UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE TECNOLOGIA DE LA CONSTRUCCION DEPARTAMENTO VIAS DE TRANSPORTE TOPOGRAGIA 1 PRACTICA #4: Levantamiento De Una Poligonal Con Teodolito y Estadia ESTUDIANTES: Edgar Hernaldo Casco García
2014-0132U
Josué Daniel Arley Álvarez
2014-0437U
Daigoro Báez
2014-1203U
Harold José Figueroa González
2014-01357U
PROFESOR DE TEORIA: MSC. ING. JOSÉ BUSTAMANTE
PROFESOR DE PRÁCTICA: SERGIO GARCÍA GRUPO: IC-22D GRUPO DE PRÁCTICA: IC-22-D1
FECHA DE PRÁCTICA: 15-JUN-2015 ENTREGA DE PRÁCTICA: 29-JUN-2015
ÍNDICE 1. Datos Generales 2. Introducción 2.1 Objetivos 2.2 Antecedentes Históricos 2.3 Importancia de la práctica 2.4 Aspectos Generales 3. Desarrollo de campo 3.1 Composición de la cuadrilla de campo 3.2 Equipo Utilizado 3.3 Procedimiento de campo realizado 3.4 Resumen de los datos 4. Memoria de campo 4.1 Métodos y fórmulas utilizadas 4.2 Cálculos matemáticos 4.3 Resultados 5. Conclusiones 5.1 Interpretación de los resultados 5.2 Recomendaciones 6. Anexos 6.1 Gráficos 6.2 Índice 7. Bibliografía
2. INTRODUCCIÓN Desde el comienzo de los tiempos, para el hombre ha sido fundamental el conteo de elementos, pero principalmente la demarcación de territorio. Para ello el hombre ha desarrollado diversas técnicas e instrumentos. En cuanto a mediciones territoriales se refiere se creó la disciplina de la Topografía, la cual estudia las formas de medición de la Tierra en terrenos a menor escala que la Geodesia. La Topografía trata con terrenos de todos los tipos y latitudes, para lo cual necesita de instrumentos topográficos los cuales son propios de esta disciplina. El presente informe contiene datos topográficos sobre el trabajo de campo realizado en el patio ubicado en la entrada al costado oeste de la Universidad Nacional de Ingeniería, en las instalaciones del Recinto Universitario Pedro Arauz Palacios, el día lunes 15 de junio del 2015 a las 1:00 p.m., bajo la supervisión del Ing. Sergio García, docente del recinto antes mencionado. En este trabajo de campo se hizo uso del teodolito y Estadia; dicho trabajo consistió en el levantamiento de la poligonal haciendo uso del método de rodeo (o estaciones); cuyo procedimiento consiste en realizar el levantamiento estacionando el teodolito en cada uno de los vértices de la poligonal y realizar las lecturas correspondientes en la estadia para luego proceder a calcular las distancias entre cada uno de estos. También en la práctica se midieron los ángulos internos de la poligonal, un rumbo de una línea conocida para proceder a calcular los demás a través de método analítico, así como el ajuste de la poligonal por el método de la brújula. Con los datos obtenidos en la práctica de campo se han elaborado las conclusiones del informe.
OBJETIVOS: 2.1 OBJETIVOS 1. Que el estudiante conozca y adquiera las habilidades necesarias para realizar un levantamiento con estadia y teodolito. 2. Que pueda formarse un criterio de los tipos de levantamientos realizados y pueda determinar sus ventajas y desventajas. 2.2 ANTECEDENTES HISTÓRICOS PRIMEROS MÉTODOS PARA LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS CON LA BRÚJULA. Antes de la invención del teodolito, la brújula representaba para los ingenieros, agrimensores y topógrafos el único medio práctico para medir direcciones y ángulos horizontales. A pesar de los instrumentos sofisticados que existen actualmente, todavía se utiliza la brújula en levantamientos aproximados y continuos siendo un aparato valioso para los geólogos, y los técnicos forestales entre otros. Una brújula consta esencialmente de una aguja de acero magnetizada, montada sobre un pivote situado en el centro de un limbo o circulo graduado. La aguja apunta hacia el Norte magnético. La brújula Brunton es muy utilizada por los geólogos. Puede usarse como instrumento sostenido en la mano o bien apoyada en un soporte o trípode. Como en el caso del levantamiento con cinta, un área de terreno puede ser levantada por medio de brújula y cinta. Esta práctica consiste en el levantamiento de una poligonal abierta de la cual se requiere medir sus distancias horizontales y sus rumbos (direcciones) para la orientación de los ejes de la poligonal. Este tipo de levantamiento no es de precisión y se utiliza en la elaboración de perfiles geológicos. LEVANTAMIENTOS DE POLIGONALES EN LA ANTIGÜEDAD Más de una vez, leyendo en los catálogos de instrumentación, las maravillas que la técnica nos ofrece en cuanto a aparatos de topografía, no podemos por menos que sentir admiración por aquellos topógrafos que a través de los siglos han realizado sus medidas, con una instrumentación rudimentaria, que sólo imaginando que tuviéramos que emplear en la actualidad en la toma de datos, sentimos algo más que un escalofrío con tan sólo pensarlo. También es verdad que aunque ambos pertenecemos a la época del distanciómetro, viendo las actuales estaciones totales, sentimos cierta añoranza por nuestros queridos teodolitos analógicos, no por ello está en nuestro ánimo el olvidar la facilidad y comodidad actual, retrocediendo a las primeras instrumentaciones que utilizamos. Remontándonos alrededor del año 3000 a. de C. los babilonios y egipcios utilizaban ya cuerdas y cadenas para la medición de distancias. Hasta el 560 a. de C. no se tienen referencias de nueva instrumentación hasta que Anaximando introdujo el "Gnomon", aunque se cree que a este le pudo llegar alguna referencia de los babilonios o egipcios. Entre los primeros usuarios de este nuevo instrumento encontramos a Metón y Eratóstenes para la determinación de
la dirección Norte y la circunferencia de la tierra respectivamente. La "dioptra" o plano horizontal para la medición de ángulos y nivelación tenía su principio en un tubo en "U" con agua el cual servía para colocar horizontalmente la plataforma. El "corobates" o primer aproximación de un nivel, era una regla horizontal con patas en las cuatro esquinas, en la parte superior de la regla había un surco donde se vertía agua para usarla como nivel. Por otro lado Herón menciona la forma de obtener un medidor de distancia por medio de las revoluciones de una rueda. Ptolomeo, hacia el año 150 a. de C. describió el cuadrante aplicándolo a observaciones astronómicas. Para ángulos verticales, las reglas de Ptolomeo fueron utilizadas hasta la Edad Media. Se puede considerar como antecesor del teodolito al astrolabio de Hiparco, contemporáneo de Ptolomeo. Los romanos, portadores de los conocimientos griegos por Europa, usaron la "Groma", que consta de una cruz excéntrica, con plomadas en sus extremos, fijada a una barra vertical, que disponía de una especie de alidadas. Vitruvio hace referencia a los carros medidores de distancias por medio de contadores de vueltas, aunque las medidas de precisión se seguían a pasos mediante contadores de pasos. Además de las descripciones de Vitruvio, se encontraron en Pompella distintos instrumentos en el taller de un Agrimensor. También Vitruvio fue el constructor de la primera escuadra aplicando el fundamento de triángulo rectángulo de Pitágoras (lados de 3-4-5 metros). Muy posteriormente, los árabes apoyándose en los conocimientos de los griegos y romanos, usaban astrolabios divididos en 5 minutos de arco. [Usbeke Biruni diseñó hacia 1000 d. de C., la primera máquina para la graduación de círculos]. Sobre el año 1300, descrito por Levi Ben Gerson, se conoce un mecanismo para la medida indirecta de distancias, [posteriormente la barra de Jacob], mediante el movimiento de una barra perpendicular a otra principal graduada, que proporcionaba así los ángulos paralácticos. La Brújula desde su nacimiento con los chinos hasta la referencia en 1187 de Alexander Neckman, con el desarrollo posterior introducido por Leonardo Da Vinci En la línea de construcción de aparatos autor reductores encontramos en 1866 a Sanguet con su clisímetro o medidor de pendientes, el cual permitía obtener la distancia reducida con un mínimo cálculo. Desde 1765 entró con fuerza en el mercado "las planchetas", con más o menos diferencias sobre las conocidas hasta hace algunos años (que quizá la última que se fabricase fuera de marca Sokkisha, utilizando un Red-Mini como alidada distanciómetro de corto alcance), dando lugar a los Taqueógrafos y Honolograph. La mira parlante se la debemos a Adrien Bordaloue, el cual, alrededor de 1830, fabricó la primera mira para nivelación, hecho que potenció el estudio y fabricación de autor reductores, permitiendo así leer en la mira la distancia reducida y el término "t"; entre estos aparatos podemos citar en 1878 el taquímetro logarítmico, en 1893 el taquímetro autor reductor de Hammer, en 1890 Ronagli y Urbani usaron una placa de vidrio móvil con doble graduación horizontal, cuya distancia entre hilos variaba en función del cenital observado. Es de obligado cumplimiento decir en esta breve reseña, que en 1858 se midió la base fundamental Geodésica Española, base de Madridejos (entre Bolos y Carbonera), por medio de una regla doble de platino y latón de 4 metros,
obteniéndose una distancia de 1462,885 m. con un error probable de t 2,580 milímetros; esta base fue alterada en uno de sus extremos, por lo que no ha sido posible comprobar la longitud que en su día se midió. En 1900, Fennel creó, de acuerdo con Porro el primer anteojo analítico, usando un arco circular como línea base de los hilos del retículo. Carl Zeiss fabricó en 1932 un prototipo que se fabricoen 1942. En 1936 apareció el DKR y en 1946 el DKRM de Kern. (Posiblemente fue Kern con el KRlA, el ultimo que fabricó un autor reductor mecánico y no electromagnético, teniendo este los hilos rectos y paralelos, que en función de la inclinación del anteojo, por medio de levas y ruedas dentadas, variaban en la imagen del retículo observada desde el ocular, la distancia entre los hilos). A finales del siglo XIX vieron la luz los primeros telémetros de imagen partida dentro del mismo ocular, dando lugar a los telémetros artilleros o de base fija y a los topográficos o de base móvil; entre ellos se pueden citar los fabricados por Ramsden (1790) y el de Barr & Stroud (1888). En 1880 apareció el precursor de la actual estadía invar, con una barra de madera. En 1906 Carl Zeiss una barra de tubo de acero para su estadía, pasando al invar eri 1923. En 1886, Sanguet inventó el principio que en un futuro dio lugar al prisma taquimétrico. Este principio fue fabricado por Wild en el año 1921 con mira vertical, en lo que posteriormente sería el duplicador taquimétrico (principio ideado pro Boskovic en 1777). Hemos de esperar hasta 1933 para encontrar este sistema empleado con nuestra conocida mira horizontal, fabricado por Breithaupt. En 1908, Heinrich Wild, colaborador entonces de Carl Zeiss, introdujo el anteojo de enfoque interno. Así mismo a Wild le debemos el nivel de coincidencia, el micrómetro de coincidencia y la estadía invar como ahora la conocemos. Los limbos de cristal fueron fabricados en serie poco antes del 1936, mejorando así la graduación en el propio limbo. En el año 1936, Smakula vaporizó las lentes del anteojo en el vacío, obteniendo algo parecido a lo que actualmente conocemos como la Óptica azul del anteojo. El DKM3 de Kern apareció en 1939. En el 1862 aparece el THEO O10 de Carl Zeiss. Desde 1950 aparecen el T3 de Wild Heerburgg y de Carl Zeiss Jena el Theo 002 con registro fotográfico. El único interés de mencionar aquí estos aparatos, es por la creencia de que todos ellos y uno a uno marcaron una época dentro de la instrumentación topográfica. A todo esto, por estas fechas, se seguía usando para trabajos de agrimensura la alidada de pínulas, la cuerda y la cadena de agrimensor, tal y como refleja Jesús de Federico en su obra "Topografía", reflejándolo en los siguientes términos: "denomínese pínulas a una reglilla provista, paralelamente a sus lados de dimensión mayor, de una ranura terminada en una especie de ventanilla circular, por la que se enfila la vista hacia el objetivo con que se opere. La alidada de pínulas consta en esencia de una regla metálica horizontal, en cuyos extremos se elevan las dos pínulas; ... Las cuerdas usadas con este objeto suelen ser de las llamadas de cordelillo y de torcido muy esmerado, estando corrientemente pintadas con pinturas aislantes para disminuir sobre ellas las influencias atmosféricas, ..., el empleo de la cuerdas en topografía general y agrimensura, no obstante la indiscutible ventaja que para los no profesionales presenta, por su facilidad de utilización, ..., por eso
hoy su empleo solo ha quedado reducido al de elemento dedicado a servicios auxiliares, ..., la cadena tiene casi siempre la longitud de 10, 20 o 25 metros, y está formada por eslabones de 0,05 a 0,20 de metro de largo, y provista de sus correspondientes asas, cuyas dimensiones suelen formar parte de la totales que corresponden al primer eslabón, ..., las mejores cadenas son de alambre de acero, de unos 3 mm de diámetro". Se hicieron estudios e intentos para obtener el primer nivel automático, teniendo que esperar hasta 1946, año en el que el ruso Stodolkjewich puso en práctica estos principios. En el año 1950, Carl Zeiss fabrico el Ni2, instrumento que poseía un compensador mecánico en lugar de burbuja tubular, precursor de los actuales sistemas de compensación por gravedad. Askania traspasó este principio a los teodolitos en 1956 montando el compensador para el limbo vertical. El primer distanciómetro electro-óptico se fabricó en Rusia en el 1936, promovido por el Instituto de óptica Gubernamental. Este tipo de instrumento se empleó en el distanciómetro Aga fabricado en Estocolmo en 1948. En 1957, Wadley obtuvo un distanciómetro de microondas, el Telurometer. Hasta 1968 no aparecerán los distanció metros electro-ópticos de láser. Wild fabricará el DI-10, distanciómetro de pequeñas dimensiones, que unido a un teodolito proporcionaba un gran beneficio para las medidas topográficas, tanto en rapidez como en precisión. A partir de estas fechas, el avance ha sido poco menos que vertiginoso, pasando rápidamente a los distanciómetros montados en excéntrica a los montados sobre el propio anteojo o bien sobre un puente en la misma carcasa del aparato. Esto se pudo hacer gracias a la reducción de tamaño y peso que estos instrumentos fueron sufriendo, permitiendo así colimar los puntos con un solo movimiento horizontal (en el caso del puente) u con una sola puntería vertical (en el caso del montaje sobre el anteojo). Hace más o menos 11 años aparecieron las semi-estaciones, que eran un distanciómetro montado sobre el mismo teodolito, compartiendo carcasa con él (no muy distintas en aspecto a las actuales estaciones totales), pero con el teodolito era analógico, la electrónica solo podía conocer los resultados de la medida de la distancia, debiendo teclear a mano los ángulos para que el aparato pudiera realizar los cálculos deseados. Con la aparición de los sistemas electrónicos de captación de ángulos, la carrera contra el tiempo ha sido aún más rápida y efectiva, obteniendo teodolitos digitales más precisos que antaño e incluso abaratando los precios del mercado. De la captación electrónica de ángulos, tanto en su versión incremental como absoluta, pasamos casi sin darnos cuenta a la concepción de la actual estación total, mejorando la lectura angular así como la medida de distancias. También la electrónica permite sistemas compensadores de uno, dos o tres ejes para la verticalidad del instrumento. El siguiente paso que mejora la captación de datos son los colectores de datos, apareciendo paulatinamente los colectores externos (libretas con software propio que manejaban el funcionamiento de la estación), colectores de tarjetas de registro (los cuales son manejados por la estación y su software interno), tanto en su versión de contactos físicos con la estación o de carga por inducción electromagnética, como los colectores internos en la propia estación, debiendo
conectar esta al ordenador para su descarga. No pasará mucho tiempo para que la técnica permita el volcado de datos por medio de un "módem" a la línea telefónica, estando el colector a cientos de kilómetros del ordenador que recibe los datos. No podemos olvidar que los propios distanciómetros ya funcionan por medida de fase (permitiendo ya reflectores totalmente planos) o por medida de tiempo, lo cual permite poder leer la distancia a sólido, con tal de que este no sea de un material que absorba la onda emitida. Sería extenso y no muy ilustrativo el dar un repaso a los avances en las características de las estaciones totales desde su origen hasta la actualidad, por lo que preferimos tan solo dar un ligero vistazo a las últimas novedades del mercado, no queriendo aquí establecer parámetros de calidad, ni en absoluto dar una idea de que un aparato o marca sea recomendable sobre otra, por lo que, si mencionamos una casa comercial es porque poseemos más información sobre dicho instrumento. Podemos hacer referencia aquí a los últimos modelos de las estaciones motorizadas, en sus dos versiones, tanto para replanteo de puntos (los cuales mediante la introducción de tas coordenadas de los puntos en el aparato, este se orienta y se queda marcando la dirección del punto a falta de leer distancia) y las robotizadas que mediante un sistema de búsqueda y seguimiento del prisma puede ir tomando datos sin operador que manipule la estación total, sino que la propia persona que lleva el reflector está en contacto con la estación dándole cuantas órdenes precise el aparato; como por ejemplo la estación TCA del sistema 1000 de Leica, con 10cc de precisión angular y 2500 metros de alcance. Es de ley comentar igualmente el sistema Monmos de la marca Sokkia, que mediante emisión infrarroja consigue una precisión de 0,8 mm + 1 p.p.m. Como una de las últimas curiosidades, la marca Pentax nos ofrece su nivel automático Autofocus AFL, el cual tiene un sistema de autoenfoque. Los ya conocidos NA2000 y NA3000 de la marca Leica, niveles electrónicos provistos de colector de datos leyendo a miras de códigos de barras. Ya como ultima reseña podemos señalar el sistema de alimentación fotovoltaica de la casa Geo5, es decir instrumentación alimentada por paneles solares. No vamos a entrar aquí a comentar las posibilidades del sistema G.P.S. con su estacionamiento en tiempo real o diferido, con altas precisiones que se están obteniendo.
2.3 IMPORTANCIA DE LA PRÁCTICA El conocimiento de un ingeniero civil depende de dos partes: la práctica y la teoría. El ingeniero sin práctica simplemente no es ingeniero, la teoría sin práctica no funciona. El ingeniero es un hombre de campo si no sabe cómo funcionan las cosas en el mismo fracasa. La mayoría del tiempo, el ingeniero la pasa en el campo compartiendo conocimientos con los expertos en la materia (albañiles, maestros de obra, etc.). Saturar nuestro cerebro con teoría nos puede llevar al fracaso, por tanto es necesario combinar dichos conocimientos con la práctica. En los trabajos de ingeniería civil es indispensable el dominio de la topografía. Cualquier tipo de proyecto que se ejecute, necesita de la aplicación de la misma. La topografía trata de establecer un control
en la configuración de un terreno y de elementos artificiales y naturales. Se pueden encontrar a través de medidas que se representan en mapas o planos con técnicas apropiadas. Su objetivo es medir grandes extensiones de tierra, este se puede encargar de medir distancias horizontales y verticales, puede tomar datos necesarios según su forma y accidente entre puntos y objetos sobre la superficie. De manera general se establece un control tanto vertical como horizontal de las medidas del terreno para poder representarlo en la escala con su forma y accidente. Es por esto que la topografía es indispensable en nuestra formación como ingenieros civiles. 2.4 ASPECTOS GENERALES La longitud de cada línea de una poligonal se obtiene generalmente por el método más simple y económico capaz de satisfacer la precisión exigida en un proyecto dado. Los métodos que se emplean con mayor frecuencia son los de medición con cinta y los que utilizan dispositivos electrónicos, por ser los que proporcionan el orden más alto de precisión. Las distancias medidas por estadia en uno u otro sentido dan un control adecuado para cierto tipo de trabajos, como, por ejemplo, en configuraciones de poca precisión. CÁLCULO DE POLIGONALES Los ángulos o direcciones medidas de una poligonal cerrada pueden comprobarse fácilmente antes de dejar el campo. Las medidas lineales, aun cuando se repitan tienen mayores probabilidades de error y deben verificarse mediante el cálculo para determinar si la poligonal compensa la precisión exigida. Si se han satisfecho las especificaciones, se ajusta luego la poligonal para lograr un cierre perfecto, es decir, la congruencia geométrica entre los ángulos y las longitudes; de lo contrario, deben repetirse las mediciones en el campo hasta lograr los resultados adecuados. La determinación de la precisión y la aceptación o rechazo de los datos de campo son extremadamente importantes en topografía. También es crucial es ajuste para lograr el cierre geométrico. Los procedimientos usuales que se siguen en el cálculo de poligonales son: 1. 2. 3. 4. 5. Ajuste de los ángulos o direcciones a condiciones geométricas fijas. Determinación de rumbos o acimut. Cálculo de proyecciones y ajuste de éstas por errores de cierre. Cálculo delas coordenadas rectangulares de las estaciones. Cálculo de las longitudes y rumbos de los lados de la poligonal después del ajuste. COMPENSACIÓN DE LOS ÁNGULOS El primer paso para calcular poligonales cerradas es el de ajuste de los ángulos al total geométrico correcto. Una excepción ocurre cuando los rumbos magnéticos se han leído directamente con brújula en todos los lados del polígono, en cuyo caso ningún ajuste es posible. En poligonales cerradas el ajuste angular se logra fácilmente ya que se conoce el error total, aunque no su distribución exacta. Los ángulos de una poligonal cerrada pueden ajustarse simplemente al total geométrico correcto aplicando uno de los métodos siguientes: 1. Aplicación de una corrección media a cada ángulo para los que hubo condiciones de observación
aproximadamente iguales en todas las estaciones. La corrección se determina dividiendo el cierre total angular entre el número de ángulos. 2. Aplicación de correcciones mayores a los ángulos en los que hubo condiciones de observación deficiente. De estos dos métodos, el primero es el más empleado. Debe observarse que aunque los ángulos ajustados por los dos métodos satisfagan la condición geométrica de una figura cerrada, pueden no estar más cerca de los valores reales que antes del ajuste. A diferencia de las correcciones hechas a las medidas lineales, los ajustes que se aplican a los ángulos son independientes de la magnitud del ángulo. CÁLCULO DE RUMBOS O ACIMUT PRELIMINARES Después de ajustar los ángulos, el siguiente paso es calcular los rumbos o los acimut preliminares. Esto obliga a conocer la dirección de por lo menos una línea de la poligonal. En algunos cálculos es suficiente suponer una dirección y, en ese caso, el procedimiento usual es asignar simplemente la dirección norte a una de las líneas de la poligonal. En ciertos levantamientos el rumbo magnético de una línea puede determinarse y usarse como referencia para orientar los otros lados. Sin embargo, en la mayoría de los casos se necesitan las direcciones verdaderas. Este requisito puede satisfacerse, incorporando en la poligonal una línea cuya dirección verdadera haya sido determinada en un levantamiento previo o incluyendo un extremo de una línea de dirección conocida como estación en la poligonal y luego midiendo un ángulo desde esa línea de referencia a una línea de la poligonal, o bien determinando la dirección verdadera de una línea de la poligonal por medio de observaciones astronómicas o por algunos otros medios. Deben usarse los ángulos ajustados al total geométrico correcto, ya que de lo contrario el rumbo o acimut de la primera línea diferirá de su valor re calculado en el error de cierre angular. Los rumbos o acimut o en esta etapa se llaman preliminares porque su valor cambiará después del ajuste de la poligonal. PROYECCIONES ORTOGONALES Después de ajustar los ángulos y calcular los rumbos preliminares se verifica el cierre de la poligonal calculando las proyecciones X e Y de cada línea. La proyección X de una línea es sus proyecciones ortogonales sobre el eje esteoeste del levantamiento y es igual a la longitud de la línea multiplicada por el seno de su acimut o rumbo. A la proyección X también se le llama proyección este o proyección oeste. La proyección Y de una línea es su proyección ortogonal sobre el eje norte-sur del levantamiento y es igual a la longitud de la línea multiplicada por el coseno de su acimut o rumbo. A la proyección Y se le llama también proyección norte o proyección sur. Las proyecciones X e Y (paralela y meridiana) son simplemente las componentes X e Y de una línea en el sistema de coordenadas rectangulares. En el cálculo de poligonales, las proyecciones norte y este se consideran positivas y las proyecciones sur y oeste como negativas. Tratándose de rumbos, los ángulos siempre están comprendidos entre 0º y 90º; por tanto, sus senos y cosenos son invariablemente positivos. En consecuencia, los signos algebraicos apropiados de las proyecciones ortogonales se asignan con base en
las direcciones marcadas por los ángulos de los rumbos. Los acimut que se emplean en el cálculo de las proyecciones varían de 0 a 360º, y los signos algebraicos de los senos y cosenos producen automáticamente los signos algebraicos correctos de las proyecciones X e Y. CONDICIONES DE CIERRE POR LAS PROYECCIONES ORTOGONALES Para una poligonal cerrada, es claro que si todas las distancias y ángulos se midiesen perfectamente, la suma algebraica de las proyecciones de todos sus lados debería ser igual a cero. De la misma manera, la suma algebraica de todas las proyecciones Y también debería ser igual a cero. Como las mediciones no son perfectas y existen errores en las distancias y ángulos, las condiciones antes mencionadas rara vez se presentan. Las magnitudes en que tales condiciones no se cumplen se denominan error de la proyección X y error de cierre de la proyección Y. Sus valores se calculan sumando algebraicamente las proyecciones X e Y, y comparando los totales con las condiciones requeridas. Las magnitudes de los errores de cierre de las proyecciones en poligonales cerradas dan una indicación de la precisión que existe en las distancias y ángulos medidos. Los errores grandes de cierre indican ciertamente que se han cometido errores o aún equivocaciones significativas. Los errores pequeños de cierre usualmente significan que las cantidades medidas son precisas y libres de equivocaciones, pero esto no es garantía de que no existan errores sistemáticos o de compensación. ERROR DE CIERRE LINEAL Y PRECISIÓN RELATIVA Debido a errores en las distancias y ángulos medidos de una poligonal, si se empieza en un punto A de una poligonal cerrada y se sigue progresivamente midiendo la distancia de cada línea a lo largo de su acimut o rumbo preliminar, se retornará finalmente no al punto A sino a otro punto cercano A’. El punto A’ diferirá del A en la dirección este-oeste y en la dirección norte-sur en los errores de cierre de las proyecciones X e Y, respectivamente. La distancia entre A y A’ se denomina error de cierre lineal (e.c.l) de una poligonal. Se calcula con la fórmula siguiente: La
precisión
relativa
de
una
poligonal
se
expresa
como
la
fracción:
AJUSTE DE POLIGONALES En el caso de una poligonal cerrada el error lineal de cierre debe distribuirse entre todo el polígono para cerrar la figura, aun cuando al trazar la poligonal a la escala del plano el error del cierre sea insignificante. Existen varios métodos elementales para ajustar poligonales pero el más comúnmente usado es el de la regla de la brújula (método de Bowditch). 1. Método arbitrario. Este método no se basa en reglas fijas o ecuaciones. Más bien se distribuye el error lineal de cierre arbitrariamente, de acuerdo con el análisis del topógrafo acerca de las condiciones que prevalecieron en el campo. El error total de cierre se distribuye así en forma discrecional para cerrar
matemáticamente la figura, es decir, que la suma algebraica de las proyecciones en X y la suma algebraica de las proyecciones en Y, sean igual a cero. Este método de ajuste de poligonales es sencillo de efectuar y proporciona una asignación lógica de ponderación a las medidas, basada en la precisión esperada de las medidas individuales. 2. Regla de la brújula (o de Bowditch). Esta regla ajusta las proyecciones ortogonales de las líneas de poligonales en proporción a sus longitudes. Aunque no es tan riguroso como el método de los mínimos cuadrados, conduce a resultados lógicos en la distribución de los errores de cierre. Las correcciones con este método se hacen de acuerdo con las siguientes reglas: Los signos algebraicos de las correcciones son opuestos a los del error de cierre respectivo. 3. Regla del tránsito. Esta regla produce poligonales corregidas, pero raras veces se emplea en la práctica, porque los resultados dependen arbitrariamente de los rumbos o acimut de las líneas. Las correcciones se calculan empleando las siguientes fórmulas: 4. Método de Crandall. En este método de compensación de polígonos, se distribuye primero error de cierre angular en partes iguales entre todos los ángulos medidos. Luego se mantienen fijos los ángulos ajustados y se asignan todas las correcciones restantes a las medidas lineales, siguiendo un procedimiento de mínimos cuadrados ponderados. El método de Crandall es adecuado para ajustar polígonos en donde las medidas lineales tienen errores aleatorios más grandes que las medidas angulares, como por ejemplo en poligonales trazadas por estadia. Es un método más lento y complicado en su aplicación que la regla de la brújula. 5. Método de los mínimos cuadrados. El método de los mínimos cuadrados se basa en la teoría de la probabilidad que modela la ocurrencia de los errores aleatorios. Esto conduce a valores ajustados con la probabilidad más grande. El método de los mínimos cuadrados proporciona el ajuste mejor y más riguroso de poligonales, pero hasta recientemente el método no se ha usado ampliamente debido a los extensos cálculos implicados. Al aplicar el método de los mínimos cuadrados a poligonales, las mediciones de distancias y ángulos se ajustan simultáneamente; no se hace un ajuste angular preliminar como en el caso de la regla de la brújula. El método de los mínimos cuadrados es válido para cualquier tipo de poligonal y tiene la ventaja de que observaciones de precisión variable pueden ponderarse en forma apropiada en los cálculos. COORDENADAS RECTANGULARES Las coordenadas rectangulares X e Y de un punto cualquiera dan su posición respecto a un par de ejes de referencia mutuamente perpendiculares, seleccionados arbitrariamente. La coordenada X es la distancia (perpendicular) en metros o en pies, del punto al eje Y; la coordenada Y es la distancia (perpendicular) al eje X. Aunque los ejes de referencia tienen una posición discrecional, en topografía se orientan normalmente de manera que el eje Y esté en la dirección nortesur, con el norte señalando la dirección positiva del eje Y. El eje X va de este a oeste, siendo así su dirección positiva hacia el este. Las coordenadas son útiles en una gran
variedad de cálculos, inclusive para determinar las longitudes y las direcciones de líneas, calcular áreas, hacer ciertos cálculos de curvas y determinar puntos inaccesibles. Las coordenadas también son útiles para trazar poligonales en mapas de base o de control. En la práctica es frecuente usar sistemas de coordenadas planas locales como base para las coordenadas rectangulares a emplear en levantamientos planos. Sin embargo, para los cálculos puede usarse cualquier sistema improcedente. Por ejemplo, puede tomarse arbitrariamente una de las estaciones de una poligonal como origen de coordenadas. Para evitar valores negativos de X y de Y, puede suponerse un origen que se encuentre al sur y al poniente de la poligonal y que sea tal que una estación tenga las coordenadas X = 1000, Y = 1000, o cualquier otros valores adecuados. En una poligonal cerrada, si se asigna Y = 0 al punto situado más al sur y X = 0 al punto situado más al oeste se ahorrará tiempo en los cálculos. Dadas las coordenadas X e Y de cualquier punto inicial A, la coordenada Y del siguiente punto B se obtiene sumando la proyección Y de la línea AB a YA. Igualmente, la coordenada X de B es la proyección X de AB sumada a XA. El proceso se continúa alrededor de la poligonal sumando sucesivamente proyecciones X e Y hasta que se vuelvan a calcular las coordenadas del punto inicial A. Si estas coordenadas recalculadas concuerdan exactamente con las de partida, se obtiene una verificación de las coordenadas de todos los puntos intermedios. MÉTODOS ALTERNATIVOS PARA CALCULAR POLIGONALES Pueden adoptarse procedimientos para calcular poligonales algo diferentes a los descritos anteriormente. Una alternativa es ajustar rumbos o acimut en vez de ángulos. Otra es aplicar los ajustes con la regla de la brújula directamente a las coordenadas. 1. Compensación de los ángulos ajustando rumbos o acimut. En este método se calculan acimut o rumbos no ajustados con base en los ángulos medidos. Debido a errores angulares, el rumbo o acimut re calculado de la línea que se conoce su dirección no concuerda con su valor fijo. Este error de cierre se divide entre el número de ángulos de la poligonal y este resultado será la corrección por ángulo. Luego, el rumbo o acimut de cada línea se incrementa consecutivamente en el valor de la corrección en cada ángulo. Estos valores preliminares pueden usarse en el cálculo de las proyecciones ortogonales. El método es aplicable igualmente a poligonales cerradas como abiertas. 2. Compensación de proyecciones ajustando coordenadas. En este procedimiento, comenzando con las coordenadas conocidas de una estación inicial, las proyecciones no corregidas de cada línea se suman sucesivamente para determinar las coordenadas preliminares de todas las estaciones. En las poligonales cerradas, después de recorrer la poligonal se vuelven a calcular las coordenadas preliminares para la estación inicial. La diferencia entre la coordenada preliminar X calculada en esta estación y su coordenada X conocida, es el error de cierre en la proyección X. Similarmente, la diferencia entre la coordenada preliminar Y calculada de la estación inicial y su valor conocido es el error en la proyección Y. Las correcciones para estos cierres pueden calcularse usando las ecuaciones de la regla de la brújula y aplicarse directamente a las coordenadas preliminares para obtener las coordenadas
ajustadas. El resultado es exactamente el mismo si a partir de las proyecciones se ajustan primero y luego se calculan las coordenadas.
CALCULO DE LONGITUDES Y ACIMUT O RUMBOS A PARTIR DE PROYECCIONES O COORDENADAS (INVERSIÓN). Si se conocen las proyecciones de una línea, se pueden encontrar la longitud y el rumbo de ésta utilizando: Donde: θ: rumbo o acimut de la línea en cuestión. ∆X = Xi - Xi+1 o proyección X de la línea. ∆Y = Yi - Yi+1 o proyección Y de la línea. Estas fórmulas pueden aplicarse a cualquier línea cuyas coordenadas se conozcan, se hayan medido o no en el levantamiento. CALCULO DE LAS LONGITUDES Y DIRECCIONES MODIFICADAS DE UNA POLIGONAL. En el ajuste de poligonales, las correcciones se aplican a las proyecciones ortogonales calculadas para obtener valores ajustados. Estos a su vez se usan para calcular las coordenadas X e Y de las estaciones de la poligonal. Al cambiar las proyecciones en el proceso de ajuste, sus longitudes y acimut o rumbos también cambian. En muchos tipos de levantamientos es necesario calcular las longitudes y direcciones modificadas o finalmente ajustadas. CAUSAS DE ERRORES AL CALCULAR POLIGONALES Algunas fuentes de error en el cálculo de poligonales cerradas son: 1. Ajuste inapropiado de ángulos y proyecciones. 2. Cálculo de las correcciones a un número de cifras decimales mayor que el de las medidas originales. EQUIVOCACIONES Algunas de las equivocaciones más comunes al calcular polígonos son: 1. No ajustar los ángulos antes de calcular los rumbos. 2. Aplicar los ajustes angulares en la dirección errónea y no verificar la suma de los ángulos según el total geométrico correcto. 3. Intercambiar proyecciones, o sus signos. 4. Confundir los signos de las coordenadas. 5. Efectuar correcciones más allá del número de lugares decimales de las mediciones originales. 3. DESARROLLO DE CAMPO 3.1 COMPOSICIÓN DE LA CUADRILLA DE CAMPO 1. Observador o transitero 2. Estadalero 3. Anotador 3.2 EQUIPO UTILIZADO 1 2 1 5 Teodolito
Plomadas
Estadia
Estacas
3.3 PROCEDIMIENTO DE CAMPO REALIZADO A continuación se detalla el
procedimiento de campo a seguir para el levantamiento de una poligonal por el método de rodeo con estadia: 1. Se visualizan los vértices de la poligonal y se decide cual será el itinerario del levantamiento (en nuestro de caso será negativo). 2. A continuación se estaciona el teodolito en el punto (1). 3. Se localiza el norte y se mide el azimut de la línea 12. 4. Con ayuda de una plomada se localiza el punto adyacente a la izquierda de la estación y se marca 00º00’00” en él. Se gira la alidada en sentido horario hasta encontrar, con ayuda de una plomada, el vértice adyacente por la derecha; se anota el ángulo horizontal marcado por el teodolito. 5. Se da vuelta de campana al visor y luego se gira la en sentido horario hasta encontrar el vértice anterior a la estación (donde se marcó 00º00’00”) con ayuda de una plomada. Se anota el ángulo horizontal, el cual debe ser igual a 180º00’00” de lo contrario se deberá empezar dicho procedimiento de nuevo. A continuación se vira la alidada en sentido horario hasta encontrar el punto posterior a la estación (en este caso sería el vértice 2). Una vez localizado dicho punto se anota el ángulo horizontal marcado por el aparato. Después que se ha encontrado el ángulo se procede a medir la distancia entre el vértice donde está estacionado el teodolito y los puntos adyacentes a él. 6. Se visa el punto adyacente por la izquierda con ayuda de una plomada y se coloca la estadia sobre él. A continuación se leen y anotan los hilos estadimétricos superior, inferior y central (verificando siempre que la lectura del hilo central sea igual al promedio de la suma del hilo superior y el hilo inferior). Se anota el anota el ángulo cenital marcado por el teodolito para los valores de dichos hilos. 7. Se rota la alidada hasta encontrar con ayuda de una plomada el vértice adyacente por la derecha y se coloca la estadia en dicho punto. Se procede a leer en el visor los hilos estadimétricos superior, inferior y central. Se anotan los valores definidos sobre la estadia por estos hilos y el ángulo cenital marcado por el aparato. 8. A continuación se apaga el teodolito y se traslada al vértice siguiente. 9. Una vez estaciona el teodolito en dicho vértice se siguen los pasos del 3 al 7. 10. Luego, se siguen los pasos del 3 al 7 hasta terminar en el último vértice del polígono, utilizando el método de Bessel para encontrar el ángulo interno y omitiendo la medición de la distancia entre la estación y el vértice anterior, ya que esta fue medida, valga la redundancia, en la estación anterior.
3.4 RESUMEN DE LOS DATOS Est Pto. Obs. HI HC 5 3 4 2 2 1 ∑
1 4 5 3 1 5
0.893 0.910 0.906 0.937 0.913 0.893
1 1 1 1
HS
S
1.110 1.095 1.095 1.060 0.085 1.110
0.217 0.185 0.189 0.123 0.172 0.217
Angulo Vertical 5°18°2596” 01°07°04” 06°11°30” 02°31°23” 0°54°31” 05°18°46”
Angulo Horizontal 82°26°36” 126°26°38” 90°34°40” 138°39°17” 101°45°50” 539°52°56”
Corrección de Ángulos Estacion 5 3 4 2 2 1
Pto. Obs. 1 4 5 3 1 5 ∑Total:
Angulo Horizontal 82°26°36” 126°26°38” 90°34°40” 138°39°17” 101°45°50” 539°52°56”
Angulos corregidos 126°27°57.8” 138°43°12.8” 90°36°4.8” 101°47°14.8” 82°28°0.8° 540°00°00”
4. MEMORIA DE CAMPO
4.1 MÉTODOS Y FÓRMULAS UTILIZADAS: A continuación detallamos las diferentes fórmulas matemáticas que facilitaron nuestro trabajo de gabinete: I. Ángulos: 1. Condición Angular:
CA = n: Lados de la poligonal II. Corrección de Proyecciones
180
(n
-
2)
1. Corrección en Longitud:
PROYECCIÓN X = SENO AZIMUT (DISTANCIA) LA CORRECCION LINEAL SE REALIZA MULTIPLICANDO CORRECCION POR CADA UNA DE LA PROYECCIONES:
EL FACTOR DE
CORRECCIÓN X = Kx (DISTANCIA) SENO AZIMUT Donde; Kx = ELX (ΣX(+)) + ΣX(-) 2. Corrección en Latitud:
PROYECCIÓN Y = COSENO AZIMUT (DISTANCIA) LA CORRECCION LINEAL SE REALIZA MULTIPLICANDO CORRECCION POR CADA UNA DE LA PROYECCIONES: PROYECCIÓN Y = COSENO AZIMUT (DISTANCIA)
EL FACTOR
DE
Donde; Ky = ELY (ΣY(+)) + ΣY(-)
III. Cálculo de Distancia Horizontal 1. Estadimétrico Simple: D.H.: Distancia Horizontal k: constante igual a 100 s: intercepto IV. Error de Cierre Lineal e.c.l.: Error de cierre lineal. ECL=√∆𝑋 2 − ∆𝑌 2 V.
Precisión
P = PERÍMETRO ECL VI. Áreas: 1. Área por coordenadas:
1.
Precisión:
2. Doble Área: D.A.: Doble Área 4.2 CÁLCULOS MATEMÁTICOS: Los siguientes cálculos matemáticos se realizaron para completar la tabla del método de la brújula: Calculo de las distancias D= KS𝐶𝑜𝑠 2 (90° − 𝛼) K=100 D5-1= (100) (0.217) ( 𝐶𝑜𝑠 2 (3°18°46”)=21.514m D3-4= (100) (0.185) ( 𝐶𝑜𝑠 2 (1°07°04”)=18.493m D4-5= (100) (0.189) ( 𝐶𝑜𝑠 2 (06°11°35”)=18.680m D2-3= (100) (0.123) ( 𝐶𝑜𝑠 2 (02°31°23”)=12.276m D2-1= (100) (0.172) ( 𝐶𝑜𝑠 2 (0°54°54”)=17.196m Tabla de Datos obtenidos
Proyecciones Calculadas
Proyecciones Corregidas
Est. Distancia Rumbo
N
S
E
W
N
S
E
W
1
7.93
-
10.27
-
7.85
-
10.28
-
12.98 m
N 52° 18' 20" E
2
9.19 14.55 m
N 50° 47' 05" W
14.09 m
S 81° 35' 30" W
3
-
4
15.12 m
S 8° 47' 35" E
12.58 m
N 88° 42' 55" E
5
0.28
2.06 14.94 -
2.31 12.57
11.27 13.93 -
9.11 0.2
2.14 15.02 -
2.32 12.58
X
Y
DDP
DA
14.9
0.2
8.25
84.81
25.18
8.05
25.21
-283.86
13.92
17.16
32.18
-447.95
0
15.02
15.02
34.85
2.32
0
0.2
2.52
11.26 13.92 -
1 ∑
69.32 m
17.4
17
25.15
25.2
∆Y
0.4
∆X
-0.05
ECL=√∆𝑋 2 − ∆𝑌 2 ECL=√0.42 − (−0.05)2 =0.4031 1 1 P= 0.4031 171.94 69.32
=
17.16
17.16
25.18
25.18
506.98𝑚2
4.3 RESULTADOS 5. CONCLUSIONES 5.1 INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS
En esta práctica número 4 de topografía I se hizo uso del teodolito para obtener los ángulos internos de nuestra poligonal. La poligonal trabajada contiene 5 lados, por lo tanto la sumatoria de los ángulos internos tiene que ser igual a 540 (grados) por la fórmula de la condición angular. En base a los ángulos obtenidos se hizo la sumatoria de los ángulos internos y se obtuvo una suma de 539°52´56´´.El método utilizado pero con un fin diferente fue el método estadimétrico simple para el cálculo de las distancias horizontales de cada lado de la poligonal. Cada vez que se utilizó este método se cometieron errores producto de la inexperiencia o simplemente la mala colocación de la estadia y la mala orientación por parte del observador. Todo lo antes mencionado fue útil, he importante conocer para el ajuste de nuestra poligonal de rodeo por el método de la brújula. Este método nos proporcionó una información muy importante como es la precisión, que se obtiene en base al error de cierre lineal y el perímetro. Entonces podemos concluir que es necesario hacer de nuevo las mediciones y tratar de disminuir al máximo el error en todo el procedimiento de la práctica y cambiar el método estadimétrico simple por el método de tangencial modificado para mejorar la precisión en el cálculo de las distancias horizontales.
5.2 RECOMENDACIONES Terminada la primera práctica de campo y en vista de mejorar los futuros encuentros podemos expresar las siguientes recomendaciones: 1. Mejorar la comunicación con el grupo al momento de realizar los diferentes trabajos de campo. 2. Organizar las horas de consulta con el profesor encargado de dar las prácticas de campo. 3. Realizar los trabajos de campo en otros lugares además de la poligonal ya definida de modo que se pueda adquirir mayor experiencia ya que es la parte más importante del aprendizaje. 4. Que en cada una de las prácticas no se exceda el número de estudiantes ya establecido en el grupo de práctica. Cabe destacar que el teodolito se estaba quedando sin carga en mediación de la práctica y tuvimos que ser más rápidos al trabajar
ANEXOS
BIBLIOGRAFÍA
Topografía I Paul R. Wolf y Russell C. Brinker 9na. Edición, Alfaomega. México, 1997. Curso Básico de Topografía. Fernando García Márquez 1era. Edición, Editorial Pax, México, 2003. Manual de Topografía - Planimetría con Cinta. Ing. Sergio Junior Navarro Hudiel UNI-2008 Topografía Surveying / Jack McCormac Limusa Wiley, México, 2006. Topografía Aplicada a la Construcción B. Austin Barry Editorial Limusa, S.A. de C.V., 1985. Técnicas Modernas de Topografía Editorial Alfaomega, 7ma. Edición, 2002. Tratado General de Topografía Editorial Gustavo Gili S.A., Barcelona, 9na. Edición, 1978.
