PROBLEMAS
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Sección 16-3 16-1. Una barra rígida articulada en la base se mantiene en posición vertical por medio de dos resortes: uno tiene una rigidez k N/mm y el otro 2k N/mm, 2k N/mm, como se muestra en la figura. Determine la fuerza crítica Pcr para este sistema.
16-2 al 16-5. Segmentos de barras rígidas de iguales longitudes a están conectados en sus nodos y en el fondo por articulaciones sin fricción y son mantenidos en posición recta por resortes torsionantes cuyas rigideces se dan en las figuras. Determine los valores propios de esos sistemas y muestre las funciones propias sobre diagramas separados. Identifique las cargas críticas.
16-6 . Una columna prismática elástica sin peso puede ser aproximada por una serie de barras rígidas cada una de longitud a con una constante de res orte torsionante k apropiada en cada nodo, como se muestra en la figura. Establezca la ecuación del determinante para encontrar la carga crítica para un sistema que tenga n grados de libertad.
Sección 16-5. 16-7. Una columna ideal está articulada en su base y atirantada en su parte superior por cuatro alambres, como se muestra en la figura. La columna de 3000 mm de altura tiene una sección transversal circular maciza de 80 mm de diámetro. Para la columna y los alambres, E = 200 GPa y syp = 400 MPa. ¿Cuál debe ser el diámetro de los alambres para que una carga de pandeo P cr , perfectamente concéntrica pueda alcanzarse simultáneamente con un desplazamiento lateral en la parte superior? Suponga que el desplazamiento lateral es impedido sólo por un alambre. Considere que la columna es perfectamente rígida durante el desplazamiento lateral de la parte superior. (Nota: La excentricidad de la carga y la falta de rectitud geométrica de la columna deben considerarse en las aplicaciones reales.)
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16-8. Una barra de acero redonda de 1 in de diámetro y 4 ft de longitud actúa como separador en el arreglo mostrado en la figura. Si los cables y las conexiones están diseñados apropiadamente, ¿qué fuerza F puede aplicarse al conjunto?.Use la 6 fórmula de Euler y suponga un factor de seguridad de 3. E = 29 X 10 psi.
16-9. Una barra maciza de acero con radio de 21 mm actúa como separador en el sistema mostrado en la figura. Con base en la fórmula de Euler y con un factor de seguridad de 1.7, ¿cuál es la capacidad del sistema con base en la resistencia de la barra separadora? E = 200 GPa.
16-10. Una barra pescante está hecha con un tubo de aluminio de 60 mm de diámetro exterior y 4 mm de espesor de pared, y es parte de un dispositivo para levantar cargas, como se muestra en la figura. Determine las magnitudes de la fuerza F que podría aplicarse a este sistema plano si rige la capacidad del pescante. Suponga un factor de seguridad de 2 para la carga de pandeo de Euler. E = 75 GPa. Todas las dimensiones mostradas están en milímetros.
16-11. El mástil de una grúa está hecho con un perfil tubular estándar rectangular 2 4 4 de 4 X 2 in con peso de 6.86 Ib/ft. (A = 2.02 in , I x = 1.29 in e /, = 3.87 in .) Si esta grúa está armada como se muestra en la figura, ¿qué fuerza vertical F, gobernada por el tamaño del mástil, puede aplicarse en A? Suponga que todos los nodos están articulados y que los detalles de las conexiones son tales que el mástil queda cargado axialmente. La parte superior del mástil está arriostrada para prevenir desplazamientos laterales. Use la fórmula de Euler con un factor de seguridad de 3.3. 'E = 6 29 X 10 psi.
16-12. ¿Qué fuerza F puede aplicarse al sistema mos trado en la figura si gobierna la barra AB de 25 X 16 mm hecha de una aleación de aluminio? El factor de seguridad para la carga de pandeo de Euler es de 2.5. Suponga que los extremos están articulados. E = 70 GPa.
16-13. Gobernada por la sección T de acero, ¿qué fuerza F puede aplicarse al sistema mostrado en la figura? El factor de seguridad para la carga de pandeo debe ser de 2. Suponga que los extremos están articulados y que la fuerza aplicada es axial. E = 200 GPa. Desprecie la posibilidad del pandeo torsionante.
16-14. Una barra delgada de acero inoxidable está precomprimida axialmente 100 N entre dos placas fijas a una distancia constante de 150 mm entre ellas; véase la figura. Este ensamble se hace a 20°C. ¿Qué tanto puede elevarse la temperatura de la barra para tener un factor de seguridad de 2 respecto al pandeo? Suponga E = 200 GPa y a = 15 X 10-*por °C.
16-15. ¿Qué tubo de tamaño estándar debe usarse para el miembro horizontal de la estructura mostrada en la figura para soportar la fuerza máxima de 20 kN, que incluye un factor de impacto? Use la fórmula de pandeo de Euler para columnas con extremos articulados y un factor de seguridad de 2.5. Desprecie el peso de la estructura. E =200 GPa.
16-16. Seleccione una sección W de acero para el miembro AB para el sistema mostrado en la figura que debe resistir una fuerza vertical de 150 k. El sistema está arriostrado lateralmente en B y C. Desprecie el peso de los miembros. Suponga ex3 tremos articulados y un factor de seguridad de 2. E = 29 X 10 ksi. 16-17. Seleccione tubos estándar de acero para los miembros AC y AD mostrados en la figura para soportar una carga vertical F = 4.75 k con un factor de 2.5 respecto 3 a la carga de pandeo de Euler. Desprecie el peso de los miembros. E = 29 X 10 ksi.
16-18. Un tripié va a ser fabricado con ángulos de acero de 3 X 3 in, cada uno de 10 ft de longitud, para soportar una carga vertical F= 8 k en el centro, como se muestra en la figura. Usando la fórmula de pandeo de Euler con un factor de seguridad de 3 para tomar en cuenta el impacto, determine el espesor requerido de los ángulos. Desprecie el peso de los ángulos; suponga que éstos estarán cargados 6 axialmente y que sus extremos estarán articulados. E = 30 X 10 psi.
16-19. Una viga simple de rigidez EI h está apuntalada en el centro de su claro por una barra esbelta de rigidez El c. Estime la deflexión de la viga en el centro si una fuerza doble de la carga de Euler para la columna es aplicada a este sistema.
Sección 16-6 16-20. Obtenga la ecuación 16-17a usando la ecuación 16-5 en la forma EIv" + Pv = M 0 , donde M 0 es el momento en el extremo. 16-21. Obtenga la ecuación 16-17b usando la ecuación 16-5 en la forma EIv" + P(b —v), donde 8 es la deflexión en el extremo. 16-22. Determine la carga crítica de pandeo para la columna mostrada en la figura. (Sugerencia: Véase el problema precedente; considere las condiciones de continuidad donde cambia EL)
16-23. Determine la ecuación trascendente para encontrar la carga crítica de pandeo para la barra AB de El constante debido a la aplicación de la fuerza axial P a través del eslabón rígido BC. (Sugerencia: En una posición deflexionada, note la presen cia de una fuerza cortante en B.) . ,
16-24. La carga axial permisible para una columna de 4 m de longitud, articulada en sus extremos y hecha de un cierto material elástico lineal es de 20 kN. Cinco columnas diferentes hechas del mismo material y con la misma sección transversal tienen las condiciones de soporte mostradas en la figura. Usando la capacidad de la columna de 4 m como criterio, ¿cuáles son las cargas permisibles para las cinco columnas mostradas?
16-25. Considere las cinco columnas con diferentes condiciones de frontera en el problema 16-24. Las cinco columnas están hechas con el mismo material elástico lineal. Usando la fórmula de Euler para diferentes condiciones de frontera, determine las longitudes de las columnas para que tomen la misma carga que la columna de 4 m con extremos empotrados. 16-26. Una parte de máquina de acero va a construirse como se muestra en la figura. El miembro a compresión AB está dispuesto de manera que puede pandearse como columna doblemente articulada en el plano ABC, pero como una columna doblemente empotrada en la dirección perpendicular a este plano, (a) Si el espesor del miembro es de 0.5 in, ¿cuál debe ser su altura h para tener igual probabilidad 6 de pandearse en las dos direcciones mutuamente perpendiculares? Si E = 28 X 10 psi y el factor de seguridad por inestabilidad es de 2, ¿qué fuerza F puede aplicarse al miembro? Suponga que la barra diseñada en (a) controla la capacidad del conjunto. 16-27. Una pieza de equipo mecánico va a ser soportada en la parte superior de un tubo estándar de acero de diámetro nominal de 127 mm, como se muestra en la figura. La masa del equipo y de la plataforma soportante es de 2500 kg. La base del tubo estará anclada en una zapata de concreto y su extremo superior no estará so portado. Si el factor de seguridad requerido contra pandeo es de 2.5, ¿cuál es la altura máxima de la columna en que puede soportarse el equipo? E = 200 GPa. (Nota: La solución se vuelve inexacta si la altura de la masa rígida es considerable respecto a la altura de la columna.)
Secciones 16-6 a la 16-8 16-28. Encuentre las longitudes más cortas para columnas con extremos articulados tales que sea aplicable la fórmula de pandeo elástico de Euler, Considere tres casos diferentes: (a) un puntal de madera de 2 X 4 in de tamaño nominal (véase la 6 Tabla 9 del apéndice) con E = 1.8 X 10 psi y esfuerzo máximo de compresión = 1500 psi, (b) una flecha maciza de aleación de aluminio de 50 mm de diámetro con E = 70 GPa y syp = 360 MPa, y un perfil W14 X 193 (véase la Tabla 4A del apéndice) con E = 29 X103 ksi y syp = 36 ksi.
16-29 . Dos grados de acero son de uso común para columnas de edificios: acero A36 con syp = 36 ksi y acero A572 con syp = 50 ksi. Para cada acero, determine las relaciones de esbeltez más pequeñas para las cuales es aplicable la fórmula de Euler para pandeo elástico cuando la columna está articul ada en ambos extremos y cuando está empotrada en ambos extremos. 16-30 . La curva esfuerzo-deformación unitaria en tensión simple para una alea3 ción de aluminio se muestra en la figura, donde, por conveniencia, e X 10 = e. La aleación es linealmente elástica para esfuerzos de hasta 280 MPa;el esfuerzo último es de 350 MPa. (a) Idealice la relación esfuerzo-deformación unitaria ajustando una parábola a la curva tal que s y d s /de = E, sean continuos en el límite proporcional y que la línea de s = 350 MPa sea tangente a la parábola, (b) Grafique E,( s )/E versus s/súlt, donde E es el módulo elástico, s últ es el esfuerzo último y E, es el módulo tangente en el esfuerzo s. (c) Dibuje en una gráfica s cr versus L/r para columnas doblemente empotradas y doblemente articuladas, donde s cr se basa en el E,. 16-31 . Para algunos materiales, la relación esfuerzo-deformación unitaria en for1 ma normalizada puede expresarse como s = 1 — exp(—ce), donde c es.una constante arbitraria. Haciendo e = 500, grafique el diagrama esfuerzo-deformación unitaria para e de O a 0.01 y la relación normalizada esfuerzo verías relación de es beltez LJr de O a 200. [Nota: exp(x) = e*\ 16-32. Usando la ecuación 16-24, obtenga el esfuerzo promedio P/A para L/r = 2 O y 75. Suponga ec/r = 0.05.
Sección 16-9 16-33 . Un tubo de acero de alta resistencia de pared delgada de 1250 mm de longitud está cargado como se muestra en la figura 16-25. La fuerza axial P =25 kN y la fuerza transversal F = 500 N. El diámetro exterior del tubo es de 37 mm y el área 2 3 4 de su sección transversal es de 223 mm . Para este tubo, / = 34.2 X 10 mm y E = 200 GPa. (a) Determine la deflexión y el momento flexionante máximos usando las ecuaciones 16-33 y 16-34. (b) Compare los resultados en .(a) con los resultados que se obtienen usando las ecuaciones aproximadas 16-41 y 16-42. (c) Calcule los esfuerzos combinados debido a la fuerza axial y al momento flexionante máximo. Desprecie las concentraciones locales de esfuerzos.
16-34. Demuestre que para una viga-columna cargada por un momento extremo M B , como se muestra en la figura, la deflexión es
y el momento flexionante es
16-35. Considere el tubo de pared delgada con las propiedades mecanicas dadas en el problema 16-33, sometido a un momento extremo M n = 250 N-m y a una fuerza axial P = 30 kN, como se muestra en la figura, (a) Determine la deflexión máxima y luego el momento flexionante máximo usando un método aproximado. Use la Tabla 10 del apéndice para la deflexión de una viga debida a un momento extremo, (b) Compare los resultados en (a) con aquellos obtenidos usando las expresiones exactas del ejemplo precedente. Note que el momento máximo ocurre en dM/dx = 0. (c) Calcule los esfuerzos máximos en el claro debido a la fuerza axial y a la flexión.
16-36 . Si una barra elástica es inicialmente curva tal como se muestra en la figura, demuestre que su deflexión total está dada po r
Sección 16-10 16-37. Demuestre que como el carácter de las ecuaciones 16-45 y 16-46 cambia si es aplicada, en vez de una fuerza axial de compresión, una fuerza de tensión, la solución homogénea de la ecuación diferencial para la deflexión es
donde las constantes C l5 C 2 , C3 y C4 son determinadas de las condiciones de frontera. 16-38. Demuestre que si, en el ejemplo 16-3, la fuerza axial P es de tensión, la deflexión está dada por
16-39. Verifique la ecuación 16-48 superponiendo las deflexiones debidas a los momentos aplicados en cada extremo usando la expresión para la deflexión encontrada en el problema 16-34. Este caso especial demuestra que las soluciones para la deflexiones de vigas-columnas pueden encontrarse por superposición para miem bros idénticos some tidos a la misma fuerza axial.
16-40. Demuestre que la ecuación de la curva elástica para una viga-columna elástica de El constante sometida a una carga senoidal, como la mostrada en la figura, es
16-41. Usando la ecuación 16-45, demuestre que la ecuación para el momento flexionante para una viga-columna elástica sometida a una carga variable uniformemente creciente hacia la derecha está dada por
donde q = q0 x/L.
16-42. (a) Usando la ecuación 16-45, demuestre que la ecuación para el momento flexionante para una viga-columna elástica cargada uniformemente está dada por
(b) ¿Cómo puede encontrarse fácilmente la ecuación de la curva elástica a partir del resultado anterior? (SugerenciaiVéase la ecuación 16-50.)
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16-43. Resuelva el ejemplo 16-4 usando la ecuación 16-45 y demuestre que para 2 P = O, la ecuación 16-49 se reduce a v máx = M 0 L /8EI. 16-44. Usando la ecuación 16-55, obtenga de nuevo la ecuación 16-16.
16-45. Usando la ecuación homogénea 16-45, determine la carga crítica de pandeo para la columna de rigidez variable mostrada en la figura. (Sugerencia: Fuerce la condición de continuidad en donde cambia la EL) 16-46. Una barra articulada en sus extremos de El constante está soportada a lo largo de su longitud por una cimentación elástica, como se muestra en la figura. El 2 módulo de la cimentación es k lb/in y es tal que cuando la barra se deflexiona una cantidad v, una fuerza restitutiva kv lb/in es ejercida por la cimentación normalmente a la barra. Primero, compruebe que la ecuación diferencial homogénea que gobierna en este problema es
Luego demuestre que el valor propio requerido de la ecuación diferencial es
Note que si k = O, el valor mínimo de P a es el dado por la carga de pandeo clásica de Euler.
Secciones 16-11 y 16-12 16-47. (a) Si una flecha circular maciza articulada en sus extremos tiene 1.5 m de longitud y un diámetro de 50 mm, ¿cuál es la relación de esbeltez de ella? (b) Si la misma cantidad de material que en (a) se reforma en una barra cuadrada de la misma longitud, ¿cuál es la relación de esbeltez de la barra.? 16-48. La sección transversal de un miembro a compresión para un pequeño puente está hecha como se muestra en la figura 16-28(a). La cubreplaca superior es de 1/2 X 18 in y los dos canales C12 X 20.7 están colocados a 10 in espalda con espalda. Si el miembro tiene 20 ft de longitud, ¿cuál es su relación de esbeltez? (Compruebe L/r en dos direcciones.) 16-49. Considere dos columnas cargadas axialmente hechas con perfiles W10 X 112 de acero grado 50 con syp = 50 ksi. Una de las columnas tiene 12 ft de longitud y la otra tiene 40 ft. Ambas columnas están arriostradas en sus extremos articulados Usando el ASD del AISC, determine las cargas permisibles de esas columnas. 16-50. Una columna W14 X 193 de acero de grado 50 ( syp =, 50 ksi) está lateralmente arriostrada a cada 12 ft en la dirección débil de pandeo y a 24 ft en la dirección fuerte, como se muestra en la figura, (a) Determine la carga axial permisible para esta columna según el ASD del AISC. (b) ¿Es éste un diseño bien balanceado?
16-51. Un tubo estándar de acero de diámetro nominal de 12 in (véase la Tabla 7 ' del apéndice) soporta un tanque de a gua, como se muestra en la figura. Sup oniendo que la longitud efectiva de la columna es de 30 ft, ¿qué peso de agua puede so por tar de acuerd o con el ASD del AISC? Con sidere scr = 50 ksi. (Nota: En un diseño completo debe también considerarse la carga del viento.) 3
16-52, Para acero grado 50, syp = 50 ksi y E = 29 X 10 ksi. (a) Determine la relación L,/r para el punto de transición entre las ecuaciones 16-56 y 16-5 7 para las fórmulas ASD del AISC. [Esas fórmulas se establecen usando el concepto mostrado en la figura 16-31.] (b) Demuestre que la ecuación 16-58 del LRFD del AISC se reduce a LJr = 75.66XC, y luego determine la relación Le /r para el punto de transición entre las ecuaciones 16-59 y 16-60. 16-53. (a) Usando el método LRFD del AISC, determine las resistencias nominales de columna axial (cargas factorizadas) P n = c Ascr , donde A es el área de la sección transversal para las dos columnas del problema 16-49. (b) Determine las relaciones entre las cargas axiales factorizadas y las permisibles para las correspondientes columnas en el problema 16-49. Tales cargas axiales permisibles son de 593 k y de 153 k, respectivamente, para las columnas corta y larga. 16-54. Usando las fórmulas LRFD del AISC, resuelva el problema 16-50 y esta blezca la relación entr e las cargas axiales f actorizadas y las permisibles.
16-55. Usando las fórmulas LRFD del AISC, resuelva el problema 16-51. 16-56. Dos canales CIO X 15.3 de acero de grado 50 forman un miembro a com presión cuadrado de 24 ft de longitud; los patines de los canales n o se tocan pero están adecuadamente unidos entre sí por medio de celosía. Usando las fórmulas del ASD del AISC, ¿cuál es la fuerza axial permisible en este miembro? syp = 50 3 ksi y E = 29 X 10 ksi. 16-57. Un miembro a compresión formado de dos canales C8 X 11.5 de acero grado 50 tiene la forma mostrada en la figura 16-28(b). (a) Determine la distancia entre los canales espalda con espalda de manera que los momentos de inercia para la sección respecto a los dos ejes principales sean iguales, (b) Si el miembro tiene 32 ft de longitud, ¿cuál es la resistencia a compresión nominal axial del miembro de 3 acuerdo con las especificaciones LRFD del AISC? syp = 50 ksi y E = 29 X 10 ksi. 16-58. Una pluma de una máquina excavadora está hecha con cuatro ángulos de acero de 2| X 2\ X \ in, como se muestra en la figura 16-28(c). La dimensión de extremo a extremo de la columna cuadrada, excluyendo las barras de celosía, es de 14 in. De acuerdo con las fórmulas ASD del AISC, ¿qué fuerza axial puede aplicar3 se a este miembro si tiene 52 ft de longitud? syp = 50 ksi y E = 29 X 10 ksi. 16-59. Una cuerda a compresión de una pequeña armadura consiste en dos ángulos de acero de 4 X 4 X | in arreglados como se muestra en la figura 16-28(d). Los lados verticales de los ángulos están separados por separadores una distancia de \ in. Si la longitud de este miembro entre puntos arriostrados es de 8 ft, ¿qué carga axial puede 3 aplicársele de acuerdo con el ASD del AISC? syp = 50 ksi y E = 29 X 10 ksi. 16-60. Usando las fórmulas de la Aluminum Association, determine las cargas axiales permisibles para dos columnas articuladas en sus extremos de 8 in X 8 in X 10.72 lb/ft de aleación de aluminio 6061-T6 que tienen 10 y 30 ft de longitud. Para las propiedades de las secciones transversales de las columnas, use la Tabla 4 del apéndice para la sección de acero W8 X 31.
16-61. Usando las fórmulas NFPA, determine las cargas axiales permisibles para tres columnas de pino Douglas de 6 X 6 in de longitudes diferentes: 5,12 y 20 ft. Ca6 da columna está arriostrada en ambos extremos y F c = 1000 psi y E = 1.6 X 10 psi.
Secciones 16-13 y 16-14 16-62. Una plataforma de observación de 6 ft de diámetro está unida a la parte superior de un tubo estándar de 6 in de diámetro y 20 ft de longitud y en la parte inferior está soportada por una zapata. ¿Qué peso, incluyendo una persona o personas pueden situarse sobre la plataforma, si la resistencia del tubo gobierna el resultado? Localice la carga viva a 3 ft del eje del tubo. Desprecie el peso de la construcción. Use la ecuación 16-68, con el esfuerzo permisible dado por la fórmula 6 de Euler con ES. = 3. E =29 X 10 psi y syp = 50 ksi. 16-63. Una columna W10 X 60 de 20 ft de longitud está sometida a una carga excéntrica de 180 k localizada como se muestra en la figura. Usando la fórmula de interacción del método ASD del AISC, determine sí esta columna es adecuada. Use acero grado 50 y los mismos esfuerzos permisibles que en el ejemplo 16-11.
16-64. Una columna W14 X 90 de acero grado 50 ( syp = 50 ksi) tiene 20 ft de longitud y está cargada excéntricamente como se muestra en la figura. Determine la carga P permisible usando las fórmulas del método ASD del AISC. Considere condiciones de extremos articulados. Sea F b = 37 ksi. 16-65. Una columna W10 X 60 tiene una longitud efectiva de 20 ft. Usando las fórmulas del ASD del AISC, determine la magnitud de la carga excéntrica que puede aplicarse a esta columna en A, como se muestra en la figura, además de una carga concéntrica de 20 k. La columna está arriostrada arriba y en su base. El esfuerzo de flexión permisible es F b= 24 ksi. Use acero grado 50.
116-66. ¿Cuál es la magnitud de la máxima reacción de viga que puede soportar una columna W10 X 49 de 14 ft de longitud efectiva, de acuerdo con la fórmula de ¿Interacción del ASD del AISC? Suponga que la viga entrega la reacción en el patín Exterior de la columna, como se muestra en la figura y que es concéntrica con el alma de la columna. Las partes superior e inferior de la columna están soportadas lateralmente. Considere F r = 50 ksi y F b = 30 ksi.
16-67. Usando el código ASD del AISC, seleccione un perfil W para una columna que debe soportar una carga axial de 60 k y una carga excéntrica de 25 k aplicada sobre el eje Y-Y a una distancia de 6 in del eje X-X. La columna está soportada lateralmente arriba y abajo y tiene 14 ft de longitud. El esfuerzo de flexión permisi ble es de 30 ksi y syp = 50 ksi. 16-68. Una viga rectangular estrecha, como la mostrada en la figura, puede fallar bajo carga por inestabilidad lateral debid o a torsión y desplazarse later almente. 2 Puede demostrarse que para este caso, la carga crítica que puede aplicarse en el extremo es 3
donde BI = hb E/12 es la rigidez por flexión de la viga respecto a su eje vertical y 3 C = bhb G es la rigidez torsionante. (Para secciones rectangulares, el coeficiente p está dado en una tabla en la sección 6-14.) Una viga en voladizo rectangular estrecha de 5 X 1/2 in está hecha de acero 3 (syp = 50 ksi y E = 30 X 10 ksi) y está cargada como se muestra en la figura, (a) Determine la carga crítica P cr y la longitud crítica L cr , para las que los criterios de resistencia y estabilidad son igualmente aplicables, (b) Grafique P versus L en la vecindad de P a y Lcr para los dos criterios. (Note que el menor de los valores de P gobierna el diseño.)
