañía DYNAMIX tiene $2’000,000 disponibles para inversiones. Existen cinco posibles tipos de inversión: acciones, bonos, préstamos, bienes raíces y ahorros mediante libretas. Al principio de cada año pueden hacerse inversiones, ya sea en acciones, en bonos, o en ambos. Los dólares que se invierten en acciones al principio de cualquier año producen utilidades de 15% al final de dos años. Cada dólar que se invierte en bonos al principio de un año da como resultado 40% de utilidades al final de tres años. Las inversiones en préstamos pueden hacerse sólo al inicio del segundo año; sin embargo, cada dólar que se invierte produce 90% de utilidades después de cinco años. Las inversiones en bienes raíces dan como resultado 75% de utilidades al final de dos años; pero esta opción de inversiones está disponible sólo al comienzo del quinto año. Todo el dinero que no se invierte al comienzo de cualquier año dado se coloca en una cuenta de ahorros de libreta. La tasa de intereses de esta cuenta es de 7.5% anual. El gerente financiero ha establecido, en orden de prioridad, las siguientes metas: 1) La compañía debe diversificar sus inversiones, por ello no desea invertir más de $700,000 en cualquier categoría de inversión durante cualquier año. 2) Deben invertirse cuando menos $400,000 en bienes raíces, dado que esta categoría de inversión tiene un elevado rendimiento. 3) Se ha establecido una cuenta flotante con propósitos de operación. El dinero de esta cuenta se coloca en ahorros mediante libreta. Deben tenerse cuando menos $100,000 en esa cuenta en todo momento. 4) La compañía tiene una obligación financiera de $400,000 que debe cubrir al final del tercer año. 5) A la compañía le gustaría maximizar su rendimiento total sobre la inversión al final del año 6. Diagrama de inversiones en varios años Tipo de Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 Año 6 inversión Año 1 acciones 15% ======== =======> bonos 40% ======== ======== =======> ahorros 7.5% =======> Año 2 acciones 15% ======== =======> bonos 40% ======== ======== =======> préstamos 90% ======== ======== ======== ======== =======> ahorros 7.5% =======> Año 3 acciones 15% ======== =======> bonos 40% ======== ======== =======> ahorros 7.5% =======> Año 4 acciones 15% ======== =======> bonos 40% ======== ======== =======> ahorros 7.5% =======> Año 5 acciones 15% ======== =======> bienes 75% ======== =======> raíces ahorros 7.5% =======> Año 6 ahorros 7.5% =======>
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Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Solución Variables de decisión Xjk: cantidad de dólares que se invertirá en el año j en la categoría k Donde j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y k = 1, 2, 3, 4, 5 (1 = acciones, 2 = bonos, 3 = préstamos, 4 = bienes raíces, 5 = ahorros) Función objetivo Minimizar Z = P1 (V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + V6 + V7 + V8 + V9 + V10 + V11) + P2 (U12) + P3 (U15 + U25 + U35 + U45 + U55 + U65) + P4 (U13) + P5 (U14) Restricciones de metas Diversificar las inversiones en cada año X11 + U1 – V1 = 700000 X12 + U2 – V2 = 700000 X11 + X21 + U3 – V3 = 700000 X12 + X22 + U4 – V4 = 700000 X23 + U5 – V5 = 700000 X21 + X31 + U6 – V6 = 700000 X12 + X22 + X32 + U7 – V7 = 700000 X31 + X41 + U8 – V8 = 700000 X22 + X32 + X42 + U9 – V9 = 700000 X41 + X51 + U10 – V10 = 700000 X54 + U11 – V11 = 700000 Deben invertirse cuando menos $400,000 en bienes raíces X54 + U12 – V12 = 400000 La cuenta flotante debe tener $100,000 en todo momento X15 + U15 – V15 = 100000 X25 + U25 – V25 = 100000 X35 + U35 – V35 = 100000 X45 + U45 – V45 = 100000 X55 + U55 – V55 = 100000 X65 + U65 – V65 = 100000 Cumplir con el compromiso financiero de $400,000 1.4 X12 + 1.15 X21 + 1.075 X35 + U13 – V13 = 400000 Maximizar el rendimiento sobre las inversiones (M -> ∞) 1.9 X23 + 1.4 X42 + 1.15 X51 + 1.75 X54 + 1.075 X65 + U14 – V14 = M Restricciones estructurales Las inversiones totales deben ser iguales a la cantidad que está disponible para invertir. X11 + X12 + X15 = 2000000 X21 + X22 + X23 + X25 – 1.075 X15 = 0 X31 + X32 + X35 – 1.15 X11 – 1.075 X25 = 0 X41 + X42 + X45 – 1.40 X12 – 1.15 X21 – 1.075 X35 = – 400000 X51 + X54 + X55 – 1.40 X22 – 1.15 X31 – 1.075 X45 = 0 X65 – 1.40 X32 – 1.15 X41 – 1.075 X55 = 0 Rango de existencia Xjk, Ui, Vi 0 Problema 3 La compañía DYNAMIX fabrica y comercializa aparatos de video. La compañía está organizada con base en centros de utilidad, es decir, se determina el desempeño de cada centro operativo de la compañía a través de las utilidades semanales que genera. El centro de utilidades de tableros de circuitos los fabrica de dos clases, que se utilizan en diversos productos finales que manufactura la compañía. Se requieren 15 minutos para fabricar el tablero de circuito 1; 24 minutos para fabricar el tablero de circuito 2. Las horas normales de operación para el centro son 240 horas semanales. Las utilidades para los tableros son $4.00 para el tablero 1 y $5.00 para el tablero 2. El gerente del centro de utilidades ha listado, en orden de prioridad, las siguientes metas: 1) 2) 3) 4) 5)
Alcanzar utilidades semanales de cuando menos $4,000. Limitar la operación de tiempo extra del centro a un máximo de 24 horas. Cumplir con pedidos comprometidos de 100 unidades del tablero 1 y 150 unidades del tablero 2. Satisfacer la demanda pronosticada para cada circuito de 500 unidades del tablero 1 y 400 unidades para el tablero 2. Utilizar todas las horas normales de operación.
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Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Solución Variables de decisión Xj: cantidad de tableros de circuito j que se producirán semanalmente Donde j = 1, 2 Restricciones de metas Alcanzar utilidades semanales de cuando menos $4,000 4 X1 + 5 X2 + U1 – V1 = 4000 Limitar la operación de tiempo extra del centro a 24 horas V2 + U3 – V3 = 24 Cumplir con pedidos comprometidos de 100 unidades del tablero 1 y 150 unidades del tablero 2 X1 + U4 – V4 = 100 X2 + U5 – V5 = 150 Satisfacer la demanda pronosticada para cada circuito de 500 unidades del tablero 1 y 400 unidades del tablero 2 X1 + U6 = 500 X2 + U7 = 400 Utilizar todas las horas normales de operación 0.25 X1 + 0.40 X2 + U2 – V2 = 240 Función objetivo Minimizar Z = P1 U1 + P2 V3 + P3 (U4 + U5) + P4 (U6 + U7) + P5 U2 Rango de existencia Xj, Ui, Vi 0 Problema 4 La compañía DYNAMIX fabrica tres tipos diferentes de boleros que se utilizan en equipo textil. Todos los boleros se fabrican en una operación de prensado. El tiempo de fabricación que se requiere para elaborar un bolero básico es de 5 horas, en tanto que uno de alta precisión requiere 12 horas de tiempo de producción. El bolero de aplicación general requiere 8 horas de tiempo de producción. La compañía dispone de 340 horas semanales de capacidad de producción. Las utilidades unitarias que se obtienen de la venta de boleros son: $1,000 por bolero básico; $1,450 por bolero de aplicación general y $2,500 por los de alta precisión. El departamento de mercadeo ha señalado que el comportamiento de la demanda de los boleros implica que la compañía puede vender todos los que fabrica. El gerente de producción ha listado, en orden de prioridad, las siguientes metas: 1) 2) 3) 4)
Utilizar toda la capacidad de producción. Alcanzar las metas semanales de ventas para cada tipo de bolero: 20 básicos, 24 de aplicación general y 15 de alta precisión. Asignar pesos diferenciales de acuerdo con la utilidad relativa de cada tablero. Limitar el tiempo extra a un máximo de 40 horas por semana. Maximizar las utilidades.
Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Solución Variables de decisión X1: cantidad de boleros básicos que se fabricarán semanalmente X2: cantidad de boleros de alta precisión que se fabricarán semanalmente X3: cantidad de boleros de aplicación general que se fabricarán semanalmente Restricciones de metas Utilizar toda la capacidad de producción 5 X1 + 12 X2 + 8 X3 + U1 – V1 = 340 Alcanzar las metas semanales de ventas para cada tipo de bolero X1 + U2 – V2 = 20 X2 + U3 – V3 = 15 X3 + U4 – V4 = 24 Limitar el tiempo extra a un máximo de 40 horas semanales V1 + U5 – V5 = 40 Maximizar utilidades (M -> ∞) 1000 X1 + 2500 X2 + 1450X3 + U6 – V6 = M Función objetivo Minimizar Z = P1U1 + 1000 P2 U2 + 2500 P2 U3 + 1450 P2 U4 + P3 V5 + P4 U6
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Rango de existencia Xj, Ui, Vi 0 Problema 5 La compañía DYNAMIX fabrica dos tipos de productos (A y B). La fabricación de ambos productos requiere dos operaciones. La primera operación se lleva a cabo en el departamento No. 1. La fabricación del producto A requiere 3 horas en la primera operación en tanto que el producto B requiere 4 horas en esta misma operación. La segunda operación puede llevarse a cabo ya sea en el departamento 2 o en el 3. El tiempo necesario de producción en el departamento 2 para cada unidad de A es de 3 horas; para cada unidad de B es de 6 horas. Si se emplea el departamento 3, el tiempo de producción para cada unidad de A es 8 horas y para B es de 10 horas. Existen 3,000; 3,600 y 5,000 horas disponibles de tiempo de producción en los respectivos departamentos. Los costos de mano de obra asociados con los tres departamentos son: $6.50 por hora para el departamento 1, $8.00 por hora para el departamento 2 y $5.00 por hora para el departamento 3. La compañía tiene una demanda de 400 unidades para el producto A y 300 unidades para el producto B. El gerente de producción ha listado, en orden de prioridad, las siguientes metas: 1) 2) 3) 4)
Satisfacer la demanda de los clientes. Limitar el tiempo extra en el departamento 2 a un máximo de 1,000 horas. Minimizar los costos totales. Minimizar el tiempo extra en los departamentos 1 y 3.
Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Solución Variables de decisión X12: cantidad de unidades del producto A que se fabricarán en el Departamento 2 X13: cantidad de unidades del producto A que se fabricarán en el Departamento 3 (X11 = X12 + X13: cantidad de unidades del producto A que se fabricarán en el Departamento 1) X22: cantidad de unidades del producto B que se fabricarán en el Departamento 2 X23: cantidad de unidades del producto B que se fabricarán en el Departamento 3 (X21 = X22 + X23: cantidad de unidades del producto B que se fabricarán en el Departamento 1) Función objetivo Minimizar Z = P1 (U1 + U2) + P2 V4 + P3 V5 + P4 (V6 + V7) Restricciones de metas Satisfacer la demanda de los clientes X12 + X13 + U1 – V1 = 400 X22 + X23 + U2 – V2 = 300 Limitar el tiempo extra en el departamento 2 a un máximo de 1,000 horas 3 X12 + 6 X22 + U3 – V3 = 3600 V3 + U4 – V4 = 1000 Minimizar los costos totales 6.5 (3 X12 + 3 X13 + 4 X22 + 4 X23) + 8(3 X12 + 6 X22) + 5(8 X13 + 10 X23) – V5 = 0 43.5 X12 + 59.5 X13 + 74 X22 + 76 X23 – V5 = 0 Minimizar el tiempo extra en los departamentos 1 y 3 3 X12 + 3 X13 + 4 X22 + 4 X23 + U6 – V6 = 3000 8 X13 + 10 X23 + U7 – V7 = 5000 Rango de existencia Xjk, Ui, Vi 0 Problema 6 Una universidad importante de Lima tiene un considerable fondo de donaciones: se ha asignado al Director de Economía la responsabilidad de determinar la mejor cartera de inversiones. El Director ha decidido que pueden invertirse todos los fondos en acciones, suponiendo que se emplean ciertas políticas de riesgo. El Director ha identificado seis alternativas aceptables de acciones. En la siguiente tabla se describen los datos de estas alternativas.
Precio actual por acción Tasa promedio anual de crecimiento
1 $90 0.09
5
2 $25 0.08
Número de acción 3 4 5 $70 $125 $35 0.06 0.04 0.03
6 $140 0.01
Dividendo promedio anual x acción Factor de riesgo
$1.15 0.07
$0.20 0.09
$1.90 0.10
$2.15 0.04
$0.80 0.03
$3.40 0.04
El rendimiento sobre cada una de estas alternativas de inversión se determina de la siguiente manera: Rendimiento = (precio actual por acción x tasa de crecimiento + dividendos) / precio actual por acción En la actualidad, existen $1’500,000 en el fondo. Después de evaluar en forma cuidadosa diversos objetivos de inversión, el gerente identificó, en orden de prioridad, las siguientes metas: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Alcanzar un rendimiento sobre la inversión de cuando menos 8%. Alcanzar una meta de dividendos de cuando menos $18,000 por año. Invertir cuando menos 35% del total del dinero en las tres acciones que tengan los menores factores de riesgo. Limitar el factor ponderado de riesgo de la cartera a 6% ó menos. Maximizar los dólares que se invierten en las alternativas 1, 2 y 3. Limitar los dólares totales que se invierten en las tres alternativas de bajo riesgo a un máximo de $700,000.
Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Solución Variables de decisión Xj: cantidad de acciones de tipo i que se comprarán Donde j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Función objetivo Minimizar Z = P1 U1 + P2 U2 + P3 U3 + P4 V4 + P5 U5 + P6 V6 Restricciones de metas Alcanzar un rendimiento sobre la inversión de cuando menos 8% Rendimiento de acción tipo 1: (90*0.09 + 1.15) / 90 = 0.103 Rendimiento de acción tipo 2: (25*0.08 + 0.20) / 25 = 0.088 Rendimiento de acción tipo 3: (70*0.06 + 1.90) / 70 = 0.087 Rendimiento de acción tipo 4: (125*0.04 + 2.15) / 125 = 0.057 Rendimiento de acción tipo 5: (35*0.03 + 0.80) / 35 = 0.053 Rendimiento de acción tipo 6: (140*0.01 + 3.40) / 140 = 0.034 Rendimiento mínimo sobre la inversión de 8% (0.103)(90) X1 + (0.088)(25) X2 + (0.087)(70) X3 + (0.057)(125) X4 + (0.053)(35) X5 + (0.034)(140) X6 + U1 – V1 = 0.080 (90 X1 + 25 X2 + 70 X3 + 125 X4 + 35 X5 + 140 X6) 2.07 X1 + 0.2 X2 + 0.49 X3 – 2.875 X4 – 0.945 X5 – 6.44 X6 + U1 – V1 = 0 Alcanzar una meta de dividendos de cuando menos $18,000 por año 1.15 X1 + 0.20 X2 + 1.90 X3 + 2.15 X4 + 0.80 X5 + 3.40 X6 + U2 – V2 = 18000 Invertir cuando menos 35% del total del dinero en las tres acciones que tengan los menores factores de riesgo 125 X4 + 35 X5 + 140 X6 + U3 – V3 = 525000 Limitar el factor ponderado de riesgo de la cartera a 6% o menos (0.07*90) X1 + (0.09*25) X2 + (0.10*70) X3 + (0.04*125) X4 + (0.03*35) X5 + (0.04*140) X6 + U4 – V4 = 0.06 (90 X1 + 25 X2 + 70 X3 + 125 X4 + 35 X5 + 140 X6) 0.9 X1 + 0.75 X2 + 2.8 X3 – 2.5 X4 – 1.05 X5 – 2.8 X6 + U4 – V4 = 0 Maximizar los dólares que se invierten en las alternativas 1, 2 y 3 90 X1 + 25 X2 + 70 X3 + U5 – V5 = 1500000 Limitar los dólares totales que se invierten en las tres alternativas de bajo riesgo a un máximo de $700,000 125 X4 + 35 X5 + 140 X6 + U6 – V6 = 700000 Restricciones estructurales 90 X1 + 25 X2 + 70 X3 + 125 X4 + 35 X5 + 140 X6 1500000 Rango de existencia Xj, Ui, Vi 0 Problema 7 La compañía DYNAMIX, fabricante de máquinas de afeitar eléctricas, han decidido invertir hasta $38,000 en publicidad para las máquinas de afeitar eléctricas para caballeros que fabrica. Algunos estudios de investigación de
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mercados realizados por la Compañía han mostrado que el mercado que desea para las máquinas de afeitar está compuesto en su mayor parte por hombres entre 20 y 45 años de edad, que tienen ingresos anuales de $15,000 o más y han cursado cinco o más años de educación universitaria. A partir de estos descubrimientos, el grupo de investigación de mercados ha decidido que las características de los clientes tienen una importancia relativa de acuerdo con los siguientes pesos: Características Peso Edad (20–45) 0.40 Ingresos anuales ($15,000 o más) 0.35 Educación universitaria (5 o más años) 0.25 El gerente de mercadotecnia de la compañía ha decidido utilizar los servicios de una agencia de publicidad para que les ayude a desarrollar un plan de publicidad que les permita alcanzar al cliente potencial en forma más efectiva. Después de estudiar los datos de características de los clientes, la agencia de publicidad ha sugerido que la Compañía considere colocar publicidad en tres revistas de consumo popular. Por brevedad simplemente denominaremos a las revistas A, B y C. La siguiente tabla señala cuáles son las características de los consumidores de las tres revistas. Porcentaje de consumidores Revista A Revista B Revista C 40 70 60 60 50 40 30 20 60 780,000 940,000 1’250,000
Características Edad (20–45) Ingresos anuales ($15,000 o más) Educación universitaria (5 o más años) Público lector
La agencia de publicidad ha indicado al gerente de mercadotecnia que una meta apropiada sería maximizar la cantidad de exposiciones efectivas, dado el presupuesto de publicidad que se tiene. El objetivo no debe ser maximizar la cantidad de exposiciones para todos los lectores de la publicidad, sino más bien, maximizar la cantidad de clientes potenciales que se exponen a la publicidad. Para desarrollar un factor efectivo de exposición, debe calcularse un índice de lectura para cada revista. El índice de lectura se calcula sumando los productos del porcentaje de lectores que tienen una característica determinada por el peso que la compañía ha asignado a esa característica. La agencia de publicidad ha señalado que debe elaborarse un coeficiente de efectividad para los lectores, multiplicando el índice de lectura de cada revista por su respectiva audiencia. Por último, la exposición efectiva, E, por anuncio se determina dividiendo el coeficiente de efectividad entre el costo por anuncio. La agencia indica que el costo por anuncio en las tres revistas es de $500, $750 y $800, respectivamente. De análisis y estudios conjuntos de la compañía y la agencia de publicidad, se ha decidido que la cantidad máxima de anuncios que deben colocarse en cada revista es 36, 40 y 45, respectivamente. Además se ha decidido que deben colocarse cuando menos nueve anuncios en la revista A y cuando menos cinco en la C. Es necesario determinar la cantidad de dólares de publicidad que deben invertirse en cada revista para maximizar la exposición efectiva, y determinar también la cantidad de anuncios que deben colocarse en cada revista. El Gerente ha especificado, en orden de prioridad, las siguientes metas: 1) 2) 3) 4)
Alcanzar una exposición mínima efectiva de 7’500,000. Limitar el costo de publicidad a $38,000. Deben colocarse cuando menos 9 anuncios en la revista A y cuando menos 5 en la revista C. Utilice el nivel de efectividad en la exposición como peso diferencial. Maximizar el nivel de efectividad de exposición.
Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Solución Índices de lectura Revista A: 0.40*(40%) + 0.35*(60%) + 0.25*(30%) = 0.445 Revista B: 0.40*(70%) + 0.35*(50%) + 0.25*(20%) = 0.505 Revista C: 0.40*(60%) + 0.35*(40%) + 0.25*(60%) = 0.530 Coeficientes de efectividad Revista A: 0.445*(780000) = 347100 Revista B: 0.505*(940000) = 474700
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Revista C: 0.530*(1250000) = 662500 Efectividad de la exposición Revista A: 347100 / 500 = 694.20 lectores por dólar invertido Revista B: 474700 / 750 = 632.93 lectores por dólar invertido Revista C: 662500 / 800 = 828.13 lectores por dólar invertido Variables de decisión Xj: cantidad de dólares que se invierten en anuncios en la revista j Donde j = 1, 2, 3 (1 = A, 2 = B, 3 = C) Función objetivo Minimizar Z = P1U1 + P2 V2 + P3 (694.20 U3 + 828.13 U4) + P4U5 Restricciones de metas Alcanzar una exposición mínima efectiva de 7’500,000 694.20 X1 + 632.93 X2 + 828.13 X3 + U1 – V1 = 7500000 Limitar el costo de publicidad a $38,000 X1 + X2 + X3 + U2 – V2 = 38000 Deben colocarse cuando menos 9 anuncios en la revista A y cuando menos 5 anuncios en la revista C (1/500) X1 + U3 – V3 = 9 (X1 + U3 – V3 = 4500 (1/800) X3 + U4 – V4 = 5 X3 + U4 – V4 = 4000 Maximizar el nivel de efectividad de exposición (M -> ∞) 694.20 X1 + 632.93 X2 + 828.13 X3 + U5 – V5 = M Restricciones estructurales (1/500) X1 36 X1 18000 (1/750) X2 40 X2 30000 (1/800) X3 45 X3 36000 Rango de existencia Xj, Ui, Vi 0 Problema 8 La compañía DYNAMIX destila y distribuye vino fino. La compañía fabrica tres vinos distintos. A, B y C. Las mezclas se producen combinando diferentes grados de vino base. En la siguiente tabla se muestran la disponibilidad y el costo de los diferentes grados del vino base. Vino base
Costo ($ por galón)
Grado I Grado II Grado III
6.50 5.00 3.50
Disponibilidad (galones) 1,800 2,000 1,200
El gerente de producción ha establecido que se fabrique cuando menos 2,000 galones de vino A y 1,000 galones de vino B por día. En la siguiente tabla se muestran los requerimientos y precios de venta de los diferentes tipos de vino fino. Vino fino A B C
Requerimientos No más del 12% de grado III Cuando menos 50% de grado I No más del 40% de grado III Cuando menos 25% de grado I No más del 50% de grado III Cuando menos 10% de grado II
Precios de venta $6.00 $5.25 $4.75
El gerente ha establecido, en orden de prioridad, las siguientes metas: 1) 2) 3)
Fabricar cuando menos 2000 quintos de galón de vino A y 1000 quintos de vino B por día. Maximizar las utilidades. Utilizar todas las cantidades diarias disponibles de materias primas.
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Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Solución Variables de decisión Xij: cantidad de galones de grado i que se usarán en el vino tipo j Donde i = 1, 2, 3 (1 = I, 2 = II, 3 = III); j = 1, 2, 3 (1 = A, 2 = B, 3 = C) Función objetivo Minimizar Z = P1 (U1 + U2) + P2 U3 + P3 (U4 + U5 + U6) Restricciones de metas Fabricar cuando menos 2000 quintos de galón de vino A y 1000 quintos de vino B por día X11 + X21 + X31 + U1 – V1 = 2000 X12 + X22 + X32 + U2 – V2 = 1000 Maximizar utilidades (M -> ∞) – 0.50 X11 + 1 X21 + 2.50 X31 – 1.25 X12 + 0.25 X22 + 1.75 X32 – 1.75 X13 – 0.25 X23 +1.25 X33 + U3 – V3 = M Utilizar todas las cantidades diarias disponibles de materias primas X11 + X12 + X13 + U4 = 1800 X21 + X22 + X23 + U5 = 2000 X31 + X32 + X33 + U6 = 1200 Restricciones estructurales Composición de los vinos X31 0.12(X11 + X21 + X31) –0.12 X11 – 0.12 X21 + 0.88 X31 0 X11 0.50(X11 + X21 + X31) 0.50 X11 – 0.50 X21 – 0.50 X31 0 X32 0.40(X12 + X22 + X32) – 0.40 X12 – 0.40 X22 + 0.60 X32 0 X12 0.25(X12 + X22 + X32) 0.75 X12 – 0.25 X22 – 0.25 X32 0 X33 0.50(X13 + X23 + X33) – 0.50 X13 – 0.50 X23 + 0.50 X33 0 X23 0.10(X13 + X23 + X33) – 0.10 X13 + 0.90 X23 – 0.10 X33 0 Rango de Existencia Xjk, Ui, Vi 0 Problema 9 Suponga que una persona determinada debe limitarse a una dieta de leche, carne de res y huevos. A esa persona no se le restringe la cantidad de cualquiera de esos artículos que elija pero es importante satisfacer ciertos requerimientos mínimos y minimizar el consumo de colesterol. La tabla siguiente refleja la cantidad, en miligramos, de vitamina A, B y C que contiene cada uno de los productos alimenticios, así como también su nivel (unidades) de colesterol. La tabla también incluye los requerimientos mínimos diarios de vitaminas y el costo de cada uno de los productos. Componentes de los alimentos Vitamina A Vitamina B Vitamina C Colesterol Costo
Leche (mg. por galón) 2 200 20 140 unidades por galón $2.00 por galón
Producto alimenticio Carne de res Huevos (mg. por libra) (mg. por docena) 2 20 20 20 200 20 100 unidades 240 unidades por por libra docena $ 2.75 por libra $1.20 por docena
Requerimiento diario mínimo (mg.) 2 60 10
Se han establecido, en orden de prioridad, las siguientes metas: 1) 2)
Satisfacer los requerimientos vitamínicos diarios mínimos. Tiene el doble de importancia satisfacer el requerimiento de vitamina A que los requerimientos de las vitaminas B y C. Minimizar el consumo de colesterol.
9
3)
Minimizar los costos asociados con la dieta.
Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Solución Variables de decisión X1: cantidad de galones de leche que se usarán para la dieta X2: cantidad de carne de res que se usarán para la dieta X3: cantidad de docenas de huevos que se usarán para la dieta Restricciones de metas Satisfacer los requerimientos vitamínicos diarios mínimos 2 X1 + 2 X2 + 20 X3 + U1 – V1 = 2 200 X1 + 20 X2 + 20 X3 + U2 – V2 = 60 20 X1 + 200 X2 + 20 X3 + U3 – V3 = 10 Minimizar el consumo de colesterol 140 X1 + 100 X2 + 240 X3 – V4 = 0 Minimizar los costos asociados con la dieta 2 X1 + 2.75 X2 + 1.2 X3 – V5 = 0 Función objetivo Minimizar Z = P1 (2 U1 + 1 U2 + 1 U3) + P2 V4 + P3 V5 Rango de existencia Xj, Ui, Vi 0 Problema 10 La compañía DYNAMIX fabrica tanques auxiliares de gasolina para automóviles compactos. La compañía fabrica un tipo de tanque que sirve para diversos automóviles. En la actualidad la compañía tiene una gran demanda y una capacidad fija de producción. Con la intención de satisfacer la demanda, la compañía está considerando: operar sobre la base de diversos turnos en tiempo extra, subcontratar algunos pedidos con otras compañías y/o contratar empleados temporales. Al gerente de producción le preocupa acudir a subcontratistas externos o contratar empleados temporales debido a que esto podría reducir la calidad del trabajo. Inclusive, en algunos casos, los costos serían mayores. Los datos de la siguiente tabla describen los requerimientos de mano de obra, los costos y los niveles promedio de calidad asociados con las diferentes alternativas. Con la actual fuerza de trabajo, se dispone de 180 horas en tiempo normal y 20 horas en tiempo extra por semana.
Horas requeridas Costo por hora Nivel de calidad
Tiempo normal 4 $12 99%
Operaciones Tiempo extra Subcontratación 4 5 $18 $10 98% 94%
Empleo temporal 6 $10 98%
El gerente de producción determinó, en orden de prioridad, las siguientes metas: 1)
2) 3)
La demanda actual del tanque de gasolina es de 100 unidades por semana. A la compañía le gustaría satisfacer esta demanda; sin embargo, y debido a capacidades limitadas de almacenamiento, a la compañía le gustaría evitar la producción en exceso. Los administradores han decidido que satisfacer la demanda tiene el doble de importancia que evitar la sobreproducción. Alcanzar un nivel de calidad promedio del 98%. Minimizar los costos totales asociados con todas las operaciones.
Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Solución Variables de decisión X1: cantidad de tanques de gasolina producidos en tiempo normal por semana X2: cantidad de tanques de gasolina producidos en tiempo extra por semana X3: cantidad de tanques de gasolina conseguidas por subcontratación por semana X4: cantidad de tanques de gasolina producidos mediante empleo temporal por semana Función objetivo
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Minimizar Z = P1 (2 U1 + 1 V1) + P2 U2 + P3 V3 Restricciones de metas Satisfacer la demanda X1 + X2 + X3 + X4 + U1 = 100 Alcanzar un nivel de calidad promedio del 98% 0.99 X1 + 0.98 X2 + 0.94 X3 + 0.98 X4 + U2 – V2 = 0.98 (X1 + X2 + X3 + X4) 0.01 X1 – 0.04 X3 + U2 – V2 = 0 Minimizar los costos totales asociados con todas las operaciones 48 X1 + 72 X2 + 50 X3 + 60 X4 – V3 = 0 Restricciones estructurales Disponibilidad de horas en tiempo normal 4 X1 180 Disponibilidad de horas en tiempo extra 4 X2 20 Rango de existencia Xj, Ui, Vi 0 Problema 11 La Compañía DYNAMIX se dedica al comercio mayorista. La compañía maneja un solo producto y el capital con que opera es limitado. Debido a que el precio de venta del producto es un tanto estacional y, por ello, puede variar de mes a mes, a la compañía le conviene comprar en determinados meses para vender en ciertos meses posteriores. La empresa tiene información definida con respecto al costo al que puede comprar y el precio al que puede vender en los siguientes cuatro meses. Los datos son: Mes Costo Precio
1 8 12
2 8 10
3 10 7
4 12 9
Las ventas se realizan al principio del mes y después se efectúan las compras. La cantidad que se adquiere se basa por completo en los ingresos que se generan por las ventas. Las compras están restringidas por la capacidad de almacenamiento de la empresa; en la actualidad, pueden almacenarse 3,000 unidades de los productos (puede almacenarse una cantidad adicional de 1,000 unidades, pero esto se considera indeseable). A principios del mes 1, existen 2,000 unidades en el almacén que tuvieron un costo de $6 por unidad. El gerente ha identificado, en orden de prioridad, las siguientes metas: 1) 2) 3) 4)
En el mes 1 debe utilizarse sólo la capacidad normal del almacén. La compañía desearía tener cuando menos $2,000 en reserva, cada mes, para contingencias operativas. Debe tener cuando menos $4,000 disponibles el mes 4. Este dinero se utilizará para cumplir con un compromiso financiero externo. La compañía desearía maximizar el total de sus utilidades para el período completo de cuatro meses.
Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Solución Variables de decisión Yk: cantidad de unidades inicialmente en el inventario, vendidas el mes k Donde k = 1, 2, 3, 4 Xjk: cantidad de unidades compradas el mes j, vendidas el mes k Donde j = 1, 2, 3; k = 2, 3, 4; j < k Función objetivo Minimizar Z = P1 V1 + P2 (U2 + U3 + U4 + U5) + P3 U6 + P4 U7 Restricciones de metas Utilizar sólo la capacidad normal del almacén, en el mes 1 2000 + X12 + X13 + X14 – Y1 + U1 – V1 = 3000 Reserva de cuando menos $2000 al final del mes 1 12 Y1 – 8 X12 – 8 X13 – 8 X14 + U2 – V2 = 2000 Reserva de cuando menos $2000 al final del mes 2 12 Y1 – 8 X12 – 8 X13 – 8 X14 + 10 Y2 + 10 X12 – 8 X23 – 8 X24 + U3 – V3 = 2000 Reserva de cuando menos $2000 al final del mes 3 12 Y1 – 8 X12 – 8 X13 – 8 X14 + 10 Y2 + 10 X12 – 8 X23 – 8 X24 + 7 Y3 + 7 X13 + 7 X23 – 10 X34 + U4 – V4 = 2000
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Reserva de cuando menos $2000 al final del mes 4 12 Y1 – 8 X12 – 8 X13 – 8 X14 + 10 Y2 + 10 X12 – 8 X23 – 8 X24 + 7 Y3 + 7 X13 + 7 X23 – 10 X34 + 9 Y4 + 9 X14 + 9 X24 + 9 X34 + U5 – V5 = 2000 Disponer de cuando menos $4000 el mes 4 V5 + U6 – V6 = 4000 Maximizar las utilidades (M -> ∞) 6 Y1 + 4 Y2 + 1 Y3 + 3 Y4 + 2 X12 – X13 + X14 – X23 + X24 – X34 + U7 – V7 = M Restricciones estructurales Unidades en el almacén al inicio de mes 1 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 2000 Capacidad máxima de almacenamiento al final del mes 1 2000 + X12 + X13 + X14 – Y1 4000 X12 + X13 + X14 – Y1 2000 Capacidad máxima de almacenamiento al final del mes 2 2000 + X12 + X13 + X14 – Y1 + X23 + X24 – Y2 – X12 4000 X12 + X13 + X14 – Y1 + X23 + X24 – Y2 – X12 2000 Capacidad máxima de almacenamiento al final del mes 3 2000 + X12 + X13 + X14 – Y1 + X23 + X24 – Y2 – X12 + X34 – Y3 – X13 – X23 4000 X12 + X13 + X14 – Y1 + X23 + X24 – Y2 – X12 + X34 – Y3 – X13 – X23 2000 Rango de existencia Xjk, Ui, Vi 0 Problema 12 La compañía DYNAMIX tiene cuatro territorios de ventas a los cuales se asignan sus vendedores. La compañía ha determinado que las ventas están en función de los días vendedor por mes. Los datos muestran que las ventas diarias por día vendedor son $2,000; $1,600; $900 y $800, respectivamente, para los cuatro territorios. La compañía tiene un equipo de ventas de cuatro personas; todos los vendedores trabajan 20 días al mes. Dado que todos los territorios de ventas son cercanos entre sí, a los vendedores no se les restringe a un solo territorio sino que, más bien, la compañía exige que cada vendedor trabaje cuando menos en dos territorios. Como incentivo para las ventas la compañía trata de satisfacer la preferencia que cada uno de los vendedores tiene por determinados territorios. El índice de preferencia que aparece en la siguiente tabla señala la preferencia que cada vendedor tiene por los territorios. El número 5 refleja la mayor preferencia y el número 1 la menor preferencia. Vendedor 1 2 3 4
1 5 4 3 5
Territorio 2 3 4 2 3 5 5 0 4 1
4 4 4 2 3
El gerente ha establecido, en orden de prioridad, las siguientes metas: 1) 2) 3)
Maximizar las ventas. Maximizar el índice ponderado de preferencia para cada vendedor, en donde el índice ponderado es el índice del vendedor, con respecto a su territorio, multiplicados por el porcentaje de tiempo que invierte en ese territorio y sumado para todos los territorios que visita. Deben invertirse cuando menos 10 días de vendedor en cada territorio.
Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Solución Variables de decisión Xij: cantidad de días que el vendedor i trabaja en el territorio j Donde i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4 Función objetivo Minimizar Z = P1U1 + P2 (U2 + U3 + U4 + U5) + P3 (U6 + U7 + U8 + U9) Restricciones de metas Maximizar las ventas (M -> ∞)
12
2000 X11 + 2000 X21 + 2000 X31 + 2000 X41 + 1600 X12 + 1600 X22 + 1600 X32 + 1600 X42 + 900 X13 + 900 X23 + 900 X33 + 900 X43 + 800 X14 + 800 X24 + 800 X34 + 800 X44 + U1 – V1 = M Maximizar el índice ponderado de preferencia para cada vendedor (M = 5) 5 X11 + 4 X12 + 2 X13 + 4 X14 + U2 – V2 = 5 (X11 + X12 + X13 + X14) – 1 X12 – 3 X13 – 1 X14 + U2 – V2 = 0 4 X21 + 3 X22 + 5 X23 + 4 X24 + U3 – V3 = 5 (X21 + X22 + X23 + X24) – 1 X21 – 2 X22 – 1 X24 + U3 – V3 = 0 3 X31 + 5 X32 + 2 X34 + U4 – V4 = 5 (X31 + X32 + X33 + X34) – 2 X31 – 5 X33 – 3 X34 + U4 – V4 = 0 5 X41 + 4 X42 + 1 X43 + 3 X44 + U5 – V5 = 5 (X41 + X42 + X43 + X44) – 1 X42 – 4 X43 – 2 X44 + U5 – V5 = 0 Deben invertirse cuando menos 10 días de vendedor en cada territorio X11 + X21 + X31 + X41 + U6 – V6 = 10 X12 + X22 + X32 + X42 + U7 – V7 = 10 X13 + X23 + X33 + X43 + U8 – V8 = 10 X14 + X24 + X34 + X44 + U9 – V9 = 10 Restricciones estructurales Carga de trabajo mensual X11 + X12 + X13 + X14 = 20 X21 + X22 + X23 + X24 = 20 X31 + X32 + X33 + X34 = 20 X41 + X42 + X43 + X44 = 20 Vendedores asignados a por lo menos dos territorios X11 19 X12 19 X13 19 X14 19 X21 19 X22 19 X23 19 X24 19 X31 19 X32 19 X33 19 X34 19 X41 19 X42 19 X43 19 X44 19 Rango de existencia Xjk, Ui, Vi 0 Problema 13 El señor Carvajal tiene $200,000 que desea invertir para maximizar su rendimiento anual sobre la inversión. En la siguiente tabla se muestran las alternativas de inversión y los montos a invertir en cada una de ellas. Tipo de inversión Bonos Cuenta de ahorros Fondos mutualistas Capital de riesgo
Rendimiento 6% 5% 8% 7%
Monto a invertir ($) Al menos 40,000 De 10,000 a 30,000 No más de 20,000 Al menos 60,000
El señor Carvajal conversó con el administrador financiero y le pidió recomendaciones específicas con respecto a sus inversiones. Después de analizar el problema, el analista le informó que era imposible satisfacer las condiciones de inversión, pero que podría identificarse una solución cercana si se asignaran prioridades a las condiciones de la inversión. Después de examinar las alternativas de inversión, el señor Carvajal identificó, en orden de prioridad, las siguientes metas: 1)
Satisfacer las metas de los bonos y de la cuenta de ahorros, tomando en consideración que la meta de
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2) 3) 4)
la cuenta de ahorros tiene el doble de importancia que la meta de los bonos. Alcanzar la meta del capital de riesgo. Alcanzar la meta de la inversión en fondos mutualistas. Lograr un mínimo de $8,000 de rendimiento sobre las inversiones.
Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Solución Variables de decisión Xj: cantidad de dólares invertidos en el tipo de inversión j Donde j = 1, 2, 3, 4 (1 = bonos; 2 = ahorros; 3 = fondos mutualistas; 4 = capital de riesgo) Función objetivo Minimizar Z = P1 (1 U1 + 2 U2 + 2 V3) + P2 U4 + P3 V4 + P4U6 Restricciones de metas Satisfacer las metas de los bonos y de la cuenta de ahorros, tomando en consideración que la meta de la cuenta de ahorros tiene el doble de importancia que la meta de los bonos X1 + U1 – V1 = 40000 Monto a invertir en cuenta de ahorros X2 + U2 – V2 = 10000 X2 + U3 – V3 = 30000 Alcanzar la meta del capital de riesgo X4 + U4 – V4 = 60000 Alcanzar la meta de la inversión en fondos mutualistas X3 + U5 – V5 = 20000 Lograr un mínimo de $8,000 de rendimiento sobre las inversiones 0.06 X1 + 0.05 X2 + 0.08 X3 + 0.07 X4 + U6 – V6 = 8000 Restricciones estructurales Disponibilidad de dinero para invertir X1 + X2 + X3 + X4 ≤ 200000 Rango de existencia Xj, Ui, Vi 0 Problema 14 La consultora DYNAMIX debe realizar tres trabajos de consultoría en el siguiente mes. El trabajo 1 necesita 500 horas, el trabajo 2 necesita 300 horas, y el trabajo 3 necesita 100 horas. En la actualidad la empresa tiene 5 consultores socios, 5 consultores A y 5 consultores B disponibles los que resultan insuficientes para realizar los tres trabajos y por ello es necesario contratar a otros consultores. Cada consultor puede trabajar hasta 40 horas por mes. Lo que el despacho puede cobrar depende del tipo de consultor asignado a cada trabajo, como se muestra en la siguiente tabla. Consultor socio Consultor A Consultor B
Trabajo 1 $160 $120 $80
Trabajo 2 $120 $90 $50
Trabajo 3 $110 $70 $40
Además, se deben terminar todos los trabajos. El gerente ha identificado las siguientes metas, en orden de prioridad: 1) 2) 3) 4)
Los cobros mensuales deben ser por lo menos $68,000. Se debe contratar a lo más 1 consultor socio adicional. Se deben contratar a lo más 3 consultores A adicionales. Se deben contratar a lo más 5 consultores B adicionales.
Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Solución Variables de decisión Xij: cantidad de horas que un empleado en la categoría j trabajará en el trabajo i Yj: cantidad de empleados en la categoría j que serán contratados. Donde i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3 (1 = Consultor socio, 2 = Consultor A, 3 = Consultor B) Función objetivo
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Minimizar Z = P1 U1 + P2 V2 + P3 V3 + P4 V4 Restricciones de metas Los cobros mensuales deben ser por lo menos $68,000. 160 X11 + 120 X21 + 110 X31 + 120 X12 + 90 X22 + 50 X32 + 80 X13 + 50 X23 + 40 X33 + U1 – V1 = 68000 Se debe contratar a lo más 1 Consultor Socio adicional. Y1 + U2 – V2 = 1 Se deben contratar a lo más 3 Consultores A adicionales. Y2 + U3 – V3 = 3 Se deben contratar a lo más 5 Consultores B adicionales. Y3 + U4 – V4 = 5 Restricciones estructurales Disponibilidad de tiempos de consultoría por categoría X11 + X21 + X31 200 + 40 Y1 X11 + X21 + X31 – 40 Y1 200 X12 + X22 + X32 200 + 40 Y2 X12 + X22 + X32 – 40 Y2 200 X13 + X23 + X33 200 + 40 Y3 X13 + X23 + X33 – 40 Y3 200 Requerimiento de tiempo de los trabajos X11 + X12 + X13 = 500 X21 + X22 + X23 = 300 X31 + X32 + X33 = 100 Rango de existencia Xij, Yj, Uk, Vk 0 Problema 15 La compañía DYNAMIX ha desarrollado recientemente tres nuevos productos haciendo uso del exceso de capacidad en sus tres plantas. Cada producto puede fabricarse en cualquiera de las tres plantas. El análisis ha mostrado que sería rentable utilizar el exceso de capacidad para producir estos nuevos productos. En realidad, el propósito principal de la gerencia al desarrollar los nuevos productos era lograr la utilización completa de la capacidad productiva de exceso sobre una base rentable. Mientras que las plantas generalmente operan a capacidad plena en sus líneas de productos existentes, la producción por debajo de la capacidad normal ocurre con poca frecuencia, presentando problemas con la fuerza laboral. Aunque la compañía no necesita la fuerza laboral plena durante los períodos de holgura, el costo de los despidos sería considerable, y la gerencia desearía evitar esto tanto como fuera posible. Además, la gerencia desearía balancear la utilización del exceso de capacidad entre las plantas sucursales. Esto servirá para distribuir equitativamente la carga de trabajo del personal de supervisores asalariados y reducir los agravios de la fuerza laboral que se le paga por horas, que de otra manera se sentiría discriminada con respecto a las cargas de trabajo o a los despidos. Para el período que se está considerando, las plantas tienen las siguientes capacidades de producción en exceso (en términos de unidades) de nuevos productos y capacidades de embarque disponibles asignadas a los nuevos productos: Planta Capacidad de exceso Capacidad de embarque de producción (unidades) (pies cúbicos) 1 750 12,000 2 300 10,000 3 450 6,500 Los productos 1, 2 y 3 requieren 30, 20 y 15 pies cúbicos por unidad, respectivamente. Las utilidades unitarias de los productos 1, 2 y 3 son $15.00, $18.00 y $12.00 respectivamente. Los pronósticos de ventas indican que DYNAMIX puede esperar ventas tan altas como 900, 1000 y 700 unidades de los productos 1, 2 y 3 respectivamente, durante el período de planeación en consideración. Dada la situación que hemos descrito, la administración ha planteado las siguientes metas, en orden de prioridad: 1) 2) 3)
Lograr una utilidad de $15,000. Utilizar la máxima capacidad de exceso. Debido al bajo costo de la mano de obra, la gerencia cree conveniente asignar pesos diferenciales de 1.5 para la Planta 1, y de 1.0 para las Plantas 2 y 3. Lograr un balance de la carga de trabajo en la utilización de exceso de capacidad entre todas las plantas. Debido a ciertas demandas adicionales de los trabajadores de la Planta 1, la gerencia cree que conveniente
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4) 5) 6)
asignar pesos diferenciales de 2, si ocurre algún desbalance en la carga de trabajo de la Planta 1; y de 1 si ocurre algún desbalance en la carga de trabajo de las Plantas 2 y 3. Lograr el pronóstico de ventas para el Producto 2, puesto que este tiene la mayor utilidad unitaria. Producir suficiente cantidad de los Productos 1 y 3 para cumplir con las ventas pronosticadas. No exceder la capacidad de embarque disponible.
Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Solución Variables de decisión Xij: número de unidades del Producto i producidas en la Planta j Donde i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3 Función objetivo Minimizar Z = P1 (U1 + V1) + 1.5 P2 U2 + 1 P2 (U3 + U4) + 2 P3 (U5 + U6) + P3 (V5 + V6) + P4 U7 + P5 (U8 + U9) + P6 (V10 + V11 + V12) Restricciones de metas Lograr una utilidad de $15,000 15 (X11 + X12 + X13) + 18 (X21 + X22 + X23) + 12 (X31 + X32 + X33) + U1 – V1 = 15000 Utilizar la máxima capacidad de exceso X11 + X21 + X31 + U2 – V2 = 750 X12 + X22 + X32 + U3 – V3 = 300 X13 + X23 + X33 + U4 – V4 = 450 Lograr un balance de la carga de trabajo en la utilización de exceso de capacidad entre todas las plantas. (X11 + X21 + X31) / 750 = (X12 + X22 + X32) / 300 = (X13 + X23 + X33) / 450 0.4 X11 + 0.4 X21 + 0.4 X31 – X12 – X22 – X32 + U5 – V5 = 0 0.6 X11 + 0.6 X21 + 0.6 X31 – X13 – X23 – X33 + U6 – V6 = 0 Lograr el pronóstico de ventas para el Producto 2, puesto que este tiene la mayor utilidad unitaria X21 + X22 + X23 + U7 = 1000 Producir suficiente cantidad de los Productos 1 y 3 para cumplir con las ventas pronosticadas. X11 + X12 + X13 + U8 = 900 X31 + X32 + X33 + U9 = 700 No exceder la capacidad de embarque disponible. 30 X11 + 20 X21 + 15 X31 + U10 – V10 = 12000 30 X12 + 20 X22 + 15 X32 + U11 – V11 = 10000 30 X13 + 20 X23 + 15 X33 + U12 – V12 = 6500 Rango de existencia Xij, Ui, Vi 0 Problema 16 Una granja de verduras está ubicada en Chincha, al sur de Lima, y se enfrenta al problema de elegir un plan de cosechas para un año, de tal manera que, la suma de los márgenes brutos de todas sus cosechas cultivadas sea maximizada. El propietario de la granja considera las siguientes cuatro actividades de cosecha: zanahorias, apios, pepinos y pimentones. El propietario de la granja debe considerar su decisión sujeta a tres restricciones de recursos: 1) la cantidad de acres disponibles (200 acres), 2) las horas-hombre disponibles (10,000 horas) y 3) una restricción rotacional y de distribución de mercado (esto exige que el total de acres de apio y pimentones sea menor o igual a total de acres de zanahorias y pepinos). Una serie de tiempo de los márgenes brutos de los seis años más recientes, se obtuvo como muestra del mercado actual de las granjas de verduras en Chancay y Huaura y los márgenes brutos medios se utilizaron para pronosticar valores para los márgenes brutos de los granjeros de Chincha. Estos márgenes brutos se muestran en la siguiente tabla. Año 1 2 3 4 5 6 Media a)
Zanahoria 292 179 114 247 426 259 253
Apio –128 560 648 544 182 850 443
Pepino 420 187 366 249 322 159 284
Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.
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Pimentones 579 639 379 924 5 569 516
Ahora suponga un cambio en el problema. Además de la meta de maximizar los márgenes brutos, el granjero tiene por meta utilizar todos los acres disponibles. Cuando se le preguntó qué meta era más importante, el granjero contestó que la meta del margen bruto era más importante que la meta del número de acres. b) Formule un modelo de programación de metas adecuado a esta situación. Ahora suponga que es preferible que el granjero adquiera más tierra, pero que esto le disgusta 5 veces más que lo que el disgusta la no utilización de todos sus 200 acres. c)
Reformule el modelo de programación de metas.
Considere ahora, sobre la base del planteamiento anterior, que el granjero dice que la meta de acres totales es más importante que la meta de margen bruto. d) Reformule el modelo de programación de metas. Ahora suponga que el granjero desea lograr un margen bruto de por lo menos $75,000. El granjero tiene una meta de utilizar todos los acres disponibles. El granjero puede adquirir más tierra, pero, de nuevo esto le disgusta 5 veces más que lo que le disgusta el no usar todos sus 200 acres. La meta de margen bruto la considera más importante que la del total de acres. e)
Reformule el modelo de programación de metas.
Solución a) Formulación del modelo de programación lineal Variables de decisión Xj: cantidad de acres del producto i que se sembrarán Donde j = 1, 2, 3, 4 (1 = zanahorias, 2 = apio, 3 = pepinos, 4 = pimentones) Función objetivo Maximizar los márgenes brutos Maximizar Z = 253 X1 + 443 X2 + 284 X3 + 516 X4 Restricciones estructurales Disponibilidad de terreno X1 + X2 + X3 + X4 200 Disponibilidad de horas-hombre 100 X1 + 100 X2 + 100 X3 + 100 X4 10000 El total de acres de apio y pimentones es menor o igual al total de acres de zanahorias y pepinos X2 + X4 – X1 – X3 0 Rango de existencia Xj 0 b) Formulación del modelo de programación de metas Variables de decisión Xj: cantidad de acres del producto i que se sembrarán Donde j = 1, 2, 3, 4 (1 = zanahorias, 2 = apio, 3 = pepinos, 4 = pimentones) Función objetivo Minimizar Z = P1 U1 + P2 U2 Restricciones de metas Maximizar los márgenes brutos (M -> ∞) 253 X1 + 443 X2 + 284 X3 + 516 X4 + U1 – V1 = M Utilizar todos los acres disponibles X1 + X2 + X3 + X4 + U2 – V2 = 200 Restricciones estructurales Disponibilidad de horas-hombre 100 X1 + 100 X2 + 100 X3 + 100 X4 10000 El total de acres de apio y pimentones es menor o igual al total de acres de zanahorias y pepinos X2 + X4 – X1 – X3 0 Rango de existencia Xj, Ui, Vi 0
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c) Reformulación del modelo de programación de metas Variables de decisión Xj: cantidad de acres del producto i que se sembrarán Donde j = 1, 2, 3, 4 (1 = zanahorias, 2 = apio, 3 = pepinos, 4 = pimentones) Función objetivo Minimizar Z = P1 U1 + P2 (6 U2 + 1 V2) Restricciones de metas Maximizar los márgenes brutos (M -> ∞) 253 X1 + 443 X2 + 284 X3 + 516 X4 + U1 – V1 = M Utilizar todos los acres disponibles X1 + X2 + X3 + X4 + U2 – V2 = 200 Restricciones estructurales Disponibilidad de horas-hombre 100 X1 + 100 X2 + 100 X3 + 100 X4 10000 El total de acres de apio y pimentones es menor o igual al total de acres de zanahorias y pepinos X2 + X4 – X1 – X3 0 Rango de existencia Xj, Ui, Vi 0 d) Reformulación del modelo de programación de metas Variables de decisión Xj: cantidad de acres del producto i que se sembrarán Donde j = 1, 2, 3, 4 (1 = zanahorias, 2 = apio, 3 = pepinos, 4 = pimentones) Función objetivo Minimizar Z = P1 (6 U2 + 1 V2) + P2 U1 Restricciones de metas Maximizar los márgenes brutos (M -> ∞) 253 X1 + 443 X2 + 284 X3 + 516 X4 + U1 – V1 = M Utilizar todos los acres disponibles X1 + X2 + X3 + X4 + U2 – V2 = 200 Restricciones estructurales Disponibilidad de horas-hombre 100 X1 + 100 X2 + 100 X3 + 100 X4 10000 El total de acres de apio y pimentones es menor o igual al total de acres de zanahorias y pepinos X2 + X4 – X1 – X3 0 Rango de existencia Xj, Ui, Vi 0 e) Reformulación del modelo de programación de metas Variables de decisión Xj: cantidad de acres del producto i que se sembrarán Donde j = 1, 2, 3, 4 (1 = zanahorias, 2 = apio, 3 = pepinos, 4 = pimentones) Función objetivo Minimizar Z = P1 U1 + P2 (6 U2 + 1 V2) Restricciones de metas Maximizar los márgenes brutos (M -> ∞) 253 X1 + 443 X2 + 284 X3 + 516 X4 + U1 – V1 = M Utilizar todos los acres disponibles X1 + X2 + X3 + X4 + U2 – V2 = 200 Restricciones estructurales Disponibilidad de horas-hombre 100 X1 + 100 X2 + 100 X3 + 100 X4 10000 El total de acres de apio y pimentones es menor o igual al total de acres de zanahorias y pepinos X2 + X4 – X1 – X3 0 Rango de existencia Xj, Ui, Vi 0
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