Capítulo 2. DESCRIPCION DEL MOVIMIENTO: CINEMATICA EN UNA DIMENSION. Práctica Preguntas de investigación y análisis 1. ¿El velocímetro de un automóvil mide rapidez, velocidad o ambas? Un velocímetro mide rapidez, porque este no da la dirección y el sentido que es lo que define la velocidad. 2. ¿Un objeto puede tener una rapidez variable si su velocidad es constante? ¿Puede tener velocidad variable si su rapidez es constante? En caso afirmativo, dé ejemplos en cada caso. Si la rapidez de un objeto es constante la velocidad puede variar. Si la velocidad es contante la rapidez es constante. Ejemplo: Un auto que viaja en una curva a rapidez constante tiene una velocidad variable, puesto que la dirección del vector está cambiando. 3. Cuando un objeto se mueve con velocidad constante, ¿Su velocidad promedio durante cualquier intervalo de tiempo difiere de su velocidad instantánea en cualquier otro instante? Cuando un objeto se mueve con velocidad constante, la velocidad media y la velocidad instantánea son los mismos en todo momento. 4. ¿Puede un objeto tener una velocidad hacia el norte y una aceleración hacia el sur? Explique. (PREG. 6) Sí, por ejemplo un automóvil que viaja hacia el norte y reduce, tiene una velocidad hacia el norte y una aceleración hacia el sur. 5. ¿La velocidad de un objeto puede ser negativa cuando su aceleración es positiva? ¿Y viceversa? (PREG. 7)
Sí, si la velocidad y la aceleración tienen diferente signo (dirección opuesta), entonces el objeto tiende a disminuir la velocidad. Por ejemplo: una pelota lanzada hacia arriba tiene una velocidad positiva y una aceleración negativa mientras está subiendo. Un móvil que viaja en la dirección X, y el frenado es negativo teniendo una aceleración negativa. 6. Dé un ejemplo donde tanto la velocidad como la aceleración sean negativas. (PREG. 8) En el tiro vertical se eligen positivo los desplazamiento hacia arriba cuando el cuerpo cae, tanto la velocidad como la aceleración son negativa, sin embargo el movimiento es acelerado. 7. Un jugador de béisbol batea un faul recto en el aire. La pelota sale del bate con una rapidez de 120 km/h. En ausencia de resistencia del aire, ¿Cuál será la rapidez de la pelota cuando la atrape el catcher? (PREG. 11) La rapidez es igual a 120km/h ya que aquí interviene la gravedad. 8. Cuando un objeto en caída libre incrementa su velocidad, ¿Qué pasa a su aceleración, aumenta, disminuye o permanece igual? a) Ignore la resistencia del aire. b) Considere la resistencia del aire. (PREG. 12) a
Si la resistencia del aire es despreciable la aceleración de un objeto que cae
b
libremente permanece igual que cuando el objeto cae hacia el suelo. En presencia de la resistencia del aire la aceleración disminuye.
9. Usted viaja del punto A al punto B en un automóvil que se mueve con rapidez constante de 70 km/h. Luego viaja la misma distancia del punto B a otro punto C, moviéndose con rapidez constante de 90 km/h. ¿Su velocidad promedio para el viaje completo de A a C es igual a 80 km/h? Explique su respuesta. (PREG. 13)
La velocidad media es el desplazamiento dividido por el tiempo. Si la distancia de A a B y B a C son iguales, entonces se pasa más tiempo al que viaja a 70km/h que el que viaja a 90km/h por lo que su velocidad media debe ser inferior a 80km/h. d v´ = t
2x
=
x x + 70 90
=
2 ( 90 )(70) 90+70
= 79 Km/h
10. ¿Puede un objeto tener velocidad cero y aceleración distinta de cero al mismo tiempo? Mencione algunos ejemplos. (PREG. 14) Sí, por ejemplo una piedra lanzada hacia arriba en el aire, tiene una aceleración constante no nula, debido a la gravedad. Sin embargo en el punto más alto tiene una velocidad cero. 11. ¿Puede un objeto tener aceleración cero y velocidad distinta de cero al mismo tiempo? Mencione algunos ejemplos. (PREG. 15) Cada vez que la velocidad es constante la aceleración es cero. Ejemplo: un auto que viaja a una velocidad constante de 90km/h en una línea recta, la aceleración es igual a cero. 12. ¿Cuál de estos movimientos no tiene aceleración constante: una roca que cae desde un acantilado, un elevador que asciende desde el segundo piso hasta el quinto pisos con paradas durante el trayecto, un plato que descansa sobre una mesa? (PREG. 16). El ascensor que se mueve desde el segundo piso al quinto haciendo parada en el camino, no tiene aceleración constante.
Rapidez y velocidad 1. Si usted va manejando a 110 km/h a lo largo de una carretera recta y se distrae durante 2.0 s, ¿qué distancia recorre en este periodo de falta de atención?
v´ =
Δx → ∆ x=v ∆ t Δt
100
km 1000 m 1h =30.6 m/s h 1 km 3600 seg
(
)(
)
Δx = V Δt = (30.6 m/s) (2 s) = 61 m 2. ¿Cuál debe ser la rapidez promedio de su automóvil para recorrer 235 km en 3.25 h? v´ =
Δ x 235 km = =72.3 km/h Δt 3.25 h
3. En t1'(2.0 s, una partícula está en x1 ' 4.3 cm y en t2 ' 4.5s está en x2 ' 8.5 cm. ¿Cuál es la velocidad promedio de la partícula? ¿Puede calcular la rapidez promedio con estos datos? v´ =
Δ x 8.5 cm−4.3 cm 4.2 cm = = =0.65 cm/s Δt 4.5 seg−2.0 seg 6.5 s
4. Usted va conduciendo un automóvil de la escuela a la casa a 95 km/h de manera uniforme a lo largo de 130 km. Empieza a llover, baja la velocidad a 65 km/h y llega a casa después de conducir durante 3 horas y 20 minutos. a) ¿Qué tan lejos está su casa de la escuela? b) ¿Cuál fue la rapidez promedio? El tiempo que pasa la primera parte del viaje se calcula a partir de la velocidad inicial y la primera distancia. v´ 1=
Δ x1 Δx 130 km → Δ t 1= 1 = =1.37 h=82 min Δt1 Δ v1 95 km/h
Δt2 = Δ total – Δt1 =3.33 h – 1.37 h = 1.96 h = 118 min
v´ 2=
Δ x2 km → Δ x 2=v 2 ∆ t 2= 65 ( 1.96 h ) =127.5 km=1.3 x 102 km Δt2 h
(
)
a) La distancia total Δx total = Δx1 + Δx2 = 130 km + 127.5 km = 2.6x102 km b) La velocidad promedio se calcula de la siguiente forma:
v´ =
Δ x total 257.5 km = =77 km/h Δt total 3.33 h
5. (II) Un caballo se aleja de su entrenador galopando en línea recta una distancia de 116 m en 14.0 s. Luego regresa abruptamente y recorre la mitad de la distancia en 4.8 s. Calcule a) la rapidez promedio y b) la velocidad promedio para todo el viaje, usando “alejándose de su entrenador” como el sentido positivo del movimiento. La distancia recorrida es 116 km + ½ (116 m) = 174 m El desplazamiento es 116 m – ½ (116 m) = 58 m El tiempo total es 14.0 s + 4.8 s = 18.8 s
a) Rapidez Promedio =
d 174 m m = =9.26 t 18.8 s s
b) Velocidad Promedio =
d 58 m m = =3.1 t 18.8 s s
6. (II) La posición de un objeto pequeño está dada por x ' 34 & 10t ( 2t3, donde t está en segundos y x en metros. a) Grafique x como función de t desde t ' 0 hasta t ' 3.0 s. b) Encuentre la velocidad promedio del objeto entre 0 y 3.0 s. c) ¿A qué tiempo entre 0 y 3.0 s la velocidad instantánea es igual a cero? (PREG 8) La velocidad del vehículo en relación con el camión es de: 95 km/h – 75 km/h = 20 km/h. el auto está a un marco de referencia de 110 m del camión:
∆ t=
∆ x 0.11 km 3600 s = =19.8 seg ∆v km 1h 20 h
(
)
7. (II) Un automóvil que viaja a 95 km/h va 110 m atrás de un camión que viaja a 75 km/h. ¿Cuánto tiempo le tomará al automóvil alcanzar al camión? (PREG 9) a)
Gráfico de X = f (t) 4.5 4 3.5 3 2.5
distancia
2 1.5 1 0.5 0 0.5
1
1.5
2
2.5
tiempo Serie 1
b) La Velocidad media es el desplazamiento dividido por el tiempo transcurrido:
v´ =
x ( 3.0 )−x (0.0) [ 34 +10 ( 3.0 )−2 ( 3.0 ) 3 ] m−(34 m) = =−8.0 m/s 3.0 s−0.0 s 3.0 s
c) La velocidad instantánea es dada por la derivada de la funcion de posición:
v´ =
Δx =( 10−6 t 2 ) m/ s Δt
3
=
5 seg = 1.3 seg 3
8. (II) Dos locomotoras se acercan entre sí sobre vías paralelas. Cada una tiene una rapidez de 95 km/h con respecto al suelo. Si inicialmente están separadas entre sí 8.5 km, ¿cuánto tiempo pasará antes de que se encuentren? (Véase la figura 2-38). (PREG 10)
v´ =
Δx ∆ x 4.25 km 60 min → ∆t = = =0.0447 h =2.68 min Δt ∆v km 1h 95 h
(
)
ACELERACIÓN 20. Un auto deportivo acelera desde el reposo hasta alcanzar 95 km/h en 4.5 s. ¿Cuál es su aceleración promedio en m/s2?
Δv a´ = Δt
=
95
km km −0 h h 4.5 seg
=
95
km 1 m/s −0 h 3.6 km/h 4.5 seg
= 5.9 m/s2
22. Una velocista acelera desde el reposo hasta 9.00 m/s en 1.28 s. ¿Cuál es su aceleración a) en m/s2; y b) en km/h2? a) la aceleración promedio es
b)
(
a´ = 7.03
m s2
Δv a´ = Δt
=
9
m m −0. 00 s s 1.28 seg
= 7.03 m/s2
1 km 3600 seg 2=9.11 x 10 km/h )( 1000 )( m 1h ) 4
2
30. Un auto desacelera de 25 m/s al reposo en una distancia de 85 m. ¿Cuál fue su aceleración, suponiendo que ésta es constante?
m 0−(25 )2 2 2 v −v s 0 v 2=v 20 +2 a ( x−x 0 )= = 2(x−x 0 ) 2(85 m)
= - 3.7 m/s2
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE 31. Un auto acelera de 12 m/s a 21 m/s en 6.0 s. ¿Cuál fue su aceleración? ¿Qué distancia recorrió en este tiempo? Suponga aceleración constante.
a) a´ = v−v 0 = Δt
21
m m −12 s s 6.0 seg
= 1.5 m/s2
1 m 1 m x−x 0=v 0− a t 2= 12 ( 6.0 seg ) + 1.5 2 ( 6.0 seg ) 2=99 m b) 2 s 2 s
( )
( )
32. Una avioneta debe alcanzar una rapidez de 32 m/s para despegar. ¿Qué longitud de pista se requiere si su aceleración (constante) es de 3.0 m/s2? Datos V= 32 m/s Vi= 0 m/s a= 3.0 m/s2 x – xº =? m m 32 )2−0 ( v −v s s v =v +2 a ( x−x )=x−x = = =1.7 x 10 m 2
2
2 0
0
0
2a
2 0
2
( ms )
2 3.0
2
33. (II) Un pitcher lanza una pelota con una rapidez de 41 m/s. Estime la aceleración promedio de la pelota durante el movimiento de lanzamiento. Al lanzar la pelota, el pitcher acelera la pelota a través de un desplazamiento de aproximadamente 3.5 m, desde atrás de su cuerpo hasta el punto donde suelta la pelota (figura 2-41). Datos V= 41 m/s Vi= 0 m/s a= ? x – xº = 3.5 m
2
v 2=v 20 +2 a ( x−x 0 )=
2 0
v −v 2(x−x 0 )
m 41 ) 2−0 ( s =
= 240 m/s2
2(3.5 m)
36. (II) Un conductor distraído viaja a 18.0 m/s cuando se da cuenta de que adelante hay una luz roja. Su automóvil es capaz de desacelerar a razón de -3.65 m/s 2. Si le toma 0.200 s aplicar los frenos y está a 20.0 m de la intersección cuando ve la luz, ¿será capaz de detenerse a tiempo? Datos V0= 18.0 m/s a= -3.65 m/s2 t= 0.200 seg x=?
(
∆ x 1=v 0 ∆t= 18.0
m ( 0.200 seg )=3.6 m s
)
m 0− 18.0 2 2 2 v −v s 2 2 0 v =v 0 +2 a ∆ x 2=∆ x 2= = =44.4 m 2a 2(−3.65 m/s 2)
(
∆ x=3.6 m+44.4 m=48. 0 m
)
37. (II) Un automóvil desacelera uniformemente desde una rapidez de 18.0 m/s hasta alcanzar el reposo en 5.00 s. ¿Qué distancia viajó en ese tiempo? Datos V0= 18.0 m/s V= 0 m/s T= 5.00 seg X =?
(
v x−x 0= 0−V t = 2
18.0
m m −0 s s ( 5.00 seg )=45.0 m 2
)
39. (II) Un automóvil que va a 85 km/h desacelera a una razón constante de 0.50 m/s2 simplemente al dejar de pisar el acelerador. Calcule a) la distancia que recorre el automóvil antes de detenerse, b) el tiempo que le toma detenerse, y c) la distancia que viaja durante el primero y el quito segundos. La velocidad final del carro es cero. Datos: A= 0.50 m/s2 Vi= 85 km/h Vf= 0 km/h X=? T=? a) Para la distancia usamos la ecuación 2-12 c
(
[ ( )] 1m/ s km 3.6 h
0− ( 85 km/h )
v 2−v 20 x−x 0= t= 2a
(
2 −0.50
m 2 s
2
)
=557 m
)
b) Para el tiempo usamos la ecuación 2-12 a
[ ( )]
0− ( 85 km/h ) v−v 0 t= = a
1m/ s km 3.6 h
m −0.50 2 s
(
= 47.22 seg
)
c) Para la distancia en el primer y último segundo la ecuación 2-12 b Datos: A= -0.50 m/s2 Vi= 85 km/h T1= 0 seg T2= 1 seg T3= 2 seg T4= 3 seg T5= 4 seg km x ( 0 )=0 ; x ( 1 )=0+ 85 h
(
)
m s 1 m ( 1 seg )+ −0.50 2 ( 1 s ) 2=23.36 m km 2 s 3.6 h
( ) 1
(
)
X (1) – x(0) = 23 m
(
x ( 4 )=0+ 85
km h
)
m s 1 m ( 4 seg ) + −0.50 2 ( 4 s ) 2=90.44 m km 2 s 3.6 h
( ) 1
(
)
km x ( 5 ) =0+ 85 h
(
)
m s 1 m ( 5 seg ) + −0.50 2 (5 s ) 2=111.81 m km 2 s 3.6 h
( ) 1
(
)
X (5) – x(4) = 111.81 m – 90.44= 21.37 m CAÍDA LIBRE DE LOS OBJETOS 48. (I) Se deja caer una piedra desde la parte superior de un acantilado y toca el suelo 3.75 s después. ¿Cuál es la altura del acantilado? Datos: T= 3.75 seg Vi= 0 m/s A= 9.80 m/s2 Y=? 1 y= y 0 + v 0 t + a t 2 2
y−0=0+
1 m 9.80 2 ( 3.75 seg ) 2=68.9 m 2 s
(
)
49. (I) Si un automóvil se cae suavemente (v0 ' 0) desde un acantilado vertical, ¿cuánto tiempo le tomará alcanzar 55 km/h? Datos: V0= 0 m/s 1 m/s V= (55 km/h) ( 3.6 Km /h )= 15.28 m/s A= 9.80 m/s2 Usamos la fórmula 2-12 a
m 15.28 −0 v −v 0 s v =v 0 +at=t= = =1.6 seg a 9.8 m/s 2
50. (I) Calcule a) cuánto tiempo le tomó a King Kong caer desde la cima del edificio Empire State (380 m de altura) y b) cuál era su velocidad al “aterrizar”. Usamos la ecuación 2-12 b Datos T=? Y=380 m V=? A= 9.80 m/s2 1 y− y 0 =v 0 + a t 2 2
a)
t=
√ √
2(380m) 2y = =8.806 seg a 9.80 m/ s2
b)
(
v =v 0 +at=0+ 9.80
m ( 8.806 seg )=86 m/ s s2
)
51. Se batea una pelota casi en línea recta hacia arriba en el aire con una rapidez aproximada de 20 m/s. a) ¿Qué tan alto sube? b) ¿Cuánto tiempo permanece en el aire? 2 2 a) v =v 0 +2 a( y − y 0)
2
y= y 0 +
B)
2
v −v 0 0−(20 m/s) 2 =0+ =20 m 2 2a 2(−9.80 m/s )
1 y= y 0 + v 0 t + a t 2 =0 2
1 t= v 0 + at =0 , t=0 2
(
t=
)
2 v 0 2(20 m/s ) = =4 seg a 9.80 m/ s 2
60. (II) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez de 24.0 m/s. a) ¿Qué velocidad tiene cuando alcanza una altura de 13.0 m? b) ¿Cuánto tiempo requiere para alcanzar esta altura? c) ¿Por qué hay dos respuestas para el inciso b? Datos V0= 24.0 m/s A= -9.80 m/s2 Y-Y0=13.0 m V=? T=?
a)
2
2
v =v 0 +2 a ( y− y 0 ) =0 v =± √ v 20+2 a y
v =±
b) 2
t =
(√ 24.0 ms ) 2+2(−9.8 ms ) ( 13.0 m )=± 17.9 m/ s 2
1 y= y 0 + v 0 t + a t 2 2
2 v 0 2(24.0 m/s) 2(−13.0 m) = t+ =0 a −9.80 m/s 2 −9.80 m/ s2
2
t =−4.898 t+2.653=0
t= 4.28 seg, 0.620 seg c) Hay dos veces a la que el objeto alcanza esa altura, t=0.620 seg y una vez en el camino t=4.28 seg.
61. (II) A una piedra que cae le toma 0.33 s pasar frente a una ventana de 2.2 m de altura (figura 2-44). ¿Desde qué altura por arriba de la parte superior de la ventana se dejó caer la piedra? 1 2 1 2 yw= y 0 +v 0 t+ at =0+ 0+ g t w 2 2 La ubicación de la ventana es 2.2 m y el tiempo para la piedra caer es de 0.33 seg. 1 1 yw+2.2 m= y 0 + v 0 t + a t 2 =0+0+ g ( tw +0.33 seg ) 2 2 2 1 2 1 g t w+2.2 m= g ( tw+ 0.33 seg ) 2=0.515 seg 2 2
Usando la primera ecuación 1 1 m yw= g t 2 w= 9.80 2 ( 0.515 seg ) 2=1.3 m 2 2 s
(
)
