Ejemplo 8: Hallar “X” en la serie: 1 + 4 + 9 + 16 + ….. + X = 2870 1 + 4 + 9 + 16 + ….. + X = 2870 2870 =
17220 = → n = 20 X = n2 = 400
S = 1,155 V. Suma de cubos de los “n” primeros números II. Suma de los “n” primeros números pares naturales consecutivos
2+4+6
+ …. +
2n = n(n+1)
13 + 23 + 33 + …. + n3 = Ejemplo 9: Hallar S en la serie S = 27 + 64 + ……..
Ejemplo 6: Hallar m en: 2 + 4 + 6 + ……. + m = 930 2 + 4 + 6 + ……. + m = 930 m = 2n → n(n+1) = 930 → 30(31) = 930 n = 30 → m = 60
S + 9 = 1 + 8 + 27 + 64 + ….. + 343 =
III. Suma de los “n” primeros números impares naturales consecutivos
VI. Suma de los “n” triangulares consecutivos
1+3+5
+ …. +
5 sumandos
– 9
S=
→ S = 775 primeros
números
(2n-1) = n2
Ejemplo 7: Hallar Y - X: Y = 5 + 7 + 9 + …… + 21 X = 1 + 3 + 5 + ….. + 19 - Y = 5 + 7 + 9 + …… + 21 → 21 = 2n – 1 n = 11 → Y = 121 – 4 = 117 - X = 1 + 3 + 5 + ….. + 19 → 19 = 2n - 1 n = 10 → X = 100 Y – X = 117 – 100 = 17
1 + 3 + 6 + 10 + … +
=
Ejemplo 10: Calcular “N”
N + 1 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ….. + 231 N=
– 1 → 1770
Taller de Matemática
IV. Una Ʃ se puede descomponer en Ʃ parciales
SUMATORIAS Se tiene la sucesión: + + + ….. +
∑ = ∑ + ∑
La suma de los términos de la sucesión será:
∑ = + +
+ ….. +
- Ʃ = notación sigma. Suma de los a i términos de la sucesión - a i = # de términos de la sucesión, depende del valor de “i” i = k → ai = ak 1° término i = k+1 → ai = ak+1 2° término. i = n → ai = an término general - i = toma de valores desde k hasta n i = k → límite inferior de las sumatorias i = n → límite superior de las sumatorias Ejemplo 11:
V. Ʃ de una contante y una o mas variables
∑ = a∑
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hallar el valor de S: S = 2 + 12 + 36 + ……. + 1100 a) 3270 d) 3710
b) 3410 e) 3810
c) 3470
2. Hallar el número de bolas que hay en las 20 primeras figuras.
5. Se reparten 1900 dulces entre 25 niños. Si a cada niño le dan 3 dulces más que el anterior. Hallar el total de dulces que recibieron los 6 primeros. a) 285 d) 260
b) 284 e) 244
c) 264
6. Hallar la suma de los 20 primeros números que sean múltiplos de 2, 3 y 7 a) 8082 d) 8820
b) 8280 e) 8802
10. Hallar las bolas blancas que hay en la figura 20
c) 8260
7. Hallar la suma limite en la siguiente serie geométrica decreciente
a) 208 d) 211
b) 209 e) 212
c) 210
11. Hallar ∑ ; si an = 2n - 1 a) 25 d) 36
b) 28 e) 40
c) 34
12. Representar la serie en forma de sumatoria
S = + + +
a) 1/6 d) 4/9
+ …….
b) 2/3 e) 9/4
4 + 7 + 10 + 13 + ….. + 43
c) 2/5 a) ∑
8. Se inscribe una circunferencia en un cuadrado cuya área es igual a su perímetro. Hallar la suma de todas las ruedas concéntricas cuyo radio es la mitad de la mayor.
c) ∑
b) ∑ d) ∑
e) ∑ 13. Representar la serie en forma de sumatoria 2 + 5 + 10 + 17 + ….. + 101
a) 6π d) 14π
b) 8π
c) 12π a) ∑
e) 15π
9. Dado el siguiente arreglo numérico: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Hallar la suma de la fila 20 a) 8000 d) 8200
b) 8002 e) 8220
c) 8020
c) ∑
b) ∑ d) ∑
e) ∑ 14. Representar la serie en forma de sumatoria 1x3 + 2x4 + 3x5 + 4x6 + ….. + 20x22 a) ∑
16. Halla la suma de: S = 1 + 3 + 5 + …. + 51 a) 625 d) 676
b) 650 e) 685
c) 675
17. Halla la suma de: S = 20 + 21 + 22 + …. + 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a) 1084 d) 1088
b) 1085 e) 1089
c) 1086
18. Si la suma de los “n” primeros naturales es 300. Hallar “n” a) 22 d) 25
b) 23 e) 26
c) 24
19. En una PA donde t n = 2n + 3; hallar la suma de los 30 primeros números. a) 1020 d) 1022
b) 1002 e) 1220
c) 1200
20. Se dibuja un polígono de 24m de lado. Un atleta recorre desde un vértice todo el polígono, lo repite sucesivamente pero en cada vuelta recorre un lado menos que el anterior recorrido. Si en total recorrió 1080m. Hallar los lados del polígono. a) 5 d) 9
