REPRESENTACIONES EN PROYECCIÓN ACOTADA DE LOS POLIEDROS REGULARES CONVEXOS ***
(2/5)
HEXAEDRO RICARDO BARTOLOMÉ RAMÍREZ Prof. Tit. de Expresión Gráfica en la Ingeniería http://www.scribd.com http://www.dibujotec-dibujotec.blogspot.com
HEXAEDRO SUPUESTO 1: Proyección acotada de un hexaedro con una cara situada sobre un plano α de pendiente p=2/3. Del hexaedro se conoce conoce un vértice, el A(3) y el valor de las aristas que es de 40 mm. La arista que pasa por A(3) y está contenida en el plano forma 30º 30º con la traza αo.
Con la pendiente dada del plano se halla el intervalo de éste para poder representarlo en proyección acotada. acotada. Otro dato conocido es que el vértice A está situado sobre el plano. plano. Se abate el plano, utilizando como referencia el punto A. En el abatimiento se hace pasar por el punto A0 una recta r0 que forma 30º con la traza αo, y en ella, y a partir de A 0 se lleva el valor de la arista, obteniendo así el punto B 0. A continuación, se construye la cara del hexaedro apoyada en el plano, de de vértices A0, B0, C0 y D0. El siguiente paso consiste en desabatir mediante afinidad el cuadrado correspondiente a la cara apoyada apoyada del hexaedro y así se obtiene obtiene dicha cara en proyección, A, B, C y D. Figuras, proyectada y abatida entre las que existe relación de afinidad; de eje la traza del plano y dirección perpendicular a ella. Se trazarán rectas perpendiculares al plano por los puntos A, B, C y D, y sobre ellas se llevará la distancia correspondiente al valor de la arista del hexaedro, obteniéndose así los otros cuartos vértices del poliedro, E, F, G y H. Sólo falta definir las partes vistas y ocultas y así quedará definido el poliedro buscado. El contorno aparente ABCGHEA será visto, así como también lo serán las aristas FB, FE y FG cuyo cuyo vértice común F(5,29) tiene mayor cota cota que el vértice D(4,9), D(4,9), común a las aristas DA,DC y DH que en este caso estarán ocultas.
RESOLUCIÓN SUPUESTO 1
SUPUESTO 2 Proyección acotada de un hexaedro conocido un vértice A(3) del mismo; la diagonal -Ddel poliedro que pasa por dicho vértice tiene una pendiente de 45º y mide 70 mm.
Puesto que se sabe que la diagonal del poliedro forma 45º con el plano del cuadro (o de proyección), trazaremos un plano α perpendicular a dicha diagonal, plano que a su vez también formará 45º con el plano del cuadro, por consiguiente, se representa en proyección acotada un plano de pendiente p=45º. Una vez obtenido el plano, se sitúa en él, el vértice A(3) de la diagonal, que va a ser el punto de apoyo en el plano de la misma y en consecuencia del poliedro. En figura aparte se determina el radio de la circunferencia circunferencia que se utilizará para obtener la proyección del hexaedro en el abatimiento del plano α. Se abate el plano tomando como referencia el vértice A(3). En el abatimiento de α se dibuja una circunferencia de centro A0 y radio el obtenido anteriormente, y sobre ella se encontrarán las referencias abatidas de los vértices del hexaedro (C )0, (D )0, (E )0, (F )0, (G )0 y (H )0, además de (B )0 que coincide con A0 por ser AB la diagonal perpendicular perpendicular al plano α. α
α
α
α
α
α
α
El siguiente paso consistirá en desabatir por afinidad la figura obtenida, determinando sobre α los puntos: B , C , D , E , F , G y H . α
α
α
α
α
α
α
Por estos puntos se trazan rectas perpendiculares al plano α, y sobre ellas se llevan los valores correspondientes a las alturas de los vértices con respecto al plano. A partir del vértice A se lleva el valor correspondiente a la diagonal y así se obtiene el vértice B. A partir de D , F y H el valor de 1/3 de D y a partir de C , E y G el valor de 2/3 de D, consiguiendo así el resto de los vértices del poliedro. α
α
α
α
α
α
RESOLUCIÓN SUPUESTO 2
SUPUESTO 3 Proyección acotada de un hexaedro, con una arista situada sobre un plano pendiente p=1/2. El hexaedro está en equilibrio. Las aristas miden 50 mm.
α
de
Con la pendiente dada del plano se determina el intervalo de éste para poder representarlo en proyección acotada. Se abate el plano, utilizando como punto de referencia un punto cualquiera del mismo, en este caso, el punto G. En el abatimiento se construye la proyección del cubo sobre el plano, obteniendo así los puntos A 0, B0, (C )0, (D )0, (E )0, (F )0, (G )0 y (H )0. Las aristas del tetraedro A0, B 0 y (C )0 (D ) coinciden por la condición condición indicada de estar el hexaedro en equilibrio. α
α
α
α
α
α
α
α
A continuación se desabaten por afinidad las proyecciones de los vértices del cubo antes citados, obteniendo las proyecciones de los mismos en el plano, puntos A, B, C , D , E , F ,G yH . α
α
α
α
α
α
Se trazan rectas perpendiculares perpendiculares al al plano y sobre ellas se llevan las distancias correspondientes a la diagonal de cara del cubo -d- o su mitad -d/2- según el caso. Sobre las perpendiculares que se trazan desde los vértices A y B se llevan las distancias correspondientes a la magnitud -d-, obteniéndose los vértices C y D. En el caso de las perpendiculares que que se trazan trazan desde los puntos E , F , G y H se lleva sobre ellas la distancia correspondiente a la magnitud -d/2-, obteniéndose los otros cuatro vértices del cubo E, F, G y H. α
α
α
α
Sólo queda definir las partes part es vistas y ocultas y así queda definido el hexaedro buscado.
RESOLUCIÓN SUPUESTO 3
SUPUESTO 4 Proyección acotada de un hexaedro del que se conoce que una arista, de 50 mm, se encuentra sobre un plano de pendiente p=2/3. Dicha arista forma con la traza αo un ángulo de 60º. Una de las caras que contiene a la arista citada forma 30º con el plano α.
Con la pendiente dada del plano se determina el intervalo de éste para poder representarlo en proyección acotada. Se abate el plano tomando como charnela la horizontal h(10) y utilizando como referencia el punto B. En el abatimiento, se hace pasar por B0 una recta r0 que forme 60º con α0. A partir de B0 y sobre r0 se lleva el valor de la arista y así se obtiene el punto A0, que es el segundo vértice de la arista del cubo situada en el plano. A continuación, por A 0 se hace pasar una recta perpendicular a la arista que se toma como línea de referencia para construir la proyección del hexaedro A ≡B, E≡F, C≡D y G≡H, formando 30º con ella, la cara ABEF. En este segundo abatimiento se obtienen las alturas de los vértices del poliedro con respecto al plano así como la posición relativa de las aristas. Se realiza el primer desabatimiento (elevación) y se obtienen las proyecciones A 0, B0, (C )0, (D )0, (E )0, (F )0, (G )0, (H )0 en el abatimiento de α. A continuación, se realiza el segundo desabatimiento y se obtienen las proyecciones de los puntos en el plano A, B, C , D ,E , F ,G , y H . α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
Finalmente, por las proyecciones de los puntos se levantan rectas perpendiculares al plano y sobre ellas se llevan las distancias correspondientes a las tres alturas h 1, h 2 y h3, obtenidas en el segundo abatimiento, determinándose así los vértices del poliedro Se definen las partes vistas y ocultas quedando representado el hexaedro con las condiciones dadas en el supuesto planteado.
RESOLUCIÓN SUPUESTO 4
SUPUESTO 5: Proyección acotada de un hexaedro hexaedro una de de cuyas aristas con pendiente de 30º está situada sobre un plano de pendiente 4/5. Las aristas miden 50 mm.
Con la pendiente dada del plano se halla su intervalo, también llamado módulo, para representarlo en proyección. Se abate el plano, utilizando uno de sus puntos, el A. El punto A es el centro de la circunferencia de radio el intervalo conocido de la arista situada en el plano. Por los puntos donde la circunferencia corta a las líneas horizontales del plano, se hace pasar una recta -r- en la cual va a estar contenida la arista que se encuentra en el plano. A continuación se abate la recta y en el abatimiento de la misma se traslada la magnitud de la arista y así se obtienen los dos primeros vértices del tetraedro, A 0 y C0. En el abatimiento se obtienen las proyecciones abatidas de los otros vértices que forman el tetraedro, (B )0, (D )0, (E )0, (F )0, (G )0 y (H )0. α
α
α
α
α
α
A continuación continuación se se desabaten desabaten por afinidad afinidad estos estos puntos puntos para para así obtener los A y C que son los vértices de de la arista del poliedro situada en el plano y E , F , G y H , que son las proyecciones sobre el plano de los otros vértices del hexaedro. α
α
α
α
A partir de A y C se levantan las alturas correspondientes correspondientes a la diagonal de cara del cubo, cubo, y así se obtienen los puntos B y D que son los vértices de la arista opuesta a la situada en el plano. Por E , F , G y H se levantan las alturas correspondientes a d/2 y se obtienen los vértices restantes del cubo, E, F, G y H. α
α
α
α
Definidas las partes vistas vistas y ocultas queda representado el poliedro.
RESOLUCIÓN SUPUESTO 5
SUPUESTO 6: Proyección acotada de un hexaedro conocidas las direcciones de las tres aristas concurrentes en un vértice, punto A(4); la arista mide 32 mm y el punto A se encuentra sobre un plano de pendiente p=1/2.
Con la pendiente dada del plano se determina el intervalo de éste para representarlo en proyección acotada. Se toma el punto A y se abate junto con el plano. El punto A0 va a ser el de intersección de las proyecciones de las tres direcciones indicadas, en las cuales están incluidas las verdaderas magnitudes de tres aristas del cubo. A0 es el vértice de un triedro trirrectángulo. En el abatimiento abatimiento se dibujan las proyecciones proyecciones de las tres rectas rectas r0, s0 y t0, en las cuales van a estar incluidas tres aristas del cubo. cubo. Se abaten las caras del triedro trirrectángulo que definen las tres direcciones r, s, y t, situando en los abatimientos de éstas la magnitud de a=32 mm, determinando los extremos (D )0, (F )0 y (H )0, y por paralelismo los (C )0,(G )0, (E )0 y (B )0. Se determina la altura -h- de los puntos 1, 2 y 3 por los que pasan las rectas t, r y s respectivamente. α
α
α
α
α
α
α
A continuación, se desabate la figura por afinidad y se obtienen las proyecciones de los vértices en el plano, A, B , C , D , E , F , G y H , de las tres rectas r, s y t, y de los tres puntos 1 , 2 y 3 . Por estos tres puntos se trazan rectas perpendiculares al plano y en ellas se sitúa la altura -h- obtenida, consiguiéndose así los puntos 1, 2 y 3 que son los puntos por los que van a pasar las tres rectas r, s y t en las cuales están contenidas tres aristas del cubo y cuyo punto de concurrencia es el vértice A. Una vez conseguidas estas tres aristas se obtienen los tres vértices del poliedro D, H y F. Por paralelismo se obtienen el resto de los vértices del cubo y se construye el mismo. α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
Para determinar la visibilidad del poliedro en la proyección obtenida, se tendrá en consideración que el contorno aparente (poligonal cerrada CDEFGHC) es siempre visto por lo que su tratamiento gráfico será de línea continua. El vértice A tiene menor cota que el B por lo que a éste vértice concurren las aristas vistas, las aristas que lo hacen en A están ocultas y su representación se realiza con línea discontinua.
RESOLUCIÓN SUPUESTO 6
SUPUESTO 7: Partiendo de los datos del Supuesto 1, y una vez que se tiene construido el hexaedro, inscribir en él un octaedro.
Una vez obtenido el hexaedro, se va a proceder a la construcción del octaedro inscrito. En primer lugar se trazan las diagonales de las seis caras del cubo para hallar los centros de las caras, que son a su vez los vértices de octaedro. Una vez obtenidos los seis vértices se unen y se construye el octaedro. Se considerarán las partes vistas y ocultas. El contorno aparente será visto y también lo será el vértice situado en la cara superior del cubo, el vértice opuesto será oculto y por lo tanto las cuatro aristas que a él concurren.
RESOLUCIÓN SUPUESTO 7
SUPUESTO 8: Partiendo de los datos del Supuesto 4, y una vez que se tiene construido el hexaedro, inscribir en él un tetraedro.
Una vez obtenido el hexaedro, se va a proceder a la construcción del tetraedro inscrito. Para ello se trazan las diagonales de cara del cubo; estas van a ser las aristas del tetraedro.
RESOLUCIÓN SUPUESTO 8
SUPUESTO 9: Partiendo de los datos del Supuesto 1, y una vez que se tiene construido el hexaedro, representar pirámides con las bases sobre cada una de las caras del poliedro, y las alturas con la dimensión de la arista del hexaedro.
A partir del hexaedro obtenido, se va a realizar la construcción pedida. Para ello se obtienen en primer lugar los puntos centrales de cada una de las seis caras del cubo, trazando sus diagonales. Una Una vez determinados los seis puntos centrales, se trazan desde ellos las alturas de las pirámides con base en cada cada una de las caras, alturas que serán de igual medida medida que la de las las aristas del poliedro. Obtenidos así los vértices, sólo queda construir cada pirámide teniendo presente los criterios de visibilidad para su correcta representación.
RESOLUCIÓN SUPUESTO 9
***
