Conteo de Figuras

CONTEO DE FIGURAS CONTEO DE FIGURAS Para algunos de estos problemas se dispone de ciertos métodos sistemáticos o fórmulas preestablecidas, mientras que para otros solo podemos contar con nuestra intuición e imaginación para obtener la solución. Haremos entonces un estudio por separado de los casos que se conoce.

La figura debe ser un cuadrado de n x n n = # de casilleros por lado. ii) La figura principal es un rectángulo 1 2 3 2

m

FÓRMULAS PARA CASOS NOTABLES

A. CONTEO DE SEGMENTOS.2

1

…

3

Fórmula: #s =

n-1

n

n

Fórmula: Nº de cuadrados: m.n + (m–1)(n-1)+(m-2)(n-2)+…

n (n  1) 2

D. CONTEO DE CUBOS Y PARALELEPÍPEDOS B. CONTEO DE TRIÁNGULOS Fórmula: n(n  1)

#t =

1

n

…

3

2

i) Conteo de Cubos (Cubos simples) Fórmula:

2

 n(n  1)    2 

2

Nºcubos= 

#t = Nº de triángulos n = # de espacios en la base

n = #casilleros por n

C. CONTEO DE CUADRILÁTEROS i) 2

1

Fórmula:

…

3

n 1

1 2

lado

2

Pero si el sólido es un paralelepípedo formado por cubos simples, entonces:

4

#c = Nº de

n(n  1)

#c 

2 1

2

cuadriláteros

ii)

m

n = #espacios en la Fórmula: base

m  2 1

2

3

…

4

n

#c 

n(n  1) m (m  1) 4

n = #casilleros en la base m = # casilleros sobre un lado A. CONTEO DE CUADRADOS: i) La figura principal es un cuadrado.1 2 3 4 2 3 4

p

2 1

2 1 2

n

Fórmula: Nºde cubos = mxnxp+(m–1)(n-1)(p-1)+(m-2)(n-2)(p2)+… Y se continúa hasta que uno de los factores sea 1. ii) Conteo de Paralelepípedos. Nºde cubos = mxnxp+(m–1)(n-1)(p-1)+(m-2)(n-2)(p-2)+…

n n

p

2 1

2 1 2

n

Fórmula: #

Nº de paralelepípedos: S

=

1

n(n  1)(2n  1) 6

m

1

n(n  1) n(m  1) p(p  1) x x 2 2 2

PROBLEMAS NIVEL I

1. Halla el número total de segmentos en: a) 10 b) 15 c) 20 I E T R C d) 25 e) 30 2. Hallar el número total de ángulos en: T R a) 10 I b) 15 c) 20 L d) 25 C e) 30 3. Hallar el número total de triángulos en: E a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 4. Hallar el número de cuadriláteros en: a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 5. Hallar la cantidad total de segmentos que se cuentan en: a) 200 b) 10 c) 110 d) 202 e) 100 6. ¿Cuántos segmentos hay en la figura mostrada? a) 22 b) 23 c) 24 d) 28 e) 32 7. ¿Cuántos segmentos se pueden contar? a) 40 b) 43 c) 50 d) 60 e) 90 8. Hallar el número total de ángulos agudos que se pueden contar. B a) 8 b) 21 c) 23 d) 28 e) 30 A

C

9. Hallar el número total de ángulo agudos en:

a) 10 b) 20 c) 30 d) 31 e) 32 10. Hallar el número de ángulos agudos que se B C pueden contar. a) 24 b) 30 A D c) 60 d) 72 e) 78 E

F

11. ¿Cuántos segmentos existen en total? a) 495 1 b) 715 2 c) 1210 3 d) 1320 9 10 e) 1410 12. Calcular el número total de ángulos agudos en algún punto del perímetro del cuadrado. 1

2

9

a) 190 b) 189 c) 197 d) 201 e) 198

9 1

13. En una avenida se ubican postes espaciados a igual distancia de tal manera que se pueden contar 45 separaciones de postes. ¿Cuántos postes hay en la avenida?. a) 44 b) 45 c) 9 d) 10 e) 11 1. Hallar el número total de segmentos en: a) 7 b) 8 c) 28 A E S T U D I R d) 36 e) 40 2. Hallar el total de ángulos en: P

a) 9 b) 8 c) 45 d) 36 e) 90

R A

C T I C

R

A

3. Hallar el total de triángulos que se puede contar en: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

4. Hallar el total de cuadriláteros que se pueden contar en: a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 5. Hallar la cantidad total de segmentos que se observan en: a) 12 b) 35 c) 178 d) 70 e) 108 6. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?. a) 8 b) 6 c) 48 d) 24 e) 12 7. ¿Cuántos segmentos se pueden contar?. B

a) 165 b) 105 c) 60 d) 30 e) 90

A

C

8. Hallar la cantidad de ángulos que se observan en el vértice “A”. B a) 12 b) 15 c) 17 d) 21 A C e) 25 9. ¿Cuántos ángulos hay en la siguiente figura?. a) 130 12 b) 132 3 1 c) 134 12 3 0 d) 136 1 e) 138 0 10. ¿Cuántos ángulos agudos se pueden contar?.

11. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura? a) 21 b) 42 c) 133 d) 56 e) 112 12. Hallar el total de triángulos en: a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 13. Hallar el total de cuadriláteros en: a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 1. Hallar el número de triángulos en: a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18 2. Hallar el número de cuadriláteros en: a) 7 b) 14 c) 21 d) 28 e) 35 3. Hallar el total de triángulos que se observan. a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 4. Hallar el total de triángulos. a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

C

a) 15 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40

5. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? D

B

A

E

a) 31 b) 33 c) 36 d) 38 e) 40 6. Hallar el total de cuadriláteros que se observan.

a) 100 b) 120 c) 150 d) 155 e) 160

12. ¿Cuántos pentágonos se cuentan en la figura? Y ¿Cuántos hexágonos?. a) 7 y 30 b) 6 y 15 c) 7 y 15 d) 5 y 15 e) 6 y 30

7. ¿Cuántos paralelogramos hay en la siguiente figura?. a) 5 b) 6 c) 30 d) 15 e) 20 8. ¿Cuántos rectángulos hay en la siguiente figura? a) 126 b) 136 c) 138 d) 140 e) 142

13. En una hoja cuadrada de 10 cuadraditos por lado. Si se traza una diagonal. ¿Cuántos triángulos se cuentan en total?. a) 40 d) 110

10. Hallar el número de sectores circulares. a) 10 b) 20 c) 23 d) 26 e) 30 11. En el gráfico hallar la diferencia entre el número total de cuadriláteros y el número total de triángulos que se pueden contar. a) 76 b) 92 c) 16 d) 28 e) 30

c) 55

1. Hallar el número de triángulos en: a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24 2. Hallar el número de cuadriláteros en:

9. Hallar el número de semicírculo. a) 8 b) 16 c) 24 d) 32 e) 36

b) 45 e) 100

a) 7 b) 8 c) 28 d) 56 e) 60 3.

Hallar el total de triángulos que se observan: a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

4. Hallar el total de triángulos. a) 30 b) 36 c) 42 d) 48 e) 50 5. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 30 b) 36 c) 39 d) 40 e) 20

6. Hallar el total de cuadriláteros que se observan. a) 18 b) 126 c) 130 d) 133 e) 135

a) 8 b) 9 c) 72 d) 36 e) 73 13. En una hoja cuadrada de 20 cuadraditos por lado. ¿Cuántos cuadrados se pueden contar?.

7. ¿Cuántos trapecios hay en la siguiente figura?. a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 8. ¿Cuántos rectángulos hay en la siguiente figura? a) 71 b) 73 c) 75 d) 77 e) 78

a) 40 d) 70

b) 400 e) 287

c) 2870

NIVEL II

1. ¿Cuántas pirámides de base cuadrangular hay en la figura? a) 52 b) 54 c) 48 d) 62 e) 39 2. En la figura

9. Hallar el número de semicírculos en: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 10. Hallar el número de sectores circulares en: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

11. En la figura hallar la diferencia entre el número total de cuadriláteros y el número total de triángulos que se cuentan. a) 75 b) 150 c) 80 d) 160 e) 170 12. ¿Cuántos hexágonos se cuentan en la figura?.

I. ¿Cuántos cuadriláteros hay? II. ¿Cuántos cuadrados hay? III. ¿Cuántos cuadriláteros que cuadrados se pueden observar? a) 190; 10; 120 b) 195; 20; 130 c) 200; 30;140

no

son

d) 205;40;150 e) 210;50;160

3. Halle el número total de trapecios circulares. a) 100 b) 90 c) 80 d) 70 e) 60 4. ¿Cuántos cuadriláteros existen, como máximo, en la siguiente figura? a) 32 b) 34 c) 35 d) 36

e) 33

a) 60 b) 61 c) 62 d) 63 e) N.A.

(II)

(I)

5. Halle el número de triángulos: 1 2 3 4

20

6. Halle el número total de puntos de corte en:

1

2

a) 150 d) 120

3

b) 160 e) N.A.

20

c) 180

a) 160;320 d) 166;332 b) 164;330 e) N.A. c) 162;328 1. En la figura, ¿Cuántos triángulos poseen en su interior sólo asterisco? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) N.A.

  

2. Calcule el número de triángulos. 7. Halle en la figura: a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) N.A. 3. Calcule el máximo número de segmentos en:

I. II. III. IV.

El número de cubos como el sombreado El número total de cubos El número de paralelepípedos El número de paralelepípedos que no son cubos.

a) 60; 90;900;810 b) 80;100;900;800 c) 60;80;900;820

d) 80;90;900;810 e) N.A.

8. Halle el número de paralelepípedos que no son cubos. a) 75 b) 76 c) 77 d) 78 e) N.A. 9. ¿Cuántos cubitos como mínimo se debe agregar en cada caso para obtener un cubo compacto.

a) 85 b) 86 c) 87 d) 88 e) N.A. 4. Calcule el máximo número de sectores circulares en cada caso. a) 24 y 41 b) 30 y 42 c) 45 y 61 d) 28 y 46 e) 50 y 42

(I)

(II)

5. Determina el máximo número de triángulos en cada caso. a) 49 Y 60 b) 50 Y 61 c) 48 Y 59 d) 47 Y 62 e) N.A.

6. Calcule el número total de puntos de corte entre las figuras dadas. a) 810 b) 800 c) 790 d) 780 e) N.A.

1

2

3

4

5

99

100

7. En la figura , ¿Cuántos cuadrados como máximo se puede contar? a) 201 b) 202 c) 203 d) 205 e) 206 8. Halle el número total de triángulos. a) 40 b) 37 c) 35 d) 32 e) 34 9. Halle el máximo número de cuadriláteros. a) 30 b) 29 c) 28 d) 27 e) 26 10. Halle el máximo número de triángulos. a) 16 b) 26 c) 32 d) 8 e) 40 11. Halle el máximo número de triángulos. a) 44 b) 36 c) 38 d) 40 e) 42