TRABAJO PRÁCTICO CÁTEDRA: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRIA Á NG UL ULOS OS D I E D R OS Y P OL I E D R OS . Á R E A D E L OS C IN INC CO POLI PO LIEDR EDR OS RE GUL GULAR AR ES . ÁR EA Y VOLÚ VOLÚMEN DE PR ISM ISMAS AS Y PIRÁMIDES
ALUMNOS:
GERARDO ANTONIO GÓMEZ MICAIA SOFÍA ESPÍNOLA
PROFESORA: SILVIA VERÓNICA CHAMORRO HERMOZA
San Lorenzo – Paraguay Septiembre, 2017
INDICE Ángulo diedro.
1
Medida de un diedro
1
Tipos de diedros
1
Ángulo plano o rectilíneo de un ángulo diedro
3
Planos perpendiculares.
3
Plano bisector de un ángulo diedro
4
Ángulo poliedro.
4
Ejercicios
5
Poliedros
7
Poliedro regular.
8
Área de los cinco poliedros regulares
10
Prismas
13
Propiedades de un prisma.
15
Área y volumen de un prisma
16
Ejercicios
17
Pirámide
19
Ejercicios
20
Bibliografía
ii
i
ÁNGULO DIEDRO Un ángulo diedro es la región del espacio limitada por dos semiplanos que tienen una recta en común. Cara: Cada uno de los semiplanos de un diedro. Arista: Recta común de los semiplanos.
Medida de un Diedro Es la medida de su ángulo rectilíneo La magnitud de un diedro depende de la rotación necesaria para llevar una de las caras, haciéndola girar sobre la arista, a la posición de la otra
Tipos de Diedros Según sus ángulos: Diedro cóncavo
Diedro convexo
Tipos de diedros convexos Diedro agudo
Diedro obtuso
Diedro recto
Si los ángulos rectilíneos de dos diedros son complementarios o suplementarios, entonces podemos hablar de diedros complementarios y diedros suplementarios.
Diedro complementario
Diedro suplementario
Ángulo plano o rectilíneo de un ángulo diedro Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto cualquiera de la arista y sus lados son perpendiculares a dicha arista y se encuentran en las caras de un ángulo diedro. Un ángulo diedro será agudo recto u obtuso según como sea su ángulo plano. Teorema: si desde un punto interior a un ángulo diedro se trazan dos rayos perpendiculares a las caras, se cumplirá que el ángulo formado y el ángulo diedro son suplementarios.
˔
Si OA al plano P OB ˔ al plano Q
Entonces: x + y=180
Demostración Por el teorema de las tres perpendiculares OA ˔ AN y AN ˔ CD entonces ON˔CD OB ˔ BN y ON ˔ CD entonces BN ˔ CD
En el cuadrilátero ANBO x+y=180
Planos perpendiculares Dos planos son perpendiculares si son secantes y los cuatro diedros que determinan son rectos e iguales.
Teorema: si una recta es perpendicular a un plano, entonces todo plano que lo contenga será perpendicular al primer plano.
Plano bisector de un ángulo diedro Es aquel que contiene a la arista del ángulo diedro y determina dos ángulos diedros de igual medida. En la figura el plano R es el plano bisector del ángulo diedro PABQ.
ÁNGULO POLIEDRO Un ángulo poliedro es la región del espacio limitada por tres o más planos que concurren en un punto. Cara: cada
uno de los semiplanos que forman el ángulo poliedro. Arista: recta
que tienen en común dos caras del ángulo poliedro. Hay casos particulares de ángulos poliedros, como es el caso del ángulo triedro, que es el ángulo que forman tres planos que se cortan en un mismo punto. Vértice: punto en común de las caras del
Desarrollo plano de un ángulo poliedro
La suma de los ángulos que concurren en el vértice del desarrollo plano de un ángulo poliedro es menor que 360º
EJERCICIOS 1. EN EL CUBO MOSTRADO, CALCULE LA MEDIDA DEL ANGULO QUE FORMAN LAS RECTAS L1 Y L2
A) Trazar L3 // L2 B) El triángulo ABC es equilátero porque sus lados son diagonales del cuadrado α=60°
2) Un folder de dimensiones 4u y 8u se halla abierto según muestra la figura; el ángulo que forman las caras entre si miden 120°, Calcular PQ
PITAGORAS PAQ x²=8²+(4√3) ² x²=64+49
x=√112 x=4√7
3) El área de la región triangular ABC es 50cm² por AC se traza un plano que forma un diedro de 60° con el plano del triángulo ¿calcule el área de la proyección de dicha región sobre el plano?
Incógnita: Área (AHC)
.
Por teoría AREA AHC= AREA ABC Cos 60° Area AHC= 50cm²x½ Area AHC= 25cm²
4) Calcule el número de vértices de un poliedro convexo formado por 60 triángulos y 80 cuadriláteros.
a) Teorema de euler C+V= A+2 b) C=60+80=140 c) d) 140+V= 250+2 V=112
POLIEDROS Poliedro es un sólido limitado por planos. Los planos que limitan un poliedro se llaman caras; sus intersecciones, aristas; y las intersecciones de las aristas, vértices del poliedro. Toda recta que une dos vértices no situados en una misma cara se llama diagonal del poliedro. Sección de un poliedro. Llámese sección de un poliedro la intersección de sus caras con un plano que las corta. Clasificación de los poliedros según el número de caras. Se llama tetraedro el poliedro de cuatro caras; exaedro el de seis; octaedro el de ocho; dodecaedro el de doce; icosaedro el de veinte.
Poliedro Regular Llámese poliedro regular aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y cuyos ángulos poliedros son todos iguales.
Determinar el número de poliedros convexos regulares que pueden existir.
Un Angulo poliedro convexo debe tener por lo menos tres planos, y la suma de sus caras debe ser menor que 360°. 1°. Puesto que cada ángulo de un triángulo equilátero es de 60°, pueden formarse ángulos poliedros convexos juntando tres, cuatro o cinco triángulos equiláteros. La suma de seis ángulos de 60° es 360°, y por tanto mayor que la de las caras de todo ángulo poliedro convexo. Por tanto, puede haber sólo tres poliedros regulares de caras triangulares.
2°. Puesto que cada ángulo de un cuadrado es de 90°, puede formarse con tres cuadrados un ángulo poliedro. La suma de cuatro ángulos de 90° es 360°, y por tanto puede haber sólo un poliedro regular de caras cuadradas. 3°. Puesto que cada uno de los ángulos de un pentágono regular es de 108°, puede formarse un ángulo poliedro juntando tres pentágonos regulares. La suma de cuatro ángulos de 108° es 432°, y por tanto no puede haber ángulo poliedro convexo que los tenga por caras, ni más de un poliedro regular de caras pentagonales. 4°. La suma de tres ángulos de un hexágono regular es 360°; la de tres de un heptágono regular (polígono regular de siete lados) es mayor que 360°, y la de tres de cualquier polígono regular de más regular de más de siete lados es también mayor que 360°. Luego no puede haber más de cinco poliedros regulares convexos. Estos poliedros son: el tetraedro, el exaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro regulares.
Poliedro cóncavo.
Alguno de sus ángulos es cóncavo. Alguna de sus caras no puede apoyarse en un plano.
Poliedro convexo Llámese poliedro convexo aquel en que todas las secciones posibles son polígonos convexos. Todos sus ángulos son convexos Todas sus caras pueden apoyarse sobre un plano
Área de los cinco poliedros regulares 1. Tetraedro Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales. Tiene cuatro vértices y seis aristas.
Área del tetraedro A
=
√ 3∗a 2
Volumen del tetraedro V
=
√ 2 12
∗a
3
2. Hexaedro o cubo Su superficie está constituida por 6 cuadrados Tiene 8 vértices y 12 aristas.
Área lateral del hexaedro regular A L
2
4∗a
=
Área total del hexaedro regular AT
6∗a
2
=
Volumen del hexaedro regular V
=
3
a
Diagonal del hexaedro regular 2
2
D= a +a + a D
=
2
√ 3∗a
3. Octaedro Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros Tiene 6 vértices y 12 aristas Diagonal
=∗√2 Área del octaedro regular A
=
2∗√ 3∗a
2
Volumen del octaedro regular V
=
√ 2 3
∗a
3
4. Dodecaedro Su superficie consta de 12 pentágonos regulares. Tiene 20 vértices y 30 aristas
Área del dodecaedro regular A
=
30∗a∗ap
Volumen del dodecaedro regular
= 1 ( 15+7 √ 5 ) a
V
∗
4
3
5. Icosaedro Su superficie consta de 20 triángulos equiláteros Tiene 12 vértices y 30 aristas
Área del icosaedro regular 5∗√ 3∗a
A
2
=
Volumen del icosaedro regular
=
V
5 12
(3+ √ 5 )∗a
3
PRISMAS Llámese prisma un poliedro dos de cuyas caras son polígonos iguales situados en planos paralelos, y cuyas otras caras son paralelogramos. Los dos polígonos se llaman bases del prisma; los paralelogramos se llaman caras laterales; y las intersecciones de las caras laterales, aristas laterales. Con respecto a los prismas, el término cara se aplica exclusivamente a las laterales. La suma de las caras se llama área lateral del prisma. Las aristas laterales de un prisma son iguales Altura de un prisma. Llámese altura de un prisma la longitud de la perpendicular común a los planos de las bases comprendida entre esos planos; o sea, la distancia entre los planos de las bases. Prisma recto. Llámese prisma recto aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases. Esas aristas laterales de un prisma recto son iguales a la altura. Prisma oblicuo. Llámese prisma oblicuo aquel cuyas aristas laterales son oblicuas a sus bases. Clasificación de los prismas según las bases Dícese que un prisma es triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. Según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono, etc.
Sección recta. Llámese sección resta de un prisma la sección determinada por un plano que corta todas las aristas y es perpendicular a ellas.
Psr: Perímetro de la sección recta
Prisma truncado. Llámese prisma truncado la parte de un prisma comprendida ente una de las bases y un plano oblicuo a las bases.
Volumen. Llámese volumen de un sólido el número de unidades de volumen que contiene. Unidad de volumen. La unidad de volumen es el espacio ocupado por un cubo cuya arista es igual a la unidad de longitud. Si, por ejemplo, las dimensiones de una habitación se expresan en metros, se toma por unidad de volumen el metro cúbico, que es el espacio ocupado por un cubo cuya arista es de 1 metro. Solidos equivalentes. Llámese sólidos equivalentes los que tienen un mismo volumen. Sólidos iguales o congruentes.
Dícese que dos sólidos son iguales o congruentes cuando todas las partes del uno son respectivamente iguales a las del otro y están semejantemente dispuestas. Propiedades de un prisma. 1. Las secciones de un prisma determinadas por planos paralelos son polígonos iguales. 2. El Área Lateral de un prisma es igual al producto de la arista lateral por el perímetro de la sección recta. L= a * Psr
2.1 El Área Lateral de un prisma recto es igual al producto de la altura del prisma por el perímetro de la base. 3. Dos prismas son iguales cuando una base y las dos caras contiguas del uno son respectivamente iguales a una base y dos caras contiguas del otro y están semejantemente dispuestos. 3.1. Dos prismas rectos de iguales bases e igual altura son iguales. 4. Todo prisma oblicuo es equivalente a uno recto cuya base es la sección recta del oblicuo y cuya altura es igual a la arista lateral del oblicuo. 5. Las caras opuestas de un paralelepípedo son iguales y paralelas. 6. El plano que pasa por dos aristas diagonalmente opuestos de un paralelepípedo divide el sólido en dos prismas triangulares equivalentes. 7. El volumen de un paralelepípedo es igual al producto de la base por la altura. 7.1. El volumen de un paralelepípedo cualquiera es igual al de uno rectángulo de base equivalente e igual altura. 8. El volumen de un prisma triangular es igual al producto de la base por la altura. 9. El volumen de un prisma cualquiera es igual al producto de la base por la altura. 9.1 Dos o más prismas de bases equivalentes y alturas iguales son equivalentes. Paralelepípedo. Llámese paralelepípedo todo prisma en que las bases son paralelogramos. Paralelepípedo recto. Llámese paralelepípedo recto aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases. Paralelepípedo rectángulo. Llámese paralelepípedo rectángulo todo paralelepípedo recto cuyas bases son rectángulos. Cubo. Llámese cubo un paralelepípedo cuyas caras y bases son cuadrados.
Área y Volumen de un Prisma Área de un Prisma PB: Perímetro de la base AB: Área de la base
Área Lateral A L P B∗h =
Área Total AT = A L+2∗ A B
Volumen de un Prisma V A B∗h =
EJERCICIOS 1. Calcular la diagonal de un paralelepípedo rectángulo de 94 dm 2 de área total. Las dimensiones de base miden 5 dm y 3 dm. AT = 94 dm2 ; a = 5 dm ; b = 3 dm AL= PB * h AL = 2(5 + 3) x h ; AL= 16h
AT=AL + 2AB 94 = 16h + 2 x 5 x 3 : 16h = 64 ; h = 4
= √( + + ℎ) 5 + 3 + 4 = √50=5√2 = 5√2
D=
2.
Calcular el volumen del sólido que se forma al unir los centros de las caras de un cubo cuya arista es igual a cm.
√2
El sólido resultante de unir los centros de todas las caras es un octaedro regular, y su diagonal es cm. Sea “a” la arista del octaedro:
Volumen del octaedro V
=
√ 2 3
∗a
=∗√2 √ 2 == 1∗√ 2
√2
3
= √ 3. En un tetraedro regular de arista a; hallar la distancia entre dos opuestas. Tomando los puntos medios de dos aristas para establecer la distancia, se tiene
= 2 +u − 4 = u 3 = u 4√ 3 2 =u
Por el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo formado dentro del tetraedro se tiene: “x” es la distancia ente aristas
√ 3 = 2 − 2 3 =4−4 = 4. Hallar en qué relación se encuentran las áreas de un octaedro y un icosaedro regulares, sabiendo que la arista del primero es el triple de la del segundo. aoctaedro = 3 aicosaedro
Área del octaedro regular:
A
2∗√ 3∗a
Área del icosaedro regular:
A
5∗√ 3∗a
=
2
2
=
= 2∗√ 3 ∗(3) = 18∗√ 3 ∗ 5∗√ 3 ∗ 5∗√ 3 ∗ = 18 5 5. En un poliedro de seis caras y doce aristas. Hallar la suma de los ángulos que las aristas forman en los vértices.
Euler: Reemplazando
C= 6 ; A = 12 C+V=A+2 6 + V = 12 + 2
Suma de ángulos que forman aristas y vértices: 360° *(V -2) = 360°*(8 – 2) =2160°
PIRÁMIDE Es un poliedro cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.
Para calcular el área total de una pirámide es necesario conocer: 1. 2. 3. 4. 5.
El área de la base (áb), que es el polígono donde se apoya la pirámide. El perímetro de la base (pb ), que es la longitud de todas las caras. La apotema de la base (ap), que es la distancia del centro de la base a cualquier lado. La apotema de la pirámide (Ap), que es la altura de una cara lateral. La altura del poliedro (h), que es la distancia que hay del centro de la base al vértice de la pirámide.
EJERCICIOS 1.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya arista de la base mide 10, la altura de 12 cm y un Apotema del poliedro de 13 cm. Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema indica que es una pirámide cuadrangular con las siguientes medidas:
Obtengamos primero el área lateral (el de las cuatro caras triangulares) que es el área coloreada.
Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para obtener el área de un cuadrado, ya que la base es cuadrangular. Es el área coloreada.
Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide cuadrangular especificada.
Ahora obtenemos el volumen de la pirámide cuadrangular sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del cuadrado y multiplicando por la altura del poliedro.
2.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular pentagonal cuya altura mide 3.20m, el lado de la base 0.87185m, el apotema del poliedro 3.25576m; y el apotema de la base 0.60m Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema indica que es una pirámide pentagonal con las siguientes medidas.
Obtengamos primero el área lateral (el de las cinco caras triangulares) que es el área coloreada.
Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para obtener el área de un pentágono regular, ya que la base es pentágono. Es el área coloreada.
Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide pentagonal especificada.
Ahora obtenemos el volumen de la pirámide pentagonal sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del pentágono y multiplicando por la altura del poliedro.
3.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular triangular cuyas medidas son las siguientes
s: Obtengamos primero el área lateral (el de las tres caras triangulares, sin la base), coloreadas en la figura de abajo. Recuerda que en una pirámide regular la altura de cada uno de los triángulos laterales (caras), llamada apotema del poliedro (Ap), es igual a la altura del triángulo lateral.
Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para obtener el área de un triángulo, ya que la base es un triángulo equilátero. Es el área coloreada.
Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide regular triangular especificada.
Ahora obtenemos el volumen de la pirámide triangular con la siguiente fórmula:
Observa que se desconoce la medida de la altura (h) de la pirámide. Ésta se obtiene a través del Teorema de Pitágoras = C² = A² + B², donde C es igual a Ap (12 cm) y B es igual a la mitad de la altura de la base (la mitad de 5.19 = 2.595). El valor que busco es A, que es la altura de la pirámide y la encuentro restando B² = C² – A²;. Veamos en la siguiente imagen:
Ahora que ya tenemos el valor de la altura de la pirámide (h = 11.7160 cm), obtenemos el volumen de la pirámide:
Bibliografía
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Problemas resueltos. Matematica1.com. Disponible en línea: https://app.box.com/s/8uga5z2bf75ckfre6h8gqzsheknn14gk Rectas, planos , diedros , triedros y poliedros ejercicios resueltos de geometría del espacio preuniversitaria. Matematicaj.blogspot.com. Disponible en línea: http://matematicaj.blogspot.com/2016/01/rectas-planos-diedros-triedros-y.html Wentworth, Jorge y Smitj, David Eugenio (1980). “G eometría Plana y del Espacio”. Novena
Edición. Editorial Porrúa, S.A. Libro VI y VII, pag. 273.
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