1.
3.
Calcula el número de rectas horizontales en la siguiente figura. M
A
R
A) 15 D) 30
I
L
B) 20
I
Determina cuántos triángulos se pueden
contar en total en la siguiente figura:
A
C) 19 E) 21
A) 76 M
A 1
R 2
I 3
∴ N° de segmentos =
L 4
6(7) 2
I
B) 68
C) 70
D) 84
A
E) 63
5
= 21 1
2.
2
O C
3
E r o H f : P A C
Determina el número de triángulos. P
A) 24 B) 16 C) 17 D) 19 E) 21
1
2
3
∴ N° de triángulos =
4.
4
6(7) 2
5
6
4
× 4 = 84
Indica el máximo número de ángulos agudos
en la siguiente figura:
1
∴ N° de triángulos =
2
3 4
6(7) 2
5
= 21 A) 28 D) 12
B) 24
C) 20 E) 21
- 1 -
Como la figura tiene 4 cuadraditos por lado, entonces
<) AOB (ángulo recto)
A 1
2
∴ N° de cuadrados = 3
4(5)(9) 6
= 30
4 5 6
O
B
∴ N° de ángulos agudos =
5.
6(7) 2
7.
− 1 = 20
Halla el total de cuadriláteros no cuadrados
en la siguiente figura:
Halla el número núm ero de cuadriláteros.
A) 6 B) 30 C) 49 D) 21 E) 36
A) 160
B) 100
C) 120
D) 140
E) 110
Analizando por partes
• 1
2
3
∴ N° de triángulos =
4
6(7) 2
5
1
2
3
4
2
6
= 21 P r o
E
f : P A C H
6.
Indica la cantidad de cuadrados que hay en la figura cuadrada:
O C
3
N° de cuadriláteros =
•
1
3
5(6) 4(5) × 2 2
4
= 150
5
2 Se multiplican
3
A) 40 B) 16 C) 30 D) 36 E) 24
4
N° de cuadrados = 2 + 6 + 12 + 20 = 40
1
2 3
N°de cuadriláteros ∴ = 150 − 40 = 110 no cuadrados
4
2 3 4
- 2
Igual cantidad
8.
Halla el total de paralelepípedos que no son cubos. A) 900 B) 60 C) 90 D) 810 E) 720 720
N°de bloques cúbi cos ∴ = 3 + 2(9) = 21 UTILIZADOS
10.
Determina el número de semicircunferencias en la figura. A) 20 B) 40 C) 32 D) 48 E) 50
2
3 4 2 3 2 1 1
3
Analizando por partes
• N° de paralelepípedos =
4 diámetros
2
3(4) 4(5) 5(6) × × 2 2 2
= 900 1234
1
• N° de cubos = 3(4)(5) + 2(3)(4) + 1(2)(3) = 90 N°de paralelepí pedos ∴ = 900 − 90 = 810 que no son cubos
∴ N° de semicircunferencias =
2(4) × 4 = 32
¿Cuántos diámetros como máximo existen 1 O 1. En la construcc construcción ión mostra mostrada, da, se utiliza utilizaron ron C P E en la figu figura? ra? r o bloques cúbicos de concreto. Determina f : P Ael C H número total de bloques cúbicos. A) 9 B) 16 A) 13 C) 12 B) 21 D) 24 C) 20 E) 32 D) 36 9.
E) 23 3
Analizando la cantidad de bloques por por niveles
3
9
2
1
4 diámetros
1 2
3 #círculos
N° de diám diámet etro ross = 4 × 3 = 12
9
- 3 -
12.
¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
14.
Calcula el máximo número de cuadriláteros
que hay en la siguiente figura:
A) 12 B) 13 C) 11 D) 10 E) 9 A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
2 1
4
3
5
6
a b
Contando triángulos
c
d
→ →
De 1 # : 1; 2; 4; 5; 6 De 3 #s : 134; 134; 136; 136; 236; 236; 235; 235; 345 345
5 5
e
Contando cuadriláteros
→ → →
De 1 le l etra : c De 2 letras : ac, cd De 4 letras : abce, dc dcae
∴ N° total de triángulos = 10
13.
Cuántos triángulos existen en la siguiente figura:
P
∴ N° total de cuadriláteros = 5 O C
E
f : P A C H 15.
r o
1 2 3
Cuántos segmentos existen en la siguiente
figura:
A) 12 D) 10
B) 13
C) 11 E) 9
L
G A) 12
R
O
I
B) 13
A
C) 14
D) 15
E) 16
2 1 3 4
5
G Contando triángulos De 1 # : 1; 1 ; 2; 3; 4; 5 De 2 #s : 12; 23; 34; 41 De 3 #s : 345
∴ N° total de triángulos = 10
- 4
1
→ → →
5 4 1
O
L 2
∴ N° de segmentos =
R 3
5(6) 2
I 4
= 15
A 5
16.
Determina
la
cantidad
máxima
18.
de
segmentos que se pueden contar en la figura:
¿Cuántos triángulos existen en las siguientes
figuras?
A) 12 B) 13 C) 11 D) 10 E) 17
A) 42
B) 44
C) 48
D) 50
2(3) 2
E) 54
Analizando por niveles
=3
3(4)
1
2
=6
1
2(3) =3 2
2 1 1 1
1
1 2(3) 2
1
=3
¿Cuántos triángulos hay en la siguiente
figura?
P
r o
f :
3(4)
2
2 5(6)
3 3
4 4
2 6(7)
5
2
=6 = 15 = 21
∴ N° de triángulos = 6+15+21= 42
∴ N° de segmentos = 1 + 3 + 1 + 3 + 6 + 3 = 17
17.
2
1 2
19.
¿Cuántos sectores circulares existen en la
siguiente figura? O C
E H P A C
A) 14
A) 22
B) 15
B) 24
C) 16
C) 28
D) 18
D) 30
E) 19
E) 32
1 2 3 4 1 2 3 4 5 6
7(8) ∴ N° de triángulos = 2
= 28
∴ N° de sectores circulares =
5(6) 2
= 15
- 5 -
20.
22.
Calcula la cantidad de cuadriláteros.
El númer número o de trián triángul gulos os que que se pued pueden en
contar en la siguiente figura será:
A) 54
B) 55
D) 62
C) 60
A) 24
E) 75
D) 12
B) 18
C) 13 E) 10
2
1
3
2 2
3
∴
1
N° de cuadriláteros =
4(5) 3(4) × 2 2
∴ N° de triángulos =
= 60
23. 21.
¿Cuántos rectángulos hay en la siguiente
figura?
P
¿Cuántos triángulos tiene la figura?
O C
A) 40 A) 524
B) 255
C) 530
D) 233
= 10
E
f : P A C H
r o
4(5) 2
B) 41
D) 43
C) 42 E) 44
E) 441 Analizando los triángulos en la región sombreada sombreada 1
2
3
4
5 1
2 3
1
4 5
∴
- 6
N° de rectángulos =
6(7) 6(7) × 2 2
= 441
2
2 3
2(3) × 3 = 9 triángulos 2
Además las 2 diagonales determinan en el cuadrado grande 8 triángulos
∴ N° de triángulos = 4(9) + 8 = 44 1 barra
24.
1 barra
¿Cuántos triángulos se pueden contar en la
figura?
Por simple inspección vemos que hay 2 barras que están en contacto con otras 8 barras.
1
2
A) 165
…
3
9
26.
10
B) 175
Calcula el total de triángulos.
C) 185
D) 195
1 2 3 4 5
E) 205
1 2 3
A) 42 1
B) 43
C) 44
D) 45
E) 46
2
P 1
2
3
∴ N° de triángulos =
…
O C
r o
9
10(3)(10 + 3) 2
f :
E H P A C
1 2
1
3
= 195 ∴ N° de triángulos =
25.
2
4
5(6) × 3 = 45 2
En la figura mostrada, ¿cuántas son las
barras que están en contacto con, por lo menos, otras ocho barras?
27.
¿Cuántos cuadriláteros que contengan dos
asteriscos existen en la l a figura mostrada?
1
A) 1 D) 4
B) 2
C) 3
A) 2
E) 8
D) 5
2
B) 3
3
4
5
6
C) 4 E) 6 - 7 -
29.
En la figura, cuántos cuadriláteros se pueden
contar en total.
1
2
3
4
5
6
Contando los cuadriláteros que contengan dos asterisco De 3 #
: 123; 345
De 4 #s
: 1234; 2345; 3456
De 5 #s
: 23456
→ → →
2
A) 3
3
D) 9
B) 5
C) 7 E) 11
1
N°de cuadriláteros que ∴ = 2 + 3 + 1 = 6 contengan dos asterisco
2
1 3
28.
5
Halla x + y , si:
6
4 7
Contando cuadriláteros De 1 #
: 3
Triángulos
1
2
3
....
10
De 2 #s
: 36; 34; 56
Vértices
3
6
9
....
x
De 3 #s
: 234
Lados
3
5
7
....
y
De O 4 #s
: 1234
D C e 7 #s E r o H C) 33 f : P A C
P
A) 30
B) 51
D) 21
E) 20
∴
30.
Triángulos
1
2 ×3
Vértices
×2 +1
Lados
Se observa
3
10
×3 ×2 +1
1 3 1 1 1
N° total de cuadriláteros = 7
¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente
figura? ×3
6
.... × 2 +1
x
5
....
y
x = 10(3) → x = 30 y = 10(2) + 1 → y = 21
∴ x + y = 33
- 8
3
....
: 1234567
→ → → → →
A) 21 D) 18
B) 25
C) 30 E) 11
En la figura se puede observar 40 cuadrados 1
compu mpuesto stos de de la la fo forma
2
2
de la forma
3
, ad además 40 40 fi figuras
en la cual se observa 3
cuadrados simples en cada uno, sobrando uno al final, es decir
4
1
∴ N° de cuadriláteros =
4(5) 2(3) × 2 2
2
= 30
3
39 40
31.
Halla el número total de segmentos:
∴ N° de cuadrados = 40 + 40(3) + 1 = 161
A) 23 B) 25 C) 35 D) 43 E) 55
En la siguiente figura 5(6) 5 1
4 2
3 3
2
1
= 15
2
3
P
r o
5
3
O C
2 4
4
1
1
2
f :
E H P A C
n-1 n
5
5(6) 2
= 15
N°de cuadrados
= 4n + 1
∴ N° de segmentos = 2(15) + 5 = 35 N°de cuadriláteros = 10n − 1
32.
Halla el número núm ero total de cuadrados:
A) 123 B) 141 141
33.
¿Cuántos triángulos hay?
1 2 3
1 2 3 20
C) 135 D) 161 E) 125 125
39 40
A) 130 D) 180
B) 150
C) 170 E) 160 - 9 -
Al trazar todas las diagonales se observa la siguiente figura En todo cuadrilátero, en el cual se trazan sus dos diagonales se pueden contar en total 8 triángulos, es decir
→
N°de triángulos = 8 Luego, contando los triángulos que no tienen lados que forman parte de la figura inicial tenemos
A nalizando nalizando por inducción N° de triángulos
→
1
→
1 2
→
1 2 3
1
= 8(1)
4
16 = 8(2)
Contando triángulos
8
7
3 6
2 5 8
De 1 #
: 1; 2; 7; 8
De 2 #s
: 13; 23; 67; 68
De 3 #s
: 135; 234; 567; 468
→ → →
24 = 8(3)
∴ P Luego, para la figura dada
O C
E
f : P A C H
r o
N° total de triángulos = 12
35.
¿Cuántos triángulos hay?
∴ N° de triángulos = 8(20) = 160 A) 17 B) 18 C) 19 34.
En la figura, trace todas las diagonales que
sean posibles. ¿Cuántos triángulos existen tal que,
D) 20 E) Más Más de 20
en ningún caso, algún lado del triángulo forme parte de la figura inicial?
Del gráfico
↓
∴ A) 10 D) 16 - 10 -
B) 12
C) 14 E) 18
↓
N° de trián triángul gulos os = 13 + 5 +
↓ 1 = 19
4 4 4
36.
38.
¿Cuántos cuadriláteros hay?
A) 89 250
¿Cuántas “Z” más que “U” hay?
s a
B) 82 950 950 t c e r
C) 85 650 650 0 2
D) 82 650 650 E) 86 250 250
30 rectas
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) Más de 14
Del gráfico 1 2
N°de letras = formado por líneas
18 19 1 2
n(n + 1) 2
28 29
Del gráfico N° de cuadriláteros =
37.
29(30) 19(20) × 2 2
= 82 650
¿Cuántos triángulos hay?
A) 45
N° de letras “Z” =
7(8) 2
= 28
•
N° de letras “U” =
5(6) 2
= 15
Por lo tanto, hay 13 “Z” más que “U”.
P
B) 50
•
O C
r o
C) 60
f :
E H P A C
39.
D) 75
Calcula el total de cuadriláteros: cuadriláteros:
E) 40 3 2 1
A) 120 1 2 3
4
5 6
1 2
3
4
1
2
N° de triángulos
3
4
5
B) 126
D) 130
1
∴
2
6
C) 128 E) 135
Del gráfico
= 1 + 3(4) + 5(6) + 7(8) = 50 2
2
2
∴ N° total de cuadriláteros =
3(4) 6(7) × 2 2
= 126
- 11 -
40.
42.
Halla el total de paralelepípedos:
¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente
figura? A) 1230 B) 1240 C) 1260 1260
3
1 1 2 3 4
2
D) 1270 1270 E) 1280 1280
2
3
4
5
6
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
Del gráfico N° total de ∴ = paralelepí pedos
3(4) 4(5) 6(7) × × 2 2 2
3
= 1260 1
1 1
1
2
3(4)
3
2
41.
1
¿Cuántos ¿Cuántos cuad cuadrilát riláteros eros hay hay en la siguiente siguiente
2
4
3
5
5(6) 2
figura?
=6 = 15
3 cuadriláteros más (2 de 4 y 1 de 6 cuadraditos)
A) 2 B) 6 C) 8
∴ N° de cuadriláteros = (1+3+1+3)+22 = 30
D) 10 E) 11
P
O C
E
f : P A C H
r o
43.
1 4
3
triángulos
hay
en
mostrada?
2 6
5
¿Cuántos
7
8
Contando cuadriláteros De 1 #
: 3
D e 2 #s
: 13; 23
D e 3 #s
: 356
De 4 #s
: 4135; 3276; 1236; 1235
De 6 #s
: 134568; 235678
De 8 #s
: 12345678
∴
→ → → → → →
1 2
A) 12
B) 13
D) 15
E) 16
1 4 2 1
1 2 3 4
N° total de cuadriláteros = 11 5
- 12 -
C) 14
6
la
figura
Contando triángulos De 1 #
: 1; 2; 3; 4; 5; 6
D e 2 #s
: 12; 24; 43; 31
D e 3 #s
: 135; 246
De 6 #s
: 123456
∴
→ → → →
Desdoblando la figura, tenemos
6 4 2
5
1
N° total de triángulos = 13
8
9 44.
¿Cuántos cubos hay en la siguiente figura?
∴
46.
A) 12
B) 15
D) 21
N° de cubos
= 5 + 8 + 9 = 22
Halla, el máximo número de triángulos de la
figura N° 1 y el máximo número de diagonales
C) 18
que se pueden trazar en la figura N° 2.
E) 14
Contando solo cubos simples 3 cubos simples
P
∴
2
3
4
5 6
B) 100; 450
C) 90; 450
D) 110; 450
E) 90: 420
N° de cubos = 6(3) = 18 En la primera figura
4
45.
Fig. N° 2
Fig. N° 1
f : P A C H A) 90; 500
r o
1
O C E
3
¿Cuántos cubos hay en la siguiente figura?
2 1
∴ N° de triángulos = A) 15 D) 25
B) 21
3 2 1
5(4)(5 + 4) 2
= 90
C) 22 E) 18
N°de diagonales = 2(N° de cuadriláteros)
- 13 -
En la segunda segunda figura figura Analizando 1 2 3 4 5
por
partes
el
número
de
paralelepípedos
2 3 4 5
→
5(6) 3(4) 3(4) × × 2 2 2
= 540
→
2(3) 2(3) 1(2) × × 2 2 2
=9
5(6) 5(6) ∴ N° de diagonales = 2 × = 450 2 2
47.
En la figura, halla el máximo número de
Luego, combinando ambas partes
triángulos.
1
A) 397
2
3
4
B) 201
A B C D E
199 200
DC, DCB, DCBA → EDC, EDCB, EDCBA
C) 401
D) 399
E) 199
N° total de ∴ = 540 + 9 + 6 = 555 paralelepí pedos
En la figura se observa 200 triángulos medianos medianos y 199 triángulos pequeños (sombreados), es decir
P
O C
E
f : P A C H 49.
r o
En la figura, ¿cuántas pirámides como
máximo de base base cuadrada cuadrada existen? existen?
1
∴
2
3
4
199 200
N° máximo de triángulos = 200 + 199 = 399
A) 240
B) 80
C) 120
D) 60 48.
E) 20
En la siguiente figura mostrada, halla el
máximo número de paralelepípedos. A) 557 1
B) 553 553
2
C) 555
3
D) 545 E) 551 551
- 14 -
3 4
2
1
2
3
4
Calculando el número de cuadrados en la base N°de cuadrados
= 4 × 3 + 3 × 2 + 2 × 1 = 20
Como la pirámide tiene 4 bases, entonces
N° de pirámides de = 4(20) = 80 base cuadrada
P
O C
r o
f :
E H P A C
- 15 -