UNIDAD 1: FLUIDOS CAPÍTULO 3 DINÁMICA DE FLUIDOS 1. 2. 3. 4. 5.
Introducción: Tipos de movimient ento Ecuación de continuidad: Caudal Ecuación de Bernouilli Viscosidad Circulación de fluidos viscosos por tubos: Ecuación de Poiseuille
1. Introducción: Tipos de movimiento MOVIMIENTO O RÉGIMEN LAMINAR
El flujo es uniforme, de tal manera que capas vecinas de fluido se deslizan entre sí suavemente. Cada partícula sigue una trayectoria lisa (LINEA DE CORRIENTE), de tal manera que las trayectorias de dos partículas son siempre paralelas entre sí y paralelas a la velocidad del fluido.
MOVIMIENTO O RÉGIMEN TURBULENTO
Existen círculos erráticos (remolinos), llamados corrientes secundarias o parásitas, de tal manera que las líneas de corriente se cruzan entre sí. Estas corrientes secundarias absorben mucha energía y generan una mayor cantidad de fricción interna (rozamiento) que en el movimiento laminar. El movimiento del fluido es muy complicado y muy variable con el tiempo.
Aire caliente que sube de una lámpara de alcohol
Humo de un cigarrillo
2. Ecuación de continuidad: Caudal Consideremos un fluido incompresible (densidad constante) que fluye en régimen laminar por una tubería de sección variable: Objetivo: Determinar cómo varía la velocidad al cambiar el diámetro del tubo
FLUJO DE MASA ( ): Masa que pasa por un punto de la tubería por unidad de tiempo. Unidades S.I.: Kg/s C.G.S.: g/s ∆m1 ρ ∆V 1 A1 ∆l 1 = = = ρ A1 v1 φ 1 = En el punto 1: ∆t ∆t ∆t En el punto 2:
φ 2 =
∆m2 ∆t
=
Si no hay pérdidas ⇒ φ 1 = φ 2
∆V 2 ∆t ⇒
=
ρ A2 ∆l 2 ∆t
= ρ A2 v2
A1 v1 = ρ A2 v2 ⇒
A1 v1 = A2 v2
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Consecuencia de la Ecuación de Continuidad Si aumenta la sección, la velocidad disminuye Si disminuye la sección, la velocidad aumenta A1>A2 ⇒ v1
m = ρ V ⇒ φ = ρ C φ = ρ A v ⇒ C = A v
Ejemplo ¿Qué tamaño tiene que tener un tubo de calefacción si el aire que circula por él a 3m/s puede renovar totalmente el aire contenido en una sala de 300m3 cada 15 minutos? Sala: 2; V2=300m3 Tubo: 1; v1=3m/s
A1 v1 = A2 v2 = C 2 =
V 2 t
⇒ A1 =
V 2 v1 t
=
300 m3 m
= 0.11 m 2
3 900 s s
Sección circular: A1 = π r 2 ⇒ r =
A1 π
=
0.11 m 2 π
= 0.19 m = 19 cm
3. Ecuación de Bernouilli
La ecuación de Bernouilli relaciona la presión, la elevación y la velocidad de un fluido incompresible, sin viscosidad (ideal) y en régimen laminar
1 1 2 2 P 1 + ρ v1 + ρ g y1 = P 2 + ρ v2 + ρ g y2 2 2
Casos particulares, consecuencias y ejemplos de aplicación FLUIDO EN REPOSO
v1 = v2 = 0 ⇒ P 1 − P 2 = ρ g ( y2 − y1 ) ⇒ ∆ P = ρ gy
Se obtiene, como era de esperar, la Ecuación Fundamental de la Hidrostática
TEOREMA DE TORRICELLI Consideremos un depósito grande de fluido abierto por la parte superior, el cual tiene un pequeño orificio a una profundidad h=y2-y1 Objetivo: Calcular la velocidad de salida del fluido por el orificio Superficie: 2; v2=0 (fluido en reposo ya que el depósito es muy grande), P2=Patm (depósito abierto) Orificio: 1; P1=Patm (orificio abierto)
1 2 P atm + ρ v1 + ρ gy1 = P atm + ρ gy2 ⇒ v1 = 2 g ( y2 − y1 ) 2
v1 =
2 gh
No depende de la densidad del líquido
MOVIMIENTO A ALTURA CONSTANTE Consideremos una tubería horizontal que tiene una zona de menor sección (estrechamiento) Objetivo: Determinar en que zona la presión es mayor y en cual es menor Zona estrecha de sección A2: 2; h2=0 Zona ancha de sección A1: 1; h1=0
1 2 1 2 1 2 P 1 + ρ v1 = P 2 + ρ v2 ⇒ P + ρ v = constante 2 2 2 En la zona estrecha, como la sección es menor, la velocidad es mayor, y por tanto, la presión es menor
Cuando aumenta la velocidad, disminuye la presión
EFECTO VENTURI
VENTURÍMETRO Objetivo: Determinar la velocidad del fluido en el estrechamiento, a partir de la medida de la diferencia de niveles, h, entre los tubos manométricos (en los cuales el fluido está en reposo) Observación: Por el Efecto Venturi, la presión en el estrechamiento será menor, por lo tanto, el líquido subirá menos en el tubo situado en ese punto P 1 − P 2 =
1 2
(
ρ v 22 − v 12
A1 v 1 = A 2 v 2 ⇒ v 2 =
)
A1 A 2
A 12 2 ρ gh = ρ − 1 v 1 2 2 A 2 1
Datos: A1, A2, h Incógnitas: v2 y v1
A 12 2 v 1 P 1 − P 2 = ρ 1 − 2 2 A 2 1
v1
P 1 − P 2 = ρ gh ⇒
v1 =
(hidróstática entre los dos tubos manométricos )
2 g h
A 12 1 − 2 A 2
Otros modelos de Venturímetro
Ejemplo numérico 1 Por toda una casa circula agua a través de un sistema de calefacción. Si se bombea a una velocidad de 0.5m/s por una tubería de 10cm de diámetro situada en el sótano con una presión de 3atm, ¿cuál será la velocidad de circulación y la presión en una tubería de 6cm de diámetro situada en el segundo piso (5m más arriba)? Tubería en piso: 2; v2=?, P2=?, y2=5m, d2=6cm
Tubería en sótano: 1; v1=0.5m/s, P1=3atm, y1=0 (se elige como origen de alturas), d1=10cm E. Continuidad E. Bernouilli
m (0.05m) 2 A1v1 = A2 v2 ⇒ v2 = v1 = 0.5 = 1 . 4 A2 s π (0.03m) 2 s A1
1 2
m π
1 2
P 1 + ρ v12 + ρ g y1 = P 2 + ρ v22 + ρ g y2 2 1 Kg 2 m 3 ⋅1.013 10 2 + 1000 3 0.5 2 = 2 m m s 5 N 1 Kg 2 m 2 Kg m 2 . 5 10 P = 2 = P 2 + 1000 3 1.4 2 + 1000 3 9.8 2 5m 2 m m s m s 2 2 5atm 5
N
Ejemplo numérico 2 Un sistema de suministro de agua hace uso de un depósito de almacenamiento. Si el nivel del agua en el depósito alcanza el punto A que está 12m por encima de la cañería principal (nivel constante), y la velocidad del agua en el punto B de la cañería es 16m/s, ¿cuál es la presión manométrica en los puntos A y B? Depósito: A; vA=0, PA=Patm, yA=12m Cañería: B; vB=16m/s, PB=?, yB=0m
P mA = P A − P atm = 0
1 2
1 2
P mA + ρ v A2 + ρ g y A = P mB + ρ v B2 + ρ g y B
1 Kg 2 m 2 1000 3 9.8 2 12m = P mB + 1000 3 16 2 2 m s m s Kg
m
P m B = −10 4 Pa
Situación que debe evitarse en el diseño
Diversas aplicaciones y cuestiones de la ecuación de Bernouilli
¿Por qué se escapa el humo por el tiro de una chimenea?
¿Por qué cuando pasa un tornado, los muros de las casas se caen hacia fuera? Coge dos folios y colocalos paralelos y verticales cogidos de las manos. Sopla entre ellos. ¿Qué ocurre? ¿por qué?
¿Por qué la lona de un camión se pandea hacia arriba cuando éste circula a gran velocidad?
4. Viscosidad
Según la ecuación de Bernouilli, un fluido en régimen laminar moviéndose por una tubería horizontal de sección constante, no debe variar su presión
En la práctica, se observa pero: un descenso de la presión a medida que avanza el fluido
¿A qué es debido este fenómeno? Se debe a la presencia de la fuerza de frenado (rozamiento) que ejerce la tubería sobre el fluido, y de la fuerza de frenado entre capas vecinas de fluido (rozamiento interno del fluido) Fuerzas viscosas: Fuerzas de frenado en un fluido Fluido viscoso: Fluido con rozamiento interno (viscosidad) Caída de presión entre 1 y 2
∆ P = P 1 − P 2 = C R R: Resistencia al flujo Depende de: longitud L, radio del tubo y de lo viscoso que sea el fluido
Coeficiente de viscosidad Hay fluidos más viscosos que otros. Esta propiedad se mide mediante el Coeficiente de viscosidad ( η) Fuerza necesaria para mover la placa superior
F = η
v A z
Unidades de η S.I. N m 2
m m / s
= Pa ⋅ s
C.G.S. dina 2
cm / s
≡ P ( poise)
1 Pa ⋅ s = 10 P 1cP = 0.01 P
Valores del coeficiente de viscosidad de algunos fluidos
El coeficiente de viscosidad disminuye mucho al aumentar la temperatura
5. Circulación de fluidos viscosos por tubos: Ecuación de Poiseuille
Para un tubo cilíndrico y un fluido incompresible en régimen laminar, la resistencia al flujo vale
R =
8η L 4
π r
∆ P = P 1 − P 2 =
8η L 4
π r
C
ECUACIÓN DE POISEUILLE
Consecuencias Si la viscosidad aumenta, la caída de presión aumenta
A mayor longitud recorrida, mayor caída de presión
A menor sección, mucha mayor caída de presión
Ejemplo Se bombea agua a través de una tubería horizontal de 1.20m de diámetro. Colocando bombas a intervalos se puede ejercer una presión de 1atm sobre la presión atmosférica entre dos bombas consecutivas. ¿Qué separación deben tener las bombas para mantener un caudal de 2000m3/s a 200C? De la ecuación de Poiseuille
L =
π r 4 ( P 1 − P 2 )
8η C
ηagua (T=200C)=1cp=10-3 Pa s
π (0.6m) 41.013
105 Pa = = 2600 m = 2.6 Km 3 −3 8 10 Pa s 2000 m / s
Si la velocidad de flujo es grande, se rompe el régimen laminar y aparecen turbulencias (Régimen turbulento) -No es válida la Ecuación de Poiseuille, pues la viscosidad depende de la velocidad -La pérdida de energía, y por tanto, la caída de presión, es mayor que en régimen laminar El régimen del flujo de un fluido puede determinarse mediante el Número de Reynolds NR
N R =
2 r ρ v
<2000 Laminar
η
>3000 Turbulento
Consecuencias Si aumenta la densidad o la sección, el flujo se hace más turbulento
Si aumenta la viscosidad, el flujo se hace más laminar
Si aumenta la velocidad, el flujo se hace más turbulento
Ejemplo Determinar el régimen de la sangre que circula a 30cm/s por una arteria de 1cm de radio, suponiendo que la sangre tiene una viscosidad de 4cP y una densidad de 1060Kg/m3 N R =
2 r ρ v η
2 (0.01m) (1060 Kg / m 3 ) (0.3m / s ) = = 1590 −3 4 10 Pa s
Régimen laminar
