Capítulo 3 Flujo de Fluidos

Capítulo 3: Flujo de fluidos

CAPÍTULO 3 FLUJO DE FLUIDOS

3.1. Naturaleza del flujo de fluidos Antes de iniciar las aplicaciones de los balances de masa y energía al flujo de fluidos, es fundamental considerar algunos aspectos del comportamiento de los fluidos. En 1883, Osborne Reynolds (1842-1912), un físico británico, con- cluyó que a bajas velocidades de agua, esta fluía en láminas o capas paralelas. En efecto, Reynolds en 1883 realizó el siguiente experimento: conectó un depósito de agua a un tubo de vidrio horizontal. En el extremo por donde ingresa la corriente de agua instaló una boquilla por la que se inyecta agua coloreada, tal como se esquematiza en la Figura 3.1. A bajas velocidades, a lo largo del tubo permanece el filamento de tinta, ya que las partículas de tinta difunden lentamente y no tienen tiempo de diseminarse. A este flujo se le llama “laminar”. “laminar”. Reynolds Reynolds probó disminuir y aumentar la viscosidad del fluido, calentando y enfriando el agua respectivamente. El experimento mostró que en todos los casos existe una velocidad crítica que varía en proporción directa con la viscosidad del flujo. Al aumentar la velocidad del agua encontró que a una velocidad determinada, velocidad crítica, desaparecía el chorro coloreado y la masa global de fluido se coloreaba uniformemente, concluyendo concluyendo que sobre la velocidad crítica las partículas dejan de moverse en forma ordenada y paralela, moviéndose en forma caótica, mezclándose completamente.

Escurrimiento de fluidos

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Figura 3.1. Experimento de Reynolds.

Reynolds determinó que la velocidad crítica dependía del diámetro del tubo y de las propiedades físicas del fluido: densidad ( ) y viscosidad ( ). Posteriormente, se concluyó que estos parámetros se pueden agrupar en un número adimensional, número de Reynolds, Re, definido de la forma siguiente: (3.1)

 = densidad del fluido. μ = viscosidad del fluido. del fluido. V = velocidad media del fluido. L = longitud que caracteriza al ducto. Para tuberías circulares L = D (diámetro). Experimentalmente se determinó que para el flujo en el interior de tuberías, cuando Re ≤ 2100 el flujo es laminar y que cuando Re > 4000, el régimen de flujo es turbulento. En la zona comprendida entre 2100 y 4000 el flujo puede ser laminar o turbulento, dependiendo de las características superficiales de la tubería, llamándose esta zona de régimen de transición. t ransición. En régimen laminar es posible describir totalmente el comportamiento del fluido en el interior de ductos, a partir de ecuaciones teóricas. Por ejemplo, para un fluido newtoniano, se ha demostrad demostrado o que el perfil de velocidades velocidades en


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el interior de un ducto circular es parabólico, con la velocidad máxima en el centro del ducto, cuando el flujo esta establecido (sin perturbaciones). La expresión para el perfil de velocidades en esta situación es: (3.2) en que: v

= velocidad puntual o local para cualquier r

v máx = velocidad en el centro del ducto r

= posición dentro del ducto (radial)

R

= radio del ducto En problemas de escurrimiento de fluidos, normalmente interesa co-

nocer la velocidad media del fluido, V. Esta puede evaluarse utilizando la definición de velocidad media: (3.3) Al introducir en esta definición general de velocidad media, el perfil para régimen régimen laminar de un fluido fluido newtoniano newtoniano e integrar, se obtiene: (3.4) Por otro lado, existen instrumentos que permiten medir la velocidad puntual o local v en función del radio. Si este instrumento, por ejemplo un tubo de Pitot, se coloca en el centro del ducto y el régimen es laminar, es posible conocer conocer la velocidad media media usando la expresión expresión V = v máx /2. Dado que en general, en régimen turbulento no es posible describir teóricamente el comportamiento del fluido, se han establecido relacio-


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nes empíricas, observándose que en régimen altamente turbulento V/ v máx ~ 0.81. En la Figura 4.6 se presenta un gráfico que relaciona el cuociente V/ v máx con el número de Reynolds.

3.2.

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, en situaciones que la fricción es despreciable En la sección 2.3. se obtuvo la ecuación de Bernoulli, expresión que

corresponde a un balance de energía mecánica en estado estacionario: (2.13) Considerando que en algunas aplicaciones el término de pérdidas por fricción ( Ê v) es pequeño frente a los otros términos, se obtiene una expresión simplificada de la ecuación 2.13: (3.5) Esta última expresión es aplicable sólo en algunas situaciones particulares: Ejemplo 3.1 Un estanque se encuentra lleno de agua y abierto en el tope. Posee un pequeño orificio cerca del fondo, cuyo diámetro es pequeño comparado con el diámetro del estanque, ¿Cuál es la velocidad del agua a la salida del orificio? Solución: Aplicaremos el balance de energía mecánica (Bernoulli) entre la superficie del estanque (Punto 1) y el fluido que sale por el orificio (Punto 2).


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Debe observarse que las presiones Consideraciones: absolutas siempre serán positivas, no así las manométricas que podrían ser a. v1 = 0 (Velocidad de descenso del agua en el estanque). negativas. b. P 1 = P 2 Presión atmosférica. 

c. Fricción despreciable

E v





0



d. No hay trabajo externo  W  0 e. El flujo es estacionario, es decir el nivel del agua no baja. f. Z2 = 0 (nivel de referencia). g. α2 =1

Luego:

Simplificando:

Introduciendo valores numéricos:

Nota: Si se consideran las pérdidas por fricción debido a la expansión, dada por ÊV = K · ν2 /2, con K=1, se obtiene:

Este último valor es más cercano a la realidad.


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Ejemplo 3.2 El mismo estanque del ejemplo anterior se encuentra ahora sumergido en otro estanque de mayor diámetro, que contiene gasolina. (G.E. = 0,72) ¿Cuál será el valor de la velocidad de salida del agua? Solución:

Datos: ρ H 20 = 1000(kg/m3); ρgasolina = 720(kg/m3)



De acuerdo con lo visto en



p . 1 hidrostática  p  1 Punto 2 se encuentra ubicado a la salida del estanque de agua. *

p1 = p0 + ρ gasolina · g · x p2 = p1 + ρ gasolina · g · h

 Nótese que p  p*, ya que 2 2 * si p  p , no se produciría 2

2

la descarga de agua. Además *

p  p 2



2.

Z2= 0 (nivel de referencia)

Aplicando un balance de energía mecánica (Bernoulli) entre 1 * y 2 (el sistema es el agua) se obtiene:


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Introduciendo los valores numéricos:

v2 = 2,34(m/s) Nota: Si se evalúan las pérdidas por fricción debido a la expansión, con la expresión ÊV = K · ν2 /2, con K=1, se obtiene:

Este último valor es razonable, ya que la pérdida por expansión reduce la energía disponible para la salida del agua. Ejemplo 3.3 En la figura que se entrega a continuación, se muestran dos estanques conectados a través de una tubería. ¿El agua circula de A a B o a la inversa? Solución: En esta situación debe escribirse la ecuación de Bernoulli con todos sus términos:

Debe suponerse una dirección de flujo y aplicar Bernoulli en esa di rección. Si el valor que se obtiene para Ê V es positivo, la dirección del flujo supuesto es correcta, en caso contrario, la dirección será opuesta.


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Supondremos flujo de 1 a 2:

Luego: 

– 101,318 (m / s ) + 9,8 (m/ s ) · 8(m) = – E V 2

2

2



E V = 22,9(m2/ s2) Dado que Ê V > 0, la dirección de flujo supuesta es correcta y el fluido va desde el estanque A al B. Ejemplo 3.4 Un flujo volumétrico de 0,25( m3 /s) de agua circula a través de una turbina. ¿Cuál es la potencia entregada por el fluido a la turbina, si a la entrada el diámetro es de 30(cm) y la presión de 2,5( atm), mientras que en la salida el diámetro es de 60(cm)y la presión de 0,8( atm)?


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Solución: Cálculos de las velocidades:

Aplicando un balance de energía mecánica (Bernoulli) entre los puntos 1 y 2:

Nivel de referencia: z2= 0  z =1 1(m)

Introduciendo estos valores en Bernoulli:

Pero: Potencia = Ŵ · w = Ŵ · Q · ρ

Potencia = 187,9(m2 /s2) · 0,25(m3 /s) · 1000( kg/m3) Potencia =


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Ejemplo 3.5 Una bomba centrífuga se utiliza para elevar petróleo Nº 6, desde un depósito subterráneo hasta un estanque ubicado sobre la bomba. Manómetros ubicados a la entrada y salida de la bomba señalan presiones de – 10( psig ) y 20( psig ), respectivamente. Si los diámetros de succión y descarga son iguales y el flujo volumétrico transportado es de 300( l /min), ¿Cuál es la potencia que entrega la bomba al fluido? Solución:

ρ

etróleo

= 910(kg/m3)

patmosférica = 14,696( psi) pabs 1 = (14,696 – 10)( psi) = 4,696( psi) pabs 1 = 4,696( psi) = 0,32(atm) pabs 2 = (14,696 + 20)( psi) = 34,696( psi) pabs 2 = 34,696( psi) = 2,36(atm)

Aplicando Bernoulli entre la entrada y salida de la bomba se obtiene:

Se ha considerado despreciable la diferencia de altura entre succión y descarga de la bomba. Luego:


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Luego: 227,13(m2 /s2) = −Ŵ

Ŵ = – 227,13(m2 /s2) Potencia = Potencia = Nota 1:

El signo negativo indica que la energía es entregada por la bomba al fluido. En el ejemplo 3.4 la potencia era positiva ya que la energía la suministraba el fluido a la turbina. Nota 2:

La potencia así calculada corresponde a la energía requerida por el fluido. La potencia “consumida” por el grupo moto-bomba debe ser mayor, a fin de compensar las diferentes pérdidas que se producen: fricción del fluido en el interior de la bomba, roce de las partes mecánicas de la bomba, flujo circulatorio, etc. Estas pérdidas se consideran en la eficiencia o rendimiento del grupo moto-bomba, definido como:

La eficiencia es un parámetro característico de cada bomba, es función del caudal y debería ser entregado por el fabricante del grupo moto bomba. Valores corrientes de eficiencia oscilan entre 0,55 y 0,75. Ejemplo 3.6 Freón 12 circula en estado estacionario a través de una válvula reductora de presión. A la entrada de la válvula de presión es de 100( psia) y la tempera-


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tura de 100 ºF. Si la presión a la salida de la válvula es de 20( psia). ¿Cuál es la temperatura a la salida de la válvula? Solución:

El balance de energía mecánica (Bernoulli) entre los puntos 1 y 2 es:

 Q  0   , flujo horizontal y despreConsiderando sistema adiabático    ciando la variación de energía cinética, se obtiene: 



H 1  H 2 Desde un diagrama presión v/s entalpía para Freón 12, se obtiene: 

H 1(100 º F , 100( psia)) = 88,5( Btu/lb) Pero, por lo anterior:



H 2 (T 2, 20( psia)) = 88,5( Btu/lb) Del mismo diagrama citado se obtiene que la temperatura es aproximadamente 75 º F .


3.3.

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Definición de factor de fricción Para evaluar el término de pérdidas por fricción ( Ê v) que aparece en

la ecuación de Bernoulli, es necesario definir y luego evaluar factores de fricción. Se considerará el flujo estacionario de un fluido incompresible (  = cte.) que circula por un ducto recto de sección uniforme. El fluido ejerce sobre la superficie interna del ducto una fuerza F, que puede descomponerse en dos: Fs y Fk , definidas de la siguiente forma: Fs = fuerza estática. Es la fuerza que ejerce el fluido, aunque esté en reposo. Fk = fuerza dinámica. Es la fuerza relacionada con el comportamiento cinético del fluido. Tiene la misma dirección que la velocidad media V en el ducto. El valor de la fuerza Fk puede expresarse como el producto entre un área característica A, una energía cinética característica por unidad de volumen K y un número adimensional f, denominado factor de fricción: FK = A · K · f

(3.6)

Esta expresión no es una ley de mecánica de fluidos, sino una definición de f. Es evidente, que para un determinado sistema de flujo, f no está definido mientras no se especifiquen A y K. Esta definición es general, válida incluso para la situación en que un fluido circula alrededor de un objeto sumergido. Para el flujo en ductos A corresponde a la superficie mojada y K re presenta la energía cinética por unidad de volumen, dada por ½ · · V2. Para tubos circulares de radio R y longitud L, f está definido por: FK = (2RL) · (½ ·  · V2) · f

(3.7)


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Dado que generalmente lo que se mide no es F K sino que la caída de presión y la diferencia de altura, se buscará una expresión para FK aplicando un balance de fuerzas al fluido que circula por la tubería mostrada en la Figura 3.2, entre 1 y 2:

Figura 3.2. Esquema para la aplicación de fuerzas.

En estado estacionario se tiene que: (3.8)

(3.9)

π R2 · p 1 – π R2 · p 2 – F K – π R2 · L · ρ · g · sen = 0 Pero: sen 

(3.10)

Z 2  Z 1 L

π R2 · p1 – π R2 · p 2 – F K – π R2 · ρ · g · (Z – Z 1) = 0 2

(3.11)

F K = π R2 · [( p1 – p2) – ρ · g · (Z2 – Z 1)]

(3.12)


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tilizandoUel concepto de potencial fluido-dinámico: P = p + ρ · g · Z, se obtiene: FK = π R 2 ( –ΔP)

(3.13)

Reemplazando esta última expresión en la definición de factor de fricción, se obtiene: (3.14) Despejando f: (3.15) Este factor así definido, se denomina factor de fricción de Fanning. En algunos textos de mecánica de fluidos en vez de utilizar el factor de Fanning, definen un factor f * que equivale a 4f, denominado factor de Darcy. Un análisis del factor de fricción muestra que éste depende de características, tanto del fluido como del sistema de escurrimiento. Planteando un balance de energía mecánica al sistema mostrado en Figura 3.2, se obtiene: (3.16) Introduciendo la definición de potencial fluido-dinámico: (3.17) Reemplazando ( –ΔP/ρ) por Ê v, en la definición de factor de fricción, se obtiene: (3.18)


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última eExsptraesión es de gran utilidad ya que permite evaluar las pérdidas por fricción, Ê v, si se conoce el valor de f. Si se utiliza el factor de Darcy (f *), entonces: (3.19) La técnica de análisis dimensional, en unión con lo observado experimentalmente, permite establecer de cuántos y cuáles grupos adimensionales depende cualquier parámetro de naturaleza física. Para el factor de fricción se encontró que f = f(Re, L/D, /D), donde  es la rugosidad del material, definida como el promedio de altura de las irregularidades de la superficie del material del ducto. En los sistemas de flujo, habitualmente se considera que  es un parámetro constante. Sin embargo, en ductos de grandes longitudes (L >> 1000), pequeñas variaciones en  debido a corrosión y/o depósito de incrustaciones a lo largo del tiempo, pueden afectar significativamente los requerimientos de potencia para una determinada exigencia de flujo, por su efecto en el factor de fricción.

/D se conoce con el nombre de rugosidad relativa. En el apéndice se muestra un gráfico de /D vs D para diferentes materiales de ductos. Para ductos en que L/D >> 1 (como generalmente ocurre en las situaciones prácticas), entonces el factor de fricción se hace independiente de L/D, luego: f = f (Re, /D). Valores experimentales de f vs Re para diversos ti pos de materiales y por ende diferentes /D, fueron graficados por Moody en un gráfico que lleva su nombre, obteniéndose resultados satisfactorios (Figura 3.3).


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Figura 3.3. Gráfico de Moody. Factor de fricción de Fanning, f, versus rugosidad relativa, /D.

Con respecto a este gráfico hay que señalar que aparece una recta para f (independiente de la rugosidad rugosidad relativa) para la zona de de flujo laminar. laminar. La ecuación de f en esta zona es: f = 16/Re

(3.20)

Pasada una cierta zona de número de Reynolds, las curvas se hacen paralelas al eje eje de Reynolds, independ independizándose izándose de éste, dependiendo sólo de

/D. Se habla entonces de régimen altamente turbulento. Para las zonas de transición y de régimen turbulento, en la literatura se encuentran varias ecuaciones, que ajustan en diferentes rangos de Reynolds y condiciones de /D, los factores fac tores de fricción fricci ón del gráfico de Moody. Moody. En general, a medida que se complican estas ecuaciones, aumenta la exactitud de sus predicciones.


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Una de las ecuaciones más sencillas indica que: (3.21) la cual tiene un error máximo de 0,75% para Re > 30000 y /D > 0,004. Una ecuación más general es la ecuación de Shacham (Ecuación 3.22), la que presenta un error máximo de 1%, respecto a las curvas del gráfico de Moody. Esta ecuación es válida para Re > 4000 y 0.005 < 4f < 0.08 (3.22)

3.4.

Descripción de cañerías, válvulas y accesorios Las tuberías pueden fabricarse con cualquier material de construc-

ción disponible, dependiendo dependiendo de las propiedades corrosivas corrosivas del fluido que se maneja, su temperatura y presión. Entre los materiales se incluyen aceros, cobre, polímeros, vidrio, concreto, etc. Sin embargo, los materiales de tubería más comunes en la industria son el acero (varias calidades), el cobre y el bronce, seleccionándo seleccionándose se el más adecuado adecuado de de acuerdo con la aplicación específica y los costos involucrados. involucrados. Dado que los tubos se fabrican de diversos diámetros y espesores de pared, existe una normalización establecida por la American Standards Associations (ASA), la que establece las características de las dimensiones de los tubos. En el caso específico de los tubos de acero (común o comercial), se ha establecido que el tamaño de los tubos y de las conexiones asociadas se realice en función del diámetro nominal y del espesor de pared. Por lo tanto, el diámetro nominal no corresponde corresponde para los tubos de acero, ni al diámetro


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exterior ni interior de los l os tubos. El espesor de pared se expresa por el número de cédula, el cual es un cociente entre la presión interna y la tensión permisible (# cédula  1000 · presión interna/tensión permisible). Se utilizan diez números de cédula, a saber: 10, 20, 30, 40, 60, 80, 100, 140 y 160. El espesor de pared aumenta con el número de cédula. Para tubos de acero comercial, la cédula 40 corresponde al tubo “normal”, “normal”, para para emplear en aplicaciones sin mayores exigencias. En las instalaciones es imprescindible i mprescindible el uso de diversas conexiones para trasladar el fluido de un sector a otro. Una conexión cumple el papel de: a) Juntar dos tuberías [coplas, unión americana] b) Cambiar la dirección de la tubería [codos] c) Cambiar la sección de flujo [reducciones] [reducciones] d) Terminar la tubería [tapones] e) Unir o diversificar una corriente [tees, cruces e yes] f) Control de flujo [válvulas]

Figura 3.4. Conexiones.


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válvulasLasosn conexiones que cumplen diversas funciones en un circuito de escurrimiento de fluidos. Las válvulas se utilizan para regular el flujo o bien cerrar el paso completamente. Entre las válvulas de mayor uso se tienen las de compuerta, de globo y en los últimos años, la de bola. La válvula de compuerta consiste en un disco que se desliza perpendicularmente al flujo. Su uso principal es para sellar o detener el flujo en forma rápida, ya que pequeñas variaciones en la altura del disco se traducen en grandes cambios en el área disponible al flujo. La válvula de bola, am pliamente utilizada tanto a nivel doméstico como industrial, sirve para los mismos fines que la válvula de compuerta. Su principal característica es que cuando está 100% abierta, prácticamente no produce ninguna obstrucción al paso del fluido. La válvula de globo por su diseño es más adecuada para regular el paso de fluido. En esta válvula, el fluido pasa a través de una abertura cuya área se controla mediante un disco colocado en forma casi paralela a la dirección del flujo.

Figura 3.5. Válvulas. a) Compuerta, b y c) Bola.


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Figura 3.6. Válvula de globo: 1- Disco que interrumpe el paso del fluido. 2- Eje o husillo (conduce y fija el obturador). 3- Asiento: Sector de la válvula donde se realiza el cierre con el disco. 4- Empaquetadura del eje. 5- Juntas de cierre. 6- Cuerpo de la válvula. 7- Extremos de la válvula que permiten la conexión a la tubería. 8- Pernos de unión. 9- Manilla de accionamiento.

3.5.

Evaluación de pérdidas en válvulas y accesorios Las pérdidas por fricción, provocadas por conexiones (válvulas y

accesorios) pueden ser determinadas inicialmente en forma experimental, para obtener un valor característico para cada conexión en particular. A continuación se describe el procedimiento para determinar la pérdida provocada por una válvula.

Figura 3.7. Esquema de un sistema para determinar experimentalmente pérdidas en una válvula.


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acuerdoDceon lo presentado en la sección anterior, las pérdidas en los tramos de cañería recta están dados por: (3.23)

(3.24) Si D1 = D2, entonces V1= V2 y f 1 = f 2, luego: (3.25) (3.26)

Ê V total se obtiene al aplicar Bernouilli entre 1 y 4: (3.27) Las presiones p4 y p1 se leen en los manómetros ubicados en 1 y 4. Luego, las pérdidas por fricción en la válvula quedan expresadas por: (3.28) De esta forma es posible evaluar, experimentalmente, las pérdidas provocadas por cada uno de los accesorios utilizados en las diferentes instalaciones de redes de flujo de fluidos. Los valores de Ê V de conexiones, obtenidos experimentalmente, pueden ser presentados en dos formas:


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a) Método del coeficiente de resistencia, K

En este método las pérdidas son presentadas en función de un parámetro K, característico de cada accesorio, el cual se considera constante, independiente del régimen de flujo. Entonces: (3.29) El método del coeficiente de resistencia K, se utiliza también para evaluar las pérdidas por expansiones o contracciones producidas al cambiar de diámetro una tubería o en entradas y salidas de estanques. En este caso, la velocidad V corresponde a la velocidad en la sección de menor área. b) Método de longitud equivalente

En este método se caracteriza la fricción de un accesorio por una longitud de tubería ficticia, la que produciría la misma fricción que el accesorio. La fricción provocada por esta longitud de tubería ficticia se evalúa como ya se presento anteriormente, es decir: (3.30) Aunque el término (L/D) es adimensional, es costumbre denominarlo longitud equivalente.


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Figura 3.8. Equipo para determinar pérdidas en accesorios (LOPU/DIQ/USACH).

3.6.

Aplicaciones que involucran la evaluación de factores de fricción Una vez que se han planteado las ecuaciones válidas para un de-

terminado sistema de flujo, los problemas pueden ser resueltos en forma directa (tipo 1), o se requerirá iterar (tipo 2), aunque esta iteración puede ser obviada si se utilizan los llamados gráficos de Von Kárman. Finalmente, si no se puede evitar la iteración, se tiene un problema tipo 3. La tabla siguiente muestra esta clasificación: Tipo de problema

Datos

Incógnita

1

D, ε, μ, , Q

Ê v, ó Ŵ , ó potencia

2

D, ε, μ, , Ê

Q, ó w, ó V

3

ε, μ, , Q, Ê

D

v v

Problemas tipo 1: La solución de este tipo de problema es directa, no se

requiere iterar, como se muestra en el siguiente ejemplo.


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Ejemplo 3.7 Dos estanques de agua son conectados mediante 200( m)de cañería de 3" de acero comercial tipo 40. Deben transportarse 12,5( l /s) desde uno a otro estanque. Los niveles en los estanques son los mismos y ambos están abiertos a la atmósfera. En las pérdidas deben incluirse un codo de 90º, una válvula de globo totalmente abierta, una expansión y una contracción. ¿Cuál es la potencia de la bomba requerida? Solución:

Aplicando un balance de energía mecánica (Bernoulli) entre 1 y 2:

Considerando que:

p2= p1 = presión atmosférica z2= z1 v2= v1 = 0


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Se obtiene que:





W   E V 

Determinar el trabajo, W y luego la potencia de la bomba, debe evaluarse en primer lugar el término de pérdidas por fricción, Ê V :

De las tablas del apéndice se obtienen los siguientes valores: ( L/D)válvula = 340; ( L/D)codo = 30; K expansión = 1,0; K contracción = 0,5

ρagua = 1000(kg/m3) μagua = 1(cp) = 0,001(kg/m · s) di = 3,068( pulg) = 0,078( m); / D = 0,0006 Para evaluar el factor de fricción f ó f * = 4 f , debe evaluarse previamente el número de Reynolds: ; Pero:


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Luego: Re = 2,04 ·10 5 del gráfico de Moody se lee f = 0,0049 Introduciendo estos valores en (*) se obtiene:

Entonces:

Potencia = Potencia = – 202(m2/ s2) · 0,0125(m3/ s) · 1000( kg /3) Potencia = Potencia = 3,4(hp) Problemas tipo 2: En este tipo de problema, en que se conocen las pérdidas

por fricción, pero se desconoce la velocidad del fluido, la solución al problema se obtiene mediante una iteración. Esta última puede evitarse si se utiliza el gráfico de Von Kárman, en el cual se representa (4 f )-0,5 v/s Re · (4 f )0,5, donde: (A) (B)

El parámetro Re · (4 f )0,5 se conoce como el número de Kárman y puede evaluarse sin conocer v. Con este gráfico se evita la iteración que sería necesaria si se emplea el gráfico de Moody. El procedimiento es el siguiente:


De la ecuación (B) se calcula Re · (4 f )-0,5, con  /D se lee 1

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4 f en el gráfico

de Von Kárman y de la ecuación (A) se despeja v.

Ejemplo 3.8 Petróleo a 70 ºF es transportado desde un lugar A al otro B, a través de 4000( ft ) de tubería de diámetro interno de 6" y  = 0,0002( ft ). El punto B está ubicado a 50,5( ft )sobre el punto A y la presión en A y B son de 123( psi) y 48,6( psi) respectivamente. ¿Cuál es el flujo volumétrico, Q, del petróleo? Solución:

Datos: ( μ/ρ) = υ = 4,12 · 10 -5 ( ft 2/ s)

ρ = 854(kg /m3) = 53,3(lb/ ft 3) d i = 6(in) = 0,5( ft )  /D = 0,0004 Aplicando Bernoulli entre (1) y (2): (*)


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Considerando que:

v1 = v2 z1 = 0; z2 = 50,5( ft )

Reemplazando estos valores en (*):

4 f · v2 = 1,211 Una forma de resolver esta ecuación sería suponerse un valor de f , calcular v y con esta velocidad comprobar el valor de f supuesto, previo cálculo de Re. Otra forma de resolver es utilizar el método de Von Kárman:

Leyendo en el gráfico de Von Kárman, con  /D = 0,0004 se obtiene que 1

4 f  7 , pero:

Problemas tipo 3: Como se muestra en el ejemplo 3.9, en este tipo de pro-

blemas, es inevitable la iteración.


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Ejemplo 3.9 Debe transportarse agua desde un estanque abierto a la atmósfera a través de 200( ft ) de longitud equivalente (cañería recta más codos, expansión y contracción), para ser descargada a la atmósfera en un punto 12( ft ) sobre el estanque. ¿Cuál es el diámetro mínimo de cañería requerido para asegurar un flujo de 200( gal /min), si la bomba es de 2(hp), con una eficiencia de 60,7%? Solución:

Aplicando un balance de energía mecánica entre 1 y 2:

Reemplazando valores:


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Pero:

Luego: (*)

Como puede observarse, la ecuación (*) debe resolverse en forma iterativa: supondremos un diámetro, calcularemos Re, se leerá f y se com probará la igualdad en la ecuación (*). A continuación se muestran algunos valores de las iteraciones:

Dno min al

d i ( ft )

Re

 /D

4 f

Igualdad en (*)

2"

0,1723

3 · 105

0,0009

0,021

4284

3"

0,256

2 · 105

0,0006

0,019

520,9

3½"

0,296

1,8 · 105

0,0005

0,0185

242

El valor del diámetro que “hace cumplir” la igualdad en (*) está entre valores de diámetro interno de 0,256( ft ) y 0,296( ft ), vale decir entre diámetros nominales de 3" y 3½". Dado que no existen cañerías entre 3" y 3½" se seleccionará la tubería de 3½" para la instalación propuesta.


3.7.

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Evaluación de pérdidas en ductos no circulares Cuando la sección del ducto no es circular, o cuando el fluido no

llena totalmente la tubería, se debe utilizar un parámetro empírico, que se ha verificado entrega buenas predicciones cuando el régimen es turbulento. Es llamado radio hidráulico, R H. Este R H debe relacionarse con el diámetro de un ducto circular, a fin de emplear las fórmulas habituales de ductos efectivamente circulares. Para este fin se calculará el R H de un ducto circular, obteniéndose:

Esto último es lo que se emplea como diámetro equivalente, Deq, es decir: Deq = 4 · R H. Luego, una vez calculado D eq, el problema se resuelve igual que como si fuera un ducto circular, reemplazando en las ecuaciones que se requiera el diámetro del ducto D por D eq. Ejemplo 3.10 Determine el diámetro equivalente de un canal de regadío, abierto a la atmósfera, con una geometría y dimensiones señaladas en la figura:


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Solución:

Ejemplo 3.11 Vapor saturado circula por el ducto anular de un intercambiador de calor concéntrico. Determine el Deq, que se empleará para evaluar la caída de presión del fluido que circula por la sección anular.


3.8.

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Diámetro óptimo económico (DOE) Con las ecuaciones anteriormente planteadas (balances de masa y

energía), es posible resolver numerosas situaciones de flujo de fluidos, aunque en aplicaciones de diseño se requiere una ecuación o información adicional. Por ejemplo, consideremos la necesidad de especificar el diámetro de la tubería (D), junto con la potencia de la bomba necesaria para transportar un flujo Q de agua desde un estanque a otro, según muestra la Figura 3.9:

Figura 3.9. Transporte de agua desde un estanque a otro.

Para esta situación, al plantear Bernoulli entre 1 y 2, se observa que la potencia de la bomba requerida depende del diámetro de la tubería, existiendo infinitas soluciones. A medida que se disminuye D, aumenta el consumo de energía (potencia de “bombeo”), para un mismo flujo Q:


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En situaciones de este tipo la elección del diámetro se decide por alguna de las consideraciones siguientes: a) Stock en bodega de cañerías de un determinado tamaño. b) Consideraciones de espacio disponible para el paso de la tubería. c) Consideraciones económicas. En esta última consideración, los costos a tomar en cuenta son: i) Costos de energía para el transporte del fluido. ii) Costos de mantención de bomba, tubería y conexiones. iii) Costos de inversión e instalación de bomba y tubería.

Al disponer de ecuaciones para cada uno de estos costos, el diámetro óptimo económico (DOE) corresponde al diámetro que se obtiene al derivar la expresión de costos totales, con respecto al diámetro de la tubería, despe jándose de la ecuación resultante el diámetro:

Si bien es cierto en algunos textos se presentan expresiones analíticas para cada uno de estos costos, el procedimiento aceptado es trabajar con valores de DOE recomendados, en función del caudal y densidad del fluido.


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Figura 3.10. Diámetro económico en función del flujo volumétrico y de la densidad del fluido, válido para tuberías de acero comercial, cédula 40 ( Adaptado de Perry y Chilton,

Manual del Ingeniero Químico,1973 ).


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vez de tE ranbajar con el concepto de diámetro económico, se puede emplear el concepto de velocidad económica, V eco, dada la relación entre ambos términos:

En la tabla siguiente se entregan algunos valores de velocidad económica en función de la densidad del fluido: Tabla 3.1. Velocidades económicas en función de la densidad del fluido.

Veco (m/s)

1.7

1.9

3.1

6.0

11.9

24.0

 (kg/m )

1600

800

160

16

1.6

0.16

3

Ejemplo 3.12 Se desea transportar 200( gal/ min) de agua a 60 ºF, a través de una tubería de acero comercial tipo 40 de 5000( ft ) de longitud. ¿Qué diámetro de tubería especifica? ¿Cuál es la potencia que debería entregar la bomba al fluido? Solución:

Q = 200( gal /min) = 0,446( ft 3 /s) ρ H 2O = 62,4(lb/ft 3) μ H 2O = 7,4 · 10-4(lb/ft · s)


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Aplicando Bernoulli entre 1 y 2:

De la Figura 3.8 con Q = 200( gpm) y ρ = 62,4(lb/ft 3) se lee:

d i = 3,5"

 /D = 0,0006, usando gráfico de Moody  f = 0,0047 Introduciendo valores se obtiene ÊV = 7169( ft 2/ s2) 

Luego W = – 7169( ft 2 /s2)

3.9.

Situaciones complejas En esta sección se presentarán, a través de ejemplos, diversas situa-

ciones que involucran la utilización del balance de energía mecánica (Bernoulli).


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Ejemplo 3.13 En la figura se muestra un sifón por el cual circula agua. La cañería tiene un diámetro interno de 3( cm) y su longitud es de 16 m. Los codos instalados son estándar de 90º. La rugosidad relativa puede considerarse en 0,0005. Suponiendo que el nivel del estanque permanece constante y que la temperatura del agua es de 20 ºC, ¿Cuál es el flujo volumétrico Q, que circula por la tubería? Solución:

Q=? d i = 0,03(m) L = 15(m)

 /D = 0,0005 Kcontracción = 0,78  L/D ≈ 35 Kexp ansión = 1,0  L/D ≈ 45,6 Aplicando un balance de energía mecánica entre (1) y (2) se obtiene:

Considerando:

p2 = p1 =1(atm) z2 = 0  z1 = 1,25(m) v1 = 0


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Introduciendo los valores en el balance de energía se obtiene:

Dado que f es función de v2, esta última ecuación debe resolverse en forma iterativa: Suponerse un f

→

calcular v2

→

calcular Re y verificar el

valor supuesto de f . Considerando régimen turbulento

 f = 0,00425, con este valor se ob-

tiene v2 = 1,46(m/s) y Re = 4,4 · 10 4. Del gráfico de Moody se lee f = 0,006. Con este nuevo valor de f se obtiene v2= 1,19(m/s) y Re = 3,6 · 10 4. Del gráfico de Moody se obtiene f = 0,006, el cual coincide con el valor su puesto. Para este valor:

Ejemplo 3.14 Un depósito cilíndrico de 1( m) de diámetro y 4( m) de altura está lleno de agua a 20 ºC. El fondo del depósito está conectado a un tubo de 1,5" y 5" de longitud, a través del cual se vacía. ¿Cuál es el tiempo que tarda en descender 1(m) el nivel del agua en el depósito?


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Solución:

p1 = p2 = 1(atm) v1 = 0 ; (Incluye el K contracción= 0,6(m))

Dado que el nivel del estanque disminuye, disminuye también la presión a la entrada del tubo de descarga, por lo que la velocidad del agua a través del tubo varía en función del tiempo. Considerando un punto del depósito a una altura h, al descender el nivel dh en el tiempo dt , el caudal estará dado por: (1) En este instante, a través del tubo de sección A2, circulará el mismo caudal:

Q = A2 · v2

(2)

Tomando como nivel de referencia z2 = 0 y aplicando un balance de energía mecánica (Bernoulli) entre (1) y (2), se obtiene:


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z1 = h = var iable

(3)

Igualando (1) y (2), habiendo introducido v 2 en (2), se obtiene:

(*) Para integrar la ecuación * supondremos un valor promedio de f , entre las condiciones iniciales y finales:

h = Tiempo de descarga del estanque. El valor de f inicial debe evaluarse en forma iterativa, vale decir: Suponerse una vinicial

→

Calcular Re

→

Leer f y calcular v2 de la ecuación (3). Si

v2 calculado coincide con el supuesto, se tendrá el f final. el valorPdaera f final , el procedimiento iterativo es similar, solo que en la ecuación (3) el valor de h será menor en 1(m) con respecto al considerado en el cálculo de f inicial. on la rutCina de cálculo señalada se obtiene 4

f inicial = 0,0212 y 4 f final =

0,021:

4 f romedio = 0,0211 Con este valor se obtiene que el tiempo de descarga es de 91( s).


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Por una tubería de 25( cm) de diámetro interno se transporta petróleo a lo largo de una longitud total de 30( km), con un caudal de 1000( m3 /día). Con el objeto de aumentar el caudal, conservando las mismas presiones de entrada y salida, se conecta a la tubería primitiva, 5(km) antes del lugar de descarga, otra tubería del mismo diámetro y paralela a la primitiva. Si en las condiciones de transporte la densidad del petróleo es 920( kg/m3) y su viscosidad es de 5( poises), ¿Cuál es el aumento de caudal? Solución:

Calcularemos la fricción en la tubería antes de hacer la conexión adicional:

Una vez realizada la conexión, dado que se conservan las presiones de entrada y salida, “la carga de fricción total ha de ser la misma” que en la situación original.


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La fricción antes de hacer la conexión será:

En que v1 es la nueva velocidad en la tubería, en el tramo 1-2. Si v2 es la velocidad en el tramo final de 5( km), en cualquiera de las 2 tuberías, la fracción en este tramo será:

Por otro lado, el caudal antes de la ramificación ha de ser igual a la suma de los caudales a lo largo de las tuberías paralelas, es decir:

Luego:

Pero:

Despejando se obtiene v1=0,276 (m/s) y el caudal será 1171(m 3/día). En consecuencia se logra aumentar en un 17,1% al transporte de petróleo.

Nota: En tuberías en paralelo las pérdidas de energía mecánica (fricción) son las mismas en cualquiera de las ramas, y no son acumulativas.


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Ejemplo 3.16 Como se muestra en la figura, desde un recipiente, fluye agua a través de una cañería a un punto de bifurcación, desde donde circula a otros recipientes mediante cañerías separadas. Las cañerías son de acero comercial, catálogo 40. Calcular el flujo en ( gal /min) de agua que llega a cada recipiente, suponiendo flujo estacionario. Solución:

Sección 1 = 2000', cañería de 6" Sección 2 = 2000', cañería de 3" Sección 3 = 1000', cañería de 4" Para grandes líneas, el término cinético en la ecuación de energía mecánica (Bernoulli) se puede despreciar (comprobando al final su efecto), y las presiones manométricas en las superficies libres son cero. Por lo tanto, las expresiones para la ecuación de Bernoulli, para las tres secciones de tu bería son:


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(1) (2) (3) Sumando las ecuaciones (1) y (2) y luego las ecuaciones (1) y (3) se obtienen: (4) (5) Por otro lado, de un balance de masa se obtiene que:

v1 = v 2 ·( D2/ D 1)2 + v 3·( D 3/ D 1)2

(6)

Despejando v2 de la ecuación (4) y v3 de la ecuación (5) se obtiene:

(7)

(8) Para evaluar los factores de fricción se puede emplear el gráfico de Moody, o bien alguna correlación empírica, como la de Shacham:


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el siguieEnnte diagrama de bloques se presenta un esquema de resolución para evaluar Q1, Q2 y Q3. Los valores iniciales necesarios (v2; v3), pueden estimarse empleando el concepto de diámetro óptimo económico (DOE). Los valores finales son:

Q1 = 285( gal/ min) Q2 = 60( gal/ min) Q3 = 225( gal/ min)


Diagrama de bloques para resolver ejemplo 3.10

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3.10. Fluidos no newtonianos Para fluidos no newtonianos sigue siendo válida la ecuación 2.13 (Ecuación de Bernoulli), con la salvedad de que  debe ser evaluado con la expresión correspondiente. Para fluidos que siguen la ley de la potencia (o modelo de Ostwald de Waele), se dispone de la ecuación 2.6, válida en régimen laminar: (2.6)

Si el régimen de flujo es turbulento, se considera  = 1. El factor de fricción, f, necesario para evaluar Ê v, debe leerse de figuras de f vs Reynolds. Por ejemplo, para fluidos cuyo comportamiento se puede representar por la ley de la potencia, debe usarse la Figura 3.11. Para fluidos que siguen el comportamiento de Bingham (ec. 1.6) se debe utilizar la Figura 3.12, la cual lleva como parámetro el número adimensional de Hedstrom (He).


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Figura 3.11. Gráfico de f vs Re’, para líquidos que siguen la ley de la potencia ( Adaptado de Levenspiel, Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor,1993).

Si el fluido sigue el comportamiento de Bingham, entonces debe usarse la Figura 3.12:

Figura 3.12. Gráfico de f vs Re’, para líquidos de Bingham [ [

],

] ( Adaptado de Levenspiel, Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor, 1993).


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Ejemplo 3.17 En la figura se muestra un sistema de tuberías, a través del cual se trans porta, desde un estanque cocedor de diámetro 0,5( m) compota de manzana hasta el sector de envases, la que sigue la ley de la potencia (n = 0,4; K = 0,6(kg /m · s2-n)). Determine el tiempo que demora disminuir desde un nivel inicial de 1(m) a un nivel final de 0,1(m). La longitud de la tubería de acero inoxidable es de 2,75( m) y su diámetro interno es de 25 ( mm). El codo indicado es de radio largo. La rugosidad del acero es  = 0,001(mm).

Considerando la ecuación de Bernoulli:

Igualando los caudales de (1) y (2) tenemos:


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Reemplazando el factor de fricción en la ecuación de Bernoulli se tiene:

Ordenando y despejando en función de v2 se tiene:

Para Re gen se tiene que:

Iterando:

Si v2 = 1(m/s)  Re

= 1168  f = 16/1168 = 0,0137

gen

 v = 1,89(m/s) 2

Si v2 = 2,4(m/s)  Re gen = 4740  f 0,0054  v2 = 3,2(m/s) Si v2 = 3,2(m/s)  Re gen = 7510  f = 0,0046  v2 = 2,6(m/s) L AI CI NI

Si v2 = 2,5(m/s)  Re

L A NI F

Si v2 = 0,5(m/s) Si v2 = 0,9(m/s) Si v2 = 1,5(m/s) Si v = 1,9(m/s) 2

gen

= 5060  f = 0,0050

 v2 = 2,56(m/s)

 Re gen = 385  f = 0,0415  v2 = 0,94(m/s)  Re gen = 986,8  f = 0,016  v2 = 1,38(m/s)  Re gen = 2235  f = 0,007  v2 = 1,82(m/s)  Re = 3262  f = 0,0060  v = 1,9(m/s) gen

2

; Por otro lado, de un balance de masa (continuidad):


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EJERCICIOS 3.1.

Determinar la potencia entregada por la bomba que descarga 28 lt/s de agua en el sistema mostrado en la figura. Las pérdidas del sistema son equivalentes a 10 · v2/2 y el diámetro interior de la cañería es de 15 cm.

3.2.

Un líquido circula con flujo estacionario, a través de una tubería de 3" de diámetro interno. La densidad es 1050 kg/m 3 y la viscosidad de 2 cp. Empleando un tubo de Pitot, se obtuvieron los siguientes valores de velocidades puntuales: V(m/s )

(Pulg.)

-------------------------2,28 0 2,26 0,15 2,23 0,30 2,18 0,45 2,14 0,60 2,09 0,75 2,01 0,90 1,89 1,05 1,77 1,20 1,53 1,35 1,11 1,425 0,00 1,59

Calcular:

a) V empleando el gráfico V/Vmáx vs Re máx. b)  empleando gráfico  vs Re. c) V empleando la definición e integrando numéricamente. d)  empleando la definición e integrando numéricamente.


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tr.a3n.spP 3 oratraar aceite desde un depósito A a otro B con un caudal de 200 lt/min., es necesario instalar un grupo motobomba, cuya potencia se desea determinar. La tubería es de 3" de diámetro y las pérdidas

a

lo largo del sistema son de 3,5 kgf · m/kg. El nivel del aceite en el depósito B se mantiene 12 m. por encima del nivel del estanque A. En las condiciones de transporte, la densidad del aceite es de 840 kg/m 3. Obtenga la potencia de la bomba y compare sus resultados al realizar balances entre: a) 1 – 4. b) 2 – 3. c) 2 – 4.

3.4.

Un motor suministra 20 HP a una bomba por la que circula agua a razón de 500 gal/min. 25% de la potencia se consume elevando la energía interna del agua y para vencer el roce en las partes mecánicas de la bomba. El diámetro de la cañería de entrada a la bomba es de 6" y el de descarga de la bomba es de 4". Ambas tuberías están a la misma altura. Calcular el aumento de presión del agua.


3.5.

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Circulan 3600 ton/h de agua desde un estanque, elevado a una turbina ubicada a menor nivel, a través de un conducto circular de diámetro uniforme. En un punto del conducto ubicado a 300 pies sobre la tur bina la presión es 30 psia. A 10 pies bajo la turbina la presión es 18 psia. La potencia de la turbina a la salida del eje es de 1000 Hp. Si la eficiencia de la turbina es de 90%, a) Calcule las pérdidas por fricción en el conducto. b) Si no se produce transferencia de calor al ambiente, ¿En cuánto podría subir la temperatura del agua?

3.6.

En el sistema de la figura circula agua. Calcular la potencia entregada por la bomba si el caudal es de 80 lt/s. El diámetro de succión es de 6" y el de descarga es de 4". Considere despreciables las pérdidas.

3.7.

A través de una cañería horizontal de acero comercial, tipo 40 de D.N. 10", circulan 2 m 3/min. de agua a 20 ºC. La cañería de 20 m. de longitud tiene además un codo standard de 90º, una válvula de retención (“check”), una válvula de compuerta (“gate”) y una válvula de globo (“globe”), todas totalmente abiertas ¿Cuál es la caída de presión?

3.8.

En la figura se muestra un sifón, el cual es utilizado para extraer agua desde un estanque. El sifón está construido con cañería de 10" y su


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longitud total es de 18 metros. Cuando el agua se encuentra en su mínimo nivel, calcule: a) El flujo. b) La presión en el punto A. La curvatura del tope del sifón es equivalente a dos codos de 90º standard.

3.9.

Dos grandes recipientes de agua están conectados por una cañería de acero comercial de 8 pulgadas de diámetro nominal y 5000 pies de largo. El nivel de uno de los recipientes está 200 pies por sobre el nivel del otro, ambos abiertos a la atmósfera. ¿Cuál es el flujo de agua que circula?

3.10. Se desea transportar 100 gal/min. de agua, desde un lago a un estanque ubicado a una altura de 100 metros. La longitud de la cañería debe ser de 400 m. y contar con 10 codos de 90º y 2 válvulas de compuerta. La temperatura media es de 15 ºC. a) Determine el diámetro óptimo económico. b) ¿Cuál es la potencia de la bomba en HP? c) ¿Qué sucede con sus respuestas a) y b) si el caudal a transportar aumenta al doble?


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co.1n1c.enPtarraar una solución de NaCl, ésta se bombea desde un 3 depósito hacia un evaporador, a través de una tubería lisa de P.V.C. de diámetro interno 3 cm, a razón de 8 m 3/h. A la temperatura de bombeo, la solución tiene una densidad de 1150 kg/m 3 y una viscosidad de 2,3, cp. Si el trayecto a recorrer es de 350 m, ¿Cuál es la potencia de la bomba requerida? 3.12. Se retira agua de un depósito y se bombea una longitud equivalente de

2 millas, a través de un ducto horizontal, circular, de concreto de 10 pulgadas de diámetro interno. Al final de este ducto el flujo se di- vide en 2 cañerías de acero comercial, cédula 40, una de 4" (D.N.)

y otra

de 3" (D.N.). La línea de 4" tiene una longitud equivalente de 200 pies y se eleva hasta un punto a 50 pies sobre la superficie del agua del depósito, donde el flujo se descarga a la atmósfera. Este flujo debe mantenerse en 100 gal/min. La línea de 3" (horizontal) descarga también a la atmósfera en un punto a 700 pies, desde la bifurcación y al nivel del agua en el depósito. Determinar los HP entregados a la bomba, la que tiene una eficiencia de 70%. 3.13. Una bomba de 5 C.V. con una eficiencia de 70% toma amoniaco al

20%, desde un depósito y lo transporta a lo largo de una tubería de 100 m. de longitud total, hasta el lugar de descarga situado a 15 m. por encima del lugar de succión. Determine el diámetro de tubería a emplear si el caudal que circula es de 10 m3/h. 3.14. Debe bombearse una pasta de dientes (no-newtoniana), a través de una

tubería de acero inoxidable de 50 mm d.i., desde la máquina de mezclado de los ingredientes hasta la máquina de llenado de los tubos de pasta. La longitud equivalente de la línea, incluyendo las pérdidas en codos, uniones, entrada y salida, es 10 m y la velocidad media del flujo es de 1 m/s.

Capítulo 3 Flujo de Fluidos

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