UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN
Ingeniería en telecomunicaciones, sistemas y electrónica Probabilidad y estadística Práctica 2 Caballero sol José Jared Cruz Marmolejo Johan Geovanni Flores torres David yolotzin Hernandez ortega Briseida López Sánchez diana loary Sanchez chavez ivan Suarez gallardo Jorge Eduardo Grupo: 1511
Día: lunes-miércoles y viernes
hora: 11:00-13:00
Nombre del profesor: Mario Alberto Masse zendejas
1. Un inspector de control de calidad desea seleccionar una parte para la inspección de cada uno de cuatro recipientes que contienen 4, 3, 5, y 4 partes respectivamente. ¿De cuantas maneras diferentes se puede escoger las 4 partes? Datos n1 = 4 partes n2 = 3 partes n3 = 5 partes n4 = 4 partes Aplicando el principio fundamental del conteo: 4x3x5x4= 240 maneras diferentes de escoger las 4 partes. 2. Una máquina está compuesta de cinco partes que puede ser ensamblada en cualquier orden. Se ha de realizar una prueba para determinar el tiempo necesario para cada orden de ensamble. Si cada orden se ha de probar una vez, ¿Cuántas pruebas deben efectuarse? Datos n=5 r=5 Pn = n! = 5! = 120 pruebas 3. ¿Cuántos comités diferentes de dos ingenieros en telecomunicaciones y un ingeniero mecánico electrónico, se pueden formar con los cuatro de I ngeniería en Telecomunicaciones, Sistemas y Electrónica y los tres de Ingeniería Mecánica Eléctrica del profesorado de la FES Cuautitlán? Datos n1= 4 I.T.S.E. r 1 = 2 I.T.S.E.
! nCr = !− !
n 2 = 3 I.M.E. r 2= 1 I.M.E.
! = 6 combinaciones de 4 I.T.S.E. tomados de 2 en 2 nCr = !−! ! = 3 combinaciones de 3 I.M.E. tomados de 1 en 1 nCr = 1!−1!
Aplicando el principio fundamental del conteo: 6x3 = 18 comités diferentes de 2 I.T.S.E. y 1 I.M.E.
4. Un profesor de termodinámica tiene dos asistentes pasantes que le ayudan con su investigación. La probabilidad de que el mayor de los dos asistentes se ausente en un día dado es 0.08, la probabilidad de que el más joven de los dos se ausente en día dado es 0.05 y la probabilidad de que ambos se ausenten en día dado es 0.02. Encuentre la probabilidad de que: a) Cualquiera o ambos de los asistentes esté ausente en cualquier día; b) Al menos uno de los dos asistentes no esté ausente en cualquier día dado; c) Solo uno de los dos asistentes esté ausente en cualquier día dado Sean los eventos: A: el mayor de los asistentes esté ausente en un día dado. B: el menor de los asistentes esté ausente en un día dado. Datos P(A)= 0.08 P(B)=0.05 P (A ∩ B) = 0.02
∪
a) P(A B) = P(A)+P(B) - P (A ∩ B) = 0.08+0.05 - 0.02 = 0.11 b) P(S) - P (A ∩ B) = 1 - 0.11 = 0.89 c) P (A ∩ B’) P (A’∩ B) = [P(A B)-P(B)]+[ P(A B)-P(A)] = (0.11-0.05) + (0.11-0.08) = 0.09
∪
∪
∪
5. La terminación de un trabajo de construcción se puede retrasar a causa de una huelga. Las probabilidades son 0.6 de que habrá una huelga y 0.85 de que el trabajo de construcción se termine a tiempo si no hay huelga y 0.35 de que el trabajo de construcción se termine a tiempo si hay huelga. ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajo de construcción se termine a tiempo? Sean los eventos: A: habrá una huelga B: el trabajo de construcción se termine a tiempo si hay huelga C: el trabajo de construcción se termine a tiempo si no hay huelga
Datos P(A) = 0.6 P(B) = 0.35 P(C) = 0.85
P(A ∩ B) U P(A’ ∩ C) = [P(A) P(B/A)]+[ P(A’) P(C/A’)] = [(0.6)(0.35)]+[(0.4)(0.85)] = 0.55 la probabilidad de que el trabajo de construcción se termine a tiempo
6. El fabricante de partes de aeroplano sabe, por experiencia, que la probabilidad de que una orden esté lista para embarcarse a tiempo es de 0.80, y de que esté lista para embarcarse y también se entregue a tiempo es de 0.72. ¿Cuál es la probabilidad de que tal orden se entregue a tiempo dado que estuvo lista para embarcarse a tiempo? ¿Cuál es la probabilidad de que una orden no esté lista para embarcarse a tiempo? Sean los eventos: A: la orden está lista para embarcarse a tiempo B: la orden es entregada a tiempo Datos P(A) = 0.8 P (A ∩ B) = 0.72
.7 PB/A= ∩ = .
= 0.9 la probabilidad de que la orden se entregó a tiempo dado que
estuvo lista para embarcarse a tiempo. P(S)-P(A)= 1- 0.8 = 0.2 la probabilidad de que una orden no esté lista para embarcarse a tiempo
7. Una caja contiene 20 fusibles de los cuales 5 están defectuosos. Si se seleccionan tres fusibles aleatoriamente y se extraen de la caja en sucesión sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad: a) De que los tres fusibles estén defectuosos; b) De que la selección sea de dos buenos y uno malo; c) De que todos no tengan defecto alguno. Sean los eventos: D: el fusible extraído está defectuoso N: el fusible extraído no está defectuoso
P(D) = 5/20 P(N) = 15/20
a) P(D1 ∩ D2 ∩ D3) = (5/20)(4/19)(3/18) = 1/114 la probabilidad de que los tres fusibles estén defectuosos. b) P(D1 ∩ N2 ∩ N3) U P(N1 ∩ D2 ∩ N3) U P(N1 ∩ N2 ∩ D3) = [(5/20)(15/19)(14/18)]+[(15/20)(5/19)(14/18)] + [(15/20)(14/19)(5/18)] = 0.4605 la probabilidad de extraer dos buenos y uno malo c) P(N1 ∩ N2 ∩ N3) = (15/20)(14/19)(13/18) = 91/228 la probabilidad de que los tres no tengan defecto.
8. Las muestras de un material experimental se producen mediante tres diferentes prototipos de procesos y se les hace una prueba de conformidad con un estándar de resistencia. Los resultados se dan a continuación: Número que pasan la prueba (E) Número que fallan en la prueba (F) Totales
Proceso A 45 21
Proceso B 58 15
Proceso C 49 35
Totales
66
73
84
Total 223
152 71
¿Cuál es la probabilidad de que el prototipo: a) Pase la prueba; P(E) = 152/223 b) Falle en la prueba o sea del proceso B; P(FUB) = P(B)+P(F) – P(B ∩ F) = (73/223)+(71/223) – (15/223) = 129/223 c) Sea del proceso C y de que pase la prueba; P(C ∩E) = 49/223 d) No haya pasado la prueba dado que es del proceso A = P(F/A)= P(A ∩ F) / P(A) = (21/223)/(66/223) = 7/22 e) No sea del proceso C; P(S) – P(C) = 1 – (84/223) = 139/223 f) Pertenezca al proceso A y C; P(A ∩ C) = P(A)P(C) = (66/223)(84/223) = 0.111 g) Derive la distribución de probabilidades condicionales dado que el prototipo falló en la prueba P(A/F) = P (A ∩ F) / P(F) = 21/71 P(B/F) = P (B ∩ F) / P(F) = 15/71 P(C/F) =P (C ∩ F) / P(F) = 35/71
9. En el momento en que unos productos lleguen al final de una línea de producción, un inspector de calidad elige los que se someterían a revisión completa. De los artículos producidos 10% están defectuosos, 60% de estos artículos se envían a revisión completa y 20% de los que están en buen estado se envían a revisión completa. a) Si un producto se revisa completamente, ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto no sea sometido a revisión completa? Sean los eventos: D: el producto está defectuoso B: el producto está en buen estado R: el producto se somete a revisión completa
a) P(D/R) = P(D ∩ R) / P(R) P(D) = 0.10 P(B) = 0.90 P(D ∩ R ) = [P(D)][P(R/D)] = (0.10)(0.60) = 0.06 P(B ∩ R ) = P(B) P(R/B) = (0.90)(0.20) = 0.18 P(R) = 0.06+0.18 = 0.24 P(D/R) = 0.06/0.24 = 0.25 b) P (R’) = P(S) – P(R) = 1 – 0.24 = 0.76 10. Las líneas telefónicas del sistema de reservaciones de una aerolínea están ocupadas 40% del tiempo. Suponga que entran 10 llamadas a la aerolínea. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las líneas estén ocupadas para exactamente tres llamadas? Sea x la variable aleatoria que representa el número de líneas telefónicas que estén ocupadas
f x = nppq− n = 10 llamadas x = 3 llamadas p = 0.40 q = 0.60
f x = 3 = (1)0.40.607 = 0.2150 b) ¿Cuál es la probabilidad de que las líneas no estén ocupadas para al menos una llamada? Sea x la variable aleatoria que representa el número de líneas telefónicas que no estén ocupadas n = 10 llamadas p = 0.60 q = 0.40
P (x ≥ 1) = P(x = 1)+ P(x = 2)+…+ P(x = 1) 1] = 0.9998 P (x ≥ 1) = 1 – P (x = 0) = 1 – 1
[( )0.6 0.40
c) ¿Cuál es el número esperado de llamadas en las que todas las líneas estén ocupadas? El número esperado de llamadas en las que las líneas estén ocupadas, es el valor esperado para las líneas ocupadas. n = 10 llamadas x = 3 llamadas p = 0.40 q = 0.60 µ = np = 10(0.40) = 4, se espera tener cuatro líneas ocupadas
11. Un examen de opción múltiple tiene 15 preguntas, cada una con 5 respuestas posibles, de las cuales solo una es la correcta. Suponga que uno de los alumnos que lo presenta contesta cada una de las preguntas de forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 10 de sus respuestas sean correctas? Sea x la variable aleatoria que representa el número de respuestas correctas n = 15 preguntas como hay 5 respuestas la probabilidad de que sea correcta es: p = 1/5 = 0.2 q = 4/5 = 0.8
P(x ≥ 10) = P(10)+P(11)+P(12)+P(13)+P(14)+P(15) =
[(151)0.210.805] + [(1511)0.2110.80] + [(151)0.210.80] +
[(151)0.210.80] + [(151)0.210.801] + [(1515)0.2150.80] = 0.0001133 la probabilidad de que conteste al menos 10 preguntas correctas.
12. El número de fallas de un instrumento de prueba de partículas de contaminación es un producto de una variable con media de 0.02 fallas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el instrumento: a) Falle en una corrida de 8 horas
λ = 0.02 fallas por hora λ = (0.02)(8) = 0.16 / 8 horas P(x =1) = (λ x e-λ ) / x! = [(0.16 1)(e-0.16)]/1! = 0.1363 b) De al menos una falla en un día de 24 horas
λ = 0.02 fallas por hora λ = (0.02)(24) = 0.48 / 24 horas P(x ≥ 1) = 1 – P(x = 0) = 1 – [(0.480)(e-0.48)]/0! = 0.3812
13. El número de mensajes enviados a un buzón electrónico es una variable aleatoria con una media de 5 mensajes por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban: a) 5 mensajes en una hora µ = 5 mensajes / hora x = 5 mensajes en una hora P(x = 5) = (5 5e-5)/5! = 0.175 b) 10 mensajes en 1.5 horas µ = 5(1.5) = 7.5 mensajes / 1.5 horas x = 10 mensajes en 1.5 horas P(x = 10) = (7.510e-7.5)/10! = 0.085
c) Menos de 2 mensajes en media hora µ = 5 mensajes / hora x < 2 mensajes en 0.5 horas = x < 4 mensajes / hora P(x < 4) = P(3) + P(2) + P(1) + P(0) = [(5 3e-5)/3!] + [(52e-5)/2!] + [(51e-5)/1!] + [(50e-5)/0!] = 0.265 14. Una fresadora produce baleros cuyos diámetros tienen una distribución normal con una media de 3.0005 pulgadas y una desviación estándar de 0.0010 pulgadas. De acuerdo con las especificaciones, los diámetros de los baleros están en el intervalo de 3.000 ± 0.0020 pulgadas. Los que tengan diámetros fuera de ese intervalo se consideran rebaba y se pasan de nuevo por la fresadora. Con base en las condiciones señaladas de producción de la máquina, ¿Qué fracción del producto total se considerará rebaba? µ = 3.0005’’
σ = 0.0010’’ Límites de especificación: - Límite inferior 3.000 – 0.0020 = 2.998’’ - Límite superior = 3.000 + 0.0020 = 3.002’’ =
Z1 = (2.998 – 3.0005) / 0.0010 = – 2.5 Z2 = (3.002 – 3.0005) / 0.0010 = 1.5 A (Z1 = – 2.5) = 0.4938 A (Z2 = 1.5) = 0.4332
≦ ≦
P(2.998 x 3.002) = 0.4938 + 0.4332 = 0.9270 Probabilidad de que sea rebaba = 1 – 0.9370 = 0.073 Por tanto, el 7.3% de los baleros serán rebaba.
15. De acuerdo con las especificaciones, los alambres para un sistema de cómputo tienen resistencias de entre 0.12 y 0.14 ohms. Las resistencias reales medidas de los alambres que fabrica la compañía A tienen una media de 0.13 ohms y una desviación estándar de 0.005 ohms. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alambre seleccionado al azar de la producción de la empresa A cumpla con las especificaciones? b) Si 4 alambres de la compañía A se colocan en cada sistema de cómputo, ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro que se colocan en un sistema elegido al azar cumplan las especificaciones?
Z1 = (0.12-0.13) / 0.005 = – 2
A (Z1 = – 2) = 0.4772
Z2 = (0.14-0.13) / 0.005 = 2
A (Z2 = 2) = 0.4772
P (0.12 < x < 0.14) = 0.4772 + 0.4772 = 0.9544
16. En la fabricación de chips semiconductores se producen 2% de chips defectuosos. Un lote contiene 1000 chips. ¿Cuál es la probabilidad a) De que más de 25 chips estén defectuosos b) De que entre 20 y 30 chips estén defectuosos c) De que exactamente 22 chips estén defectuosos
x: un chip defectuoso n = 1000 chips p = 0.02 = 2% q = 1 – p = 1 – 0.02 = 0.98 μ
=
np = (1000)(0.02) = 20 chips
σ = √npq = √(1000)(0.02)(98) = 4.42
a) Z = [(25+0.5) – 20] / 4.42 = 1.24 A (Z = 1.24) = 0.3925 P (x > 25) = 0.5000 – 0.3925 = 0.1075
b) Z1 = [(20 – 0.5) – 20] / 4.42 = - 0.11 Z2 = [(20 + 0.5) – 20] / 4.42 = 2.37 A (Z1 = -0.11) = 0.0438 A (Z2 = 2.37) = 0.4911 P (20
≦ x ≦ 30) = 0.0438 + 0.4911 = 0.5349
c) Z1 = [(22 – 0.5) – 20] / 4.42 = 0.3393 Z2 = [(22 + 0.5) – 20] / 4.42 = 0.5656 A (Z1 = 0.33) = 0.1293 A (Z2 = 0.56) = 0.2123 P (x = 22) = 0.2123 – 0.1293 = 0.083
17. Un producto electrónico de oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga que la probabilidad de que cada uno de los componentes opere sin falla durante la vida útil del producto es de 0.97, y suponga que los componentes fallan independientemente. Calcule la probabilidad de que por lo menos cinco de los 200 componentes originales fallen durante la vida útil del producto. Datos X: un componente electrónico que falla durante la vida útil del producto n = 200 componentes electrónicos q = 0.97 p = 1 – q = 1 – 0.97 = 0.03 µ = np = (200)(0.03) = 6 componentes
σ = √npq = √(200)(0.97)(0.03) = 2.4124
Z = [(5 – 0.5) – 6] / 2.4124 = – 0.62 A (Z = – 0.62) = 0.2324
P(x ≥ 5) = 0.5000 – 0.2324 = 0.2676
