UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS
C CALCULO III
MAT-102
AUXILIAR DE DOCENCIA: JOSE PAYE CHIPANA
Representar el campo de existencia de la siguiente función: x 2 y 2 arcSec x 2 y 2 z arcSen 2 Rpta: Df ( x, y) 2 / 1 x 2 y 2 2 Representar el campo de existencia de la siguiente función: W R 2 ( x 2 y 2 z 2 )
1 x y z r 2
2
2
2
, R r
Rpta: Df ( x, y) 2 / r x 2 y 2 z 2 R x 2 y 2 Calcular el Límite: lim x 0 x y 2 1 1 y 0
Hallar la derivada parcial de 1
z e 2
Rpta:
x y
1 e
x y
x y
1 e
1 z x 1 e x y 1 e x y
Rpta: L 2
z , para la función: x 1 1 e x y 1 1 1 e x y ln 4 1 e x y 1 1 1 e x y
2 x Si es Demostrar que la función “ U U ” es Armónica: U arctan 2 2 x y 2U 2U 2 0 armónica tiene que cumplir la ecuación de Laplace, x 2 y
Rpta: LQQD ln( x y) , Demostrar que: Si f x, y ( x y) ln( 2 f 2 f 2 f 2 2 2 a) x 2 y 2 x y
b) Si la altura de un cilindro aumenta en 2% y su radio en 1%. ¿Cuál será el cambio porcentual aproximado del volumen? Rpta: a) LQQD
b) Rpta: cambio porcentual del volumen = 4%
Para la función z f x 2 y g x 2 y , hallar la expresión reducida para: 2 z 2 z z 2 2 2 y 2 y x y
Rpta: 0
En La función implícita F ( x, y) 0 deducir una Expresión general 2
reducida para:
dy dx
Rpta:
dy dx
2 F F 2 F F F 2 F F 2 y x y x y y 2 x x 2 F y
2
3
Demostrar que cualquiera que sea la función derivable “ f ” de la relación f f b 0 Rpta: LQQD f cx az , cy bz 0 se reduce: a x y F ( x, y, z ) 0 Demostrar que:
Las relaciones u f x, y ,
x y y z x 1, 1 y x z x y
Rpta: LQQD
v F x, y donde f y F son funciones
derivables de x e y , determinar x e y como funciones derivables de u v u v x y x y u y v, hallar: Rpta: 1 x y y x u v v u v x ln x r r ,donde
1 2v 2v 2 Rpta: r x y hallar: 2 x r x y 2
2
2
2 y de la función “y” dada Hallar la expresión para la segunda derivada x 2 implícitamente implícitamente por la ecuación f ( x, y) 0 f x f 2 f x x 2 f 2 f y x y 0
2 y f Rpta: 2 x y
Hallar
2
f y 2 f x y 2 f y 2
z 2 z cv y si x u cos cos v y y usenv ; z x y 2
z Senv c Rpta: x u
cos 2v 2 z c 2 y 2 u
Usando Jacobianos hallar u x , v y si
u u x, y y v v x, y en
xeu yev u v x y ue v e x y u ye v 1ue x 1 e u y Rpta: x xeu y ye x v e x e y
u e x v xe u 1ve y 1 y xe u y ye xv e x e y
1 x, y Demostrar J Rpta: LQQD u, v u, v J x , y 2v 2v Transformar el operador de Laplace a las coordenadas polares x 2 y 2
2 v 1 2 v 1 v x r cos cos , y rsen Rpta: r 2 r 2 2 r r 2 z 2 z 2 z 2 x e y por las En la expresión cambiar las variables x x y y 2 x 2
variables u y v , y las función z, por la variable w, considerando que estas 2 2 uv uv u v z w variables están unidas por las l as relaciones, x , y 2
2 z 2 z 2 z 2w 24 2 Rpta: 2 2 x y y 2 x u
2
4
Transformar la expresión k Rpta: k
y ' ' 3 2 2
1 y'
a las coordenadas polares r y
2r ' 2 rr ' ' r 2
r '
2
3 2 2
r
Hallar el valor de la constate “C” tal que en todo punto de la
intersección intersección de las dos superficies esféricas: x C 2 y 2 z 2 9 ; x 2 y 1 z 2 1 , los planos tangentes sean perpendiculares uno al otro 2
Rpta: C 3 Encontrar la Ecuación del plano tangente a la superficie definida por: x v cos cos u ; y vsenu z
v 2
v2 u
en el punto
4
Rpta:
2 x 2 y 4 z 0
Probar que todo plano tangente a la superficie xyz xyz a 3 , forman con los ejes de coordenadas un tetraedro de volumen constantes, hallar dicha constante
3
Rpta: V a 3 2
Hallar las proyecciones del elipsoide x 2 y 2 z 2 xy 1 0 sobre los planos coordenados x 2 y 2 xy 1 0 3 x 2 4 z 2 4 0 3 y 2 4 z 2 4 0 PL XZ PL YZ Rpta: PL XY z 0 y 0 x 0 2 Estudiar los extremos relativos en: z x 7 x 1 y 1 y 2 y 11 Rpta: p0 (5,3) ; p1 (5,1) ; p2 (1,3) ; p2 (1,1) p es punto de ensilladura, p 2
0
1
es punto máximo, p es punto de ensilladura, p es punto mínimo 3
2
Encontrar las dimensiones de un triángulo de área mínima que puede circunscribirse circunscribirse a la elipse:
x 2 a2
y 2 b2
Trazar la normal a la elipse
1 Rpta: A 3 3ab x 2 a2
y 2 b2
1 de modo que la distancia distancia que
mide entre el origen de coordenadas y la normal buscada sea la mayor posible Rpta: d a b
Un embudo cónico de radio r, y altura H está lleno de agua, una esfera pesada pesada se sumerge sumerge en el embudo ¿Cuál debe ser el radio de la esfera para que el volumen de agua expulsada por la parte sumergida sea la Hr r 2 H 2 mayor posible? Rpta: R r 2 H 2 r r 2 H 2 2r
Se considera la superficie
1
x
S ( x, y, z ) 2 : x 0, y 0, z 0,
3 a) Obtener el plano tangente y z 2
3
a dicha superficie en el punto (1,2,3) (1,2,3) b) Encontrar el punto de S para el que se hace mínima la suma de las l as coordenadas j ( x, y, z ) x y z , obtener dicho valor
min Rpta: a) 6 x 3 y 2 z 18 0 b) S min
62 2 2 32 6 3
p q r Hallar el valor máximo de la siguiente función: F ( x, y, z ) x y z cuya única restricción está dada por: x y z 2 donde p,q,r son todos p q r
2 p p q q r r números positivos Rpta: F p q r 2 2 El plano x y z 12 intercepta al paraboloide z x y según una
elipse encontrar los puntos mas bajos y mas altos de esta elipse y determinar la longitud de sus ejes Rpta: El punto mas bajo P1(2,2,8) y el punto mas alto P2(-3,-3,18) eje mayor 10 6
, eje menor 10 2
Encuentre los puntos mas alto y mas bajo de la elipse que resulta de la intersección del cilindro x 2 y 2 5 y el plano x 2 y z 3 Rpta: El punto mas bajo P1(-1,-2,-2) y el punto mas alto P2(1,2,8) Un deposito en forma de cono invertido, recibe agua a razón de 600cm3 / seg , su altura es de 80cm , radio de 15cm , el deposito tiene una
fuga de agua. Hallar la velocidad a la que esta saliendo el agua, cuando su cm3 dVs 47,76 nivel es de 50cm subiendo a 2cm / seg Rpta: dt seg “Una
verdad matemática no es ni simple si mple ni complicada por sí misma, es una verdad ”. ÉMILE ÉMILE LEMOINE LEMOINE . –
