TEMA 10 POLIEDROS REGULARES
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TETRAEDRO Propiedades:
- 4 caras triángulos equiláteros. - 4 vértices. - 6 aristas. 2
TETRAEDRO Propiedades:
H = altura de cara 3
TETRAEDRO Propiedades:
o = centro de la cara
Las 3 alturas de cara se cortan en el centro de ésta, que es ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro del triángulo. 4
TETRAEDRO Propiedades:
o
H = altura del poliedro perpendicular desde cada vértice a la cara opuesta, a la que intersecta en su centro. 5
TETRAEDRO Propiedades:
O = centro del tetraedro punto en el que se cortan las alturas del poliedro.
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TETRAEDRO Propiedades:
m.d. = mínima distancia entre aristas opuestas (segmento mínima distancia)
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TETRAEDRO Relaciones métricas Las relaciones métricas más importantes de este poliedro son:
- arista y altura del poliedro entre
- arista y mínima distancia entre dos aristas opuestas
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TETRAEDRO Relaciones métricas a) entre arista y altura del poliedro:
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TETRAEDRO Relaciones métricas a) Entre arista y altura del poliedro: a1) Dada la arista, obtener la altura.
Obtenemos el centro de la cara 10
TETRAEDRO Relaciones métricas a) Entre arista y altura del poliedro: a1) Dada la arista, obtener la altura.
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TETRAEDRO Relaciones métricas a) Entre arista y altura del poliedro: a2) Dada la altura, obtener la arista.
Primero realizamos el trazado estudiado anteriormente, realizándolo para un valor de arista aleatorio.
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TETRAEDRO Relaciones métricas a) Entre arista y altura del poliedro: a2) Dada la altura, obtener la arista.
A continuación situamos el valor dado de nuestra altura y, por semejanza, obtenemos el valor de la arista buscada.
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TETRAEDRO Relaciones métricas b) Entre arista y segmento mínima distancia: b1) Dada la arista, obtener el segmento mínima distancia.
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TETRAEDRO Relaciones métricas b) Entre arista y segmento mínima distancia: b1) Dada la arista, obtener el segmento mínima distancia.
Primero obtenemos la altura de cara “h”. 15
TETRAEDRO Relaciones métricas b) Entre arista y segmento mínima distancia: b1) Dada la arista, obtener el segmento mínima distancia.
Construimos el triángulo isósceles de la figura para obtener la m.d. 16
TETRAEDRO Relaciones métricas b) Entre arista y segmento mínima distancia: b2) Dada la mínima distancia, obtener la arista.
Primero realizamos el trazado estudiado anteriormente, realizándolo para un valor de arista aleatorio.
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TETRAEDRO Relaciones métricas b) Entre arista y segmento mínima distancia: b2) Dada la mínima distancia, obtener la arista.
A continuación situamos el valor dado de la m.d. y,
por
semejanza,
obtenemos el valor de la arista buscada (la mitad).
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TETRAEDRO Relaciones métricas b) Entre arista y segmento mínima distancia: b3) Dada la arista, obtener la mínima distancia 2º método
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TETRAEDRO Relaciones métricas Entre arista y segmento mínima distancia: b3) Dada la arista, obtener la mínima distancia 2º método
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TETRAEDRO Relaciones métricas b) Entre arista y segmento mínima distancia: b4) Dada la mínima distancia, obtener la arista 2º método
Análogamente a los casos anteriores, se resuelve por semejanza de triángulos, realizando previamente el trazado descrito en b3) para una arista de valor aleatorio, y situando luego el valor de la m.d. dada, para obtener el valor de la arista buscada.
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TETRAEDRO Secciones planas
El plano perpendicular al segmento
mínima
distancia, por su punto medio,
secciona
al
según
un
tetraedro
cuadrado de lado la mitad de la arista.
El plano perpendicular al segmento mínima distancia, por otro punto distinto al anterior, secciona al tetraedro según un rectángulo.
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TETRAEDRO Esferas en el tetraedro
- Inscrita: tangente a las caras. esferas
- Semiinscrita: tangente a las aristas. - Circunscrita contiene a los vértices.
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TETRAEDRO Esferas en el tetraedro arista de punta Caras proyectantes verticales
ESFERA INSCRITA
Esfera tangente a las caras.
tetraedro
Contiene a los centros de las caras. 24
TETRAEDRO Esferas en el tetraedro arista de punta
ESFERA INSCRITA
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TETRAEDRO Esferas en el tetraedro
ESFERA SEMIINSCRITA
Esfera tangente a las aristas. Contiene a los puntos medios de las aristas. Diámetro m.d. entre aristas opuestas
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TETRAEDRO Esferas en el tetraedro
ESFERA CIRCUNSCRITA
Contiene a los vértices. 27
TETRAEDRO Esferas en el tetraedro arista de punta
ESFERA CIRCUNSCRITA
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TETRAEDRO Esferas en el tetraedro arista de punta
Radios de las esferas
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5.- Ejemplo. Representar un tetraedro sabiendo que la mínima distancia es perp. al PH y AB es una arista. Desarrollo.
F"
A'
A
B' F
D
B
E a
E"
C'
D'
C Figura de análisis
A' D' _ E' _ F'
C'
B'
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POLIEDROS REGULARES
HEXAEDRO / CUBO
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HEXAEDRO - Propiedades:
- 6 caras cuadradas. - 8 vértices. - 12 aristas. - Caras paralelas dos a dos. 32
HEXAEDRO - Propiedades:
- 2 diagonales de cara en cada una de estas. - 4 diagonales que se cortan en el centro del poliedro. - 6 planos diagonales (cada uno de ellos contiene 2 diagonales). - Planos diagonales perpendiculares dos a dos.
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HEXAEDRO - Relaciones métricas: - Arista a Relaciones entre
- Diagonal de cara d - Diagonal del poliedro D
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HEXAEDRO - Secciones planas:
- Plano perpendicular a una diagonal del poliedro y que contiene a su centro: Hexágono regular de lado d/2 y cuyos vértices son punto medio de las aristas. 35
HEXAEDRO - Secciones planas:
- Plano perpendicular a una diagonal del poliedro a 1/3 de su extremo (pto. R): Triángulo equilátero de lado d y cuyos vértices son vértices del poliedro. 36
HEXAEDRO - Secciones planas:
- Plano perpendicular a una diagonal del poliedro a 1/3 del otro extremo (pto. S): Triángulo equilátero de lado d y cuyos vértices son vértices del poliedro. 37
HEXAEDRO - Secciones planas:
- Ambos triángulos sección están desfasados 60º.
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HEXAEDRO - Esferas en el hexaedro: - Inscrita: tangente a las caras. - Semiinscrita: tangente a las aristas. - Circunscrita contiene a los vértices. 39
HEXAEDRO
Esfera Semiinscrita
Diámetro = d 40
HEXAEDRO
Circunscrita
Inscrita
Diámetro = D
Diámetro = a 41
HEXAEDRO - Representación:
- Una cara paralela a un plano coordenado.
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HEXAEDRO - Representación:
- Una diagonal perpendicular a un plano coordenado.
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POLIEDROS REGULARES
OCTAEDRO Expresión Gráfica y D.A.O. Curso 2009/10
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OCTAEDRO
E
D
Propiedades:
C
O A
B
- 8 caras triángulos equiláteros. - Caras paralelas dos a dos.
F
- 3 diagonales del poliedro iguales y perpendiculares entre sí. - centro del octaedro punto en el que intersectan sus diagonales. 45
Propiedades:
Si dividimos un octaedro en dos por su plano diagonal, resultan dos pirámides de: - base cuadrada de lado la arista del poliedro - caras laterales triángulos equiláteros de lado la arista del poliedro. 46
OCTAEDRO E
Relaciones métricas: D
C
O
d a
A
B
a
F
Relación entre la arista y la diagonal del poliedro. 47
OCTAEDRO E
Secciones planas: D
C
O A
• 3 planos diagonales:
B
F
sección cuadrada de lado la arista del poliedro. 48
OCTAEDRO E
Secciones planas:
ortocentro
D
• Los planos que pasan por el centro del octaedro y por los puntos medios de dos aristas concurrentes, seccionan al poliedro según hexágonos regulares de lado a/2.
C
O A
B
F 49
OCTAEDRO - Esferas en el octaedro:
- Inscrita: tangente a las caras. - Semiinscrita: tangente a las aristas. - Circunscrita contiene a los vértices. 50
OCTAEDRO Esferas en el octaedro Caras proyectantes verticales
ESFERA INSCRITA
Diagonal vertical
Esfera tangente a las caras. Contiene a los centros de las caras. 51
OCTAEDRO Esferas en el octaedro
ESFERA SEMIINSCRITA
Diámetro = arista del poliedro 52
OCTAEDRO Esferas en el octaedro Caras proyectantes verticales
ESFERA CIRCUNSCRITA Diagonal vertical Diámetro = diagonal del poliedro 53
OCTAEDRO E"
d
Representación: A"
D"
B"
C"
F" D'
• Diagonal perpendicular a plano de proyección. a
C' E'=F'
A' B'
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OCTAEDRO Representación:
E" N"
C"
Z
D"
F"
M"
A"
B"
F'
• Cara paralela a plano de proyección.
D' a C' z
M'=N' A' B' E' 55
