Multiplicando por la razón geométrica denominador y restando la misma
Series 1.
Halla: E = 0,001 + 0,002 +0,003 + ……+ 1
A) 500,8 D) 600,52
B) 500,5
10 S = 1 +
2 3 4 5 + + + + 10 10 2 10 3 10 4
S=
1 2 3 4 + + + + 10 10 2 10 3 10 4
–
C) 500,52 E) 700,2
9S = 1 +
Multiplicando por 1000
∴
2.
1000(1001) 2
Pr
E = 500,5
S = 0,1 + 0,02 + 0,003 + 0,0004 + …. 10 81
D)
4 23
B)
8 71
9S =
1 1 1− 10
9S =
10 9
∴S=
10 81
C)
1 31
E)
2 17
Determina el valor de “x” en la siguiente expresión: 1 + 3 + 5 + .... + x = 2 500 A) 88 D) 150
B) 100
Expresando la serie en función de fracciones 1 2 3 4 + + + + ....∞ 10 10 2 10 3 10 3
C) 50 E) 99
1 + 3 + 5 + .... + x = 2 500 2
Por propiedad
S=
→
CO E of: PACH 3.
Calcula el valor de S.
A)
1 1 1 1 + + + + 10 10 2 10 3 10 4
Aplicando suma límite
1000E = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 1000 1000E =
del
x +1 = 2 500 2
x +1 = 50 → x = 99 2
-1-
4.
A) 1 620 D) 3 140
Calcula: S = 2 + 11 + 20 + 29 + .... + 902
A) 48 850 D) 42 850
B) 45 652
C) 46 850 E) 40 850
B) 2 560
C) 3 120 E) 9 300
Aplicando números combinatorios S = 4 + 14 + 30 + 52 + 80 + … 10
S = 2 + 11 + 20 + 29 + .... + 902 9
9
# términos =
Donde
6
9
902 − 2 + 1 = 101 9
15
15
∴ S = 9 300
7.
Halla el valor de “E” en: E = 54 + 18 + 6 + 2 + ....∞
O A) 31 C69 E D) f: PACH
B) 46
C) 98 301 P E) 91r023 o
×2
×
E=
3(215 − 1) 2 −1
∴ S = 98 301
C) 57 E) 81
E = 54 + 18 + 6 + 2 + … …
t (q n − 1) Empleando la fórmula S = 1 q −1
S=
6
S = 60 + 1 050 + 8 190
S = 3 + 6 + 12 + 24 + … ×2
28
15 × 14 15 × 14 × 13 S = 4(15) + 10 + 6 2 6
5. Determina la sumatoria de los siguientes 15 términos. S = 3 + 6 + 12 + 24 + ....
×2
6
15
S = 45 652
B) 98 763
22
S = 4 C1 + 10 C 2 + 6 C 3
2 + 902 Entonces S = × 101 2
A) 91 961 D) 98 024
16
8.
1
3
54 1 1− 3
×
1
3
→
×
1
3
E=
162 2
∴ E = 81
Halla la suma de la siguiente sumatoria: 10
∑7
k =3
6. Calcula el valor de la suma de los 15 primeros números de la siguiente serie: S = 4 + 14 + 30 + 52 + 80 + .... -2-
A) 37 D) 63
B) 73
C) 42 E) 56
Efectuando 10
10
2
k =3
k =1
k =1
∑ 7 = ∑ 7 − ∑ 7 = 7(10) − 7(2) = 56
Efectuando
20
20
20
x =1
x =1
x =1
∑ (4 x + 2) = 4 ∑ x + ∑ 2 20(21) = 4 + 2(20) 2 = 880
9. Según las propiedades de sumatorias, es incorrecto la igualdad:
A)
B)
C)
n
n
i =1
i =1
11.
∑ k Xi = k ∑ Xi n
n
n
i =1
i =1
i =1
∑ (X i + Yi ) = ∑ X i + ∑ Yi n
n
i =1
i =1
A) 12 875 D) 11 115
B) 11 029
C) 11 030 E) 11 325
∑ (X i + k X i ) = (1 + k)∑ X i n
Agregando y quitando la suma de los 20 primeros números consecutivos
n
S = 1 + 2 + 3 + .... + 150 − (1 + +2 + 3 + .... + 20)
n n D) ∑ (X i )(Yi ) = ∑ X i ∑ Yi i =1 i =1 i =1
E)
Halla la siguiente suma: S = 21 + 22 + 23 + 24 + .... + 150
∑ k = nk
i =1
S=
150(151) 20(21) − 2 2
C∴O S = 11 115 E Analizando las alternativas, observamos noAesCH ofque :P Pr
correcta la D debido a que una sumatoria solo se puede separar en dos o más sumatorias si su término general está compuesto por dos o más sumandos, es decir n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
∑ (X i + Yi + Z i ) = ∑ X i + ∑ Yi + ∑ Z i
10.
Analiza y calcula la siguiente sumatoria: 20
∑ (4 x + 2)
B) 890
Halla el valor de “S”, si: S = 1 + 4 + 9 + 16 + .... + 900
A) 18 910 D) 9 455
B) 19 220
C) 9 760 E) 9 920
S = 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + 30 2 S=
x =1
A) 850 D) 860
12.
30(31)(61) 6
∴ S = 9 455 C) 870 E) 880 -3-
13.
Sumar: La expresión es equivalente a
S = 1 2 + 2 2 + 3 2 + .... + 50 2
A) 44 200 D) 45 650
B) 44 625
S=
C) 42 925 E) 52 960
1 1 1 1 + + + .... + 1× 2 2 × 3 3 × 4 19 × 20
Desdoblando
2
2
2
2
P = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 P=
1 1 1 1 1 1 1 + − + − + ...... + − 2 2 3 3 4 19 20 1 S = 1− 20
S = 1−
2
50(51)(101) 6
S=
∴ P = 42 925
14.
Halla el valor de M: M=
1 1 1 1 + + + .... + 3(6) 6(9) 9(12) 30(33)
A) 10/99 D) 10/33
B) 30/33
C) 29/30 E) 33/47
19 20
16. Sabiendo que: x = 1 + 4 + 9 + .... + 100 Calcula: R = 1 + 3 + 5 + .... + x A) 37 249 D) 37 049
B) 37 492
C) 37 429 E) 37 149
Calculando el valor de x Multiplicando la expresión por 3 3S =
Pr
COx = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + 10 2 E o3 f: PACH 10(11)(21)
3 3 3 + + + .... + 3 × 6 6 × 9 9 × 12 30 × 33
Desdoblando
x=
→
6
R = 1 + 3 + 5 + .... + 385
Reemplazando
1 1 1 1 1 1 1 1 3S = − + − + − + ...... + − 3 6 6 9 9 12 30 33 1 1 3S = − 3 33
3S =
15.
→
S=
B) 19/20
385 + 1 R= 2
2
R = 37 249
10 99
Halla la suma de: 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 +…+ 1/380
A) 9/20 D) 17/38 -4-
10 33
x = 385
C) 1/20 E) 1/30
17. Indica la cifra de las decenas en el resultado de 3A+2B; si : A = 37 + 38 + 39 + .... + 120 B = 12 + 2 2 + 3 2 + .... + 9 2
A) 1 D) 4
B) 2
C) 3 E) 5
∴ M+N =
Analizando por partes •
A = 37 + 38 + 39 + .... + 120 A = 1 + 2 + 3 + .... + 120 − (1 + +2 + .... + 36)
A=
•
120(121) 36(37) − 2 2
→
19.
9(10)(19) 6
A) 53 910 D) 53 330
→
S=
B) 2
C) 1/2 E) P 4/5
•
20.
Halla el valor de “E”: E=
1 1 1 1 + + + .... + 1× 2 2 × 3 3 × 4 19 × 20
A) 1/20 CD)O1/19
B) 19/20
rof: PACHE
1 1 1 1 1 1 1 + − + − + ...... + − 2 2 3 3 4 19 20 1 E =1− 20
E = 1−
M = 1 + 1/3 + 1/9 +1/27+…+ ∞ 1
3
×
1
×
3
1
1
3
→
1 1− 3
C) 20/19 E) 4/50
Desdoblando
Analizando por partes
M=
20 × 21 × 22 × 23 4
S = 53 130
Halla “M + N”. M = 1 + 1/3 + 1/9 +1/27+…+ ∞ N = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +…+ ∞
×
C) 53 610 E) 53 310
S = 1× 2× 3 + 2× 3× 4 + 3× 4 × 5 + .... + 20× 21× 22
Por lo tanto, la cifra de las decenas es 5.
•
B) 53 130
B = 285
Luego 3 A + 2B = 20 352
A) 3/2 D) 7/2
Efectuar:
S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ..... + 20 × 21 × 22
A = 6 594
B = 12 + 2 2 + 3 2 + .... + 9 2
B=
18.
3 7 +2= 2 2
M=
3 2
E=
19 20
N = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +…+ ∞ ×
N=
1
2
1 1−
1 2
×
1
×
2
→
1
2
×
21.
1
2
N=2
Calcula: S = 1 × 19 + 2 × 18 + 3 × 17 + ..... + 19 × 1
A) 1 330 D) 1 640
B) 1 320
C) 1 430 E) 1 830
-5-
Transformando el segundo factor de cada sumando S = 1(20 − 1) + 2(20 − 2) + 3(20 − 3) + .... + 19(20 − 19)
S = 1(20) −12+ 2(20) − 22+ 3(20) − 32+...+19(20) −192
S = 20(1 + 2 + 3 + ... + 19) − (1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + 19 2 )
19(20) 19(20)(39) S = 20 − 6 2
→
B) 1
Multiplicando la expresión por 2 2K =
1 − 2 1 2K = − 2
2K =
S = 1 330
Determina la suma de: 9/16 + 11/16 + 13/16 +…+27/16
A) 121/16 D) 105/16
B) 115/16
C) 95/16 E) 45/4
Pr Factorizando
1 16
S=
1 (9 + 11 + 13 + .... + 27) 16
S=
1 16
S=
→
S=
6 13
Calcula: K +
Si: K =
-6-
→
K=
3 13
23 3 23 = + =2 13 13 13
24. Halla la suma de todos los números que forman este triángulo, sabiendo que contiene 100 filas.
C) 25 025 D) 25 555 E) 25 225
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ... ... ... ... ...
5
45 4
5 5 5 5 5 ... ... ... ...
Efectuando
23.
1 1 1 1 1 1 1 + − + − + ...... + − 4 4 6 6 8 24 26 1 26
O A)C25 255 E of: PACH B) 25 250
27 + 1 2 7 + 1 2 − 2 2
1 (180) 16
2 2 2 2 + + + .... + 2⋅4 4 ⋅6 6⋅8 24 ⋅ 26
2K =
∴ K+
22.
C) 2 E) 4
Desdoblando
Agrupando convenientemente
S = 3 800 + 2 470
A) 0 D) 3
23 13
1 1 1 1 + + + .... + 2⋅4 4 ⋅6 6⋅8 24 ⋅ 26
S = 1(5) + 2(5) + 3(5) + .... + 100(5) S = 5 (1 + 2 + 3 + .... + 100)
100(101) S = 5 → S = 25 250 2
25.
Halla el valor de (A+B+C) si: A = 1+2+3+ … +120 B = 1+3+5+ … +169 C = 2+4+6+ … +140
A) 19 455 D) 29 455
B) 16 084
y =8
2
120(121) 2
12
44
x=2
y =8
∑ x 2 + ∑ (2y + 1) = 649 + 1961 = 2 610
∴
→
A = 7 260
2
→
27.
Halla la suma total de: 12 + 22 + 32 + 42 + . . . + 202 22 + 32 + 42 + . . . + 202 32 + 42 + . . . + 202
B = 7 225
192 + 202 202
C = 2 + 4 + 6 + 8 + .... + 140 C = 70(71) C = 4 970 →
A) 10 044 D) 41 400
∴ A + B + C = 19 455
Pr 26.
= 1 961
B = 1 + 3 + 5 + 7 + .... + 169 169 + 1 B= 2
•
2
A = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 120
A=
•
89 + 1 15 + 1 = − 2 2
C) 23 945 E) 20 505
Analizando por partes •
44
∑ (2y + 1) = 17 + 19 + 21 + .... + 89
•
Calcula:
12
44
x=2
y =8
∑ x 2 + ∑ (2y + 1)
B) 44 100
C) 40 104 E) 4 324
CO E of: PACH 1 2 + 2 2 + 3 2 + ...... + 20 2 2 2 + 3 2 + ...... + 20 2
A) 2 510 D) 2 610
B) 2 810
C) 2 828 E) 2 831
3 2 + ...... + 20 2
20 2
Efectuando por partes Efectuando •
12
∑ x 2 = 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + 12 2
x=2
=
12(13)(25) −1 6
= 649
S = 1(1 2 ) + 2(2 2 ) + 3(3 2 ) + ... + 20(20 2 ) S = 13 + 2 3 + 3 3 + ... + 20 3
20(21) S= 2
2
→
S = 44 100
-7-
28.
Halla “n”:
30.
n
∑ 2x = 342
Halla C + D + M + P, si: 7
∑ (2 + 8 + 18 + 32 + .... + 288) = CDMP
x =1
x =1
A) 24 D) 18
B) 21
C) 20 E) 19
A) 8 D) 6
B) 12
C) 15 E) 10
n
∑ 2x = 342
Efectuando
x =1
Por propiedad
7
∑ 2(12 + 2 2 + 3 2 + .... + 12 2 ) = CDMP
n(n + 1) = 342
x =1
n(n + 1) = 18(19) → n = 18
12(13)(24)(25) 72 = CDMP 6 9100 = CDMP
29.
Calcula: 1 + 2 + 3 + 4 + .... + (x + y)
Si: 2 + 4 + 6 + 8 + .... + x = 650 Además: 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (3 y − 2) = 625 A) 2 140 D) 2 155
B) 2 145
C) 2 150 E) 2 278
x = 25 → 2
x = 50
1 + 3 + 5 + 7 + .... + (3 y − 2) = 625 3y − 2 + 1 2
2
30 sumandos
B) 14 960
C) 15 000 E) 10 385
Descomponiendo cada sumando tenemos S = 3 + 8 + 15 + 24 + … 5
7 2
67(68) 67 = = 2 278 ∴ S = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 2 x+y
S = 112 + 22 3 + 33 4 + .......... ..
9 2
= 625
3 y − 1 = 50 → y = 17
-8-
Calcula el valor de la siguiente serie:
A) 14 880 D) 15 100
2 + 4 + 6 + 8 + .... + x = 650
xx + 1 = 25(26) 22
•
31.
CO Pr E of: PACH
Analizando por partes •
∴ C + D + M + P = 10
30
30
30
S = 3 C1 + 5 C2 + 2 C3
30 × 29 30 × 29 × 28 S = 3(30) + 5 + 2 2 6
S =10 385
32. Un tren salió de su paradero inicial con 7 pasajeros y en cada parada suben dos pasajeros más de los que hay. Si al llegar a su paradero final se contaron 574 pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo a recoger pasajeros?
Efectuando
24(1 + 2 + 3 + .... + x) = 864
x(x + 1) = 36 2 x(x + 1) = 8(9)
Comparando x = 8 A) 5 D) 8
B) 6
C) 7 E) 9 34.
Sea x el número de estaciones 1°est
2°est
3°est
7 + 9 + 18 + 36 + …. = 574 Paradero inicial
×2
×2
7+
Evaluando
M = S1 + S 2 + S 3 + S 4 + ........ + S 20
×2
9(2 x − 1) = 574 2 −1
Si S1 , S 2 , S 3 , ...... , S 20 son la suma de
los 20 primeros términos de una P.A., cuyos primeros términos son iguales a uno y sus razones son 1, 3, 5, 7, … , respectivamente; calcula:
A) 76 400 D) 70 300
B) 80 200
C) 4 200 E) 67 400
9(2 x − 1) = 567 2 x − 1 = 63
S1 = 1 + 2 + 3 + ... =
x=6 S 2 = 1 + 4 + 7 + ... =
Por lo tanto, se detuvo en 6 estaciones.
CO Pr E of: PACH
33. Sobre el piso se ha dibujado un polígono regular de 24 metros de lado, un atleta se para sobre uno de los vértices y recorre todo el polígono; y luego repite el proceso sucesivamente recorriendo en cada día un lado menos. Si ha recorrido en total 864 m, ¿cuántos lados tienen el polígono? A) 5 D) 8
B) 6
C) 7 E) 9
2°día
3°día
último día
20
∑ (3n − 2)
n =1
20
∑ (5n − 4)
n =1
S 20 = 1 + 40 + 79 + ... =
20
∑ (39n − 38)
n =1
Reemplazando M=
20
∑ [n + (3n − 2) + (5n − 4) + ... + (39n − 38)]
n =1
M=
20
∑ (400n − 380)
n =1
20
1°día
n =1
S 3 = 1 + 6 + 11 + ... =
M = 400 ∑ n −
Sea x el número de lados del polígono
20
∑n
n =1
20
∑ 380
n =1
20 × 21 M = 400 − 380(20) → 2
M = 76 400
24 x + 24(x − 1) + 24(x − 2) + .... + 24(1) = 864
-9-
35.
Dado el siguiente arreglo numérico: Agrupando términos convenientemente 2 4
6
8 10 12 14 16 18 20 … … … … … … … … ... .... ...
B) 27 030
C) 23 050 E) 24 050
Analizando los últimos términos de cada fila F1 →
2 8
F3 → F29 →
→ 1× 2
4
F2 →
…
F30 → 872
6
10 …
…
→ 2× 3
12 …
…
×
1
2
×
1
×
2
1
×
2
1
3
×
1
3
×
1
3
Aplicando suma límite
Halla la suma de la fila 30. A) 23 804 D) 23 804
1 1 1 1 1 1 S = 1 + + + + .... + 1 + + + + .... 2 4 8 3 9 27
…
← 29× 30
930
1−
1 2
1
+
1−
← 30× 31
→
1 3
S=
7 2
37. Halla la suma de los 40 primeros múltiplos de 5. A) 4 100 D) 4 897
→ 3× 4
870
1
S=
B) 4 200
C) 4 350 E) 4 219
S=5 15 + 20 + .... +10 +
Piden
40 sumandos
CO Factorizando 5 Pr E H C Se observa que la serie correspondienteoaf :la P fila A
S = 5(1 + 2 + 3 + … + 40) 40(41) S = 5 2
30 es aritmética de razón 2, es decir
S = 4 100 S = 872 + 874 + 876 + .... + 930 930 + 872 S = 30 2
38.
∴ S = 27 030
36.
Calcula: S = 5 + 12 + 21 + ..... + 480
A) 3 658 D) 3 467
B) 3 710
Calculando el número de términos
Halla la suma de: 1 1 1 1 1 1 1 S = 2+ + + + + + + + ..... 2 3 4 9 8 27 16
S = 5 + 12 + 21 + 32 + … … + 480 7
A) 7/2 D) 185 - 10 -
B) 5
C) 3 560 E) 3 740
C) 5/4 E) 7/9
9 2
11 2
Donde
t n = n 2 + 4n
→
480 = n(n + 4)
n = 20
6 ; 15 ; 24 ; 33 ; … 9
Entonces S = 5C
20 +7 1
C
20 +2 2
C
20 3
9
9
→
t n = 9n − 3
t 0 = 6 − 9 = −3
20 × 19 20 × 19 × 18 S = 5 (20) + 7 + 2 2 6
Calculando el lugar que ocupa el tercer término que termina en 5 9 n − 3 = ... 5
S = 100 + 1 330 + 2 280
→
9 n = .... 8 ↓ 2 12 22
S = 3 710
39.
Luego el tercer término que termina en 5 es
Calcula:
t 22 = 9(22) − 3
S = 1+ 3 + 2 +2 + 6 + 4 + 3+ 9 + 6 +....... 100 sumandos
A) 3 500 D) 3 600
B) 3 200
C) 3 400 E) 3 800
→
t 22 = 195
Piden calcular S = 6 + 15 + 24 + .... + 195 6 + 195 S= 22 2
→
S = 2 211
Agrupando convenientemente S = (1+3+2) + (2+6+4) + (3+9+6) + .... + (33+99+66) + 34 33 grupos de 3
Pr
S=6 24 +12 +18 + +....... + 34 33 sumandos
41.
Calcula el valor de S: S = 1 × 99 + 2 × 98 + 3 × 97 + ..... + 50 × 50
CO E of: PACH A) 79 456
B) 84 575
D) 45 237
C) 67 890 E) 23 469
Factorizando 6 S = 6(1 + 2 + 3 + 4 + .... + 33) + 34
33(34) S = 6 + 34 2
La serie es de la forma →
50
∑ n(100 − n)
n =1
S = 3 400
S=
50
∑ (100n − n 2 )
n =1
50
40. Calcula la suma de los términos de la siguiente sucesión considerada hasta el tercer término que termina en 5. 6 , 15 , 24 , 33 , … A) 2 456 D) 2 211
B) 2 347
C) 3 377 E) 2 112
S = 100 ∑ n − n =1
50
∑ n2
n =1
50 × 51 50 × 51 × 101 S = 100 − 6 2 S = 84 575
- 11 -
42. Un camionero lleva ladrillos de un depósito a su fábrica y lleva la primera vez 28, pero se le caen 7, entonces decide aumentar 16 ladrillos por viaje con respecto a cada viaje anterior, pero las caídas aumentan de viaje en viaje en 4 ladrillos. Si desea acumular 2700 ladrillos, ¿cuántos viajes debe hacer? A) 20 D) 15
B) 17
Desdoblando cada sumando S = (12 + 1) + (12 + 4) + (12 + 9) + .... + (12 + 625) S = (12 + 12 ) + (12 + 22 ) + (12 + 3 2 ) + .... + (12 + 252 )
Agrupando convenientemente 2 2 2 2 S = 12 + 12 + 12 + .... + 12 + (1 + 2 + 3 + ... + 25 )
C) 16 E) 12
25 veces
S = 25(12) + 1° 2° 3° 28 ; 44 ; 60 ; …
Lleva Se le caen
7
x°
21 + 33 + 45 + ..... = 2700
Del enunciado
S = 300 + 5 525
→
S = 5 825
; 11 ; 15 ; …
21 ; 33 ; 45 ; …
Acumula
25(26)(51) 6
12
12
x
x
21 C1 + 12 C 2 = 2700
44. Calcula el valor de: S = (2009 − 1)(2008 − 2)(2007 − 3)....(1 − 2009) A) 1 D) 0
B) 2 009
C) 2 007 E) 1 006
x(x − 1) 21x + 12 = 2700 2 P
CO E rof: PACH S = (2009 − 1)(2008 − 2)(2007 − 3)....( 2 − 2008)(1 − 2009) 6 x 2 + 15 x = 2700
2x 2 + 5 x − 900 = 0
Simplificando
Donde
x − 20 = 0
2x
+45
x
− 20
→
x = 20
Por lo tanto, debe hacer 20 viajes.
43.
Calcula: S = 13 + 16 + 21 + 28 + 37 + ...... + 637
A) 5 345 D) 5 673
- 12 -
B) 5 789
C) 5 349 E) 5 825
Se observa que S tiene un número impar de factores, siendo el factor central (1005 − 1005) cuyo resultado es cero; y el producto de un número por cero siempre es cero ∴ S=0
45. Siendo m y n enteros positivos; halla m – n. Si: 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n + 1) = 6 + 8 + 10 + .... + 2m A) 5 D) 1
B) 4
C) 0 E) 2
47.
Indica la suma de cifras del resultado de: S = 9 + 99 + 999 + ........ + 999...99
1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n + 1) = 6 + 8 + 10 + .... + 2m
40 cifras
2
2n + 1 + 1 = m(m + 1) − (2 + 4) 2 2
2
(n + 1) = m + m − 6
A) 56 D) 40
B) 55
C) 45 E) 35
(n + 1) 2 = (m − 2)(m + 3)
Sumando y restando 1 a cada término En el segundo miembro se observan 2 factores que se diferencian en 5 cuyo producto es un cuadrado perfecto, es decir 62 = 4 × 9
S = (10 − 1) + (10 2 − 1) + (10 3 − 1) + .... + (10 40 − 1) S = (10 + 10 2 + 10 3 + .... + 10 40 ) + 40(−1)
S = 1111 1110 ..... − 40
(5 + 1)2 = (6 − 2)(6 + 3)
n=5 m=6
→
∴ m−n =1
41 cifras
S = 1111 1070 ..... 41 cifras
∴ Suma de cifras = 38(1) + 7 = 45
46. Víctor observó que su secretaria había hecho 48. Sabiendo que la suma de 20 números 37 llamadas telefónicas hasta el 14 de diciembre. impares consecutivos es 400, halla la suma de los El día 15 hizo 2 llamadas, el 16 hizo 4 llamadas, 20 posteriores a los 20 siguientes números el 17 hizo 6 llamadas y así sucesivamente hasta el O consecutivos, si todos son positivos. impares fin de mes. ¿Cuál es el total de llamadas Pr que hizo HEC la secretaria en el mes de diciembre? of : PAC A) 2 000 B) 800 C) 1 200 D) 2 405 E) 3 300 A) 343 B) 351 C) 365 D) 357
E) 368 Sea la suma 20 sumandos
Del enunciado 14 días
37
17 días
15
16
17
+ 2 + 4 + 6 + ......
2 +4 ....) ∴ Total de llamadas = 37 + ( + 6+ 17 sumandos
= 37 + 17(18) = 343
x + (x + 2) + (x + 4) + ..... = 400 2
2
20
20
x C1 + 2 C 2 = 400
20 × 19 20x + 2 = 400 2 x =1
Es decir la suma se trata de los 20 primeros números impares, entonces - 13 -
lo que piden 1+ 3 + 5 + ....+ 39 + 41 + ....... + 79 + 81 .......... + 119 20 términos 40 términos 60 términos
50.
Halla “K” en: K=
A) 24/25 D) 13/25
1 1 1 1 + + + .... + 2 6 12 600
B) 18/25
C) 17/25 E) 11/25
∴
Suma de los 20 posteriore s 2 2 = 60 − 20 = 2 000 a los 20 siguientes números impares
K=
49. Se contrata un obrero para cavar un pozo de cierta profundidad. El costo de S/. 6 para el primer metro y S/. 4 más para cada metro adicional; si el obrero recaudó 720 soles por cavar el pozo. ¿Cuál es la profundidad del pozo? A) 15 D) 21
B) 17
1 1 1 1 + + + .... + 1× 2 2 × 3 3 × 4 24 × 25
Desdoblando K = 1−
1 1 1 1 1 1 1 + − + − + ...... + − 2 2 3 3 4 24 25
K = 1−
1 25
→
24 25
K=
C) 18 E) 23 Conteo de figuras
Sea x la profundidad del pozo 1°
Costo por metro
Del enunciado
2°
3°
6 ; 10 ; 14 ; …
x°
51. Halla el número máximo de segmentos de recta en el dibujo
CO E of: PACH A) 30 6 + 10 + 14 + ..... = 720
E
Pr
4
4
6C
x +4 1
C
x = 720 2
N
B) 25 C) 15 D) 26 E) 43
H O R A
2x 2 + 4 x = 720
Simplificando
Donde
x − 18 = 0
x 2 + 2x − 360 = 0
N
x
+20
H
x
−18
O
→
R
x = 18
Por lo tanto, la profundidad del pozo es de 18 metros.
- 14 -
E
A
5
U
B
x(x − 1) 6x + 4 = 720 2
N
E
A
5(6) = 15 2
4 3 2 2
1
B
4
3
U
E
5
N
∴ N° de segmentos = 2(15) = 30
A
5(6) = 15 2
52. Determina el número de triángulos de la figura.
54. Indica el máximo número de ángulos agudos en la siguiente figura:
A) 24 B) 16 C) 17 D) 19 E) 21
A) 28 B) 24 C) 20 D) 12 E) 21
<) AOB (ángulo recto)
A 1
1
2
3 4
5
6
2
3
4
5 6
O
∴ N° de triángulos =
6(7) = 21 2
53. Determina cuántos triángulos se pueden contar en total en la siguiente figura: A) 252 B) 256 C) 250 D) 261 E) 84
Pr
of:
B
6(7) − 1 = 20 2
∴ N° de ángulos agudos =
55. ¿Cuántos cuadriláteros como máximo hay en la siguiente figura?
A) 10 CB)O12 E C) 14 PACH D) 16 E) 18
f d 1
2 3
1
2
3
4
∴ N° de triángulos =
5
6
e
c
7
a 4
5 8
8(9) × 7 = 252 2
b
Contando cuadriláteros
6 7
De 1 letra : a, b, c, d, e, f De 2 letras : ab, de De 3 letras : abc, def
→ 6 → 2 → 2
∴ N° total de cuadriláteros = 10
- 15 -
56. Indica la cantidad de cuadrados que hay en la figura cuadrada:
N° de cuadrados = 2 + 6 + 12 + 20 = 40 Por lo tanto, N°de cuadriláteros = 150 − 40 = 110 no cuadrados
A) 14 B) 17 C) 19 D) 16 E) 24
58. Halla el total de paralelepípedos que no son cubos.
Contando cuadrados
A) 900 B) 60 C) 90 D) 810 E) 720
→ 10 → 2 → 3 → 1
De 1 región simple De 2 regiones simples De 4 regiones simples De 12 regiones simples
Total = 16
57. Halla el total de cuadriláteros no cuadrados en la siguiente figura: 3
A) 160 B) 100 C) 120 D) 140 E) 110
2
4 3 4 5 2 23 1 1
Analizando por partes
Pr
CO E of: PACH • N° de paralelepípedos = 3(4) × 4(5) × 5(6) = 900 2
2
2
• N° de cubos = 3(4)(5) + 2(3)(4) + 1(2)(3) = 90 Por lo tanto,
•
1
2
3
4
N°de paralelepípedos = 900 − 90 = 810 que no son cubos
5
2 3 4
N° de cuadriláteros = •
1 2 3 4
- 16 -
2
3
5(6) 4(5) × = 150 2 2 4
5
6
Se multiplican
12 20
59. ¿Cuántos cubitos hay en total en el siguiente sólido? A) 50 B) 61 C) 59 D) 52 E) 56
Analizando por bloques
1 2
20
1
20
2
3
4
1 2
5
4
3
5
4
7
7(8) = 28 2
6
4(5) = 10 2
6(7) = 21 2
11 1
∴ N° de segmentos = 21 + 10 + 28 = 59
∴ N° de cubitos = 1 + 11 + 20 + 20 = 52 62. 60.
Calcula el máximo número de semicírculos.
A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100
4
3
5
1
2
A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 29
1
6
7 CO Pr E 8o diámetros f: PACH
2 1
Halla el número de triángulos en:
3
4
5 círculos
2
3 4
5
6
7
8
De 1 #
: 2; 3; 4; 6; 7; 8
→ 6
De 2 #s
: 23; 34; 25; 67; 78; 56
→ 6
De 3 #s De 5 #s
: 123; 456; 258; 167; 458 : 23458; 45678
→ 5 → 2
De 8 #s
: 12345678
→ 1
∴ N° de semicírculos = 2(8) × 5 = 80 ∴ N° total de triángulos = 20
61.
Halla el total de segmentos en:
A) 58 B) 59 C) 60 D) 61 E) 70
x y
P Q
z E
S
T
w U α β
63.
D
I
K L
A
R
Calcula el número de triángulos.
A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 31 - 17 -
65. Las edades de dos personas coinciden con el número de triángulos y cuadriláteros que posean al menos un asterisco (*) en su interior. ¿Cuál es el promedio aritmético de las edades?
3 4
1 2 5
Contando triángulos en la región sombreada De 1 # De 2 #s De 3 #s De 5 #s
: : : :
→ → → →
1; 2; 3; 4; 5 23; 34; 45; 52 123; 125 12345
5 4 2 1
12
A) 50 B) 48 C) 52 D) 63 E) 60
∗
∗
∗ ∗
∗
∗
∴ N° total de triángulos = 12×2 = 24 13 triángulos
64. ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura?
∗ ∗
∗
13 cuadriláteros
∗
∗
∗ ∗
∗
∗
Figura 2
De la figura 1 N°de triángulos con
O al menos un asterisco = C Pr E of: PACH De la figura 2 1 4
: : : : : :
6(7) × 3 − 13 = 50 2
N°de cuadriláteros con 6(7) 2(3) × − 13 = 50 = 2 2 al menos un asterisco
2
3 5 7 6
8
9
∴ Promedio =
a
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; a 12; 34; 45; 56; 63; 78; 89; 9a; a7
143; 145; 289; 287 657a; 4578 13456; 2789a 123456789a
∴ N° total de triángulos = 11
- 18 -
∗
∗
Figura 1
A) 28 B) 23 C) 25 D) 37 E) 39
De 1 # De 2 #s De 3 #s De 4 #s De 6 #s De 10 #s
∗
→ 10 → 9 → 4 → 2 → 2 → 1
50 + 50 = 50 2
66. Calcula el número de cuadriláteros no cuadrados. A) 620 B) 621 C) 622 D) 623 E) 624
Del gráfico
1
2
3
4
5
……
10
8(9) 6(7) × = 756 • N° de cuadriláteros = 2 2
• N° de cuadrados 8(6) + 7(5) + 6(4) + 5(3) + 4(2) + 3(1) = 133 N°de cuadriláteros ∴ = 756 − 133 = 623 no cuadrados
N° de triángulos 67. Calcula circulares.
el
máximo
número
sectores
en la región sombreada eneltodo 1(2) 2(3) 3(4) 10(11) 10(11) = + + + .... + + 2 2 2 2 2
=
A) 12 B) 14 C) 15 D) 17 E) 13
10(11)(12) + 55 6
= 275
O
69. Determina la cantidad de triángulos que se observan en la figura. 1
1
1 2
1
O
2
3
3
∴ N° total de sectores =
A) 29 B) 28 CC)O26 Pr 1 sector E of: PACH D) 22 E) 19
3(4) 3(4) + + 3 = 15 2 2
Analizando por niveles
4(5) = 10 2
123 4
68.
Calcula el máximo número de triángulos. 1 1
A) 275 B) 276 C) 278 D) 290 E) 291
2 3 4 5 6
……
10 11
1 2 3 1
2
3(4) =6 2
3 4
4(5) = 10 2 2
2(3) =3 2
∴ N° de triángulos = 3+10+6+10 = 29
- 19 -
70. ¿Cuántos trapecios hay como máximo en la siguiente figura? A) 120 B) 130 C) 135 D) 140 E) 196
72. Si la rueda dentada 1 gira en el sentido horario. Indica cuáles se mueven en sentido antihorario. 1
A) 2, 5 B) 3, 4, 7 C) 2, 5, 6 D) 2, 7 E) 2, 5, 6, 7
En la región sombreada se cuentan 7 trapecios diferentes
1 2 3 4 5 6 7
3 5
6
7
1 2 4 6
∴ N° total de trapecios =
2 4
7(8) × 7 = 196 2
∴ 2, 5 y 6 giran en sentido antihorario
3 5 7
73. ¿Cuántos triángulos se cuentan en total en el siguiente grafico? 71. ¿Cuántos cubos tocan por lo menos en una de las esquinas a los cubos 1 y 2 respectivamente, de la figura mostrada?
Pr
A) 8 ; 12 B) 13 ; 9 C) 10 ; 6 D) 12 ; 7 E) 10 ; 4
of:
A) 10 B) 15 O C)C20 E PACH D) 22 E) 24
1 2 1 → 1 triángulos 2 → 2 triángulos
1
Del gráfico
1
cubo 1 N° de contactos entre caras 2 N° de contactos entre aristas 6 N° de contactos entre vértices 2 Total
- 20 -
10
cubo 2 2 3 1 6
1 1
2 2
1
3 → 3 triángulos
2
4 → 4 triángulos
3 3
2
4 3
∴ N° total de triángulos =
5 → 5 triángulos 4
5 → 5 triángulos
5(6) + 5 = 20 2
74. ¿Cuántos triángulos se cuentan en total en el siguiente grafico mostrado? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
∴ N° de segmentos = 4(3) + 5(15) + 2(10) = 107
76. ¿Cuántos triángulos se cuentan en total en el siguiente grafico mostrado? A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60
3 4 2 1
De 1 # De 2 #s De 3 #s De 4 #s De 7 #s
: : : : :
7 6
5
→ → → → →
1; 3; 5; 7 23; 45; 67; 27; 47; 16 123; 345; 561 2347; 4567; 1276 1234567
4 6 3 3 1
Del gráfico N°de triángulos =
2(3) 3(4) 4(5) 5(6) 6(7) + + + + = 55 2 2 2 2 2
77. ¿Cuántos triángulos hay en total en la siguiente figura?
∴ N° total de triángulos = 17
CA)O15 75. ¿Cuántos segmentos se cuentan en la Pr E 21 of: PACH B) siguiente figura? C) 22 D) 25 A) 110 E) 24 B) 107 C) 96 D) 11 E) 90
5(6) = 15 2
5(6) = 15 2
3
15
1
2
3
4
5
2
1
5(6) = 15 2
4(5) = 10 2 10 5(6) = 15 2
3 triángulos
1
en la región sombreada
3 2
4
5 3
5(6) = 15 2 3(4) =6 2
∴ N° total de triángulos = 15 + 6 + 3 = 24
- 21 -
78. Determina la suma del número total de pentágonos y el número total de segmentos en la siguiente figura. A) 111 B) 96 C) 105 D) 99 E) 100
80. Halla el número de triángulos que hay en total en la siguiente figura.
Figura 1
1
2
∴ N° total de hexágonos = 21 + 6 = 27
3
Figura 2
4
5
6(7) = 21 2
1 2 4
4
4
3
4
4
A) 30 D) 33
B) 31
C) 32 E) 34
4
De la figura 1 N°pentágonos =
4(5) = 10 2
5(6) × 2 = 30 2
1
De la figura 2 N°segmentos = 6(4) + 3 + 2(21) = 69
2
CO P E Por lo tanto, la suma de ambos es 99. ro f: PACH
79. ¿Cuántos hexágonos hay en total en la siguiente figura? A) 25 B) 27 C) 29 D) 31 E) 9
3
4
2 3 4
1 1
2
3
4
4(5) = 10 2
4(5) = 10 2
∴ N° total de triángulos = 3(10) +
sombreado
1
= 31
81. Halla el total de cuadrados en la figura siguiente: A) 65 B) 67 C) 69 D) 57 E) 55 6(7) = 21 2
- 22 -
1
3(4) =6 2
Cuadrados que se intersecan
83. Halla el total de diagonales que se pueden trazar en la siguiente figura. 5(3) + 4(2) + 3(1) = 26 7(3) + 6(2) + 5(1) = 38
A) 151 B) 155 C) 302 D) 310 E) 312
5(6)(11) = 55 6
5 cuadriláteros más
∴ N° total de cuadrados = 38 + 55 – 26 = 67
1 2 3 4 5 2 3 4
82. ¿Cuántos sectores circulares se cuentan en total en la siguiente figura? A) 169 B) 168 C) 112 D) 148 E) 118
Del gráfico N° de cuadriláteros =
5(6) 4(5) × + 5 = 155 2 2
∴ N° de diagonales = 2(155) = 310
84.
¿Cuántos segmentos hay en total?
CA)O45 Pr E of: PACH B) 80 Sea n el número de sectores simples, entonces
C) 85 D) 95 E) 91
N°de sectores en una círculo = n(n − 1) 10
1 8
2 3 7 6
10
4(5) = 10 2
15
4 5
15 1
3
N° total de sectores = 8 ( 7 ) × 3 = 168
10
2
3
4
5
3
5(6) = 15 2
∴ N° de segmentos = 2(3) + 4(10) + 3(15) = 91
Círculos
- 23 -
85. Calcula el total de cubos en la siguiente figura (cada paralelepípedo simple es un cubo).
2(1) 2(3) 2(4)
A) 90 B) 80 C) 84 D) 100 E) 60
2(4) 2(2)
Del gráfico N°de cubos = 5(4)(3) + 4(3)(2) + 3(2)(1) = 90
∴ N° de semicircunferencias = 2(14) = 28
88. Determina el total de cubos. 86. Halla la cantidad de ángulos agudos en la siguiente figura. A) 25 B) 23 C) 20 D) 27 E) 21
A) 20 B) 24 C) 23 D) 25 E) 29
Del gráfico B 5 3 2 1
A
Pr
CO E of: PACH
N°de cubos = 24 + 5 = 29
1
4
2 3 4
O
C
5(6) 4(5) + − 2 = 23 ∴ N°de ángulos agudos = 2 2
89.
¿Cuántos cuadriláteros hay en total?
A) 70 B) 30 C) 130 D) 100 E) 110
87. ¿Cuántas semicircunferencias se cuentan como máximo en la siguiente figura? A) 26 B) 24 C) 30 D) 32 E) 28 - 24 -
5 cuadriláteros ende la forma
1 2 3 4 5 4 3 21
4(5) = 10 2
Del gráfico se observa 2 tipos de cuadriláteros, entonces N° total de cuadriláteros = 7(10) + 6(5) = 100
Contando el número de cubitos tendremos 34 cubitos, además podemos observar que el cubo más pequeño que podemos completar tiene 4 aristas, es decir N° de cubitos que faltan = 4 3 − 34 = 30
90.
¿Cuántos triángulos hay en total? 92. ¿Cuántos cuadriláteros hay en total en la siguiente figura?
A) 83 B) 100 C) 105 D) 107 E) 101
2
3
6 5
4
A) 21 B) 23 C) 25 D) 26 E) 28 3 6(7) = 21 2 6(7) = 21 2
5(6) = 15 2 3(4) = 12 2 2(3) =3 2
1
1
1
4(5) = 10 2 3(4) =6 2
1 1
1
CO Pr E of: PACH Del gráfico
N° total de triángulos = 107
2
3
1
1
2
1
1
N°de cuadriláteros =
3(4) 2(3) × + 7 = 25 2 2
2(21) + 10 + 6 + 1 + 15 + 12 + 3 + 6 + 5 + 4 + 2(3) + 2 + 1
93.
Calcula el total de troncos de pirámide.
91. ¿Cuántos cubitos faltan como mínimo para completar un cubo compacto? A) 34 B) 30 C) 32 D) 28 E) 36
A) 480 D) 720
B) 600
C) 520 E) 640 - 25 -
Dividiendo la figura en dos bloques, se tiene 1
95. Determina el número de triángulos en la figura mostrada:
2
1 2 3 4
2
3
4
4(5) 4(5) 2(3) N ° de troncos de × = 2 × = 600 2 2 pirámide 2
A) 46 D) 50
B) 44
10
4(5) = 10 triángulos 2
1 2 3 4
94. ¿Cuántas pirámides de base cuadrangular existen en la siguiente figura? A) 306 B) 270 C) 300 D) 296 E) 292
C) 49 E) 48
10 10
Además las 2 diagonales determinan en el cuadrado O 8 triángulos
EC of: PACH ∴ N° total de triángulos = 4(10) + 8 = 48 Calculando el número de cuadriláteros en la base Pr
2 1 2 3 4 5
3
N°de cuadriláteros =
En la región sombreada se cuentan 12 cuadriláteros más
∗ 3(4) 5(6) × + 12 = 102 2 2
Como la pirámide tiene 3 bases, entonces N° de pirámides de ∴ = 102 × 3 = 306 base cuadrangular
- 26 -
96. Halla el número de cuadriláteros que contengan un solo asterisco, en la siguiente figura: ∗
∗ A) 19 B) 18 C) 16 D) 15 E) 17
Del gráfico con 3 asteriscos con 2 asteriscos sin asterisco
N°de cuadriláteros 3(4) 3(4) × − (12 + 4 + 1) = 19 = 2 2 con un asterisco
Huánuco, 14 de febrero de 2014
Pr
CO E of: PACH
- 27 -
