CARGA CRITICA DE PANDEO: La carga axial que da inicio a la inestabilidad por pandeo en un elemento estructural se conoce como carga crítica de pandeo del elemento o carga de Euler . Se puede tomar como referencia a un elemento estructural ideal de eje recto, sin imperfecciones del material ni de alineación del elemento, con una longitud L, de sección constante A e inercia I, constituido por un material lineal elástico cuyo módulo de elasticidad es E. En uno de sus extremos se coloca un apoyo fijo y en el otro, un apoyo deslizante longitudinal.
Al elemento mencionado se lo somete a una carga axial de compresión en el extremo del apoyo deslizante, y se le proporciona una elástica de deformación flexionante continua similar a la que se observa en piezas de libre rotación en sus extremos (elementos apoyados - apoyados), debido a la inestabilidad por pandeo.
El momento flector inducido por la deformación inicial, a una distancia x, determinado sobre la pieza deformada (Teoría de Segundo Orden ) es: M(x, y) = P . y Las deformaciones transversales del elemento por el efecto de flexión se pueden describir mediante la Ecuación General de la Flexión , tomada de la Resistencia de Materiales:
Reemplazando la ecuación de momentos flectores en la ecuación general de f lexión, y considerando la sección constante del elemento y un único matrial elástico, se obtiene la siguiente ecuación diferencial:
y’’ + C2 . y = 0 Donde C es siempre positiva y se puede calcular con la expresión:
La solución a la ecuación diferencial planteada es:
y = A . Sen (C . x) + B . Cos (C. x) La condición de borde del extremo izquierdo impone que para x = 0 Þ y = 0, de donde:
B=0 La solución simplificada es:
y = A . Sen (C . x) La condición de borde del extremo derecho determina que cuando x = L Þ y = 0, por lo que: 0 = A . Sen (c . L) C.L=n.p Despejando C:
Elevando al cuadrado:
Donde n puede tomar cualquier valor entero mayor o igual a 1 (n = 1, 2, 3, ....). 2 Igualando los valor definidos anteriormente para C se obtiene:
Despejando P de la igualdad, se obtienen las cargas axiales específicas o cargas críticas de pandeo correspondientes a todos los modos de deformación por pandeo:
La menor carga crítica está asociada a n = 1, y corresponde al primer modo de deformación por pandeo :
Las cargas críticas para los restantes modos de deformación se obtienen con los otros valores que puede tomar n (n = 2, 3, 4, ...).
A continuación se presenta un gráfico que describe la geometría de las deformaciones causadas por el pandeo de acuerdo con los tres primeros modos de deformación.
Debe anotarse que, en el presente caso, la carga crítica de pandeo para el segundo modo de deformación es 4 veces mayor que la carga crítica de pandeo para el primer modo de deformación, y la carga crítica de pandeo para el tercer modo de deformación es 9 veces mayor que la carga crítica de pandeo para el primer modo de deformación. Es evidente que el primer modo de deformación controlará el pandeo de las columnas. El segundo modo de deformación tiene utilidad por su semejanza a las deformaciones producidas por estados de carga flexionantes frecuentes, que afectan a las columnas, lo que podría provocar un amortiguamiento temporal del primer modo de deformación en elementos estructurales reales (no ideales). Los restantes modos de deformación tienen una utilidad estrictamente académica, académica, por lo que no son trascendentales para la práctica ingenieril. Para otros tipos de condiciones de borde (bordes empotrados, bordes libres, bordes elásticamente sustentados, etc.), la ecuación básica de Euler para el primer modo de deformación se ve modificada por un factor de forma de la elástica de deformación que afecta a la longitud de pandeo:
Donde k toma los siguientes valores para condiciones de borde bien definidas: Barras apoyadas - apoyadas k = 1.00
Barras empotradas en un extremo y libres en el otro k = 2.00
Barras empotradas en los dos extremos k = 0.50
Barras empotradas en un extremo y apoyadas en el otro k = 0.70
Teóricamente, una columna perfecta sometida a una compresión axial creciente, no debería presentar ninguna señal de deformación transversal hasta que la carga axial iguale a la carga crítica de pandeo correspondiente al primer modo, momento en el cual la estructura pierde estabilidad y se pueden producir deformaciones transversales de cualquier magnitud y en cualquier dirección, sin que el elemento sea capaz de recuperar su geometría original. Este comportamiento teórico puede ser descrito mediante el siguiente gráfico.
En una columna real es imposible evitar la presencia simultánea de cargas axiales y momentos flectores, por muy pequeños que sean estos últimos. Existen excentricidades y momentos flectores inducidos por las imperfecciones de los materiales constitutivos de los elementos estructurales; producidos además por las imperfecciones geométricas de las columnas durante el proceso constructivo; generados también por la incertidumbre acerca de l a posición real de acción de las solicitaciones exteriores; y, desde luego, provocados por el tipo de solicitaciones que actúan sobre la estructura, por lo que, desde el inicio del proceso de carga, las columnas reales adquieren deformaciones transversales transversales pequeñas que se vuelven cada vez más importantes conforme la carga axial se aproxima a la carga crítica de pandeo . Una curva tipo que puede describir esquemáticamente esquemáticamente la deformación transversal de una columna real, en la que existen deformaciones transversales inclusive sin la presencia de cargas axiales, es la siguiente:
EJEMPLO 9.5: Calcular la capacidad de una columna de hormigón armado cuadrada, con hormigón de resistencia a la 2 rotura f’c = 210 Kg/cm , de 25cm x 25 cm de sección transversal, que tiene cuatro varillas de acero de 16 mm de diámetro, que está en voladizo y tiene una longitud de 12 m.. Determinar la carga crítica de pandeo de la columna si las cargas permanentes representan la mitad de las cargas totales. t otales. Utilizar dos hipótesis de
comportamiento del hormigón para la definición de la carga crítica de pandeo: hormigón no fisurado y hormigón fisurado.
a. Capacidad resistente de la columna f’c = 210 Kg/cm
2
Fy = 4200 Kg/cm
2
Ag = 25 x 25 = 625 cm
2
As = 4 x 2.01 = 8.04 cm
2
Ac = Ag - As = 625 - 8.04 = 616.96 cm
2
f = 0.70 La carga última se calcula con la siguiente expresión: Pu = 0.80 f (0.85 f’c . Ac + As . Fy) 2
2
2
2
Pu = (0.80) (0.70)0.70 [ (0.85) (210 Kg/cm ) (616.96 cm ) + (8.04 cm ) (4200 Kg/cm ) ]
Pu = 80582 Kg = 80.6 T b. Pandeo con hormigón no fisurado: A pesar de que los códigos de diseño especifican que la carga crítica de pandeo debe calcularse con el hormigón fisurado, para efectos comparativos se calcula a continuación la carga crítica de pandeo considerando que el hormigón aún no se ha fisurado. El módulo de elasticidad del hormigón no fisurado puede calcularse mediante la siguiente fórmula que se especifica en el Código Ecuatoriano de la Construcción y en el Código ACI:
La inercia crítica, la longitud de la barra y el factor de forma de pandeo son: 3
Ic = (25) (25) / 12 = 32552 cm
4
L = 1200 cm k=2 La carga crítica se determina mediante la ecuación de Euler:
Pcr = 12104 Kg = 12.1 T c. Pandeo con hormigón fisurado: El Código Ecuatoriano de la Construcción y el ACI establecen que, para el cálculo de cargas de pandeo, debe considerarse el módulo de elasticidad y la inercia del hormigón armado fisurado, en lugar del módulo de elasticidad y la inercia sin fisuración. El producto E.I de columnas con hormigón fisurado puede calcularse aproximadamente con la siguiente expresión establecida en el ACI:
Donde: 2
Ec = 217000 Kg/cm : módulo de elasticidad del hormigón no fisurado 2
Es = 2100000 Kg/cm : módulo de elasticidad del acero de refuerzo 4
Ig = 32552 cm : inercia de la sección de hormigón armado 4
Is = 452 cm : inercia de la sección de acero de refuerzo b d = PU,D /PU,T = 0.50 : razón entre carga muerta y carga total De donde:
La carga crítica de pandeo se calcula con la ecuación de Euler:
Pcr = 2698 Kg = 2.7 T. Es importante observar la gran diferencia que existe entre la capacidad resistente de los materiales (80.6 T), la carga crítica de pandeo teórica de la columna con material no fisurado (12.1 T) y l a carga crítica de pandeo "real" de la columna (2.7 T), que incluye el fisuramiento, que siempre está presente en el hormigón. Cuando se dispongan de las solicitaciones reales que actúan sobre los elementos estructurales, se puede realizar un análisis más exacto de la inercia que debe ser utilizada en las ecuaciones de pandeo, para lo que se debería calcular la posición del eje neutro, y asumir que la región traccionada no colabora en la inercia de la sección transversal.
