Universidad Nacional del Comahue Departamento de Estadística Carrera: Licenciatura en Saneamiento y Protección Ambiental Cátedra: Bioestadística Trabajo Práctico Nº 2: Probabilidad
Dar un espacio muestral adecuado para los siguientes experimentos aleatorios: a) Tirar Tir ar un dado da do equil e quilibra ibrado do dos d os veces v eces.. b) Tirar Tir ar una moneda m oneda equilibr equi librada ada cuatro cuat ro veces v eces.. c) De una caja c on 4 monedas falsas y dos auténticas extraer: d1) 3 monedas sin reposición; d 2) 2 monedas con reposición. Calcular el cardinal de los espacios muestrales. 1)
Se sabe que en una colmena existen aproximadamente 50 abejas machos y 300 abejas hembras. Si se eligen 3 abejas sin reposición hallar las siguientes probabilidades: probabilidades: a) que las tres sean hembras b) que las dos primeras sean machos y la tercera sea hembra c) que por lo menos una sea hembra 2)
3)
Ídem ejercicio 3 pero con reposición.
En una ciudad las probabilidades de tener coche y vivienda propios son las que se muestran en la tabla. Se escoge un individuo al azar. Hallar las siguientes probabilidades: probabilidades: 4)
Categoría Tiene vivienda No tiene vivienda Total a) b) c) d)
Tiene coche
No tiene coche
0,15
Total
0,25
0,4
Si tiene coche, que también tenga vivienda. Si tiene vivienda, que no tenga coche. Que no tenga coche ni vivienda propios. ¿Son independientes los sucesos “tiene coche propio” y “tiene casa propia”? Justifique.
Una agencia de protección ambiental ha decidido realizar un plan de protección para lo cual decide analizar las especies candidatas de acuerdo a la siguiente tabla suministrada por el Servicio de Fauna y Medio Ambiente: 5)
Categoría Mamíferos Aves Peces
En peligro
Amenazada
53 74 54
8 11 33
181
52
Total 61 85 87 233
Suponga que se elige una especie candidata al azar. Calcular las siguientes probabilidades: probabilidades: a) Que sea mamífero b) Que sea una especie amenazada c) Que sea un pez en peligro d) Sabiendo que es una especie amenazada, que sea un ave.
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El nivel medio sonoro de una fábrica es de 75 decibeles. La probabilidad de que una persona expuesta a ese nivel de ruido tenga un alto grado de molestia auditiva es 0,37. Se eligen al azar 4 personas de esa fábrica (con reposición) a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna tenga un alto grado de molestia auditiva? b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos últimas tengan un alto grado de molestia auditiva? c) ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro tengan molestia auditiva? 6)
Para realizar un control de contaminación de aguas subterráneas se tomaron 30 muestras en la zona urbana, 20 en zona industrial y 25 en zona agrícola. Se sabe que la probabilidad de que el agua subterránea esté contaminada en zona urbana es 0,019, en zona industrial 0,21 y en zona agrícola 0,18. a) Definir los sucesos y representar el espacio muestra en un diagrama de árbol. b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra escogida al azar sea de zona industrial y esté contaminada? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra escogida al azar sea de zona urbana y no esté contaminada? d) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra esté contaminada? e) Si la muestra no estaba contaminada, ¿cuál es la probabilidad de que sea de zona agrícola? f) Si una muestra está contaminada, ¿cuál es la probabilidad de que sea de zona urbana? 7)
La probabilidad de que hiele una noche determinada es de 0,07 y la probabilidad de que el equipo de riego por aspersión se descomponga una noche que no hiele es de 0,03. Pero se sabe que cuando hiela la probabilidad de que el equipo se descomponga se incrementa a 0,08. Hallar: a) La probabilidad de que hiele y el equipo se descomponga. b) La probabilidad de que el equipo se descomponga y que no hiele. c) La probabilidad de que el equipo se descomponga. d) La probabilidad de que no hiele y el equipo no se descomponga. e) La probabilidad de que hiele una noche que el equipo se descompuso. 8)
Adicionales
Se arrojan dos dados simultáneamente. Sean los sucesos: A: la suma sea mayor que 10 B: la suma da exactamente 8 C: la suma de los resultados es par D: los resultados son distintos entre si a) Representar el espacio muestral b) Calcular las probabilidades de los sucesos A, B, C y D. c) Definir los siguientes sucesos y calcular su probabilidad: C ; A ∩D; 9)
A;
B ∪D.
Las probabilidades de efectos de la actividad humana se muestran en la tabla a continuación. 10)
Categoría Erosión acelerada No produce erosión
Desequilibrio químico
0,023
No provoca desequilibrio
Total 0,05
0,98
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a) ¿Cuál es la probabilidad de que la activ idad humana provoque desequilibrio químico o erosión acelerada? b) Si provocó erosión acelerada, ¿cuál es la probabilidad de que también provoque desequilibrio químico? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la actividad humana no provoque desequilibrio químico en el suelo y sí erosión acelerada? d) ¿Son los sucesos Q y E independientes? Justifique. El índice estándar de contaminación PSI (Pollution Standard Index) se utiliza como indicador de la calidad del aire. Si dicho índice es superior a 200 se considera que la concentración de contaminantes es peligrosa, si está entre 100 y 200 se considera moderada y si es menor que 100 se considera buena. En la siguiente tabla se encuentran los resultados de un análisis de calidad de aire realizado en 500 ciudades con distinto grado de desarrollo industrial: 11)
Desarrollo industrial Concentración de contaminantes C1: Peligrosa C2: Moderada C3: Buena
Alto (A)
Bajo (B)
Total
93 117 70
11 98 111
280
220
104 215 181 500
Calcular e interpretar las siguientes probabilidades: a) P(C2 ∩ B) b) P(C3 ∪ A) c) P(A ∩ C1) d) P(A / C1) e) P(C3 / B) Se sabe que en el curso de Bioestadística el 70% de los alumnos estudian lo suficiente como para aprobar un examen de la materia, mientras que el 30% restante no lo hace. De los que estudian, un porcentaje del 15% no aprueban el examen por problemas ajenos a sus conocimientos (nerviosismo, estar ausentes, etc.), mientras que de los que no estudian un 8% aprueban inexplicablemente (los docentes de la asignatura sospechan una explicación). a) Hacer un diagrama de árbol de probabilidad que exprese en primer término el factor "estudia" "no estudia" y luego en cada caso: "aprueba" "no aprueba". b) Hallar las probabilidades de los siguientes sucesos: i) un alumno al azar aprueba el examen ii) un alumno aprueba dado que no estudió iii) un alumno estudia y aprueba iv) un alumno no haya estudiado, sabiendo que aprobó el examen. c) Son independientes los sucesos “estudia” y “aprueba” 12)
Uno de los métodos más efectivos para determinar si una mujer padece c áncer cervical es el Papanicolau. Se sabe que en c ierta población la probabilidad de que una mujer padezca dicho tipo de cáncer es de 8,3x10-5. Además se sabe que en los casos en que la mujer padece ese cáncer, el test da positivo con una probabilidad 0,8375 y en el caso que no lo padece da positivo con probabilidad 0,1864. 13)
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a) Definir los sucesos y construir un diagrama de árbol. b) Calcular la probabilidad de que una mujer elegida al azar tenga cáncer cervical y dé positivo. c) Calcular la probabilidad de que una mujer elegida al azar tenga cáncer cervical y el test dé negativo. d) ¿Cuál es la probabilidad de que el test dé positivo? e) Si se realiza el test y da negativo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga cáncer c ervical?
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