UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS CALCULO II-MAT-102 DOC. ING. CIPRIANO QUISPE VINAYA AUX. UINV. JOSUE PAYE CHIPANA
GRUPO:F
Si a y b son vectores unitarios y es el ángulo entre ellos, demostrar que: 1 a b sen se n 2 2
1
Si a
LQQD
b y c R 3 Demostrar:
a b b c a c b c c a a b a , b , c
4
LQQD
Demostrar que: a b b c c a 2 a , b , c
LQQD
Demostrar que: a b b c c a a , b , c
2
LQQD
Si a b c y d R3 Demostrar: c , b , d a a , c , d b a , b , d c a , c , b d
LQQD
Sean los vectores Sean a ; b y c , si a b a c a ,calcular:
ab bc b
. 0
Si a b R3 Demostrar: 4 a a a a a b a a b Hallar el valor reducido de: a b c b c a c a b 0
LQQD LQQD
Determinar x dirigido a lo largo de la bisectriz del ángulo entre los vectores
a 7,4,4 y b 2, 1,2 si x 5 6
Sabiendo que, a 26
x
1 3
5,35,10
b 3 2 c b 12 , si a b c 0 Hallar: c ?
A S M U A I R E I N E G N I 1 a n i g á P
c 4 2
Sean a b y c vectores diferentes de cero y supuesto que el ángulo entre
a y c es igual al ángulo entre b y c Para que valor de “t” es el vector c
t a
perpendicular al vector: d b a t b
¿Bajo que condiciones son perpendiculares las Diagonales de un paralelogramo?, los lados deben ser iguales
Demostrar su respuesta
Que significado tiene el producto mixto a b c 0 ? Demuestre
los 3 vectores deben estar contenidos en un mismo plano (coplanares)
Sean a , b , c y d vectores en R 2 de tal manera que a b c d Demostrar que:
Pr oy b Pr oy c Pr oy d a a
a
LQQD
a
Sean A,B,C vértices de un triangulo y sean P,Q,R los puntos medios de los lados AB,BC y CA respectivamente. Hallar los vértices del triangulo si P(3,0,0) Q(2,1,-2) y R(1,-2,-1)
Determinar a y b
A(2,-3,1) B(4,3,-1) C(0,-1,-3)
de tal manera que Pr oy b 4,3,2 y Pr oy a 2,3,4 a
b
a
29 25
4,3,2
b
29 25
2,3,4
Si el ángulo formado por los vectores b y c
es de 45º y el módulo de b
es 3, encontrar el módulo de c de tal manera que: b c , formen con b un 3 2 ángulo de 30º c 1 3 2
Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son 2 a b y 4 a 5b b 3 sabiendo que a y b subtienden un ángulo de y además a 1 6 A
3 3 2
Si se conoce que lo módulos de los vectores a b son iguales y forman un ángulo de Si el módulo de a b es cuatro unidades mayor que el módulo de 3
a ; deducir una expresión para el módulo de b
b 22 3
A S M U A I R E I N E G N I 2 a n i g á P
En la figura ABCD es un paralelogramo: 1 AF AD 3
ED 5 BE
Si EF m AD n AB
Hallar m+n
m+n
2 3
Sea el cuadrado escribir el vector S en función de A y B
S
2 A B 2
Sea el cuadrado donde M y N son puntos medios, escribir el vector S en
función de A y B
S
1 A 2 B 10
A S M U A I R E I N E G N I 3 a n i g á P
Hallar el punto Q que es simétrico de P(4,1,6), respecto a la recta: x y 4 z 12 0 Q(2,-3,2) 2 x y 2 z 3 0 Dado el plano x y 2 z 6 0 y el punto M(1,1,1) Hallar un punto N que sea simétrico del punto M con respecto a este plano Determinar el valor de m para que lo planos , : x y z 0 “
”
y
Q(3,3,-3) ,pertenezcan a una m3
misma familia de planos : x 3 y z 0 : mx 10 y 4 z 0
Si los vectores no coplanares a b y c tienen origen común Demostrar que el plano que pasa por los extremos de estos vectores es perpendicular al vector: LQQD a b b c c a x 1 y 2 z 1 Determinar 2 planos cuya intersección sea la recta: y sus 2
2
vectores normales están dados por: (1,-1,0) y (0,5,-2)
5
x y 3 5 y 2 z 8
Hallar la proyección de la recta:
x 2
y 3 1
z 2
2 x
sobre el plano 2 x 3 y z 5 0
10
y
17
z
26
5 5 13 19
Tres vértices de un tetraedro son:A(0,0,0) B(4,5,-6) , C(-3,0,6), Hallar las coordenadas del cuarto vértice de modo que su volumen sea V encuentre sobre la recta
x 1
y 1
33 2
m 3 , y se
z 4
D(2,1,3) ó D(-56/5,1,85/5) 2 Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A(3,1,-3) B(-2,4,1) C(-5,0,0) y su centro esta en el plano 2 x y z 3 0 2
0
x 12 y 22 z 32 72 Hallar la ecuación de la esfera con centro en C(2,3,-1) y corta en la recta: x 5 y 8 z 9 una cuerda de longitud 16 2 1 2
x 22 y 32 z 12 172
A S M U A I R E I N E G N I 4 a n i g á P
Hallar el plano que contenga a la recta: tangente a x 2 y 2 y 2 1
x 1
y 2
z 3
1 0 1 4 x 4 y 7 z 9 0 ó
y que sea 2 x 2 y z 3 0
Determinar la ecuación del plano que contiene al eje Y y forma un ángulo de 6
x 3 y 0
con el eje X
Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto Q( 2,1,1) , y en tangente al plano y 0 en P (1,0,1)
x 12 y 12 z 12 1
Hallar la ecuación de la esfera que pasa por el origen de coordenadas y por la x 2 y 2 z 2 25 x 2 y 2 z 2 10 x 15 y 25 z 0 circunferencia 2 x 3 y 5 z 5 0 Determinar la ecuación de la esfera que pasa por la intersección de las esferas: x 2 y 2 z 2 4 x 8 y 6 z 12 0 y x 2 y 2 z 2 4 x 4 y 6 z 12 0 y es tangente al plano x 2 y 2 z 3 0 x 2 y 2 z 2 4 x 6 y 4 z 8 0 ó x 2 y 2 z 2 4 x 24 y 22 z 44 0
x 2 z 2 25 Hallar la ecuación de la esfera que pasa por las circunferencias: y 2 x 2 z 2 16 y x 02 y 22 z 02 41 y 3 Determinar la ecuación de la esfera cuyo centro esta en la recta bisectriz x 1 y 1 z 2 1 x y 3 z 2 determinada por las rectas , y es tangente 2 2 1 2 3 6 a los planos 2 x 2 y z 5 0 , 2 x 2 y z 3 0 2
5 1 x 3 y z 32 2 3
2
2
Determinar las coordenadas del centro y radio de la circunferencia que se obtiene al intersectar el plano 4 x 3 y 2 z 5 0 con la superficie esférica x 2 y 2 z 2 6 x 8 y 10 0
radio: r
14 5
11 59 38 , , 29 29 29
C
Hallar las ecuaciones de los planos bisectores de los ángulos diedros formados 5 x 7 y 14 z 27 0 por los planos: 3 x 4 y 6 0 , 6 x 6 y 7 z 16 0 7 x y 2 z 9 0 La Traza de una superficie esférica con el plano XZ es la circunferencia: x z 2 2 x 2 z 3 0 Hallar su ecuación si pasa por el punto P 0 3,4,2 2
x 12 y 22 z 12 32
A S M U A I R E I N E G N I 5 a n i g á P
Si los vectores B, T , N son unitarios . Demostrar que: B T T T N
LQQD
Una función Vectorial f t esta dada por la curva
g t esta dada por la curva
y e x , con 0 x 1 y
x y 2 ln( x y ) 2 ln 2 , con 2 x y 2e
1
Determinar la relación que existe entre sus longitudes de arco
2
Determinar el plano osculador a la curva determinada por la intersección de las superficies: x 2 y 2 z 2 24 , x y z 0 , en el punto P(2,2,-4) y x 1 Una trayectoria está definida por: f s arctan S , ln(S 2 1), S arctan S 2
(a)Determinar si el parámetro “S” es la longitud de arco (b) Hallar la Curvatura
“S” es la l ongitud de arco f ( s ) ' 1
y el radio de curvatura (b)
Curvatura K
2 1 s 2
radio de curvatura
R K
1 s 2 2
Hallar las componentes del vector w ,para que se verifique
d ds
w donde:
T , N , B T Tangente unitario N Normal Principal unitario B Binormal
w ( ,0, )
Demostrar que la curva determinada por la intersección de la superficie: x 2 y 2 2 y 2 x 2 0 (a) es plana (b) Determinar el plano x y 2 z 2 0
0
x y 2 z 2 0
Hallar la curvatura y torsión en un punto cualquiera de la curva definida x 2 4 y 0 por: 3 luego analice si existe o no relación de los resultados obtenidos x 24 z 0 con la cantidad
1 2
y 22
Demostrar Curvatura K
r 'r ' ' r '
3
32
t
2
8
2
y que significa?
32
t
2
1
8
2
2
y 2 2
1
1
LQQD
A S M U A I R E I N E G N I 6 a n i g á P
Demostrar Torsión
r 'r ' ' r ' ' '
r 'r ' '
2
y que significa?
LQQD
Dada la función vectorial f t a ln(cost ), at ,15 Hallar: f s S S S S a a a a 2e 2 e 2 e , a 2arctg e ,15 f ( S ) a ln f ( S ) a ln , a arccos ,15 2 S 2 S 2 S 2 1 e a 1 e a 1 e a
Hallar las ecuaciones de los planos definidos por el triedro móvil en la trayectoria que describe una partícula sobre la curva “C”, en el punto P (1,1,2) C : z x y , z 2 x 2 y
x 1, y 1, z 2 1,1,1 0 x 1, y 1, z 2 5,1,4 0
x 1, y 1, z 2 1,3,2 0
Una partícula se mueve con una rapidez de 2 [m/s] , contenida en un plano y siguiendo una trayectoria curvilínea, si su vector normal unitario es paralelo al vector 2,2t , t 2 , determinar su curvatura y torsión . Un proyectil es lanzado desde el nivel
0
k
1 t 2 2
del suelo (Z=0) siguiendo la
2 2 trayectoria da por z 125 x y , y 2 x , hallar:
(a) Radio de curvatura en el
punto vertical mas alto que alcanza el proyectil (b) El alcance Horizontal del proyectil (c) Las componentes Tangencial y Normal (d) La ecuación
de la aceleración para
del plano Osculador para t=1, (e) La ecuación
para t=1(f) La ecuación
del plano Rectificante para t=1
recta tangente para t=1 (h) ecuación
de la recta normal
t=1
del plano normal
(g) La ecuación
de la
para t=1 (i) ecuación
de la recta Binormal para t=1 (j) circunferencia osculadora para
t=1 (k) Torsión
para t=1 (l)Radio de Torsión para t=1
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