Chap VI Flujo Fluidos

Flujo de Fluidos con Aplicaciones al Diseño de Procesos

FLORES, Jesús

CAPÍTULO V: Flujo de Fluidos Newtonianos y no–Newtonianos Incompresibles en Tuberías

En los capítulos anteriores se ha considerado una variedad de temas relacionados con la estática y el movimiento de los fluidos, los principios básicos que los rigen, así como las propiedades constitutivas de los fluidos, importantes a la hora de aplicar al diseño de sistema de transporte de los fluidos a través de tuberías y ductos. El transporte de un fluido (líquido o gas) en un circuito cerrado (comúnmente denominados “tubos” si es de sección transversal circular o un conducto si es de otra sección) es extremadamente importante en la industria de procesos, para trasportar un fluido de un lugar a otro, hacer pasar fluidos a través de equipos como intercambiadores de calor, columnas de relleno, columnas con platos perforados, extractores líquido–líquido, sólido–líquido, reactores químicos y bioquímicos, etc., así como, en operaciones cotidianas. Una breve consideración en el mundo que nos rodea, indicará que existe una amplia variedad de aplicaciones de flujo a través de tuberías. Aplicaciones de gran tamaño, por ejemplo, el oleoducto de nor–Peruano que transporta el crudo desde San José de Saramuro (departamento de Loreto), a orillas del río Marañón, cruzando la cordillera de los Andes hasta terminal de Bayóvar, en la bahía de Sechura, Piura, con un total de 854 kilómetros, a sistemas más complejos (y ciertamente no menos útil) como las “redes de tuberías” que transportan la 191

Flujo de Fluidos Incompresibles en Tuberías

sangre por todo el cuerpo y el aire que ingresa y sale de nuestros pulmones. Otros ejemplos incluyen las tuberías de agua en nuestros hogares y en el sistema de distribución que transporta el agua en la ciudad a las casas. La calidad del aire dentro de los edificios se mantiene en niveles adecuados con la distribución de aire acondicionado (calefacción, refrigeración, humidificación y deshumidificació) a través de un laberinto de tuberías y ductos. A pesar de que estos sistemas son diferentes, los principios de la mecánica de fluidos que rigen los movimientos de los fluidos son comunes. El propósito de este capítulo es entender los principios básicos que intervienen en el transporte de fluidos a través de tuberías, con el fin de diseñar sistemas de transporte de fluidos Newtonianos y no–Newtonianos através de tuberías simples y redes de tuberías, así como el de diseñar los sistemas de bombeo. Tanque almacenamiento Válvula neumática

Te

Codo 90º Sensor flujo

Válvula bola Check

Entrada Bomba

Figura 5.1 Componentes típicos en un sistema de tuberías.

Algunos de los componentes básicos de un sistema típico de tuberías se muestran en la Fig. 5.1. Estos incluyen los propios tubos (quizás de más de un diámetro), los diversos accesorios utilizados para conectar los tubos individuales para formar el sistema deseado, los dispositivos de control de caudal (válvulas), y las bombas o turbinas que añaden o retiran energía del fluido. Incluso los sistemas de tuberías más simples son en realidad muy complejos cuando se analizan en términos de consideraciones analíticas rigurosas. En este capítulo, se examinan las variables que son importantes para describir matemáticamente el flujo de fluidos a través de tuberías, para flujo laminar y turbulento, estableciendo el efecto de la viscosidad (Newtoniano y no–Newtoniano), presentando las ecuaciones de movimiento para el flujo a través de tuberías de distintas secciones transversales. Debido a que las bombas se utilizan comúnmente para transmitir líquido en tubos, se realiza una breve revisión de ellas. 5.1

Régimen de Flujo en Tuberías

Cuando un fluido fluye a través de una tubería (sección transversal circular) o ducto (sección transversal nocircular), puede ocurrir uno de los dos diferentes tipos de flujo: laminar y turbulento. Estos tipos de flujo son fácilmente explicados y visualizados mediante el clásico experimento realizado por Osbome Reynolds en 1883. El experimento de Reynolds, consta de una tubería de vidrio conectada a un reservorio de agua, de manera tal 192


FLORES, Jesús

que, la velocidad del agua que fluje através del tubo puede ser modificada y medida, Fig 5.2. El ingreso de la tinta de color a la corriente de flujo, se logra a través de un capilar ubicado en el eje de la tubería de vidrio a una distancia prudente desde la entrada del fluido en la tubería, con el fin de evitar los efectos físicos de perturbanción de flujo a la entrada. Primera observación; se meden las caídas de presión como función del caudal para flujo de un fluido Newtoniano (agua) a través de una tubería de vidrio; se determina que, a caudales inferiores, la caída de presión es directamente proporcional a la velocidad de flujo, pero cuando el caudal se incrementa, la relación no es lineal y el “ruido” o dispersión de los datos sea incrementan considerablemente. A velocidades de flujo más altas, todavía los datos se hace más reproducibles, pero la relación entre la caída de presión y velocidad de flujo se hace casi cuadrática en lugar de lineal. DP

Agua

Tinta

Q

Q

DP

Figura 5.2 Experimento de Reynolds

A caudales bajos, se observa una relación lineal entre DP  Q , el flujo de colorante permanece como un hilo coherente, a lo largo de la mayor parte del tubo. Sin embargo, cuando se produce una dispersión de datos, la traza de tinta es bastante inestable, y se separa después de una corta distancia. A caudales aún mayores, donde se observa la relación cuadrática, el colorante se dispersa casi inmediatamente en una “nube uniforme” a través de todo el tubo. Al flujo estable que se observa inicialmente se le denominó régimen de flujo laminar ó viscoso, ya que los elementos de fluido se mueven en capas lisas ó “láminas” respecto a la otra sin que se mezclen. El patrón de flujo inestable, que se caracteriza por un alto grado de mezcla entre los elementos de fluido, se denomina régimen de flujo turbulento. Aunque la transición de flujo laminar a turbulento tiene lugar abruptamente, hay sin embargo una zona de transición donde el flujo es inestable, por otro lado, el caudal a la que se dan los cambios de flujo de laminar a turbulento, se define como la velocidad crítica. El estudio cuidadoso de diversos fluidos en tubos de diferentes tamaños ha indicado que el flujo laminar en un tubo persiste hasta un punto en que el valor del número de Reynolds ( N Re  Dvˆ  ) es de aproximadamente 2000, y el flujo turbulento se produce cuando N Re es mayor de aprox. 4000, con una región de transición en el medio. En realidad, se produce flujo inestable (turbulencia) cuando las perturbaciones en el flujo se amplifican, mientras que el flujo laminar se produce cuando estas perturbaciones son amortiguadas. Debido a que el flujo turbulento no puede ocurrir a menos que hay perturbaciones, los estudios se han realizado en sistemas en los que se ha tenido extremo cuidado para eliminar las perturbaciones debidas a las irregularidades en las superficies, cambios repentinos de 193


dirección, vibraciones, etc. Bajo estas condiciones, es posible mantener el flujo laminar en un tubo a un número de Reynolds del orden de 100.000 o más. El significado físico del número de Reynolds se puede apreciar mejor si se realiza un arreglo del tipo

NRe 

Dvˆ





Dvˆ





DG





4Q 4m   D  D 

(5.1)

El numerador representa el flux de momento “inercial” realizado por el fluido a lo largo del tubo en la dirección axial. El denominador es proporcional a la tensión de cizallamiento viscoso en el tubo, que es equivalente al flux de momento “viscoso” normal a la dirección de flujo, es decir, en la dirección radial. Así, el número de Reynolds es una relación entre el flux de momento inercial en la dirección de flujo al flux de momento viscoso en la dirección transversal. Debido a que las fuerzas viscosas son manifestaciones de las fuerzas intermoleculares de atracción, están estabilizados, mientras que las fuerzas inerciales tienden a tirar entre sí los elementos del fluido y están por lo tanto desestabilizados. Es lógico incicar que el flujo estable (laminar) debe ocurrir a bajos números de Reynolds, donde las fuerzas viscosas son las dominantes, mientras el flujo es inestable (turbulenta) cuando se producen a altos números de Reynolds, donde las fuerzas inerciales son las dominantes. También, el régimen de flujo laminar están dominada por la viscosidad y son independientes de la densidad del fluido, mientras que los flujos plenamente turbulentos están dominadas por la densidad del fluido y son independientes de la viscosidad del fluido en los niveles de turbulencia alta. Para fluidos que fluyen cerca de los límites sólidos (por ejemplo, dentro de conductos), las fuerzas viscosas dominan en las inmediaciones de la frontera, mientras que para los flujos turbulentos (alto número de Reynolds) dominan las fuerzas de inercia en la región alejada de la frontera.

Ejemplo 5.1 Cálulo del tamaño de tubería para flujo de fluido compresible A través de un sistema de bombeo, se alimenta aceite a un quemador a 93.33 ºC, utilizando una tubería de 72 pulg. (1.8288 m) de diámetro a 7.62 m/s. El quemador calienta el gas a 1037.78 °C. Para mantener la velocidad a 40 pie/s (12.20 m/s), ¿cuál es el tamaño del ducto que se requeriría a la salida del quemador? Solución. Aplicando la ecuación de continuidad, el caudal que ingresa al quemador, es

Q1  A1v1

(5.1–1)

desde que, 2  A1   1.8288   2.63 m2 4  

luego, Q1   2.63 m 2   7.62 m s   20.016 m3 s 194

(5.1–2)


FLORES, Jesús

El flujo volumétrico a la salida del scrubber, usando la Ley de Charles V1 T1  V2 T2  , es

Q2  Q1 T2 T1  (T en unidades absolutas)

(5.1–3)

Q2   20.016 m3 s  1310.93 366.48   71.60 m3 s

(5.1–4)

El área de sección transversal a la salida del ducto esta dado por

A2  Q2 v2 A2 

71.60 m3 s  5.87 m 2 12.2 m s

(5.1–5)

El diámetro del ducto, por consiguiente, es  4A  D2   2     D2 

0.5

4  5.87 m 2



 2.74 m  108 pulg

(5.1–6)

Ejemplo 5.2 Régimen de Flujo Un liquido con una viscosidad de 7.8 104 Pa  s y una densidad de 1500 Kg m3 fluye através de una tubería cuyo diámetro es de 1.0 pulg (0.0254 m) a una razón de flujo de 20 cm/s. Calcular el número de Reynolds. ¿El flujo es laminar o turbulento? Solución. Por definición el número de Reynolds (NRe), Ec. (5.1), es igual a

N Re 

Dvˆ 

(5.2–1)



desde, que 1 cP = 10–2 g/(cm s)  = 0.78  10–2 g/(cm s)

Sustituyendo datos en la Ec. (5.2–1), se tiene NRe 

2.54 cm  20 cm s 1.50 g cm3 0.78 102 g  cm s 

NRe  9770

(5.2–2)

El flujo por consiguiente es turbulento.

195


De lo anterior, indicamos que el valor del número de Reynolds determina la naturaleza del flujo del fluido en una tubería, y generalmente:

N Re  2100

Flujo Laminar

2100  N Re  4000

Región de transición

4000  N Re  1000

Región turbulento

N Re  10000

Flujo totalmente turbulento

(5.2)

Al analizar los perfiles de velocidad el número de Reynolds, la velocidad axial v z en un flujo turbulento es aproximadamente a la velocidad media. En general, las fluctuaciones son pequeña magnitud, ellos causan movimiento muy leve de las partículas en una región de la sección transversal de la tubería para cambiar la posición con Cuadro 5.1 Comparación de flujo lamiar y turbulento P = P1

P = P2

r vz

P = P1

r

R

Z2

z

Flujo laminar

vz sólo; vr  v  0 vz  vz  r 

P = P2

vz

R

Parámetro Velocidad Dependencia funcional

Z2

z

Flujo turbulento

vr , v , vz , todos distintos de cero

vr  vr  r, , z, t  v  v  r, , z, t 

vz  vz  r, , z, t  Parabólico; resuelto desde la ecuación de momento

vz vz max

r 1   R

Distribución de velocidad

vˆz

2

vz 1  vz max 2

Determinado de datos experimentales

vz max vˆ vz max

Ecuación

17

  r   1       R  4  5

Para 5  105  NRe  107

Para NRe  2100

Nota: vˆ , es la velocidad promedio principal en la dirección de flujo

En general, las fluctuaciones son de pequeña magnitud, pero causan movimiento lento de partículas en una región de la sección transversal del tubo para intercambiar la posición con movimiento rápido de partículas en otra región. Esto es, en contraste con lo que ocurre en el flujo laminar, en la que una partícula de fluido en una sola capa se mantiene en esa capa. Las fluctuaciones en el flujo turbulento son responsables de un efecto de mezcla que se manifiesta en un perfil de velocidad más perturbada que a la salida del flujo laminar. Además, estas fluctuaciones causan la mezcla del agua inyectada con el tubo de agua en el experimento de Reynolds, Figura 5.2. Por tanto, el flujo laminar y turbulento, la velocidad

196


FLORES, Jesús

máxima en la dirección axial, vzmax , se produce en la línea central del conducto. Estos comentarios sobre flujo laminar y turbulento se resumen en la Cuadro 5.1. 5.1.1

Efectos de Entrada

Los efectos de las propiedades funcionales del fluido y características del tubo, son evidentes a la entrada, tal como se ilustra en la Fig. 5.3. El flujo es uniforme a la entrada; pero como el fluido viaja aguas abajo, el efecto de la velocidad en la pared se propaga a través de la sección transversal. El flujo se divide en región viscosa y región del núcleo. Otro efecto de entrada evidente es la viscosidad, como se ilustra en la Fig. 5.3, el flujo es uniforme en la entrada, pero como el fluido se desplaza aguas abajo, el efecto de la velocidad de pared cero propaga a través de la sección transversal. El flujo se divide en una región viscosa y una región de núcleo, y la transición inicial de las partículas donde se percibe como un núcleo se convierte en una distribución desarrollada; en un perfil totalmente desarrollado la longitud de transición del tipo de flujo no cambia con el incremento de longitud. Le

r

R

z

Flujo

Región viscosa

Flujo Región convectiva completamente desarrollado

Figura 5.3 Flujo laminar cercano a la entrada de la tubería

La distancia Le (Fig. 5.3) se denomina longitud de entrada, y su magnitude es dependiente de las fuerzas inerciales y viscosas. Basado en un conjunto de datos experimentales e investigaciones analíticas se han determinado que la longitud de entrada puede estimarse, según

Le  0.06 D  NRe 

 Flujo laminar 

(5.3.a)

Le  4.4 D  N Re 

 Flujo turbulento 

(5.3.b)

16

donde, N Re es el número de Reynolds y D, el diámetro de la tubería en pies. Para flujo laminar, se observa que la longitud de entrada varía directamente con N Re . Para un N Re mayor, aproximado a 2100, la Ec. (5.3.a) predice

Le  0.06 D  2100  126 D Así, el producto de 126 diámetros, es la longitude máxima que puede requerirse para condiciones de flujo completamente desarrollado, y la existencia de flujo laminar.

197


Para flujo turbulento, la longitude de entrada varía con la potencia del número de Reynolds. Conceptualmente, para muchas aplicaciones en ingeniería, 104  N Re  106 . En este rango se calcula con la Ec. (5.3.b) 20 

Le  44 D

Así en flujo turbulento, los valores de longitud de entrada son considerablemente menores que 126 diámetros necesarios para un número de Reynolds de 2 100. La razón por la que una longitud requerida sea más corta para flujo turbulento es la acción de mezclado. Para entrada abrufta, se crea una turbulencia adicional a la entrada. El efecto es reducir aún más la longitud de entrada requerido para un flujo totalmente desarrollado.

Ejemplo 5.3 Perfil de flujo completamente desarrollado Metanol fluye a través de un tubo circular, cuyo diámetro a la entrada es de 1.05 pulg (0.02667 m). El flujo volumétrico del alcohol es de 8.495 104 m3 s . Calcular la longitud de entrada requerida para que el flujo tenga un perfil de flujo completamente desarrollado. Solución. De la base de datos de ChemCAD ver. 6.13, se tiene las siguientes correlaciones para las propiedades de densidad y viscosidad dinámica para el metanol:

A

Densidad:  

B

  T D  1 1     C  

; donde  , en Kg-mol m3 y T , en Kelvin

(5.3–1)

A = 2.288; B = 0.2685; C = 512.64; D = 0.2453

B   Viscosidad:   exp  A   C ln T   D T E  T  

(5.3–2)

donde , en Pa  s y T , en Kelvin A = – 25.317; B = 1789.2; C = 2.069

Por tanto, considerando una temperatura de trabajo de 20 ºC (293.15 K), utilizando las Ecs. (5.3–1) y (5.3–2), y el peso molecular del metanol es, 32.042 Kg/Kg-mol, se tiene: 2.288

 0.2685

  293.15 0.2453  1 1     512.64  

 24.75646 Kg-mol m3

  793.25 Kg m3

 

  exp 25.317 

1789.2   2.069ln  293.15  5.75481104 Pa  s 293.15 

El área transversal de flujo, se calcula mediante,

198


A

 D2 4



  0.02667  4

FLORES, Jesús

2

 5.5865 104 m2

Luego la velocidad promedio en la tubería es 8.495 104 m3 s

v

Q 8.495 104   1.5206 m s A 5.5865 104

El número de Reynolds (NRe), Ec. (5.1), es igual a N Re 

Dvˆ 





0.02667 1.5206  793.25  5.75481104

 5.59 104

Debido a que el flujo está dentro el régimen turbulento, usamos la Ec. (5.3b), para determinar la longitud de entrada, (NOTA: D, el diámetro de la tubería en pies): Le  4.4 D  N Re 

16

 1 pie  4 16  4.4 1.05 pulg    5.59  10  12 pulg  

Resolviendo, se tiene Le  2.38 pie

Así, el perfil de velocidad se mantiene sin cambios con el incremento de la distancia axial después de una distancia de 2,39 pies (0.7284 m) de la entrada.

5.2

Dimensiones de Tuberías y Especificaciones

Toda vez que, el libro se refiere a procesos de flujo de fluidos utilizados en la industria de los procesos, y en la mayoría de ellas se realizan a través de tuberías, éstas están fabricadas bajo normatividades específicas y certificadas por los fabricantes. En el Perú, INDECOPY es la entidad que vela por las especificaciones técnias, relacionadas con normas internacionales como la ASTM, DIN, las que se indicaran en esta sección. Generalmente, las tuberías se especifican de acuerdo a lo que se denomina, diámetro nominal, por ejemplo, 1/8–nominal o 1 ½ –nominal1. El diámetro nominal no indica necesariamente el diámetro interior exacto o el diámetro exterior de la tubería, sin embargo, otra especificación es la cédula de la tubería. Una tubería cédula 40 es considerada estándar y una tubería cédula 80 tiene una pared más gruesa que una cédula 40, para la cédula 80 los tamaños inferiores se designan XS para extra fuerte (extra strong). En la Tabla A.1, se

It is standard industrial practice to specify nominal pipe sizes with an inch dimension (for example, 1 ½ - pulg. nominal). The nominal dimension is considered to be a name for the size only. Far convenience, the ‘‘inch’’ is dropped from the designation in this book because the reference may be to an English or to an SI measurement. For further discussion, refer to ASTM E 380.76, p. 6, sec. 3.4.3.1, and to ASME Guide SI-1, p. 9. 1

199


brindan las dimensiones de los tamaños de tuberías múltiples desde 1/8 – nominal a 40 – nominal de acero forjado y tubo de hierro forjado. Una especificación adecuada para una tubería por lo tanto incluiría un diámetro nominal y una cédula. Por ejemplo, un diámetro 1 pulg-nominal, cédula 40 tendría un diámetro exterior de 3.34 cm (1.315 pulgadas) y un diámetro interior de 2.664 cm (0.0874 m); estas dimensiones se obtienen de la Tabla A.1. El diámetro nominal especifica el diámetro exterior de la tubería, mientras que la cédula indica el espesor de la pared y por lo tanto el diámetro interior. Así, todos los tubos 1-nominal, independientemente de la cédula, tiene el mismo diámetro exterior. Estos criterios se han considerado como base en la necesidad de utilizar accesorios (codos, uniones en T, válvulas, etc) con las tuberías. Los accesorios unidos a la pared exterior, por lo que, parecía prudente mantener el diámetro exterior del mismo, disminuyendo el espesor de pared requerido por la ampliación del diámetro interior. Por lo tanto, para tamaños de tubería 12-nominales y más pequeños, los diámetros nominales y reales no son iguales. Para 14-nominal y de mayor tamaño, el diámetro nominal es igual al diámetro exterior.

Figura 5.4 Union simple de tubería roscado

Las tuberías están unidas entre sí de diversas maneras. Los extremos de las tuberías pueden ser roscados, por ejemplo, y el número de hilos por unidad de longitud (por lo general por pulgada) está estandarizado. Las roscas de las tuberías estándar son cónicos (Figura 5.7). Antes de la unión, las roscas de las tuberías se envuelven ó revisten con cinta especial (teflón ó un compuesto viscoso) para asegurar una conexión segura. Las conexiones roscadas son comunes con hierro fundido, hierro forjado, y tubo de acero forjado. Alternativamente, si el metal es soldable, las tuberías pueden ser soldadas entre sí para formar una conexión segura. La soldadura es común en los tamaños de tubería más grandes. Los extremos de la tubería también pueden tener bridas adjunta. Las bridas se fabrican en varios tamaños. Antes de dos bridas se atornillan entre sí para formar una conexión segura, un material de caucho o de tipo junta se coloca entre ellos para garantizar una unión estanca a los fluidos. Una junta de tubería embridada se muestra en la Fig. 5.5.

Figura 5.5 Conección bridada de tubería.

Otro tipo de material de la tubería es el cloruro de polivinilo (PVC) ó tubos de plástico, que puede ser roscado o unido entre sí con un adhesivo. Los tubos de plástico se pueden especificar de la misma manera como tubo de acero forjado. En la Tabla A.1 Anexo 3, se especifican las características de tuberías de PVC.

200


FLORES, Jesús

Otro conducto circular convencional para el transporte de líquido se llama tubing. Los tubing ó cañerías de cobre se utilizan ampliamente en aplicaciones de fontanería e industria de bebidas (cervecería, vitivinícola, etc.), así como los tubing de acero inoxidable en aplicaciones de alta presión (fluidos supercríticos). Es importante diferenciar entre el tubing y la tubería; el primero tiene una pared mucho más delgada que los tubos. Además, no hay una manera completamente diferente de especificar un tubing. Para los tubing de cobre para agua, hay tres tipos –K, L, y M– y un número de tamaños estándar. Las dimensiones de tubing de cobre para ¼ estándar a 12 – estándar se proporcionan en la Tabla A.2 del Anexo. Una especificación adecuada para los tingns incluiría un tamaño estándar y tipo. Por ejemplo, un 1-estándar, tubo de cobre tipo K tiene un diámetro exterior de 2.858 cm (1.125 pulgadas) y un diámetro interior de 2.528 cm (0.08292 ft), de la Tabla A.2. La dimensión estándar fija el diámetro exterior, mientras que la de tipo especifica el espesor de la pared directa o indirectamente el diámetro interior. Otro tipo de tubing de uso común en refrigeración. Se especifica de la misma forma que el tubing de cobre que acabamos de discutir y también es generalmente de cobre. La diferencia es que el tubing de refrigeración es dúctil (de hecho, se dobla fácilmente a mano), pero el tubing de cobre del agua es bastante rígido. Los extremos de los tubing de cobre puede ser flameados o calentados con una herramienta para hacerlos adecuados para la unión, como se ilustra en la Fig. 5.6a. Otro método de unión es mediante el uso de un accesorio de compresión (Fig. 5.6b). El tubo se inserta a través de un anillo que es parte de la conexión. A medida que la tuerca de ajuste se aprieta, el anillo se comprime, haciendo que el tubo de cobre se expanda fuertemente con la pared interior de la conexión.

(a) (b) Figura 5.6 a) Extremo del tubo acampanado y montaje y b) Accesorio de compresión.

5.2.1 Diámetro Equivalente para Ductos no–Circulares En muchos sistemas de transporte de fluidos nos podemos encontrar con conductos de secciones transversales no circulares. Por ejemplo, las láminas de metal se doblan apropiadamente en sección transversal rectangular para su uso en conductos de calefacción o aire acondicionado. En intercambiadores de calor de doble tubo, se coloca dentro de un tubo de mayor uno de menor diámetro, y la sección anular (sección que esta limitada por los diámetros de ambas tuberías – anillos) por donde fluye el fluido. Recordemos por definición del número de Reynolds ( NRe  Dv   ) contiene una dimensión o longitud característica D que se utiliza para representar el área de flujo. La pregunta que se plantea es, ¿qué dimensión se considera para seleccionar rectangular, cuadrado, anular, o cualquier otra sección transversal no circular? Examinamos tres diferentes opciones que se han propuesto para modelar los flujos en conductos no circulares.

201


a.

La primera dimensión característica que se discute es el denominado diámetro efectivo, Deff . El diámetro efectivo es el diámetro de un conducto circular que tiene la misma área que el conducto no circular. Así, por ejemplo, considerar un conducto rectangular de sección transversal de dimensiones h (altura) w (ancho). Su superficie es h w , y estamos buscando el diámetro de un conducto circular que tiene la misma área:

 Deff2 4

 hw

(5.4)

Resolviendo se tiene, Deff  2

hw

(ductos rectangulares)



(5.5)

Una consecuencia de la definición de diámetro efectivo es que el caual a través del conducto no circular es igual que a través del tubo circular equivalente. De nuevo para el conducto rectangular, Q  A vˆ  hw vˆ 

 Deff2 4

vˆ

(5.6)

Por lo tanto, el diámetro efectivo es aquel que satisface la ecuación de continuidad. b.

La segunda dimensión característica que se discuten, se denomina diámetro hidráulico, Dh . El diámetro hidráulico se define como Dh 

4  área sección transversal de flujo del fluido perímetro del ducto en contacto con el fluido

(5.7)

Para sección transversal circular, con flujo completo, A   D 2 4 y Dh 

 D2 D D

(5.8)

diámetro de la tubería

P  4w . Por tanto,

Para flujo a través de una sección cuadrada, A  w2 y Dh 

4w2 w 4w

P   D . Así

(5.9)

longitud de un lado Sección anular

De

h

D Di

w

w

a) b) c) d) Figura 5.7 Secciones de tuberías: a) circular; b) anular; c) rectangular; y d) cuadrada

202


FLORES, Jesús

El diámetro hidráulico tambien puede ser determinado cuando el ducto está solo a lamitad de su diámetro. Para un ducto circular con flujo a lamitad de su capacidad, A   D 2 8 y P   D 2 . Así Dh 

 D2 2 D D 2

diámetro de la tubería

(5.10)

Históricamente, el diámetro hidráulico Dh se utiliza mucho más amplia que el Deff diámetro efectivo. El diámetro hidráulico surge de aplicar la ecuación de momento para el flujo en un conducto, que se ilustra en la siguiente sección. c.

Una tercera dimensión característica (utilizado principalmente en el modelamiento de flujo en canales abiertos) se llama el radio hidráulico Rh , definido como Rh 

área sección transversal de flujo del fluido perímetro del ducto en contacto con el fluido

(5.11)

Para una sección transversal circular que fluye completo, el radio hidráulico es Rh 

 D2 4 D  D 4

(5.12) Para un conducto circular, nos gustaría usar el diámetro D (no D 4 ) como la longitud característica, y de modo que el diámetro hidráulico Dh se prefiere al radio hidráulico en flujos de conducto cerrado. Así mismo, las pérdidas debido a la fricción es una función de parámetros geométricos denominados el “diámetro hidráulico”: Dh  4

donde,

A

A Wp

(5.13)

es el area de la seccion transversal de flujo y W p es el perímetro húmedo (esto

es, la longitud de contacto entre el fluido y el contorno del sólido en la sección de flujo). Para un tubo circular lleno, Dh  D (el diámetro de la tubería). El diámetro hidráulico es la característica geométrica clave para un conducto con una sección transversal de otra forma. 5.2.1.1

Flujo Laminar

Mediante integración de la ecuaciones de momento microscópico o aplicando un balance de momento a un “slug” de fluido en el centro del conducto tal como se realiza para el flujo através de un tubo circular, se determina una relación entre el caudal y las fuerzas directoras para flujo laminar en un conducto con una sección transversal no-circular. El resultado es equivalente a la ecuacion de Hagen – Poiseuille para un tubo circular y están dadas en forma dimensional y adimensional. 5.2.1.1.1 Flujo Através de una Abertura 203


El flujo entre dos platos planos paralelos limitados por un espacio (h  W ) tal como se muestra en la Fig. 5.7. El diámtro hidráulico para esta geometría es Dh  4

A  2h Wp

(5.14)

y la solución para un fluido Newtoniano en flujo laminar es 2, Q

D Wh3 12  L

(5.15) D

h Q

L

Figura 5.7 Flujo através de un abertura

Esto puede reordenarse e una forma equivalente de la forma f NRe , h  24

(5.16)

donde

Dh v

NRe, h 





DhQ A

(5.17)

Así mismo, A  Wh , y el factor de fricción de Fanning es, por definición,

f 

ef  v   4L      2   Dh  2



D   v 2   4L      2   Dh 

(5.18)

por que la Ecuación de Bernoulli se reduce a e f  D  para este sistema. 5.2.1.1.2 Flujo en forma de Film El flujo através de una película deldaga en un plano inclinado se ilustra en la Fig. 5.8. El espesor de la película es h  W , y el plato esta inclinado en un ángulo  respecto a la vertical.

Figura 5.8 Flujo en un film

2

donde,

  P   gz , 204


FLORES, Jesús

Para este flujo el diámetro hidráulico está expresado por la Ec. (3.19), debido a que solamente un contorno en la sección transversal de superficie está en contacto con la humedad, Dh  4h

(5.19)

La solución para flujo laminar y fluido Newtoniano es Q

D h3W  gh3W cos   3 L 3

(5.20)

La forma adimensional de esta ecuación es f NRe , h  24

(5.21)

donde, el número de Reynolds y el factor de fricción están dados por las Ecs. (5.17) y (5.18), respectivamente. 5.2.1.1.3 Flujo Anular El flujo axial en ánulo entre dos cilindros concéntricos, está ilustrada en la Fig. 5.9, que frecuentemente se encuentra en intercambiadores de calor. Para esta geometría el diámetro hidráulico es Dh   Do  Di 

(5.22)

la solución de flujo laminar para un fluido Newtoniano es

D   Do2  Di2   2 Do2  Di2  2 Q  Do  Di   128  L ln  Do Di    (5.23)

Figura 5.9 Flujo através de sección anular

La forma dimensional de esta expresión es f NRe , h  16 

(5.24)

donde,



 Do  Di  Do2  Di2 

2

Do2  Di2 ln  Do Di  205


Podemos mostrar que Di Do  0,   1 y el flujo aproximado para un tubo circular. Por tanto, como Di Do  1,   1.5 y el flujo aproximado para una apertura. Cuadro 5.2 Factores de flujo laminar para conductos no circulares A   D2 4

D

f NRe , h  16

Dh  D

Círculo

D

A  D2

D

f NRe , h  14.2

Dh  D

Cuadrado

A  1 2   d 2 sin   

Dh 

Triángulo isóceles

d sin  1  sin  2 

A  Dd

D d

Dh  2 Dd  D  d  f NRe , h 

Rectángulo

16 2 3  11 24  d D  2  d D 

  grado 

f N Re , h

10 30 45 60

12.5 13.1 13.3 13.3

90 120 150

13.2 12.7 12.5

D d

f NRe , h

1 2

14.2 15.8

5

19.2

10

21.1

A   dD 2D 2d

Eclipse

Dh 

4dD  64  16c 2 

 d  D   64  3c  c   D  d   D  d  para

f NRe , h 

2

2dD

Dh 

 d  D   d 2  D 2 1 2    D   tan 1   d



D

Triángulo rectángulo

D2 d 2

0.1  D d  10

A  dD 2 d

2Dh2  D2  d 2 



f N Re , h

10 30 45 60 70 90

12.5 13.0 13.2 13.0 12.8 12.0

Fuente:

El valor de f N para flujo laminar varía solamente por un factor cercano de 50% para una gran variedad de geometrías. Este valor ha sido determinado para un fluido Newtoniano en varias geometrías, y el resultado se resume en el Cuadro 5.2. Esta tabla da expresiones para áreas de secciones transversales y diámetros hidráulicos para seis diferentes conductos geométricos y los valores correspondientes de f N , las Re,h

Re,h

soluciones adimensionales para flujo laminar. El rango total de valor para f N para estas geometrías es aproximadamente 12 – 24. Así, para una geometría arbitraria, la Re,h

206


FLORES, Jesús

expresión adimensional f N 18 proporciona una solución aproximada para un flujo completamente desarrollado, con un error de aproximadamente 30 % o menor. Re,h

5.2.1.2

Flujos Turbulento

Los efectos de la geometría en el campo de flujo es mucho menor para flujo turbulento respecto al flujo laminar. Esto, por que la mayoría de la energía disipada (es decir, resistencia al flujo) ocurre en la capa límite; en flujo turbulento típico, ocupa una fracción relativamente pequeña del total de campo de flujo cerca del contorno. En contraste, en flujo laminar la “capa límite” ocupa todo el campo de flujo. Así, está influenciada por la resistencia de flujo através de la superficie total de contacto del fluido en flujo turbulento, y la forma actual de la superficie no es tan importante. Consecuentemente, el diámetro hidráulico proporciona una caracterización uniforme del efecto de la geometría para conductos no circulares en flujos turbulentos. Las relaciones desarrolladas para flujos turbulentos en tubos circulares pueden ser aplicadas directamente a los conductos de sección transversal no circular simplemente mediante la sustitución del diámetro del tubo por el diámetro hidráulico. La precisión de este procedimiento aumenta con el incremento del número de Reynolds, porque cuanto mayor sea el número de Reynolds mayor es la intensidad de la turbulencia y más delgada es la capa límite. Es importante utilizar la sustitución diámetro hidráulico ( ( D  Dh ) en forma apropiada (original) en los grupos adimensionales [por ejemplo, NRe  Dv   , f  eˆ f

 2Lv D  y 2

no una forma que ha sido adaptado para tubos circulares (por ejemplo, NRe  4Q  D . La modificación adecuada del número de Reynolds para un conducto no circular es Dh v   , no 4Q  Dh  . Una pista de que el grupo adimensional es la forma incorrecta de un conducto no circular es la presencia de  , que normalmente se asocia sólo con geometrías circulares. Por lo tanto, los grupos adimensionales apropiadas para flujo a través de tubo pueden ser modificados para geometrías no circulares de la siguiente manera: N Re, h 

f 



e f Dh 2Lv

N Re 

fN

Dh v 

2 Re, h

2



N Re, h

 Dh



4Q  Wp 

2e f  A3  LQ2  Wp 

(5.25)

  

(5.26)

Dh2Q 16Q  A      A   Wp2 

32 eˆ f  2  A   L 2  W p

(5.27)

3

 eˆ f  2 Dh3   2 L 2 

207

(5.28)


fN

5 Re, h

2048 eˆ f Q3  5  A   2 L 5  Wp

  

3

(5.29)

La expresión para tubo circular para f y N Re puede transformarse en una expresión equivalente para conductos no circulares por la sustitución,

 5.3

Wp Dh

4

2 A 1  Wp     Dh2 4  A 

(5.30)

Relaciones Generales para Flujo a Través de Tuberías

Para el flujo de un fluido uniforme y completamente desarrollado através de una tubería (o algún ducto) en estado estacionario, las ecuaciones de conservación de energía, masa y momento pueden ser establecidas en forma específica para análisis de problemas de transporte de fluidos. Estas expresiones son válidas para fluidos Newtonianos y no– Newtonianos, y régimen de flujo laminar y turbulento. 5.3.1 Balance de Energía Considere una seccion cilíndrica uniforme de tubería de longitud L y radio R, inclinado con un ángulo  respecto a la horizontal, tal como se muestra en la Fig. 5.10. Aplicando balance de energía en estado estacionario (ecuación de Bernoulli) al flujo de un fluido incompresible por una tubería uniforme puede escribirse, según [Ec. (4.39)], D



 eˆ f  K f

v2 2

(5.31)

donde,   P   gz , K f  4 f L D y f , es el factor de fricción de Fanning. K f , pérdida de energía debido a la friccion en tubería recta de sección circular. En la Ec. (5.31), aún no está considerado las pérdidas secundarias en el sistema debido a los accesorios e instrumentos. P = P2 Z=L P = P1 Z=0 R

Z2

r x

vx



Z1

Figura 5.10 Flujo através detubería de secciób circular de radio R.

5.3.2 Balance de Momento El balance de momento para un volumen cilíndrico de fluido de radio r , longitud L, centrado en la línea central (ver Fig. 5.10), es como sigue:

F

x

  P1  P2   r 2   r 2 L  g sin   2  rL  rx  0

(5.32)

donde,  rx es la fuerza en la dirección x que actúa sobre la superficie r del fluido. Despejando, se tiene 208


 rx 

D r r   w 2L R

FLORES, Jesús

 rx r  w R

ó

(5.33)

donde, D  DP   gL sin   DP   g Dz y  w es el esfuerzo cortante ejercido por el fluido en la pared interior de la tubería. Notar que la Ec. (5.33) también se puede derivarse de la integración del componente axial de la ecuación de balance microscópico de momento en coordenadas cilíndricas en tuberías de sección circular (ver Bird S., 2002). La Ec. (5.33) es equivalente a la Ec. (5.31), así como a la Ec. (4.47); por consiguiente f 

w 1   v2  2



Kf



L 4  D

eˆ f 2  L  v  4    D  2 



hf 2  L  v  4    D   2g 



DPf 2  L  v  4     D  2 

(5.34)

Observe que de la Ec. (5.33) el esfuerzo cortante es negtivo (por consiguiente, el fluido a la salida del sistema cilíndrico de radio r está en movimiento mas lento que dentro del sistema y el fluido ejerce una fuerza en la dirección  x en el sistema, limitado por la superficie de radio r . Por consiguiente, la tensión de cizallamiento en la pared ( w ) está definido como la fuerza ejercida en la dirección  x por el fluido en la pared. 5.3.2.1

Caída de Presión

De la ecuación (5.34), considerando tubería horizontal, D  DP   gL sin   DPf , w 

R  DPf  D  DPf      2 L  4 L 

(5.35)

Despejanto la caída de presión, 2  L   v  L DPf  4 f      4 w    D  2  D

(5.36)

Ecuación básica para calcular la caída de presión friccional, válido para todo los tipos de fluido y régimen (laminar y turbulento). 5.3.3 Balance de Continuidad La continuidad proporciona una relación entre el flujo volumétrico o caudal volumétrico (Q) que pasa através de una sección transversal dada de tubería y la velocidad local ( v x )

 1

 Q  

13

1 vx 2dA   3 A



R



2rvx dr   vx dr 2

0

(5.37)

A

Integrando por partes, se obtene:

Q   vx d  r 2    r 2 dvr  

 A

 A



R

0

 dv  r 2   x  dr  dr 

209

(5.38)


Así, si la dependencia radial de la velocidad de deformación  dvx dr  ó  conocida o puede ser hallado, el caudal puede determinarse directamente utilizando la Ec. (5.38). 5.3.4 Disipación de Energía El flujo de un fluido a través de tuberías proporciona una consideración adicional, la velocidad de disipación de la energía por unidad de volumen del fluido. En general, esta velocidad de energía (o potencia) expedida en un sistema sujeto a una fuerza F y movimiento a velocidad v es simplemente F  v . El cual hace referencia a un “simple esfuerzo de deformación” ó tensión cortante, mostrada en la Fig. 5.2, la correspondiente velocidad de disipación de energía por unidad de volumen de fluido es F  v Ah   dvx dy . Esto puede ser generalizado por algún sistema como: e f  e f m  e f Q 

  : v dV

(5.39)

vol

donde,  ha sido definida anterirmente y V es el volumen del fluido en la tubería. El operador “:”, representa el producto escalar de dos diadas. Así, la integración de la velocidad local de la disipación de energía através del volumen de flujo, en concordancia con la ecuación de Bernoulli, que relaciona la disipación de energía por unidad de masa ( e f ) para la fuerza direccional ( D ), puede usarse para determinar la velocidad de flujo. Todas las ecuaciones en este punto son generales, por que se aplican a fluidos Newtonianos y no–Newtonianos, y regímenes de flujo (laminar o turbulento), flujo completamente desarrollados en un tubo cilíndrico uniforme con alguna orientación. En las siguientes secciones ilustramos la aplicación de estas relaciones a flujo laminar en una tubería. 5.4

Pérdida de Carga debido a la Fricción en Tuberías – Fluidos Newtonianos

5.4.1 Flujo Laminar Para un fluido Newtoniano en flujo laminar,  dvx    dr 

 rx    

ó 

dvx  rx  dr 

(5.40)

Cuando la gradiente de velocidad de la Ec. (5.40) es sustituida en la Ec. (5.38) y (5.33), el caudal através del ducto en función del radio r, es Q  



R

0

r2

dvx  dr   dr 



R

r 2 rx dr 

0

 w R



R

r 3 dr

(5.41)

0

ó Q

  w R3  D R 4  D D 4   4 8 L 128  L

Esta ecuación es conocida como la Ecuación de Hagen–Poiseuille.

210

(5.42)


FLORES, Jesús

Este resultado también puede derivarse del balance microscópico de momento y masa para el fluido que fluye através de la tubería y la ecuación de Newton de la viscosidad, Ec. (5.40) e integrando para obtener el perfil de velocidad.

vx ( r ) 

2 wR   r   1     2   R  

(5.43)

Insertando esta ecuacion en la Ec. (5.14) e integrando atraves de la sección transversal del tubo, se obtiene una expresión similar a la Ec. (5.43) para la velocidad de flujo volumétrico. Otro mecanismo, es el uso de la ecuación de Bernoulli, Ec. (5.31) y la Ec. (5.39) para el término de la caída por la fricción específica, eˆ f . La intergral en la ecuación anterior es evaluada de manera similar a la Ec. (5.41). Eliminando eˆ f entre Ec. (5.39) y la ecuación de Bernoulli, Ec. (5.31), haciendo  eˆ f  D , se obtiene



eˆ f  e f  Q  D Q   : v dV  L





R

0

 2 r dr 

dv

0

vol

2 L eˆ f 

  dr 2 r dr R

2 w2  R2



R

0

 L R 2 w2   D  D4  2 128 L 2

r 3 dr 

(5.44)

Si el esfuerzo cortante en la pared (  w ) en la Ec. (5.42), expresada en términos del factor de fricción de Fanning (  w  f  v 2 2 ) y el resultado resuelto en término de f, la forma adimensional de la ecuación de Hagen–Poiseuille, resulta f 

4 D 16 16   Q Dv  N Re

(5.45)

Esta expression puede determinarse mediante análisis dimensional, tal como se ha efectuado en el Cap. II, mostrando que para el flujo laminar completamente desarrollado de un fluido Newtoniano en un tubo cilíndrico puede ser caracterizada por un simple grupo dimensional que es equivalente al producto f NRe . Desde que se tiene una variable adimensional, los grupos pueden ser las mismas para tales flujos. Podemos demostrar desde los principios básicos que el valor 16 de la Ec. (5.45) es válido para N Re  2000 , corroborado con datos experimentales. Debemos enfatizar que estos resultados son aplicables solo para flujo “completamente desarrollado”. Por consiguiente, si el fluido ingresa a la tubería con un distribución de velocidad uniforme (“plug”), se requiere una longitud de entrada ( Le ) hidrodinámica mínima para el perfil de velocidad de flujo parabólico donde la gradiente de presión debe ser uniforme. Se puede demostrar que esta “longitud hidrodinámica de entrada” (adimensional) es aproximadamente Le D  N Re 20 . Oras correlaciones para calcular el factor de fricción cuando el fluido fluye através de tubos lisos, siendo: 211


Ecuación de Blasius, válido para 2000  N Re  1 105 y tubería lisas (smooth pipes): f 

0.0791 N Re 0.25

(5.46)

De manera similar la Ecuación de Drew, para Reynolds desde 3000  N Re  3  106 f  0.00140 

0.125 N Re 0.32

(5.47)

Ejemplo 5.4 Régimen de flujo y pérdida de carga debido a la fricción para flujo laminar En un equipo de laboratorio tipo Reynolds tal como se observa en la Fig. 5.4.1, se hace fluir agua a distintos caudales a través de una tubería de vidrio cuyo diámetro interno es de 10 mm, midiéndose la caída de presión en un manómetro diferencial cuyo fluido manométrico es el tetracloruro de carbono, y los datos se dan en el cuadro 5.4.1.

Figura 5.4.1 Módulo de laboratorio tipo Reynolds. (Laboratorio operații unitare în industria chimică, UBB-Cluj Napocă, Romania)

Cuadro 5.4.1 Datos exprimentales para régimen de flujo (Lab. Procesos) Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Caudal (mL/s)

DH (mmCCl4)

6.0 11.5 13.5 21.0 22.0 27.5 31.5 36.5 39.5 40.0

10 15 17 32 35 55 70 100 115 120

212


FLORES, Jesús

Solución. Del anexo A.2, las propiedades físicas del agua y tetracloruro de carbono, a temperatura de trabajo 20 °C, son: Agua,   996.29 Kg m3 ,   0.00103 Pa  s ; tetracloruro de carbono,

 M  1592.62 Kg m3 . Así mismo, las propiedades físicas y mecánicas del tubo de vidrio, Do  10 mm; L  1.35m;   0.0015 mm . Utilizando las ecuaciones de continuidad, se calcula la velocidad promedio de flujo del agua a través de la sección de área transversal del tuvo de vidrio, por tanto Q  vA;

v

v

4Q  D2

4  0.000006 m3 s 3.1416   0.01 m2 2

 0.076394 m s

Con este valor se calcula el régimen de flujo, utilizando la ecuación de Reynolds,

N Re  N Re 

Dv 

 0.01 m  0.076394 m s  996.29 Kg m3  736.64291 0.00103 Kg ms

Por consiguiente, a este caudal el agua fluye en régimen laminar. A estas condiciones, experimentalmente, la caída de presión en una sección longitudinal de 1.35 m, se mide con al manómetro diferencial, por tanto,

DPf  g  M    DhM DPf  9.8067 m s 2  1592.62  996.29  Kg m3  0.01 mCCl4 DPf  58.480Pa  58.480 Kg m s 2 Cuadro 5.4.2 Factor de fricción experimental Caudal

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

DH M

Velocidad

N Re

N° mL/s

m3/s

m/s

6.0 11.5 13.5 21.0 22.0 27.5 31.5 36.5 39.5 40.0

0.000006 0.000012 0.000014 0.000021 0.000022 0.000028 0.000032 0.000037 0.000040 0.000040

0.0764 0.1464 0.1719 0.2674 0.2801 0.3501 0.4011 0.4647 0.5029 0.5093

736.64 1411.90 1657.45 2578.26 2701.03 3376.29 3867.38 4481.25 4849.58 4910.96

mm CCl4 10 15 17 32 35 55 70 100 115 120

213

m CCl4 0.010 0.015 0.017 0.032 0.035 0.055 0.070 0.100 0.115 0.120

DPf

f exp

Regimul flujo

0.0373 0.0152 0.0125 0.0097 0.0097 0.0098 0.0095 0.0101 0.0099 0.0101

laminar laminar laminar Trans Trans Trans Trans Trans Trans Trans

Pa 58.480 87.720 99.416 187.136 204.680 321.640 409.360 584.800 672.521 701.761


Cálculo de factor de fricción de Fanning ( f F ), con los datos exerimentales,

fF 

fF 

DPf 2  L  v  4     D  2 

58.480 Kg ms 2 2 0.076394 m s    1.35 m   3 4   996.2896 Kg m  2  0.01 m  

   

f F  0.03725097

El el Cuadro 5.4.2, se resume para todos los datos experimentales, en el rango de regimen de flujo laminar a transitorio: 736.64  NRe  4910.96 . Así mismo, estos datos se comparan con los calculados con las ecuaciones (5.45 a 5.47) de Hagen – Piseuille, Blausius y Dew, respectivamente, y sus desviaciones correspondientes. En el Cuadro 5.4.3, se proporcionan los datos correpondientes. Hagen – Piseuille N°

N Re

f exp

Obs.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

736.64 1411.90 1657.45 2578.26 2701.03 3376.29 3867.38 4481.25 4849.58 4910.96

0.0373 0.0152 0.0125 0.0097 0.0097 0.0098 0.0095 0.0101 0.0099 0.0101

Lam Lam Lam Trans Trans Trans Trans Trans Trans Trans

fF

% Error

0.02172 0.01133 0.00965

71.72 34.13 29.48

Blausius

Drew

fF

% Error

fF

% Error

0.01110 0.01097 0.01038 0.01003 0.00967 0.00948 0.00945

12.61 11.59 5.56 5.29 4.47 4.44 6.88

0.02412 0.02397 0.02329 0.02289 0.00248 0.02227 0.02224

59.78 59.53 57.91 58.49 55.07 55.54 54.57

Dado que las desviaciones son altas, con los datos experimentales y calculados de factor de fricción para el regimen de flujo transitorio, se plantea un modelo del tipo Blausius y Drew ajustando para determiner los coficientes de modelo, siendo,

fF  A 

B

 NRe 

C

214


FLORES, Jesús

5.4.2 Flujo Turbulento Como se ha indicado, si el número de Reynolds en el tubo es mayor que 2000, el régimen de flujo deja de ser laminar. Debido a que los elementos del fluido en contacto con el contorno de la tubería es estacionaria, la velocidad incrementa de cero en el contorno al un valor máximo en algún punto desde el contorno. Para flujo uniforme en un ducto simétrico, la máxima velocidad ocurre en la línea central del ducto. La región de flujo en el cual varia la velocidad con la distancia desde el contorno se denomina capa límite y es ilustrada en la Figura 5.11. 5.4.2.1

Capa Límite

Debido a que el flujo de velocidad en la superficie interior de la tubería es cero, podemos indicar que en la región adyacente a la superficie es laminar. Esto se llama sub–capa laminar y es designada por  L en la Fig. 5.11. Observe que si el N Re  2000 el flujo es laminar y  L  R . El contorno de la capa turbulento ( T ) incluye la región en la vecindad de la pared en el cual el flujo es turbulento y la velocidad varía con la distancia desde la pared (y).

Figura 5.11 Capa límite en flujo de fluido

Más allá de esta región el líquido está completamente mezclado al que se le denominó núcleo turbulento, y la velocidad es independiente de y. La transición desde la subcapa laminar a la capa límite turbulenta es gradual, no abrupto, y la región de transición se denomina la zona de amortiguamiento. 5.4.2.2

Flux de Momento Turbulento

El campo de velocidad donde el flujo es turbulento, podemos describir una velocidad “media” local (o promediado en el tiempo) sobre la que se superpone una componente de fluctuación dependiente del tiempo. Incluso en flujo “unidimensional”, en el que la velocidad global promedio sólo tiene un componente direccional (como se ilustra en la Fig. 5.11), los remolinos turbulentos tienen una estructura tridimensional. Así, para el flujo que se ilustra en la Figura 5.11, los componentes locales de velocidad son vx  y, t   vx  y   vx'  y, t  v y  y, t   0  v 'y  y, t 

(5.48)

vz  y, t   0  vz'  y, t 

La velocidad promedio temporal ( v ) obviamente tiene cero componentes en y y z, pero los componentes de la velocidad de remolino son distintos de cero en las tres direcciones. La velocidad de tiempo promedio está definido como

vx 

1 T

 v dt T

(5.49a)

x

0

215


asi, que



T

vv' dt  0

(5.49b)

0

El promedio en la ecuación. (5.49a) se toma durante un tiempo T que es lapso de comparación con el período de la fluctuación del remolino. Ahora el momento del transporte de remolino y el correspondiente componente de flux de momento son equivalentes al (negativo) componentes del esfuerzo cortante:

 xx'     vx' 

2

 xy'    vx' v 'y

 yx'   xy'

 yy'     v 'y 

 zx'   xz'

 zy'   yz'

 xz'    vx' vz' 2

 yz'    v 'y vz'  zz'     vz' 

(5.50)

2

Estos componentes del “flux de momento turbulento” también se denominan tensiones de Reynolds. Por lo tanto, la tensión total en un fluido Newtoniano en flujo turbulento se compone tanto de tensión viscosa y turbulenta (Reynolds):

 v v j   ij    i    vi' v'j  x x  i   j

(5.51)

Aunque la Ec. (5.51) se puede utilizar para eliminar los componentes de la tensión de las ecuaciones microscópicas de movimiento, una solución para el campo de flujo turbulento todavía no se puede conseguir a menos que alguna información acerca de la dependencia espacial y la estructura de las velocidades de remolino o tensiones turbulentos (Reynolds) se conozcan. Un modelo clásico (simplificado) para los esfuerzos turbulentos, atribuido a Prandtl, se resume en la siguiente subsección. 5.4.2.3

Teoría de la Longitud de Mezcla

Remolinos turbulentos (con componentes de velocidad vx' , v'y , vz' ) continuamente se generan, se incrementan y también van extinguiendo. Durante este proceso, se produce un intercambio de momento entre los remolinos y el flujo medio. Teniendo en cuenta un campo turbulento de dos dimensiones cerca de una pared lisa, Prandtl asume que vx'  v'y (aproximación bruta) de modo que

 yx'    vx' v'y     vx' 

2

(5.52)

Se supone también que, cada remolino se mueve a una distancia l (“longitud de mezcla”) durante el tiempo que tarda en intercambiar su impulso con el caudal medio, vx' l

dvx dy

(5.53)

Usando la Ec. (5.53) para eliminar la velocidad de remolino desde la Ec. (5.52), se tiene,

216


 yx'  c

FLORES, Jesús

dvx dy

(5.54)

donde, c   l 2

dvx dy

(5.55)

se denomina viscosidad de remolino. Tenga en cuenta que la viscosidad de remolino no es una propiedad del fluido, es una función de las características del remolino (por ejemplo, la longitud de mezcla o el grado de turbulencia) y el gradiente de velocidad media. La propiedad del fluido sólo involucra la densidad, ya que el transporte turbulento de momento es por el efecto inercial (es decir, dominada por la masa). Desde que en la pared, la turbulencia es cero, Prandtl supone además que la longitud de mezcla debe ser proporcional a la distancia de la pared, es decir, l y

(5.56)

Debido a que estas relaciones se aplican únicamente en la proximidad de la pared, Prandtl, también supone la tensión de la corriente en torbellino (Reynolds) debe ser del mismo orden que la tensión de la pared, es decir,  dvx    dy 

2

 yx'   w    2 y 2 

(5.57)

La integración de la Ec. (5.57) a través de la capa límite turbulenta (desde y1 , el borde de la capa, a y ) da, 1 w    ln y  C1    12

vx 

(5.58)

Esta ecuación se denomina ecuación de von Karman (algunas veces, la “ley de la pared”), y se puede escribir en la forma adimensional siguiente

1 v   ln y   A 

(5.59)

donde v 

vx v  x vx V

2 f

y 

yv* 





yV 



f 2

(5.60)

El término v* 

w V 

f 2

(5.61)

se llama velocidad de fricción, debido a que es un parámetro de esfuerzo de la pared con dimensiones de la velocidad. Los parámetros  y A en la ecuación de von Karman han sido determinados a partir de datos experimentales en fluidos Newtonianos en tuberías lisas para,   0.4 y A  5.5 . La ecuación (5.59) se aplica sólo en la capa límite turbulenta 217


(fuera de la región tampón), que se ha encontrado empíricamente que corresponden a y   26 . En la subcapa laminar los remolinos turbulentos son insignificantes, por lo que

 yx   w  

dv dy

(5.62)

La correspondiente forma dimensional de esta ecuacion es, dv  1 dy 

(5.63)

v  y

(5.64)

ó

La Ec. (5.64) se aplica a la region de subcapa laminar en un fluido Newtoniano, para el cual se ha determinado que 0  y   5 . La región intermedia, ó “zona tampón”, entre la subcapa laminar y la capa límite turbulenta puede ser representada por una ecuación empírica v   3.05  5.0 ln y 

(5.65)

el cual es aplicabloe para 5  y   26 . 5.4.2.4

Pérdidad de Fricción en Tubos Lisos

Para fluidos Newtonianos que fluyen através de tuberías lisas, estas ecuaciones pueden se integradas sobre la sección transversal del tubo para dar una velocidad promedio del fluido, por tanto, V 

2 R2



R

vx r dr  2v*

0

v 1



1  x 

dx

(5.66)

0

donde, x  y R  1  r R . Si la ecuación de von Karman, Ec. (5.59) para v  is introducida en esta ecuación y no se consideran las subcapas laminares y zonas tampón, la integral puede ser evaluada y el resultado resuelto para 1 f , dando 1 f



 4.1 log N Re



f  0.60

(5.67)

De observaciones experimentales para flujo através de tubos lisos, las constantes en esta ecuacion fueron modificadas por Nikuradse, por consiguiente 1 f



 4.1 log N Re



f  0.40

(5.68)

La Ec. (5.68) es conocido como ecuacion de von Karman–Nikuradse, la misma que ajusta muy bien a las observaciones para pérdidas de fricción en tuberías lisas en el rango 5  103  N Re  5  106 . Esta ecuación ajusta muy bien los datos experimentales, y su 218


FLORES, Jesús

solución requiere la implementación de un método iterativo por ser implícita en f , tal como se muestra en el Anexo A3. Una ecuación alternative para tuberías lisas ha sido derivada por Blasius basado en las observaciones de que el perfil de velocidad media 1

  r  7 vx  vmax 1       R 

(5.69)

Una expresión correspondiente para el factor de fricción puede ser derivada escribiendo esta expresión en forma adimensional y sustituyendo en la Ec. (5.39). Evaluando la integral y resolviendo para f, se tiene f 

0.0791 N R e1 4

(5.70)

Esta ecuación representa el factor de fricción para fluidos Newtonianos en tubos lisos en el rango de número de Reynolds desde 5000 a 10 5. La teoría de longitud de mezcla de Prandtl y la ecuación de von Karman y Blasius están referidos como modelos “semi– empíricos” cuyos parámetros son evaluadas de datos experimentales. Así mismo, el factor de fricción de Fanning, f F , para flujo turbulento de un fluido incompresible en tuberías lisas puede expresarse como (Loney N. W., 2007). 2 1   ln  N Re f k 

f 8

   B  A 

(5.71)

donde, A, B y k, son constantes, N Re es el número de Reynolds. 5.4.2.5

Pérdidas por Fricción en Tubos Rugosos

Todos los modelos para flujos turbulentos son de naturaleza semi–empírica, por consiguiente, para su evaluación son necesarias observaciones empíricas (datos experimentales) así como para cuantificar la descripción de las pérdidas por fricción para tales flujos. Para fluidos Newtonianos que fluyen através de tuberías extensas, se ha demostrado desde el análisis dimensional que el factor de fricción podría es una función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa de la pared del tubo. Ese resultado ha sido utilizada para correlacionar un gran número de datos para diversos rangos de tamaño de tubería, con una gran variedad de fluidos, y para un gran rango de velocidades de flujo en términos de una gráfica generalizada de f versus N Re , con  D como parámetros. Esta correlación se denomina “Diagrama de Moody”, y se presenta en la Fig. (5.12). La region laminar ( N Re  2000 ) está descrita por la ecuacion teórica de Hagen– poiseuille, el cual es graficada en la Fig. (5.12). En esta región, solamente las propiedades del fluido influencian la pérdida por fricción, como la viscosidad (la influencia de la densidad es mínima). Así mismo, el efecto de las rugosidades es mínima en flujo laminar. En la “zona crítica”, rango de transición de flujo laminar al turbulento, donde los valores del N Re varían de 2000 a 4000. Los datos no son muy reproducibles en este rango, y las correlaciones son dispersas. En la Fig. (5.12), la zona de transición es la región donde el 219


factor de fricción depende fuertemente del Número de Reynolds y la rugosidad relativa. La región superior derecho del diagrama del Fanning, donde las líneas de rugosidad constante son horizontales se denominan “completa tubulencia, tubos rugosos” ó “completamente turbulento”. En esta región el factor de fricción es independiente del número de Reynolds (por consiguiente es independiente de la viscosidad) y es una función sólo de la rugosidad relativa. Para flujo turbulento através de tubos lisos, los modelos semi–empíricos de Prandtl–von Karman/Hikuradse representan adecuadamente el factor de fricción. Por otro lado, un tubo es hidraúlicamente “liso” ó “rugoso” depende de los elementos relativos del tamaño de la rugosidad de la pared al espesor de la subcapa laminar. Por que, el flujo laminar es estable, si el flujo es perturbado por los elementos rugosos en la región laminar, las perturbaciones podrían decaer a la salida y podrían no afectar el resto del campo de flujo. Sin embargo, si los elementos rugosos sobresalen a través de la subcapa laminar en la región turbulenta, que es inestable, crecerá la perturbación, mejorando así las tensiones de Reynolds y por consiguiente, la disipación de energía o pérdida de fricción. Debido a que el grosor de la subcapa laminar disminuye a medida que aumenta el número de Reynolds, un tubo con una rugosidad dada puede ser hidráulicamente liso en un número de Reynolds inferior, pero hidráulicamente áspero a un alto número de Reynolds.

220


FLORES, Jesús

Figura 5.10 Diagrama de Moody

221


Para tubos completamente rugosos (por encima de la línea de ruptura en el diagrama de Moody) f , está dado por: 1 f

D  4.06 log  i  

   2.16 

(5.71)

Así mismo, una correlación ampliamente utilizada es la dada por Haaland (1983):   1.11 6.9    3.6 log    N Re  f  3.7 Di  

1

(5.72)

Esta ecuación tiene la ventaja de que f está en forma explícita y da una adecuada exactitud en un amplio rango de flujo turbulento. Para tubos rugosos en flujo turbulento ( N Re  2000 ), la ecuación de von Karman ha sido modificado por Colebrook incluyendo los efectos de la rugosidad de la pared del tubo, según la siguiente ecuación,

  D 1.255  4log   f  3.7 N Re f

1

  

(5.73)

El término N Re está, definido por, N Re

 eˆ f D3  2 f   2 L 2 

12

  

(5.74)

el cual es independiente de la velocidad o razón de flujo. En la Ec. (5.73), f , está implícitamente expresado en ambos lados de la ecuación, por consiguiente en el Anexo A3 se presenta un algoritmo numérico para su solución por el Método de Newton. En la región de flujo “completamente turbulento”, f es independiente de N Re , así que la ecuación de Colebrook se reduce a   1 f    4 log 3.7   D      

2

(5.75)

Lo mismo que para flujo laminar, se requiere una mínima longitud hidrodinámica de entrada ( Le ) para que el perfil de flujo sea completamente desarrollada en flujo turbulento. Esta longitud depende de la naturaleza de las condiciones de flujo y la entrada del tubo, pudiéndose mostrar que está en el orden de Le D  0.623 N Re 0.25 . Por ejemplo, si N Re  50000 luego Le D  10 (aproximadamente). 5.4.2.6

Rugosidad de las paredes

El tamaño actual de los elementos rugosos en la pared del conducto, obviamente varía de un tipo de material a otro, con el tiempo de uso, y con la cantidad de “sarro” ó 222


FLORES, Jesús

incrustaciones, escala, etc. Los valores característicos de las rugosidades de la pared han sido determinados para varios materiales, tal como se muestra en la Cuadro 5.3. El material más común en la construcción de tuberías, son el acero negro, acero colado, y acero inoxidable, para los cuales se han determinado que las rugosidades efectivas están en el orden de 0.045 mm (0.0018 pulg.). Otras superficies, tales como el contreto, la rugosidad pueden variar muchísimo según la naturaleza del acabado en su superficie. Estos valores de las rugosidades no son directamente medidos, pero son determinados indirectamente. Estudios iniciales llevados a cabo por Nikuradse en conductos con superficies artificialamente modificadas y diferentes rugisidades (tamaños definidos de granos en la superficie), a servido para establecer la relación entre el N Re y f, las que han sido graficadas en curvas con varios valores de  D , tal como se muestra en el diagrama de Moody. El factor de rugosidad equivalente (  D ) para otros materiales son determinadas de similares medidas en conductos hechos de ese material, mediante la gráfica de datos en el diagrama de Moody y comparando los resultados con le curvas de referencia (o usando la ecuación de Colebrook). 5.4.3 Todos los Regímenes de Flujo La expresióm para el factor de fricción para flujo laminar y turbulento puede ser combinada en una simple relación, como la desarrollada por Churchill,

 8 12  1  f  2    32  N Re   A  B  

1 12

(5.76)

donde

   1  A   2.457 ln    7 N 0.9  0.27 D   Re  

16

(5.77a)

y 16

 37.530  B   N Re 

(5.77b)

La Ec. (5.76) representa adecuadamente el factor de friccion de Fanning en todo el rango de número de Reynold con una exactitud de los datos usados para construir el diagrama de Moody, incluyendo una razonable estimación para la región intermedia o de transición entre los regímenes de flujo laminar a turbulento. Observe que la Ec. (5.76) es explícito en f.

223


Cuadro 5.3 Rugosidad equivalente de varias superficies Material

Condición

Latón, cobre y acero

Nuevo Nuevo

Acero comercial

Ligeramente corroido Generalmente corroido Forjado, Nuevo Fundido, nuevo

Hierro Galvanizado Asfalto- recuvierto Ductos Juntas lisas Muy lisos

Chapa de metal

Wood floated, cepillado

Concreto

Duro, marcas de forma visible Madera

Usado

Vidrio o plástico

Tubing estirado Tubing alisado

Jebe Reforzaso contra fuego

Rango de Rugosidad 0.01–0.0015 mm (0.0004–0.00006 pulg) 0.1–0.02 mm (0.004–0.0008 pulg) 1.0–0.15 mm (0.04–0.006 pulg) 3.0–1.0 mm (0.1–0.04 pulg) 0.045 mm (0.002 pulg) 1.0–0.25 mm (0.04–0.01 pulg) 0.15–0.025 mm (0.006–0.001 pulg) 1.0–0.1 mm (0.04–0.004 pulg) 0.1–0.02 mm (0.004–0.0008 pulg) 0.18–0.025 mm (0.007–0.001 pulg) 0.8–0.2 mm (0.03–0.007 pulg) 2.5–0.8 mm (0.1–0.03 pulg) 1.0–0.25 mm (0.035–0.01 pulg) 0.01–0.0015 mm (0.0004–0.00006 pulg) 0.07–0.006 mm (0.003–0.00025 pulg) 4.0–0.3 mm (0.15–0.01 pulg)

Recomendado 0.002 mm (0.00008 pulg) 0.045 mm (0.0018 pulg) 0.3 mm (0.015 pulg) 2.0 mm (0.08 pulg) 0.045 mm (0.002 pulg) 0.3 mm (0.025 pulg) 0.15 mm (0.006 pulg) 0.15 mm (0.006 pulg) 0.03 mm (0.0012 pulg) 0.04 mm (0.0016 pulg) 0.3 mm (0.012 pulg) 2.0 mm (0.08 pulg) 0.5 mm (0.02 pulg) 0.002 mm (0.00008 pulg) 0.01 mm (0.0004 pulg) 1.0 mm (0.04 pulg)

FUENTE:

Ejemplo 5.5 Calcular la caída de presión debido a la fricción en una tubería de acero comercial con las siguientes características: longitud L = 30.48 m, diámetro interno Di  0.0526 m , rugosidad de la tubería   0.000045 m , caudal en estado estacionario Q  9.085 m3 h , viscosidad dinámica del líquido   0.01 Pa  s y densidad del líquido   1200 Kg m3 . Solución. Por la ecuación de continuidad para una tubería de sección transversal circular, la velocidad media está dado por, vˆ 

4Q  Di2

(5.5–1) 224


FLORES, Jesús

sustituyendo valores, se tiene 4  9.085 m3 h   h 3600s   vˆ    1.1613 m s 2   0.0526 m 

Cálculo del número de Reynolds para fluidos Newtonianos, está dado por la expresión siguiente N Re 

N Re 

Di  v

(5.5–2)



 0.0526 m  1200 Kg

m3  1.1613 m s 

0.01 Pa  s

 7330.4064

N Re  7.33 103 De lo anterior podemos inferir que según la Ec. (5.2), el flujo está en el régimen turbulento; por consiguiente, las relaciones que se ajustan para calcular la pérdida de carga en la tubería serán: el diagrama de Moody ( NRe ,  Di ) ó correlaciones de Coolebrook, Ec. (5.73). a.

Utilizando el digrama de Moody, Fig. 5.10. para el cual se requiere el valor de la rugosidad relativa y el número de Reynolds

 Di



0.000045 m  8.55513 104 0.0526 m

N Re  7.33  104

Del diagrama de Moody, para los datos de entrada ( NRe ,  Di ) podemos leer el factor de fricción de Fanning, f  0.0084 . b.

Haciendo uso de la Ec. de Coolebroock y utilizando el método de Newton – Raphson para encontrar la raíz de factor de fricción f , según: f n 1  f n 

g f 

g ' f 

con la restricción de 

  D 1.255 g  f   4log    3.7 N Re f

f n  f n 1  error f n 1

 1 0  f 

  D 1.255   d d    d   g  f      4 log  df df   3.7 N Re f     df

(5.5–3)

(5.5–4)  1     0  f 

(5.5–5)

Para  Di  8.55513 104 y N Re  7.33 104 , con un valor de entrada f 0  0.001 , para una tolerancia de 0.00001, los resultados de las iteraciones se presentan en la 225


Tabla 5.5–1, de donde podemos indicar que el valor del factor de fricción de Fanning para estas condiciones es: f  0.00867488

(5.5–6)

Tabla 5.5–1 Iteración de la Ecuación de Coolebroock N°

fn

g  fn 

g ' fn 

f n 1

Error

Convergencia

0

0.001

22.6294902

-16644.4

0.002359586

0.57619679

iteracion

1

0.0023596

10.885255

-4707.757

0.004671782

0.49492807

iteracion

2

0.0046718

4.37896737

-1736.046

0.007194161

0.35061485

iteracion

3

0.0071942

1.19839675

-927.7335

0.008485908

0.15222257

iteracion

4

0.0084859

0.13589145

-730.6521

0.008671895

0.02144705

iteracion

5

0.0086719

0.00211335

-708.1262

0.008674879

0.00034403

iteracion

6

0.0086749

5.2504E-07

-707.7744

0.00867488

8.5514E-08

raiz

NOTA: Observándose que hay una desviación entre los valores determinados por el método gráfico y analítico, que en casos de diseño de equipos podría llevar a incurrir en errores de cálculo, por tanto se sugiere utilizar las correlaciones matemáticas para todo tipo de cálculos. La caída presión debido a la fricción, está dado por la Ec. (5.36). Sustituyendo datos con los valores determinados mediante el diagrama de Moody y Ec. de Coolebroock, se tiene:  L    v2  DPf  4 f     Di   2 

a.

(5.36)

Con los datos del digrama de Moody, f  0.0084 . 2 3    30.48 m   1200 Kg m   1.1613 m s   DPf  4  0.0084    2   0.0526 m     DPf  15754.64 N m2

DPf  15754.64 Pa

b.

Con datos determinados por la Ec. de Coolebroock f  0.00867488 , 2 3    30.48 m   1200 Kg m   1.1613 m s   DPf  4  0.00867488   2   0.0526 m     DPf  16270.20 N m 2

DPf  16270.20 Pa

En el caso del cálculo del caudal volumétrico o flujo másico para una caída de presión especificada, una alternativa es utilizar cálculos iterativos, utilizando para tal caso una hoja de cálculo o algoritmo implementado en MatLAB u otro software. Por ejemplo, utilizando la Ec. (5.72) para f , el procedimiento es como sigue: 226


FLORES, Jesús

Inicio: Suponer un valor de N Re (utilizando v )

1.

 Calcular f de 1  3.6 log  f

2.

1.11

  3.7 D  i 





6.9   N Re  

2 Calcular DPf de la Ecuación (5.36), DPf  4 f  L    v  D 2



3.

i





Comparar el valor calculado de DPf con el valor especificado en los datos DPf , Si el error es muy pequeño, por ejemplo 0.0000001, se detiene la iteración (STOP) Se finaliza el cálculo, caso contrario,

4.

Estimar el nuevo valor de N Re para la siguiente iteración

 N Re nuevo

  DPf  especificada   N Re actual    DPf  actual 

12

   

5. Regresar al paso 1. Ejemplo 5.6 Estimar la velocidad media estacionaria para una tubería de acero comercial, que tiene las siguientes características: L = 30.48 m, Di  0.0526 m ,   0.000045 m , caída de presión debido a la fricción DPf  15720 N m2 ,   0.01 Pa  s y   1200 Kg m3 Solución. Utilizando el algoritmo, descrito anteriormente, usando un valor inicial de NRe  1500 y la serie de valores iterados se muestran en la Tabla 5.6–1. Tabla 5.6–1 Iteración de la Ecuación de Coolebroock N°

N Re

fn

DPf (Pa)

Error Relativo*

Convergencia

0

15000

0.00727

57083

2.63

iteracion

1

7872

0.00849

18372

0.169

iteracion

2

7282

0.00867

16047

0.0208

iteracion

3

7207

0.00869

15761

0.0026

iteracion

4

7198

0.00870

15727

4.45 10 –4

iteracion

5

7196

0.00870

15719

6.36 10 –6

raiz

El error relativo se calcula con la siguiente relación

227


 DP  f

calculado

  DPf 

f

especificado

 DP 

especificado

 

(5.5–1) Cuando se ha convergido, se calcula el valor de la velocidad media, desde la Ec. de Reynold, v

 N Re Di 

v

 0.01 Pa  s  7196   0.0526 m  1200 Kg m3 

(5.6–1)

v  1.14005 m s Por consiguiente la velocidad promedio es de 1.14005 m/s, con un error de 6.36 104 % .

Ahora analizaremos las correlaciones para calcular el factor de friccion en tubería de sección circular cuando fluye a través de ellas un fluido no–Newtoniano. 5.5

Pérdida de Carga debido a la Fricción en Tuberías– Fluidos no–Newtonianos

La pérdida de energía debido a la fricción (caída de presión) en tuberías circulares cuando através de ella fluye un fluido no Newtoniano, se puede abordar de varias maneras, dependiendo del tipo de flujo y de la información disponible. Cuando los datos de flujo están en forma de caudal volumétrico o flujo másico y medidas de gradiente de presión en un viscosímetro tubular o en escala piloto en tuberías, se puede realizar un escalamiento directo tal como se ha analizado en el Capítulo II. Cuando se dispone de datos  rz   rz , en forma gráfica o tabulada, la razón de flujo puede calcularse directamente utilizando la Ec. (3.56), expresando en términos de diámetro, D y  w el esfuerzo cortante en la pared correspondiente a la gradiente específica de presión. Cuando los datos provienen de un instrumento rotacionalo con un viscosímetro tubular, los datos proporcionados de  rz   rz , donde una evaluación numérica de la integral (5.78) es necesaria. Si las relaciones  rz   rz pueden ser exactamente representadas por una simple expresión algebraica, tales como la Ley de la Potencia, modelo de Hershel – Bulkley, etc., en el rango requerido, luego esta relación puede ser sustituida en la Ec. (5.78) para avaluar analíticamente la integral.

Q 1   R 3  w 3



w

 2 f   d

(3.56)

0

y debido a que f   para cualquier tipo de fuido, es f     , se tiene: 8v 4Q 4   D  R3  w3



w

 2    d

(5.78)

0

228


FLORES, Jesús

Ejemplo 5.7 Usando los datos viscosimétricos dados en la Tabla (5.7–1), calcule la velocidad promedio para el material que fluye através de una tubería de 37 mm de diámetro cuando la gradiente de presión es de 1.1 kPa/m. Solución. El esfuerzo cortante en la pared interior de la tubería está dado por la Ec. (5.36),

w 

D  DP    4 L 

(5.7–1)

37 10 m 1100 Pa m  3

w

4

 w  10.18 Pa

Tabla 5.7–1 Datos reológicos para un material polimérico  (s1)

 ( Pa)

a ( Pa  s)

0

0.00911

0.0417

4.58

1

0.0911

0.178

1.95

2

0.911

0.708

0.777

3

9.111

2.82

0.310

4

91.11

11.20

0.123

5

102.30

12.03

0.118

n

La velocidad volumétrica promedio vˆ está dada por la Ec. (5.78), como vˆ 

Di 2 w3



w

 2    d

(5.7–2)

0

Es necesario evaluar la integral desde   0 a   10.18 Pa . Esto se puede realizar calculando  2 para cada uno de los valores de la Tabla 5.7–1, y luego graficando  2   .

El área bajo la curva entre   0 a   10.18 Pa se determina utilizando integración numérica, por ejemplo el método de la Regla de Simpson 1/3 ó 3/8, el cual requiere de intérvalos iguales de  , que se pude obtener previa interpolación de los datos de la Tabla 5.7–2, para construir.

229


14

Datos Experimentales y Ajustados 12 Datos Experimentales Datos Ajustado Modelo Ley de la Potencia

10

 (Pa)

8 6 4 2 0

0

20

40

60

80

100

120

 (s-1)

Figura (5.7–1)

Ajustando los datos a un modelo de la Ley de la Potencia,  rz  m    , se tiene que los n

parámetros reológicos de m  0.749 y n  0.6 , con un coeficiente de correlacion ajustada 2 de RAdj  1.0 ; utilizando estos datos realizamos una interpolación, para obtener datos de

 rz   rz que estén dentro de los límites de   0 a   10.18 Pa distribuidos adecuadamente para la integración numérica.

Por la regla de Simpson, se tiene:



10.18

 2    d 

0

10.18 6 0  8016  4 11.24  631  4108  2 142.8  1812  3 

 17490 Pa3 s 1 (5.7–2) De la Ec. (5.7 – 2)

 37 10 m  3

vˆ 

2 10.18Pa 

3

17490 Pa s   0.307 m s 3 1

Tabla 5.7–2 Datos reológicos interpolados con el Modelo de la Ley de la Potencia (m=0.749, n=0.60) n

 ( Pa)

 ( s 1 )

 2 ( Pa 2  s 1 )

0

0,000

0,0000

0,0000

1

1,697

3,9071

6,6291

2

3,393

12,4044

42,0921

3

5,090

24,3815

124,1017

4

6,787

39,3814

267,2684

5

8,483

57,1226

484,5899

6

10,18

77,4064

787,9967

230

Linea central

Pared tubería

de

la


FLORES, Jesús

Los datos para la integral numérica se visualizan en la Fig. (5.7 – 2), con el cual se calcula el área bajo la curva delimitada por   0 a   10.18 Pa . 1000

Integración Numérica

2  (Pa2 s-1)

800

600

400

200

0

0

2

4

6

8

10

12

 (Pa)

Figura (5.7–2)

Otra forma de abordar este problema es sustituyendo el modelo Reológico ajustado en la Ec. (5.7 – 2), por consiguiente,

  0.749   

0.60

asi que       0.749 

1 0.60

(5.7–4)

Por consiguiente,



w



w

0

0

   m

1n

2 

d 

   m

1 m1 n



w

 2 n 1    n 



0

1n

2 

d 

 w 10.18

d  0.34689  4.6667 

w

  3nn1        3n  1  m1 n    0

0

n

(5.7–5)

 17500.4145 Pa3 s 1

Sustituyendo la parte integral en la Ec. (5.7–2), se tiene,

 37 10 m  vˆ  3

2 10.18Pa 

3

17500 Pa s   0.318 m s 3 1

Por consiguiente, por ambos métodos se tiene valores de velocidad promedio similares. 5.5.1 Número de Reynolds Generalizado para Flujo en Tuberías Para fluidos Newtonianos en tuberías, el número de Reynolds está definida por

NRe 

 vDi 

(5.79)

En el caso de los fludos no–Newtonianos, es necesario usar una viscosidad aparente apropiada. Aunque la viscosidad aparente se definió en el capítulo de propiedades de los fluidos en perspectiva, mediante la Ec. (3.9) y tiene un significado mecánico distinto, puesto que para flujo de un fluido no–Newtoniano a través de tuberías, el esfuerzo cortante 231


varía con la localización radial, el valor de  a varia. El valor de a evaluado en la pared viene dada por w

a   w

w  Esfuerzo cortante en la pared   w Gradiente de velocidad en la pared   dvx dr  w    w

(5.80)

Otra definición se basa, no en la verdadera velocidad de deformación en la pared, pero en la característica de flujo. Esta cantidad, que puede ser denominado viscosidad aparente para el flujo a través de tubería, está dada por ap 

w Esfuerzo cortante en la pared  Flujo caracterísitico  8v Di 

(5.81)

Para el flujo laminar,  ap tiene la propiedad, que es la viscosidad de un fluido Newtoniano teniendo el mismo flujo característico que un fluido no–Newtoniano cuando están sujetos al mismo valor de tensión de cizallamiento. En particular, esto corresponde a la misma velocidad de flujo volumétrico para la misma gradiente de presión en el mismo tubo. Esto sugiere que  ap podría ser una cantidad útil para correlacionar los datos de velocidad de flujo – gradiente de presión para flujo a través de tuberías de fluidos no – Newtoniano. Este caso resulta ser cuando  ap se sustituye en una ecuacion de Reynolds denominado Número de Reynolds Generalizado, NRe , G

N ReG 

 vDi  ap

(5.82)

Representando el comportamiento de flujo laminar en términos de los parámetros por ejemplo del modelo Ley de la Potencia, m ' y n ' , por tanto

 8v   w  m '   Di 

n'

(5.83)

La viscosidad aparente en flujo através de tubería, está definido por la Ec. (5.81), sustituyendo la Ec. (5.83)

w

 8v  ap   m '  8v Di  Di 

n ' 1

(5.84)

Cuando esta ecuación para la  ap es sustituido en la Ec. (5.82), el número de Reynolds generalizado toma la forma siguiente forma NReG 

 v2 n ' Din '

(5.85)

8n '1 m '

donde, m ' , es el coeficiente de consistencia (Pa sn) y n ' , es el índice de fluidez, adimensional.

232


FLORES, Jesús

5.5.2 Flujo Turbulento de Fluidos no–Newtonianos Inelásticos en Tuberías El flujo turbulento de fluidos Newtonianos está descrito en términos del factor de friccion de Fanning, el cual es correlacionado con el número de Reynolds y la rugosidad relativa de la superficie interna de la tubería como un parámetro. El mismo enfoque es adoptado para flujo de fluidos no–Newtonianos pero se usa el número de Reynolds genralizado. El factor de friccion de Fanning está definido por la Ec. (5.34), por tanto

f 

w

(5.86)

1  v2   2

Para flujo laminar de un fluido no – Newtoniano, el esfuerzo cortante en la superficie de la tubería puede ser expresada en términos de m ' y n ' , como

 8v   w  m '   Di 

n'

(5.83)

Sustituyendo en la ecuación anterior, el factor de fricción de Fanning para flujo laminar de un fluido no–Newtoniano, se convierte en f 

16 N ReG

(5.87) Esta ecuación proporciona otra manera de calcular la gradiente de Presión para una velocidad de flujo determinado y fluido no–Newtoniano. 5.5.2.1

Transición de Flujo Laminar–Turbulento

El análisis de estabilidad realizado por Ryan y John (1959) sugerieron que la transición de flujo laminar a turbulento para fluidos no–Newtonianos inelásticos ocurre a un valor crítico del número de Reynolds generalizado que depende del valor de n’. Los resultados se muestran en la Fig. 5.11. Esta relación ha sido evaluada para fluidos pseudoplásticos y para fluidos plásticos de Bingham encontrándose un ajuste adecuado. Sobre el rango de comportamiento pseudoplástico en la práctica se ha encontrado, 0.2  n '  1.0 , el valor crítico de NRe está en el rango 2100  n '  2400. . G

Figura 5.11 Variación del valor crítico del número de Reynolds con

233

n' .


5.5.2.2

Factor de Fricción para Flujo Turbulento en Tuberías Lisas

Los resultados experimentales de factor de Fricción de Fanning para régimen de flujo turbulento de fluidos pseudoplásticos en tuberías lisas han sido correlacionados por Dodge y Metzner (1959) como una forma generalizada de la ecuación de von Kárman: 1 f



4.0

 n '

0.75

0.40 log  f 1 n ' 2 NReG   1.2  n '

(5.88)

Esta correlación se muestra en la Fig. 5.12. Las líneas de ruptura representan extrapolaciones de la Ec. (5.89) para valores de n ' y NRe más allá de los de las G

mediciones realizadas por Dodge y Metzner. Teniendo determinados el valor del factor de fricción f para una velocidad de flujo especificada y haciendo NRe , la gradiente de presión puede ser calculada de manera G

normal usando la Ec. (5.36).  L    v2  DPf  4 f     Di   2 

(5.36)

Figura 5.12 Factor de fricción para fluidos no–Newtonianos puramente viscosos Source: D. W. Dodge and A. 6. Metzner, AlChE JournalS, pp. 18S204 (1 959)

Ejemplo 5.8 Un fluido no–Newtoniano independiente de tiempo, de densidad 961 Kg m3 , fluye a una velocidad promedio de 2.0 m/s através de un tubo de 3.048 m de longitud con diámetro interno de 0.0762 m. Para estas condiciones, el coeficiente de consistencia del fluido m ' tiene un valor de 1.48 Pa y el valor del índice de fluidez de 0.3. Calcular el valor de la viscosidad aparente para el flujo del fluido por la tubería, el número de Reynolds generalizado ( NRe ) y la caída de la presión a través del tubo, no considere los efectos G

finales. Solución. 234


FLORES, Jesús

La viscosidad aparente estádada, por n ' 1

 8v    Di  (5.8–1)

ap  m ' 

y el número de Reynolds generalizado N ReG 

 v Di  ap

(5.8–2)

La característica de flujo, esta dado por 8v 8  2.0 m s    210 s 1 Di 0.0762m

por consiguiente,

ap  1.48Pa s 0.3  2100.7 s 0.7   0.0351 Pa s y

N ReG 

 0.0762 m  2.0 m s   961kg  0.0351 Pa s 

m3 

 4178

Desde la Fig. 5.12, el factor de fricción f tiene un valor de 0.0047. Por consiguiente la caída de presión está dado por  L   v2 DPf  4 f    Di  2

DPf 

(5.8–3)

2  0.0047  3.048 m   961 kg m3   2.0 m s 

 0.0762 m 

2

 1445 Pa

5.5.3 Fluidos de la Ley de la Potencia De manera similar que para los fluidos Newtonianos, para los fluidos no–Netonianos se puden desarrollar expresiones para calcular las pérdidas de carga debido a la fricción en flujo laminar y turbulento. Para fluidos que obedecen a la Ley de la Potencia y plásticos de Bingham. El modelo de la Ley de la Potencia es muy popular para representar la viscosidad de una gran variedad de fluidos no–Newtonianos por su simplicidad y versatilidad. Para flujo laminar y turbulento através de tuberías de pastas altamente cargado de partículas finas, por ejemplo, pueden adecuadamente ser representadas por estos dos modelos en un rango apreciable velocidad de deformación, tal como lo muestra Darby et al., 1992. 235


Como se ha mencionado anteriormente, la tangente de la ecuación para lacurva ln w  ln 8v Di  , es  8v  i  D 

n'

 w  m '

(5.83)

y que no debe confundirse al utilizarlo con la Ec. (3.14) definido para el fluido que se ajusta a la Ley de la Potencia. La relación entre n ' y n , y m ' y m podría no ser demostrado. Para las condiciones de la pared del tubo, denotado por un subíndice fluido que ajusta la Ley de la Potencia puede ser representado como

w

, la ecuación del

n

n  dv   w  m  w   m   x   dr w

(5.89)

Por otro lado,  w es la verdadera velocidad de deformación en la pared y está relacionada con la característica de flujo 8v Di  por la ecuación de Rabinowitsch – Mooney:  w 

8v  3n ' 1    Di  4n ' 

(5.90)

Por consiguiente, el comportamiento de un fluido que ajusta la Ley de la Potencia, evaluada en las condiciones de la pared, está dada por n

 8v   3n ' 1  w  m     Di   4n ' 

n

(5.91)

La Ec. (5.91) mostrada como un gráfico de ln w  ln 8v Di  tiene una gradiente constante de n . Consecuentemente, para un fluido de la Ley de la Potencia

n'  n

(5.92)

Comparando las Ecs. (5.91) y (5.89), se tiene que

 3n  1  m'  m   4n  5.5.3.1

(5.93)

Flujo Laminar

Por que el esfuerzo cortante y velocidad de deformación son negativos en flujo de fluidos através de tuberías, la forma apropiada del modelo de la Ley de la Potencia para flujo laminar, Ec. (5.89)

 dv   rx  m  rxn  m   x   dr 

n

(5.89)

236


FLORES, Jesús

Resolviendo para el esfuerzo cortante, Ecs. (5.89) y (5.80), la solución para el gradiente de velocidad, e introduciendo el resultado a la Ec. (5.38) (tal como se hizo para el fluido newtoniano), la velocidad de flujo se encuentra que es

  Q   w   mR 

1n



R

r

2

1 n

0

    n  3n 1 n dr    w   R  mr   3n  1  1n

(5.90)

Esta es la Ley de Potencia equivalente de la ecuación de Hagen-Poiseuille. Se puede escribir en forma adimensional mediante la expresión de la tensión de la pared en términos del factor de fricción utilizando la Ec. (5.34), la solución para f , e igualando el resultado a 16 N Re (es decir, la forma del resultado Newtoniano). El resultado es una expresión que es idéntica a la ecuación de Hagen-Poiseuille adimensional: (5.91)

fNRe pl  16

si el número de Reynolds para fluido de la Ley de la Potencia está definido como

NRe pl 

8 DnV 2 n  m 2  3n  1 n 

(5.92)

n

Cabe señalar que un análisis dimensional de este problema resulta en un grupo adimensional más que para el fluido Newtoniano, porque no es una propiedad del fluido reológico (por ejemplo, m y n para el fluido de Ley de Potencia, en comparación de  para fluido newtoniano). Sin embargo, el parámetro n es adimensional por tanto, constituye el “grupo adimensional” adicional, a pesar de que está integrado en el número de Reynolds como se ha definido. Tenga en cuenta también que debido a que n es un parámetro empírico y puede tomar cualquier valor, las unidades en las expresiones para fluidos de Ley de Potencia pueden ser complejas. Por lo tanto, los cálculos se simplifican si se utiliza un sistema científico de las unidades de medida (por ejemplo, SI o cgs), lo que evita la necesidad de introducir el factor de conversión gc . De hecho, la evaluación de la mayoría de los grupos adimensionales se simplifica por lo general por el uso de tales unidades. 5.5.3.2

Flujo Turbulento

Dodge y Metzner (1959) han modificado la Ecuación de von Karman para ser aplicada a fluidos de la Ley de la Potencia, con el siguiente resultado: 1 f



4 n

0.75

0.4 log  N Re pl f 1 n 2   1.2   n

(5.93)

Al igual que la ecuación de von Karman, esta ecuación es implícita en f . La Ec. (5.93) se puede aplicar a cualquier fluido no newtoniano si el parámetro n es interpretada como la pendiente de un punto de la tensión de cizallamiento versus la velocidad de deformación a partir de mediciones de viscosidad (laminar), la tensión de cizallamiento en la pared (o velocidad de deformación) correspondiente a las condiciones de interés en un flujo turbulento. Sin embargo, no es una cuestión simple para adquirir los datos 237


necesarios sobre el rango apropiado o para resolver la ecuación para f para un caudal determinado y diámetro de la tubería, en un flujo turbulento. Tenga en cuenta que no hay ningún efecto de la rugosidad de la pared de la tubería en la Ec. (5.93), en contraste con el caso de los fluidos newtonianos. No hay datos suficientes en la literatura para proporcionar una estimación fiable del efecto de la rugosidad de la pérdida por fricción para fluidos no newtonianos en flujo turbulento. Sin embargo, la evidencia que existe sugiere que la rugosidad no es tan importante para los fluidos no newtonianos como para fluidos newtonianos. Esto es en parte debido al hecho de que la mayoría de los flujos turbulentos no newtonianos se encuentran en el rango de números de Reynolds bajo y en parte debido al hecho de que la capa límite laminar tiende a ser más grueso para fluidos no newtonianos que para fluidos newtonianos (es decir, los flujos están generalmente en el rango “hidráulicamente liso” para materiales de tuberías comunes). 5.5.3.3

Todos los Regímenes de Flujo

Una expresión que represente el factor de fricción para fluido de la Ley de la Potencia en todo el rango de números de Reynolds (de laminar a turbulento) y abarca las Ecs. (5.91) y (5.93) han sido dados por Darby et al. (1992):

f  1    f L 

  f

8 T

(5.94)

18

 fTr8 

where 16 N Re pl

fL 

fT 

(5.95a)

0.0682 n 1 2 N Re pl

(5.95b)

1 1.87  2.39 n 

fTr  1.79 104 exp  5.24 n NRe pl 0.4141.757 n

(5.95c)

El parámetro  está dado por

1 1  4D

(5.96)

D  NRe pl  NRe plc

(5.97)

 donde

y NRe es el número de Reynolds crítico para la Lay de la Potencia, en el que el flujo laminar cesa: plc

NRe plc  2100  875 1  n 

(5.98)

238


La

Ec.

(5.95a)

aplicado

para

FLORES, Jesús

NRe pl  NRe plc

4000  N Re pl  105 , Ec. (5.95c) aplicado para

,

Ec.

(5.95b)

aplicado

NRe plc  NRe pl  4000 ,

para

y todos son

incluidos por la Ec. (5.94) para todo N Re . pl

Ejemplo 5.9 Un solucion de polímero (densidad, 1075 Kg m3 ) es bombeado a una razón de 2500 Kg h a través de una tubería de diámetro interno de 25 mm. El flujo es laminar y las constantes de la Ley de la Potencia son m  3 Pa  sn y n  0.5 . Estime la caída de presión en una longitud lineal de 10 m de tubería, y la velocidad en el centro de la tubería para las condiciones indicadas. ¿Cómo el valor de la caída de presión cambia si se usan una tubería con diámetro de 37 mm? Solución. La velocidad de flujo, caudal es

Kg 1h   2500    m h 3600 s  Q   6.4599  104 m3 s Kg  1075 3 m Sustituyendo datos en la Ec. (5.90), considerando la relación entre (5.34),  n   DP  Q   R2v       3n  1   2mL 

1n

R

3 n 1 n



y

DP ,

de la Ec.

(5.9–1)

2mLQ n

 DP  

n

 n   3n 1  R  3n  1 

n

 DP  

2  3 Pa  s 10 m   6.4599 104 m3 s 



0.5

  0.5     3  0.5   1 

0.5

 2.5 10 m  2

0.5

3 0.5 1

 1.524979999/2.5/9.82118e-5

4.39216522 7.78491e-59 5.5.4 Plásticos de Bingham El modelo de plástico de Bingham por lo general proporciona una buena representación de la viscosidad de lodos concentrados, suspensiones, emulsiones, espumas, etc. Estos 239


materiales exhiben a menudo una tensión de fluencia que se debe superar antes de que el material fluya a una velocidad significativa. Otros ejemplos incluyen la pintura, crema de afeitar, y mayonesa. También hay muchos fluidos, tales como sangre, que puede tener una tensión de fluencia que no es tan pronunciado. Se recuerda que un “plástico” es en realidad dos materiales. A tensiones bajas por debajo de la tensión crítica (  o ) el material se comporta como un sólido, mientras que para tensiones por encima de la tensión de fluencia del material se comporta como un fluido. El modelo de Bingham para este comportamiento es

Para

  o :   0

Para

   o :    o   

(5.99)

Debido a que la tensión de cizallamiento y velocidad de deformación pueden tener ya sea, en el signo positivo/negativo en la Ec. (5.99), es positivo en el primer caso y negativo en este último. Para el flujo através de un tubo, ya que el esfuerzo cortante y velocidad de deformación son negativos, la forma apropiada de la modelo es

 rx   o :

Para

 rx

Para 5.5.4.1

dvx 0 dr

dv   o :  rx   o   x dr

(5.100)

Flujo Laminar

Debido a que el esfuerzo cortante es siempre cero en la línea central en el flujo através de la tubería y aumenta linealmente con la distancia desde el centro hacia la pared [Ec. (5.33)], habrá una distancia finita desde el centro en el que el esfuerzo es siempre menor que la tensión de fluencia. En esta región, el material tiene propiedades similares a sólido y se mueve como un tapón rígido. El radio de este flujo tampón ( ro ) es, de la Ec. (5.33), ro  R

o w

(5.101)

Debido a que el esfuerzo exterior de esta región pistón exceda la tensión de fluencia, el material se deformará o fluirá como un fluido entre el tapón y la pared. La velocidad de flujo por lo tanto debe ser determinada por la combinación de la velocidad de flujo del “tapón” con la de la región “fluido”:

Q



vx dA  Qplug  



R2

vx dr 2

(5.102)

ro2

A

La evaluación por partes de la integral y tomando nota de que el término Q plug cancela con  ro2Vplug desde el límite inferior, el resultado es

Q  



R

r 2  dr

(5.103)

r0

240


FLORES, Jesús

Cuando la Ec. (5.100) se utiliza para la velocidad de deformación en términos de la tensión de cizallamiento y la Ec. (5.33) se utiliza para la tensión de cizallamiento como una función de r , la integral puede ser evaluada para dar Q

4  R3 w  4   0  1   0   1        4   3   w  3   w  



(5.104)



Esta ecuación es conocida como la ecuación de Buckingham-Reiner. Puede ser expresado en forma adimensional y reordenado como:

fL 

16 NRe

4  1  NHe  1  NHe  1      3 7   6  NRe  3  f NRe 

(5.105)

donde el Número de Reynolds, está dado por N Re 

Dv 

(5.106)



y N He 

D2   0

(5.107)

2

es el número de Hedstrom. Tenga en cuenta que el Plástico de Bingham se reduce a un fluido newtoniano si  o  0  N He . En este caso la Ec. (5.105) se reduce a el resultado Newtoniano, es decir, f  16 N Re . Tenga en cuenta que en realidad hay sólo dos grupos adimensionales independientes en la Ec. (5.105) (coherente con los resultados de análisis dimensional para un fluido con dos propiedades reológicas,  o y   ), que son los grupos combinadas fNRe y N He NRe . La relación N He NRe también se llama el número de Bingham, N Bi  D 0  v . La Ec. (5.105) es implícito en f , por lo que debe ser resuelto por la iteración para valores conocidos de N Re y N He . 5.5.4.2

Flujo Turbulento

Para Plástico de Bingham, no hay una transición abrupta de flujo laminar a turbulento como se observa para fluidos Newtonianos. En su lugar, hay una desviación gradual de flujo laminar puramente a flujo totalmente turbulento. Para flujo turbulento, el factor de fricción puede ser representada por la expresión empírica de Darby y Melson (1981): fT 

10 a 0.193 N Re

(5.108)

donde

a  1.47 1  0.146exp  2.9 105 N He 

241

(5.109)


5.5.4.3

Todo los Números de Reynolds

El factor de fricción para un plástico de Bingham se puede calcular para cualquier número de Reynolds, desde laminar a turbulento, a partir de la ecuación

f   f Lm  fTm 

(5.110)

m  1.7  40000 N Re

(5.111)

1m

donde

En la Ec. (5.110), fT está dado por la Ec. (5.108) y f L está dado por Ec. (5.105).

5.6

Flujo a Través de Tuberías de Sección Transversal Nocircular

Flujo a través de las secciones transversales no circulares es algo diferente, y se debe tener cuidado al determinar el factor de fricción f . 5.6.1 Flujo a Travéz de un Ducto de Sección Rectangular Consideremos el caso de flujo laminar completamente desarrollado a través de un conducto de sección rectangular, como se muestra en la Figura 5.13. El flujo se supone que es de dos dimensiones, el ancho w es muy grande en comparación con la altura h . Aplicando la ecuación de momento da

F

z



 v  v dA z

(5.112)

n

CS

Debido a que la sección transversal es constante, el lado derecho de esta ecuación es cero. Sumando las fuerzas que actúan sobre el volumen de control da

F

z

 0  2wyP   wdz   wdz  2wy  P  dP 

ó dP   dz y

(5.113)

Figura 5.13 Flujo laminar atravéz de un ducto rectangular

Para fluidos Newtonianos,  dvz    dy 

  

242


FLORES, Jesús

Sustituyendo en la Ec. (5.113), tenemos y dP



 dz

dvz dy

Integrando, se obtiene una expresión para v z : vz 

y 2 dP  C1 2 dz

donde, C1 es una constante. Ahora a y   h 2 , determinamos que vz  0 . Por tanto,  dp  h C1      dz  8 2

La velocidad através de la sección transversal del ducto rectangular, es

vz 

h 2  dP   1 y 2       2  dz   4 h 2 

(5.114)

La velocidad promedio se determina integrando la Ec. (5.114)

 v

h 2

h 2

v

vz dy

h

h 2  dP    12  dz 

(5.115)

El factor de fricción definido en la Ec. (5.36), considerando el diámetro como el diámetro hidráulico, se tiene   v 2  dz DPf  dP  4 f    2  Dh

(5.36)

Para un ducto de sección transversal rectangular ( A  w  h y P  2w  2h ), el diámetro hidráulico según el cuadro 5.2 y la Ec. (5.9) Dh 

4  wh  4A 4wh    2h P  2w  2h  2w

por que: w  h

Combinando estas ecuaciones con la Ec. (5.115), v

h2 12

  v2  1  4 f      2  2h  

Despejando w  h , se tiene el factor de friccion de Fanning, para un fluido Newtoniano que fluye através de un ducto de sección transversal rectangular, donde w  h ,

243


4f 

f 

96   v  2h 

24  24   v  2h  N Re

(5.115)

para flujo laminar en dos dimensiones totalmente desarrollado a través de un conducto rectangular con el número de Reynolds basado en la longitud 2h . Este resultado es para un rectángulo infinitamente grande; se disponen resultados para otras razones de h w , como se muestra en la Figura 5.14. El producto f NRe en el rango desde 96 para un flujo de dos dimensiones a 56.91 para un cuadrado. Por lo tanto, para el flujo laminar, la rugosidad de la superficie no afecta a f . Para flujo turbulento en un conducto rectangular o cuadrada, el diagrama de Moody se puede aplicar si el diámetro hidráulico se utiliza en expresiones de rugosidad relativa y el número de Reynolds.

Figura 5.14 Factor de friccion para flujo laminar en un ducto de sección rectangular

5.6.2 Flujo a través de una Sección Anular En la Fig. 5.15, se muestra esquemáticamente el flujo de un fluido a través de la sección anular de dos tubos concéntricos con radios R1 y R2 , respectivamente. El área del flujo anular está delimitada por la superficie exterior del tubo interior ( R1 ) y la superficie interior del tubo exterior ( R2 ). Definiendo la razón de estos diámetros como



R2 R1

y llegamos a la conclusión de que 0    1,

244


FLORES, Jesús

Figura 5.15 Flujo laminar a través de la seccion anular de tubos concéntricos

Para flujo laminar completamente desarrollado en un conducto anular concéntrico, se toma el volumen de control de una carcasa cilíndrica, como se muestra en la Fig. 5.15. La aplicación de la ecuación de momento, Ec. (5.112); debido a que la sección transversal es constante, el lado derecho de esta ecuación es cero. Sumando las fuerzas que actúan sobre el volumen de control da

F

z

 0  PA    d  dAP1   dAP2   P  dP  A

El área del anúlo cilíndrico A es 2 r dr . Las áreas superficiales dAP son i

dAP1  2  r  dr  dz dAP2  2 r dz

Por sustitución de la ecuación de momento se convierte

  d  2  r  dr  dz   2 r  dz  2 r

dr dP  0

Simplificando, obtenemos

 dr  r d  dr d  r dr

dP dz

El término dr d es pequeño en comparación con los otros y se puede omitir. La ecuación se convierte en

 d dP +  r dr dz Para un fluido newtoniano,  dvz    dy 

  

Sustituyendo, obtenemos

245


 dvz r dr



d  dvz  dP   dr  dr  dz

ó 1 d  dvz  1 dP r  r dr  dr   dz

Después de la multiplicación por r e integración con respecto a r , tenemos r

dvz r 2 dP   C1 dr 2 dz

Dividiendo por r e integrando una vez más con respecto a r , vz 

r 2 dP  C1 ln  r   C2 4 dz

(5.116)

Tenemos dos condiciones de contorno: 6. r  R;

vz  0

7. r   R;

vz  0

0    1

Aplicando la primera condición, tenemos 0

R 2 dP  C1 ln  R   C2 4 dz

ó C2  

R 2 dP  C1 ln  R  4 dz

(5.116a)

Aplicando la segunda condición de contorno, se obtiene 0

 2 R 2 dP  C1 ln  R   C2 4 dz

ó C2  

 2 R 2 dP  C1 ln  R  4 dz

(5.116b)

Igualando estas expresiones para C2 da C1 

R 2 dP 1   2  ln   4 dz

C2  

1

 R2 dP  1   2 ln  R  1  4 dz  ln    246


FLORES, Jesús

Sustituyendo en la Ec. (5.116) y simplificando, se obtienen

vz 

R 2  dP   r 2 1   2  r    ln       1  4  dz   R 2 ln    R  

(5.117)

La velocidad promedio se determina por integración: R

v



R

vz 2 r dr

  R2   2 R2 

Resolviendo se tiene

v

 1   2  R2  dP   2  1            8  dz    ln    

(5.118)

El diámetro hidráulico a través del área transversal de flujo anular es Dh 

2 2 2 4 A 4  R   R    2 R   R P 2 R  2 R

ó Dh  2R 1   

(5.119)

El factor de fricción definido en la Ec. (5.36), considerando el diámetro como el diámetro hidráulico, se tiene   v2  1 dP  4 f   dz  2  Dh

Combinando con la Ec. (5.119) y la Ec. (5.118), se obtiene  N  1  2 1 1   Re    2 4f 64  1    1    ln   

(5.120)

para flujo laminar completamente desarrollado en un anillo concéntrico. Para flujo turbulento, los resultados para tubos circulares son aplicables cuando se utiliza en las expresiones diámetro hidráulico para la rugosidad relativa y el número de Reynolds y cuando  es menor que o igual a 0.75 (sobre la base de los resultados experimentales). El factor de fricción para conductos anulares concéntricos es de aproximadamente 6% 8% mayor que la de un tubo circular liso en el intervalo de números de Reynolds de 15 000 a 150 000.

247


248


5.7

FLORES, Jesús

Problemas de Flujo de Fluidos en Tuberías

Hay tres problemas típicos que se encuentran en flujos através de tuberías, dependiendo de lo que se conoce y lo que se encuentre. Estos son, la “fuerza motriz desconocido”, “caudal desconocido”, y problemas de “diámetro desconocido”; y se describirá los procedimientos para la solución de cada uno de estos, para fluidos Newtonianos y no–Newtonianos (Ley de Potencia y plástico de Bingham). Un cuarto problema, tal vez de interés aún más práctico para el diseño del sistema de tuberías, es el “diámetro económico”, que será considerado en Capítulos posteriores. Observamos para la primera, la ecuación de Bernoulli puede escribirse como

DF  eˆ f 

1  2v22  1v12  2

(5.112)

donde 2  L   v  32 f LQ2 eˆ f  4 f       2 D2  D  2 

(5.113)

 D  DF     ws    

(5.114)

y

DF representa la entrada de energía neta en el líquido por unidad de masa (o la “fuerza direccional neta”) y es la combinación de la altura estática, diferencia de presión, y el trabajo de la bomba. Cuando algún término de la Ec. (5.114) es negativo, representan una “fuerza motriz positiva” para mover el fluido a través del tubo. En muchas aplicaciones los términos de la energía cinética son insignificantes o se cancelan, aunque esto debe ser verificado para cada situación. Usaremos la ecuación de Bernoulli en la forma de la Ec. (5.112) para el análisis de los flujos através de tuberías, y vamos a utilizar la velocidad volumétrica de flujo total (Q) como variable de flujo en lugar de la velocidad, ya que esta es la medida usual de la capacidad en una tubería. Para fluidos newtonianos, el problema se reduce por lo tanto a una relación entre las tres variables adimensionales: NRe 

4Q ,  D

f 

e f  2 D5 32 LQ

2

,

 D

(5.115)

5.7.1 Fuerza Motriz Desconocido Para este problema, deseamos saber la fuerza motriz neta (DF) que se requiere para mover un fluido (  ,  ) a un caudal determinado ( Q ) a través de una tubería especificada ( D, L,  ) . La ecuación de Bernoulli en la forma DF  eˆ f .

249


5.7.1.1

Fluido Newtoniano

Los datos “conocidos” e “incógnitas”, en este caso son: Dado: Q, ,  , D, L, 

Hallar:

DF

Todas las variables y los parámetros relevantes están relacionados únicamente a través de las tres variables adimensionales f , N Re y  Di por el diagrama de Moody o la ecuación Churchill. Además, la variable desconocido ( DF  eˆ f ) aparece en sólo uno de estos grupos ( f ) . El algoritmo propuesto es: 8. Calcule el número de Reynolds, Ec. (5.115). 9. Calcular  Di . 10. Determinar f del diagrama de Moody o Ecuación de Churchill [Ec. (5.76)], (si N Re  2000 , use f  16 N Re ). 11. Calcular eˆ f (de ahí DF) de la ecuación de Bernoulli, Ec. (5.113). A partir del valor resultante de DF, se puede determinar la altura de bombeo requerido (head pump) ( ws g ) , por ejemplo, a partir del conocimiento de las presiones y elevaciones aguas arriba y aguas abajo usando la Ec. (5.114). 5.7.1.2

Fluido de la Ley de la Potencia

El planteamiento del problema equivalente es Dado: Q, m, n,  , D, L Hallar:

DF

Tenga en cuenta que tenemos una propiedad adicional de los líquidos ( m y n en lugar de  ), pero también asumir que la rugosidad de la tubería tiene un efecto insignificante, por lo que el número total de variables es la misma. Las variables adimensionales correspondientes son f , N Re y n [los cuales están relacionados por la Ec. (5.94)], y lo desconocido ( DF  eˆ f ) aparece en un solo grupo ( f ) . El procedimiento seguido para un fluido newtoniano puede por lo tanto también ser aplicado a un fluido de la Ley de la Potencia si se utilizan las ecuaciones apropiadas, como sigue. 1.

Calcule el número de Reynolds ( N Re, pl ) , usando la Ec. (5.92) y el caudal de flujo volumétrico en lugar de la velocidad, es decir, N Re,pl 

27  3 n  Q 2  n  n    m  2  n D 4 3n  3n  1 

n

(5.116)

2. Calcular f de la ecuación. (5.94). 3. Calcular eˆ f (por lo tanto, DF) de la Ec. (5.113).

250


5.7.1.3

FLORES, Jesús

Plástico de Bingham

El planteamiento del problema, Dado: Q,  , 0 ,  , D, L

Hallar:

DF

El número de variables es la misma que en los problemas anteriores, por lo que el número de grupos que refieren estas variables es la misma. Para fluidos Plástico de Bingham, estos son f , N Re y N He , los cuales están relacionados por la Ec. (5.110) [junto con las Ecs. (5.105) y (5.108)]. Lo desconocido ( DF  eˆ f ) aparece sólo en f , como antes. El procedimiento de la solución es similar al seguido para fluidos Newtonianos y fluidos de la Ley de la Potencia. 1.

Calcule el número de Reynolds. N Re 

4Q   D 

(5.117)

2. Calcular el número de Hedstrom: N He 

D 2  0

(5.118)

2

3. Determine f desde las Ecs. (5.110), (5.108) y (5.105). [Tenga en cuenta que se requiere una iteración para determinar f L en la Ec. (5.105)] 4. Calcular eˆ f , por lo tanto, DF, de la Ec. (5.113). 5.7.2 Caudal Desconocido En este caso, la velocidad de flujo se determina cuando se transporta un fluido através de una tubería con una fuerza de conducción neto conocido (por ejemplo, la altura de la bomba, ltura de presión, y/o la altura hidrostática). Se involucran las mismas variables, y por lo tanto las variables adimensionales son los mismos y se relacionan de la misma manera que para los problemas de la fuerza motriz desconocido. La principal diferencia es que ahora lo desconocido ( Q ) aparece en dos de las variables adimensionales ( f y N Re ), lo que requiere una estrategia de solución diferente. 5.7.2.1

Fluido Newtoniano

El planteamiento del problema, es Dado: DF , D, L,  , , 

Hallar: Q

La estrategia es redefinir las variables adimensionales relevantes mediante la combinación de los grupos originales de tal forma que la variable desconocida aparece en un grupo. Por ejemplo, f y N Re se pueden combinar para cancelar el desconocido (Q ) de la siguiente manera: 2

 DF  2 D5  4Q   DF  2 D 3 2 f N Re    2  2 L 2  32 LQ    D   251

(5.119)


Por lo tanto, si trabajamos con las tres variables adimensionales Re Fn2, NRe, y "= D, lo desconocido (Q) aparece sólo en NRe, que luego se convierte en la variable desconocida (sin dimensiones). Existen varios enfoques que podemos tomar para resolver este problema. Dado que el número de Reynolds es desconocida, una solución explícita no es posible, el uso de las relaciones establecidas entre el factor de fricción y el número de Reynolds (por ejemplo, el diagrama de Moody o la ecuación Churchill). Podemos, sin embargo, proceder con un método de prueba – error que requiere una aproximación inicial para una variable desconocida, use las relaciones básicas para resolver esta variable, revisamos la suposición en consecuencia, y repetimos el proceso (la iteración) hasta llegar a converger (solución) entre el valor calculado y el valor de partida. Tenga en cuenta que, en este contexto, sea f o N Re puede considerarse la variable dimensión desconocida, porque ambos involucran Q desconocido. Como una ayuda en la elección entre estos, una mirada al diagrama de Moody muestra que el alcance práctico de posibles valores de f es aproximadamente de orden uno en magnitud, mientras que N Re le corresponde una gama mas amplia de más de cinco órdenes de magnitud, por lo tanto, las posibilidades de nuestra primera conjetura estar cerca de la respuesta final se han mejorado en gran medida, si optamos por repetir en f en lugar de N Re . El uso de este enfoque, el procedimiento es como sigue. 1. Una razonable suposición podría basarse en el supuesto de condiciones de flujo turbulento, para los que se aplica la ecuación Colebrook, Ec. (5.73). 2 2. Calcular el valor de f N Re desde los valores dados.

3. Calcular f usando la ecuación Colebrook, Ec. (5.73). 2 f  , utilizando f del paso 3. 4. Calcular N Re   fN Re 12

5. Usando el valor N Re del paso 4 y el valor conocido de  D , determinar f en el diagrama de Moody o la ecuación de Churchill (si N Re  2000 , use f  16 N Re ). 6. Si este valor de f no está de acuerdo con lo del paso 3, introduzca el valor de f del paso 5 en el paso 4 para obtener un valor revisado de N Re . 7. Repita los pasos 5 y 6 hasta que el valor de f no cambie. 8. Calcular Q   D NRe 4 . 5.7.2.2


El planteamiento del problema es Dado: DF , D, L, m, n, 

Hallar: Q

El enfoque más simple para este problema, también un procedimiento de iteración sobre la base de un valor supuesto de f :

252


FLORES, Jesús

1. Un valor de partida razonable para f es 0.005, basado en “lazamiento de dardo” en el diagrama de Moody. 2. Calcular Q de la Ec. (5.113), es decir, 12

 D5 DF  Q     32 f L 

(5.120)

3. Calcule el número de Reynolds de la Ec. (5.116), es decir, N Re,pl 

27  3 n  Q 2  n  n    m  2  n D 4 3n  3n  1 

n

(5.116)

4. Calcular f de la Ec. (5.94).

f  1    f L 

  f

8 T

(5.94)

18

 fTr8 

5. Compare los valores de f desde el paso 4 y el paso 1. Si no están de acuerdo, utilice el resultado del paso 4 en el paso 2 y repita los pasos 2-5 hasta que se converja. La convergencia se requiere sólo dos o tres ensayos como máximo, a menos que se encuentran condiciones muy inusuales. 5.7.2.3


El procedimiento es muy similar a la anterior. Dado: DF , D, L,  , 0 , 

Hallar: Q

1. Supongamos f  0.005 . 2. Calcular Q desde la Ec. (5.120). 3. Calcule los números de Reynolds y Hedstrom: N Re 

4Q  ,  D 

N He 

D 2  0

2

(5.121)

4. Calcular f de la Ec. (5.110).

f   f Lm  fTm 

1m

(5.110)

5. Comparar el valor de f del paso 4 con el valor asumido en el paso 1. Si no están de acuerdo, utilice el valor de f del paso 4 en el paso 2 y repita los pasos 2-5 hasta que se converja. Tenga en cuenta que se requiere una iteración para determinar f L en la Ec. (5.110), pero este procedimiento normalmente converge rápidamente a menos que se encuentran condiciones inusuales.

253


5.7.3 Diámetro Desconocido En este problema, se desea determinar el tamaño de la tubería ( D ) que transportará un fluido dado (newtoniano o no newtoniano) a una tasa de flujo dada ( Q ) sobre una distancia dada (L) con una fuerza motriz dada ( DF ). Debido a que la variable desconocido ( D ) aparece en cada una de las variables adimensionales, es apropiado reagrupar estas variables en una forma más conveniente para este problema. 5.7.3.1

Fluido Newtoniano

El planteamiento del problema es Dado: DF , Q, L,  ,  , 

Hallar:

D

Podemos eliminar el desconocido ( D) a partir de dos de los tres grupos básicos ( NRe ,  D y f ) de la siguiente manera: 5

 DF  2 D5  4Q   32 DF  5Q3 5 f N Re    2   3 L 5  32 LQ    D   NR 

N Re 4Q    D 

(5.122)

(5.123)

5 Por lo tanto, los tres grupos básicos para este problema son fN Re , N R , y N Re , con N Re que es el “adimensional” desconocido (debido a que ahora es el único grupo que contiene el desconocido D ). D es desconocido, así que no hay estimación inicial para f que puede obtenerse a partir de las ecuaciones, porque  D también se desconoce Por lo tanto, se recomienda el siguiente procedimiento para este tipo de problemas: 5 1. Calcular fN Re a partir de cantidades conocidas usando la Ec. (5.122).

2. Suponer f  0.005 . 3. Calcular N Re : 15

 fN 5  N Re   Re   0.005 

(5.124) 4. Calcular D

D

desde N Re :

4Q   N Re

(5.125)

5. Calcular  D . 6. Determinar f del diagrama de Moody o la ecuación Churchill utilizando los valores anteriores de N Re y  D (si N Re  2000 , utilice f  16 N Re ). 254


FLORES, Jesús

7. Comparar el valor de f desde el paso 6 con el valor asumido en el paso 2. Si no están de acuerdo, utilice el resultado del paso 6 de f en el paso 3, en lugar de 0.005, y repita los pasos 3-7 hasta que se converja. 5.7.3.2


El planteamiento del problema es Dado: DF , Q, m, n, , L

Hallar:

D

El procedimiento es análogo a la del fluido newtoniano. En este caso, el grupo 5  4 3n  combinado fN Re, (que llamaremos K , por conveniencia) es independiente de D : pl   2 DF 5  4 3n  fN Re  2  32 LQ

n   27  3 n Q 2  n  n       2n  3n  1     m

5  4 3n 

K

El siguiente procedimiento se puede utilizar para encontrar 1. Calcular

K

D

(5.126) :

de la Ec. (5.126).

2. Suponer f  0.005 . 3. Calcular N Re,pl de

K N Re,pl     f 

 4 3n 

5

(5.127)

4. Calcular f de la Ec. (5.127), utilizando el valor de N Re,pl del paso 3.

f  1    f L 

  f

8 T

(5.94)

18

 fTr8 

5. Comparar el resultado del paso 4 con el valor asumido en el paso 2. Si no están de acuerdo, utilice el valor de f del paso 4 en el paso 3 y repita los pasos 3-5 hasta que converjan. El diámetro D se obtiene a partir del último valor de N Re,pl del paso 3: 1  4 3n

 27  3 n  Q 2  n  n  n  D    2n  m N Re,pl  3n  1   5.7.3.3

(5.128)

Fluido Plástico de Bingham

Las variables del problema son Dado: DF , Q,  , 0 ,  , L

Hallar:

El grupo combinado que es independiente de

255

D

D

es equivalente a la Ec. (5.122),


5

 DF  2   4Q   32DF  5Q3  5 f N Re     2  3 5  32 LQ      L 

(5.129)

El procedimiento es 5 1. Calcular fN Re de la Ec. (5.129).

2. Suponer f  0.01 . 3. Calcular N Re desde 15

 fN 5  NRe   Re   0.01 

(5.130)

4. Calcular D de D

4Q   N Re

(5.131)

5. Calcular N He de N He 

D 2  0

(5.132)

2

6. Calcular f de la Ec. (5.110) usando los valores de N Re y N He de los pasos 3 y 5.

f   f Lm  fTm 

1m

(5.110)

7. Comparar el valor de f del paso 6 con el valor asumido en el paso 2. Si no están de acuerdo, ingrese el resultado del paso 6 de f en el paso 3 en lugar de 0.01, y repita los pasos 3-7 hasta que se converja. El valor resultante de D se determina en el paso 4.

256


5.8

FLORES, Jesús

Flujo através de un Viscosímetro de Tubo Cailar (Poiseuille)

En el Cap. IV, en la sección de reometría, se ha descrito sobre los viscosímetros de tubo capilar en el cual la viscosidad de un fluido con propiedades viscosas son desconocidas pueden ser determinadas a partir de la medición de la gradiente de presión total  D L  y el flujo volumétrico ( Q ) en un tubo de dimensiones conocidas. La Viscosidad está dado por:



w w

(5.133)

donde,  w

 3n ' 1    4n ' 

w  

n' 

(5.134)

d log  w d log  D   d log  d log Q

Q  



R

r 2 dr 

0

d   w2  d w

 R3  w3

(5.135)

 R

2 rx

d rx

(5.136)

0

 4  w2  w

(5.137)

2 1 d   w   w  d    3n ' 1  w  2    3     4  d w w  4 w d w  4n ' 

257

(5.138)


5.9

Diámetro Económico de Tuberías

Hemos visto cómo determinar la fuerza motriz – DF (por ejemplo, el requerimiento de bombeo) para un tamaño de tubería dada y el flujo especificado, así cómo calcular el tamaño de la tubería adecuada para un fuerza motriz dado (por ejemplo, la altura de bombeo ó la potencia de la bomba) y flujo especificado. Sin embargo, cuando instalamos un sistema de tuberías ó ductos usualmente elegimos libremente tanto el “mejor”' tubo y la “mejor” bomba. El término “mejor” en este caso se refiere a la combinación de la tubería y la bomba que reduzca al mínimo el costo total del sistema. El costo total de un sistema de tuberías ó ductos se incluye el costo de capital de la tubería y bombas, así como los costos de operación, es decir, el costo de la energía necesaria para accionar las bombas: 

Costo de capital de la tubería (CCP)



Costo de capital de las estaciones de bombeo (CCPS)



Costo de energía para alimentar a las bombas (CE)

Aunque el costo de la energía es “continua” y los costos de capital son “una sola vez”, es común para extender (o amortizar) el costo de capital durante un período de Y años, es decir, en el curso de la “vida económica” de la tubería. La inversa de este  X  1 Y  es la fracción del costo total de capital amortizado por año. Tomando 01 año como base en el tiempo, podemos combinar el costo de capital por año y el costo de energía por año para obtener el costo total (hay otros costos, como el mantenimiento, pero éstos son menores y no afectan materialmente el resultado). Los datos en costo de las instalaciones de tuberías típicos de diversos tamaños fueron reportados por Darby y Melson (1982). Ellos mostraron que estos datos se pueden representar por la ecuación: CCP  a D ftp L

(5.139)

donde, D ft es el diámetro interno de la tubería en los pies, y los parámetros a y p depende del espesor de pared de la tubería como se muestra en la Tabla 5.3. Del mismo modo, el costo de capital (instalado) de la estación de bombeo (para 500 hp de fuerza y más) ha demostrado ser una función lineal de la potencia de la bomba, de la siguiente manera (véase la Fig. 5.8): CCPS  A  B

HP

(5.140)

c

donde, A  172800 , B  450.8 hp 1 (en 1980 $) y HP c es la potencia nominal de la bomba, (HP es la “potencia hidráulica”, que es la potencia entregada directamente al fluido ). El costo de la energía se determina a partir de los requerimientos de energía de bombeo, que es a su vez determinada a partir de la ecuación de Bernoulli:

258


ws 

D

1  Dv 2   eˆ f  2

FLORES, Jesús

(5.141)

donde

 y

 L D

eq

eˆ f  4 f

v2 2

 D  L

(5.142) eq

es asumida que incluye la longitud equivalente de los accesorios (que son por

lo general una pequeña porción de una tubería larga). La potencia de bombeo hidráulica requerida (HP) es por lo tanto

 2 f Lv 2 D  32 f Lm3 D HP  ws m  m    2 2 5 m     D   D

(5.143)

El costo total de la energía de bombeo por año es por lo tanto, EC  C

HP

(5.144)

c

donde, C es el costo unitario de energía (por ejemplo, $/(hp año), $/kWh) y  c es la eficiencia de la bomba. Tenga en cuenta que el costo de capital aumenta casi linealmente con el diámetro de la tubería, mientras que el costo de energía disminuye en proporción a aproximadamente la quinta potencia del diámetro. El costo total anual de la tubería es la suma de los costos de capital y energía: TC  X  CCP  CCPS   EC

(5.145)

Sustituyendo las Ecs. (5.139) y (5.143) en la Ec. (5.145) da

TC  XaD p L  XA 

BX  C  32 fLm3 D   2 2 5 m  c    D  

(5.146)

Ahora queremos encontrar el diámetro de la tubería que minimice este costo total. Para ello, diferenciamos la Ec. (5.146) con respecto a D, estableciendo la derivada igual a cero, y resolver para D (es decir, Dec , el diámetro más económica): 1  p  5

 B  CY  160 fm3   Dec    2 2   apc     

(5.147)

donde, Y  1 X es el curso de la “vida económica” de la tubería. Uno podría preguntarse si la información de costos en la Tabla 5.3 y la Fig. 5.8 podría ser utilizado hoy en día, debido a que estos datos se basan en información de 1980 y los precios han aumentado considerablemente desde entonces. Sin embargo, como se ve a partir de la Ec. (5.147), los parámetros de los costos (es decir, B, C, y a) aparecen como una relación. 259


Dado que los costos de capital y costos de energía tienden a inflar a aproximadamente la misma tasa (véase, por ejemplo, Durand et al., 1999), esta relación es esencialmente independiente de la inflación, y las conclusiones basadas en 1980 los datos económicos debe ser válida hoy en día. 5.9.1 Fluidos Newtonianos La Ec. (5.147) es implícita para Dec , debido a que el factor de fricción ( f ) depende de Dec através del número de Reynolds y la rugosidad relativa de la tubería. Puede resolverse por iteración de una manera directa, sin embargo, por el procedimiento utilizado para el “diámetro desconocido”, analizado en el ítem 5.6.3. Es decir, primero asumimos un valor de f (por ejemplo, 0.005), calcular Dec de la Ec. (5.147), y usar este diámetro para calcular el número de Reynolds y la rugosidad relativa, a continuación, utilizar esos valores para encontrar f (a partir del diagrama de Moody o la Ecuación de Churchill). Si este valor no es el mismo que el valor supuesto al principio, que se utiliza en lugar del valor asumido y repetir el proceso hasta que converjan los valores de f . Otro enfoque consiste en reagrupar las variables adimensionales característicos en el problema de modo que el desconocido ( Dec ) aparece en un solo grupo. Después de reorganizar la Ec. (5.147) para f , vemos que el siguiente grupo es independiente de Dec

fN

4    

p 5 Re

p 3

 2 ap e m p  2  Nc 10  B  CY   p 5

(5.148)

Podemos llamar a esto el “grupo de costo” ( Nc ) , ya que contiene todos los parámetros de costos. También podemos definir un grupo de rugosidad que no incluya el diámetro: NR 

 Dec N Re





(5.149)

4m

El grupo restante es el número de Reynolds, que es grupo dependencia, ya que contiene Dec : N Re 

4m

(5.150)

 Dec 

Se puede utilizar el diagrama de Moody para construir una gráfica de N Re frente a N c  fN p  5 para varios valores de p y N R (una gráfica doble paramétrica), que permite una solución directa a este problema. Las ecuaciones anteriores pueden utilizarse también directamente para simplificar la solución iterativa. Dado que se conoce el valor de Nc, suponiendo un valor para f dará NRe directamente de la ecuación. (7-26). Esto, a su vez, da Dism por la ecuación. (7-28), y por lo tanto "= diciembre Estos valores de NRe y" = disminuir se usan para encontrar f (a partir del diagrama de Moody o la ecuación Churchill), y la iteración continúa hasta que los valores sucesivos de f están de acuerdo. El aspecto más difícil de trabajar con estos grupos es garantizar un conjunto consistente de unidades para todas las variables (con el uso adecuado del factor de conversión gc, si se trabaja en unidades de ingeniería). Por esta razón, es más fácil trabajar con unidades 260


FLORES, Jesús

consistentes en un sistema científico (por ejemplo, SI o cgs), lo que evita la necesidad de GC. 5.9.2 Fluidos no–Newtonianos Un procedimiento análogo al que se siguió se puede utilizar para fluidos no newtonianos que siguen la ley de potencia o modelos de plástico de Bingham (Darby y Melson, 1982). 5.9.2.1


Para fluidos de ley de potencia, las variables adimensionales básicos son el número de Reynolds, el factor de fricción, y el índice de flujo (n). Si el número de Reynolds se expresa en términos de la tasa de flujo de masa, a continuación,

N Re,pl

4    

2 n

2  n n 1   4n   m      4  3n n 1  3n  1   Dec 8 m  n

(5.151)

Eliminando Dec de ecuaciones. (7-25) y (7-29), el grupo de costo equivalente se 5 p f 4  n N Re,pl 

 52.4  103n   27 p 3n1 p   

ape   B  CY   

  2  n 1 p  m5 p

  3 p  n p 1 m2 p 1  n 4  p     3n  1 n  n5 p    

   

4 3n

(5.152)

Dado que todos los valores en el lado derecho de la ecuación. (7-30) son conocidos, suponiendo un valor de f permite un valor correspondiente de NRe pl por determinar. Este valor se puede utilizar para comprobar el valor supuesto de f usando la expresión general para la ley de potencia factor de fricción [ecuación. (6-44)] y la iteración hasta que se alcance un acuerdo. 5.9.2.2


Las variables adimensionales básicos para el plástico de Bingham son el número de Reynolds, el número de Hedstrom, y el factor de fricción. La eliminación de Dism por el número de Reynolds y la ecuación. (7-25) (como arriba), el grupo de costo es:

4 fNRep 5     

p 3

  2 ape m p  2   p 5    10  B  CY   

(5.153)

Diciembre también se puede eliminar a partir del número de Hedstrom mediante la combinación con el número de Reynolds: 2  4    m  2 N He N Re    0 2        2

(5.154)

Estas ecuaciones se pueden resolver fácilmente por iteración, de la siguiente manera. Suponiendo un valor de f permite NRe a ser determinado a partir de la ecuación. (7-31). Esto se utiliza a continuación, con la ecuación. (7-32) para encontrar NHe. El factor de 261


fricción se calcula utilizando los valores de NRe y NHe y el tubo de plástico fricción ecuación de factor de Bingham [Eq. (6-62)]. El resultado es comparado con el valor asumido, y el proceso se repite hasta que se alcanza un acuerdo. Los gráficos se han presentado por Darby y Melson (1982) que se puede utilizar para resolver estos problemas directamente sin iteración. Sin embargo, se requiere interpolación sobre escalas logarítmicas doble paramétricos, por lo que sólo resultados aproximados se puede esperar de la precisión de la lectura de estas parcelas. Como se mencionó antes, la mayor dificultad en el uso de estas ecuaciones es la de asegurar las unidades consistentes. En muchos casos, es más conveniente utilizar unidades cgs en este tipo de problemas, ya que las propiedades del fluido (densidad y viscosidad) se encuentran con frecuencia en estas unidades, y el sistema científico (por ejemplo, cgs) no requiere el factor de conversión gc. Además, el costo de la energía se da con frecuencia en centavos de dólar por kilovatio-hora, lo que se convierte fácilmente en unidades cgs (por ejemplo, $ / erg). 5.10

Pérdidas de Carga en Válvulas y Accesorios (Pérdidas Menores)

Evaluación de la pérdida por fricción en válvulas y accesorios implica la determinación apropiada del coeficiente de pérdida ( K f ), que a su vez define la pérdida de energía por unidad de masa del fluido:

eˆ f  K f

v2 2

(5.155)

donde, v es (usualmente) la velocidad en la tubería aguas arriba de la instalación o de la válvula (sin embargo, esto no siempre es cierto, y se debe tener cuidado para asegurar que el valor de v sea la que se utiliza en la definición ecuación para K f ). La evaluación real de K f se realiza mediante la determinación de la pérdida por fricción eˆ f

a partir de

mediciones de la caída de presión a través de la conexión (válvulas, etc.) Esto no es sencillo, sin embargo, debido a que la presión en la tubería está influenciada por la presencia de accesorios para una distancia considerable aguas arriba y aguas abajo de la instalación. No es posible, por lo tanto, obtener valores precisos de las mediciones tomadas en puntos inmediatamente adyacente a la conexión. El método más fiable es medir la caída de presión total a través de una longitud utilizada de la tubería con y sin accesorios, a la misma velocidad de flujo, y determinar por diferencia la pérdida en los accesorios. Hay varias “correlaciones” para determinar K f , que se describe a continuación en el orden de incremento en la precisión. El método “3–K” es recomendado, debido a que representa directamente el efecto del número de Reynolds y el tamaño de los accesorios en el coeficiente de pérdida y refleja con mayor precisión el efecto de tamaño de accesorios que el método 2–K. Para el flujo altamente turbulento, el método Crane está de acuerdo con el método 3–K, pero es menos precisa para números de Reynolds inferiores y no se recomienda para flujo laminar. Los métodos del coeficiente de pérdida y longitud equivamente  L D eq son los más aproximados, y proporcinan resultados aceptables a altos números de Reynolds y cuando las pérdidas en válvulas y accesorios son “pérdidas

262


FLORES, Jesús

menores” en comparación con la fricción en la tubería. También son apropiados para la primera estimación de los problemas que requieren solucion iterativa. 5.10.1 Coeficiente de Pérdida ( K f ) Los valores de K f para varios tipos de válvulas, accesorios, etc. se tabulan en manuales y textos especializados. La suposición de que estos valores son constantes para un determinado tipo de válvula o accesorio no es exacta, sin embargo, debido a que en realidad el valor de K f varía tanto con el tamaño (escala) de la conexión y el nivel de turbulencia (número de Reynolds). Una de las razones que K f no es el mismo para todos los accesorios del mismo tipo (por ejemplo, todos los codos 90º) es que todas las dimensiones de un accesorio, tal como el diámetro y el radio de curvatura, no hacen escala por el mismo factor para accesorios grandes y pequeños. La mayoría de los valores tabulados para K f están cerca de los valores de K del método 3–K. En el Anexo C, se tabulan los valores de K f para distintos accesorios. 5.10.2 Método L/D Equivalente (Longitud Equivamente) La base para el método

 L D eq

es la suposición de que hay una cierta longitud

equivalente de la tubería ( Leq ) que tiene la misma pérdida por fricción como la que se produce en el accesorio, a un número determinado Número de Reynolds (tubo). Por lo tanto, los accesorios son conceptualmente sustituidos por la longitud adicional equivalente de la tubería que tiene la misma pérdida por fricción como los accesorios: 2 eˆ f  4 f  v  2

 DL 

(5.156) eq

donde, f es el factor de fricción en la tubería a un número de Reynolds y rugosidad relativa. Este es un concepto conveniente, ya que permite la solución de problemas de flujo de tubería con accesorios que deben llevarse a cabo de una manera idéntica sin accesorios, si se conoce Leq . Los valores de

 L D eq

se tabulan en manuales y textos

especializados para una variedad de accesorios y válvulas y también enumeramos en la Tabla 5.5. El método supone que: 1) los tamaños de todos los accesorios de un tipo dado pueden ser escalados por el diámetro de la tubería correspondiente (D); y 2) la influencia del nivel de turbulencia (es decir, número de Reynolds) en la pérdida de fricción en los accesorios es idéntico a que en el tubo (debido a que los valores de f de tubería se utiliza para determinar la pérdida en accesorios). Ninguna de estas suposiciones es correcta (como se ha señalado anteriormente), aunque la aproximación proporcionada por este método da resultados razonables en los altos niveles de turbulencia (altos números de Reynolds), especialmente si las pérdidas en accesorios son menores. 5.10.3 Método de Crane El método está dado en Crane Technical Paper 410 (Crane Co., 1991) es una modificación de los métodos anteriores. Es equivalente al método 263

 L D eq

excepto que reconoce que


generalmente está a un mayor grado de turbulencia en el accesorio que en el tubo a un número establecido de Reynolds (tubo). Esto se explica usando siempre el valor “totalmente turbulento” para f (por ejemplo, fT ) en la expresión para la pérdida de fricción en los accesorios, con independencia del número de Reynolds real en el tubo, es decir, 2 eˆ f  K f  v  ;  2

 

L donde K f  4 fT D

(5.157) eq

El valor de fT puede calcularse a partir de la ecuación de Colebrook, fT 

en el que



0.0625 2 log  3.7 D   

(5.158)

es la rugosidad de la tubería (0.0018 pulgadas para acero comercial). Este es

un modelo de dos constantes [ fT y

 L D eq ], y los valores de estas constantes se tabulan

en el artículo de Crane para una amplia variedad de accesorios, válvulas, etc. Este método da resultados satisfactorios para los altos niveles de turbulencia (altos números de Reynolds), pero es menos precisa en bajos números de Reynolds. 5.10.4 Método 2–K (Hooper) El método 2-K fue publicado por Hooper (1981, 1988) y se basa en los datos experimentales en una variedad de válvulas y accesorios, para una amplia gama de números de Reynolds. El efecto tanto del número de Reynolds y escala (tamaño apropiado) se refleja en la expresión para el coeficiente de pérdida: 2 eˆ f  K f  v  ;  2

donde K f 

  K1  K  1  1  N Re ID  in 

(5.159)

Aquí, IDin es el diámetro interno (en pulgadas) del tubo que contiene el accesorio. Este método es válido en un rango mucho más amplio de números de Reynolds que los otros métodos. Sin embargo, el efecto del tamaño de la tubería [por ejemplo, 1 IDin  ] en la Ec. (5.159) no refleja las observaciones con precisión, como se discute a continuación. 5.10.5 Método 3–K (Darby) Aunque el método 2-K se aplica sobre una amplia gama de números de Reynolds, el término escalamiento 1 IDin  no refleja con exactitud datos a través de una amplia gama de tamaños de válvulas y accesorios, como se informa en una variedad de fuentes (Crane, 1988; Darby, 2001; Perry & Green, 2001, CCPS, 1998 y sus referencias). Específicamente, todos los métodos anteriores tienden a subestimarse la pérdida por fricción para tuberías de diámetros más grandes. Darby (2001) evaluaron los datos de la literatura para varias válvulas, tes, y codos, encontrándose que se pueden representar con mayor precisión por la Ec. “3–K”:

264


Kf 

FLORES, Jesús

 K  K1  Ki 1  0.3d  N Re  Dn,in 

(5.160)

Tabla 5.6 Constantes 3-K para Coeficiente de Pérdida para Válvulas y Accesorios Kf 

 K  K1  K i 1  0.3d  , donde Dn es diámetro nominal en pulgadas N Re D n,in  

 DL 

Accesorios Roscado, estándar Rosacdo, radio largo Bridas, soldado, curvas 90º

Codos

Inglete 1 Soldado 2 Soldados 3 Soldados Rosacado estándar Radio largo 45º Mitered 1 weld 2 weld Roscado, curvo cerca de retorno 180º Bridado Todos Atraves-ramas (como el codo) Rosacado

Tees Padar a través

Válvula compuerta Válvula bola Diafragma

– 45º full line size,  = 1 – 90º full line size,  = 1 Standard,  = 1 Branch flow Straight through Three-way (flow through) Standard,  = 1 Standard,  = 1 Dam-type

Swing check

vmin  35    lbm pie3 

Lift check

vmin  40    lbm pie 

Angle valve Globe valve Válvula tapón

Válvulas

Bridado Stub-in branch Roscado Bridado Stub-in branch

3

(r/D = 1) (r/D = 1.5) (r/D = 1) (r/D = 2) (r/D = 4) (r/D = 6) (90º) (45º) (30º) (r/D = 1) (r/D = 1.5) (45º) (22.5º) (r/D = 1) (r/D = 1) (r/D = 1.5) (r/D = 1) (r/D = 1.5) (r/D = 1) (r/D = 1) (r/D = 1)

30 16 20 12 14 17 60 15 8 16

eq

K1

Ki

Kd

800 800 800 800 800 800 1000 800 800 500 500 500 500 1000 1000 1000 500 800 800 1000 200 150 100

0.14 0.071 0.091 0.056 0.066 0.075 0.27 0.068 0.035 0.071 0.052 0.086 0.052 0.23 0.12 0.10 0.274 0.14 0.28 0.34 0.091 0.017 0

4.0 4.2 4.0 3.9 3.9 4.2 4.0 4.1 4.2 4.2 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 0

55 150 340 90 18 30 8 3

950 1000 1500 500 300 300 300 300 1000

0.25 0.69 1.70 0.41 0.084 0.14 0.037 0.017 0.69

4.0 4.0 3.6 4.0 3.9 4.0 3.9 4.0 4.9

100

1500

0.46

4.0

600

2000

2.85

3.8

15 6 50

60 20 20

1 2

12

FUENTE:

265


Los valores de los 3 K’s ( K1, Ki , y K d ) se dan en la Tabla 5.6 (junto con los valores representativos de

1 D eq para diversas válvulas y accesorios. Estos valores se determinan

a partir de combinaciones de valores de la bibliografía de las referencias mencionadas, y se encontró que todos siguen con precisión la ley de escala dada en la Ec. (5.160). Los valores de K1 son en su mayoría los del método de Hooper 2–K, y los valores de Ki se determinan principalmente de los datos de Crane. Sin embargo, ya que no hay datos completos solo un conjunto de accesorios en una amplia gama de tamaños y números de Reynolds, son necesarias estimaciones para algunos valores. Tenga en cuenta que los valores de K d son todos muy cercanos a 4.0, y esto puede utilizarse para escalar valores conocidos de K f para un determinado tamaño de tubo y aplicarlo a otros tamaños. Este método es el más exacto de los métodos descritos para todos los números de Reynolds y tamaños de accesorios. En las Tablas 5.7 y 5.8 se proporcionan valores de K f para expansiones y contracciones, y condiciones de entrada y salida, respectivamente, Hooper (1988). Tabla 5.7 Coeficientes de Pérdida K f , para Expansiones y Contracciones K f a ser utilizado con velocidad aguas arriba, v12 2 ,   d D Contracción

Expansión

  45

  45 N Re,1, 4000 :

N Re,1  2500 :



N Re,1  4000 :

N Re,1  2500 :



  45 N Re,1, 4000 :

K f  2 1   4 

N Re,1  2500 :



12    K f  1.2  160   14  1 sin   N Re,1    2    

N Re,1  4000 :

K f1  1  3.2 f1  1   2 

N Re,1  2500 :





2 K f  2.6 1  3.2 f1  1   2  sin  2

1    K f  1.6  0.6  1.92 f1    sin 2 4      45 2



K f  5.2 1   4  sin  2

   K f  1.6 1.2  160   14  1 sin  N Re,1    2  

2

 1  2     K f   0.6  0.48 f1    sin 2  4   

12

N Re,1 is the upstream Reynolds number, and f1 is the pipe friction factor at this Reynolds number.

Fuente: Hooper (1988). 266


FLORES, Jesús

La definición de K f (es decir, K f  2 eˆ f v 2 ) implica la energía cinética del fluido, v 2 2 . Para secciones que se someten a cambios de área (por ejemplo, tubo de entrada, la salida, la expansión o contracción), las velocidades de entrada y salida son diferentes. Debido a que el valor de la velocidad utilizada con la definición de K f es arbitraria, es muy importante saber que la velocidad es el valor de referencia para un coeficiente de pérdida dado. Valores de K f se basan por lo general en la velocidad de entrada más grande o salida de accesorios (a través de la zona más pequeña), pero esto debe ser verificada si existe alguna duda. Tabla 5.8 Coeficientes de Pérdida K f , para Tuberías de Entrada y Salida K f  K1 N Re  K  Entrada Inward projecting (Borda) K1  160 , K   1.0

Para tubería a la Salida

K   1.0 para todas las geometrías K1  0.0

Flush (rounded)

K1  160 Orificio:

K   2.91 1   2 1   4  4 



1   1    2

r d 0.0 (sharp) 0.02 0.04 0.06 0.10 0.15 & sup erior

K 

K 0.05 0.28 0.24 0.15 0.09 0.04

4

C  2 o

4

D  o Dp K1  0.0

Fuente: Hoopee W. B., Chemical Engineering, p, 97, 1981.

5.10.6 Fluidos no–Newtonianos No hay datos suficientes en la literatura para permitir correlación fiable o la predicción de la pérdida de fricción en válvulas y accesorios para fluidos no newtonianos. Como una primera aproximación, sin embargo, se puede suponer que una correlación similar al método 3–K que debe aplicarse a los fluidos no newtonianos si el número de Reynolds (newtoniano) en la Ec. (5.160) podrían sustituirse por un solo grupo adimensional correspondiente que caracteriza adecuadamente la influencia de las propiedades no 267


newtonianos. Para los modelos de la Ley de la Potencia y Plástico de Bingham, se requieren dos parámetros reológicos para describir las propiedades viscosas, que generalmente se traduce en dos grupos adimensionales correspondientes ( N Re,pl y n para la Ley de la Potencia, y N Re y N He para Plástico de Bingham). Sin embargo, es posible definir una “viscosidad efectiva” para un modelo de fluido no–Newtoniano que tiene el mismo significado para el número de Reynolds como la viscosidad de un fluido newtoniano e incorpora todos los parámetros adecuados para ese modelo y que puede ser utilizado para definir un número de Reynolds equivalente para fluido no–Newtoniano (Darby y Forsyth, 1992). Para un fluido newtoniano, el número de Reynolds puede reordenarse como sigue: N Re 

Dv 





V 2 v2  v D  w 8

(5.161)

Introducción  w  m  8v D  3n  1 4n  para el modelo de Ley de la Potencia, el resultado es n

NRe,pl 



27 3n Q2 n n m  2 n D43n 3n  1



n

(5.162)

Para el modelo Plástico de Bingham, la expresión correspondiente para el número de Reynolds es: N Re, BP 

N Re 4Q   3  D  1   D  0 32Q  1  N He 8 N Re

(5.163)

Se determina mediante la sustitución de  w para el fluido newtoniano en la Ec. (5.161) con  0    w  y el uso de la aproximación  w  8v D . La relación NHe NRe  D 0 v también se llama el número de Bingham ( NBi ) . Darby y Forsyth (1992) demostró experimentalmente que la transferencia de masa en fluidos Newtonianos y no– Newtonianos se puede correlacionar con este método, es decir, se aplica la misma correlación para ambos fluidos cuando el número de Reynolds newtoniano es sustituido por la Ec. (5.162) para el modelo de la Ley de la Potencia o la Ec. (5.163) para el modelo de Plástico de Bingham. Como una primera aproximación, por lo tanto, podemos suponer que el mismo resultado se aplicaría a las pérdidas por fricción en válvulas y accesorios, descritos por los modelos 2–K ó 3–K [Ec. (5.160)].

268


5.11

FLORES, Jesús

Problemas de Flujo de Fluidos con Accesorios

La inclusión de la pérdida significativa por fricción por accesorios (pérdidas secundarias) en los sistemas de tuberías requiere un procedimiento algo diferente para la solución de problemas de flujo de fluidos utilizado en ausencia de pérdidas por accesorios. Teniendo en cuenta las mismas clases de problemas en el ítem 5.7, es decir, la fuerza motriz, la velocidad de flujo, y el diámetro desconocidos para fluidos Newtonianos, la Ley de la Potencia y Plástico de Bingham. La ecuación que gobierna, como antes, es la ecuación de Bernoulli [Ec. (5.31)], escrito en forma  D  1 DF     ws    eˆ f  D  v 2   2  

(5.163)



(5.164)

donde eˆ f 

1 2

8Q  v K   

2

2

f

L Ktubo  4 f    D

2

D

Kf

K accesorio 

4

 K  K1  K 1  0.3d  N Re  Dn 

(5.165)

y la adición se realiza sobre cada accesorio y el segmento de tubo (de diámetro D) en el sistema. Los coeficientes de pérdida de la tubería y los accesorios están dados por el factor de fricción de Fanning y la fórmula 3-K, como antes. Sustituyendo la Ec. (5.164) en la Ec. (5.163) se obtiene la siguiente forma para la Ecuación de Bernoulli:

DF 

8Q2    2 

D

Ki

i

4 i



 2 1    D24 D14 

(5.166)

Los  ' s son los factores de corrección de energía cinética en los puntos anteriores y posteriores (recordar que   2 para el flujo laminar y   1 para el flujo turbulento para un fluido Newtoniano). 5.11.1 Fuerza Motriz Desconocida Aquí queremos encontrar la fuerza motriz neta requerida para el transporte de un fluido dado a una velocidad dada a través de una tubería dada que contiene una matriz especificado de válvulas y accesorios. 5.11.1.1 Fluido Newtoniano

Los datos conocidos y las incógnitas de este caso son: Dado: Q,  ,  , Di , Li ,  i , accesorios

Hallar:

DF

La fuerza motriz (DF) está dada por la Ec. (5.166), en la que los Ki ' s están relacionados con otras variables por el diagrama de Moody (o ecuación Churchill) para cada segmento de tubo ( Ktubo ), y por el método 3–K para cada válvula y el accesorio ( K accesorios ) , como una función del número de Reynolds: 269


N Rei 

4Q   Di 

(5.167)

El procedimiento de solución es la siguiente: 1.

Calcular N Re de la Ec. (5.167) para cada segmento de tubo, válvula, y accesorio (i). i

2.

Para cada segmento de tubería de diámetro Di , obtener f i de la ecuación de Churchill o el diagrama de Moody usando N Re y  i Di , y calcular i

Ktubo

3.

 4 fi  L D i .

Para cada válvula y el accesorio, calcular

K desde

N Rei , y Di , utilizando el

método de 3–K. 4.

Calcular la fuerza motriz, DF, de la Ec. (5.166).

5.11.1.2 Fluido de la Ley de la Potencia

Los datos conocidos y las incógnitas de este caso son: Dado: Q, Di , Li ,  i , m, n, accesorios

Hallar:

DF

Las expresiones apropiadas que se aplican son la ecuación de Bernoulli [Ec. (5.166)], el número de Reynolds para la Ley de la Potencia [Ec. (5.162)], el factor de fricción en la tubería como una función de N Re, pl y n [Ec. (5.165)], y la ecuación 3–K de pérdidas en los accesorios [Ec. (5.160)] con el número de Reynolds reemplazado por N Re, pl . El procedimiento es 1.

A partir de los valores dados, calcula N Re, pl desde la Ec. (5.162).

2. Usando N Re, pl y n , calcular f (y el correspondiente Ktubo ) para cada sección de la tubería desde el factor de fricción de la ecuación de Ley de la Potencia [Ec. (5.165)], y calcular K f para cada válvula y accesorios utilizando el método de 3–K [Ec. (5.160)]. 3. Calcular la fuerza motriz (DF) desde la ecuación de Bernoulli, Ec. (5.166). 5.11.1.3 Plástico de Bingham

El procedimiento para fluido Plástico de Bingham es idéntica a la del fluido de la Ley de la Potencia, a excepción de que la Ec. (5.163) es la utilizada para el número de Reynolds en la ecuación 3–K para los accesorios en lugar de la Ec. (5.161), y la expresión para el factor de fricción en tubería de fluidos Bingham dada por la Ec. (5.105).

5.11.2 Caudal Desconocido La ecuación de Bernoulli [Ec. (5.166)] puede ser reorganizado para el caudal, Q, de la siguiente manera: 270


   Q  2 2  

FLORES, Jesús

12

 i

  DF  4 4 4  Ki Di    2 D2  1 D1  

(5.168)

El caudal (razón de flujo volumétrico) se puede calcular fácilmente si los coeficientes de pérdida pueden ser determinados. El procedimiento consiste en una iteración, iniciando con valores estimados de los coeficientes de pérdidas. Estos son utilizados en la Ec. (5.168) para encontrar Q , el cual se utiliza para calcular el número de Reynolds, que se utilizan a continuación para determinar los valores revisados para los Ki ' s , de la siguiente manera. 5.11.2.1 Fluido Newtoniano

Los datos conocidos y las incógnitas son: Dado: DF , D, L,  , , , accesorios 1.

Hallar: Q

Una primera estimación para el factor de fricción en la tubería y los Ki ' s pueden ser establecidas por suposición de que el flujo es completamente turbulento (y los  ' s  1). Por lo tanto,

f1 

0.0625 log  3.7 D   

(5.169)

2

y

 K  Kaccesorios  Ki 1  0.3d   D  n ,in  

(5.170)

2. Utilizando estos valores, calcular Q desde la Ec. (5.168), de la que se determina el número de Reynolds: NRe  4Q  D . 3. Utilizando el número de Reynolds, determinar el factor de fricción revisado en la tubería (y por lo tanto Ktubo  4 fL D ) del diagrama de Moody (o ecuación Churchill), y los valores de Kaccesorio de la ecuación 3–K. 4. Repita los pasos 2 y 3 hasta que Q converja. La solución es el último valor de Q calculado desde el paso 2. 5.11.2.2 Fluido de la Ley de la Potencia

Los datos conocidos y las incógnitas son: Dado: DF , D, L, m, n, 

Hallar: Q

271


El procedimiento es esencialmente idéntico al seguido para fluido Newtoniano, excepto que la Ec. (5.162) se utiliza para el número de Reynolds en el paso 2 y la Ec. (5.91) es utiliza para el factor de fricción en la tubería en el paso 3. 5.11.2.3 Fluido Plástico de Bingham

Los datos conocidos y las incógnitas son: Dado: DF , D, L,  , 0

Hallar: Q

El procedimiento es similar a la de fluidos Newtonianos, excepto que el factor de fricción de tubería en el paso 3 (por lo tanto Ktubo ) se determina a partir de la Ec. (5.105) usando NRe  4Q  D y N He  D 2  0 2 . Los valores de Kaccesorio se determinan a partir de la ecuación 3–K usando la Ec. (5.163) para el número de Reynolds. 5.11.3 Diámetro Desconocido Se supone que el sistema contiene solamente un tamaño (diámetro) de la tubería. La ecuación de Bernoulli puede reordenarse para dar D: 14

 2 4 4 4 4   8Q   Ki   2 D D2  1 D D1    i  D    2 DF    

(5.171)

Esto es obviamente implícito en D (los términos involucran las  ' s pueden ser no considerada para la estimación inicial). Si los valores de Ki se pueden estimar, entonces el diámetro puede determinarse a partir de la Ec. (5.171). Sin embargo, debido a que D es desconocida, por lo que  D es una primera estimación “cruda” para valores requeridos de f y Ktubo . Además, dado que Ktubo  4 f L D , un valor estimado para f todavía no permite la determinación de Ktubo . Por lo tanto, la estimación inicial para Ktubo puede realizarse suponiendo que no existen accesorios en el sistema, tal como se ha indicado en el ítem 5.7. 5.11.3.1 Fluidos Newtonianos

Los datos conocidos y las incógnitas son: Dado: Q, DF , L,  , , 

Hallar:

D

Si se supone que en el sistema no se tiene accesorios, el siguiente grupo puede ser evaluado a partir de los valores conocidos: 5 fN Re 

32 DF  5Q3  3 L 5

(5.172)

El procedimiento es el siguiente. 1.

Para una primera estimación, se supone f  0.005 .

272


FLORES, Jesús

2. Utilice la Ec. (5.172) para calcular el número de Reynolds: 15

15

 fN 5   32 DF  5Q3  N Re   Re    3 5   0.005  L   0.005 

(5.173)

3. Obtener una primera estimación para D de este número de Reynolds: D

4 Q   N Re

(5.174)

Ahora las ecuaciones completas para f y Kaccesorio se pueden usar para obtener más iteración. 4. Utilizando las estimaciones de D y N Re obtenidos en las etapas 2 y 3, determinar f y Ktubo a partir del diagrama de Moody (o ecuación Churchill) y la Kaccesorio de la fórmula K–3. 5. Calcular D de la Ec. (5.171), usando el valor anterior de D (del paso 3) en términos de  . 6. Si los valores de D de los pasos 3 y 5 no convergen, calcula el valor de N Re utilizando la D desde el paso 5, y utilizar estos valores de N Re y D en el paso 4. 7. Repita los pasos 4–6 hasta que D no cambie. 5.11.3.2 Fluido de la Ley de la Potencia

Los datos conocidos y las incógnitas son: Dado: Q, DF , L, m, n, 

Hallar:

D

El procedimiento básico para fluido de la Ley de la Potencia es el mismo que para fluido Newtoniano. Tenemos una primera estimación para el número de Reynolds suponiendo que no existen accesorios y asumiendo un flujo es turbulento. Esto se utiliza para estimar el valor de f (de ahí Ktubo ) usando la Ec. (5.91) y los valores de Kaccesorio de la ecuación 3–K equivalente. Ingrese estos valores en la Ec. (5.171) a continuación, se obtiene una primera estimación para el diámetro, el cual es utilizado para revisar el número de Reynolds. La iteración continúa hasta que los valores sucesivos converjan, de la siguiente manera: 1.

Suponga f  0.005 .

2. Ignorando los accesorios, la primera estimación para N Re,pl , es

273


 4 3n 

5

 4 3n 

5

N Re, pl

5  4 3n   fN Re,  pl    0.005   

N Re, pl

  2 DF   2   0.16 LQ 

 27  3 n Q 2  n  n  n      2n  3n  1    m

3. Obtener una primera estimación para de Reynolds:

D

(5.175)

, de este valor y la definición del número

1  4 3n 

 27  3 n  Q 2  n  n  n  D    2n  m N Re, pl  3n  1  

(5.176)

4. Utilizando los valores de N Re,pl del paso 2 y D del paso 3, calcular el valor de f y Ktubo de la Ec. (5.91), y los valores Kaccesorio de la ecuación 3–K. 5. Introduzca los valores de K en la Ec. (5.171) para encontrar un nuevo valor de .

D

6. Si el valor de D en el paso 5 no está de acuerdo con lo del paso 3, utilice el valor del paso 5 para calcular N Re,pl , y repita los pasos 4–6 hasta que converja. 5.11.3.3 Fluido Plástico de Bingham

Los datos conocidos y las incógnitas son: Dado: Q, DF , L,  , 0 , 

Hallar:

D

El procedimiento para un plástico de Bingham es similar a la anterior, utilizando la Ec. (5.105) para el factor de fricción en la tubería:

fL  1.

4  16  1  NHe  1  NHe  1     3 7  NRe  6  NRe  3  f NRe 

(5.105)

Asumir que f  0.02 .

2. Calcular 5 fN Re 

32 DF  5Q 3  3 L5

(5.177)

3. Obtener una primera estimación del número de Reynolds 15

 fN  N Re   Re   0.02 

4. Utilice estos valores para calcular

(5.178) D

:

274


D

4Q   N Re 

FLORES, Jesús

(5.179)

5. Usando D y N Re , calcular N He  D 2  0 2 , el factor de fricción en la tubería de la Ec. (5.105), N He  D 2  0 2 y Kaccesorio de la ecuación 3–K usando la Ec. (5.163) para el número de Reynolds para fluido Plástico de Bingham. N Re, BP 

N Re 4Q   3  D  1   D  0 32Q  1  N He 8 N Re

(5.163)

6. Introduzca los valores K f en la Ec. (5.171) para obtener un valor revisado de D. 7. Usando este valor de D, revisar los valores de N Re y N He y repita los pasos 5–7 hasta que los valores sucesivos converjan.

275


5.12

Redes de Tuberías

Los sistemas de tuberías a menudo implican segmentos interconectados en varias combinaciones de arreglos en serie y/o paralelo. Los principios necesarios para analizar este tipo de sistemas, son los mismos que se han utilizado para otros sistemas, por ejemplo, las ecuaciones de conservación de la masa (continuidad) y energía (Bernoulli). Para cada conexión de tubos o “nodo” en la red, la continuidad nos indica que la suma de todas las velocidades de flujo (caudales) en el nodo debe ser igual a la suma de todas las caudales de salida del nodo. Además, la fuerza motriz total (caída de presión mas la pérdida de carga por gravedad, columna de bombeo “pum head”) entre cualquier par de nodos está relacionada con la velocidad de flujo y la pérdida por fricción por la ecuación de Bernoulli aplicado entre los dos nodos. Si el número que cada uno de los nodos de la red (incluyendo la entrada y puntos de salida), a continuación, la ecuación de continuidad tal como se aplica en el nodo i se refiere a los caudales de entrada y salida del nodo: n

Q n 1

ni

m

  Qim

(5.180)

m 1

donde Qni representa el caudal desde cualquier nodo el caudal desde el nodo

n

aguas arriba en el nodo

i hacia fuera de cualquier nodo

m

i,y

Qim es

aguas abajo.

Además, la fuerza motriz total en una rama entre dos nodos i y j se determina por la ecuación de Bernoulli como el plicado en esta rama. Si la fuerza motriz se expresa como altura de pérdida de carga total entre nodos (donde hi  i  g ), luego,

hi  h j 

wij g



8Qij2 g 2 Dij4

j

K

(5.181)

fij

i

donde  wij g es la columna de bombeo (en su caso) en la rama entre los nodos

i y j,

Dij

j

es el diámetro de la tubería, Qij es el caudal, y

K

fij

representa la suma de los coeficientes

i

de pérdida de todos los accesorios, válvulas y segmentos de la tubería en la rama entre los nodos i y j . Estos últimos se determina por la ecuación 3-K para todas las válvulas y accesorios y la ecuación de Churchill para todos los segmentos rectos de tubería y son funciones de los caudales y tamaños de tubería ( Qij y Dij ) en la rama entre los nodos i y

j . El número total de ecuaciones es por lo tanto igual a la cantidad de ramas más el número de (interna) nodos, que a su vez es igual al número de incógnitas que se pueden determinar en la red. Este conjunto de ecuaciones se pueden resolver para la fuerza motriz desconocida (a través de cada rama) o el flujo volumétrico desconocido (en cada rama de la red) o un diámetro desconocido para uno o más ramas, sujetos a las limitaciones en la presión (fuerza motriz) y razón de flujo. Dado que la solución consiste en ecuaciones simultáneas no lineales acoplados, el mejor proceso se realiza por iteración computacional y por lo general se puede 276


FLORES, Jesús

hacer mediante el uso de una hoja de cálculo. El procedimiento más sencillo es por lo general, asumiendo valores para la columna total hi en uno o más nodos intermedios, debido a que estos valores están limitados por los valores aguas arriba y aguas abajo son generalmente conocidos, y a continuación, iterar estos valores de columna interna. Un procedimiento típico para la determinación de las velocidades de flujo en cada rama de una red dada los tamaños de tubos y presiones que entran y salen de la red.

277


5.13

Bombas

Existen una amplia variedad de bombas que están diseñados para diversas aplicaciones específicas. Sin embargo, la mayoría de ellos se pueden clasificar en dos categorías: de desplazamiento positivo y centrífugo. A continuación se describen las características más importantes de cada uno de estos. 5.13.1 Bombas de Desplazamiento Positivo La bomba de desplazamiento positivo plazo es bastante descriptiva, debido a que tales bombas están diseñadas para desplazar un volumen más o menos fija de fluido durante cada ciclo de operación. Incluyen pistón, diafragma, tornillo, engranaje, de cavidad progresiva, y otras. La razón de flujo volumétrico se determina por el desplazamiento por ciclo del miembro móvil (ya sea giratorio o de movimiento alternativo) veces la tasa de ciclo (por ejemplo, rpm). La capacidad de flujo está por lo tanto fijado por el diseño, el tamaño, y la velocidad de funcionamiento de la bomba. La presión (o columna) que desarrolla la bomba depende de la resistencia al flujo del sistema en el que se instala la bomba y sólo está limitado por el tamaño del motor de accionamiento y la fuerza de las partes. Por consiguiente, la bomba desde la línea de descarga no debe ser cerrada sin permitir que para su reciclaje alrededor de la bomba o daños a la bomba podría resultar. En general bombas de desplazamiento positivo tienen capacidad de flujo limitado, pero son capaces de presiones relativamente altas. Así, estas bombas funcionan a velocidad de flujo prácticamente constante, con la cabeza variable. Son apropiados para las necesidades de alta presión, fluidos muy viscosos, y las aplicaciones que requieren un caudal controlado o medido con precisión. 5.13.2 Bombas Centrífugas El término “bombas centrífugas” también es muy descriptivo, debido a que estas bombas funcionan por la transferencia de energía (o momento angular) de un impulsor giratorio al fluido, que se lleva a cabo normalmente en la voluta (carcasa). Una vista de la sección de una bomba centrífuga típica se muestra en la Fig. 5.25. El fluido entra en el eje o'''' ojo del impulsor (que puede ser abierta o cerrada y por lo general contiene paletas curvas radiales) y se descarga desde la periferia del impulsor. La energía cinética y el impulso del fluido se incrementan por el momento angular impartido por el impulsor de alta velocidad. Esta energía cinética se convierte después en energía de presión (cabeza'''') en una zona divergente (la voluta'''') entre la descarga del impulsor y la carcasa antes de que el fluido sale de la bomba. La cabeza que estas bombas pueden desarrollar depende del diseño de la bomba y el tamaño, forma, y la velocidad del impulsor y la capacidad de flujo se determinan por la resistencia al flujo del sistema en el que está instalada la bomba. Por lo tanto, como se muestra, estas bombas funcionan a la cabeza aproximadamente constante y la tasa de flujo variable, dentro de los límites, por supuesto, determinados por el tamaño y el diseño de la bomba y el tamaño del motor de accionamiento.

278


FLORES, Jesús

FIGURE 8-1 Sectional view of a typical centrifugal pump.

Las bombas centrífugas pueden funcionar en un'' cerrado'' condición (es decir, cerró la línea de descarga), bceause el líquido recircule dentro de la bomba sin causar daños. Sin embargo, se deben evitar tales condiciones, debido a la disipación de energía dentro de la bomba podría dar lugar a un calentamiento excesivo del fluido y / o el funcionamiento de la bomba o inestable, con consecuencias adversas. Las bombas centrífugas son los más apropiados para'''' (es decir, viscosidad baja a moderada) líquidos ordinarios en virtud de una amplia variedad de condiciones de flujo y por lo tanto son el tipo más común de bomba. La siguiente discusión se aplica principalmente a las bombas centrífugas. 5.13.3 Características de la Bomba La ecuación de Bernoulli aplicado entre la succión y la descarga de una bomba da ws 

DP



 g Hp

(5.181)

Es decir, la energía neta o trabajo suministrado al fluido por la bomba incrementa la presión del fluido o la altura equivalente (altura manométrica) de la bomba, H p . Sin embargo, como las bombas no son 100% eficientes, parte de la energía suministrada por el motor de la bomba se disipa o “se pierde” debido a la fricción. Es muy complejo caracterizar por separado esta pérdida por fricción, por lo que se explica por la eficiencia de la bomba,  e , que es la relación entre el trabajo útil (o en el trabajo hidráulico) realizado por la bomba en el fluido ( ws ) y el trabajo suminiistrado por el motor en la bomba( wm ):

e 

 ws  wm

(5.181) La eficiencia de una bomba depende del diseño de la bomba y el impeller (impulsor ó rodete), el tamaño y la velocidad del impulsor, y las condiciones bajo las cuales se opera y está determinado por las pruebas llevadas a cabo por el fabricante de la bomba. Esto se discutirá detalladamente más adelante. 279


Al seleccionar una bomba para una aplicación en particular, es necesario especificar la capacidad de flujo y la altura requerida de la bomba. Aunque muchas bombas podrían ser capaces de cumplir con estas especificaciones, la “mejor” bomba es normalmente el que tiene la más alta eficiencia en las condiciones de funcionamiento especificadas. Las condiciones de funcionamiento requeridas, junto con un conocimiento de la eficiencia de la bomba, nos permiten determinar el tamaño requerido (por ejemplo, caballos de fuerza de freno, HP) del motor para accionamiento de la bomba: HP   wm m 

DP Q

e



 gH p Q e

(5.181)

Ahora, la potencia suministrada por el motor a la bomba es también el producto del torque en la torsión del eje de acoplamiento con la bomba () y la velocidad angular del eje (  ): HP   

 gH p Q e

(5.181)

Si se supone que el fluido sale del impulsor tangencialmente a la misma velocidad que el impulsor (una aproximación), a continuación, un balance de momento angular sobre el fluido en contacto con el impulsor da:   m s Ri2   Q Ri2

(5.181)

donde Ri es el radio del impulsor y el momento angular del fluido que ingresa por el orificio del impulsor se ha descuidado (una buena suposición). Mediante la eliminación de  de las Ecs. (8-4) y (8-5) y resolviendo para H P , obtenemos HP 

e 2 Ri2

(5.181)

g

Esto demuestra que la altura de la bomba está determinada principalmente por el tamaño y la velocidad del impulsor y la eficiencia de la bomba, independiente de la velocidad de flujo del fluido. Esto es correcto para muchas bombas centrífugas en una más amplia gama de velocidades de flujo. Sin embargo, hay una limitación al flujo que una bomba dada puede manejar, y cuando la velocidad de flujo se aproxima a este límite, la altura manométrica desarrollada comenzará a disminuir. La eficiencia máxima para la mayoría de las bombas se produce cerca de la velocidad de flujo cuando la altura empieza a disminuir de manera significativa. La Figura 8-2 muestra un conjunto típico de curvas características de bombas según lo determinado por el fabricante de la bomba. “El tamaño 23” significa que la bomba tiene un 2 pulgadas en la descarga y 3 pulgadas en la succión. “R&C” y “1 7/8 pedestal” son designaciones del fabricante, y 3500 rpm es la velocidad del impulsor. Curvas características de impulsores con diámetros desde 6 ¼ a 8 ¾ de pulgada se muestran, y la eficiencia se muestra como las curvas de nivel de eficiencia constante. La eficiencia máxima de esta bomba está por encima de 50%, aunque algunas bombas pueden funcionar a eficiencias tan alto como 80% o 90%. Las condiciones de funcionamiento a la derecha de las curvas de nivel de eficiencia (es decir, más allá de la línea de “máxima capacidad normal” en la Fig. 8-2) se debe evitar, ya que esto podría provocar un funcionamiento 280


FLORES, Jesús

inestable. La bomba con las características de la figura. 8-2 es una bomba de mezclas, con un rodete semiabierto, diseñado para bombear suspensiones de sólidos (esta bomba puede pasar partículas sólidas tan grandes como 114 mm de diámetro). Las curvas características de bomba para una variedad de otras bombas se muestran en el Apéndice H.

FIGURE 8-2 Typical pump characteristic curves. (From TRW Mission Pump Brochure.)

Estas curvas de rendimiento son normalmente determinadas por el fabricante para datos operativos que utilizan agua a 60 ºF. Nota de la Ec. (8-6) que la altura manométrica (columna de fluido) es independiente de las propiedades del fluido, a pesar de partir de la Ec. (8-4), la potencia es proporcional a la densidad del fluido (como es la presión desarrollada). Las curvas de caballos de fuerza en la Fig. 8-2 indican la potencia del motor necesaria para bombear agua a 60 ºF y deben ser corregidos para la densidad cuando se trabaja con otros fluidos y/o a otras temperaturas. En realidad, es mejor utilizar la Ec. (84) para calcular la potencia requerida por el motor a partir de los valores de la altura manométrica, velocidad de flujo, y la eficiencia en el punto de funcionamiento. Las curvas en la Fig. 8-2 etiquetado como “NPSH mínimo” se refiere a las características de cavitación de la bomba, que se discutirá más adelante. 5.13.4 Requerimientos de Bombeo y Selección de la Bomba Al seleccionar una bomba para una aplicación determinada (por ejemplo, una capacidad de caudal requerido y altura manométrica), hay que especificar el tipo de bomba adecuada, el tamaño y el tipo de impulsor, y el tamaño (el poder) y la velocidad (rpm) del motor que hará el “mejor” trabajo. El “mejor” normalmente significa que operan en las proximidades del mejor punto de eficiencia (BEP) en la curva de la bomba (es decir, no inferior a 75% o superior a 110% de la capacidad en el BEP). No sólo podría ser requerida esta condición para hacer el trabajo a un menor costo (es decir, el requisito mínimo de energía), sino que también proporciona la tensión más baja en la bomba debido a que el diseño de la bomba es óptima para las condiciones en el BEP. Nos concentraremos en estos factores y no se involucran con los detalles mecánicos de diseño de la bomba (por ejemplo, el diseño de paletas del impulsor, dimensiones de la voluta o sellos mecánicos). Más detalles sobre estos temas se dan por Karassik et al. (1976). 281


5.13.4.1 Altura Manométrica Requerida

Una aplicación típica de tuberías se inicia con especificar la velocidad de flujo para un fluido determinado. El sistema de tuberías es luego diseñado considerando los accesorios y válvulas necesarias, etc y debe ser dimensionado para un tamaño más económico de tubería, como se explicó en el ítem 5.9. Aplicando la ecuación de balance de energía mecánica (Bernoulli) para todo el sistema, desde el extremo aguas arriba (punto 1) al extremo aguas abajo (punto 2) determinamos la fuerza motriz global neta (DF) en el sistema requerido para superar la resistencia debido a la fricción: DF   e f

(5.181)

(donde se supone que el cambio de energía cinética es insignificante).

La altura total (fuerza motriz) es la suma neta de la altura manométrica de la bomba, la caída de presión total, y la caída de la elevación: P P DF  H P  1 2   z1  z2  g g

(5.181)

La pérdida por fricción (  e f ) es la suma de todas las pérdidas desde el punto 1 (aguas arriba) al punto 2 (aguas abajo):

 v2

e   2 K f

i



f

 8Q 2  K f    2  4    i  D i

(5.181)

donde los coeficientes de pérdida ( K f ) incluyen las tuberías, válvulas, accesorios, contracciones, expansiones, etc. en el sistema. La eliminación de DF y  e f de las Ecs. (8-7), (8-8) y (8-9) y resolviendo para la altura de la bomba, H P , se tiene

HP 

P1  P2 8Q2  K    z2  z1   2   4f  g g i  D i

(5.181)

Esto se relaciona con el requisito de altura de la bomba del sistema a la pérdida de los parámetros del sistema (por ejemplo, los valores K f ) y el caudal de flujo especificado. Tenga en cuenta que H P es una función cuadrática de Q para el flujo altamente turbulento (es decir, K f constante). Para flujo laminar, los valores de K f son inversamente proporcionales al número de Reynolds, que resulta en una relación lineal entre H P y Q. Una gráfica de Hp frente a Q, de la Ec. (8-10), que se ilustra en la Figura 8-2 como línea S1 , que se llama la línea de operación del sistema. Así, la altura de bombeo requerida y capacidad de flujo son determinadas por los requisitos del sistema, y hay que seleccionar la mejor bomba para cumplir con este requisito. 5.13.4.2 Curvas Compuestas

La mayoría de los fabricantes de bombas proporcionan curvas compuestas, tales como las que se muestran en la figura. 8-3, que muestran el rango de operación de varias bombas. Para cada bomba que proporciona la velocidad de flujo requerida y la cabeza, a 282


FLORES, Jesús

continuación, se consulta a las características individuales de la bomba (tales como los que se muestran en la figura. 8-2 y Apéndice H). La intersección de la curva del sistema con la curva característica de la bomba para un impulsor dado determina el punto de funcionamiento de la bomba. El diámetro del impulsor se selecciona que va a producir la cabeza requerida (o mayor a la velocidad de flujo especificada). Esto se repite para todos los posibles de la bomba, el impulsor, y combinaciones de velocidad para determinar la combinación que da lugar a la más alta eficiencia (es decir, menos requerimiento de potencia). Tenga en cuenta que si el punto de funcionamiento no cae exactamente en una de las curvas (impulsor), entonces el diámetro del impulsor real que produce la cabeza más alta en la tasa de flujo requerida Q se elige. Sin embargo, cuando esta bomba está instalada en el sistema, el punto de funcionamiento real se corresponderá con la intersección de la curva del sistema [Eq. (8-10)] y la curva real impulsor de la bomba en este punto, como se indica por la X en la figura. 8-2. B. Composite Curves Most pump manufacturers provide composite curves, such as those shown in Fig. 8-3, that show the operating range of various pumps. For each pump that provides the required flow rate and head, the individual pump characteristics (such as those shown in Fig. 8-2 and Appendix H) are then consulted. The intersection of the system curve with the pump characteristic curve for a given impeller determines the pump operating point. The impeller diameter is selected that will produce the required head (or greater at the specified flow rate). This is repeated for all possible pump, impeller, and speed combinations to determine the combination that results in the highest efficiency (i.e., least power requirement). Note that if the operating point ( H P , Q) does not fall exactly on one of the (impeller) curves, then the actual impeller diameter that produces the higher head at the required flow rate Q is chosen. However, when this pump is installed in the system, the actual operating point will correspond to the intersection of the system curve [Eq. (8-10)] and the actual pump impeller curve at this point, as indicated by the X in Fig. 8-2.

FIGURE 8-3 Typical pump composite curve. (From TRW Mission Pump Brochure [manufacturer’s catalog.])

Example 8-1: Pump Selection. Consider a piping system that must deliver water at a rate of 275 gpm from one storage tank to another, both of which are at atmospheric pressure, with the level in the downstream tank being 50 ft higher than in the upstream tank. The piping 283


system contains 65 ft of 2 in. sch 40 pipe, one globe valve, and six elbows. If the pump to be used has the characteristics shown in Fig. 8-2, what diameter impeller should be used with this pump, and what motor horsepower would be required? Solution. The head requirement for the piping system is given by Eq. (8-10). Here, z2 z1 ¼ 50 ft and, since both upstream and downstream pressures are 1 atm, P ¼ 0. The Reynolds number at 275 gpm for water at 608F is 4:21 105, which gives a friction factor of 0.00497 in commercial steel pipe ("=D ¼ 0:0018=2:067Þ. The corresponding loss coefficient for the pipe is Kpipe ¼ 4fL=D ¼ 7:51, and the loss coefficients for the fittings from Table 7-3 are (assuming flanged connections) elbow, K1 ¼ 800, Ki ¼ 0:091, Kd ¼ 4:0; globe valve, K1 ¼ 1500, Ki ¼ 1:7, Kd ¼ 3:6. At the pipe Reynolds number, this gives P ðKfÞ ¼ ðKpipe þ KGlbV þ 6Kel ¼ 16:4. The curve labeled S1 in Fig. 8-2 is Hp vs. Q from Eq. (8-10), for this value of the loss coefficients. This neglects the variation of the Kf over the range of flow rate indicated, which is a good assumption at this Reynolds number. At a flow rate of 275 gpm, the required head from Eq. (8-10) is 219 ft. The point where the flow rate of 275 gpm intersects the system curve in Fig. 8-2 (at 219 ft of head) falls between impeller diameters of 71 4 and 73 4 in., as indicated by the O on the line. Thus, the 7 1 4 in. diameter would be too small, so we would need the 714 in. diameter impeller. However, if the pump with this impeller is installed in the system, the operating point would move to the point indicated by the X in Fig. 8-2. This corresponds to a head of almost 250 ft and a flow rate of about 290 gpm (i.e., the excess head provided by the larger impeller results in a higher flow rate than desired, all other things being equal). One way to achieve the desired flow rate of 275 gpm would obviously be to close down on the valve until this value is achieved. This is equivalent to increasing the resistance (i.e., the loss coefficient) for the system, which will shift the system curve upward until it intersects the 73 4 in. impeller curve at the desired flow rate of 275 gpm. The pump will still provide 250 ft of head, but about 30 ft of this head is ‘‘lost’’ (dissipated) due to the additional resistance in the partly closed valve. The pump efficiency at this operating point is about 47%, and the motor power (Hp) required to pump water at 608F at this point is HP ¼ gHpQ= e ¼ 37 hp. A control valve operates in this mode automatically (as discussed in Chapter 10), but this is obviously not an efficient use of the available energy. A more efficient way of controlling the flow rate, instead of closing the valve, might be to adjust the speed of the impeller by using a variable speed drive. This would save energy because it would not increase the friction loss as does closing down on the valve, but it would require greater capital cost because variable speed drives are more expensive than fixed speed motors. 5.14

Cavitación y Altura Neta Positiva de Aspiración

5.14.1 Vapor Bloqueado y Cavitación A. Vapor Lock y Cavitación Como se mencionó anteriormente, una bomba centrífuga aumenta la presión del fluido por primera momento angular que imparte (o energía cinética) para el fluido, que se convierte en presión en el difusor o sección voluta. Por lo tanto, la velocidad del fluido en y alrededor del impulsor es mucho más alta que entren o salgan de la bomba, y la presión es la más baja en donde la velocidad es más alta. La presión mínima a la que una bomba funcionará 284


FLORES, Jesús

correctamente debe estar por encima de la presión de vapor del fluido, de lo contrario el líquido se vaporizará (o ebullición''''), una condición conocida como la cavitación. Obviamente, cuanto mayor es la temperatura mayor es la presión de vapor y mayor será la probabilidad de que ocurra esta condición. Cuando una bomba centrífuga contiene un gas o vapor que todavía desarrollar la misma cabeza, pero debido a que la presión es proporcional a la densidad del fluido será varios órdenes de magnitud inferior a la presión de un líquido a la misma cabeza. Esta condición (cuando la bomba está llena de un gas o vapor) se conoce como bloqueo de vapor, y la bomba no funcionará cuando esto ocurre. Sin embargo, la cavitación puede resultar en una condición aún más grave que el bloqueo de vapor. Cuando la presión en cualquier punto dentro de la bomba cae por debajo de la presión de vapor del líquido, las burbujas de vapor se forman en ese punto (esto generalmente se produce en o cerca del impulsor). Estas burbujas van a continuación ser transportados a otra región en el líquido donde la presión es mayor que la presión de vapor, momento en el que se colapsarán. Esta formación y colapso de las burbujas se produce muy rápidamente y pueden crear ondas de choque locales'''', que pueden causar la erosión y un daño grave para el impulsor o bomba. (A menudo es evidente cuando una bomba se produce cavitación, ya que puede sonar como si hay rocas en la bomba!). IV. CAVITATION AND NET POSITIVE SUCTION HEAD (NPSH) A. Vapor Lock and Cavitation As previously mentioned, a centrifugal pump increases the fluid pressure by first imparting angular momentum (or kinetic energy) to the fluid, which is converted to pressure in the diffuser or volute section. Hence, the fluid velocity in and around the impeller is much higher than that either entering or leaving the pump, and the pressure is the lowest where the velocity is highest. The minimum pressure at which a pump will operate properly must be above the vapor pressure of the fluid; otherwise the fluid will vaporize (or ‘‘boil’’), a condition known as cavitation. Obviously, the higher the temperature the higher the vapor pressure and the more likely that this condition will occur. When a centrifugal pump contains a gas or vapor it will still develop the same head, but because the pressure is proportional to the fluid density it will be several orders of magnitude lower than the pressure for a liquid at the same head. This condition (when the pump is filled with a gas or vapor) is known as vapor lock, and the pump will not function when this occurs. However, cavitation may result in an even more serious condition than vapor lock. When the pressure at any point within the pump drops below the vapor pressure of the liquid, vapor bubbles will form at that point (this generally occurs on or near the impeller). These bubbles will then be transported to another region in the fluid where the pressure is greater than the vapor pressure, at which point they will collapse. This formation and collapse of bubbles occurs very rapidly and can create local ‘‘shock waves,’’ which can cause erosion and serious damage to the impeller or pump. (It is often obvious when a pump is cavitating, because it may sound as though there are rocks in the pump!). 5.14.2 Altura Neta Positiva de Aspiración (NPSH) Para evitar la cavitación, es necesario que la presión en la succión de la bomba sea suficientemente alta para que la presión mínima en cualquier lugar de la bomba estará por encima de la presión de vapor. Esta presión de succión mínima requerida (en exceso de la presión de vapor) depende del diseño de la bomba, el tamaño y la velocidad del impulsor, 285


y la velocidad de flujo y se llama la cabeza mínimo requerido de aspiración neta positiva (NPSH). Los valores de la NPSH mínima requerida para la bomba en la figura. 8-2 se muestran como líneas discontinuas. La NPSH es casi independiente del diámetro del impulsor a velocidades de flujo bajas y aumenta con la velocidad de flujo, así como con el diámetro del impulsor a velocidades de flujo más altas. A veces se distingue entre el'''' NPSH mínima necesaria para evitar la cavitación (a veces llamado el NPSHR) y el jefe real (por ejemplo, presión)'''' disponibles en la succión de la bomba (NPSHA). Una bomba no cavitación si NPSHA> (NPSHR + carga de presión de vapor). La NPSH en el punto de operación para la bomba determina que la bomba se puede instalar en un sistema de tuberías para asegurar que no se produzca la cavitación. El criterio es que la carga de presión en la succión (entrada) de la bomba (por ejemplo, la NPSHD) debe ser superior a la presión de vapor de cabeza por lo menos el valor de la NPSH (o NPSHR) para evitar la cavitación. Por lo tanto, si la presión en la aspiración de la bomba es de Ps y la presión de vapor del fluido es Pv en la temperatura de funcionamiento, se puede prevenir la cavitación si B. NPSH To prevent cavitation, it is necessary that the pressure at the pump suction be sufficiently high that the minimum pressure anywhere in the pump will be above the vapor pressure. This required minimum suction pressure (in excess of the vapor pressure) depends upon the pump design, impeller size and speed, and flow rate and is called the minimum required net positive suction head (NPSH). Values of the minimum required NPSH for the pump in Fig. 8-2 are shown as dashed lines. The NPSH is almost independent of impeller diameter at low flow rates and increases with flow rate as well as with impeller diameter at higher flow rates. A distinction is sometimes made between the minimum NPSH ‘‘required’’ to prevent cavitation (sometimes termed the NPSHR) and the actual head (e.g., pressure) ‘‘available’’ at the pump suction (NPSHA). A pump will not cavitate if NPSHA > (NPSHR + vapor pressure head). The NPSH at the operating point for the pump determines where the pump can be installed in a piping system to ensure that cavitation will not occur. The criterion is that the pressure head at the suction (entrance) of the pump (e.g., the NPSHA) must exceed the vapor pressure head by at least the value of the NPSH (or NPSHR) to avoid cavitation. Thus, if the pressure at the pump suction is Ps and the fluid vapor pressure is Pv at the operating temperature, cavitation will be prevented if NPSHA 

PS P  NPSH  V g g

(5.181)

La presión de aspiración Ps es determinada por la aplicación de la ecuación de Bernoulli a la línea de aspiración aguas arriba de la bomba. Por ejemplo, si la presión en la entrada de la tubería de aspiración aguas arriba es P1, la distancia máxima por encima de este punto que la bomba puede estar situado sin cavitación (es decir, la altura máxima de aspiración) se determina por la ecuación de Bernoulli de P1 a Ps: The suction pressure Ps is determined by applying the Bernoulli equation to the suction line upstream of the pump. For example, if the pressure at the entrance to the upstream suction 286


FLORES, Jesús

line is P1, the maximum distance above this point that the pump can be located without cavitating (i.e., the maximum suction lift) is determined by Bernoulli’s equation from P1 to Ps :

hmax 

P1  PV v 2  v 2   e f s  NPSH  1 S  g 2g g

(5.181)

donde la ecuación. (8-11) se ha utilizado por Ps. V1 es la velocidad de entrar en la línea de succión, Vs es la velocidad a la entrada de la bomba (succión), y pdef THS es la pérdida de fricción total en la línea de aspiración desde la entrada aguas arriba (punto 1) a la entrada de la bomba, incluyendo todas las tuberías, accesorios, etc el diámetro del puerto de succión de la bomba es generalmente más grande que el diámetro de descarga o de salida con el fin de reducir al mínimo la cabeza de la energía cinética en la bomba, porque esta energía cinética disminuye la altura máxima de aspiración y mejora la cavitación. Tenga en cuenta que si la altura máxima de aspiración (Hmax) es negativo, la bomba debe estar situado por debajo de la entrada aguas arriba de la línea de succión para evitar la cavitación. Es mejor ser conservador cuando se interpretan los requisitos de NPSH para evitar la cavitación. El NPSH mínima requerida en las curvas de la bomba se determina normalmente con agua a 608F con la línea de descarga completamente abierta. Sin embargo, a pesar de que una bomba funcionará con una línea de descarga cerrada sin derivación, habrá mucho más de recirculación dentro de la bomba si esto ocurre, lo que aumenta la turbulencia local y velocidades locales, así como calefacción disipativo, ambos de los cuales aumentar el mínimo requerido NPSH. Esto es especialmente cierto con las bombas de alta eficiencia, que tienen de holguras entre el impulsor y la carcasa de la bomba. where Eq. (8-11) has been used for Ps. V1 is the velocity entering the suction line, Vs is the velocity at the pump inlet (suction), and Pðef Þs is the total friction loss in the suction line from the upstream entrance (point 1) to the pump inlet, including all pipe, fittings, etc. The diameter of the pump suction port is usually bigger than the discharge or exit diameter in order to minimize the kinetic energy head entering the pump, because this kinetic energy decreases the maximum suction lift and enhances cavitation. Note that if the maximum suction lift (hmax) is negative, the pump must be located below the upstream entrance to the suction line to prevent cavitation. It is best to be conservative when interpreting the NPSH requirements to prevent cavitation. The minimum required NPSH on the pump curves is normally determined using water at 608F with the discharge line fully open. However, even though a pump will run with a closed discharge line with no bypass, there will be much more recirculation within the pump if this occurs, which increases local turbulence and local velocities as well as dissipative heating, both of which increase the minimum required NPSH. This is especially true with high efficiency pumps, which have close clearances between the impeller and pump casing. 5.14.3 Velocidad Específica La velocidad de flujo, la cabeza, y la velocidad del impulsor en el máximo o mejor'''' punto de eficiencia (BEP) de la característica de la bomba se puede utilizar para definir un grupo adimensional denominada la velocidad específica: C. Specific Speed 287


The flow rate, head, and impeller speed at the maximum or ‘‘best’’ efficiency point (BEP) of the pump characteristic can be used to define a dimensionless group called the specific speed: NS 

N Q H3 4

 rpm gpm   34  pie 

en 

(5.181)

Aunque este grupo es adimensional (y por lo tanto sin unidades), es una práctica común el uso de unidades mixtas seleccionados (inconsistente) al citar el valor de Ns, es decir, en rpm N, Q en gpm, y H en los pies. El valor de la velocidad específica representa la relación de la tasa de flujo de la bomba a la cabeza a la velocidad correspondiente al punto de máxima eficiencia (BEP) y depende principalmente del diseño de la bomba y el impulsor. Como se dijo anteriormente, las bombas centrífugas operan a más cabezas relativamente bajas y las altas tasas de flujo, por ejemplo, valores altos de Ns. Sin embargo, este valor depende en gran medida del diseño del impulsor, que puede variar ampliamente de flujo radial casi puro de flujo axial casi puro (como un ventilador). Algunos ejemplos de los diversos tipos de diseño de impulsor se muestran en la figura. 8-4. Impulsores de flujo radial tienen la más alta la cabeza y la capacidad de flujo más bajo (bajo Ns), mientras que los impulsores de flujo axial tienen un alto caudal y característico baja presión (alta Ns). Por lo tanto la magnitud de la velocidad específica es una indicación directa del diseño de impulsor y el rendimiento, como se muestra en la figura. 8-5. Figura 8-5 también indica el rango de velocidades de flujo y la eficiencia de los diversos diseños de impulsores, como una función de la velocidad específica. Como se indica en la figura. 8-5, la eficiencia máxima corresponde aproximadamente a una velocidad específica de alrededor de 3000. Although this group is dimensionless (and hence unitless), it is common practice to use selected mixed (inconsistent) units when quoting the value of Ns, i.e., N in rpm, Q in gpm, and H in feet. The value of the specific speed represents the ratio of the pump flow rate to the head at the speed corresponding to the maximum efficiency point (BEP) and depends primarily on the design of the pump and impeller. As previously stated, most centrifugal pumps operate at relatively low heads and high flow rates, e.g., high values of Ns. However, this value depends strongly on the impeller design, which can vary widely from almost pure radial flow to almost pure axial flow (like a fan). Some examples of various types of impeller design are shown in Fig. 8-4. Radial flow impellers have the highest head and lowest flow capacity (low Ns), whereas axial flow impellers have a high flow rate and low head characteristic (high Ns). Thus the magnitude of the specific speed is a direct indication of the impeller design and performance, as shown in Fig. 8-5. Figure 8-5 also indicates the range of flow rates and efficiencies of the various impeller designs, as a function of the specific speed. As indicated in Fig. 8-5, the maximum efficiency corresponds roughly to a specific speed of about 3000. 5.14.4 Velocidad Específica de Aspiración Otro grupo adimensional'''', análoga a la velocidad específica, que se relaciona directamente con las características de cavitación de la bomba es la velocidad específica de succión, Ns: D. Suction Specific Speed Another ‘‘dimensionless’’ group, analogous to the specific speed, that relates directly to the cavitation characteristics of the pump is the suction specific speed, Nss: 288


N SS 

NQ1 2

 NPSH 

FLORES, Jesús

(5.181)

34

Las unidades utilizadas en este grupo también son rpm, gpm y pies Esto identifica las condiciones de entrada que producen comportamiento de flujo similar en la entrada de pasos de entrada de la bomba geométricamente similares. Tenga en cuenta que la velocidad específica de succión (NSS) sólo se refiere a las características de cavitación de la bomba como relacionados con las condiciones de entrada, mientras que la velocidad específica (ns) se refiere a la totalidad de la bomba en el MPA. La velocidad específica de succión se puede utilizar, por ejemplo, para caracterizar las condiciones bajo las cuales puede ocurrir la recirculación excesiva en la entrada a los álabes del impulsor. La recirculación implica la inversión del flujo y la reentrada resultante de gradientes de presión indeseables en la entrada o de descarga de los álabes del impulsor, y su ocurrencia generalmente define los límites de funcionamiento estable de la bomba. Por ejemplo, la fig. 8-6 muestra el efecto de la velocidad específica de succión en la ventana de recirculación estable'' libre''-operativo, expresado como NPSH frente al porcentaje de la capacidad en MPA, para varios valores de NSS. The units used in this group are also rpm, gpm and ft. This identifies the inlet conditions that produce similar flow behavior in the inlet for geometrically similar pump inlet passages. Note that the suction specific speed (Nss) relates only to the pump cavitation characteristics as related to the inlet conditions, whereas the specific speed (Ns) relates to the entire pump at the BEP. The suction specific speed can be used, for example, to characterize the conditions under which excessive recirculation may occur at the inlet to the impeller vanes. Recirculation involves flow reversal and reentry resulting from undesirable pressure gradients at the inlet or discharge of the impeller vanes, and its occurrence generally defines the stable operating limits of the pump. For example, Fig. 8-6 shows the effect of the suction specific speed on the stable ‘‘recirculation-free’’ operating window, expressed as NPSH versus percent of capacity at BEP, for various values of Nss.

FIGURE 8-5 Correlation between impeller shape, specific speed, and efficiency. (From Karassik et al., 1976.)

289


Debe tenerse en cuenta que hay parámetros en conflicto en el diseño adecuado de una bomba centrífuga. Por ejemplo, la ecuación. (8-12) muestra que cuanto menor sea la velocidad de aspiración (Vs), menor es la tendencia a la cavitación, es decir, la menos grave el requisito de NPSH. Esto habría determinado que el ojo del impulsor debe ser tan grande como sea práctico con el fin de minimizar vs. Sin embargo, un gran ojo del impulsor significa una velocidad punta alta aleta en la entrada del rodete, que está desestabilizando respecto de recirculación. Por lo tanto, es conveniente diseñar el impulsor con el diámetro del ojo es más pequeña que sea posible.

It should be noted that there are conflicting parameters in the proper design of a centrifugal pump. For example, Eq. (8-12) shows that the smaller the suction velocity (Vs), the less the tendency to cavitate, i.e., the less severe the NPSH requirement. This would dictate that the eye of the impeller should be as large as practical in order to minimize Vs. However, a large impeller eye means a high vane tip speed at the impeller inlet, which is destabilizing with respect to recirculation. Hence, it is advisable to design the impeller with the smallest eye diameter that is practicable.

290


FLORES, Jesús

4.1 Pumps and pumping Pumps are devices for supplying energy or head to a flowing liquid in order to overcome head losses due to friction and also, if necessary, to raise the liquid to a higher level. The head imparted to a flowing liquid by a pump is known as the total head Ah. If a pump is placed between points 1 and 2 in a pipeline, the heads for steady flow are related by equation 1.14

 P2 v22   P1 v12  z    z    2   1   Dh  h f 2 g 2 g 2   1 g 2 g1  

(5.181)

In equation 1.14, z, P/(pg), and u2/(2ga) are the static, pressure and velocity heads respectibely and hf is the head loss due to friction. The dimensionless velocity distribution factor CY is 4 for laminar flow and approximately 1 for turbulent flow. For a liquid of density p flowing with a constant mean velocity u through a pipeline of circular cross section and constant diameter between points 1 and 2 separated by a pump, equation 1.14 can be written as

(4.1) For the most part, pumps can be classified into centrifugal and positive displacement pumps. 4.2 System heads The important heads to consider in a pumping system are the suction, discharge, total and available net positive suction heads. The following definitions are given in reference to the typical pumping system shown in Figure 4.1 where the arbitrarily chosen base line is the centre-line of the pump.

Figure 4.1 Typical pumping system

Suction head:

Discharge head:

291


In equation 4.2, hfs is the head loss due to friction, z, is the static head and P, is the gas pressure above the liquid in the tank on the suction side of the pump. If the liquid level on the suction side is below the centre-line of the pump, z, is negative. In equation 4.3, hfd is the head loss due to friction, zd is the static head and p d is the gas pressure above the liquid in the tank on the discharge side of the pump. h, and hd are the values of (Plpg + u2/2gcy + z) at the suction flange and at the discharge flange respectively. Equations 4.7. and 4.3 are obtained by applying Bernoulli’s equation between the supply tank and the suction flange, and between the discharge flange and the receiving tank, respectively. On the suction side, the frictional loss hfi reduces the total head at the suction flange but on the discharge side, hfd increases the head at the discharge flange. The total head Ah which the pump is required to impart to the flowing liquid is the difference between the discharge and suction heads: A h z h d - h , (4.4) Equation 4.4 can be written in terms of equations 4.2 and 4.3 as

The head losses due to friction are given by the equations

and (4.7) where CL,, and ZL,d are the total equivalent lengths on the suction and discharge sides of the pump respectively. The suction head h, decreases and the discharge head hd increases with increasing liquid flow rate because of the increasing value of the friction head loss terms hfi and b d . Thus the total head Ah which the pump is required to impart to the flowing liquid increases with the liquid pumping rate. It is clear from equation 4.2 that the suction head h, can fall to a very low value, for example when the suction frictional head loss is high and the static head z, is low. If the absolute pressure in the liquid at the suction flange falls to, or below, the absolute vapour pressure Pv of the liquid, bubbles of vapour will be formed at the pump inlet. Worse still, even if the pressure at the suction flange is slightly higher than the vapour pressure, cavitation-the formation and subsequent collapse of vapour bubbleswill occur within the body of the pump because the pressure in the pump falls further as the liquid is accelerated. In order that cavitation may be avoided, pump manufacturers specify a minimum value by which the total head at the suction flange must exceed the head corresponding to the liquid's vapour pressure. The difference between the suction head and the vapour pressure head is known as the Net Positive Suction Head, NPSH: Substituting for h, from equation 4.2, the available NPSH is given by (4.9) 292


FLORES, Jesús

The available NPSH given by equations 4.8 and 4.9 must exceed the value required by the pump and specified by the manufacturer. The required NPSH increases with increasing flow rate as discussed below. 4.3 Centrifugal pumps In centrifugal pumps, energy or head is imparted to a flowing liquid by centrifugal action. The most common type of centrifugal pump is the volute pump. In volute pumps, liquid enters near the axis of a high speed impeller and is thrown radially outward into a progressively widening spiral casing as shown in Figure 4.2. The impeller vanes are curved to ensure a smooth flow of liquid. The velocity head imparted to the liquid is gradually converted into pressure head as the velocity of the liquid is reduced. The efficiency of this conversion is a function of the design of the impeller and casing and the physical properties of the liquid.

Figure 4.2 Volute centrifugal pump casing design

The performance of a centrifugal pump for a particular rotational speed of the impeller and liquid viscosity is represented by plots of total head against capacity, power against capacity, and required NPSH against capacity. These are known as characteristic curves of the pump. Characteristic curves have a variety of shapes depending on the geometry of the impeller and pump casing. Pump manufacturers normally supply these curves only for operation with water. However, methods are available for plotting curves for other viscosities from the water curves [Holland and Chapman (1966)] The most common shape of a total head against capacity curve for a conventional volute centrifugal pump is shown in Figure 4.3, where Ah is the total head developed by the pump and Q is the volumetric flow rate of liquid or capacity. The maximum total head developed by the pump is at zero capacity. As the liquid throughput is increased, the total head developed decreases. The pump can operate at any point on the Ah against Q curve. Any individual Ah against Q curve is only true for a particular rotational speed of the impeller and liquid viscosity. As the liquid viscosity increases the Ah against Q curve becomes steeper. Thus the shaded area in Figure 4.3 increases as the liquid viscosity increases. 293


The total head Ah developed by a centrifugal pump at a particular capacity Q is independent of the liquid density. Thus the higher the density of the liquid, the higher the pressure hp developed by the pump. The relationship between AI' and Ah is given by equation 4.10 AI' = pAhg (4.10) Thus if a centrifugal pump develops a total head of 100 m when pumping a liquid of density p = 1000 kg/m3, the pressure developed is 981 000 Pa; while for p = 917 kg/m3 the pressure developed is 900000 Pa. Equation 4.10 shows that when a centrifugal pump runs on air, the pressure developed is very small. In fact, a conventional centrifugal pump can never prime itself when operating on a suction lift. In a particular system, a centrifugal pump can only operate at one point on the Ah against Q curve and that is the point where the pump Ah against Q curve intersects with the system Ah against Q curve as shown in Figure 4.4. Equation 4.5 gives the system total head at a particular liquid flow rate.

294


5.15

FLORES, Jesús

Problemas

1. Debe diseñar un oleoducto para transportar el petróleo crudo a un ritmo de 1 millón de barriles por día. Si la viscosidad del aceite es de 25 cP y su SG es 0.9, ¿cuál es el diámetro más económica para el oleoducto si el costo de la tubería es de $ 3 por pie de longitud y por cada pulgada de diámetro, si la energía cuesta $ 0.05/kWh y el costo de la tubería debe ser amortizado en un período de 3 años? El aceite entra y sale de la tubería a la presión atmosférica. ¿Cuál sería la respuesta sea si la vida útil de la tubería con 30 años? 2. Un oleoducto se construirá para transportar hidrocarburos a razón de 1 millón de barriles por día (bbl 1 ¼ 42 gal). Si el tubo cuesta $ 12 por pie de longitud por pulgada de diámetro, el poder hacer funcionar las bombas cuesta $ 0.07/kWh, y la vida útil de la tubería es de 30 años, ¿cuál es el diámetro más económica para el gasoducto? ¿Qué potencia total de la bomba sería necesario si la línea es de 800 millas de largo, suponiendo bombas eficientes 100%? (Petróleo: ¼ 35 cP, ¼ 0:85 g/cm3). 3. Un mineroducto de carbón se va a construir para transportar 45 millones de toneladas / año de lodos de carbón a una distancia de 1.500 millas. La suspensión se puede describir aproximadamente como newtoniano, con una viscosidad de 35 cP y SG de 1,25. La tubería debe ser construido a partir de tubos de acero ANSI 600 # comercial, las bombas son de 50% de eficiencia, los costos de energía son de $ 0.06/kWh, y la vida útil de la tubería es de 25 años. ¿Cuál sería el diámetro del tubo más económica, y cuál sería la velocidad correspondiente en la línea? 4. El oleoducto de Alaska fue diseñado para transportar petróleo crudo a un ritmo de 1,2 millones de barriles / día (1 bbl ¼ 42 gal). Si se supone que el aceite sea newtoniana, con una viscosidad de 25 cP y SG ¼ 0:85, el costo de la energía es de $ 0.1/kWh, y el grado de tubería es de 600 # ANSI, ¿cuál sería el diámetro más económica para el gasoducto ? Supongamos que la vida útil de la tubería es de 30 años. 5. ¿Cuál es el diámetro más económico de una tubería que se requiere para el transporte de petróleo crudo (¼ 30 cP, SG ¼ 0:95) a un ritmo de 1 millón de barriles / día utilizando ANSI 1500 # tubería si el costo de la energía es de $ 0.05/kWh (en dólares de 1980), la vida útil de la tubería es de 40 años, y las bombas son un 50% de eficiencia. 6. Encontrar el diámetro más económico de SCH 40 tubos de acero comercial que sería necesaria para el transporte de una fracción de petróleo con una viscosidad de 60 cP y SG de 1,3 a una velocidad de 1,500 gpm. La vida económica de la tubería es de 30 años, el costo de la energía es de $ 0.08/kWh y el rendimiento de la bomba es de 60%. El costo de la tubería es de $ 20 por pie longitud por pulgada ID. ¿Cuál sería el diámetro más económico utilizar si la tubería es de acero inoxidable, con un costo de $ 85 por (ft pulg ID), todos en igualdad de condiciones? 7. Debe diseñar y especificar equipos para el transporte de ácido acético 100% (SG ¼ de 01:00, ¼ de 1 cP) a una tasa de 50 gpm a partir de un recipiente grande a nivel del suelo en un tanque de almacenamiento que es de 20 pies por encima del recipiente. La línea incluye 500 pies de tubería y ocho codos bridas. Es necesario el uso de acero inoxidable para el sistema (tubo es hidráulicamente liso), y se debe determinar el tamaño de la tubería más económico utilizar. Tiene 1,5 pulgadas y 2 pulgadas nominal sch 40 tubos 295


disponibles para el trabajo. El costo puede estimarse a partir de las siguientes fórmulas aproximadas: Costo de la bomba: Costo ($) = 75,2 (gpm) 0:3 (ft de la cabeza) 0:25 Costo Motor: Costo ($) ¼ 75 (hp) 0:85 Costo del tubo: Costo ($) / ft ¼ 2,5 (nominal diámetro, mm) 3 = 2 908 codo: Costo ($) = 5 (nominal dia, in) 01:05 Energía: Costo ¼ 0,03 $ / kWh a.

Calcular la altura de la bomba total (es decir, la caída de presión) que se requieren para cada tamaño de la tubería, en pie de cabeza.

b.

Calcular el hp del motor requerido para cada tamaño de tubería asumiendo 80% de eficiencia de la bomba (motores disponibles sólo en múltiplos de 1/4 HP)

c.

Calcular el costo de capital total de la bomba, motor, tuberías y accesorios para cada tamaño de la tubería.

d.

Si se asume que la vida útil de la instalación es de 5 años, se calcula el costo total de operación durante este período para cada tamaño de la tubería.

e.

¿Qué tamaño de los resultados de la tubería en el costo total más bajo durante el período de 5 años?

8. Un gran edificio tiene un techo con unas dimensiones de 50 pies FT200, que desemboca en un sistema de alcantarilla. El canal contiene tres bajantes de aluminio elaborados que tienen una sección transversal cuadrada, 3 pulgadas de lado. La longitud de los tubos de bajada desde el techo hasta el suelo es de 20 pies ¿Qué es la lluvia más pesadas (en pulg. / Hr) que los tubos de bajada puede manejar antes de que el canal se desborde? 9. Un techo drena en un canalón, que se alimenta el agua en un tubo de bajada con una sección transversal cuadrada (4 pulg 4 pulg). El extremo de descarga del tubo de bajada es de 12 pies por debajo de la entrada, y termina en una (un soldado) codo 908 inglete. La bajada es de chapa metálica lisa. f.

¿Cuál es la capacidad del tubo de bajada, en gpm?

g.

¿Cuál sería la capacidad si no existiera el codo en el final?

10. Un canal de concreto abierto se va a construir para llevar el agua desde una unidad de la planta a un lago de enfriamiento por flujo de gravedad. El canal tiene una sección transversal cuadrada y es de 1.500 pies de largo. La elevación en el extremo de aguas arriba es 10 pies más alto que el del extremo inferior. Si el canal se va a diseñar para llevar 10.000 gpm de agua llenos, lo que debe ser su tamaño (es decir, el ancho)? Supongamos hormigón colado bruto. 11. Un canal de drenaje abierto con una sección transversal rectangular es de 10 pies de ancho y 5 pies de profundidad. Si el canal inclinado 5 pies de 1 mi, ¿cuál es la capacidad del canal en gpm cuando ejecuta por completo de agua? 12. Una zanja de drenaje de hormigón revestida tiene una sección transversal triangular que es un triángulo equilátero 8 pies en cada lado. La zanja tiene una pendiente de 3 pies / millas. ¿Cuál es la capacidad de caudal de la acequia, en gpm? 296


FLORES, Jesús

13. Un canal de drenaje abierto se va a construir para llevar el agua a una velocidad máxima de 106 gpm. El canal está revestido de concreto y tiene una sección transversal rectangular con una anchura que es dos veces su profundidad. La elevación del canal cae por 3 pies por milla de longitud. ¿Qué deben las dimensiones del canal de ser? 14. Una zanja de drenaje debe ser construido para llevar agua de escorrentía de una subdivisión. La capacidad máxima de diseño es de 1 millón gph (gal / hr), y será de hormigón revestido. Si la zanja tiene una sección transversal que es un triángulo equilátero (abierto en la parte superior) y si tiene una pendiente de 2 ft / mi, ¿cuál debería ser la anchura en la parte superior? 15. Un canal de drenaje debe ser cavado para mantener un área baja de las inundaciones durante las fuertes lluvias. El canal podría llevar el agua a un río que es 1 mi de distancia y 6 pies más baja en altitud. El canal se llena de hormigón moldeado y tendrá una sección transversal semicircular. Si se clasifica para drenar toda el agua que cae sobre una zona de 1 km2 en una precipitación de 4 pulg. / Hr, lo que si el diámetro del semicírculo ser? 16. Un canal de drenaje abierto con una sección transversal rectangular y una anchura de 20 pies se alinea con el hormigón. El canal tiene una pendiente de 1 ft/1000 m. ¿Cuál es la profundidad del agua en el canal cuando el agua está fluyendo a través de ella a una velocidad de 500 000 gpm? 17. Un sistema de ventilación de aire debe estar diseñado para suministrar aire a presión atmosférica y 208F a una velocidad de 150 m3 / s, a través de 4.000 pies de conducto cuadrado. Si el soplador de aire es 60% eficiente y es accionado por un motor de 30 CV, qué tamaño se requiere conducto de si se hace de la hoja de metal? 18. Aceite con una viscosidad de 25 cP y SG de 0,78 se encuentra en un gran tanque abierto. Un tubo vertical de acero comercial, con un 1 cm ID y una longitud de 6 pies, está unido a la parte inferior del tanque. Usted quiere que el aceite se drene a través del tubo a una velocidad de 30 gpm. a.

¿A qué profundidad debe el aceite en el tanque de ser para que se drene a este ritmo?

b.

Si una válvula de globo está instalado en el tubo, la profundidad debe ser el aceite para drenar a la misma velocidad, con la amplia apertura de la válvula?

19. Un tubo vertical está unida a la parte inferior de un recipiente que está abierto a la atmósfera. Un líquido con SG = 1.2 está drenando desde el recipiente a través del tubo, que es de 10 cm de largo y tiene un diámetro interior de 3 mm. Cuando la profundidad del líquido en el recipiente es de 4 cm, la velocidad de flujo a través del tubo es de 5 cm3 / s. a.

¿Cuál es la viscosidad del líquido (suponiendo que es newtoniano)?

b.

¿Cuál sería su respuesta si se descuida la pérdida de entrada desde el tanque hasta el tubo?

20. El calor se va a transferir a partir de una corriente de proceso a otro por medio de un intercambiador de calor de doble tubo. Los flujos de fluido caliente en un 1 pulg SCH tubo 40, que está dentro (concéntrico con) un 2 pulg SCH tubo 40, con el fluido frío 297


que fluye en el espacio anular entre los tubos. Si ambos son líquidos a fluir a una velocidad de 8 m / s, y la longitud total equivalente de los tubos es de 1.300 pies, lo que se requiere una potencia de la bomba para hacer circular el fluido más frío? Propiedades a la temperatura promedio: ¼ 55 lbm = m3, 21. Un acero comercial (e 0:0018 ¼ pulgadas) de tuberías es 11 4 in sch 40 de diámetro, 50 pies de largo, e incluye una válvula de globo. Si la caída de presión a través de toda la línea es de 22.1 psi cuando se está llevando el agua a una velocidad de 65 gpm, ¿cuál es el coeficiente de pérdida de la válvula de globo? El factor de fricción para el tubo está dada por la ecuación f ¼ 0:0625 = ½ logð3: 7D = ETH 2 22. En agua a 688F está fluyendo a través de un codo de tubo 458 a una velocidad de 2.000 gpm. La entrada a la curva es 3 pulg ID, y la salida es 4 pulg ID. La presión en la entrada es de 100 psig, y la caída de presión en la curva es igual a la mitad de lo que sería en un 3 pulg 908 codo. Calcular la fuerza neta (magnitud y dirección) que el agua ejerce sobre el codo de tubo. 23. Lo que se requiere bomba de tamaño (caballos de fuerza) a la bomba de aceite (SG 0:85 ¼, ¼ de 60 cP) desde el tanque de depósito de A a B a una velocidad de 2,000 gpm 10 a través de una tubería de 40 pulg SCH, 500 pies de largo, que contiene 20 908 codos, una válvula de globo abierto, y dos válvulas de compuerta abierta? El nivel de aceite en el tanque A es 20 pies por debajo que en el tanque B, y ambos están abiertos a la atmósfera. 24. Un sistema de tuberías planta toma una corriente de proceso (15 cP ¼, ¼ de 0:9 g/cm3) de un recipiente a 20 psig, y lo entrega a otro buque a 80 psig. El sistema contiene 900 pies 2 pulgadas de tubería sch 40, 24 codos estándar y cinco válvulas de globo. Si el recipiente corriente abajo es 10 pies más alto que el recipiente de aguas arriba, lo que la bomba de caballos de fuerza sería necesaria para transportar el fluido a una velocidad de 100 gpm, suponiendo una eficiencia de la bomba de 100%? 25. El petróleo crudo (¼ de 40 cP, SG ¼ 0:87) es para ser bombeada desde un tanque de almacenamiento a una refinería a través de una 10 pulgadas SCH 20 tubería de acero comercial con un caudal de 2,000 gpm. La tubería es de 50 millas de largo y contiene 35 908 codos y 10 válvulas de compuerta abierta. La salida de la tubería es 150 pies más alto que la entrada, y la presión de salida es de 25 psig. ¿Qué potencia se requiere para conducir las bombas en el sistema si son 70% eficientes? 26. El oleoducto de Alaska es 48 cm ID, a 800 millas de largo y transporta petróleo crudo a un ritmo de 1,2 millones de barriles / día (1 bbl ¼ 42 gal). Suponiendo que el crudo sea un fluido newtoniano con una viscosidad de 25 cP y SG de 0,87, lo que es el total de bombeo caballos de fuerza requerida para operar el gasoducto? El aceite entra y sale de la tubería en el nivel del mar, y la línea contiene el equivalente de 150 908 100 codos y válvulas de compuerta abierta. Supongamos que las presiones de entrada y de descarga son 1 atm. 27. Un 6 pulgadas SCH 40 lleva tubería de aceite (¼ de 15 cP, SG ¼ 0:85) a una velocidad de 7,5 m / s desde un tanque de almacenamiento a 1 atm de presión a un sitio de la planta. La línea contiene 1500 pies de tubo recto, 25 908 codos, y cuatro válvulas de 298


FLORES, Jesús

globo abierto. El nivel de aceite en el tanque de almacenamiento es de 15 metros sobre el suelo, y las descargas de tuberías en un punto de 10 pies por encima del suelo a una presión de 10 psi. ¿Cuál es la capacidad de flujo requerido en gpm y la carga de presión que se especifica para la bomba necesaria para este trabajo? Si la bomba es de 65% de eficiencia, lo que se requiere la potencia del motor para accionar la bomba? 28. Un tanque abierto contiene 5 pies de agua. El tanque se drena a través de un sistema de tuberías que contiene diez 908 codos, tees, diez ramificados seis válvulas de compuerta, y 40 pies de tubería horizontal sch 40. La superficie superior del agua y el tubo de descarga son a la vez a la presión atmosférica. Un factor de pérdida de entrada de 1,5 representa la pérdida por fricción del tanque a la tubería y el cambio de energía cinética. Calcular la velocidad de flujo (en gpm) y número de Reynolds para un fluido con una viscosidad de 10 cp drenaje a través de SCH 40 tubería con diámetros nominales de 1/8, 1/4, 1/2, 1, 1,5, 2, 4, 6 , 8, 10, y 12 pulgadas, incluyendo todos los accesorios de más arriba, el uso de (a) Kf valores constantes, (b) los valores DL = DÞeq, (c) el método 2-K, y (d) el 3-K método. Se dan Kf y DL = valores DÞeq constantes de la literatura por debajo de estos accesorios: Fitting constante Kf dl = DÞeq 908 codo 0.75 30 Rama tee 1.0 60 Válvula de compuerta 0,17 8 29. Una bomba de toma de agua desde un depósito y lo entrega a una torre de agua. El agua de la torre está a presión atmosférica y es 120 pies por encima del depósito. La tubería se compone de 1.000 pies de recto 2 pulgadas SCH 40 tubos conteniendo 32 válvulas de compuerta, dos válvulas de globo, y 14 codos estándar. Si el agua es para ser bombeada a una velocidad de 100 gpm utilizando una bomba que es 70% de eficiencia, lo que caballos de fuerza del motor sería necesario para accionar la bomba? 30. Debe determinar la presión de la bomba y la potencia necesaria para el transporte de una fracción de petróleo (60 cP ¼, ¼ de 55 lbm = pies3) a una velocidad de 500 gpm a partir de un tanque de almacenamiento a la placa de alimentación de una columna de destilación. La presión en el tanque es 2 psig, y que en la columna es de 20 psig. El nivel de líquido en el tanque es de 15 pies por encima del suelo, y la entrada de la columna es de 60 pies de alto. Si el sistema de tuberías contiene 400 pies de 6 pulgadas SCH tubo de acero 80, 18 codos estándar, y cuatro válvulas de globo, el cálculo de la cabeza de la bomba requerida (es decir, aumento de la presión) y la potencia requerida si la bomba es de 70% de eficiencia. 31. ¿Qué bomba de caballos de fuerza se requiere para transferir el agua a una velocidad de flujo de 100 gpm desde el tanque de depósito de A a B, si la superficie del líquido en el tanque A es 8 pies por encima del suelo y que, en el tanque B es 45 pies por encima del suelo? Las tuberías entre los tanques consta de 150 pies de 112 cm sch 40 tubos y 450 pies 2 pulgadas de tubería sch 40, incluyendo 16 908 codos estándar y cuatro válvulas de globo abierto.

299


32. Un techo drena en un canalón, que se alimenta el agua en un tubo de bajada que tiene una sección transversal cuadrada (4 pulg4 cm). El extremo de descarga del tubo de bajada es 12 pies por debajo de la entrada y termina en una (una soldadura) codo 908 inglete. La bajada es de chapa metálica lisa. a.

¿Cuál es la capacidad del tubo de bajada, en gpm?

b.

¿Cuál sería la capacidad si no existiera el codo en el final?

33. Un aditivo que tiene una viscosidad de 2 cP y una densidad de 50 lbm = pies3 se alimenta desde un depósito en un tanque de mezcla. La presión en el depósito y en el tanque es de 1 atm, y el nivel en el depósito es 2 pies por encima del extremo de la línea de alimentación en el tanque. La línea de alimentación contiene 10 pies de 1/4 pulg sch 40 tubos, cuatro codos, dos válvulas de tapón, y una válvula de globo. ¿Cómo será la velocidad de flujo del aditivo ser, en gpm, si las válvulas están completamente abiertas? 34. La presión en la tubería principal que alimenta su casa es de 90 psig. La tubería entre el principal y el grifo en el exterior contiene 250 pies de galvanizado de 3/4 pulg sch 40 tubos, 16 codos, y el grifo, que es una válvula de ángulo. Cuando el grifo está abierto, ¿cuál es la velocidad de flujo en gpm? 35. Usted está llenando su taza de cerveza de un barril. La presión en el barril es 5 psig, el tubo de llenado del barril es 3 pies de largo con 1/4 de pulgada ID, y la válvula es un tipo de presa diafragma. El tubo está conectado al barril por una camiseta (roscado), que se utiliza como un codo. Si la cerveza que sale del tubo es de pies por encima del nivel de la cerveza en el barril y hay un pies de largo 2, 1/4 de pulgada tubo ID de acero inoxidable en el interior del barril, ¿cuánto tiempo se necesita para llenar su taza si se mantiene 500 cm3? (Cerveza: ¼ 8 cP, ¼ 64 lbm = ft3) 36. Es necesario instalar un sistema de tuberías de drenaje de aceite lubricante SAE 10 a 708F (SG ¼ 0:928) del tanque A al tanque B por gravedad. El nivel en el tanque A es 10 pies por encima de que en el tanque B, y la presión en A es 5 psi mayor que en el tanque B. El sistema contendrá 200 pies de tubería sch 40, ocho codos std, dos válvulas de compuerta, y un válvula de globo. ¿Qué tamaño de la tubería se debe utilizar si el aceite está a drenar a un ritmo de 100 gpm? 37. Una nueva planta industrial requiere un suministro de agua a una velocidad de 5.7m3/min. La presión manométrica en el principal de agua, que se encuentra 50mfrom la planta, es 800 kPa. La línea de suministro de la principal a la planta requerirá una longitud total de 65m de tubería de hierro galvanizado, cuatro codos estándar y dos válvulas de compuerta. Si la presión del agua en la planta debe ser inferior a 500 kPa, ¿qué tamaño de la tubería se debe utilizar? 38. Se utiliza una bomba para el transporte de agua a 728 F del tanque de depósito de A a B a una velocidad de 200 gpm. Ambos tanques se ventilan a la atmósfera. Un tanque es de 6 metros sobre el suelo con una profundidad de 4 pies en el tanque, y el tanque B es de 40 metros sobre el suelo con una profundidad de 5 pies. El agua entra en la parte superior del tanque de B, en un punto 10 pies por encima de la parte inferior del tanque. El oleoducto que une los tanques contiene 185 ft de 2 pulgadas SCH 40 tubos de hierro galvanizado, tres codos estándar, y una válvula de compuerta.

300


FLORES, Jesús

a.

Si la bomba es de 70% de eficiencia, lo que la potencia del motor se requiere para accionar la bomba?

b.

Si la bomba es accionada por un motor de 5 caballos de fuerza, lo que es la tasa de flujo máximo que se puede lograr, en gpm?

39. Un gasoducto que transporta gasolina (SG 0:72 ¼, ¼ 0:7 cP) es 5km de largo y es de 6 pulgadas SCH 40 tubos de acero comercial. La línea contiene 24 de 908 codos, ocho válvulas de compuerta abierta, dos válvulas de globo abierto, y una bomba capaz de producir una altura máxima de 400 pies. La presión de entrada de línea es de 10 psig y la presión de salida es de 20 psig. El extremo de descarga es 30 pies más alto que el extremo de entrada. a.

¿Cuál es el caudal máximo posible en la línea, en gpm?

b.

¿Cuál es la potencia del motor necesaria para accionar la bomba si es 60% eficiente?

40. Una torre de agua suministra agua a una pequeña comunidad de 800 casas. El nivel del agua en el tanque es de 120 metros sobre el nivel del suelo, y el agua principal de la torre a la zona de la vivienda es de 1 mi sch 40 tubos de acero comercial. El sistema de agua está diseñado para proporcionar una presión mínima de 15 psi en la demanda máxima, que se estima en 2 gpm por casa. a.

¿Qué tamaño de tubo nominal se debe utilizar para el agua principal?

b.

Si se ha instalado el tubo, lo que sería el caudal real a través de la tubería principal, en gpm?

41. A 12 pulgadas SCH 40 tubos, 60 pies de largo, las descargas de agua a 1 atm de presión de un depósito. El tubo es horizontal, y la entrada es 12 pies por debajo de la superficie del agua en el depósito. a.

¿Cuál es el caudal en gpm?

b.

Con el fin de limitar la velocidad de flujo de 3.500 gpm, un orificio está instalado en el extremo de la tubería. ¿Cuál debe ser el diámetro del orificio?

c.

¿Qué tamaño de la tubería tendría que ser utilizado para limitar la velocidad de flujo de 3,500 gpm sin necesidad de utilizar un orificio?

42. El petróleo crudo con una viscosidad de 12,5 cP y SG ¼ de 0:88 es para ser bombeada a través de un 12 pulgadas SCH 30 tubos de acero comercial a una tasa de 1,900 bbl / hr. La tubería es de 15 millas de largo, con una descarga que es de 250 pies por encima de la entrada, y contiene 10 codos estándar y cuatro puertas a.

¿Qué potencia de la bomba es necesaria si la bomba es 67% eficiente?

b.

Si el costo de la energía es de $ 0.08/kWh y el tubo es de acero 600 # ANSI, es la tubería de 12 pulgadas el más económico utilizar (asumir una vida económica de 30 años de la tubería)? Si no, ¿cuál es el diámetro más económico?

43. Un gasoducto para llevar el petróleo crudo a un ritmo de 1 millón de barriles / día se construye con 50 pulgadas y la tubería ID es de 700 millas de largo con el equivalente de 70 válvulas de compuerta instalada pero no otros accesorios:

301


a.

¿Cuál es la potencia total requerida para accionar las bombas si son 70% eficientes?

b.

¿Cuántas estaciones de bombeo serán necesarios si las bombas de desarrollar una presión de descarga de 100 psi?

c.

Si la tubería debe pasar por un terreno montañoso, ¿cuál es el grado de pendiente descendente más pronunciada que puede ser tolerado sin crear flujo de holgura en la tubería? (Viscosidad del aceite crudo es 25 cP, SG ¼ 0:9 :)

44. Usted está construyendo un oleoducto para transportar petróleo crudo (SG 0:8 ¼, ¼ 30 cP) a partir de un puerto de mar sobre una montaña a un patio de tanques. La parte superior de la montaña es 3000 metros sobre el puerto y 1.000 pies por encima del patio de tanques. La distancia desde el puerto hasta la cima de la montaña es de 200 km, y desde la cima de la montaña a la granja del tanque es de 75 millas. El aceite entra en la estación de bombeo en el puerto a 1 atm de presión y debe ser dado de alta en el patio de tanques a 20 psig. La tubería es de 20 pulg sch 40, y el caudal de aceite es 2.000 gpm. a.

Se produce aflojar el flujo en la línea? Si es así, deberá instalar una restricción (orificio) en la línea de asegurar que la tubería está siempre lleno. Lo que debe la pérdida de presión a través del orificio de ser, en psi?

b.

¿Cuánto se requiere una potencia de bombeo, si las bombas son un 70% de eficiencia? ¿Qué cabeza de la bomba se requiere?

45. Usted quiere desviar agua de un tanque abierto con una manguera. El extremo de descarga de la manguera es de 10 pies por debajo del nivel del agua en el tanque. La presión mínima permitida en la manguera para un funcionamiento correcto es 1 psia. Si se desea que la velocidad del agua en la manguera a ser 10 pies / s, lo que es la altura máxima que la manguera de sifón puede extenderse por encima del nivel del agua en el tanque para el funcionamiento correcto? 46. Un líquido se drena a partir de un recipiente cilíndrico a través de un tubo en el fondo del recipiente, como se ilustra en la figura. 7-46. El líquido tiene una gravedad específica de 1.2 y una viscosidad de 2 cP. El coeficiente de pérdida de entrada desde el depósito hasta el tubo es de 0,4, y el sistema tiene las siguientes dimensiones: D ¼ 2 en:; d ¼ 3 mm, L ¼ 20 cm, h = 5 cm, e ¼ 0:0004 en: a.

¿Cuál es la tasa de flujo volumétrico del líquido en cm3 / s?

b.

¿Cuál sería la respuesta a (a) ser si se descuida la pérdida de ingreso?

c.

Repita el inciso (a) por un valor de h ¼ 75 cm.

47. El agua de un lago está fluyendo a lo largo de un aliviadero de hormigón a una velocidad de 100 000 gpm. El aliviadero es de 100 pies de ancho y está inclinado en un ángulo de 308 con la vertical. Si la rugosidad efectiva del hormigón es de 0,03 pulgadas, ¿cuál es la profundidad del agua en la corriente que fluye por el vertedero? 48. Una tubería que consiste de 1,500 pies de 6 pulgadas SCH 40 tubo que contiene 25 908 codos y las cuatro válvulas de compuerta abiertas lleva aceite con una viscosidad de 35 cP y un peso específico de 0,85 a una velocidad de 7,5 m / s a partir de un tanque de 302


FLORES, Jesús

almacenamiento a una sitio de la planta. El tanque de almacenamiento es a presión atmosférica y el nivel en el tanque es de 15 pies por encima del suelo. La tubería de descarga es de 10 pies por encima del suelo, y la presión de descarga es de 10 psig. a.

¿Cuál es la capacidad de la bomba requerida (gpm) y la cabeza de la bomba (en pies) necesarios en esta canalización?

b.

Si la bomba tiene una eficiencia del 65%, se requiere que la potencia del motor al conducir?

49. Una bomba centrífuga se encuentra 4 pies por encima de la superficie del agua en un tanque. La línea de succión de la bomba es 6 pulgadas SCH 40 tubo de 6 pies y se extiende por debajo de la superficie del agua. Si la temperatura del agua es 508F, ¿cuál es la presión (en psia) a la entrada de la bomba cuando el caudal es de 500 gpm? 50. El agua se bombea a una velocidad de 500 gpm a través de una tubería de 10 cm ID, 50 pies de largo, que contiene dos codos estándar y una válvula de clapeta. La presión es 1 atm de entrada y salida de la tubería. Calcular la caída de presión (en psi) a través de la tubería debido a la fricción usando (a) el método 2-K, (b) el método de DL = DÞeq; (c) el método 3-K. 51. En agua a 708F está fluyendo en una película por la superficie exterior de un tubo vertical de 4 pulg DO a una tasa de 1 gpm. ¿Cuál es el espesor de la película? 52. ¿Qué diámetro de tubo se requiere para el transporte de un líquido con una viscosidad de 1 cP y una densidad de 1 g/cm3 a una tasa de 1,500 gpm, si la longitud de la tubería es 213 pies, la rugosidad de la pared es de 0,006 pulg, y la fuerza total de la conducción es lbf / lbm 100 pies? 53. El oleoducto ETSI fue diseñado para llevar a una suspensión de carbón de Wyoming a Texas a una velocidad de 30 106 toneladas / año. La suspensión se comporta como un plástico de Bingham, con una tensión de fluencia de 100 dinas/cm2, una viscosidad límite de 40 cP, y una densidad de 1,4 g/cm3. Con el costo de ANSI 1500 # tubería y 7 ¢ / kWh para la electricidad, determinar el diámetro más económico para la tubería si su vida útil económica es de 25 años y las bombas son un 50% de eficiencia. 54. Una suspensión de lodo se drena desde un tanque a través de una manguera de plástico de 50 pies de largo. El tubo flexible tiene una sección transversal elíptica con un eje mayor de 4 pulgadas y un eje menor de 2 pulg El extremo abierto de la manguera es de 10 pies por debajo del nivel en el tanque. El lodo es un plástico de Bingham, con una tensión de fluencia de 100 dinas/cm2, una viscosidad límite de 50 cP, y una densidad de 1,4 g/cm3. a.

¿A qué tasa será el barro drenar a través de la manguera (en gpm)?

b.

¿A qué tasa se drene el agua por la manguera?

55. Un codo roscado 908 se une al extremo 3 de un tubo de 40 cm SCH, y un reductor con un diámetro interior de 1 pulgada se enrosca en el codo. Si el agua se bombea a través del tubo y fuera del reductor a la atmósfera a una velocidad de 500 gpm, calcular las fuerzas ejercidas sobre el tubo en el punto donde se une el codo. 303


56. Un recipiente de reactor de flujo continuo contiene una mezcla de reacción líquida con una densidad de 0,85 g/cm3 y una viscosidad de 7 cP a 1 atm de presión. Cerca de la parte inferior del recipiente es un 112 pulg línea de salida que contiene una válvula de alivio de seguridad. Hay 4 pies de tubería con dos codos 908 entre el depósito y la válvula. La válvula de alivio es una válvula de retención de elevación por resorte, que se abre cuando la presión en el lado aguas arriba de la válvula alcanza 5 psig. Aguas abajo de la válvula es de 30 pies de tubería horizontal que contiene cuatro codos y dos válvulas de compuerta que desemboca en un depósito de captura ventilado. La válvula de retención sirve esencialmente como un control de nivel para el líquido en el reactor debido a la carga estática en el reactor es la única fuente de presión sobre la válvula. Determinar a.

El nivel de líquido en el reactor en el punto donde se abre la válvula.

b.

Cuando se abre la válvula, la tasa (en gpm) a la que el líquido se drene desde el reactor en el tanque de recogida.

c.

El nivel de estado estacionario en la vasija del reactor cuando la válvula se abre y el líquido se escape hacia afuera.

304


FLORES, Jesús

Ejemplos Ilustrativos Ejemplo 6.1 Se alimenta aceite a un quemador a 200 °F. Se bombeada através de una tubería de 6.0 pies de diámetro a 25 pie/s. El quemador calienta el gas a 1900 °F. Para mantener la velocidad a 40 pie/s, ¿cuál es el tamaño del ducto que se requeriría a la salida del quemador? Solución. Aplicando la ecuación de continuidad, el caudal que ingresa al quemador, es Q1  A1v1

(6.e.1–1)

desde que, 2  A1    6.0    28.3 pie2 4 

luego

Q1   28.3 pie2   25 pie s   707.5 pie3 s

(6.e.1–2)

El flujo volumétrico a la salida del scrubber, usando la Ley de Charles, es Q2  Q1 T2 T1 

(T en unidades absolutas)

Q2   707.5 pie3 s   2360 660   2530 pie3 s

(6.e.1–3) (6.e.1–4)

El área de sección transversal a la salida del ducto esta dado por A2  Q2 v2 2530 pie3 s  63.25 pie 2 40 pie s

A2 

(6.e.1–5)

El diámetro del ducto, por consiguiente, es  4A  D2   2    

D2 

0.5

4  63.25 pie 2



 8.97 pie  108 pulg

(6.e.1–6)

Ejemplo 6.2 Un liquido con una viscosidad de 0.78 cP y una densidad de 1.50 g/cm3 fluye através de una tubería de 1.0 pulg. a 20 cm/s. Calcular el número de Reynolds. ¿El flujo es laminar o turbulento? Solución. Por definición el número de Reynolds (NRe), Ec. (6.1–1), es igual a N Re 

Dvˆ 

(6.e.2–1)

 305


desde, que 1 cP = 10–2 g/(cm s)  = 0.78  10–2 g/(cm s) 1 Pulg = 2.54 cm

Sustituyendo datos en la Ec. (6.e.2–1), se tiene N Re 

2.54 cm  20 cm s 1.50 g cm3 0.78 102 g  cm s 

NRe  9770

(6.e.2–2)

Ej.–1: Una consultora ChemProcess Tech. ha propuesto la siguiente ecuación para predecir el factor de fricción de Fanning: f  0.0015  8  N Re  

0.30

 

1

(e.1–1)

Para un NRe de 14080 y /D de 0.004, calular el valor de factor de fricción usando: c.

La Ec. (e.1–1);

d.

Las ecuaciones: f 

e.

Para

f 

0.0786 0.046 y f  0.25 N Re 0.20 N Re

régimen 1

de

flujo

    4 1.14  2.0 log10     Di   

completamente

turbulento,

según:

2

1

   21.25   2.28  4log10    0.9   Di  NRe 

f.

La ecuación de Jain

g.

El diagrama de Moody f    Di  , N Re  .

f

0.5

Solución a.

Factor de fricción utilizando la Ec. (e.1–1): f  0.0015  8 14080  

b.

f 

0.30

 

1

0.0786  0.0072 y 140800.25

 0.0086

f 

0.046  0.0068 140800.20

c.

Para régimen completamente turbulento: f 

d.

Con la Ec. De Jain,

306

1 4 1.14  2.0log10  0.004  

2

 0.0071


1 f

e.

0.5

FLORES, Jesús

21.25    2.28  4log10  0.004    0.00875 140800.9  

Del diagrama de Moody f  0.0085

Ejemplo 6.3: Calcular el diámetro equivalente (ó hidráulico) para el flujo de un fluido turbulento a través de las siguientes secciones transversales: 8. Flujo completo a través de una tubería de sección rectangular de 2 pulg  10 pulg. 9. Flujo a través de la sección anular con diámetro externo Do  10 cm y diámetro interno de Di  8 cm ; y 10. Tubería de 10 cm de diámetro por donde fluye un fluido hasta la mitad de la sección circular. Solución: La ecuación que permite determinar el diámetro equivalente, es Deq 

1.

4 AS  4 Rh Pw

, As, área de sección transversal, Pw, perímetro húmedo

Flujo completo a través de una tubería de sección rectangular de 2 pulg  10 pulg. Deq 

4  2 10  4 AS   3.33 pulg Pw  2  10  1  10 

2. Flujo a través de la sección anular con diámetro externo Do  10 cm y diámetro interno de Di  8 cm ;

307


Deq 

2 2 4 AS 4  4   Do  Di    2 cm Pw   Do  Di 

3. Tubería de 10 cm de diámetro con flujo de un fluido hasta la mitad de la sección circular. Deq 

4 AS  D2 8 4  D  10 cm Pw D2

Ejemplo 6.4: Se desea transporta aire a través de una tubería horizontal de sección transversal circular y longitud de 800 pies, a temperaturade 40 ºF y presión de P 1 = 0.1 psig. En el punto de salida, la presión de aire es de P 2 = 0.01 psig, y un caudal de 500 pie3/min. El ducto circular está construido de acero y tiene una rugosidad de 0.00006 pulg. Determinar el diámetro de la tubería, D, y la velocidad promedio del aire. Solución: Cálculo de la densidad del aire usando la ley de los gases ideales y empleando la presión de 14.75 psia. 

PM 14.75 28.9    0.08 lb pie3 RT 10.73 500

La viscosidad del aire se estima de correlaciones empíricas, de la base de datos del ChemCAD y/o AspenPLUS, siendo:   0.0173 cP  1.14  105 lb pie s

Asumiendo primero que el flujo es laminar, calculamos el D usando las Ecs. h f  y hf 

16 32 f L q 2 q , con factor de fricción f  y v . 2 5  gc D N Re  D2 4 

q  500 pie3 min  8.33 pie3 s

Así mismo, de la Ec. (6.1–5), se tiene: h f  

DPf

 gc

Sustituyendo las relaciones anteriores, obtenemos: D

4

128  3.54 107  800 8.33 128 Lq 4  0.293 pie   P1  P2    0.09 144 

Verificamos el regimen de flujo,

N Re 

4  8.33 0.08  Di v  4q     3.17  106 5   Di    0.293 1.14 10  308

4 f L v2 2 gc D


FLORES, Jesús

Por consiguiente, la suposición de flujo laminar no es válido. Asumiendo diámetro de la tubería de 1 pie (0.3048 m). La rugosidad relativa, será:   0.000005 Di Cálculo del número de Reynolds

N Re 

4  8.33 0.08  Di v  4q     74168   Di   1 1.14 105 

Para este valor de Reynolds, y rugosidad relativa de 0.000005, utilizando el diagrama de Moody, se obtiene el factor de fricción de Fanning, f  0.005

La caída de presión en el tramo recto se determina de la Ec. (6.1–5), de donde se despeja el diámetro de la tubería, por tanto: DPf   P1  P2  

32  f L q 2 g c 2 D 5

 32  f L q 2  D  2  g c DP 

0.2

 32  0.08  0.005  800  8.332     32.174 12.96   2  

0.2

 0.70 pie

Iniciando la nueva iteración con el valor del diámetro calculado D,

 Di



0.00006 12  0.0000071 0.70

Cálculo del número de Reynolds

N Re 

4  8.33 0.08  Di v  4q     106000   Di    0.7  1.14 105 

Factor de fricción de Fanning, utilizando el diagrama de Moody, f  0.0045

Por consiguiente, el diámetro de la tubería es  32  f L q 2  D  2  g c DP 

0.2

 32  0.08 0.0045 800  8.332     32.174 12.96   2  

La iteración ahora puede concluir. Cálculo de la velocidad, con el valor del diámetro calculado,

309

0.2

 0.69 pie


v

q 8.33   6.8 m s A   0.69 2 4

Ejemplo 6.5: Alcohol a 20 ºC es bombeada a trevés de una tubería horizontal de 60 m de longitud, a una razón de 10 m3/h, si se tiene una pérdida por fricción de 30 m, ¿qué diámetro de tubería deberá ser empleada para tal fin?, ¿cuál es la velocidad del alcohol?, ¿el flujo es turbulento? Solución: Las Propiedades del alcohol se obtienen de la base de datos de ChemCAD y/o AspenPLUS a una temperatura de 20 ºC, siendo:

  789 kg m3   1.1103 kg m s La rugosidad el tipo detubería,

  0.0015 mm

El diámetro de la tubería será calculada utilizando la correlación explicita siguiente 4.75 5.2   L q2    L q 2   D  0.66  1.25      g h  q   g h f    f    

0.4

Para una tubería horizontal se simplifica 4.75 5.2    L q2  v   L q2   D  0.66  1.25       q  DP     DP  

0.4

Sustituyendo valores, se tiene

 1.25 4.75 5.2  1.1103 D  0.66 1.5 106  1.57 10 6   1.57 10 6    3 2.778 10  789    D  0.0303 m

0.4

Tomando el D = 3 cm, calculamos la velocidad con el cual fluye el alcohol através de la tubería,

v

3 q 4  2.778 10    3.93 m s 2 A   0.03

El régimen de flujo, será NRe 

Di v





 3.93 0.0377  1.395 106

 106405

Por consiguiente el flujo turbulento. Ejemplo 6.6 310


FLORES, Jesús

Jugo de manzana conteniendo 25 % de sólidos totales, fluye a través de una tubería de acero, nominal–12, célula 80. La caída de presión a 350 m de longitud es 34 kPa. Determine la razón de flujo volumétrico através de la tubería. Solución. The method and calculations in the preceding example, where pressure drop is unknown, are quite straightforward. In this example, volume flow rate Q is the unknown; therefore, velocity V and friction factor f are also unknown. A trial-and-error solution method will be required to solve this problem, but the technique is simple. From property and data tables, we determine the following:

311


5.16 1.

Problemas Demostrar cómo la ecuacion de Hagen–Poiseuille para flujo laminar establecido para un fluido Newtoniano en un tubo cilíndrico uniforme puede ser derivado de la ecuación microscópica general de movimiento (por ejemplo, las ecuaciones de continuidad y momento).

2. La Ecuación de Hagen–Poiseuille describe el flujo laminar de un fluido Newtoniano en una tubería. Desde que un fluido Newtoniano está definido por la relación      , reordenar la Ec. de Hagen–Poiseuille que muestre la gradiente de deformación en la pared del tubo y esté dado por  w  4Q  R 3  8v D . 3. Derivar la relación entre el factor de friccion y el número de Reynolds en flujo turbulento para una tubería lisa (Ec. 5.34), iniciando con la ecuación de von Karman para la distribución de velocidad en la capa límite turbulento Ec. (5.26). 4. Evaluar el factor de corrección de la energía cinética en la ecuación de Bernoulli para flujo turbulento asumiendo que es válido 1/7 el perfil de velocidad de la Ley de la Potencia [Ec. (5.36)]. Repetir para flujo laminar y fluido Newtoniano en un tubo, para el cual el perfil de velocidad es parabólico. 5. Un fluido Newtoniano con SG = 0.8 es forzado a través de un tubo capilar a un caudal de 5 cm3 min . El tubo tiene una pendiente descendiente de 30° con la horizontal, y la caída de presión en el tubo se mide entre dos puntos separados a 40 cm uno del otro, usando un manómetro de mercurio, leéndose 3 cm. Cuando el agua es forzado a través del tubo a una caudal de 10 cm 3 min , el manómetro lee 2 cm. a.

Cuál es la viscosidad del fluido newtoniano desconocido?

b.

Cuál es el número de Reynolds del flujo de cada fluido?

c.

Si se usa dos transductores de presión separadamente para medir directamente la presión total en psig en vez de usar los manómetros, ¿Cuál sería la diferencia de presion en la lectura del transductor?

6. Se drena líquido de un tanque cilíndrico a través de un tubo en la base del tanque, tal como se ilustra en la Fig. 6.1. Si el líquido tiene una gravedad específica de 0.85 y drena a un caudal de 1cm 3 s , ¿Cuál es la viscosidad del líquido?. Los coeficientes de pérdida a la entrada del tanque es 0.4, y el sistema tiene las siguientes dimensiones: D = 2 in.

d = 2 mm

L = 10 cm

h = 5 cm

Figura 6.1

312


FLORES, Jesús

7. Debe de medir la viscosidad de aceite que tiene una SG de 0.92. Para ello, trasvasar el aceite en un recipiente grande cuya base tenga unido un pequeño tubo vertical, de 25 cm de largo, a través del cual se pueda drenar el aceite por efector de la gravedad. Cuando el nivel del aceite en el recipiente es de 6 pulg. por encima del fondo del recipiente, se determinó que el caudal a través del tubo fue de 50 cm3 min . Ejecutar el mismo experimento con agua en lugar de aceite y encuentre bajo las mismas condiciones cuando drene agua a un caudal de 156 cm3 min . Si el coeficiente de pérdida de la energía disipada en la contracción del recipiente al tubo es 0.5, cuál es la viscosidad del aceite? 8. Se desea transferir aceite combustible Nº 3 (30 °API) desde un tanque de almacenamiento a una planta de energía a un caudal de 2000 bbL día . El diámetro de la tubería es 1 1 2 pulgada, cédula 40, con una longitud de 1200 pies. La líniea de descarga está a 20 pies más alto que el extremo de aspiración, y los dos extremos están a 1 atm de presión. La temperatura de entrada del aceite es 60 °F, y la eficiencia de la bomba es 60%. Si el calor específico del aceite es de 0.5 Kcal lbm °F y la tubería está perfectamente aislado, determinar: a.

La potencia requeria del motor para accionar la bomba

b.

La temperatura del aceite a la salida de la tubería

9. Especificar las características de una bomba para suministrar 800 bbL día de un destilado de 35 °API a 90 °F de una columna de destilación a un tanque de almacenamiento de una refinería. Si el nivel del depósito está a 20 pies por encima de la columna, la longitud equivalente total de la tubería es de 900 pies, y tanto la columna y el tanque están a la presión atmosférica, ¿Qué potencia se requiere si se utiliza una tubería de 1 1 2 pulg., cédula 40? ¿Qué potencia serían necesarios si se utiliza un tubo de 1 pulg., cédula 40? 10. A través de un tubo horizontal de acero comercial de 6 pulg. de DI, cédula 80, fluye agua a una razón de flujo de 700 gpm y temperatura de 90 °C. Si la caída de presión es de 2.23 psi en una longitud de 100 pies de tubería: a.

¿Cuál es el valor del Número de Reynolds?

b.

¿Cuál es la magnitud de la rugosidad de la tubería?

c.

¿Qué Cantidad de fuerza impulsora (esto es, diferencia de pesión) se requiere para mover el agua a esta razón de flujo a través de la un tubo de 10 mi de tubería, si està construído de acero comercial?

d.

¿Qué tamaño de tubería de acero comercial se requerirá para transportar el agua al mismo caudal y a la misma distancia, si la fuerza impulsora es la altura estática en un tanque de agua a 175 pies por encima del tubo?

11. Un destilado de 35 °API a 60 °F es bombeada una distancia de 2000 pies a través de una tubería horizontal de 4 pulg., cédula 40 a un caudal de 500 gpm. ¿Qué potencia deberá la bomba entregar al fluido si la tubería está hecha de: a) tubing; b) acero comercial; c) hierro galvanizado; d) plástico PVC? 313


12. El diagrama de Moody ilustra el efecto de rugosidad en el factor de fricción en el flujo turbulento, pero indica que no hay efecto de la rugosidad en el flujo laminar. Explicar por qué esto es así. ¿Hay restricciones o limitaciones que deben de ser considerados en esta conclusión? Explique. 13. Usted tiene una gran cantidad de tubería de acero muy oxidada de 2 pulg., cédula 40, que se desea utilizar para transportar un fluido. Debido a que el metal oxidado es más rugoso que el metal limpio, se desea conocer su rugosidad efectiva antes de la colocación de la tubería. Para ello, se bombea agua a una velocidad de 100 gpm a través de una sección de 100 pies de largo de la tubería y encuentra que la presión cae 15 psi en esta longitud. ¿Cuál es la rugosidad efectiva de la tubería, en pulgadas? 14. Se requiere una bomba de 32 hp (100 % de eficiencia) para bombear el agua a través de una tubería de 2 pulg., cédula 40, 6000 pies de longitud, a un caudal de 100 gpm. a.

¿Cuál es la rugosidad equivalente de la tubería?

b.

Si la tubería es reemplazada por un nuevo tubo de acero comercial de 2 pulg., cédula 40, ¿qué potencia se necesitaría para bombear agua a una velocidad de 100 gpm a través de este tubo? ¿Cuál sería el porcentaje de ahorro en la potencia en comparación con la tubería vieja?

15. En una planta de proceso, se tiene un sistema de tuberías usado y oxidado. La tubería de acero de 2 pulg, cédula 40, 6000 pies de logitud. A través de pruebas experimentales se establece 45 hp para bombear agua a través del sistema a una velocidad de 100 gpm. a.

¿Cuál es la rugosidad equivalente de la tubería?

b.

Si se reemplaza la tubería con el nuevo tubo de acero comercial del mismo tamaño, ¿Qué ahorro porcentual de la potencia necesaria se puede esperar con un caudal de 100 gpm?

16. Una torre de agua que tiene 90 pies de altura, provee de agua a una subdivisión residencial. La tubería principal de donde se derivan a cada usuario, es de acero y tiene 6 pulg de diámetro, cédula 40, 3 millas de longitud. Si cada casa utiliza un máximo de 50 gal/hr (en momento punta) y la presión en la tubería principal no deberá ser inferior a 30 psig en cualquier punto, ¿cuántos hogares puede abastecer la tubería principal de agua? 17. Aceite lubricante SAE 10 (SG = 0.93) se bombea hacia arriba a través de una tubería recta 1/4 pulg., cédula 80 que está orientada en un ángulo 45° con la horizontal. Las dos tomas de un manómetro usando agua como fluido del manómetro se unen a la pared del tubo, estado separados entre tomas en 2 pies. Si el manómetro lee 15 pulg., ¿Cuál es el caudal de flujo del aceite, en gal/hr? 18. Un intercambiador de calor se refrigera con agua alimentada por gravedad desde un depósito de almacenamiento abierto de 20 pies por encima del suelo, a través de tubería de acero de 100 pies, diámetro 1 ½ pulg. El intercambiador está ubicado a nivel del suelo. Si entra en el intercambiador de calor de la presión de agua debe ser de 5 psig para que éste funcione correctamente, ¿cuál es el caudal de flujo de agua a través de la tubería?

314


FLORES, Jesús

19. Una cañería de agua se va a colocar para suministrar agua a una subdivisión ubicada a 2 millas de una torre de agua. El agua de la torre está 150 pies por encima del suelo, y la subdivisión consume un máximo de 10000 gpm de agua. ¿Qué tamaño de tubería se debe utilizar para la cañería de agua? Asumir, tubería de acero comercial cédula 40. La presión por encima del agua es de 1 atm en el tanque y 30 psig en la subdivisión. 20. Un principal de agua es que se determinen a partir de una torre de agua a una subdivisión que se encuentra a 2 millas de distancia. El nivel del agua en la torre es de 150 pies por encima del suelo. El principal debe suministrar un máximo de 1,000 gpm con un mínimo de 5 psig en el extremo de descarga, a una temperatura de 658F. ¿Qué tamaño de acero comercial SCH 40 pipa se deben utilizar para la cañería de agua? Si se utiliza un tubo de plástico (que es hidráulicamente liso) en su lugar, ¿esto altera el resultado? Si es así, ¿qué diámetro de tubo de plástico se debe usar? 21. El nivel de agua en una torre de agua es de 110 pies por encima del nivel del suelo. La torre abastece de agua a una subdivisión 3 millas de distancia, a través de un 8 en. Sch principal de agua 40 de acero. Si la presión mínima de entrada de agua en las tuberías de agua residenciales en las casas debe ser de 15 psig, ¿cuál es la capacidad de la cañería de agua (en GPM)? Si hay 100 casas en la subdivisión y cada uno consume agua a una velocidad máxima de 20 gpm, qué tan grande debe ser la principal de agua? 22. Una prensa hidráulica es alimentado por una bomba remota de alta presión. La presión manométrica en la bomba es 20 MPa, y la presión requerida para operar la prensa es 19MPa (relativa) a un caudal de 0.032 m3 / min. La prensa y la bomba deben ser conectados por 50 m de tubería de acero inoxidable dibujado. Las propiedades del fluido son los de SAE 10 aceite lubricante a 408C. ¿Cuál es el diámetro de la tubería mínimo que se puede utilizar? 23. El agua es para ser bombeada a una velocidad de 100 gpm de un pozo que está a 100 pies de profundidad, a través de 2 mi de horizontal 4 en la tubería 40 de acero. Sch, a una torre de agua que está a 150 pies de alto. a.

Despreciando las pérdidas de ajuste, lo que la potencia será la bomba requiere si se trata de un 60% de eficiencia?

b.

Si el codo en la tubería a nivel del suelo debajo de la torre se rompe, la rapidez con que la fuga de agua de la torre?

c.

¿Cuán rápido drenar si el codo en la parte superior del pozo cedió su lugar?

d.

Lo tubo de tamaño usted tiene que correr desde la torre de agua en el suelo con el fin de drenarlo a un ritmo de 10 gpm?

24. Una alcantarilla de concreto tormenta de tubería, de 4 pies de diámetro, gotas para los 3 pies de altura por milla de longitud. ¿Cuál es la capacidad máxima de la red de alcantarillado (en GPM) cuando está fluyendo completo? 25. Usted quiere desviar agua de un tanque abierto con una manguera de diámetro de 1/4 de pulgada.. El extremo de descarga de la manguera es de 10 pies por debajo del nivel de agua en el tanque, y el sifón no funcionará si la presión cae por debajo de 1 psia en cualquier lugar de la manguera. Si desea desviar el agua a una velocidad de 1 gpm, ¿cuál es la altura máxima sobre el nivel del agua en el tanque de que la manguera se puede extender y aún operar? 315


Los flujos de tuberías no newtonianos 26. La ecuación (6-43) describe el flujo laminar de un fluido de ley de potencia en un tubo. Desde un fluido ley de potencia se define por la relación, reorganizar la ecuación. (643) para demostrar que la velocidad de cizallamiento en la pared del tubo para un fluido de ley de potencia está dada por donde es la velocidad de cizallamiento de pared para un fluido newtoniano. 27. Un tanque grande contiene SAE 10 de aceite lubricante a una temperatura de 608F y una presión de 2 psig. El aceite es de 2 pies de profundidad en el tanque y drena a través de un tubo vertical en la parte inferior. El tubo es de 10 pies de largo y descarga el aceite a presión atmosférica. Suponiendo que el aceite sea newtoniana y dejar de lado la pérdida por fricción desde el depósito hasta el tubo, la rapidez con que se drene por el tubo? Si el aceite no es newtoniana, sino que puede ser descrito como un fluido de ley de potencia con un índice de flujo de 0,4 y una viscosidad aparente de 80 cP a una velocidad de cizallamiento de 1 s-1, ¿cómo afectaría esto su respuesta? El diámetro del tubo es media en. 28. Una solución de polímero se bombea a una velocidad de 3 gpm a través de un 1 en. Tubería de diámetro. La solución se comporta como un fluido de ley de potencia con un índice de flujo de 0,5, una viscosidad aparente de 400 cP a una velocidad de cizallamiento de 1 s1, y una densidad de 60 lbm / ft3. a.

¿Cuál es el gradiente de presión en psi / pie?

b.

¿Cuál es la velocidad de cizallamiento en la pared del tubo y la viscosidad aparente del fluido en este régimen de cizallamiento?

c.

Si el fluido newtoniano eran, con una viscosidad igual a la viscosidad aparente a partir de (b) anterior, ¿cuál sería el gradiente de presión?

d.

Calcular el número de Reynolds para la solución de polímero y para el fluido newtoniano anteriormente.

29. Una suspensión de carbón que se caracteriza como un fluido de ley de potencia tiene un índice de flujo de 0,4 y una viscosidad aparente de 200 cP a una velocidad de cizallamiento de 1 s - 1. Si el carbón tiene un peso específico de 2,5 y la suspensión es 50 % de carbón en peso en agua, lo que potencia de la bomba se requiere para transportar 25 millones de toneladas de carbón por año hasta un 36 en Id., 1000 mi tubería larga? Suponga que la entrada y salida de la tubería están a la misma presión y la elevación y que las bombas son 60% de eficiencia. 30. Una suspensión de carbón se encuentra a comportarse como un fluido de ley de potencia, con un índice de flujo de 0,3, un peso específico de 1,5. y una viscosidad aparente de 70 cP a una velocidad de cizallamiento de 100 s -1. ¿Qué tasa de flujo volumétrico de este fluido se requeriría para alcanzar un flujo turbulento en un 1/2 pulg. ID tubo liso que es de 15 pies de largo? ¿Cuál es la caída de presión en la tubería (en psi) en estas condiciones? 31. Una suspensión de carbón se va a transportar por oleoducto. Se ha determinado que la suspensión puede ser descrita por el modelo de ley de potencia, con un índice de flujo de 0,4, una viscosidad aparente de 50 cP a una velocidad de cizallamiento de 100 s1, y 316


FLORES, Jesús

una densidad de 90 lbm / ft3. ¿Qué potencia sería necesario para bombear la suspensión a una velocidad de 900 gpm a través de un 8 en 40 tubería. Sch que es 50 mi tiempo? 32. Un lodo de aguas residuales se va a transportar una distancia de 3 millas a través de una tubería 12 en ID. A una tasa de 2,000 gpm. El lodo es un plástico de Bingham con una tensión de fluencia de 35 dyn / cm2, una viscosidad límite de 80 cP y un peso específico de 1,2. ¿Qué tamaño de motor (en caballos de fuerza) se necesitarían para accionar la bomba si se trata de un 50% de eficiencia? 33. Una suspensión de carbón se encuentra a comportarse como un fluido de ley de potencia, con un índice de flujo de 0,4, un peso específico de 1,5, y una viscosidad aparente de 90 cP a una velocidad de cizallamiento de 100 s-1. ¿Cuál sería la tasa de flujo volumétrico de esta suspensión de estar en una de 15 pies de largo, 5/8 pulg. ID tubo liso, con un motor de 60 psi a través del tubo? ¿Cuál es el número de Reynolds para el flujo en estas condiciones? 34. Una suspensión de carbón-agua que contiene 65% (en peso) de carbón es bombeada desde un tanque de almacenamiento a una velocidad de 15 gpm a través de una 50 m de longitud media en 40 tubería. Sch a una caldera, donde se quema. El tanque de almacenamiento está en 1 atm de presión y 808F, y la suspensión debe ser alimentado al quemador a 20 psig. El peso específico de carbón es de 2,5, y tiene una capacidad calorífica de 0,5 Btu / (lbm8F). a.

¿Qué poder debe entregar la bomba a la suspensión si se supone que es Newtoniano con una viscosidad de 200 cP?

b.

En realidad, la suspensión es no newtoniano y puede ser mejor descrito como un plástico de Bingham con una tensión de fluencia de 800 din / cm2 y una viscosidad límite de 200 cP. La incorporación de estas propiedades, lo que sería la potencia de bombeo requerida?

c.

Si la tubería está bien aislado, lo que será la temperatura de la suspensión ser cuando entra en la caldera, tanto para el caso (a) y el caso (b)?

35. Un lodo se va a transportar por oleoducto. Se ha determinado que el lodo puede ser descrita por el modelo de ley de potencia, con un índice de flujo de 0,6, una viscosidad aparente de 50 cP a una velocidad de cizallamiento de 1 s1, y una densidad de 95 lbm / ft3. ¿Qué potencia hidráulica se necesitaría para bombear la suspensión a una velocidad de 600 gpm a través de una tubería de 6 in. Que es de 5 millas de largo? 36. Debe diseñar un sistema de transferencia para alimentar a una suspensión de carbón a una caldera. Sin embargo, no se sabe las propiedades de la pulpa, por lo que se mide en el laboratorio utilizando un viscosímetro de copa y-bob (Couette). La copa tiene un diámetro de 10 cm y un diámetro de la sacudida de 9,8 cm, y la longitud de la lenteja es de 8 cm. Cuando la copa se hace girar a una velocidad de 2 rpm, el par medido en el bob es 2.4x104 dyn cm, y a 20 rpm es 6.5x104 dyn cm. a.

Si se utiliza el modelo de plástico de Bingham para describir las propiedades de la pulpa, ¿cuáles son los valores de la tensión de fluencia y la viscosidad limitante?

b.

Si se utiliza el modelo de ley de potencia en su lugar, ¿cuáles serían los valores del índice de flujo y la consistencia? 317


c.

Usando el modelo de plástico de Bingham para la suspensión, con un valor de la tensión de fluencia de 35 dyn / cm2, una viscosidad límite de 35 cP, y una densidad de 1,2 g / cm3, lo que potencia sería necesario para bombear la suspensión a través de un 1,000 pies de largo, 3 pulg. ID SCH 40 tubería a una velocidad de 100 gpm?

37. Una suspensión espesa con SG¼1.3 es para ser bombeada a través de un tubo ID 1 en. Que está a 200 pies de largo. No sabes las propiedades de la suspensión, por lo que lo prueba en el laboratorio mediante el bombeo a través de un tubo de identificación de 4 mm, que es de 1 m de largo. A una velocidad de flujo de 0,5 cm3 / s, la caída de presión en este tubo es 1 psi, y en un caudal de 5 cm3 / s que es 1,5 psi. Estimar la caída de presión que sería necesaria para bombear la suspensión a través de la 1 en. Tubería a una velocidad de 2 gpm y también en 30 gpm. Claramente explicar el procedimiento que utiliza, y el estado de todas las hipótesis que se realicen. Comentar en detalle acerca de la posible exactitud de sus predicciones. SG¼1.3 suspensión. 38. El lodo de perforación tiene que ser bombeada hacia abajo en un pozo de petróleo que es de 8000 pies de profundidad. El lodo es para ser bombeada a una velocidad de 50 gpm a la parte inferior del pozo y de nuevo a la superficie, a través de un tubo que tiene un ID eficaz de 4. La presión en el fondo del pozo es 4500 psi. Lo cabezal de la bomba se requiere para hacer esto? El lodo de perforación tiene propiedades de un plástico de Bingham, con una tensión de fluencia de 100 dinas / cm2, una viscosidad límite (de plástico) de 35 cP, y una densidad de 1,2 g / cm3. 39. Un tubo vertical recta, a 100 cm de largo y 2 mm ID, se encuentra junto a la parte inferior de un recipiente grande. El recipiente está abierto a la atmósfera y contiene un líquido con una densidad de 1 g / cm3 a una profundidad de 20 cm por encima del fondo del recipiente. a.

Si el desagüe del líquido a través del tubo a una velocidad de 3 cm3 / s, lo que es es la viscosidad?

b.

¿Cuál es el diámetro del tubo más grande que se puede utilizar en este sistema para medir la viscosidad de los líquidos que son al menos tan viscoso como el agua, para el mismo nivel de líquido en el recipiente? Supongamos que la densidad es la misma que la del agua.

c.

Un fluido no newtoniano, representada por el modelo de ley de potencia, se introduce en el recipiente con el tubo de diámetro 2 mm adjunto. Si el líquido tiene un índice de flujo de 0,65, una viscosidad aparente de 5 cP a una velocidad de cizallamiento de 10 s1, y una densidad de 1,2 g / cm3, la rapidez con que se drene a través del tubo, si el nivel es de 20 cm por encima de la fondo de la vasija?

40. Un fluido no newtoniano, descrito por el modelo de ley de potencia, está fluyendo a través de una ranura delgada entre dos planos paralelos de anchura W, separadas por un H. distancia La ranura está inclinada hacia arriba en un ángulo con la horizontal. a.

Derivar una ecuación que relaciona el caudal volumétrico de este fluido al gradiente de presión, corte, dimensiones y propiedades de los fluidos.

b.

Para un fluido newtoniano, esta solución se puede escribir en forma adimensional como 318


FLORES, Jesús

f = 24 ¼ NRe; h donde el número de Reynolds, NRe; h, se basa en el diámetro hidráulico del canal. Organizar su solución para el fluido de ley de potencia en forma adimensional, y resuelve para el factor de fricción, f. c.

Establecer el resultado de (b) igual a 24 = NRe; h y determinar una expresión equivalente a la ley de potencia número de Reynolds para el flujo de hendidura.

41. Usted está bebiendo un batido de leche a través de una paja que se encuentra a 8 pulg. De largo y 0,3 pulg. De diámetro. El batido de leche tiene las propiedades de un plástico de Bingham, con una tensión de fluencia de 300 din / cm2, una viscosidad límite de 150 cP, y una densidad de 0,8 g / cm3. a.

Si la paja se inserta en 5. Por debajo de la superficie del batido de leche, lo difícil que debe aspirar a obtener la sacudida que fluye a través de toda la paja (por ejemplo, la cantidad de vacío debe tirar de él, en psi)?

b.

Si se tira de un vacío de 1 psi, la rapidez con que el flujo batido (en cm3 / s)?

42. El agua es para ser transferido a una velocidad de 500 gpm de un lago de refrigeración a través de un 6 in. De diámetro sch 40 tubería a un depósito abierto en una planta que es 30 mi de un lago. a.

Si la bomba de transferencia es de 70% de eficiencia, lo que se requiere caballos de fuerza del motor para accionar la bomba?

b.

Una estación de inyección está instalada en el lago que inyecta un polímero de alto en la tubería, para dar una solución de 50 ppm de concentración con las siguientes propiedades: una cizalla baja viscosidad de 80 cP, un índice de flujo de 0,5, y un punto de transición de limitar bajo cizallamiento para newtoniana de fluidificación por cizalla comportamiento a una velocidad de cizallamiento de 10 s1. ¿Qué caballos de fuerza ahora se requiere para impulsar la misma bomba, para lograr la misma velocidad de flujo?

43. Se mide la viscosidad de un lodo en el laboratorio y determinar que puede ser descrito como un fluido de ley de potencia con un índice de flujo de 0,45, una viscosidad de 7 poises a una velocidad de cizallamiento de 1 s1, y una densidad de 1,2 g / cm3. a.

Lo caballos de fuerza se necesitaría para bombear el lodo a través de un 3 pulg. SCH 40 por tubería, 1000 pies de largo, a una velocidad de 100 gpm?

b.

Los datos de viscosidad muestran que el lodo también podría ser descrita por el modelo de plástico Bingham, con una viscosidad de 7 poises a una velocidad de cizallamiento de 1 s -1 y una viscosidad de 0.354 poises a una velocidad de cizallamiento de 100 s1. Usando este modelo, lo que requiere la potencia tendría que prever para el gasoducto de arriba?

c.

¿Qué respuesta crees que sería el más fiable, (a) o (b), y por qué?

44. Un tambor abierta, 3 pies de diámetro, contiene un lodo que se sabe que ser descrita por el modelo de plástico Bingham, con una tensión de fluencia de 120 din / cm2, una viscosidad límite de 85 cP, y una densidad de 98 lbm / ft3. Una manguera de ID 1 in., 10 pies de largo, se une a un agujero en la parte inferior del tambor para drenar el lodo.

319


Cómo muy por debajo de la superficie del lodo caso de que el extremo de la manguera disminuirse con el fin de drenar el lodo a una velocidad de 5 gpm? 45. ¿Le gustaría para determinar la relación de la velocidad de flujo de caída de presión para una suspensión en un oleoducto. Para ello, debe determinar las propiedades reológicas de la suspensión, por lo que probarlo en el laboratorio mediante el bombeo a través de un 1/8 de pulgada. Tubería de ID que es de 10 pies de largo. Usted descubre que tarda una caída de presión de 5 psi en la tubería para producir un caudal de 100 cm3 / s, y que los resultados de 10 psi en un caudal de 300 cm3 / s. a.

¿Qué se puede deducir de las características reológicas de la suspensión a partir de estos datos?

b.

Si se asume que la suspensión puede ser descrita adecuadamente por el modelo de ley de potencia, ¿cuáles son los valores de las propiedades de los fluidos, como se deduce de los datos?

c.

Si se utiliza el modelo de plástico de Bingham en lugar del modelo de ley de potencia para describir la suspensión, ¿cuáles son sus propiedades?

46. Una tubería está instalada para transportar una suspensión de lodo rojo de un depósito abierto en una planta de alúmina a un estanque disposición. La línea es 5 en el acero comercial 80. Sch, 12.000 pies de largo, y está diseñado para el transporte de la suspensión a una velocidad de 300 gpm. Las propiedades de la pulpa pueden ser descritos por el modelo de plástico Bingham, con una tensión de fluencia de 15 dyn / cm2, una viscosidad límite de 20 cP, y una SG de 1,3. Usted puede descuidar ningún accesorio en esta tubería. a.

Lo entregó la cabeza de la bomba y se requeriría la potencia hidráulica para bombear el lodo?

b.

¿Cuál sería la cabeza de la bomba y la potencia requerida para bombear el agua a la misma velocidad a través de la misma tubería?

c.

Si 100 ppm de polímero poliacrilamida fresca Separan AP-30 se añadieron al agua en el caso (b), lo que sería la cabeza de la bomba y la potencia requerida ser?

47. Determinar la potencia requerida para bombear el agua a una velocidad de 300 gpm a través de una tubería 3 en ID, 50 mi de largo, si.: a.

La tubería es de acero nuevo comercial

b.

La pared de la tubería es hidráulicamente liso

c.

La pared de la tubería es lisa, y se añade '' degradado '' Separan AP-30 de poliacrilamida al agua a una concentración de 100 ppm en peso.

320


321

FLORES, Jesús


ANEXO C: Especificaciones de tuberías y tubings Tamaño tubería

Diámetro externo pulg. cm

1/8

0.405

1.029

1/4

0.540

1.372

3/8

0.675

1.714

0.840

2.134

3/4

1.050

2.667

1

1.315

3.340

1¼

1.660

4.216

1½

1.900

4.826

2

2.375

6.034

2½

2.875

7.303

3

3.500

8.890

3½

4.000

10.16

4

4.500

11.43

5

5.563

14.13

6

6.625

16.83

1/2

Schelude 40 (STD) 80 (XS) 40 (STD) 80 (XS) 40 (STD) 80 (XS) 40 (STD) 80 (XS) 160 (XXS) 40 (STD) 80 (XS) 160 (XXS) 40 (STD) 80 (XS) 160 (XXS) 40 (STD) 80 (XS) 160 (XXS) 40 (STD) 80 (XS) 160 (XXS) 40 (STD) 80 (XS) 160 (XXS) 40 (STD) 80 (XS) 160 (XXS) 40 (STD) 80 (XS) 160 (XXS) 40 (STD) 80 (XS) 40 (STD) 80 (XS) 120 160 (XXS) 40 (STD) 80 (XS) 120 160 (XXS) 40 (STD) 80 (XS) 120 160 (XXS)

322

Diámetro interno pie cm 0.02242 0.683 0.01792 0.547 0.03033 0.924 0.02517 0.768 0.04108 1.252 0.03525 1.074 0.05183 1.580 0.04550 1.386 0.03867 1.178 0.02100 0.640 0.06867 2.093 0.06183 1.883 0.05100 1.555 0.03617 1.103 0.08742 2.664 0.07975 2.430 0.06792 2.070 0.04992 1.522 0.1150 3.504 0.1065 3.246 0.09667 2.946 0.07467 2.276 0.1342 4.090 0.1250 3.810 0.1115 3.398 0.09167 2.794 0.1723 5.252 0.1616 4.926 0.1406 4.286 0.1253 3.820 0.2058 6.271 0.1936 5.901 0.1771 5.397 0.1476 4.499 0.2557 7.792 0.2417 7.366 0.2187 6.664 0.1917 5.842 0.2957 9.012 0.2803 8.544 0.3355 10.23 0.3198 9.718 0.3020 9.204 0.2865 8.732 0.2626 8.006 0.4206 12.82 0.4011 12.22 0.3803 11.59 0.3594 10.95 0.3386 10.32 0.5054 15.41 0.4801 14.64 0.4584 13.98 0.4322 13.18 0.4081 12.44

Área de flujo pie2 cm2 0.0003947 0.3664 0.0002522 0.2350 0.0007227 0.6706 0.0004974 0.4632 0.001326 1.233 0.0009759 0.9059 0.002110 1.961 0.001626 1.508 0.001174 1.090 0.0003464 0.322 0.003703 3.441 0.003003 2.785 0.002043 1.898 0.001027 0.956 0.006002 5.574 0.004995 5.083 0.003623 3.365 0.001957 1.815 0.01039 9.643 0.008908 8.275 0.007339 6.816 0.004379 4.069 0.01414 13.13 0.01227 11.40 0.009764 9.068 0.006600 6.131 0.02330 21.66 0.02051 19.06 0.01552 14.43 0.01232 11.46 0.03325 30.89 0.02943 27.35 0.02463 22.88 0.01711 15.90 0.05134 47.69 0.04587 42.61 0.03755 34.88 0.02885 26.80 0.06866 63.79 0.06172 57.33 0.08841 82.19 0.07984 74.17 0.07163 66.54 0.06447 59.88 0.05419 50.34 0.1389 129.10 0.1263 117.30 0.1136 105.50 0.1015 94.17 0.09004 83.65 0.2006 186.50 0.1810 168.30 0.1650 153.50 0.1467 136.40 0.1308 121.50


Tamaño tubería

8

Diámetro externo pulg. cm

8.625

21.91

Schelude

FLORES, Jesús

Diámetro interno pie cm

20 30 40 (STD) 60 80 (XS) 100 120 140 (XXS)

20 0.6771 20.64 0.3601 334.60 30 0.6726 20.50 0.3553 330.10 40 (STD) 0.6651 20.27 0.3474 322.70 60 0.6511 19.85 0.3329 309.50 80 (XS) 0.6354 19.37 0.3171 294.70 100 0.6198 18.89 0.3017 280.30 120 0.5989 18.26 0.2817 261.90 140 0.5834 17.79 0.2673 248.60 (XXS) 0.5729 17.46 0.2578 239.40 160 0.5678 17.31 0.2532 235.30 10 10.750 27.31 20 0.8542 26.04 0.5730 532.60 30 0.8447 25.75 0.5604 520.80 40 (STD) 0.8350 25.46 0.5476 509.10 60 (XS) 0.8125 24.77 0.5185 481.90 80 0.7968 24.29 0.4987 463.40 100 0.7760 23.66 0.4730 439.70 323

Área de flujo pie2 cm2


120 0.7552 23.02 0.4470 416.20 140 (XXS) 0.7292 22.23 0.4176 388.10 160 0.7083 21.59 0.3941 366.10 Notes: STD implies standard; XS is extra strong; and XXS is double extra strong. Notes: STD implies standard; XS is extra strong; and XXS is double extra strong.

324


FLORES, Jesús

Se utiliza alcohol metílico en una planta de procesamiento y debe de suministrarse este insumo a un caudal de 0.4 m 3 min . Se dispone de una bomba que puede suministrar este caudal sólo si la caída de presión en la línea de alimentación es inferior a 15 m de la columna de agua. La tubería se compone de 50 m de tubería de cobre soldada y sigue la ruta que se muestra en la Fig. adjunta. Determine el tamaño mínimo de tubería requerida.

Datos adicionales: Para el Agua

:   1000 Kg m3

Para el Metanol:   789.00 Kg m3   0.56  103 N s m2

Rugosidad

:

  0.00015 cm

Coeficientes de pérdidas Menores:

K

f

K

f



 



 4 K codo 90o  2 K codo 45o  K salida

 4  0.75  2  0.35  1  4.7

Escribiendo la ecuación de Bernoulli desde los puntos 1 y 2, se tiene: P1 v2 P v2  1  z1  2  2  z2   g 2 g1  g 2 g 2

L  v2 

 4 f  D   2g    K

f

 v2     2g 

La caída de presión está dada en términos de metros de agua: P1  P2  15 m de agua g

donde,  es para el agua. Para convertir la caída de presión a metros de alcohol, multiplicamos por una razón de densidades: P1  P2 15 1000    19.0 m de alcohol g 789

La velocidad en el punto 1, es la misma que la del punto 2, porque el área transversal en estos puntos son los mismos. Por tanto, z1  z2 , en la Ec. de Bernoulli P1  P2 v2   L   4f   g 2 g   D 

K

f

   325


Por continuidad, se sabe que v  4 Q  D 2 . Sustituyendo los datos del problema en la ecuación de Bernoullo, se tiene, 19.0 m EtOH 

16 Q 2 2 g 2 D 4

 4 f 

  50     4.7  D 

Con Q  0.4 m3 min  0.0067 m3 s , la ecuación toma la forma:

19.0  2  9.816   2 16  0.0067 

2

 200 f 4.7   5  4 D   D

ó f  2.5628212  104 D5  0.0235 D

(6.5–1)

Su solución requiere un método de prueba–error. En este caso, por la forma de la ecuación, es fácil asumir un diámetro. Como primera prueba asumimos,

D  0.05 m ; por tanto, f  2.5628212 104  0.05  0.0235  0.05  0.00683382 , 5

Con este valor, se calcula el área, velocidad, número de Reynolds y A

v

 D2 4



  0.05

2

4

 0.001963 m2

Q 0.0067   3.4131 m s A 0.001963

N Re 

D v



 0.05 3.4131 789.0 

 0.56 10 0.0000015   0.000033 D 0.05

3



  2.40044 105     f  0.0038473   

El diámetro para este valor de fricción es nuestro segundo valor. Las pruebas secesivas con la Ec. (6.5–1) se tiene los siguientes valores: Q=

0.0067

m3/s

=

0.00056

Pa s

D=

0.05

m

=

789

kg/m3

f (Ec.6.5 - 1)

Tol:

0.000001

=

0.0000015

m

0.006833816

D (m)

A (m )

v (m/s)

NRe

/D

f (Cool.)

Error

Converg

0.05

0.001963

3.41227

240382.5166

0.00003

0.003839

0.779770

iteracion

0.045329

0.001614

4.15160

265148.3415

3.30908E-05

0.003781

0.015620

iteracion

0.045215

0.001606

4.17271

265821.305

3.31748E-05

0.003779

0.000391

iteracion

0.045212

0.001605

4.17324

265838.2801

3.31769E-05

0.0037791

9.84559E-06

iteracion

0.045212

0.001605

4.17325

265838.7074

3.3177E-05

0.0037791

2.4785E-07

raiz

2

326


Por consiguiente, el diámetro de la tubería es

FLORES, Jesús

  0.0451 m .

Ejemplo 6.9 Un tanque de agua está equipado con un drenaje y tubo de salida tal como se esboza en la Fig. 6.9. El sistema tiene 24.9936 m (82 pies) de tubería de hierro fundido de diámetro 1 ½ – nominal. Determinar la razón de flujo a través de la tubería. Todos los accesorios son de rosca y regular.

Figura 6.9 Sistema de tubería para el ejemplo 6.9.

Seleccionamos como volumen de control el líquido en el depósito y en el sistema de tuberías. Sección 1 es la superficie libre del líquido del tanque y de la sección 2 es como se indica en la figura. Utilizamos los datos y las tablas de la propiedad: palmer uilca puclla Agua:   994.9945 Kg m3

  0.00091642 Pa  s Tubería 1 ½ nom, Sch. 40, D = 0.1342 pies (4.090416 cm) Rugosidad

:   0.00085 pies (0.025908 cm)

Pérdidas Menores:  K f

K

f

 Kentrada  Ktubo doblado  K codo

90o

 KVálvula  K salida

 0.50  0.45  0.75  6.0  1.0  8.7

Escribiendo la ecuación de Bernoulli desde los puntos 1 (superficie libre del líquido en el tanque) y 2, se tiene: P1 v2 P v22  1  z1  2   z2   g 2 g1  g 2 g 2

 L   v2    h   2g 

 4 f  D

K

f

 v2     2g 

De la figura se puede apreciar, P1  P2  Patm y que si z2  0 , luego z1  23 pies . La velocidad v1 de la superficie de depósito y la velocidad del chorro de salida v2 son insignificantes en comparación con la velocidad en la tubería. Debido a que toda la tubería es del mismo diámetro, la ecuación se convierte

z1 

v2  4 f 2 g 

 L   Dh

  



 K  f

Sustituyendo datos, se tiene 327


 23 pies  2   32.2

   4  82 pie  pie s 2   v 2  4 f    8.7  0.1342 pie    

ó 1

 2 1481.2 v   2444.1133 f  8.7 

Debido a que v y f con desconocidos, se requiere una solución de prueba y error. Como primera prueba, asumimos f  0.03 , luego, D = 0.1342 pies (4.090416 cm) Agua:   994.9945 Kg m3

  0.00091642 Pa  s

v  4.249501 pie s

N Re  N Re 

D v





 0.1342 pie  4.249501 pie s   994.995 kg

m3  0.0624279 lbm pie3 kg m3 

0.00091642 Pa  s   0.020885434 lb f s pie 2 1Pa  32.174 lbm pie lb f s 2 

N Re  5.75237189  104

D v

  5.75237189 104      f  0.0038473  0.00085    0.006334  D 0.1342

N Re 

328


FLORES, Jesús

PROBLEMA DE PRACTICAS DE INGENIERIA OPERACIONES AGROINDUSTRIALES II 1.

En una planta de procesamiento de productos lácteos, leche (   1030.0 Kg m3 ,   2.12 103 Pa  s ) se bombea a través de un sistema de tuberías desde un tanque a una máquina de embalaje. La bomba y la tubería están construidos de acero inoxidable (paredes lisas), dispuestos tal como se muestra en la Fig. 1. La línea de entrada a la bomba (tubería 4-nominal, cedula 40) es de 2 m de largo. La línea de salida de la bomba (tubería 3 ½ -nominal, cedula 40) es de 15 m de largo. Todos los accesorios tienen una brida, y el flujo volumétrico a través del sistema es 0.015 m 3 s . Determinar la potencia de la bomba si la eficiencia del motor de la bomba es de 88%.

Figura 01. Representación esquemática del problema 1.

2. La fuente de agua en una pileta decorativa consiste en un depósito de agua y una tubería subterránea hacia y desde una bomba. Uno de tales sistemas se muestra esquemáticamente en la Fig. 02. La línea de entrada a la bomba es de 20 m de tubería de PVC de 16 nominal. La línea de salida de la bomba es de 18 m de tubería de PVC de 12-nominal. La línea de salida conduce a la parte inferior de una línea de flujo anular. La expansión tiene un valor del coeficiente de pérdida K f  2 basado en la energía cinética en la línea 12-nominal. El flujo anular tiene una longitud L  180 cm y está delimitada por Do  30 cm y Di  20 cm . Hay una pérdida insignificante en la salida de la corona circular. Cuál es la potencia necesaria de la bomba para la configuración del flujo mostrada? Si la combinación de motor-bomba tiene una eficiencia de 92%, determinar el requerimiento de potencia eléctrica. Si el costo de electricidad es de $ 0.05 = kW- h, determinar el costo de funcionamiento para 8 horas.

329


Figura 02.

330


5.17

FLORES, Jesús

Bibliografía

Polyanin A. D. and Manzhirov A. V., (2007), Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists, Taylor & Francis Group, LLC., USA. Norman L. W., (2007), Applied mathematical methods for chemical engineers, 2dn ed., Taylor & Francis Group, New York, USA.

331


ANEXOS Deridavas de funciones para calcular el factor de fricción 1.

Ecuación de von Karman–Nikuradse, Ec. (5.68), para tubería lisa en el rango 5  103  N Re  5  106 . 1 f



 4.1 log N Re



f  0.40

(5.68)

La solución de esta ecuación requiere la implementación de un método iterativo por ser implícita en f , utilizando el método de Newton–Raphson,



g  f   4.1 log10 N Re

g ' f  

2.



f 

1 f

 0.40

0.8903 1  3 f 2f 2

Ecuación de Colebrook, para tubos rugosos en flujo turbulento ( N Re  2000 ).

  D 1.255  4log   f  3.7 N Re f

1

  

(5.73)

La solución de esta ecuacion implícita se realiza por el método numérico de Newton Raphson y la diferenciación de los coeficientes de la Ec. (5.73)3, f n 1  f n 

g  fn 

(A.1)

g '  fn 

f n 1  f n  fn

3

(A.2)

De Bird J., (2003) y Polyanin A. D. and Manzhirov A. V., (2007), se tiene: d 1 du ln  u    dx  u dx

y

d 1  du  log a  u     dx  u ln  a   dx 

332


FLORES, Jesús

  D 1.255   4log10    f  3.7 N Re f 

g f  

1

g ' f  

d df

g ' f   

 1  d     f  df

1  2f32

 g ' f     

(A.3)

   D 1.255    4 log10       3.7 N Re f   

2.51   D 1.255  N Re    ln 10   3.7 N Re f 

    1  1 1.09007915    3 2  f 2   D 1.255   N Re      3.7 f    

333

 1   32  f 

(A.4)


Diferencia Altura, DH

Caudal, Q

NRe

DP (Pa)

fF

0.0100

670.921

59.089

0.037600

15

0.0150

1285.932

88.633

0.015353

0.0000135

17

0.0170

1509.572

100.451

0.012626

21.00

0.0000210

32

0.0320

2348.223

189.084

0.009822

22.00

0.0000220

35

0.0350

2460.044

206.811

0.009788

27.50

0.0000275

55

0.0550

3075.054

324.988

0.009844

31.50

0.0000315

70

0.0700

3522.335

413.621

0.009549

36.50

0.0000365

100

0.1000

4081.436

590.887

0.010160

39.50

0.0000395

115

0.1150

4416.896

679.520

0.009977

40.00

0.0000400

120

0.1200

4472.806

709.065

0.010152

(m3/s)

(mmCCl4)

(mCCl4)

6.00

0.0000060

10

11.50

0.0000115

13.50

Factor de Frcción de Fanning, f

(mL/s)

0.03

0.02

0.01 1000

2000

3000

4000

Número de Reynolds, NRe

fF  A 

B

 NRe 

Constantes

C

Valor

Error Estandar

A

0.009406

2.86E-04

0.0094 ± 0.000

B

533039.37

598959.71

533,039.3651±598,959.711

C

2.5740285

0.1805707

2.5740 ± 0.181

334


f F  0.009406 

533039.37

 NRe 

2.57

335

FLORES, Jesús


Problema Examen Metanol fluye a través de un tubo circular, cuyo diámetro a la entrada es de 1.05 pulg (0.02667 m). El flujo volumétrico del alcohol es de 8.495 104 m3 s . Calcular la longitud de entrada requerida para que el flujo tenga un perfil de flujo completamente desarrollado.

Estimar la velocidad media estacionaria para una tubería de acero comercial, que tiene las siguientes características: L = 30.48 m, Di  0.0526 m ,   0.000045 m , caída de presión debido a la fricción DPf  15720 N m2 ,   0.01 Pa  s y   1200 Kg m3 Solución. Utilizando el algoritmo, descrito anteriormente, usando un valor inicial de NRe  1500 y la serie de valores iterados se muestran en la Tabla 5.6–1. Tabla 5.6–1 Iteración de la Ecuación de Coolebroock N Re

N°

fn

DPf (Pa)

Error Relativo*

Convergencia

0

15000

0.00727

57083

2.63

iteracion

1

7872

0.00849

18372

0.169

iteracion

2

7282

0.00867

16047

0.0208

iteracion

3

7207

0.00869

15761

0.0026

4

7198

0.00870

15727 15719

5

7196

0.00870

iteracion

4.45 10

–4

iteracion

6.36 10

–6

raiz

El error relativo se calcula con la siguiente relación

 DP  f

calculado

  DPf 

f

especificado

 DP 

especificado

 

(5.5–1) Cuando se ha convergido, se calcula el valor de la velocidad media, desde la Ec. de Reynold, v

 N Re Di 

v

 0.01 Pa  s  7196   0.0526 m  1200 Kg m3 

(5.6–1)

v  1.14005 m s Por consiguiente la velocidad promedio es de 1.14005 m/s, con un error de 6.36 104 % .

336


FLORES, Jesús

Ejemplo 5.3 Perfil de flujo completamente desarrollado Metanol fluye a través de un tubo circular, cuyo diámetro a la entrada es de 1.05 pulg (0.02667 m). El flujo volumétrico del alcohol es de 8.495 104 m3 s . Calcular la longitud de entrada requerida para que el flujo tenga un perfil de flujo completamente desarrollado. Solución. De la base de datos de ChemCAD ver. 6.13, se tiene las siguientes correlaciones para las propiedades de densidad y viscosidad dinámica para el metanol:

A

Densidad:  

B

  T D  1 1     C  

; donde  , en Kg-mol m3 y T , en Kelvin

(5.3–1)

A = 2.288; B = 0.2685; C = 512.64; D = 0.2453

B   Viscosidad:   exp  A   C ln T   D T E  T  

(5.3–2)

donde , en Pa  s y T , en Kelvin A = – 25.317; B = 1789.2; C = 2.069

Por tanto, considerando una temperatura de trabajo de 20 ºC (293.15 K), utilizando las Ecs. (5.3–1) y (5.3–2), y el peso molecular del metanol es, 32.042 Kg/Kg-mol, se tiene: 2.288



  293.15 0.2453  1 1     512.64  

 24.75646 Kg-mol m3

0.2685   793.25 Kg m3

 

  exp 25.317 

1789.2   2.069ln  293.15  5.75481104 Pa  s 293.15 

El área transversal de flujo, se calcula mediante, A

 D2 4



  0.02667  4

2

 5.5865 104 m2

Luego la velocidad promedio en la tubería es 8.495 104 m3 s

v

Q 8.495 104   1.5206 m s A 5.5865 104

El número de Reynolds (NRe), Ec. (5.1), es igual a N Re 

Dvˆ 





0.02667 1.5206  793.25  5.75481104

337

 5.59 104


Debido a que el flujo está dentro el régimen turbulento, usamos la Ec. (5.3b), para determinar la longitud de entrada, (NOTA: D, el diámetro de la tubería en pies): Le  4.4 D  N Re 

16

 1 pie  4 16  4.4 1.05 pulg    5.59  10  12 pulg  

Resolviendo, se tiene Le  2.38 pie

Así, el perfil de velocidad se mantiene sin cambios con el incremento de la distancia axial después de una distancia de 2,39 pies (0.7284 m) de la entrada.

Calcular la caída de presión debido a la fricción en una tubería de acero comercial con las siguientes características: longitud L = 30.48 m, diámetro interno Di  0.0526 m , rugosidad de la tubería   0.000045 m , caudal en estado estacionario Q  9.085 m3 h , viscosidad dinámica del líquido   0.01 Pa  s y densidad del líquido   1200 Kg m3 .

338

Chap VI Flujo Fluidos

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