REPRESENTACIONES EN PROYECCIÓN ACOTADA DE LOS POLIEDROS REGULARES CONVEXOS ***
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TETRAEDRO RICARDO BARTOLOMÉ RAMÍREZ Prof. Tit. de Expresión Gráfica en la Ingeniería http://www.scribd.com http://www.dibujotec-dibujotec.blogspot.com
TETRAEDRO
SUPUESTO 1: Proyección acotada de un tetraedro regular con una cara apoyada sobre un plano α de pendiente p=2/3. Del tetraedro se conoce un vértice A(4) y el valor de la arista que es 40 mm. La arista que pasa por A y está contenida contenida en el plano, forma 30º con la traza αo.
Con la pendiente dada del plano en el enunciado del supuesto, se halla el intervalo de éste para poder representarlo en proyección. Otro dato conocido es el del vértice A, que está situado sobre el plano. Se abate el plano, utilizando como punto de referencia el punto A. En el abatimiento se hace pasar por A0 una recta r0 que forma 30º con αo y en ella, y a partir de A 0 se lleva el valor de la arista, obteniéndose así el punto B 0. A continuación, se construye la cara del tetraedro apoyada en el plano y en verdadera magnitud, A 0, B0, C0 y se determina el centro del triángulo (D )0. α
El siguiente paso consiste en desabatir por afinidad el triángulo equilátero correspondiente a la cara apoyada del tetraedro y así se obtiene el triángulo proyección de la cara apoyada, A, B, C así como el punto D . α
Ahora, se traza una recta perpendicular al plano por el punto D y sobre ella se lleva la distancia correspondiente a la altura H del tetraedro, que se ha obtenido en el abatimiento antes realizado, determinándose así el cuarto vértice D. Para trazar una recta perpendicular a un plano se procede de la forma indicada en el tema correspondiente del libro Sistema de Planos Acotados , del mismo autor α
Las cotas de los vértices se obtienen de la forma siguiente. Los vértices A, B, C por pertenecer al plano α, tendrán la misma cota que las horizontales del plano que pasan por dichos puntos, A(4), B(5.1) y C(2.9). Para la obtención de la cota del vértice D, a la cota de D (4) se sumará 2.7, magnitud obtenida en el gráfico de la parte superior derecha de la figura, resultando D(6.7). α
Sólo resta considerar las partes vistas y ocultas y así queda definido el tetraedro buscado.
RESOLUCIÓN SUPUESTO 1
SUPUESTO 2: Proyección acotada de un tetraedro ABCD del que se conoce que una arista AB está apoyada sobre un plano α de pendiente p=2/3 y que mide 50 mm. La arista CD forma un ángulo de 15º con el plano α y la arista AB forma f orma con la traza αo un ángulo de 60º.
Con la pendiente dada del plano se halla el intervalo de éste para poder representarlo en proyección, lo hacemos hacemos mediante horizontales y línea de máxima máxima pendiente. Se abate el plano, utilizando como referencia un punto A perteneciente a éste y en el abatimiento se hace pasar por A 0 una recta r0 que forma 60º con α0. Por formar 60º con h(10) y ser α0 y h(10) paralelas entre sí. A partir de A0 y en r0 se sitúa el valor de la arista arista que es conocido y así se obtiene el punto B 0, que es el segundo vértice. A continuación, por B0 se traza una recta perpendicular a la arista y se toma como línea de referencia para construir la sección principal del tetraedro. En figura aparte se han obtenido todos los datos necesarios para la construcción del tetraedro. Con el valor de la altura -h- de las caras del tetraedro y con el ángulo que forma la arista CD con el plano α, se construye la sección principal del mismo. Es un segundo abatimiento en el cual se obtienen las alturas de los vértices del poliedro con respecto al plano y la posición relativa respecto al plano de referencia. Se realiza el primer desabatimiento y se obtienen las proyecciones A 0, B0, (C )0 y (D )0 en el abatimiento del plano α. A continuación se realiza el segundo desabatimiento y se obtienen las proyecciones A, B, C y D en el plano. A partir de C y D se trazan rectas perpendiculares al plano y sobre ellas se llevan las alturas h 1 y h2, obteniendo de esta forma los cuatro vértices del poliedro. α
α
α
α
α
α
Sólo resta definir las partes vistas y ocultas y así queda determinado el tetraedro buscado.
RESOLUCIÓN SUPUESTO 2
SUPUESTO 3 Proyección acotada acotada de un tetraedro tetraedro con una arista apoyada en un plano de pendiente p=4/5. La arista tiene una pendiente de 30º 30º y 70 mm. de longitud.
Con la pendiente dada dada del plano en el enunciado enunciado anterior se determina su intervalo para poder representarlo en proyección, según vemos en la figura de la página siguiente. Se abate el plano, utilizando como punto de referencia un punto N que pertenece al mismo. El punto N(8) es el centro de la circunferencia de radio el intervalo de la arista apoyada en el plano, y con pendiente de 30º. Por los puntos donde la circunferencia corta a las líneas de cota 7 y 9 se hace pasar una recta -r- en la cual va a estar contenida la arista que está apoyada apoyada en el plano. A continuación se abate la recta y en el abatimiento de la misma se traslada la magnitud de la arista, que es conocida y así se obtienen los dos primeros vértices del tetraedro, A0 y B0. En el abatimiento se obtienen las proyecciones abatidas de los otros dos vértices que forman el tetraedro, (C )0 y (D )0. α
α
A continuación se elevan elevan por afinidad estos cuatro puntos del abatimiento, para así obtener los puntos A y B que son los vértices de la arista del poliedro apoyada en el plano y C y D que son las proyecciones sobre el plano de los otros dos vértices del tetraedro. α
α
A partir de C y D se levanta la altura correspondiente a la distancia entre aristas opuestas MN, dimensión que se obtiene en la figura inferior de esta página. α
α
Se definen las partes vistas y ocultas y así queda representado el tetraedro buscado.
RESOLUCIÓN SUPUESTO 3
SUPUESTO 4: Proyección acotada de un tetraedro cuya sección principal la produce un plano de pendiente p=2/3. Del poliedro se conoce también un vértice, el punto B(3); el valor de la arista es de 50 mm. La arista situada en en el plano secante forma 30º con la traza αo.
Con la pendiente dada del plano se halla el intervalo de éste para poder representarlo en proyección. Se abate el plano, utilizando como referencia el punto B y en el abatimiento se hace pasar por B0 una recta r0 que forma 30º con la traza α0. Sobre dicha recta se lleva el valor de la arista y con este dato y el valor de la altura -h- de las caras del tetraedro se construye la sección principal, B0, A0 y (M )0. α
A continuación, se desabate por afinidad la sección principal del poliedro y se obtiene su proyección en el plano, B, A y M . Por el punto M se traza una recta perpendicular al plano y sobre ésta se llevan el valor equivalente a la mitad de la arista por encima del plano y la otra mitad por debajo de él, y así quedan definidos los cuatro vértices del poliedro. α
α
Sólo resta definir las partes vistas y ocultas y así queda definido el poliedro.
RESOLUCIÓN SUPUESTO 4
SUPUESTO 5: Una de las aristas de un tetraedro regular regular tiene una pendiente pendiente p=3/4. Un punto N, que que se sabe es el punto medio de la arista opuesta a ésta, tiene de cota (45) y se halla situado en proyección a 5 cm de los puntos de cota (41) y (46) de la recta de dicha arista opuesta.
Con la pendiente dada de la arista, se halla el intervalo de su recta -r- para poder representarla en proyección. Desde los puntos de cota (41) y (46) de la recta se trazan arcos de radio 5 cm y así se obtiene el punto N(45). Con el punto N y la recta -r- se determina el plano α que los contiene y a continuación se abate junto con N y -r-. En el abatimiento de α se traza por N0 una recta perpendicular a r 0 que corta a ésta en el punto M0. Se obtiene así la verdadera magnitud de MN que es la distancia entre dos aristas opuestas del tetraedro. En figura aparte y con este dato se obtienen el resto de las dimensiones del tetraedro buscado, por semejanza. Tomando como centro el punto N 0, se traza en el abatimiento del plano la circunferencia de radio h, altura de cara del tetraedro, la cual corta a r 0 en los puntos D0 y C0 , obteniéndose así la figura de la sección principal del tetraedro. A continuación se desabate dicha sección principal, obteniendo así los puntos D y C que son dos vértices del poliedro. Por el punto N se traza una recta perpendicular al plano y en ella se toma por encima y por debajo del mismo, la magnitud correspondiente a (a/2), obteniéndose así los otros dos vértices del tetraedro, A y B. Sólo resta definir las partes vistas y ocultas y así queda definido el poliedro.
RESOLUCIÓN SUPUESTO 5
SUPUESTO 6: Partiendo de los datos del supuesto 5, y una vez que se tiene construido el tetraedro, inscribir otro tetraedro en el primero.
Una vez obtenido el primer tetraedro, se procede a la construcción construcción del tetraedro inscrito. inscrito. En primer lugar, se obtienen los ortocentros de las caras del poliedro, que son a su vez los vértices del poliedro inscrito.
RESOLUCIÓN SUPUESTO 6
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