Formulario de Series y Sumatorias

SERIES Y SUMATORIAS

“

”

1) SERIE NUMÉRICA: Se denomina “serie numérica” a la adición indicada de los términos de una sucesión numérica llamándose al resultado de la adición valor de la serie. Veamos:



Sucesión:

t1

t2

t3

t4

Serie:

3 + 7 + 11 + 15 = 36

3 ; 7 ; 11 ; 15

Valor de la serie

SERIES NUMÉRICAS IMPORTANTES: A. SERIE ARITMÉTICA: 

Dada la serie aritmética: S=

t 1 + t 2 + t 3 + t 4 + ... + t n +r 

+r

S  



+r

 

Donde:  t1 = primer término

(t1  tn )n 2



tn = último término



n = número número de de términos términos

Adicionalmente podemos también utilizar :

S

(n  1)r      t1  n 2   tn  rn  t0  

Donde:  tn = último término 

t0 = anterior al primero



r = razón



n = número de términos

B. SERIE GEOMÉTRICA: a) Serie Geométrica de Infinitos Términos: Términos: 

Dado:

S=

t 1 + t 2 + t 3 + t 4 + ... + xq

S 

xq

8 

xq

t 1



1



q Profesor: Martín H. P.

1

b) Serie Geométrica Finita: Dado:



t 1 + t 2 + t 3 + t 4 + ... + t n

S=

xq

S 

xq

xq

t1 ( q n 1)

Donde:  t1 = primer término





tn

q 1 



t1.q

n 1 



tn = último término



q = razón geométrica



n = número de términos

2) SERIES Y SUMAS NOTABLES: 

Suma de los “n” Primeros Números Naturales: i n



i

 1  2  3  4  5  ...  n 

i 1



n(n  1)

2

Suma de los “n” Primeros Números Pares Naturales: i n

 2i  2  4  6  8  ...  2n  n( n  1) i 1



Suma de los “n” Primeros Números Impares Naturales: i n

 (2i 1)  1  3  5  7  ...  (2n 1)  n

2

i 1



Suma de los “n” Primeros Números Cuadrados Perfectos: i n



i

2

2

2

i 1



2

2

2

 1  2  3  4  ...  n 

n( n  1)(2 n  1)

6

Suma de los “n” Primeros Números Cubos Perfectos:

 n(n  1)  3 3 3 3 3 3 1 2 3 4 ... i n        1  2  i n

2

i



Suma de los “n” Primeros Productos Consecutivos tomados de 2 en 2: i n



i (i  1)

 1.2  2.3  3.4  4.5  ...  n( n 1) 

i 1



n(n  1)(n  2)

3

Suma de los “n” Primeros Productos Consecutivos tomados de 3 en 3: i n

 i 1

i (i  1)(i  2)

 1.2.3  2.3.4  3.4.5  ...  n(n  1)(n  2) 

n(n  1)(n  2)(n  3)

4 Profesor: Martín H. P.

2



Suma de los Cuadrados de los “n” Primeros Números Pares Naturales: i n

2 2 2 2 2 2  (2i)  2  4  6  8  ...  (2 n) 

(2n)(2n  1)(2n  2) 6

i 1



Suma de los Cuadrados de los “n” Primeros Números Impares Naturales: i n

n

2 2 2 2 2 2  (2i  1)  1  3  5  7  ...  (2n 1) 

3

i 1



n

 (2i) i

3

1

 2  4  6  8  ...  (2 n)  2 n  n  1 3

 (2i  1)

3

i 1

3

3

3

3

Suma de los “n” Primeros Números Naturales a la Cuarta Potencia:

 (i)

4

4

4

4

4

4

4

 1  2  3  4  5  ...  n 

 2n  1  3n 2  3n  1



n n 1

30

i 1

Suma de Potencias: i n

1 2 3 4 5 k n  (i)  k  k  k  k  k  ...  k   i 1



k

n 1

 k 

k 1







n

k k   1 k   1

Suma de las Inversas de los Productos de Números Consecutivos de 2 en 2: i n

1

 i  i  1 i 1



2

 13  33  53  73  ...  (2n  1) 3  n 2  2n 2  1

i n



6

Suma de los Cubos de los “n” Primeros Números Impares Naturales: in



(2n  1)(2n)(2n  1)

Suma de los Cubos de los “n” Primeros Números Pares Naturales: i



(4n2 1) 



1 1.2



1 2.3



1 3.4



1 4.5

 ... 

1 n(n  1)



n n 1

Suma de las Inversas de los Productos de Números Consecutivos de 3 en 3: in

1

 i i  1 (i  2) i 1



1 1.2.3



1 2.3.4



1 3.4.5

 ... 

1 n( n  1)( n  2)



n( n  3)

4( n  1)( n  2)

Profesor: Martín H. P.

3



Otras Fórmulas Importantes: i n



i (2)

i

1

2

3

4

n

 1 2   2  2   3  2   4  2   ...  n  2   2  ( n 1)2

n 1

i 1

i n

 (2i)

4

4

4

4

8n  n  1 2n  1  3n 2  3n 1

4

4

 2  4  6  8  ...   2n  

15

i 1

n

i n

 (2i  1)

4

4

4

4

4

4

 1  3  5  7  ...  (2 n 1) 

 48n

4

2

 40n  7



15

i 1

i n

4 2 (2 2) 2.4 4.6 6.8 8.10 ... 2 (2 2) (n  1)(n  2)          i i n n  3 i 1

 2n  1 .3 1  3 n

i n

 i.3

i

1

2

3

4

5

n

 1.3  2.3  3.3  4.3  5.3  ... n .3 

4

i 1

in

1

  2i 1 2i 1



i 1

i n

1

 2i  2i  2  i 1

i n

2

i

i 1



1 2.4

1 1.3





1 4.6

1 3.5





1 6.8

1 5.7





1 7.9

1 8.10

 ... 

 2n 1 2n  1 1

2 n  2n  2 

n





n

2n  1

n

4 n  1

n

3i  31  32  33  34  35  ...  3n 

i 1



1

 21  2 2  23  24  25  ...  2  2  2  1

i n



 ... 

3

3  2

n

 1

OBSERVACIÓN: S  a  aa  aaa  aaaa  ...  aaa...aaa " n cifras "

S

a



10  81

n 1



9n  10



Profesor: Martín H. P.

4