LATEX en 15 Sesiones

A LA T X 2ε

E

en 15 sesiones Efra ´ ´ın Soto Apolinar

T ÉRMINOS DE USO c 2010. Derechos Reservados 

Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar.

Soto Apolinar, Efraín. A L T E X 2 ε en 15 sesiones. Primera edición. Incluye índice. México. 2010. qjg 2010. qjg Apreciado lector, lector, usted puede sentirse libre de utilizar la información que se encuentra en este material, bajo las siguientes condiciones: Atribución: Debe dar crédito al autor del libro, independientemente del medio que se utilice para su divulgación (impresa, electrónica, en línea, etc.) Uso no comercial: No se permite el uso de este material ni de su contenido con fines comerciales comerciales y/o lucro en forma alguna. Puede utilizarlo utilizarlo con fines educativos o de divulgación de las ciencias. Se permite el uso por instituciones educativas públicas o privadas sin fines de lucro, con la condición de que no se aplique cargo, ni en especie ni en moneda, ni en cualquier otra forma, a los usuarios finales de este material, sean estos profesores, autoridades educativas, estudiantes o público en general interesado en la enseñanza y/o el aprendizaje de las matemáticas. No Modificar: No se permite alterar, transformar, modificar, en forma alguna este material. material. Usted tiene permiso permiso para utilizarlo utilizarlo “como “como está y es ”. ” . No se permite ni agregar, ni eliminar, ni modificar: palabras, u oraciones, o párrafos, o páginas, o subsecciones, o secciones, o capítulos o combinaciones de las anteriores o parte alguna del libro. Permisos: Puede Permisos: Puede contactar al autor de este material directamente a la cuenta de correo electrónico que aparece en el prefacio. Si usted tiene una copia de este libro en formato PDF y desea incluirlo en algún sitio de Internet, primero solicite primero solicite permiso. alguno para imprimir permiso. No requiere de permiso alguno una copia de este material para uso personal.

Versión Versión Electrónica. Estrictamente prohibido el uso comercial de este material.

Prefacio

A T X 2ε ? ¿Otro manual de L A E Sí, otro manual. Ahora este manual está diseñado para todas aquellas personas LA T X 2ε , bien porque debe que tienen prisa por elaborar un material usando A E contener ecuaciones o tablas, bien porque debe diseñarse con altos estándares de calidad tipográfica, bien porque quiere aprender de manera rápida a utilizar este lenguaje tipográfico. En este manual encontrará 15 secciones que le guiarán paso a paso para apren A T X 2ε en su computadora personal, hasta der, desde cómo conseguir e instalar L A E diseñar materiales didácticos que pueda utilizar para explicar sus clases o para presentar una ponencia en un congreso. Si usted es un profesor de matemáticas interesado en mejorar la calidad visual de sus exámenes, listas de ejercicios, notas del curso, etc., o si desea elaborar un reporte con calidad de diseño editorial superior, o si el director de su trabajo de LA T X 2ε , o un estudiante que investigación de tesis le está obligando a que utilice A E quiere impresionar al profesor del curso preparando sus tareas como si hubieran sido impresas en un libro de matemáticas, o en cualquier otro caso similar, este manual es el material ideal que debe tener. Sobre todo si tiene prisa y no quiere entrar en detalles técnicos que no requiere conocer. Este manual está pensado, principalmente en todas esas personas que desean A T X 2ε tan rápid apre aprend nder er las las cues cuesti tion ones es básic básicas as de L A rápidam amen ente te como como les les sea posi posibl ble, e, E a partir de ejemplos vistos en el documento y sus respectivos códigos. En este manual aprenderá:  cómo

A T X 2ε a través de Internet, conseguir L A E

 cómo

A T X 2ε , estructurar un documento en L A E

 las

instrucciones y ambientes más frecuentemente usados,

 cómo

cambiar el aspecto de la fuente tipográfica (las letras),

 cómo

escribir ecuaciones y tablas,

A T X 2ε en L A E 15 sesiones

iv

Prefacio  cómo

incluir símbolos matemáticos como ∆x ∆ x,  ,

∞



xi , etc.,

i=0

 cómo

insertar figuras e imágenes,

 cómo

A T X 2ε , codificar gráficas de funciones desde L A E

 cómo

hacer referencia a ecuaciones, figuras y secciones del documento,

 cómo

incluir las rerefencias bibliográficas en sus documentos,

 cómo

A T X 2ε , crear sus propias instrucciones en código L A E

 cómo

A T X 2ε , crear sus propios ambientes en código L A E

 a

elaborar diapositivas usando el paquete beamer,

 a

A T X 2ε , redactar su Curriculum su Curriculum Vitae usando usando L A E

entre muchas otras cosas más. El manual contiene cientos de códigos que acompañan al resultado que verá en A T X 2ε le devolverá. También se incluyen códigos completos el documento que L A E de documentos que se generaron usando este lenguaje tipográfico así como los documentos mismos. A T X 2ε empezará a dejar a un lado esos Una vez que se decida a aprender a usar L A E procesadores de texto que dejan sus materiales con figuras mal acomodadas cada vez que vuelve a abrir sus archivos, que mueven las ecuaciones cuando las convierte a formato PDF , o que simplemente no le permite abrir su documento cuando tiene la misma plataforma, pero en otra versión. A T X 2ε . La mejor herramienta Olvídese de esos problemas y utilice L A herramienta computacomputaE cional gratuita para el profesor de matemáticas y para todo aquel que está comprometido con llegar a ser un profesional de clase mundial.

Í CONOS Como apoyo visual se han insertado al margen del texto algunos íconos que le servirán servirán de guía para localizar localizar rápidamente ideas principales principales o sugerencias sugerencias de que algo importante se cocina allí. Los siguientes símbolos son los que usted encontrará a lo largo del libro. 

Este Este símbol símboloo indica indica que el párraf párrafoo contie contiene ne instru instrucci ccione oness import important antes es para evitar confusión en el futuro, particularmente para indicar instruc A T X 2ε . ciones de la manera correcta a L A E



Este símbolo símbolo indica indica que el párrafo párrafo contiene contiene informaci información ón que puede puede ser de utilidad.

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Este símbolo indica que el código debe ser leído con cuidado para entender qué hace cada línea del mismo. Se sugiere que lo modifique para experimentar cambiando los parámetros y datos de las instrucciones y ambientes que requieren de argumentos opcionales. Así aprenderá a usar LA TE X 2ε más rápidamente.

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R E SPONSABILIDAD Los códigos que se proporcionan en este manual tienen la función de servir de ejemplo o guía para que aprenda a utilizar L A TE X 2ε . Usted puede utilizar los códigos para experimentar con ellos bajo su propio riesgo. Ni el autor, ni el editor son responsables del uso que el lector o terceras personas hagan de los mismos, así como de cualquier pérdida y/o riesgo y/o daño (causal, incidental o cualquier otro), ocasionado debido al uso y/o interpretación de la información que se incluye en este libro. Si requiere de ayuda profesional, se sugiere que solicite los servicios de un experto en el área. La información que se incluye en este manual, referente a los distintos sitios de Internet, era correcta para la fecha de edición del mismo, pero puede haber cambiado en cuanto a la información que contienen o desaparecer conforme avanza el tiempo. El control de estas cosas está fuera del alcance del editor como del autor. Agradecemos su comprensión. LA T X 2ε es un software de distribución libre, de código abierto que subsiste graE cias a la donación voluntaria de sus usuarios. Gracias por colaborar con el equipo de desarrollo de este lenguaje de tipografía científica. Para hacer donaciones visite el siguiente sitio de Internet:

@

www.miktex.org

C ONTACTO Este material ha sido revisado continuamente, pero eso no nos asegura que esté libre de errores, por eso le agradezco infinitamente reporte cualquier error que usted encuentre en este manual enviando un mensaje de correo electrónico a la siguiente cuenta: [email protected]

Todos los errores que aún se encuentran en este libro son culpa del autor de este material y de nadie más. Si usted tiene una pregunta adicional, comentario, sugerencia o cualquier otra cuestión, puede contactarme a través de la misma cuenta de correo electrónico. Estaré muy complacido de poder atenderle personalmente. Efraín Soto Apolinar. Monterrey, N.L., México. Julio de 2009.

L A TEX 2ε en 15 sesiones

vi

Prefacio


Índice

1 Bases

1.1 Sesión 1: Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. ¿Qué es L A TE X 2ε ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. ¿Cómo pronuncio L A TE X 2ε ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. ¿Cómo consigo L A TE X 2ε ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3.1 Cómo conseguir MiKTE X . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3.2 Cómo instalar MiKTE X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3.3 Cómo conseguir TE XnicCenter . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Cómo usar TE XnicCenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4.1 Definir el tipo de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4.2 Generar un documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4.3 Ubicación y corrección de errores . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sesión 2: Documentos en A LTE X 2ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Estructura de un documento en L A TE X 2ε . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Tipos de documentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Paquetes básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sesión 3: Instrucciones y ambientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Instrucciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Ambientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Caracteres especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Sesión 4: Ambientes frecuentemente usados . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Sesión 5: Otras cosas útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Formato del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Texto en color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1

3 3 4 4 5 5 8 10 11 11 11 15 15 16 17 21 21 23 24 25 29 29 30

viii

Índice 1.5.3. Fuentes tipográficas . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4. Silabeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5. Unidades de distancia . . . . . . . . . . . . . 1.5.6. Encabezados y pié de página . . . . . . . . . 1.5.7. Márgenes de la página . . . . . . . . . . . . 1.5.8. Referencias bibliográficas . . . . . . . . . . . 1.5.9. Índice de contenidos . . . . . . . . . . . . . 1.5.10. Índice de materias . . . . . . . . . . . . . . 1.5.11. Seccionar documentos largos . . . . . . . . 1.5.12. Espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.13. Nombres de secciones en Español . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . ............ .. . . . .. . . . . ............ . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . .

2 Ecuaciones y cosas peores

32 33 34 34 35 36 37 38 39 39 41 43

2.1 Sesión 6: Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Ambientes matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Álgebra elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. Geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Sesión 7: Otros símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Símbolos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Funciones matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Alfabeto Griego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Espacios en ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Galería de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sesión 8: Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Ambiente textual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Ambiente matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Sesión 9: Imágenes y figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Referencias cruzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Sesión 10: Gráficas y diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45 46 51 53 55 57 57 60 63 64 66 75 75 80 85 85 89 91 95

3 L A TEX 2ε intermedio 117 3.1 Sesión 11: Creación de instrucciones propias . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.1.1. Instrucciones sin argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.1.2. Instrucciones con argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.2 Sesión 12: Creación de ambientes propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.2.1. Ambiente tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130


ix 3.2.2. Ambiente teoremita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Ambiente prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Ambiente midefinicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Ambiente determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Sesión 13: Primeros documentos en A LTE X 2ε . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Artículo de divulgación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Un examen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Un problemita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Problema de ecuaciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5. Ley de senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6. Nueva Criba de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.7. Curriculum Vitae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.8. 600 Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.9. Formulario de cálculo infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.10. Lista de Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.11. Letreros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.12. Tarjetas de presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Sesión 14: Presentaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Instrucciones de beamer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Estructura básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Ejemplo sencillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Ejemplo con gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5. Regresión lineal y cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Sesión 15: Sugerencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Antes de la presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Diseño de diapositivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3. Diseño de materiales didácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4. Elaboración de gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5. Diseño de tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


133 135 137 139 143 143 148 151 153 155 158 170 176 180 182 185 186 189 189 190 191 194 197 213 213 214 215 216 218

x

Índice


o n U

1 B ASES

Desde el punto de vista de la historia de la ciencia, su transmisión es tan esencial como el descubrimiento. — Sarton, George.

2

Bases


1.1. SESIÓN 1: INTRODUCCIÓN

3

1.1 S ESIÓN 1: I NTRODUCCIÓN

1.1

En esta sesión vamos a describir LA TE X 2ε y a indicar cómo conseguirlo.

1.1.1 LA T X 2ε es

¿QUÉ ES L A TE X 2ε ?

un lenguaje de tipografía científica que fue originalmente diseñado E por Donald Knuth. El nombre del primer lenguaje fue TE X y después fue mejorado por Leslie Lamport. Actualmente su uso se ha difundido bastante, sobre todo entre los escritores de ciencias, particulamente de las ciencias exactas (matemáticas, física, computación, etc.) para editar de manera personal artículos. La gran ventaja que presenta L A TE X 2ε con respecto a los procesadores de texto consiste en que el autor mismo decide cómo se verá el material que está elaborando y no tiene necesidad de especificar a otra persona cómo debe verse (en el caso de editoriales). Otra ventaja digna de mencionarse, consiste en que LA TE X 2ε enumera de manera automática todas las ecuaciones y/o demás cosas que requieran enumeración (teoremas, lemas, ejemplos, definiciones, capítulos, secciones, etc.). Suponga que el autor de un libro de álgebra lineal define la instrucción: \ang{u}{v} para indicar el ángulo entre los vectores u y v. Esta definición le ayudará a imprimir en el documento: (u, v), porque frecuentemente necesita escribir: cos(u, v). Imagine que casi al terminar su libro, en la fase de revisión técnica, el editor le recomienda cambiar la coma que aparece entre los dos vectores por un punto y coma. Si el autor de este material hubiera utilizado un procesador de texto convencional, estaría obligado a realizar el cambio cada vez que encontrara en su libro la expresión: cos(u, v ). LA TE X 2ε le ahorra todo ese trabajo. Cuando usted define una instrucción (comando) L A TE X 2ε realizará exactamente lo que usted le indique. Si modifica la instrucción desde su definición, LA TE X 2ε imprimirá exactamente lo que usted indicó en cualquier parte de su documento que utilice esa instrucción, requiriendo solamente un cambio. Esto le facilita mucho el trabajo, porque tendrá la seguridad de que ninguna expresión quedó sin la modificación: L A TE X 2ε la hace cada vez que la encuentra. Con el uso de este lenguaje de programación tipográfica pueden elaborarse, además de texto y ecuaciones, diagramas, animaciones, dibujos, partituras de música, dibujar tableros de ajedrez, entre muchas otras cosas. La gran desventaja de este lenguaje consiste en que el usuario debe conocer su sintaxis, es decir, la forma precisa de indicarle a LA TE X 2ε que imprima en el documento, por ejemplo, el símbolo ⊥. No entre en pánico, apreciado lector. Aquí aprenderá las cuestiones más básicas de este lenguaje... suficiente para preparar, desde un artículo científico o L A TEX 2ε en 15 sesiones

1.1.1

4

Bases

de divulgación hasta un libro de matemáticas con la calidad de una editorial profesional. Este manual contiene cientos de ejemplos que le ayudarán a aprender L A TE X 2ε de una manera paulatina. Cada ejemplo viene acompañado del código que lo genera. Cada símbolo tiene un código para indicar a L A TE X 2ε que lo incluya en nuestro documento. Por ejemplo, el código: LATEX 2ε \begin{equation} \frac{\sqrt{1 - 2\,x}}{\sqrt{1 + 2\,x}} = \sqrt{\frac{1 - 2\,x}{1 + 2\,x}} = \left(\frac{1 - 2\,x}{1 + 2\,x}\right)^{1/2} \end{equation}

imprime en el documento:

√ 1 − 2 x √ 1 + 2 x =

1.1.2

1 2x = 1+2x

1 2x 1+2x

(1.1)

Si lo que desea es simplemente preparar sus exámenes, algunas notas o listas de ejercicios para sus cursos, preparar un reporte técnico, redactar un artículo de divulgación, preparar un artículo científico, redactar una tesis o escribir un libro completo, L A TE X 2ε le ayudará a realizar esta tarea de una manera más agradable, además de que obtendrá documentos de calidad superior. En resumen: al trabajar con L A TE X 2ε usted solamente tiene que preocuparse por el contenido, la cuestión de diseño corre por cuenta de L A TE X 2ε .

1.1.2

1.1.3

1/2

 −  − 

¿C ÓMO PRONUNCIO L A TE X 2ε ?

De acuerdo a Donald Knuth, la palabra TE X viene de una palabra griega que puede interpretarse como arte o como tecnología. Debido a esto, la pronunciación correcta de TE X es tej . En las propias palabras de Knuth, [2] “la χ de T E X es una chi Griega, no una ‘x’, así que suena como la palabra alemana ‘ ach’; en español suena como ‘ j’ y en ruso como ‘ kh’ ”. Entonces, L A TE X 2ε se debe pronunciar: “latej ”. En países de habla inglesa, debido a que la letra a se pronuncia como ‘ei ’, LA T X 2ε se pronuncia: “leitej ”. En México pronunciamos: “latej ”. E

1.1.3

¿C ÓMO CONSIGO L A TE X 2ε ?

Muy probablemente usted está acostumbrado a preparar documentos en algún procesador de texto común a la plataforma en la cual trabaja. Por ejemplo, L A TEX 2ε en 15 sesiones

1.1. SESIÓN 1: INTRODUCCIÓN R si usted trabaja en la plataforma Windows , seguramente utiliza Word de R  Microsoft . En estos procesadores usted ha generado documentos muchas veces, tantas que tal vez le parezca difícil utilizar otro software para este fin. Más cuando al diseñar documentos con este software no esté viendo el impreso en pantalla. Este es precisamente el caso de L A TE X 2ε . Pues con él solamente estará viendo código fuente. Para tener idea de qué es lo que usted estará viendo mientras edita su documento puede ver los documentos de ejemplo que se incluyen en este libro a partir de la página 143. Para preparar documentos en L A TE X 2ε , usted va a necesitar:

5

 i

Una computadora: para instalar los programas que se indican más adelante y preparar los documentos en ellos, TEXnicCenter: para editar el código fuente en lenguaje L A TE X 2ε con el fin de preparar sus documentos, y MiKTEX: para que la computadora pueda procesar los documentos que prepare en el software TE XnicCenter. Así que vamos a empezar con la instalación de LA TE X 2ε . 1.1.3.1 Cómo conseguir MiKTEX LA T X 2ε es

un software libre. Hay versiones para utilizar en Windows, Mac, E Linux, etc. Puede descargar la versión para Windows desde la siguiente dirección de internet: www.miktex.org

En la página encontrará un enlace en la sección MiKTEX Releases (Versiones de MiKTE X). Elija la versión y dé un clic sobre el enlace correspondiente (Download). Esto abrirá una nueva página. Usted debe buscar una liga que diga Installing a basic MiKTEX system. Después oprima en la liga que dice: Download Basic MiKTEX installer. El MiKTE X es un conjunto de librerías que tienen las instrucciones para generar los documentos en el código L A TE X 2ε . 1.1.3.2 Cómo instalar MiKTEX Para instalar MiKTE X debe dar doble clic sobre el archivo ejecutable que descargó. Aparecerá la siguiente ventana, mostrando los términos de uso del programa. Lea completamente los términos de uso del software1 . Si está de acuerdo presione el cuadrado blanco para seleccionarlo. Con esto está aceptando las condiciones para instalar el paquete en su computadora. 1 Estos

términos de uso están en Inglés. Si no los entiende, usted decida bajo su propio riesgo si instala el programa o no.


@ En este manual la palabra clic se refiere a presionar el botón izquierdo del ratón (mouse ) de la computadora.

6

Bases

Presione aquí Luego aquí Después puede presionar el botón siguiente de la misma ventana. Aparecerá la siguiente ventana preguntándole si desea que este programa pueda ser usado por todos los usuarios que utilizan la computadora. Personalmente sugiero que se permita a otros usuarios utilizarlo, de otra manera, si alguien inició sesión diferente a la suya y usted desea hacer un cambio pequeño a un archivo, puede utilizar el software sin tener que iniciar una nueva sesión.

Después de presionar siguiente aparecerá la siguiente ventana preguntándole la dirección de la carpeta donde guardará los archivos del programa.



MiKTE X sugiere la dirección: C:\Program Files\MiKTeX\

donde se ha suprimido la versión. Acepte esta dirección y presione siguiente. Aparecerá la siguiente ventana preguntando el tipo de página que prefiere. Normalmente dirá A4 . El autor siempre cambia esta opción a letter (tamaño carta). En realidad no hay gran diferencia, pues al elaborar documentos usted siempre le puede indicar al programa qué tamaño de página utilizar. En la siguiente línea de texto le pregunta si debe solicitar permiso al usuario antes de instalar paquetes en caso de que requiera utilizar uno que aún no esté instalado, o si puede instalarlo automáticamente sin preguntar. El autor sugiere que el programa siempre pregunte. Así que deje la opción como está.

Al presionar Siguiente obtenemos el resumen de opciones que hemos elegido:

Después de presionar Start MiKTE X se instalará en su computadora. Además de MiKTE X requeriremos de un software para editar los documentos que deseemos generar con L A TE X 2ε . El autor de este material utiliza el programa TE XnicCenter. L A TEX 2ε en 15 sesiones

7

8

Bases

1.1.3.3 Cómo conseguir TEXnicCenter El programa TE XnicCenter también es libre y puede descargarlo desde el siguiente sitio de Internet:

@

http://www.texniccenter.org/

En este sitio debe encontrar la liga que dice Download the current version of TeXnicCenter. Esto abrirá una nueva página donde debe encontrar la liga: TEXnicCenter Installer. Generalmente le enviará a otro sitio de Internet2 de donde pueda descargar el software. Ahora debe instalarlo en su computadora. Esto lo consigue haciendo doble clic sobre el archivo ejecutable que descargó ( TXCSetup_1StableRC1.exe) y presionando Siguiente (Next) en cada ventana. Después de instalar TE XnicCenter tendrá que indicarle varias cosas. Para eso, cuando desee utilizar el programa por primera vez aparecerá una ventana indicándole que requiere de cierta información.

Después de presionar Siguiente aparecerá la siguiente ventana, y le debe indicar dónde están los archivos ejecutables del programa MiKTE X.

Presione aquí

2 http://sourceforge.net/projects/texniccenter/files/



Para eso, debemos buscarlos en el disco duro de la computadora, probablemente en una dirección como la siguiente: C:\Archivos de programa\MiKTeX\miktex\bin

Una vez que le haya indicado verá una ventana como la siguiente:

Presione Siguiente . En las siguientes ventanas se le pedirá la carpeta donde TE XnicCenter puede encontrar los programas que deben usarse para ver los documentos en los diferentes formatos que se generarán usando LA TE X 2ε . Generalmente el programa TE XnicCenter se ocupa de eso, así que bastará con que presione Siguiente en cada una de ellas. Cada ventana será muy parecida a las siguientes: L A TEX 2ε en 15 sesiones

9

10

Bases

Finalmente aparecerá la ventana donde debe presionar Finalizar :

1.1.4

Ahora sí, está listo para redactar su primer documento en L A TE X 2ε .

1.1.4

C ÓMO USAR TE X NIC C ENTER

En la siguiente imagen se muestra la pantalla del programa TE XnicCenter.

Área de texto

Área de mensajes

Escriba aquí el código de su documento

(Output Bar)



11

1.1.4.1 Definir el tipo de salida Antes de codificar su primer documento en L A TE X 2ε debe definir el formato (tipo) de documento que TE XnicCenter generará. LA T X 2ε puede generar archivos en formato PDF , DVI ó PS. Usted debe indicar E cuál quiere generar. El autor prefiere generar archivos en formato PDF. Para indicarle a LA TE X 2ε que genere un documento en formato PDF debe ir a la barra de herramientas de L A TE X en el programa TE XnicCenter y elegir la opción LaTeX => PDF:

Cuando TE XnicCenter se instala indica la opción LaTeX => DVI . 1.1.4.2 Generar un documento Ahora puede generar un documento. Para eso, después de haberlo codificado en el área de texto del programa TE XnicCenter, debe presionar la combinación de teclas Ctrl + Shift + F5 . O bien, puede indicarlo en la barra de herramientas de L A TE X en el programa TE XnicCenter y dar un clic en el botón Build and View. Si desea generarlo sin ver el documento, solamente para verificar que el código no contenga errores de sintáxis, puede utilizar la combinación de teclas Ctrl + F7 o en su lugar el botón Build indicado en la siguiente figura: Build

Build and View

1.1.4.3 Ubicación y corrección de errores Si después de generar el documento TE XnicCenter encuentra errores, la ventana de salida Output Bar le indicará, como se muestra a continuación:


12

Bases

Para saber exactamente dónde están los errores, puede utilizar las teclas F9 (Next Error) para ir al siguiente error, y Shift + F9 (Previous Error) para ir al anterior. LA T X 2ε le indicará cuál fue el error, la línea del código en la que se encuentra y E usted debe corregirlo. Igual, puede utilizar, de la barra de TE XnicCenter los botones Next Error y Previous Error como se muestran en la siguiente figura:

Next Error

Previous Error

Para que el programa TE XnicCenter muestre el número de línea del código del documento que está editando, vaya al menú Tools, elija Options y de la ventana elija la pestaña Editor. Dé un clic en el cuadro para elegir la opción show line numbers para que muestre los números de línea.

Presione aquí

Después de presionar Aceptar podrá ver los números de línea a la izquierda del área de texto. Frecuentemente encontrará errores en el código de los documentos que usted vaya generando. Lo importante es saber qué hacer en cada caso. La mayoría de las veces LA TE X 2ε le indicará cuál es el error en Inglés. Si usted no entiende Inglés, necesitará una buena dosis de paciencia para encontrar los errores en el código. Si entiende el Inglés (leído) entonces le será bastante fácil encontrarlos. L A TEX 2ε en 15 sesiones


13

Es importante mencionar que frecuentemente L A TE X 2ε se confunde y a partir de un solo error indica que ha cometido varios. Por ejemplo, si usted ingresa el código: LATEX 2ε \documentclass{article} \usepackage[ansinew]{inputenc} % Español \usepackage{pifont} % Fuentes para viñetas % \begin{document} \begin{dinglist} % aqui está el error \item Lista con viñetas \item En la cual no se ha indicado \item Cuál de las viñetas usará... \end{dinglist} \end{document}

y trata de generar el documento, L A TE X 2ε le indicará que tiene 101 errores. En realidad se trata de un solo error y se corrige completando la instrucción inicial de la lista: LATEX 2ε \documentclass{article} \usepackage[ansinew]{inputenc} % Español \usepackage{pifont} % Fuentes para viñetas % \begin{document} \begin{dinglist}{51} % aqui estaba el error \item Lista con viñetas \item En la cual ya se ha indicado \item Cuál de las viñetas usará... \item La viñeta utilizada es: \ding{51}. \end{dinglist} \end{document}

Este código compila sin errores y genera en el documento lo siguiente:

 Lista 

con viñetas

En la cual ya se ha indicado

 Cuál  La

de las viñetas usará...

viñeta utilizada es: .

Otra cosa importante que debe saber es que usted debe cerrar el documento que generó (formato PDF) antes de volverlo a generar. Porque si el documento está abierto, L A TE X 2ε no podrá borrarlo antes de volver a escribirlo. Si tiene abierto el documento, L A TE X 2ε le indicará 3 errores. Esto le ayudará a recordar que debe cerrarlo desde el programa que utilice para verlo 3 . Una fuente frecuente de errores para todo principiante en el uso de L A TE X 2ε es la anidación de los paréntesis y demás signos de agrupación. R 3 Puede ser Acrobat Reader 


o alguno similar.

14

Bases

Igualmente, el iniciar y cerrar adecuadamente los ambientes que se utilizan cuando usted está codificando un documento le permite generar código más rápidamente. Siempre que inicie un ambiente, ciérrelo inmediatamente y luego escriba dentro lo que desee incluir en él. Así se evitará errores en la compilación de su documento. Por ejemplo, si desea centrar una línea de texto en su documento, empiece escribiendo: LATEX 2ε \begin{center} \end{center}

Después regrese el cursor para incluir la línea que desea centrar entre las dos instrucciones que ya escribió: LATEX 2ε \begin{center} Esta línea aparece centrada. \end{center}

Así se evitará minutos en la búsqueda de errores en la codificación.


1.2. SESIÓN 2: DOCUMENTOS EN LATEX 2ε

15

1.2 S ESIÓN 2: D OCUMENTOS EN L A TE X 2ε En esta sección vamos a estudiar la estructura de un documento en L A TE X 2ε , algunos paquetes básicos que se utilizan muy frecuentemente, así como las instrucciones y los ambientes que se utilizan más en la mayoría de los documentos.

1.2.1

1.2 1.2.1

E STRUCTURA DE UN DOCUMENTO EN L A TE X 2ε

Para crear un documento que contenga su nombre, basta el siguiente código: LATEX 2ε \documentclass{article} % este es el preámbulo de este documento \begin{document} Hola, mi nombre es:

% enseguida escriba su nombre.

% Aquí puede incluir todo el texto que desee... \end{document}

 La instrucción \documentclass{} le indica a LA TE X 2ε qué tipo de documento

crearemos. En este caso se trata de un artículo ( article).



 El

espacio contenido entre \documentclass{} y \begin{document} se conoce como preámbulo del documento.

 La

instrucción \begin{document} indica el inicio del documento.

 La

instrucción \end{document} indica el fin del documento.

Cualquier texto que aparezca después de un símbolo de porcentaje (%) (en el mismo renglón) L A TE X 2ε lo ignorará. En otras palabras, cualquier comentario que desee agregar a su documento puede incluirlo iniciándolo con %. Cuando usted escribe un documento en código L A TE X 2ε , el documento que usted verá, es un archivo que contiene texto solamente. Ahí no verá gráficos, el tipo de fuente que usted verá siempre será el mismo, nunca verá una ecuación o símbolo matemático como los verá en el documento final. No debe ser sorpresa que el código que usted prepara en TE XnicCenter sea así. Después de todo, L A TE X 2ε es un lenguaje de programación. Es importante recordar que L A TE X 2ε no ignora letras en cuanto a si son mayúsculas o minúsculas. Por ejemplo, si usted inicia el documento con la siguiente instrucción: \Begin{document}, L A TE X 2ε le indicará un error. La forma correcta de escribir la instrucción es: \begin{document}. Este tipo de errores es difícil de identificar, porque parece que el código está bien redactado. L A TEX 2ε en 15 sesiones





16

Bases

Usted debe tener cuidado con estas cuestiones básicas.

1.2.2

1.2.2

T IPOS DE DOCUMENTOS

En L A TE X 2ε podemos definir cualquiera de los siguientes tipos de documentos:



{article} para escribir artículos científicos. {beamer} para preparar una presentación con dispositivas. {book} para preparar un libro. {letter} para escribir una carta. {report} para redactar un reporte. {slides} para preparar una presentación con dispositivas. Cada tipo de documento tiene especificados ciertas cuestiones que facilitan al usuario la edición del material, dado que ya no se debe preocupar por los márgenes, encabezados, enumeración de las ecuaciones, secciones, subsecciones, dar formato a los encabezados de las secciones y subsecciones, etc. Podemos definir el tamaño de la fuente4 en las opciones del documento de la siguiente manera: LATEX 2ε \documentclass[12pt]{book} % Para preparar un libro...

Podemos definir 12, 11 ó 10 puntos ( pt) entre corchetes. Si no especifica un tamaño, LA TE X 2ε de manera automática considera 10pt. Esta no es la única opción que podemos incluir entre corchetes. El tamaño de la hoja del documento también puede definirse. Por ejemplo: LATEX 2ε \documentclass[letterpaper,12pt]{book}

indica que la hoja sobre la cual aparecerá el documento es tamaño carta. Otros tamaños definidos son: legalpaper (oficio), executivepaper (ejecutivo), a4paper, a5paper, b5paper. Observe que las opciones se separan por comas cuando incluimos varias entre los corchetes. Otras opciones que podemos incluir en la instrucción \documentclass{} son:



landscape crea el documento con la hoja horizontal. De manera automática LA T X 2ε considera los documentos con página vertical, excepto cuando se E prepara una presentación con diapositivas. 4 En

tipografía, una fuente es un tipo específico de letras que se utilizan para editar un documento.



17

titlepage indica que se debe incluir una página aparte para el título del documento. notitlepage indica que no se debe incluir una página aparte para el título del documento. leqno imprime el número de las ecuaciones a la izquierda. Normalmente se imprimen a la derecha de las ecuaciones. draft indica que el documento es un borrador. No es el documento final. final indica que es el documento que se va a imprimir, de manera que incluye todas las imágenes insertadas en el mismo. oneside indica que todas las hojas se consideran impares, por la cuestión de los márgenes. twoside indica que debe considerar hojas pares e impares para imprimir con margen distinto en cada página. openright indica que un nuevo capítulo se inicie en una página impar. openany indica que un nuevo capítulo puede inciar en cualquier página, par o impar. twocolumn indica que el documento estará impreso a dos columnas. Las últimas cuatro opciones no se pueden utilizar en el documento de clase slides. Además, cuando usamos slides la opción clock imprime la hora al pie de cada diapositiva.

1.2.3

1.2.3

P AQUETES BÁSI COS

En L A TE X 2ε usamos paquetes que contienen definiciones de instrucciones que nos ayudan a elaborar mejores materiales. Como regla, debemos cargar los paquetes en el preámbulo del documento que estemos generando. Por ejemplo, la instrucción: LATEX 2ε \usepackage[ansinew]{inputenc}

% Defino idioma Español

Le indica a L A TE X 2ε que en el documento deseo utilizar todos los símbolos del idioma español. Esto carga a la memoria de la computadora instrucciones para imprimir en el documento letras y signos comúnes en el español, entre los cuales se incluyen acentos, letras (como la ñ) y algunos otros símbolos que no se encuentran cargados de manera automática en L A TE X 2ε . Un ejemplo del preámbulo de un artículo es el siguiente: L A TEX 2ε en 15 sesiones



18

Bases LATEX 2ε % Paquete para permitir el uso de los signos del español \usepackage[ansinew]{inputenc} % Paquete para utilizar encabezados y % pie de página del documento... \usepackage{fancyhdr} % Paquete para cargar las fuentes matemáticas \usepackage{amsfonts} % Paquetes para utilizar símbolos matemáticos % de la AMS (American Mathematical Society) \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} % Paquete para utilizar color en letras y simbolos... \usepackage{color} % Paquete para enumerar de distintas formas \usepackage{enumerate} % Paquete para imprimir cajas con sombra y demás... \usepackage{fancybox}

En general, la sintaxis para cargar un paquete en LA TE X 2ε es: LATEX 2ε \usepackage[opciones]{paquete}



El argumento entre corchetes ([ ]) no es obligatorio, sino opcional, por eso ahí se incluyen las opciones del documento. El argumento que se escribe entre llaves ({ }) corresponde al nombre del paquete. Aquí se enlistan los paquetes que más frecuentemente se utilizan en la mayoría de los documentos: Paquete amsmath attachfile beamer color colortbl dingbat enumerate fancybox fncychap geometry graphicx hyperref makeidx multicol pifont picinpar pst tikz

Se usa para: Incluir fuentes matemáticas. Agregar archivos adjuntos. Preparar presentaciones. Incluir fuentes tipográficas con color. Incluir color en las tablas. Incluir símbolos tipográficos. Hacer listas enumeradas de distintas maneras. Elaborar cajas con texto dentro. Cambiar el estilo del título del capítulo. Cambiar los márgenes de la página. Insertar imágenes. Insertar referencias cruzadas. Crear un índice alfabético. Imprimir el texto en varias columnas. Incluir símbolos tipográficos. Incluir imágenes en un párrafo. Elaborar dibujos y diagramas. Elaborar dibujos y diagramas. L A TEX 2ε en 15 sesiones


Puede consultar los manuales de cada uno de los paquetes que tiene la instalación que usted tiene en su computadora en el directorio donde se grabaron los archivos de MiKTE X, en una carpeta con ubicación semejante al siguiente: C:\Program Files\MiKTeX\doc\latex\

Por ejemplo, para elaborar la siguiente caja con sombra utilizamos el paquete: fancybox.

Hola... Esta es una caja con sombra.

que se obtiene con el código: LATEX 2ε \begin{center} \shadowbox{Hola... Esta es una caja con sombra.} \end{center}

El paquete enumerate sirve para enumerar de maneras distintas. La siguiente lista es un ejemplo:

I. Esta es una lista enumerada II. solamente con números romanos A. Esta es una sublista enumerada B. con letras mayúsculas. III. Ahora otra lista... a) Esta es otra sublista b) enumerada con letras minúsculas. IV. Aquí termina la lista principal. que se obtiene con el siguiente código: LATEX 2ε \begin{enumerate}[I.] \item Esta es una lista enumerada \item solamente con números romanos \begin{enumerate}[A.] \item Esta es una sublista enumerada


19

20

Bases \item con letras mayúsculas. \end{enumerate} \item Ahora otra lista... \begin{enumerate}[a)] \item Esta es otra sublista \item enumerada con letras minúsculas. \end{enumerate} \item Aquí termina la lista principal. \end{enumerate}

Para imprimir texto en algún color, necesitamos cargar el paquete color y utilizamos la instrucción \textcolor{color}{texto}. Por ejemplo, LATEX 2ε \begin{center} \textcolor{blue}{Texto en color azul.}\\ \textcolor{red}{Texto en color rojo.}\\ \textcolor{brown}{Texto en color café.}\\ \textcolor{cyan}{Texto en color cyan.}\\ \textcolor{gray}{Texto en color gris.} \end{center}

lo cual imprime en el documento:

Texto en color azul. Texto en color rojo. Texto en color café. Texto en color cyan. Texto en color gris. A lo largo del manual se muestran algunos de ejemplos de uso de estos paquetes.


1.3. SESIÓN 3: INSTRUCCIONES Y AMBIENTES

21

1.3 S ESIÓN 3: I NSTRUCCIONES Y AMBIENTES En L A TE X 2ε se definen instrucciones y ambientes para indicarle exactamente cómo deseamos diseñar el documento que estamos elaborando. Cada instrucción debe escribirse correctamente, pues L A TE X 2ε es un lenguaje de tipografía científica. Si usted desea incluir, por ejemplo el símbolo , debe escribir exactamente \ell. Si escribe el código: \Ell, o \ELL, o \ELl, LA TE X 2ε le indicará que no entiende esa instrucción.

1.3.1

1.3

1.3.1

I NSTRUCCIONES

En L A TE X 2ε las instrucciones siempre inician con el símbolo \ seguido del nombre de la instrucción. Una instrucción puede no requerir de argumentos. Por ejemplo: \hrule indica a L A TE X 2ε que debe dibujar una línea horizontal. Algunas instrucciones que no requieren argumentos son:



• \newline, que sirve para ocasionar un salto de línea (al siguiente renglón del documento),

• \newpage, que ocasiona un salto de página, es decir, inicia una nueva página,

• \par, que indica que inicie un nuevo párrafo, • \star, que imprime:  , • \today que imprime la fecha actual en el documento. Algunas de las instrucciones requieren de argumentos obligatorios, los cuales se deben incluir entre llaves ({ }). Por ejemplo la instrucción: LATEX 2ε \vspace{5cm}

le indica a L A TE X 2ε que debe dejar 5 cm de espacio vertical en blanco. Algunas otras instrucciones que sí requieren de argumentos son las siguientes:

• \footnote{Una nota}, imprime5 Una nota en el pié de página actual (vea el pié de página).

• \fbox{Texto}, imprime 5 Una nota


Texto : dibuja una caja alrededor del texto.



22

Bases

• \emph{Texto}, imprime Texto: imprime el texto Texto enfatizado. • \section{Nombre}, indica el inicio de una nueva sección. Finalmente, algunas instrucciones permiten agumentos opcionales, los cuales deben incluirse entre corchetes ( [ ]). Por ejemplo: LATEX 2ε \rule[2pt]{5cm}{1pt}



le indica a L A TE X 2ε que debe imprimir una línea de 5 cm de largo y 1 pt de grosor a una altura de 2 pt respecto del nivel de la línea de texto actual. Algunas instrucciones que tienen posibilidad de argumentos opcionales son:

• \usepackage[Lenny]{fncychap}, indica que cargue el paquete para cambiar el formato del encabezado de los capítulos utilizando la opción Lenny.

• \rule[2pt]{1.5cm}{2pt}, imprime una línea de 1.5 cm de largo, 2 puntos de ancho y 2 puntos arriba del margen inferior del texto:

.

• \rule{1.5cm}{2pt}, imprime una línea de 1.5 cm de largo y 2 puntos

de ancho: . En esta instrucción, dado que no se incluye el argumento opcional, imprime la línea a una altura cero, es decir, en el nivel del renglón actual.

• \chapter[Titulo Corto]{Titulo

Largo}, indica que se incluya en el

índice de contenidos como en el encabezado de las páginas del documento Titulo Corto, y en el encabezado del capítulo el texto Titulo Largo.

Algunas instrucciones se definen de manera automática cuando usted carga LA T X 2ε , pero otras vienen incluidas en los paquetes. Conforme vaya avanzando E en la preparación de documentos aprenderá, por la necesidad, cuáles están en los paquetes y cuáles están cargadas automáticamente en LA TE X 2ε . Para saber qué cosas se pueden hacer en LA TE X 2ε el autor sugiere revisar los manuales de los paquetes que vienen incluidos en la instalación. Para eso puede ir a la carpeta: C:\Program Files\MiKTeX\doc


1.3. SESIÓN 3: INSTRUCCIONES Y AMBIENTES

1.3.2

23

A MBIENTES

En L A TE X 2ε se cargan automáticamente lo que se define como ambientes. Estos ambientes solamente indican qué se desea hacer con el código que aparece dentro de su ámbito. Todos los ambientes inician con \begin{ambiente} y terminan con \end{ambiente}, donde ambiente es el nombre del ambiente que deseamos aplicar al código que está entre estas instrucciones. Por ejemplo, para centrar texto, usamos el ambiente center:

1.3.2

LATEX 2ε \begin{center} Este texto está centrado. \end{center}

que incluirá en el documento:

Este texto está centrado. Algunos de los ambientes más frecuentemente usados para la elaboración de documentos están en la siguiente tabla: Ambiente: array center description enumerate eqnarray equation figure flushright flushleft itemize minipage tabular theorem verbatim

Se usa para: elaborar tablas en ambiente matemático. centrar texto. editar listas descriptivas. editar listas enumeradas. editar arreglos de ecuaciones. editar ecuaciones. ubicar figuras. justificar texto a la derecha. justificar texto a la izquierda. editar listas con viñetas. insertar una minipágina dentro de otra página. elaborar tablas en ambiente textual. editar teoremas. incluir código en el documento.

En la siguiente sección encontrará ejemplos del uso de estos y otros ambientes frecuentemente usados en la elaboración de materiales usando LA TE X 2ε . Al igual que con las instrucciones, algunos ambientes se definen dentro de diferentes paquetes, así que usted irá aprendiendo a utilizarlos conforme se vaya requiriendo y necesite averiguar cómo generar, por ejemplo una gráfica de una función en L A TE X 2ε , pero sin insertar una imagen, sino editando código LA T X 2ε en el documento y que un paquete la elabore. En la sección 2.4 hay E ejemplos de códigos para generar gráficas y figuras usando L A TE X 2ε . L A TEX 2ε en 15 sesiones



24

Bases

1.3.3

1.3.3

C ARAC TERES ESPECIALES

Los siguientes caracteres son considerados especiales: LATEX 2ε # $ % & ~ _ ^ \ { }

Con esto se entiende que no podemos imprimir estos caracteres en L A TE X 2ε simplemente escribiéndolos en nuestro código. Para que se imprima cada uno de ellos debemos anteponer el símbolo \, excepto para este caracter, que se obtiene con el siguiente código: LATEX 2ε % para imprimir en un documento la % diagonal inversa escribimos: \textbackslash

Por ejemplo: LATEX 2ε El símbolo \textbackslash\ es considerado como un caracter especial en \LaTeXe.

incluye en el documento lo siguiente: El símbolo \ es considerado como un caracter especial en L A TE X 2ε . Para incluir el signo de pesos en un documento o cualquier otro de los caracteres especiales6 iniciamos la instrucción con el símbolo \: LATEX 2ε Luis compró 12 manzanas por \$25.00 pesos.

incluye en nuestro documento: Luis compró 12 manzanas por $25.00 pesos.



Observe que no debemos dejar un espacio entre la diagonal inversa y el caracter especial para que se incluya en el documento. Si usted deja un espacio en blanco en medio, L A TE X 2ε entenderá primero que desea imprimir un espacio en blanco (eso es lo que hace \7 ) y segundo que desea iniciar el ambiente matemático8 dentro del párrafo. Debe tener cuidado con eso. 6 Excepto, claro está, el símbolo \. 7 El símbolo  indica el caracter espacio en blanco. 8 En la sección 2.1 se explica qué es y para qué sirve el ambiente matemático.


1.4. SESIÓN 4: AMBIENTES FRECUENTEMENTE USADOS

1.4 S ESIÓN 4: A M BIENTES FRECUENTEMENTE USADOS En la página 23 se muestra una tabla con los ambientes que más frecuentemente usamos al elaborar documentos. En esta sección vamos a incluir código de ejemplo para aprender a utilizar algunos de ellos, principalmente los que no incluyen ambiente matemático, porque esos los estudiaremos en el siguiente capítulo. Empezamos con las listas. LATEX 2ε \begin{itemize} \item Esta es una lista con viñetas. \item Cada viñeta se inserta con la instrucción \verb|\item|. \end{itemize}

incluye en el documento:

• Esta es una lista con viñetas. • Cada viñeta se inserta con la instrucción \item. Con el ambiente enumerate podemos hacer listas enumeradas como la que se muestra enseguida:

1. Esta es una lista enumerada. 2. Podemos anidar varias listas como sigue: A. Primer argumento. B. Segundo argumento. 3. Penúltimo punto. a. Otro primer argumento. b. Otro segundo argumento. 4. Último punto. que se obtuvo con el siguiente código: LATEX 2ε \begin{enumerate}[1.] % requiere el paquete enumerate \item Esta es una lista enumerada. \item Podemos anidar varias listas como sigue: \begin{enumerate}[A.] \item Primer argumento.


25

1.4

26

Bases \item Segundo argumento. \end{enumerate} \item Penúltimo punto. \begin{enumerate}[a.] \item Primer argumento. \item Segundo argumento. \end{enumerate} \item Último punto. \end{enumerate}

Ahora vamos con el ambiente description: LATEX 2ε La siguiente es una lista descriptiva: \begin{description} \item [Binomio:] Expresión algebraica formada por la suma de dos términos. \item [Trinomio:] Expresión algebraica formada por la suma de tres términos. \end{description}

incluye en el documento: La siguiente es una lista descriptiva: Binomio: Expresión algebraica formada por la suma de dos términos. Trinomio: Expresión algebraica formada por la suma de tres términos. Algunos ambientes para justificar texto son:

Texto centrado. Texto justificado a la derecha. Texto justificado a la izquierda. Esto se obtuvo con el siguiente código: LATEX 2ε \begin{center} Texto centrado. \end{center} \hline % una línea horizontal \begin{flushright} Texto justificado a la derecha. \end{flushright} \hline % otra línea horizontal \begin{flushleft} Texto justificado a la izquierda. \end{flushleft}

El ambiente minipage sirve para incluir una minipágina dentro de otra página. L A TEX 2ε en 15 sesiones

1.4. SESIÓN 4: AMBIENTES FRECUENTEMENTE USADOS

Este ambiente requiere de dos argumentos. El primero indica el ancho de la minipágina. El segundo argumento será lo que contiene la minipágina. El siguiente ejemplo ilustra su uso: LATEX 2ε \begin{minipage}{5cm} Esta es una minipágina. Aquí podemos incluir otros ambientes. Por ejemplo una lista con viñetas: \begin{itemize} \item Uno, \item Dos y \item Tres... \item Que paso tan chévere! \end{itemize} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{5cm} Esta es otra minipágina que aparecerá a la derecha de la anterior. Igual, podemos incluir una imagen o una figura en esta minipágina o en la anterior. \end{minipage}

Y en el documento usted verá: Esta es una minipágina. Aquí podemos incluir otros ambientes. Por ejemplo una lista con viñetas:

Esta es otra minipágina que aparecerá a la derecha de la anterior. Igual, podemos incluir una imagen o una figura en esta minipágina o en la anterior.

• Uno, • Dos y • Tres... • Que paso tan chévere!

Podemos obtener un efecto similar al anterior si usamos el ambiente multicols que nos sirve para incluir texto en varias columnas y que viene definido en el paquete multicol. El siguiente código muestra un ejemplo de su uso y el efecto que obtenemos: LATEX 2ε \begin{multicols}{2} % requiere del paquete multicol Aquí también podemos incluir otros ambientes, como texto centrado, justificado a la derecha o izquierda, entre otros. La diferencia con el ejemplo anterior consiste en que en este caso \LaTeXe\ decide a partir de dónde se incluye en la columna de la derecha. \end{multicols}


27 La

instrucción describe en la pag. 39. \hfill se

28

Bases

Incluye en el documento:

Aquí también podemos incluir otros ambientes, como texto centrado, justificado a la derecha o izquierda, entre otros.

La diferencia con el ejemplo anterior consiste en que en este caso L A TE X 2ε decide a partir de dónde se incluye en la columna de la derecha.

Algunas veces vale la pena incluir texto o ecuaciones en varias columnas, por ejemplo, en una lista de ejercicios.

Lista de ejercicios

La

instrucción se describe en la pag. 29. \textbf{ }

1. y = x

4. y = x + 2

2. y = x + 1

5. y = x − 2 . 6. ..

3. y = x − 1 que se obtuvo con el siguiente código:

LATEX 2ε % No olvide incluir en el preambulo % de su documento la siguiente instrucción: % \usepackage{multicol} \begin{center} \textbf{Lista de ejercicios} \end{center} \begin{multicols}{2} % requiere del paquete multicol \begin{enumerate}[1.] % requiere del paquete enumerate \item $y = x$ \item $y = x + 1$ \item $y = x - 1$ \item $y = x + 2$ \item $y = x - 2$ \item $\vdots$ \end{enumerate} \end{multicols}

Una gran cantidad de ejemplos de uso de estos y otros ambientes encontrará en las secciones que está por leer. Además de estos ambientes, existen otros que no se cargan de manera automática con L A TE X 2ε , sino que vienen definidos en diferentes paquetes. Para esos tendremos oportunidad más adelante de aprender sobre ellos.


1.5. SESIÓN 5: OTRAS COSAS ÚTILES

29

1.5 S ESIÓN 5: O TRAS COSAS ÚTILES A la hora de elaborar materiales didácticos hay algunas cosas que no son muy matemáticas que digamos. Por ejemplo, el diseño de figuras: qué tamaño deben tener, cómo deben ubicarse en el documento, etc. Hay cosas que son elementales y bastante obvias. Un documento bien elaborado tiene que cumplir con la función para la cual se diseñó. Si los estudiantes no pueden entender el material debido a que la fuente tipográfica (tipo de letra) que usa en el documento es ilegible, el diseño es pésimo. Tal vez el documento tenga renglones demasiado largos que al leerlos se pierdan entre los renglones vecinos y se equivoquen al leer. O tal vez las figuras estén demasiado pequeñas para notar con claridad la cantidad de símbolos que hay en ellas. Estas cosas son más de diseño que de matemáticas o de su enseñanza y aprendizaje. Así que vamos a dar algunas herramientas que pueden ayudarle a crear un buen documento usando L A TE X 2ε .

1.5.1

1.5



1.5.1

F ORMATO DEL T EXTO

Un cambio en la fuente tipográfica ayuda a enfatizar ideas o resaltar una palabra o una frase en algún argumento. Podemos cambiar el aspecto de la fuente con las siguientes instrucciones:



Texto normal \textnormal{Hola} Hola Hola Enfatizado \emph{Hola} Hola Roman \textrm{Hola} Sans Serif \textsf{Hola} Hola Type writer \texttt{Hola} Hola Hola Upright \textup{Hola} Itálica \textit{Hola} Hola Inclinada \textsl{Hola} Hola H OL A Small Caps \textsc{Hola} Negrita \textbf{Hola} Hola Hola Peso y ancho normal \textmd{Hola} Para cambiar el tamaño de la fuente usamos las siguientes instrucciones:




30

Bases  \tiny

 \large

 \scriptsize

 \Large

 \footnotesize

 \LARGE

 \small

 \huge

 \normalsize

 \Huge

Por ejemplo, el siguiente código: LATEX 2ε \begin{center} \tiny{Fuente tamaño tiny}\\ \scriptsize{Fuente tamaño scriptsize}\\ \footnotesize{Fuente tamaño footnotesize}\\ \small{Fuente tamaño small}\\ \normalsize{Fuente tamaño normalsize}\\ \large{Fuente tamaño large}\\ \Large{Fuente tamaño Large}\\ \LARGE{Fuente tamaño LARGE}\\ \huge{Fuente tamaño huge}\\ \Huge{Fuente tamaño Huge}\\ \end{center} \normalsize

incluye en el documento lo siguiente:

Fuente tamaño tiny

Fuente tamaño scriptsize

Fuente tamaño footnotesize

Fuente tamaño small

Fuente tamaño normalsize

Fuente tamaño large

Fuente tamaño Large

Fuente tamaño LARGE

Fuente tamaño huge

Fuente tamaño Huge 1.5.2 1.5.2

T EXTO EN COLOR

También es posible cambiar el color del texto. Para esto necesitamos el paquete color. LATEX 2ε \begin{center} \textcolor{blue}{Texto en color azul.}\\


1.5. SESIÓN 5: OTRAS COSAS ÚTILES \textcolor{red}{Texto en color rojo.}\\ \textcolor{brown}{Texto en color café.}\\ \textcolor{cyan}{Texto en color cyan.}\\ \textcolor{gray}{Texto en color gris.}\\ \textcolor{green}{Texto en color verde.}\\ \textcolor{pink}{Texto en color rosa.}\\ \textcolor{violet}{Texto en color morado.}\\ \textcolor{white}{Texto en color blanco.} \end{center}

Y en el documento obtenemos:

Texto en color azul. Texto en color rojo. Texto en color café. Texto en color cyan. Texto en color gris. Texto en color verde. Texto en color rosa. Texto en color morado. Texto en color blanco. Igual, podemos combinar las anteriores instrucciones para obtener fuentes para mejorar el diseño de nuestros materiales. Por ejemplo: LATEX 2ε \textcolor{blue}{\textbf{Binomio:}} Expresión algebraica formada por la suma de dos términos.

Y usted verá en su documento: Binomio: Expresión algebraica formada por la suma de dos términos. Otro ejemplo distinto: LATEX 2ε \textbf{Definición.}\\ \textcolor{red}{\textsc{Trinomio:}} Expresión algebraica formada por la suma de tres términos.

Y obtenemos: Definición. T RINOMIO: Expresión algebraica formada por la suma de tres términos. Y un último ejemplo: L A TEX 2ε en 15 sesiones

31

32

Bases LATEX 2ε \textsc{Definición.}\\ \textbf{Polinomio:} \textit{Expresión algebraica formada por la suma de dos o más términos.}

Y en el documento se imprime: D EFINICIÓN . Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma de dos o más términos.

1.5.3 1.5.3



F UENTES TIPOGRÁFICAS

Ya vimos cómo cambiar el formato de las fuentes tipográficas (tipo de letra), conservando la fuente, que es Times New Roman la que LA TE X 2ε utiliza normalmente. Podemos cambiar la fuente tipográfica al cargar el paquete que la provee. Para eso requiere cargar en el preámbulo del documento el paquete correspondiente. Los siguientes ejemplos muestran su uso: LATEX 2ε % % De los siguientes paquetes utilice % siempre la primera línea acompañada % de una cualquiera de las demás... % \usepackage{slantsc} % Este paquete siempre debe incluirse %\usepackage[sc]{mathpazo} % Opcional %\usepackage{cmbright} % Opcional %\usepackage{kmath,kerkis} % Opcional %\usepackage{kpfonts} % Opcional %\usepackage[math]{kurier} % Opcional %\usepackage[condensed,math]{kurier} % Opcional %\usepackage[light,math]{kurier} % Opcional %\usepackage[light,condensed,math]{kurier} % Opcional %\usepackage{lmodern} % Opcional %\usepackage{fouriernc} % Opcional %\usepackage{fourier} % Opcional %\usepackage{mathptmx} % Opcional

i

Los paquetes que se muestran son solamente una parte de todos los paquetes que puede utilizar para cambiar la fuente en su documento. No es una lista completa. Usted puede probar cuál de las fuentes le agrada más y después incluirla en su documento. Cambie la fuente solamente si se mejora la legibilidad del documento. Siempre tenga eso en mente.



1.5.4

S ILABEO

El silabeo se refiere a la forma como se debe romper una palabra cuando queda al final de una línea de texto y no se ajusta a los límites del mismo. Hay dos formas de indicarle a L A TE X 2ε cómo debe romper las palabras en sílabas. La primera es utilizando la instrucción \hyphenation. Esta instrucción debe ir en el preámbulo del documento. En el argumento se le indican las palabras que se han visto se silabean mal. Por ejemplo,

33

1.5.4

LATEX 2ε \hyphenation{procedi-mien-to errores intere-ses estudian-tes expli-que}

Observe que las palabras están separadas por un espacio en blanco y no por una coma. Puede utilizar varias veces \hyphenation para incluir más palabras. LATEX 2ε \hyphenation{comple-tos acomoda-das perso-nas infinita-men-te elaboran-do} \hyphenation{manera referen-cia preferente-men-te imagen aprendi-za-je} \hyphenation{normal-men-te correspondien-te conside-ra requerir reali-zan} \hyphenation{correspon-den segun-do requie-ren genera-les paquete algunas}

Usando este primer método usted puede incluir cualquier palabra que no incluya acentos, tildes (como la letra ñ), diéresis y otros símbolos del Español. Para indicar a LA TE X 2ε cómo separar en sílabas estas palabras usamos la instrucción \-. Por ejemplo, en el párrafo anterior, la palabra instrucción se dividía como:



LATEX 2ε ... cómo separar en sílabas estas palabras usamos la instrucción...

Para que L A TE X 2ε la divida correctamente el autor le indicó: LATEX 2ε ... cómo separar en sílabas estas palabras usamos la instruc\-ción...

La instrucción \- leindica a LA TE X 2ε dónde debe romper la palabra para dividirla entre las líneas. En Español esto es muy importante, porque en Inglés no se utlizan los acentos y en ese lenguaje generalmente no se requiere indicar cómo debe romper las palabras. En cambio en Español, las reglas cambian y nosotros debemos indicárselo. Si usted incluye una palabra con acento o cualquier otro símbolo que no esté en el idioma Inglés, L A TE X 2ε le marcará varios errores. Usted debe recordar que L A TEX 2ε en 15 sesiones



34

1.5.5

Bases

la instrucción \hyphenation no acepta esos símbolos y entonces debe utilizar la instrucción \- en el cuerpo del documento.

1.5.5

U NIDADES DE DISTANCIA

En algunas instrucciones se requiere indicar una medida. Por ejemplo, para incluir una minipágina se requiere indicar el ancho que tendrá la minipágina. El siguiente código inicia una minipágina de 11.5 cm de anchura: LATEX 2ε \begin{minipage}{11.5cm}

Igualmente, puede requerir una línea de ese mismo ancho para crear un ambiente. En ese caso, la instrucción que puede indicar es: LATEX 2ε \rule{11.5cm}{2pt}

Observe que ahora hemos incluido en el segundo argumento: 2pt. Las dos letras después del número 2 indican la unidad de medida. En la siguiente tabla se incluyen las unidades de medida usadas en LA TE X 2ε . unidad mm cm in pt em ex

La letra se considera con el tamaño usado en esa parte del documento. ∗

Medida un milímetro un centímetro (10 mm) una pulgada (25.4 mm) un punto (≈ 1/3 mm) el ancho del caracter m la altura del caracter x ∗

∗

1.5.6 1.5.6



E NCABEZADOS Y PIÉ DE PÁGINA

Una de las primeras cosas que se piensa al hacer el diseño de un documento es la definición de los encabezados y pié de la página. Para esto en LA TE X 2ε se requiere del paquete fancyhdr. El siguiente código incluye encabezados y notas en el pié de página de su documento. El código incluye comentarios para aclarar cada instrucción. LATEX 2ε % primero cargo el paquete \usepackage{fancyhdr} % indico que voy a inluir encabezados % y pie de página



35

\pagestyle{fancy} % % Encabezado Izquiero (L = Left) en páginas pares (E = Even) % y Derecho (R = Right) en páginas impares (O = Odd) \fancyhead[LE,RO]{Encabezado 1} % Encabezado a la Izquierda (L = Left) en páginas impares (O = Odd) \fancyhead[LO]{Encabezado 2} % Encabezado a la Derecha (R = Right) en páginas pares (E = Even) \fancyhead[RE]{Encabezado 3} % Pie de página centrado (Paginas pares e impares) \fancyhead[C]{Encabezado centrado} % Pie de página Izquiero (L = Left) en páginas pares (E = Even) % y Derecho (R = Right) en páginas impares (O = Odd) \fancyfoot[LE,RO]{Pie de pp. 1} % Pies de página a la Derecha (R = Right) en páginas pares (E = Even) % y a la Izquierda (L = Left) en las páginas Impares (O = Odd) \fancyfoot[RE,LO]{Pie de pp. 2} % Pie de página centrado \fancyfoot[C]{Pie de pp. centrado}

Puede ver un ejemplo del uso de este paquete en la sección 3.3 en la página 143.

1.5.7

M ÁRGENES DE LA PÁGINA

Para cambiar los márgenes de la página podemos utilizar el paquete geometry. Nosotros le indicamos en el argumento opcional las medidas de los márgenes que deseamos que el documento final tenga. Las opciones que podemos indicar a este paquete son las siguientes: top: medida del margen superior. bottom: medida del margen inferior. left: medida del margen izquierdo. right: medida del margen derecho. El siguiente código muestra cómo indicar a L A TE X 2ε que diseñe el documento con los siguientes márgenes de página:  superior:  inferior:

1.75 pulgadas (in),

1.25 pulgadas,

 izquierdo:  derecho:

1 pulgada,

1.5 pulgadas. LATEX 2ε

\documentclass[12pt]{article} % Defino los margenes de la página... \usepackage[top=1.75in,bottom=1.25in,left=1in,right=1.5in]{geometry} %


1.5.7

36

1.5.8

Bases

Usted puede ver las unidades de medida que pueden utilizarse en L A TE X 2ε en la página 34.

1.5.8

BIBLIOGRÁFICAS R EFERENCIAS

Para incluir las referencias bibliográficas en su documento debe utilizar el ambiente thebibliography

El siguiente código muestra parte del código de la bibliografía de este libro: LATEX 2ε \begin{thebibliography}{99} % \bibitem{SciPapers} Björn Gustavii \emph{How to write and illustrate scientific papers} Cambridge university Press. EE.UU. 2008. % % \bibitem{MiniManual} Soto, A., Efraín. \emph{Mini-manual de \LaTeXe} \verb|http://www.scribd.com/Efrain_Soto_Apolinar| (Visitado el \hoy) % La instrucción \hoy no existe en \LaTeXe... México. 2008. % \hoy fue definido por el autor de este manual. % % \bibitem{Training} Soto, A., Efraín. \emph{Enseñanza Efectiva de las Matemáticas} \verb|http://www.scribd.com/Efrain_Soto_Apolinar| (Visitado el \hoy) México. 2008. % % \end{thebibliography}

Usted puede ver el aspecto que tendrá esta información en su documento en la página 219. Observe que cada referencia bibliográfica inicia con la instrucción \bibitem. Esta instrucción define una etiqueta de esa referencia, la cual usaremos en el cuerpo de nuestro documento para hacer referencia a la misma. Por ejemplo, la referencia [5] corresponde al libro Enseñanza Efectiva de las Matemáticas, escrito por el autor de este manual. El párrafo anterior se obtuvo con el siguiente código: LATEX 2ε Por ejemplo, la referencia \cite{Training} corresponde al libro \emph{Enseñanza Efectiva de las Matemáticas}, escrito por el autor de este manual.

Observe que la instrucción \cite{} se utiliza para hacer la referencia a un libro cuya información se incluye en la bibliografía. El argumento de esta instrucción es la etiqueta definida con la instrucción \bibitem para esa entrada de la bibliografía. L A TEX 2ε en 15 sesiones


1.5.9

Í NDICE DE CONTENIDOS

LA T X 2ε genera una tabla de contenidos de manera automática y la guarda en E un archivo con extensión .toc (t = Table, o = Of, c = Contents). Este índice de contenidos se genera a partir de las instrucciones \part, \chapter, \section, \subsection, etc., y L A TE X 2ε las enumera en el mismo orden que van apareciendo. Para incluir esta tabla de contenidos en nuestro documento debemos indicarlo con la instrucción \tableofcontents exactamente donde debe aparecer el índice de contenidos. Es importante mencionar que L A TE X 2ε no inicia de manera automática una nueva página al encontrar la instrucción \tableofcontents, así que debemos indicárselo. Igualmente, después de la tabla de contenidos no hace un salto de página, así que debe indicárselo en caso de que así lo desée. Lista de tablas y figuras Otras instrucciones similares al índice de contenidos son la lista de tablas y de figuras. Para incluir cada una de éstas debemos indicar dónde deseamos que aparezcan estas listas con las instrucciones \listoftables y \listoffigures, respectivamente. Algunas veces deseará incluir una nueva línea en el índice de contenidos. Para esto utilizaremos la instrucción \addcontentsline. La instrucción requiere de 3 argumentos:

37

1.5.9 

LATEX 2ε \addcontentsline{archivo}{nivel}{titulo}

 {archivo} se

refiere a qué lista se debe incluir la línea:

• {toc} indica al índice de contenidos, • {lof} indica a la lista de figuras y • {lot} indica que se debe incluir en la lista de tablas.  {nivel} indica

en qué nivel de la lista se debe incluir:

• {chapter} indica que se incluya como si se tratara de un capítulo, • {section} indica que se incluya como si se tratara de una sección, • {subsection} como si se tratara de una subsección, etc.  {titulo} corresponde

al título del capítulo, sección, subsección, etc., que desea agregar a la lista.

Por ejemplo, LATEX 2ε \addcontentsline{toc}{chapter}{Prefacio}




38

1.5.10

Bases

le indica a L A TE X 2ε que incluya en el índice de contenidos (toc) al nivel de los capítulos (chapter) el título Prefacio.

1.5.10

Í NDICE DE MATERIAS

Para incluir un índice de materias en el documento usted debe cargar el paquete makeidx e incluir la instrucción \makeindex en el preámbulo del documento. Esta instrucción le indica a LA TE X 2ε que genere un archivo para ir guardando el nombre de la materia y su número de página para después ordenarlo e imprimirlo. Para indicar que incluya el índice (la instrucción \makeindex lo genera sin imprimirlo en el documento), utilizaremos la instrucción \printindex. Las materias que incluirá en este índice deben codificarse con la instrucción \index. Por ejemplo, \index{Función} le indica a L A TE X 2ε que incluya en el índice de materias la palabra Función. La instrucción automáticamente ubica la página del documento en la cual se encuentra esa entrada y la incluye. Usted no debe preocuparse por eso. Igual, si desdea incluir varios niveles en el índice, por ejemplo, para indicar funciones lineales, cuadráticas, etc., puede indicárselo como se muestra en el siguiente código: LATEX 2ε \begin{description} \item [Función lineal:] \index{Función!Lineal} Es una función de la forma: $f(x) = m\,x + b$. \item [Función cuadrática:] \index{Función!Cuadrática} Es una función de la forma: $f(x) = a\,x^2 + b\,x + c$, donde $a\neq0$. \end{description}

Esto incluirá en el índice de materias algo como: Función, Lineal, 38 Cuadrática, 38 Puede ver el índice de materias de este libro en la página 221.



1.5.11

39

S ECCIONAR DOCUMENTOS LARGOS

Cuando se inicia un proyecto en L A TE X 2ε muy frecuentemente requiere de seccionar un documento en varios archivos para facilitar su escritura como su corrección. Para particionar un documento en varios archivos iniciamos el documento en el archivo principal. El autor prefiere llamar a este archivo por el nombre del proyecto. Por ejemplo, si se tratara de un libro de programación en el lenguaje C++ , lo llamaría Cpp.tex. El archivo tendría la siguiente estructura:

1.5.11

LATEX 2ε % Indico que es un libro: \documentclass[pdftex,10pt,a4paper,openright]{book} % Signos del Español... \usepackage[ansinew]{inputenc} % % Sigue el resto de paquetes que requiere % la elaboración del documento % \makeindex % para generar el índice de materias \begin{document} % % Aquí se insertan los nombres de los archivos: % \include{intro} % Introducción \include{sintaxis} % Sintaxis del lenguaje % % % \include{Bibliografia} % Referencias Bibliográficas \printindex % Imprime el índice de materias \end{document}

La instrucción \include requiere de un argumento, que corresponde al nombre del archivo que debe incluir en el documento. Además de esta instrucción podemos usar la instrucción \input, que también requiere del nombre del archivo. La diferencia entre ambas instrucciones consiste en que \include inicia una nueva página antes de incluir el contenido del archivo en el documento, mientras que la instrucción \input incluye el contenido del archivo sin iniciar una página, como si el código estuviera en el documento desde el cual se llamo el archivo. LA T X 2ε no permite que usted incluya la instrucción \include dentro de un E archivo que fue llamado con esta instrucción. Lo mismo aplica para la instrucción \input.

1.5.12

E SPACIOS

Dado que LA TE X 2ε omite los espacios en blanco o los renglones vacíos que de jamos en el código, cuenta con una serie de instrucciones para que podamos L A TEX 2ε en 15 sesiones

1.5.12

40

Bases

incluir espacio, tanto vertical como horizontalmente. Hay una serie de instrucciones para insertar espacio en el ambiente textual y otras para el ambiente matemático. Enseguida se muestran las instrucciones y sus ejemplos respectivos.  \hspace{longitud} Agrega

espacio horizontal. Se debe indicar la longi-

tud longitud.

LATEX 2ε ...Entonces,\hspace{3ex} siguió caminando...

imprime en el documento: ...Entonces,

siguió caminando...

 \hfill Llena

la línea actual de espacio en blanco, hasta que encuentre texto que pueda imprimirse en la misma. LATEX 2ε $A = $\hfill 5 m$^2$.

imprime en el documento: 5 m2.

A =  \hrulefill Llena

la línea actual con un segmento de recta, hasta que encuentre texto que pueda imprimirse en la misma línea. LATEX 2ε Nombre: \hrulefill.

imprime en el documento: Nombre:  \par Agrega

. el espacio que corresponde entre dos párrafos. LATEX 2ε

... y las diagonales son numerables.\par Entonces, podemos suponer...

... y las diagonales son numerables. Entonces, podemos suponer...  \vspace{longitud} Agrega

espacio vertical. Se debe indicar la longitud

longitud.



41

LATEX 2ε Entonces, terminó.\\ \vspace{5ex} Ahora podemos empezar.

Entonces, terminó.

Ahora podemos empezar.  \vfill Igual

blanco.

que \hfill, pero en este caso llena la página con espacio en

1.5.13 1.5.13

N OMBRES DE SECCIONES EN E SPAÑOL

Cuando utilizamos L A TE X 2ε para editar materiales que incluyen capítulos, índice de contenidos, índice alfabético, etc., normalmente el título de cada uno de éstos está declarado en Inglés. A pesar de que el usuario carga un paquete para poder utilizar algunos caracteres del Español (acentos, diéresis, etc.) este paquete no cambia los nombres de las secciones, así que el usuario debe hacerlo en el preámbulo del documento que está generando. Esto se consigue con el siguiente código: LATEX 2ε % -----------------------------------------% Nombres de Secciones en Español % -----------------------------------------\renewcommand\tablename{Tabla} \renewcommand\figurename{Figura} \renewcommand\contentsname{Índice} \renewcommand\chaptername{Capítulo} \renewcommand\bibname{Bibliografía} \renewcommand\appendixname{Apéndice} \renewcommand\indexname{Indice alfabético} \renewcommand\listtablename{Lista de tablas} \renewcommand\listfigurename{Lista de figuras}

Usted puede cambiarlos si cree que otro título es más conveniente. Por ejemplo, puede preferir Contenido en lugar de Índice . Para cambiarlo usará: LATEX 2ε \renewcommand\contentsname{Contenido}

La instrucción \renewcommand le indica a LA TE X 2ε que vamos a cambiar una instrucción que ya se había definido previamente. En este caso, LA TE X 2ε tenía definido de inicio: L A TEX 2ε en 15 sesiones

42

Bases LATEX 2ε \newcommand{\tablename}{Table}

Lo que nosotros hicimos es cambiar esa definición al Español usando el código: LATEX 2ε \renewcommand\tablename{Tabla}

Y procedemos de manera semejante con todas aquellas que necesitemos utilizar en nuestro documento. Estas son las cuestiones básicas de L A TE X 2ε que pueden ayudarle a mejorar sus documentos. Si usted necesita realizar algo que no se encuentra en este apartado puede abrir la ayuda que viene incluida en el programa TE XnicCenter presionando la tecla F1 , o bien desde el menú Help, eligiendo la opción Context Help. En la pestaña Contenido encontrará dos manuales. El primero corresponde a la ayuda del programa TE XnicCenter. El otro manual corresponde a las cuestiones básicas de LA TE X 2ε ( LaTeX Help e-Book). Estos dos manuales están escritos en Inglés.


s o D

2

E CUACIONES Y COSAS PEORES

Cada fórmula que expresa una ley de la naturaleza es un himno de alabanza a Dios. — Mitchell, María.

44

Ecuaciones y cosas peores


2.1. SESIÓN 6: ECUACIONES

45

2.1 S ESIÓN 6: E CUACIONES En L A TE X 2ε cuando decimos ecuaciones, nos referimos a cualquier ecuación. Puede pensar en una sencilla ecuación lineal o en una ecuación que contiene símbolos matemáticos poco usuales. Empezamos con cosas sencillas y poco a poco vamos elevando la dificultad.

2.1.1

2.1 2.1.1

A MBIENTES MATEMÁTICOS

En L A TE X 2ε hay varias formas de iniciar un ambiente matemático. Si usted desea incluir en el párrafo una literal o una ecuación, por ejemplo, x + 1 = 0, debe iniciar el ambiente matemático con un símbolo de pesos ($) y terminarlo con el mismo símbolo. El código que se utilizó para incluir esa ecuacioncita es el siguiente:



LATEX 2ε Si usted desea incluir en el párrafo una literal o una ecuación, por ejemplo, $x + 1 = 0$, debe iniciar el ambiente matemático con un símbolo de pesos (\$) y terminarlo con el mismo símbolo.

Así puede incluir cualquier ecuación o símbolo matemático en una línea de texto. Cuando usted desee incluir una ecuación centrada y en un párrafo aparte (sin texto), puede realizarlo de diferentes maneras. El siguiente código muestra las distintas formas en que puede incluirlas: LATEX 2ε % % esta es la primera forma: % \[ % esto inicia el ambiente matemático x + y = 1 \] % esto termina el ambiente matemático % % Esta es la segunda forma: % $$ % esto inicia el ambiente matemático x + y = 1 $$ % esto termina el ambiente matemático % % Tercera forma: % \begin{equation} % esto inicia el ambiente ecuación (numerada) x + y = 1 \nonumber \end{equation} % esto termina el ambiente ecuación

Y en cualquier caso obtendrá: L A TEX 2ε en 15 sesiones



46


x + y = 1

La instrucción \nonumber le indica a L A TE X 2ε que no enumere esa ecuación, pues normalmente las va enumerando de acuerdo a la sección en la que se incluya ésta. Una forma alterna de indicarle que no enumere la ecuación se consigue con el siguiente código: LATEX 2ε \begin{equation*} x + y = 1 \end{equation*}

2.1.2

Observe que ahora se incluye el ambiente equation*, que es igual al ambiente equation, con la diferencia de que el primero no enumera las ecuaciones, mientras que el segundo sí.

2.1.2



Á LGEBRA ELEMENTAL

Fracciones Las fracciones son algo que se requiere muy frecuentemente al elaborar cualquier tipo de material matemático. Para incluir una fracción usaremos la instrucción: \frac{num}{den}. Esta instrucción requiere de dos argumentos. El primero es el numerador de la fracción y el segundo representa el denominador de la misma. Por ejemplo: LATEX 2ε \begin{equation*} \frac{x}{x-y} + \frac{y}{x + y} = 1 \end{equation*}

nos incluye en el documento: x x

−y

+

y =1 x + y

Algunas veces LA TE X 2ε incluirá la fracción con un tamaño menor al que usted espera. Por ejemplo en el siguiente caso: LATEX 2ε $$\frac{\frac{x}{x+y}}{\frac{y}{x-y}} = k$$



47

incluye en el documento: x x+y y x−y

= k

Y tal vez usted quiera que el tamaño de la fuente en cada literal sea igual que en el texto. En ese caso debemos utilizar la instrucción \displaystyle: LATEX 2ε $$\frac{\displaystyle\frac{x}{x+y}}{\displaystyle\frac{y}{x-y}} = k$$

y así obtendrá: x x + y y = k x y

−

Usted podrá incluir otros símbolos dentro del numerador conforme vaya avanzando en su uso de L A TE X 2ε . Más adelante veremos más ejemplos. Exponentes y subíndices Incluir exponentes en L A TE X 2ε es muy sencillo. Para eso utilizamos el símbolo ^. El siguiente código muestra el primer ejemplo: LATEX 2ε \begin{equation*} x^n + y^n = z^n \end{equation*}

que corresponde al último teorema de Fermat. Usted verá en el documento lo siguiente: xn + y n = z n

Nuestro siguiente ejemplo contiene más de un caracter en el exponente: LATEX 2ε \begin{equation*} x^{-1} = \frac{1}{x} \end{equation*}

Observe que para incluir varios caracteres en el exponente usamos llaves ( { }) como agrupador. En el documento obtenemos: L A TEX 2ε en 15 sesiones

48


1 x

x−1 =

Otro ejemplo más complicado es el siguiente: LATEX 2ε \begin{equation*} y = x^{x^x} \end{equation*}

que imprime en el documento: y = x x

x

Para los subíndices usamos el guión bajo: _. El siguiente ejemplo muestra un caso: LATEX 2ε \begin{equation*} x_1 = \frac{2}{3} \end{equation*}

Esto incluye en el documento: x1 =

2 3

De manera semejante que para los exponentes, para incluir varios caracteres en un subíndice vamos a usar el agrupador: LATEX 2ε \begin{equation*} \mathbf{A} = [a_{ij}] \end{equation*}

imprime en el documento: A = [aij ]

Un caso particular, para puntualizar a los estudiantes la notación usada en las funciones inversas es el siguiente: L A TEX 2ε en 15 sesiones


49

f −1 (x) =



Pero (f (x))−1 =

1 f (x) 1 f (x)

que se obtuvo con el siguiente código: LATEX 2ε $$ f^{-1}(x) \neq \displaystyle\frac{1}{f(x)} $$ Pero $$ \left(f(x)\right)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{f(x)} $$

Raíces En matemáticas también frecuentemente usamos las raíces. En L A TE X 2ε usamos la instrucción: \sqrt{rad}. Observe que esta instrucción requiere de un argumento, que corresponde al radicando. El siguiente ejemplo le da la idea general: LATEX 2ε \begin{equation*} y = \sqrt{x} \end{equation*}

que incluye en el documento lo siguiente: y =

√ x

Al igual que con las fracciones, puede incluir otros símbolos dentro del signo del radical, solamente debe incluirlo dentro del argumento de la instrucción en el código L A TE X 2ε . Por ejemplo: LATEX 2ε \begin{equation*} y = \sqrt{ \frac{x+1}{x-1} } \end{equation*}

% aqui va el radicando % finaliza el radicando

que incluye en el documento: L A TEX 2ε en 15 sesiones

50


y =



x + 1 x 1

−

Un ejemplo donde puede aplicar parte de lo que hemos estudiado hasta aquí, consiste en escribir la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Para eso necesitamos el siguiente código: LATEX 2ε Las raíces de la ecuación: $ax^2 + bx + c = 0$, se calculan con la fórmula: % \begin{equation*} x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{equation*} % siempre que $a \neq 0$.

y obtenemos: Las raíces de la ecuación: ax 2 + bx + c = 0, se calculan con la fórmula:

√ − b ± b2 − 4ac x1,2 = 2a

siempre que a  = 0. Observe que el símbolo ± lo obtenemos con el código: \pm, donde p = plus (más), y m = minus (menos). Otro símbolo usado es:  = que se obtiene con la instrucción: \neq , donde n = not (no) y eq = equal (igual). Para indicar el índice de la raíz usamos un argumento entre corchetes: LATEX 2ε \begin{equation*} y = \sqrt[7]{\frac{x^5 + 1}{x^5 - 1}} = \left(\frac{x^5 + 1}{x^5 - 1}\right)^{1/7} \end{equation*}

incluye en nuestro documento:

y =

 7

x5 + 1 = x5 1

−

x5 + 1 x5 1

 

1/7

−

Observe que el paréntesis izquierdo se incluye con la instrucción \left(, mientras que el derecho se incluye con \right). Esto permite adaptar el tamaño del paréntesis a lo que exige la expresión que contendrán los mismos. L A TEX 2ε en 15 sesiones


2.1.3

51

F ÍSICA

2.1.3

Cualquier fórmula que se pueda imaginar para cualquier curso de matemáticas o cualquier otra materia del área de las ciencias exactas puede generarlo con LA T X 2ε . E Por ejemplo, la fórmula para calcular la energía cinética E k [J] de un cuerpo de masa m [kg] que se mueve con una velocidad de v [m/s], es: 1 E k = mv 2 2

que se consigue con el código: LATEX 2ε \begin{equation*} E_k = \frac{1}{2}\,mv^2 \end{equation*}

La

instrucción \mbox{ } crea una caja para incluir texto.

Usando la generalización, puede escribir: LATEX 2ε \begin{equation*} \mbox{Variación de la energía cinética} = \displaystyle\frac{1}{2}\,mv_2^2 - \frac{1}{2}\,mv_1^2 = \frac{1}{2}\,m\left(v_2^2 - v_1^2\right) \end{equation*}

que incluye en el documento: 1 2

1 2

1 2

Variación de la energía cinética = mv22 − mv12 = m v22 − v12





Otro ejemplo de física más fácil es: LATEX 2ε

Funciones matemáticas: pag. 60; Alfabeto griego: pag. 63.

\begin{equation*} v_y = v_0\sin\theta - gt \end{equation*}

incluye en el documento: vy = v0 sin θ

El código: L A TEX 2ε en 15 sesiones

− gt

52

Ecuaciones y cosas peores LATEX 2ε

Símbolos matemáticos: pag. 57.

De acuerdo con la segunda ley de Newton, tenemos que: \begin{equation*} \sum{F_x} = ma_x \qquad\qquad \sum{F_y} = ma_y \end{equation*}

incluye en el documento: De acuerdo con la segunda ley de Newton, tenemos que:





F x = max

F y = may

Otro ejemplo donde se incluye la fórmula para la conversión de temperatura entre las escalas centígrada y Farenheit es: LATEX 2ε \begin{equation*} F = \frac{9}{5}\,C + 32 \end{equation*}

que incluye en el documento: 9 F = C + 32 5

Otro ejemplo un poquito más complicado es el siguiente: LATEX 2ε Al emitir un fotón, la disminución de energía es: \begin{equation*} W_1 - W_2 = hf = - \frac{1}{\varepsilon_0^2}\frac{me^4}{8n^2h^2} + \frac{1}{\varepsilon_0^2}\frac{me^4}{8l^2h^2} \end{equation*}

incluye en el documento: Al emitir un fotón, la disminución de energía es: 4

W 1

4

− W 2 = hf = − 1ε2 8nme2h2 + ε12 8lme2h2 0

0



2.1.4

53

G EOMETRÍA

2.1.4

Ahora un ejemplo de geometría: LATEX 2ε La fórmula para calcular el área del triángulo de base $b$ y altura $h$ es: \begin{equation*} A = \frac{b\times h}{2} \end{equation*}

y usted verá en el documento: La fórmula para calcular el área del triángulo de base b y altura h es: A =

b

×h 2

Relacionado a la notación de geometría: LATEX 2ε La suma de los ángulos internos $\angle\alpha, \angle\beta, \angle\gamma$ de un triángulo que se encuentra sobre un plano suman $\pi$ radianes, o bien, $180\textdegree$.

Alfabeto pag. 63.

griego:

incluye en el documento: La suma de los ángulos internos ∠α, ∠β, ∠γ de un triángulo que se encuentra sobre un plano suman π radianes, o bien, 180 . ◦

Ahora algunos ejemplos de geometría analítica que se extrajeron de la referencia [9]. LATEX 2ε Para calcular las coordenadas del punto medio $M(x_M, y_M)$ del segmento $\overline{AB}$ con $A(x_1, y_1)$, y $B(x_2, y_2)$ usamos: \begin{equation*} x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} \qquad\qquad\qquad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} \end{equation*} que no es sino el promedio de cada coordenada.

incluye en el documento: Para calcular las coordenadas del punto medio M (xM , yM ) del segmento AB con A(x1 , y1), y B(x2, y2 ) usamos: xM =

x1 + x2 2

yM =

que no es sino el promedio de cada coordenada. L A TEX 2ε en 15 sesiones

y1 + y2 2

Espacios en ecuaciones: pag. 64.

54


Para la fórmula de distancia entre dos puntos del plano podemos usar el siguiente código: LATEX 2ε Sean $P(x_p,y_p)$ y $Q(x_q,y_q)$ dos puntos del plano. La distancia $D$ entre ellos, medido en la unidad de medida del sistema de coordenadas es igual a: \begin{equation*} D = \sqrt{(x_q - x_p)^2 + (y_q - y_p)^2} \end{equation*}

incluye en el documento: Sean P (x p , y p ) y Q(xq , yq ) dos puntos del plano. La distancia D entre ellos, medido en la unidad de medida del sistema de coordenadas es igual a: D =



(xq

− x p )2 + (yq − y p )2

Un último ejemplo para encontrar las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón r dada: Si consideramos que M (xm , ym ) es el punto de división del segmento P Q, con P (x p , y p ) y Q(xq , yq ), entonces, podemos escribir: r =

xm x p xq xm

r =

ym y p yq ym

y de manera semejante:

− − − −

que se obtuvo con el código: LATEX 2ε Si consideramos que $M(x_m,y_m)$ es el punto de división del segmento $\overline{PQ}$, con $P(x_p, y_p)$ y $Q(x_q, y_q)$, entonces, podemos escribir: \begin{equation*} r = \frac{x_m - x_p}{x_q - x_m} \end{equation*} y de manera semejante: \begin{equation*} r = \frac{y_m - y_p}{y_q - y_m} \end{equation*}



2.1.5

55

A NÁLISIS

En esta rama de las matemáticas es donde más utilizaremos las fórmulas y ecuaciones matemáticas al elaborar materiales. Nuestro primer ejemplo de análisis: LATEX 2ε \begin{equation*} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \end{equation*}

que incluye en el documento: ex = 1 + x +

x 2 x3 x 4 + + + 2! 3! 4!

···

Otro ejemplo al usar la regla de los cuatro pasos: LATEX 2ε \begin{equation*} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x +\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x} \end{equation*}

en el documento veremos: ∆y = ∆x

√ x + ∆x − √ x ∆x

Por cierto, no podemos dejar a un lado las derivadas: LATEX 2ε Si $f(x) = x^2$, entonces \begin{equation*} f’(x) = \frac{df}{dx} = 2\,x \end{equation*}

y en el documento se incluye lo siguiente: Si f (x) = x 2, entonces f  (x) =

df = 2x dx

Para las derivadas parciales, debemos usar el símbolo ∂ : L A TEX 2ε en 15 sesiones

2.1.5

56

Ecuaciones y cosas peores LATEX 2ε \begin{equation*} \frac{\partial^3f}{\partial x^2\partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right) \end{equation*}

que incluye en el documento: ∂ 3 f ∂ = 2 ∂x ∂y ∂x

∂ 2 f ∂x∂y

 

Ahora una integral: LATEX 2ε \begin{equation*} \int\!\frac{dv}{v} = \ln |v| + C \end{equation*}

y se incluye en el documento: dv = ln v + C v



||

Finalmente, la fórmula de Euler: LATEX 2ε \begin{equation*} e^{i\theta} = \cos\theta + i\,\sin\theta \end{equation*}

eiθ = cos θ + i sin θ


2.2. SESIÓN 7: OTROS SÍMBOLOS

57

2.2 S ESIÓN 7: O TROS SÍMBOLOS Algunas veces vamos a requerir de otros símbolos. Por ejemplo, los símbolos , , ∆ , α , β , ∇, etc., son de muy frecuente uso en el diseño de materiales didácticos de matemáticas. Aquí se muestra el código para obtener algunos de ellos.

2.2

 

2.2.1

2.2.1

S ÍMBOLOS MATEMÁTICOS

En L A TE X 2ε se pueden generar todos los símbolos matemáticos que un profesor de bachillerato pueda imaginar y muchos más. Precisamente para eso se creó este lenguaje tipográfico: para que los libros de matemáticas y los que tuvieran muchas ecuaciones se escribieran directamente por los autores y ellos mismos pudieran dejar el material tal y como ellos pensaron que se debía ver. En la siguiente tabla se muestran los que más frecuentemente usamos en los cursos de niveles medio y medio superior. Símbolo

÷ ≈ ∝ ≡ ± ≤ ∞ ∈/ ∪ ⊂ ⊥ · .. .

Código \div \approx \propto \equiv \pm \leq \infty \notin \cup \subset \perp \cdot

\vdots | \mid → \rightarrow ← \lefttarrow \angle ∠ \textdegree \sum \vec{x} −AB −x→ \overrightarrow{AB} ◦



Símbolo

×  ∼ ≡ ∓ ≥ ∅ ∈ ∩ ⊃  ···

=

..

.

Código \times \neq \sim \not\equiv \mp \geq \varnothing \in \cap \supset \parallel \cdots

\ddots ∃ \exists ⇒ \Rightarrow ⇐ \Leftarrow ⇔ \Leftrightarrow \nabla ∇ \prod \overline{AB} AB ← − − AB \overleftarrow{AB}



Si usted pensó en un símbolo que no se encuentra en esta lista, puede enconL A TEX 2ε en 15 sesiones



58




trarlo en la lista que contiene todos los símbolos definidos en L A TE X 2ε . Esta lista se encuentra en la documentación en la carpeta donde se grabaron todos los archivos del MikTE X. Muy probablemente se encuentren en una dirección como la siguiente: C:\Program files\MiKTeX\doc\info\symbols\comprehensive



Algunas fuentes tipográficas se definen para los ambientes matemáticos. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos: Símbolo Código \mathbb{N} N \mathbb{Q} Q A \mathcal{A} A \mathfrak{A} \mathsf{A} A \mathbf{A} A

Símbolo Código \mathbb{Z} Z \mathbb{R} R B \mathcal{B} B \mathfrak{B} \mathsf{B} B \mathbf{B} B

Ahora vamos con los ejemplos. Primero con aritmética. LATEX 2ε Considerando que $2\in\mathbb{Z}$ y que $\pi\notin\mathbb{Q}$ tenemos que $\{2,\pi\}$...

Y en el documento se imprime: Considerando que 2 ∈ Z y que π ∈/ Q tenemos que {2, π}... Otro ejemplo clásico: LATEX 2ε Recordando que: $\mathbb{Q}\cup\mathbb{Q}’ = \mathbb{R}$,...

Y en el documento se imprime: Recordando que:

Q

∪Q



= R,...

La sumatoria es un concepto muy conocido y útil. Por ejemplo, cuando estudiamos series requerimos su uso: LATEX 2ε \begin{equation*} S_k = \sum\limits_{i=1}^{k}{a_i}


2.2. SESIÓN 7: OTROS SÍMBOLOS = a_1 + a_2 \end{equation*}

+

a_3

59

+ \cdots + a_k

y se incluye en el documento: k

S k =



ai = a 1 + a2 + a3 +

i=1

··· + ak

El siguiente código es otro ejemplo de estadística: LATEX 2ε \begin{equation*} \bar{x} = \frac{\sum{x_i}}{n} \end{equation*}

que imprime en el documento: x ¯ =



xi n

Observe que la instrucción \bar{x} coloca una barra a su argumento. Esta instrucción solamente puede superrayar un solo caracter. Si requiere superrayar varios, por ejemplo, para indicar un segmento, es mejor utilizar la instrucción: \overline{AB} con lo que obtenemos: AB. Pero tal vez usted también quiera indicar los límites de la sumatoria. El siguiente código le da la idea de cómo incluirlos en su documento: LATEX 2ε \begin{equation*} \bar{x} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}}{n} \end{equation*}

y usted verá en su documento: n

x ¯ =



xi

i=1

n

La instrucción \limits permite escribir debajo del símbolo actual. Si no se incluye, usted verá: L A TEX 2ε en 15 sesiones

60


x ¯ =

n i=1 xi



n

¿Nota la diferencia? Otro ejemplo de análisis vectorial: LATEX 2ε \begin{equation*} \cos(\vec{u},\vec{v}) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} \end{equation*}

y usted verá en el documento: cos(u, v) =

u v u v

·  · 

2.2.2 2.2.2



F UNCIONES MATEMÁTICAS

Las funciones matemáticas trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc., se definen en L A TE X 2ε para cuando se requiera incluirlas. Cuando escriba el código para incluir una de éstas, debe estar en el ambiente matemático. \arccos \arcsin \arctan \arg

\cos \cosh \cot \coth

\csc \exp \deg \gcd \det \hom \dim \ inf

\ker \lg \lim \liminf

\limsup \ln \log \max

\min \Pr \sec \sin

\sinh \sup \tan \tanh

Ahora vamos con los ejemplos. Primero vamos con las propiedades de los logaritmos: LATEX 2ε \begin{equation*} \ln (x\cdot y) = \ln x + \ln y \end{equation*}

incluye en el documento: ln(x y) = ln x + ln y

·



61

Otra propiedad de los logaritmos es: LATEX 2ε \begin{equation*} \log\left(x^{k}\right) = k\cdot\log x \end{equation*}

incluye en el documento: log xk = k log x



·

Para las derivadas, el ejemplo es: LATEX 2ε \begin{equation*} \frac{df}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \end{equation*}

y en el documento se incluye: df f (x + ∆x) = lim dx ∆x→0 ∆x

− f (x)

Otro ejemplo donde se puede aplicar la instrucción \limits es en las integrales definidas. Empezamos incluyendo una integral: LATEX 2ε \begin{equation*} \int\!v^n\,{dv} = \displaystyle\frac{v^{n+1}}{n+1} + C \end{equation*}

que imprime en el documento:



vn dv =

v n+1 + C n + 1

Para utilizar la instrucción \limits escribiremos una integral definida: LATEX 2ε \begin{equation*} \int\limits_{1}^{\infty}\!\frac{dx}{x} \end{equation*}




62


En el documento se imprime: ∞

dx x

 1



Y si no se incluye la instrucción \limits, obtenemos: ∞

 1

dx x

¿Cuál es la forma correcta de usar? Desde el punto de vista tipográfico la forma correcta es la segunda, es decir, sin usar la instrucción \limits. Sobre todo si está escribiendo el símbolo de integral dentro de un párrafo. Finalmente, usted tiene la decisión final. Personalmente prefiero utilizar la instrucción \limits porque así se sugiere la generalización de la suma de un número infinito de infinitésimos. b





n

f (x) dx = lim

n→∞

a



f (xi )

i=1

· −  b

a

n

Otro ejemplo, para comparar los resultados usando y sin usar la instrucción \limits. Primero el ejemplo que sí la incluye: LATEX 2ε \begin{equation*} \int\limits_{-1}^{1}\!\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}\,dx \end{equation*}

y en el documento veremos: 1

  1

−

1 + x dx 1 x

−

Y ahora sin incluir la instrucción \limits: LATEX 2ε \begin{equation*} \int_{-1}^{1}\!\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}\,dx \end{equation*}



63

que incluye en el documento: 1

  −

1

1 + x + x dx 1 x

−

2.2.3 2. 2. 3

A LFABETO G RIEGO

A T X 2ε también están definidas En L A definidas las letras griegas. Enseguida Enseguida se muestran E los códigos de este alfabeto:

α \alpha ζ \zeta λ \lambda ρ \rho χ \chi  \varpi Γ \Gamma Π \Pi

β \beta η \eta µ \mu σ \sigma ψ \psi ϑ \vartheta ∆ \Delta Σ \Sigma

γ \gamma θ \theta ν \nu τ \tau ω \omega  \varrho Θ \Theta Υ \Upsilon

δ \delta ι \iota ξ \xi υ \upsilon ϕ \varphi ς \varsigma Λ \Lambda Φ \Phi

 \epsilon κ \kappa π \pi φ \phi ε \varepsilon Ξ \Xi Ω \Omega

Estos Estos símbol símbolos os son muy útil útiles es para para la geomet geometría ría plana, plana, analíti analítica ca y trig trigono onomet metría ría.. Los siguientes ejemplos son unas identidades trigonométricas. LATEX 2ε Las tres identidade identidades s % \begin{itemize} \item \item $\sin^ $\sin^2 2 \alpha \alpha \item \item $\sec^ $\sec^2 2 \alpha \alpha \item \item $\csc^ $\csc^2 2 \alpha \alpha \end{itemize} %

trigonomé trigonométrica tricas s pitagórica pitagóricas s son: + \cos^2 \cos^2 \alpha \alpha = 1$ = 1 + \tan^2 \tan^2 \alpha$ \alpha$ = 1 + \cot^2 \cot^2 \alpha$ \alpha$

incluye en el documento: Las tres identidades trigonométricas pitagóricas son:

• sin2 α + cos2 α = 1 • sec2 α = 1 + tan2 α • csc2 α = 1 + cot2 α Otro ejemplo: LATEX 2ε % \begin{itemize}




64

Ecuaciones y cosas peores \item $\sin(\alpha + \item $\cos(\alpha + \item $\tan(\alpha $\tan(\alpha + \frac{\tan\alpha \end{itemize} %

\beta) = \sin\alpha\,\cos\be \sin\alpha\,\cos\beta+\sin\beta\,\cos\a ta+\sin\beta\,\cos\alpha$ lpha$ \beta) = \cos\alpha\,\cos\be \cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\ ta-\sin\alpha\,\sin\beta$ beta$ \beta) \beta) = \displayst \displaystyle yle + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\,\tan\ \tan\alpha\,\tan\beta}$ beta}$

que incluye en el documento:

sin(α + β + β ) = sin α cos β + + sin β cos α • sin(α cos(α + β + β ) = cos α cos β − sin α sin β • cos(α tan α + tan β • tan(α tan(α + β + β ) = 1 − tan α tan β

Finalmente, la ley de senos: LATEX 2ε De acuerd acuerdo o a la ley de senos, senos, tenemos: tenemos: \begin{equation*} \displaystyle \frac{a}{\ \frac{a}{\sin\a sin\alpha} lpha} = \frac{b}{ \frac{b}{\sin\ \sin\beta} beta} \end{equation*}

= \frac{c}{\ \frac{c}{\sin\g sin\gamma} amma}

incluye en el documento: De acuerdo a la ley de senos, tenemos: a b c = = sin α sin β sin γ

2.2.4

Usted puede ver el código para generar un pequeño material didáctico donde se deduce la ley de senos a partir de la página 155 página 155..

2. 2. 4

E SPACIOS SPACIOS EN ECUACIONES

En cada uno de los siguientes ejemplos se muestra el código para un caso sin espacio y con espacio después, de manera que pueda ver la diferencia entre usar o no usar la instrucción. 

\; Agrega espacio amplio. LATEX 2ε $5x$ $5x$ no tiene tiene espaci espacio, o, mientr mientras as que $5\;x$ $5\;x$ sí.



65

5x no tiene espacio, mientras que 5 x 5 x sí.



\: Agrega espacio mediano. LATEX 2ε $5x$ $5x$ no tiene tiene espaci espacio, o, mientr mientras as que $5\:x$ $5\:x$ sí.

5x no tiene espacio, mientras que 5 x 5 x sí.



\, Agrega espacio pequeño. Este es el espacio adecuado para incluir entre

un coeficiente y una literal. LATEX 2ε $5x$ $5x$ no tiene tiene espaci espacio, o, mientr mientras as que $5\,x$ $5\,x$ sí.

5x no tiene espacio, mientras que 5 x sí. 

\! Agrega espacio negativo. LATEX 2ε $5x$ $5x$ no tiene tiene espaci espacio, o, mientr mientras as que $5\!x$ $5\!x$ sí.

5x no tiene espacio, mientras que 5x 5x sí.

Seguramente Seguramente se estará preguntand preguntando: o: “¿Para qué demonios ocuparé un espacio espacio negativo? negativo? ”. ”. He aquí aquí un buen buen ejemplo ejemplo.. Primer Primeroo escrib escribimo imoss la fórmula sin espacios negativos, y después con espacios: LATEX 2ε \begin{equation*} \left(\begin{array}{c} m \\ n \end{arra \end{array}\ri y}\right) ght) = \frac{m!}{ \frac{m!}{n!\,( n!\,(m-n)! m-n)!} } \end{equation*}

  m n

=

m! n! (m n)!

Ahora con espacios: LATEX 2ε \begin{equation*} \left(\!\!\!\begin{array}{c} m \\


−

66

Ecuaciones y cosas peores n \end{array}\!\!\!\right) = \frac{m!}{n!\,(m-n) \frac{m!}{n!\,(m-n)!} !} \end{equation*}

 m n

 \quad Tabulador

=

m! n! (m n)!

−

pequeño. Sirve para separar dos expresiones. LATEX 2ε

\begin{equation*} 2\,x 2\,x = 0,\qua 0,\quad d \mbox{ \mbox{lue luego} go}\qu \quad ad x = 0 \end{equation*}

2 x = 0, luego x = 0

 \qquad Tabulador

moderado. Sirve para separar más dos expresiones. LATEX 2ε

\begin{equation*} 2\,x 2\,x = 0,\qqu 0,\qquad ad \mbox{ \mbox{lue luego} go}\qq \qquad uad x = 0 \end{equation*}

2 x = 0, luego

x = 0

2.2.5 2. 2. 5

Sugerencia: Inte In tennte gen ener erar ar cada una sin ver el código.

ER ÍA DE ECUA EC UACI CI ONES ON ES G AL ERÍA

En los siguientes ejemplos se muestra el código primero y después el resultado que usted verá en el documento. Estas ecuaciones se incluyen para que pueda tener una mejor idea de qué cosas A T X 2ε . se pueden hacer usando L A E LATEX 2ε Si $P$, $P$, $Q$ y $R$ son tres tres puntos puntos entonces entonces, , $\overrightarrow{PQ} $\overrightarrow{P Q} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}$.

−−→ −−→ −→

Si P , Q y R R son tres puntos entonces, P Q + QR = QR = P R. A T X 2ε en L A E 15 sesiones


67

LATEX 2ε \begin{equation*} \det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{A})\cdot\det(\mathbf{B}) \end{equation*}

det(AB) = det(A) det(B)

·

LATEX 2ε \begin{equation*} \delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{ si } i = j\\ 0 & \mbox{ si } i \neq j \end{array} \right. \end{equation*}

δ ij =



si i = j si i  = j

1 0

LATEX 2ε Por definición, el coeficiente de correlación de Pearson es: % \begin{equation*} r = \displaystyle\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} \end{equation*} %

Por definición, el coeficiente de correlación de Pearson es: r =

S xy S xx S yy



LATEX 2ε Si consideramos los vectores: \begin{equation*} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 - \bar{x}\\ x_2 - \bar{x}\\ \vdots\\ x_n - \bar{x} \end{array} \right) \qquad\mbox{ y }\qquad


68

Ecuaciones y cosas peores \vec{y} = \left( \begin{array}{c} y_1 - \bar{y}\\ y_2 - \bar{y}\\ \vdots\\ y_n - \bar{y} \end{array} \right) \end{equation*}

Si consideramos los vectores:

x =

  

x1 x2

− x¯ − x¯

xn

− x¯

.. .

  

y

y = 

  

y1 y2

− y¯ − y¯

yn

− y¯

.. .

  

LATEX 2ε \begin{equation*} \cos\theta = \displaystyle \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\|\cdot \|\vec{y}\|} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}} {\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{(x_i - \bar{x})^2}} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{(y_i - \bar{y})^2}}} = r \end{equation*}

n

x y cos θ = = x y

·  · 



(xi

i=1

  n

(xi

i=1

− x¯)(yi − y¯)

− x¯)2

  n

(yi

i=1

= r

− y¯)2

LATEX 2ε \begin{equation*} \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\cdot\frac{dy}{dx} + q(x)\cdot y = 0 \end{equation*}

d2 y dy + p(x) + q (x) y = 0 dx2 dx

·

·

LATEX 2ε Una serie de potencias tiene la forma: \begin{equation*} y = \sum_{i=0}^{\infty}{c_i\,x^{i}} \end{equation*}



69

Una serie de potencias tiene la forma: ∞

y =



ci xi

i=0

LATEX 2ε \begin{eqnarray*} f(k+1) &=& f(k) + f(k-1)\\ a_{k+1} &=& a_{k} + a_{k-1}\\ a_1\cdot r^{k+1} &=& a_1\cdot r^{k} + a_1\cdot r^{k-1}\\ r^{k+1} &=& r^{k} + r^{k-1}\\ r^2 &=& r + 1 \end{eqnarray*}

f (k + 1) a1

·

ak+1 rk+1 rk+1 r2

= = = = =

f (k) + f (k 1) ak + ak−1 a1 rk + a1 r k−1 r k + r k−1 r + 1

−

·

·

LATEX 2ε \begin{equation*} y_n = \left[c + \sum_{j=0}^{n-1}{\frac{b_j}{a^{j+1}}}\right]\,a^{n} \end{equation*}

     n−1

yn = c +

j =0

bj

aj +1

a n

LATEX 2ε \begin{equation*} \int\limits_{a}^{b}\! \sqrt{\left(\frac{dx_1}{dt}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{dx_n}{dt}\right)^2}\,dt \end{equation*}


70


b

    dx1 dt

a

2

+

··· +

2

  dxn dt

dt

LATEX 2ε \begin{equation*} \nabla f = \mathrm{grad} (f) = \left(\frac{df}{dx}, \frac{df}{dy}, \frac{df}{dz}\right) \end{equation*}

∇f = grad(f ) =



df df df , , dx dy dz



LATEX 2ε \begin{equation*} \mathrm{div}(f) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z} \end{equation*}

div(f ) =

∂f ∂ f ∂f + + ∂x ∂y ∂z

LATEX 2ε \begin{equation*} \mathrm{rot} (F) = \nabla \times F = \left\vert \begin{array}{ccc} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\ f_1 & f_2 & f_3 \end{array} \right\vert \end{equation*}

rot(F ) =

∇ × F =

 

ˆı ∂ ∂x f 1

ˆ ∂ ∂y f 2

kˆ ∂ ∂z f 3

 

LATEX 2ε El teorema de Green establece: \begin{equation*}



71

\int\limits_{C}\!P\,dx + Q\,dy = \int\!\!\int\limits_{A}\!\left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\,dy\,dx \end{equation*}

El teorema de Green establece:



P dx + Q dy =

C

 

∂Q ∂x

−

A



∂P dydx ∂y

LATEX 2ε Entonces, el área de la superficie parametrizada es: \begin{equation*} \int\!\!\int\limits_{S}\!d\sigma = \int\!\!\int\limits_{R}\left\| \frac{\partial X}{\partial t}\times\frac{\partial X}{\partial u} \right\|\,dt\,du \end{equation*}

Entonces, el área de la superficie parametrizada es:

   dσ =

S

∂X ∂t

R

×



∂ X dtdu ∂u

LATEX 2ε Teorema de Gauss: \begin{equation*} \int\limits_{S}\!\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}\,dS = \int\limits_{V}\!\nabla\mathbf{u}\,dV \end{equation*}

Teorema de Gauss:

 ·

u n dS =

S

 ∇

u dV

V

LATEX 2ε \begin{equation*} P\{N(t) \geq k\} = P\left\{S_k \leq t \right\} = 1 \sum_{j=0}^{k-1}{e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^j}{j!}} \end{equation*}


72


k −1

P N (t)

{

≥ k} = P {S k ≤ t} = 1 −



e−λt

j =0

(λt)j j!

LATEX 2ε \begin{equation*} P\{\gamma_t > x\} = e^{-\lambda (t + x)} + \sum_{n=1}^{\infty}{\int\limits_{0}^{t}{\!e^{-\lambda (t + x - y)} \lambda^n\frac{y^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda y}dy}} \end{equation*}

∞

P γ t > x = e −λ(t+x) +

{

}

t

 

e−λ(t+x−y) λn

n=1 0

y n−1 −λy e dy (n 1)!

−

LATEX 2ε \begin{equation*} P\{\mbox{un arribo en }(t + \Delta t)\} = \sum_{i=1}^{2}{P\left\{ \begin{array}{c} \mbox{un arribo del tipo $i$ sin arribo}\\ \mbox{del otro tipo en }t + \Delta t \end{array} \right\}} \end{equation*}

2

P un arribo en (t + ∆t) =

{

}

un arribo del tipo i sin arribo P del otro tipo en t + ∆t

 i=1



LATEX 2ε \begin{equation*} \sum\limits_{\nu,\mu=1}^{2}\alpha_{\nu\mu}\xi_{\nu}\xi^{\mu} + 2\,\sum\limits_{\nu=1}^{2}\beta_{\nu}\xi^{\nu} = \alpha \end{equation*} donde $\alpha_{\nu\mu}$, $\beta_{\nu}$ y $\alpha$ son constantes.

2



2 µ

ανµ ξ ν ξ + 2

ν,µ=1

donde ανµ , β ν y α son constantes.



β ν ξ ν = α

ν =1



73

LATEX 2ε \begin{equation*} \left.\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left( \frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} \right\vert_{x=2} = 3\cdot(2)^2 = 12 \end{equation*}

lim

∆x→0

   ∆y ∆x

= 3 (2)2 = 12 x=2

·

LATEX 2ε \begin{equation*} m = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x=3,y=2.4} = -\frac{9\,(3)}{25\,(2.4)} = -\frac{27}{60} = -\frac{9}{20} \end{equation*}

dy m = dx



= x=3,y =2.4

9(3) 27 9 − 25(2.4) =− =− 60 20

LATEX 2ε \begin{equation*} \sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m}a_{ij}\right)\,x_j \geq \sum_{i=1}^{m}b_i \end{equation*}

n

m

m

   ≥  aij x j

j =1

i=1

LATEX 2ε Determinar: $\vec{x}$ para maximizar: \begin{equation*} z(\vec{x})=\vec{c}\cdot\vec{x} \end{equation*} sujeto a: \begin{eqnarray*} \mathbf{A}\,\vec{x} & \leq & \vec{b}\\ \vec{x} & \geq & \vec{0} \end{eqnarray*}


i=1

bi

74


Determinar: x para maximizar: z(x) = c x

·

sujeto a: x A x

 b  0

≤ ≥

LATEX 2ε \begin{equation*} % Transformada de Laplace \mathcal{L}(f(t)) = F(s) = \int\limits_{0}^{\infty}\!f(t)\,e^{-st}\,dt \end{equation*}

∞

L(f (t)) = F (s) =



f (t) e−st dt

0

LATEX 2ε \begin{equation*} \mathbf{t} = \frac{\dot{x}\mathbf{i} + \dot{y}\mathbf{j}} {\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}} \end{equation*}

t =

x˙ i + y˙ j



x˙ 2 + y˙ 2

LATEX 2ε Definimos: $v(t)=\dot{p}$, entonces, \begin{equation*} \ddot{x} = \dot{v}(t) = \frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} = v\cdot\frac{dv}{dx} \end{equation*}

Definimos: v(t) = p˙, entonces, x ¨ = v(t) ˙ =

dv dx dv = v dx dt dx

·

·


2.3. SESIÓN 8: TABLAS

75

2.3 S ESIÓN 8: T AB LAS En L A TE X 2ε se pueden elaborar tablas en ambiente matemático y en ambiente textual. Empezamos con las tablas para el ambiente textual.

2.3.1

2.3 2.3.1

TEXTUAL A MBIENTE

Cuando decimos que vamos a incluir una tabla en el ambiente textual queremos decir que no se ha iniciado el ambiente matemático. Entonces utilizaremos el ambiente tabular. Nosotros debemos indicar cómo queremos justificar cada columna. Por ejemplo, si son tres columnas centradas escribimos: {ccc}. Si queremos una columna justificada a la derecha usamos la letra r en lugar de c y en caso de que queremos que esté ajustada a la izquierda usamos l. Indicamos la separación de las columnas usando el símbolo & y para indicar que inicie en un nuevo renglón usamos la instrucción \\ . Para insertar una línea horizontal está la instrucción \hline. El siguiente es el primer ejemplo:



LATEX 2ε \begin{center} \begin{tabular}{cc}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Edad}\\\hline Adán & 12\\ Benjamín & 13\\ Carlos & 9\\ Daniel & 11\\ Erasmo & 10\\\hline \end{tabular} \end{center}

Y en el documento veremos: Nombre Adán Benjamín Carlos Daniel Erasmo

Edad 12 13 9 11 10

Para ver la diferencia entre usar c,l, r, se muestra el siguiente ejemplo. LATEX 2ε \begin{tabular}{|l|c|r|}




76

Ecuaciones y cosas peores l izquierda otro a la izq \end{tabular}

& c & r \\\hline & centro & derecha \\ & otro al centro & otro a la der \\

y obtenemos: l izquierda otro a la izq

c centro otro al centro

r derecha otro a la der

No es recomendable, pero algunas veces se puede justificar el uso de líneas verticales para separar las columnas. Para indicarlo usamos el símbolo | entre las letras que indican la justificación de las columnas. LATEX 2ε \begin{center} \begin{tabular}{cc|cc}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Edad} & \textbf{Nombre} & \textbf{Edad}\\\hline Adán & 12 & Benjamín & 13\\ Carlos & 9 & Daniel & 11\\ Erasmo & 10 & Francisco & 14\\\hline \end{tabular} \end{center}

y obtenemos:

Nombre Adán Carlos Erasmo

Edad 12 9 10

Nombre Benjamín Daniel Francisco

Edad 13 11 14

Igual, podemos insertar dos líneas verticales cuando queramos que la información pierda legibilidad por el exceso de líneas en la tabla:

Nombre Adán Carlos Erasmo

Edad 12 9 10

Nombre Benjamín Daniel Francisco

Edad 13 11 14

que se obtuvo con el siguiente código: LATEX 2ε \begin{center} \begin{tabular}{|c|c||c|c|}\hline


2.3. SESIÓN 8: TABLAS \textbf{Nombre} Adán & 12 & Carlos & 9 & Erasmo & 10 & \end{tabular} \end{center}

77

& \textbf{Edad}\\\hline Benjamín & 13\\\hline Daniel & 11\\\hline Francisco & 14\\\hline

También es posible considerar un texto en varias columnas. Para eso usamos la instrucción: \multicolumn{}{}. El primer argumento indica cuántas columnas abarcará la multicolumna y el segundo agumento le indica la justificación ( l, c, r): LATEX 2ε \begin{center} \begin{tabular}{cc||cc} \multicolumn{4}{c}{\textbf{Información obtenida}} \\\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Edad} & \textbf{Nombre} & \textbf{Edad}\\\hline Adán & 12 & Benjamín & 13\\ Carlos & 9 & Daniel & 11\\ Erasmo & 10 & Francisco & 14\\\hline \end{tabular} \end{center}

y obtenemos:

Información obtenida Nombre Edad Nombre Edad Adán 12 Benjamín 13 Carlos 9 Daniel 11 Erasmo 10 Francisco 14 Otro ejemplo:

Libros requeridos: Materia Precio ($) Matemáticas 120.00 Física 250.00 Química 175.00 Inglés 85.00 Español 135.00 que se obtiene con el código: LATEX 2ε \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \multicolumn{2}{c}{\textbf{Libros requeridos:}} \\\hline \textbf{Materia} & \textbf{Precio (\$)}\\\hline




78

Ecuaciones y cosas peores Matemáticas & Física & Química & Inglés & Español & \end{tabular} \end{center}



120.00\\ 250.00\\ 175.00\\ 85.00\\ 135.00\\\hline

Ya vimos cómo combinar varias celdas horizontales. El otro caso consiste en combinar varias celdas verticalmente. Para eso se requiere el paquete multirow. El siguiente ejemplo es el primero de este tipo: LATEX 2ε \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline \textbf{Tipo de funciones} & \textbf{Nombre} & \textbf{Ejemplo} \\\hline \multirow{4}{3cm}{\textbf{Polinomiales}} & Lineal & $y = 2\,x + 1$ \\ & Cuadrática & $y = x^2 - x + 5$ \\ & Cúbica & $y = x^3 - \sqrt{2}$\\ & $\cdots$ & $\cdots$ \\\hline \multirow{6}{3cm}{\textbf{Trigonométricas}} & Seno & $y = \sin x$ \\ & Coseno & $y = \cos x$ \\ & Tangente & $y = \tan x$ \\ & Secante & $y = \sec x$ \\ & Cosecante & $y = \csc x$ \\ & Cotangente & $y = \cot x$ \\\hline \end{tabular} \end{center}

y en el documento se incluye:

Tipo de funciones Polinomiales

Nombre Lineal Cuadrática Cúbica

···

Trigonométricas

Seno Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente

Ejemplo y = 2 x + 1 y = x 2 x + 5 y = x 3 2

− √ − ···

y = sin x y = cos x y = tan x y = sec x y = csc x y = cot x

También podemos incluir celdas o renglones de color. Para esto usamos las instrucciones \cellcolor, o \rowcolor respectivamente, que están definidas en el paquete colortbl. Por ejemplo el siguiente código: LATEX 2ε En las vacaciones nos fuimos a Cerro Azul, Ver., y mi mamá compró varios recuerdos.



79

Diez llaveros para mi tíos, cinco playeras para mis primos, una imagen del la virgen para mi abuelita y para mí, dos libros para que me ponga a estudiar. Los precios de cada artículo están en la siguiente tabla: \begin{center} % Incluir en el preambulo: \usepackage{colortbl} \begin{tabular}{lr}\hline \rowcolor{yellow!25} \textbf{Artículo} & \textbf{Precio}\\\hline Llavero & \$12.00 pesos\\ Playera & \$45.00 pesos\\ Imagen de la Virgen & \$125.00 pesos\\ Libro de Matemáticas & \$120.00 pesos\\\hline \end{tabular} \end{center} ¿Cuánto gastó en los recuerdos de mi pueblo?

que fue extraído de la referencia [7], genera: En las vacaciones nos fuimos a Cerro Azul, Ver., y mi mamá compró varios recuerdos. Diez llaveros para mi tíos, cinco playeras para mis primos, una imagen de la virgen para mi abuelita y para mí, dos libros para que me ponga a estudiar. Los precios de cada artículo están en la siguiente tabla: Artículo Llavero Playera Imagen de la Virgen Libro de Matemáticas

Precio $12.00 pesos $45.00 pesos $125.00 pesos $120.00 pesos

¿Cuánto gastó en los recuerdos de mi pueblo? Para enfatizar el inicio y el fin de una tabla conviene dibujar las líneas inicial y final de la misma con mayor grosor. Para esto podemos usar las instrucciones \toprule para la línea inicial, \midrule para la línea intermedia (para separar el encabezado de la tabla) y \bottomrule para la última línea. Estas instrucciones están incluidas en el paquete booktabs.

Disolución Cantidad (L) Precio ($/L) Vitamina A 14.00 x 18.00 25 − x Vitamina B Mezcla 25 15.92 Esta tabla se utilizó en la referencia [7] y se generó con el siguiente código: LATEX 2ε \begin{center} % Incluir en el preambulo: \begin{tabular}{ccc}\toprule \textbf{Disolución} & \textbf{Cantidad (L)}& \midrule \textcolor{blue}{\textbf{Vitamina A}} & \textcolor{blue}{\textbf{Vitamina B}} & \textcolor{blue}{\textbf{Mezcla}} &


\usepackage{booktabs} \textbf{Precio (\$/L)}\\ $x$ & 14.00\\ $25 - x$ & 18.00\\ 25 & 15.92\\

80

Ecuaciones y cosas peores \bottomrule \end{tabular} \end{center}

2.3.2

Cuando se requiere incluir solamente símbolos matemáticos en una tabla, en lugar de texto es más conveniente utilizar el ambiente array en lugar de el ambiente tabular. Esto es lo que se explica en la siguiente sección.

2.3.2



A MBIENTE MATEMÁTICO

Cuando generamos una tabla en el ambiente textual usamos el ambiente tabular. Para el ambiente matemático el ambiente cambia de nombre y se llama array. Todo lo que se ha dicho para las tablas que se generan en el ambiente textual se sigue cumpliendo para las tablas que generemos en el ambiente matemático. Lo único diferente es que dentro de una tabla en ambiente matemático los símbolos matemáticos no requieren de iniciar o terminar el ambiente matemático, pues ya estamos dentro de este ambiente. El ejemplo inicial se incluye primero usando el ambiente array y después usando el ambiente tabular. Observe la diferencia a la hora de incluir un símbolo matemático dentro de la tabla. LATEX 2ε $$ % Iniciamos el ambiente matemático... \begin{array}{ccc}\hline \rowcolor{yellow!25} {5 \mod 6} & {0 \mod 6} & {1 \mod 6}\\\hline 5 & 6 & 7 \\ 11 & 12 & 13 \\ 17 & 18 & 19 \\ \vdots & \vdots & \vdots\\\hline \end{array} $$ % Finalizamos el ambiente matemático...

y obtenemos: 5 mod 6 0 5 11 17

.. .

mod 6 6 12 18

...

1 mod 6 7 13 19

...

Usando el ambiente tabular para incluir exactamente la misma tabla tenemos que escribir: LATEX 2ε \begin{center} \begin{tabular}{ccc}\hline



81

\rowcolor{yellow!25} {$5 \mod 6$} & {$0 \mod 6$} & {$1 \mod 6$}\\\hline 5 & 6 & 7 \\ 11 & 12 & 13 \\ 17 & 18 & 19 \\ $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$\\\hline \end{tabular} \end{center}

El siguiente ejemplo sirve para incluir una división sintética: LATEX 2ε $$ \begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & -10 & -2\\ & -2 & 10 & \\\hline 1 & -5 & \textcolor{red}{0} & \end{array} $$

y esto incluye en el documento: 1 1

−3 −10 −2 −2 10 −5 0

Las tablas en ambiente matemático son particularmente útiles al escribir notas de álgebra lineal para incluir determinantes o matrices. Los siguientes ejemplos muestran algunos casos: LATEX 2ε \begin{equation*} \det(\mathbf{A}) = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| \end{equation*}

y esto incluye en el documento:

det(A) =

 

a11 a21 a31

a12 a22 a32

Igual, podemos incluir una matriz aumentada: LATEX 2ε \begin{equation} A =


a13 a23 a33

 

82

Ecuaciones y cosas peores \left(\!\!\! \begin{array}{ccc|r} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & \beta_1\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} & \beta_2\\ \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} & \beta_3 \end{array} \!\!\!\right) \end{equation}

y esto incluye:

A =

 

α11 α21 α31

α12 α22 α32

α13 α23 α33

β 1 β 2 β 3

 

En el curso de cálculo, en particular cuando estudiamos límites podemos requerir funciones como la siguiente:

y =



2 x 1 si x 0 si x > 0 x 1

− −

≤

que se obtiene con el siguiente código: LATEX 2ε \begin{equation*} y = \left\{ % Inicia llave con: \left\{ \begin{array}{ll} 2\,x - 1 & \mbox{si } x \leq 0\\ x - 1 & \mbox{si } x > 0 \end{array} \right. % finalizo llave con: \right. \end{equation*}

Y ahora incluimos un sistema de ecuaciones lineales: LATEX 2ε Resuelve: $ % inicia el ambiente matemático \left\{ \begin{array}{rcrcl} 2\,x &+& y &=& 12\\ -x &+& 2\,y &=& 21 \end{array} \right. $ % finaliza el ambiente matemático

y esto incluye en el documento: Resuelve:



2x + x +

−

y 2y

= 12 = 21

Pero usted puede ver que los términos de las ecuaciones están muy separados. Podemos cambiar la distancia usando la instrucción: \setlength. L A TEX 2ε en 15 sesiones


83 LATEX 2ε

Resuelve: $ \setlength{\arraycolsep}{.1111em} \left\{ \begin{array}{rcrcl} 2\,x &+& y &=& 12\\ -x &+& 2\,y &=& 21 \end{array} \right. $

y esto incluye en el documento: Resuelve:



2 x + y = 12 x + 2 y = 21

−

Observe que en ambos códigos se ha insertado al final \right. Esto se debe a que cada agrupador debe tener tanto el símbolo de inicio ( \left) como el de finalización (\right). En este caso no queremos que incluya una llave a la derecha (\right\}), por eso le indicamos que ahí debe terminar el agupador, pero sin incluirlo (\right.). Otro ejemplo, tomado de la referencia [7] es el siguiente: LATEX 2ε $$ \begin{array}{cccc} & & 2 & 3 \\ &\times & 1 & 1 \\\hline & & 2 & 3 \\ & 2 & 3 & \\\hline & 2 & 5 & 3 \end{array} $$

con el que obtenemos la siguiente tabla:

× 2 2

2 1 2 3 5

3 1 3 3

Para explicar las sucesiones lineales, podemos usar el siguiente arreglo de igualdades (extraído de [7]): LATEX 2ε $$ \setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcl} a_2 &=& a_1 + d\\ a_3 &=& \textcolor{blue}{a_2} + d\\


84

Ecuaciones y cosas peores &=& (\textcolor{blue}{a_1 + d}) + d = a_1 + 2\,d\\ a_4 &=& \textcolor{red}{a_3} + d\\ &=& (\textcolor{red}{a_1 + 2\,d}) + d = a_1 + 3\,d\\ a_5 &=& \textcolor{cyan}{a_4} + d\\ &=& (\textcolor{cyan}{a_1 + 3\,d}) + d = a_1 + 4\,d\\ \end{array} $$

que incluye en nuestro documento: a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a 1 + 2 d a4 = a3 + d = (a1 + 2 d) + d = a 1 + 3 d a5 = a4 + d = (a1 + 3 d) + d = a 1 + 4 d

Otro ejemplo de arreglo, muy relacionado con el anterior y extraído de la misma referencia es el siguiente: S = a1 + [a1 + d] + S = ak + ak−1 + 2 S = [a1 + ak ] + [a1 + ak ] +

··· + ak ··· + a1 ··· + [a1 + ak ]

que se genera con el siguiente código: LATEX 2ε $$ \setlength{\arraycolsep}{.1em} \begin{array}{ccccccccc} S & = & a_1 & + & [a_1+d] & + & \cdots & + & a_k \\ S & = & a_k & + & a_{k-1} & + & \cdots & + & a_1 \\\hline 2\,S & = & [a_1 + a_k] & + & [a_1 + a_k] & + & \cdots & + & [a_1 + a_k] \\ \end{array} $$

Con esta base puede arrancar el uso de las tablas en LA TE X 2ε. No olvide leer los manuales de los paquetes: colortbl (para incluir colores en las celdas de las tablas), longtable (para incluir una tabla que abarque varias páginas), multirow (para incluir celdas que abarquen varios renglones). Puede buscar los manuales en la instalación de MiKTE X en su disco duro. Por ejemplo en: C:\Program Files\MiKTeX 2.7\doc\latex\colortbl está el manual del primer paquete mencionado. Si los manuales no están instalados, puede buscarlos a través de Internet.


2.4. SESIÓN 9: IMÁGENES Y FIGURAS

85

2.4 S ESIÓN 9: I MÁGENES Y FIGURAS Al elaborar documentos frecuentemente nos vemos en la necesidad de incluir imágenes o gráficas. Particularmente cuando diseñamos materiales didácticos y deseamos explicar una idea de una manera visual, una imagen o una gráfica están intrínsecamente involucradas en el diseño.

2.4.1

2.4.1

I MÁGENES

Para insertar una imagen en el documento que estamos elaborando usamos la instrucción \includegraphics. Por ejemplo, para incluir la imagen de nombre: simetria.jpg utilizamos el siguiente código: LATEX 2ε \begin{center} \includegraphics{simetria.jpg} \end{center}


Podemos cambiar el tamaño de las imágenes que insertamos indicando una escala con la instrucción scale como argumento opcional en la instrucción \includegraphics. L A TEX 2ε en 15 sesiones

2.4



86

Ecuaciones y cosas peores LATEX 2ε \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{simetria.jpg} \end{center}


También podemos rotar la imagen un ángulo α medido en grados sexagesimales utilizando la instrucción angle como argumento opcional: LATEX 2ε \begin{center} \includegraphics[scale=0.5,angle=30]{simetria.jpg} \end{center}




Si usted desea incluir una imagen al margen del texto puede incluirla utilizando la instrucción \marginpar: LATEX 2ε \marginpar{ \begin{center} \includegraphics[scale=0.5,angle=15]{simetria.jpg} \end{center}


2.4. SESIÓN 9: IMÁGENES Y FIGURAS } % Termina \marginpar

y esto incluye en el documento la imagen que está al margen. Observe que la imagen queda a la misma altura que se encuentra el texto donde se incluyó la instrucción \marginpar. Esta instrucción permite incluir además notas, ecuaciones, gráficas, etc., (cualquier otra cosa que se encuentre en su argumento) al margen del texto. Igual, algunas veces va a necesitar incluir una imagen en el párrafo, de manera que el texto la rodee. Para eso podemos utilizar el ambiente minipage. Por ejemplo: LATEX 2ε \begin{minipage}{0.4\linewidth} % 40% de la longitud de la linea actual \includegraphics{simetria.jpg} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.5\linewidth} % 50% de la longitud de la linea actual Aquí se incluye el texto que aparecerá a la izquierda de la imagen... \end{minipage}

incluye en el documento:

Aquí se incluye el texto que aparecerá a la izquierda de la imagen...

La instrucción \hfill inserta espacio horizontal, tanto como le sea posible en la línea actual. También puede utilizar la instrucción \parpic que está definida en el paquete picins. El siguiente código: LATEX 2ε \parpic[r]{\includegraphics[width=1cm]{simetria.jpg}} % [r] indica a la derecha (right) Aquí se incluye el texto que rodea a la imagen. Puede ser tanto como se


87

88

Ecuaciones y cosas peores requiera. No se requiere de cuidado alguno... \LaTeXe\ automáticamente se da cuenta cuándo termina la imagen que está rodean\-do este texto en el documento. Usted siga tecleando texto de manera normal.

genera en el documento: Aquí se incluye el texto que rodea a la imagen. Puede ser tanto como se requiera. No se requiere de cuidado alguno... L A TE X 2ε automáticamente se da cuenta cuándo termina la imagen que está rodeando este texto en el documento. Usted siga tecleando texto de manera normal. La instrucción width le indica el ancho que debe tener la imagen. Otra instrucción similar es height que indica la altura de la imagen. Si se utiliza una y la otra no, L A TE X 2ε calculará la longitud faltante para que las proporciones de la imagen queden iguales a la imagen original. En el siguiente ejemplo se incluye la imagen a la izquierda y se agrega un marco, que se indica con la letra f en el argumento opcional de la instrucción \parpic: LATEX 2ε Aquí se incluye el texto que está en el párrafo anterior a la imagen. \parpic[f]{\includegraphics[width=1cm]{simetria.jpg}} % [f] indica con marco (frame) Puede ser tanto como se requiera. No se requiere de cuidado alguno... \LaTeXe\ automáticamente se da cuenta cuándo termina la imagen que está rodeando este texto en el documento. Usted siga tecleando texto de manera normal. El resto lo hace \LaTeXe. Usted solamente debe preocuparse por el contenido de su documento.

genera en el documento: Aquí se incluye el texto que está en el párrafo anterior a la imagen. Puede ser tanto como se requiera. No se requiere de cuidado alguno... LA T X 2ε automáticamente se da cuenta cuándo termina la imagen que E está rodeando este texto en el documento. Usted siga tecleando texto de manera normal. El resto lo hace L A TE X 2ε . Usted solamente debe preocuparse por el contenido de su documento. Un último ejemplo donde se incluye una sombra a la imagen: LATEX 2ε \shadowthickness{0.15cm} \parpic[sr]{\includegraphics[width=1cm]{simetria.jpg}} % [s] indica sombra (shadow) y [r] a la derecha (right) Aquí se incluye el texto que rodea a la imagen. Puede ser tanto como se requiera. No se requiere de cuidado alguno... \LaTeXe\ automáticamente se da cuenta cuándo termina la imagen que está rodeando este texto en el documento. Usted siga tecleando texto de manera normal. El resto lo hace \LaTeXe. Usted solamente debe preocuparse por el contenido de su documento.

genera en el documento: L A TEX 2ε en 15 sesiones


89

Aquí se incluye el texto que rodea a la imagen. Puede ser tanto como se requiera. No se requiere de cuidado alguno... L A TE X 2ε automáticamente se da cuenta cuándo termina la imagen que está rodeando este texto en el documento. Usted siga tecleando texto de manera normal. El resto lo hace L A TE X 2ε . Usted solamente debe preocuparse por el contenido de su documento. La instrucción \shadowthickness{0.15cm} le indica a L A TE X 2ε el grosor de la sombra que dibujará a la imagen.

2.4.2

2.4.2

F IGURAS

En L A TE X 2ε una figura tiene atención especial. Cuando insertamos una figura, L A TE X 2ε le asigna el mejor espacio que encuentra más cerca de donde se le insertó. Por ejemplo, si por el tamaño de la figura no cabe en lo que resta de la página, el compilador de L A TE X 2ε sustituye la figura con el párrafo siguiente y acomoda la figura al inicio de la siguiente página. Para insertar una figura usamos el ambiente figure. El código básico para insertar una figura es el siguiente:



LATEX 2ε \begin{figure}[ubicacion] % Aquí va la figura \caption{Titulo de la figura} \end{figure}

El agumento opcional ubicacion sugiere a L A TE X 2ε cómo ubicar la figura dentro del documento. Los valores que podemos indicar son los siguientes: h en la posición donde se inserta la figura. La h se refiere a la palabra “here ” que significa “aquí ”. t en la parte más alta de la página actual. La t viene de la palabra “top ” que significa “la parte más alta”. b en la parte más baja de la página actual. La b viene de la palabra “bottom” que significa “la parte más baja”. p en una página separada donde se colocarán todas las figuras que indiquen esta opción. La p viene de la palabra “ page ” que significa “ página”. La instrucción \caption nos permite indicar el título que debe incluir la figura en su pié. El siguiente ejemplo muestra una figura con título a su pié, que se obtuvo con el siguiente código: L A TEX 2ε en 15 sesiones



90


Figura 2.1: Figura de ejemplo. LATEX 2ε El siguiente ejemplo muestra una figura con título a su pié, % \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[scale=0.5]{simetria.jpg} \caption{Figura de ejemplo.} \label{pincy} % Etiqueta para las referencias \end{figure} % que se obtuvo con el siguiente...

 Puede ver más información en la página 37.

Observe que L A TE X 2ε automáticamente incluyó el texto Figura 2.1. L A TE X 2ε enumera las figuras conforme las va encontrando. Si cree conveniente, puede incluir un índice donde enliste las figuras que se incluyen en su documento. Para esto usamos la instrucción \listoffigures. En esta lista de figuras se incluirán solamente aquellas figuras que estén codificadas con el ambiente figure. Las imágenes, gráficas, etc., que se hayan insertado sin indicar este ambiente no se incluyen en esa lista. De manera semejante puede hacer una lista de tablas. La instrucción que le corresponde es: \listoftables. Al igual, se incluirán en esta lista las tablas que hayan sido declaradas dentro del ambiente table. Por ejemplo, LATEX 2ε \begin{table}[h] \begin{center} \begin{tabular}{ccc}\hline Columna 1 & Columna 2 & columna 3\\\hline Dato 1 & Dato 2 & Dato 3\\ Dato 1 & Dato 2 & Dato 3\\\hline \end{tabular} \caption{Ejemplo de tabla} \label{EjemploUno} \end{center} \end{table}

genera en el documento la tabla con etiqueta Ejemplo de tabla que debe estar numerada como 2.1. Observe que el ambiente table genera la lista de tablas, pero el que lo utilicemos no nos permite escribir la tabla. De cualquier manera se requiere que L A TEX 2ε en 15 sesiones


Columna 1 Dato 1 Dato 1

Columna 2 Dato 2 Dato 2

91

columna 3 Dato 3 Dato 3

Tabla 2.1: Ejemplo de tabla

apliquemos el ambiente tabular o el array, según convenga. Para los ambientes figure o table se requiere declarar el título para cada una usando la instrucción \caption, que corresponde al que se imprimirá a su pié. La etiqueta también debe declararse usando la instrucción \label. Normalmente en un documento se incluyen, primero el índice de contenidos, después la lista de figuras, y finalmente la lista de tablas. El siguiente código muestra la estructura básica para conseguirlo usando LA TE X 2ε . LATEX 2ε \documentclass[12pt,letterpaper,twoside,openright]{book} ... % Preámbulo del documento \begin{document} \index % Genera el índice de materias \tableofcontents % Incluye el índice de contenidos \listoffigures % Incluye la lista de figuras \listoftables % Incluye la lista de tablas % \chapter{Espacios físicos y espacios matemáticos} ... % Aquí va mucho más código o se cargan archivos... \printindex % Incluye el índice de materias \end{document}

2.4.3 2.4.3

CRUZADAS R EFERENCIAS

Si usted desea hacer referencia a una figura puede incluir una etiqueta con la instrucción \label, como se muestra en el último código mostrado, y la referencia a la figura se indica con la instrucción \ref. El siguiente código muestra un ejemplo. LATEX 2ε En la figura (\ref{pincy}) se muestra un ejemplo de la simetría.

y en el documento obtenemos: En la figura (2.1) se muestra un ejemplo de la simetría. No se puede hacer referencia a una figura que se insertó sin utilizar el ambiente figure. Lo más que podemos hacer es hacer referencia a la página donde se encuentra. Para eso usamos la instrucción \pageref. El siguiente código muestra un ejemplo. L A TEX 2ε en 15 sesiones



92

Ecuaciones y cosas peores LATEX 2ε El cuadrado \label{cuadrado} es también un rectángulo, porque todos sus ángulos internos son rectos.\newline $\vdots$ % % Aqui va más código... % \newline Como recordarás (página \pageref{cuadrado}) ya hemos justificado por qué el cuadrado también es un rectángulo.

y en el documento aparecerá: El cuadrado es también un rectángulo, porque todos sus ángulos internos son rectos. .. . Como recordarás (página 92) ya hemos justificado por qué el cuadrado también es un rectángulo. Obviamente, aparece el número de esta página porque aquí es donde está la etiqueta así como la referencia. Si la etiqueta se hubiera encontrado en otra página, la referencia incluiría el número de página donde la hubiera encontrado. Si desea hacer referencia a una sección puede utilizar también la instrucción \ref como se indica enseguida. Al inicio de la sección 1.3, en la página 21 se incluye el siguiente código: LATEX 2ε \section{Sesión 3: Instrucciones y ambientes} \label{sec:Instrucciones} En \LaTeXe\ se definen instrucciones y ambientes para indicarle exactamente cómo deseamos diseñar el documento que estamos elaborando. Cada instrucción debe escribirse correctamente, pues \LaTeXe\ es un lenguaje de tipografía científica.

Y para que se incluyera la referencia a la sección y a la página de esa sección se incluyó el siguiente código: LATEX 2ε Al inicio de la sección \ref{sec:Instrucciones}, en la página \pageref{sec:Instrucciones} se incluye el siguiente código:



De manera semejante podemos hacer referencia a ecuaciones. Por ejemplo, LATEX 2ε De acuerdo a A. Einstein, \begin{equation} E = mc^2



93

\label{Einstein} \end{equation} Por la ecuación (\ref{Einstein}) sabemos que...

y obtenemos: De acuerdo a A. Einstein, E = mc 2

(2.1)

Por la ecuación (2.1) sabemos que... Obviamente, si utilizamos el ambiente equation* la ecuación no se enumera, así que necesariamente debemos usar el ambiente que sí las enumera para poder hacer referencia a la ecuación. Si tiene mayor interés en hacer otras referencias en el documento se sugiere que lea el manual del paquete hyperref, que puede encontrar en la instalación de MiKTE X, muy probablemente en una dirección como la siguiente: C:\Program Files\MiKTeX\doc\latex\hyperref


94



2.5. SESIÓN 10: GRÁFICAS Y DIAGRAMAS

95

2.5 S ESIÓN 10: G RÁFICAS Y DIAGRAMAS

2.5

Para incluir una gráfica en L A TE X 2ε , bien podemos insertar una imagen que contenga la gráfica, pero lo más recomendable es elaborar el código en L A TE X 2ε para que la gráfica tenga la mayor calidad posible en el documento. Para elaborar gráficas, diagramas, etc., en L A TE X 2ε utilizaremos el paquete tikz. Este paquete es el que prefiere el autor, aunque hay otros paquetes que realizan las mismas tareas, por ejemplo, el paquete pstricks. De cualquiera de los paquetes que sirven para elaborar gráficas en LA TE X 2ε puede encontrar manuales a través de Internet. Entonces, para que los siguientes códigos puedan incluirse en su documento, usted debe incluir en el preámbulo el código: LATEX 2ε \usepackage{tikz}

El paquete tikz define el ambiente tikzpicture y la instrucción \tikz. Si usted desea que el dibujo que genere aparezca dentro del párrafo donde se generó, utilice la instrucción. Si desea que aparezca en un nuevo párrafo, utilice el ambiente. Por ejemplo, para incluir dentro del párrafo, se utilizó el siguiente código: LATEX 2ε Por ejemplo, para incluir % \tikz \draw[red,fill=red] (0,0) circle (2pt); % dentro del párrafo, se utilizó ...

Pero si usted desea que el dibujo quede en otro párrafo, es mejor utilizar el ambiente tikzpicture, particularmente cuando se trata de muchas instrucciones. Por ejemplo:

Se obtuvo con el siguiente código: LATEX 2ε \begin{center} \begin{tikzpicture}




96

Ecuaciones y cosas peores % dibujo un círculo sin relleno \draw[red] (0,0) circle (1cm); % dibujo un circulo con relleno \draw[blue,fill=blue!25] (4,0) circle (1cm); \end{tikzpicture} \end{center}



donde hemos usado las siguientes instrucciones: draw Indica que debe dibujar las instrucciones de la línea actual red Indica que el dibujo de la línea de código actual debe colorearse de rojo. Otros colores disponibles son: azul ( blue), rosa (pink), azul claro (cyan), morado (violet), verde (green), amarillo (yellow), negro (black), gris (gray), naranja (orange), café (brown), blanco (white), entre otros. circle Indica que se debe dibujar un círculo. Las primeras coordenadas corresponden al centro del círculo y el último argumento entre paréntesis corresponde al radio. Note que también requiere de unidades. fill Indica que debe rellenarse el dibujo con el color indicado. Observe que cada instrucción finaliza con un punto y coma ( ;). Si no lo incluye LA T X 2ε le indicará un error, tal vez que no puede terminar la instrucción, porque E no le indican dónde termina. Podemos generar otros dibujos en el párrafo usando la instrucción \tikz como que se obtuvo con el siguiente código: LATEX 2ε Podemos generar otros dibujos en el párrafo usando la instrucción \verb|\tikz| como \tikz \draw[blue,thick,fill=cyan] (0,0) parabola bend (0.2,0.2) (0.4,0); que se obtuvo con el siguiente...

Cuando estemos estudiando geometría analítica o funciones vamos a estar ocupando continuamente los ejes coordenados. Por ejemplo, el siguiente código: LATEX 2ε \begin{center} \begin{tikzpicture} % dibujo un cuadricula \draw[color=gray,help lines] (0,0) grid (5,5); % Dibujo los ejes... \draw[thick,->] (-0.5,0)--(5.5,0) node[right] {$x$}; % Eje x % Enumeración del eje x \foreach \x/\xtext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt)--(0pt,-2pt) node[below] {$\xtext$}; % % % \draw[thick,->] (0,-0.5)--(0,5.5) node[above] {$y$}; % Eje y % Enumeración del eje y \foreach \y/\ytext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) node[left] {$\ytext$}; \end{tikzpicture} \end{center}



97

genera:

y 5 4 3 2 1

1

2

3

4

5

x

Las instrucciones que se utilizaron se describen a continuación: grid Permite elaborar cuadrículas. Se debe indicar las coordenadas del punto donde inicia (esquina inicial) y el punto donde termina (esquina final). node Permite incluir un texto o símbolo en la gráfica. También se puede incluir una imagen cargada de un archivo. El nodo puede indicarse a la derecha (right), izquierda (left), arriba (above) o debajo (below). - - Esta instrucción indica que se debe dibujar un segmento de recta desde el punto inicial hasta el punto final. -> Indica que se desea una flecha al final del segmento de recta. Si se desea indicar que la flecha esté en el punto inicial la instrucción será: <-. En caso de que deban aparecer en ambos extremos la instrucción es: <-> . thick Indica que el segmento de recta debe ser grueso. También pueden ser: delgado (thin), muy delgado (very thin), muy grueso (very thick), extra grueso (ultra thick) o ultra delgado (ultra thin). shift Indica que recorra (traslación) el dibujo generado por esa línea en las coordenadas indicadas en el argumento. \foreach Ciclo que realiza la misma operación para todos los elementos del conjunto indicado entre llaves. Otro ejemplo donde se modificaron los ejes para que se ajustaran a la gráfica que se desea explicar y se agregaron unas rectas, se muestra a continuación: LATEX 2ε \begin{center} \begin{tikzpicture}




98

Ecuaciones y cosas peores \draw[blue,thick,->] (-2.5,0)--(5,0) node[right,below] {$x$}; % Eje x % Enumeración del eje x \foreach \x/\xtext in {-2/-2, -1/-1, 1/1, 2/2, 3/3, 4/4} \draw[shift={(\x,0)},blue] (0pt,2pt)--(0pt,-2pt) node[below] {$\xtext$}; % % Enumeración del eje y \foreach \y/\ytext in {-1/-1, 1/1, 2/2, 3/3, 4/4} \draw[shift={(0,\y)},blue] (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) node[left] {$\ytext$}; \draw[blue,thick,->] (0,-2)--(0,4.25) node[left,above] {$y$}; % Eje y % \node[below] at (-0.25,0){$O$}; \draw[red,thick,<->] (-1,4) -- (4,-1); \node[color=red,right] at (4,-1) {$x+y=3$}; % \draw[red,thick,<->] (-1,-2) -- (4,3); \node[color=red,right] at (4,3) {$x-y=1$}; % \draw[fill=black] (2,1) circle (2pt); \end{tikzpicture} \end{center}

y esto incluye en el documento lo siguiente:

y 4 x

3

− y = 1

2 1

−2 −1

O

1

2

3

4

x x + y = 3

−1

Observe que en esta gráfica no aparece la cuadrícula porque no se ha incluido la instrucción grid. Además de que los ejes se han dibujado de azul. Para graficar una función podemos utilizar el siguiente código: LATEX 2ε \begin{center} \begin{tikzpicture} \draw[very thin,color=gray] (-0.1,-1.1) grid (7,1.1); \draw[->] (-0.2,0) -- (7.5,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-1.2) -- (0,1.5) node[above] {$y$}; \draw[blue,thick,->] plot[domain=0:7] (\x,{sin(\x r)}) node[right] {$h(x) = \sin x$}; \draw[red,thick,->] plot[domain=0:6.35] (\x,{cos(\x r)}) node[above] {$g(x) = \cos x$}; \end{tikzpicture}



99

\end{center}


y g(x) = cos x h(x) = sin x x

Algunas instrucciones nuevas de este ejemplo: plot indica que se graficará una función. domain indica el rango de valores que se le asignará a la variable \x que utiliza para hacer la gráfica de la función. \x define la variable que usaremos para realizar los cálculos. {cos()} Define la función que vamos a graficar. Igual para {sin()} (\x r) Indica que el argumento debe estar medido en radianes. Igual podemos graficar datos leídos desde un archivo de texto utilizando el siguiente código: LATEX 2ε \begin{center} \begin{tikzpicture}%[scale=1.75] %%% Dibujo los ejes... \draw[very thin,help lines,step=0.5] (0,0) grid (6,6); % Eje horizontal \draw[thick,->,blue] (-0.25,0)--(6.25,0) node[right] {$t$}; \foreach \x/\xtext in {0/0, 1/100, 2/200, 3/300, 4/400, 5/500, 6/~} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.2pt)--(0pt,-0.2pt) node[blue,below] {$\xtext$}; %% Eje vertical \draw[thick,->,blue] (0,-0.05)--(0,6.5) node[above] {$P(t)$}; % Enumeración del eje y \foreach \y/\ytext in {1/10, 2/20, 3/30, 4/40, 5/50, 6/60} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) node[blue,left] {$\ytext$}; % % Las gráficas de los datos \draw[thin,red] plot[smooth,mark=ball,mark size=0.5pt] file{popa.txt}; \draw[thin,blue] plot[smooth,mark=ball,mark size=0.5pt] file{popb.txt}; \draw[thin,green] plot[smooth,mark=ball,mark size=0.5pt] file{popc.txt}; \draw[thin,cyan] plot[smooth,mark=ball,mark size=0.5pt] file{popd.txt}; \draw[thin,brown] plot[smooth,mark=ball,mark size=0.5pt] file{pope.txt}; \end{tikzpicture} \end{center}

y en el documento veremos lo siguiente: L A TEX 2ε en 15 sesiones

100


P (t) 60 50 40 30 20 10 0

100

200

300

400

500

t

Algunas instrucciones nuevas en el código para generar esta gráfica son: mark Indica que utilizará viñetas para indicar la ubicación de los puntos leídos. mark size Indica el tamaño de cada viñeta. file requiere del nombre del archivo (incluye extensión).



Los archivos de texto popa, popb, popc, popd y pope contienen los datos que aparecen en las gráficas de distintos colores. Cada archivo contiene información como se muestra enseguida: 0.000000 0.250000 0.500000 0.750000 1.000000 1.250000 1.500000 1.750000

4.900000 5.000000 5.100000 4.800000 5.600000 6.000000 5.700000 5.200000

Así, usted puede utilizar otro programa para generar datos y graficarlos usando LA T X 2ε . E Por ejemplo, el software GnuPlot es de distribución libre1 , y se diseñó para realizar gráficas principalmente. 1 Descarga gratuita desde: http://www.gnuplot.info/download.html



101

El siguiente es un ejemplo del código utilizado para generar un archivo con datos que se desean graficar usando TikZ en LA TE X 2ε :



gnuplot> set table "parabola.txt" gnuplot> plot [-3:3][0:100] x *x/8 gnuplot> unset table gnuplot>

y después podemos graficar los datos generados en el archivo utilizando las instrucciones que se mostraron en el ejemplo de la última gráfica.  La

instrucción set table le indica a GnuPlot que abra un archivo con el nombre que se indica entre comillas.

 La

instrucción plot sirve para graficar. Entre corchetes se indica primero los límites inferior y superior que asignará a x y después los que corresponden a y .

 Finalmente, le pedimos que cierre el archivo con la instrucción unset

table.

Es importante mencionar que el archivo de texto debe estar en la misma carpeta donde se encuentra el código fuente de su documento en L A TE X 2ε para que pueda leerlo. Igual, si usted desea, puede programar en cualquier otro lenguaje de programación para generar el archivo de datos y utilizarlo para generar su gráfica. El siguiente ejemplo consiste en un conjunto de 1 500 números pseudo-aleatorios con distribución exponencial que se generaron con un programa codificado en el lenguaje de programación ANSI-C:

3 2 1 0

0

200

500

1000

La gráfica de estos datos se generaron con el siguiente código: LATEX 2ε \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale = 0.75] %%% Dibujo los ejes... \draw[thick,->,blue] (-0.25,0)--(16,0) node[right] {$N$}; % Eje x \foreach \x/\xtext in {0/0, 2/200, 5/500, 10/1000, 15/1500} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt)--(0pt,-2pt) node[blue,below] {$\xtext$}; \draw[thick,->,blue] (0,-0.5)--(0,4.25);% node[right] {$y(t)$}; % Eje y


1500

N



102

Ecuaciones y cosas peores \foreach \y/\ytext in {0/0, 1/1, 2/2, 3/3} % Enumeración del eje y \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) node[blue,left] {$\ytext$}; \draw[cyan] plot[ycomb] file{exponencial.txt}; % La gráfica de los datos \draw[very thin,help lines] (0,0) grid (15,4); \end{tikzpicture} \end{center}

La instrucción opcional scale=0.75 le indica a L A TE X 2ε que reduzca la escala del dibujo a un 75% de su tamaño real. Otras figuras que sirven para explicar procesos también pueden ser diseñadas a través de tikz. Por ejemplo:

pbc

C p

d c

p c

g

pdg

d e

pag

p p

pef

A f a

f g

p

E

a b

G g e

p

p

p b

c g

D

B

p

F

se obtiene con el código: LATEX 2ε \begin{center} \tikzstyle{mi nodo}= [circle,draw,blue,fill=blue!15] \begin{tikzpicture}[scale=1.5,shorten >=1pt,node distance=1.5cm,auto] % \foreach \nodo/\angulo/\texto in {a/0/A, b/60/B, c/120/C, d/180/D, e/240/E, f/300/F} \node[mi nodo] (\nodo) at (\angulo:2cm) {$\texto$}; % Nodo central \node[mi nodo] (g) at (0cm:0cm) {$G$}; \foreach \origen/\destino in {a/b, b/c, c/d, d/e, e/f, a/f} \path[blue,thick] (\origen) edge node[above,sloped] {\footnotesize$p_{\origen\destino}$} (\destino); % \foreach \destino in {a, b, c, d, e, f} \path[blue,thick] (g) edge node[above,sloped] {\footnotesize $p_{\destino g}$} (\destino); % Ahora dibujo el camino más corto... \path[red,very thick] (a) edge node[above,sloped] {\footnotesize $p_{ab}$} (b); \path[red,very thick] (b) edge node[above,sloped] {\footnotesize $p_{bg}$} (g); \path[red,very thick] (g) edge node[above,sloped] {\footnotesize $p_{fg}$} (f); \path[red,very thick] (f) edge node[above,sloped] {\footnotesize $p_{ef}$} (e); \path[red,very thick] (e) edge node[above,sloped] {\footnotesize $p_{de}$} (d);



103

\path[red,very thick] (d) edge node[above,sloped] {\footnotesize $p_{cd}$} (c); % \end{tikzpicture} \end{center}

Podemos utilizar imágenes y encima de éstas dibujar otros trazos para resolver problemas. Por ejemplo, en la referencia [7] se utiliza: x

x

5 3

x

27 x

que se obtuvo con el siguiente código: LATEX 2ε \begin{center} \begin{tikzpicture} % Marco para la fotografia \draw[ultra thick,blue,fill=cyan!35] (0,0) rectangle (6.4,8); % Esta es una fotografía del autor del manual: \node at (3.2,4) {\includegraphics[width=4.4cm,height=6cm]{Efra.jpg}}; \draw[thick,<->,red] (0,4) -- (1,4) node [midway,below]{$x$}; \draw[thick,<->,red] (5.4,4) -- (6.4,4) node [midway,below]{$x$}; \draw[thick,<->,red] (3.2,0) -- (3.2,1) node [midway,below,rotate=90]{$x$}; \draw[thick,<->,red] (3.2,7) -- (3.2,8) node [midway,below,rotate=90]{$x$}; % undicando las medidas \draw[thick,<->,blue] (1,1.25) -- (5.4,1.25) node [midway,above]{$27$}; \draw[thick,<->,blue] (1.25,1) -- (1.25,7) node [midway,below,rotate=90]{$35$}; \end{tikzpicture} \end{center}

Otro concepto muy frecuentemente usado en matemáticas son las sumatorias. Un gráfico que sirve de apoyo para explicar la suma: 1+2+3+

1) ··· + n = n (n + 2

es el siguiente (que se extrajo de la referencia [5]): L A TEX 2ε en 15 sesiones

104


n n

1

2

4

3

n + 1

···

n

que se obtiene con el siguiente código: LATEX 2ε \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.75] % relleno para la cuadrícula de color amarillo \draw[yellow!10, fill = yellow!10] (0,0) rectangle (7,8); \draw[red,dotted] (0,0) grid (7,8); % Primeros escalones normales \draw[blue,thick,fill=blue!25] (0,0) rectangle (1,1); \draw[blue,thick,fill=blue!25] (1,0) rectangle (2,2); \draw[blue,thick,fill=blue!25] (2,0) rectangle (3,3); \draw[blue,thick,fill=blue!25] (3,0) rectangle (4,4); \draw[blue,thick,fill=blue!25] (4,0) rectangle (5,5); \draw[blue,thick,fill=blue!25] (5,0) rectangle (6,6); \draw[blue,thick,fill=blue!25] (6,0) rectangle (7,7); \draw [->](3,-0.35) -- (0,-0.35); \draw [->](4,-0.35) --(7,-0.35); \draw(-0.15,8) --(-0.55,8); % Para indicar el límite \draw(-0.15,1) --(-0.55,1); % Para indicar el límite \node[below] at (3.5,0) {$n$}; \draw [->](-0.35,4) -- (-0.35,1); \draw [->](-0.35,5) --(-0.35,8); \draw(7,-0.15) --(7,-0.55); % Para indicar el límite \draw(0,-0.15) --(0,-0.55); % Para indicar el límite \node[left] at (0,4.5) {$n$}; % \draw [->](7.8,3.5) -- (7.8,0); \draw [->](7.8,4.5) --(7.8,8); \node[right] at (7,4) {$n+1$}; \draw(7.25,8) --(8.35,8); % Para indicar el límite \draw(7.25,0) --(8.35,0); % Para indicar el límite % \node at (0.5,0.5) {1}; \node at (1.5,1) {2}; \node at (2.5,1.5) {3}; \node at (3.5,2) {4}; \node at (4.5,2.5) {$\cdots$}; \node at (6.5,3.5) {$n$}; \end{tikzpicture} \end{center}



105

Para explicar el concepto de función podemos usar el siguiente diagrama 2 :

Función Dominio

Contradominio

X

Y

f

x

Valores que le damos a la función

f (x)

Valores que nos devuelve la función

que se obtiene con el siguiente código: LATEX 2ε \begin{center} \begin{tikzpicture} \draw[red!5,fill=yellow!15,rounded corners](-1,-1.25) rectangle (11,4); % Dibujo el Dominio + + + \fill[blue!15] (0,0) rectangle (4,2); \draw[color=blue,very thick] (0,0) rectangle (4,2); \node[color=red] at (2,1) {$x$}; \node[color=red,below] at (0.5,2) {$\mathbb{X}$}; % Dibujo el Contradominio + + + \fill[blue!15] (6,0) rectangle (10,2); \draw[color=blue,very thick] (6,0) rectangle (10,2); \node[color=red] at (8,1) {$f(x)$}; \node[color=red,below] at (6.5,2) {$\mathbb{Y}$}; % Dibujo las flechas + + + \draw[color=blue,very thick,->] (4.25,1)--(5.75,1); \node[color=red,above] at (5,1) {$f$}; \draw[color=cyan,very thick,->] (5,3)--(5,2); \node[above] at (5,3) {Función}; % Nombre de cada conjunto + + + \node[above] at (2,2) {Dominio}; \node[above] at (8,2) {Contradominio}; % + + + \node[right,text width=3.75cm,inner sep=1ex] at (0.25,-0.675) { \begin{center} Valores que le \\ damos a la función \end{center}}; % \draw[red,snake=brace] (4,-0.1) -- (0,-0.1); % + + + \node[right,text width=3.75cm,inner sep=1ex] at (6.25,-0.675) { \begin{center} Valores que nos \\ devuelve la función \end{center} }; % \draw[red,snake=brace] (10,-0.1) -- (6,-0.1); \end{tikzpicture}

2 Extraído de la referencia [5].


106

Ecuaciones y cosas peores \end{center}

Observe que utilizamos la instrucción: \draw[red,snake=brace] para dibujar una llave. Para que esta instrucción funcione necesitamos incluir en el preámbulo del documento la instrucción: LATEX 2ε \usetikzlibrary{snakes}

que le indica a LA TE X 2ε que cargue la librería que define esa instrucción. Otro dibujo sencillo que se utilizó en la referencia [13] es el siguiente:

y

V = x y 2

·

y x

Que se obtuvo con el siguiente código: LATEX 2ε \begin{center} \begin{tikzpicture} % Caras del cuerpo: \draw[red,thick,fill=red!15] (0,0) -- (5,0) -- (5,2) -- (0,2) -- (0,0) ; \draw[red,thick,fill=red!15] (5,0) -- (7,1) -- (7,3) -- (5,2) -- cycle; \draw[red,thick,fill=red!15] (5,2) -- (7,3) -- (2,3) -- (0,2) -- cycle; %%% Acotamientos [Horizontal] \draw[blue,->] (2.25,-0.2) -- (0,-0.2); \draw[blue,->] (2.75,-0.2) -- (5,-0.2); \node[blue,below] at (2.5,0){$x$}; %%% Acotamientos [Vertical] \draw[blue,->] (-0.25,0.75) -- (-0.25,0); \draw[blue,->] (-0.25,1.25) -- (-0.25,2); \node[blue,left] at (0,1){$y$}; \node[blue,below] at (6,0.5){$y$}; \draw[blue,->] (5.75,0.175) -- (5,-0.2); \draw[blue,->] (6.25,0.425) -- (7,0.8); \node[blue] at (2.5,1) {$V = x\cdot y^2$}; \end{tikzpicture} \end{center}

Hay una infinidad de conceptos matemáticos que se pueden explicar con el uso de figuras. Si usted elabora cada figura usando L A TE X 2ε , difícilmente alguien más podrá elaborar una de mejor calidad en diseño y tipografía. Por ejemplo, para motivar el concepto de pendiente de una recta podemos utilizar [5] el siguiente gráfico: L A TEX 2ε en 15 sesiones


107 y = 2 x

y

y = x

3 1 y = x 2

2 1 2 x

x

1 1 x 2

−3 −2 −1

0

1

2

3

x

4

−1 −2 −3 y después, para generalizar, podemos usar el siguiente: y

y = m x + b

∆y m

b

m =

∆y ∆x

∆x

−3 −2 −1

0

1

2

3

x

Y con la ayuda de la fórmula:

m =

y2 x2

− y1 = ∆y = Incremento en y − x1 ∆x Incremento en x

explicar la interpretación geométrica y física de la pendiente de una recta. La interpretación geométrica de las funciones trigonométricas se puede explicar usando el siguiente diagrama: L A TEX 2ε en 15 sesiones

108


cot α

1

α

c s e

α

s c c

α

tan α

n i s

α

−1

1

cos α

Otro concepto que se estudia en bachillerato y que puede generarse usando LA T X 2ε es el de las cónicas. E Empezamos dibujando el cono. z t r i a r n e e G

Eje

O

Aquí está la circunferencia:

Sigue la parábola: L A TEX 2ε en 15 sesiones


Aquí está una elipse:

Ahora una hipérbola:

La suma de vectores se puede explicar con el siguiente diagrama: L A TEX 2ε en 15 sesiones

109

110

Ecuaciones y cosas peores y

v u 

v 

+

u x

O

y Y este diagrama [5] sirve para mostrar geométricamente que al multiplicar un renglón de una matríz cuadrada, su determinante queda multiplicado por el mismo v escalar. De gran utilidad cuando se ha α u mostrado que un determinante de 2×2 se representa geométricau mente por un área. x O Para explicar el concepto de límite o para aproximar el valor de π , podemos usar las siguientes figuras que se extrajeron de la referencia [11]:

A5

A6

A7

n = 5

n = 6

n = 7

A8

A9

A10

n = 8

n = 9

n = 10

Igual, para mostrar evidencia de algunos teoremas en cálculo, podemos usar la siguiente gráfica, extraída de la misma referencia[11]: L A TEX 2ε en 15 sesiones


111

y M = f (xM ) y = f (x) m = f (xm )

a

xm

xM

x

b

O la siguiente (misma referencia): y y = f (x) k

y = g(x) a

x0

b

x

Otro ejemplo más, de la misma referencia, que se utilizó para explicar la interpretación física y geométrica de la derivada es el siguiente: y(t)

B

B 2 2

3

t

Para explicar el ángulo entre dos curvas, en la misma referencia [11] se utilizó: L A TEX 2ε en 15 sesiones

112

Ecuaciones y cosas peores y y = x 2

4

3

2 φ P (1, 1)

1

x

−3

−2

−1

0

1

2

3

−1 y = 2

− x2 −2

Para explicar cómo graficar la parábola a partir de su definición, en la referencia [9] se utilizó el siguiente diagrama:

F

Directriz Para explicar la solución de un problema (misma referencia) se usó la siguiente gráfica:



113

y E 3

3

2 D

1

D =

√ 65 2 E 2

−4

−3

−2

−1

1

D

E 1

C (0, 0.5)

−

−1

3

D

x

4

Para explicar conductividad, campos eléctricos, diferencia de potencial, etc., sirve el siguiente diagrama:

−

+ E

−

+

+

−

E +

1

1

−

+

−

1

Para explicar la suma: + 2 + 3 + ··· , en la referencia [5] se utilizó el 4 4 4 siguiente diagrama:

C B

A

Otra gráfica que sirvió en la solución de un problema en la referencia [9] es: L A TEX 2ε en 15 sesiones

114

Ecuaciones y cosas peores y 7 6

3

x

+ y

5

−

y

8 = 0

4

=

−

0

P (6, 5) C | P |

x

r =

3 2

C

1

−3 −2 −1

1

2

3

4

5

6

7

x

−1 −2 −3 Para obtener las siguientes gráficas el autor elaboró programas para calcular de manera automática coordenadas de los objetos que se grafican en cada una. En la referencia [11], para explicar máximos y mínimos usando el criterio de la primera derivada el autor utilizó: y 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

−4 −3 −2 −1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5

f (x) =

1

2

3

4

5

x2

x +1

x

Y para explicar la concavidad: L A TEX 2ε en 15 sesiones

2.5. SESIÓN 10: GRÁFICAS Y DIAGRAMAS y

115 y

y  (x) < 0

y (x) > 0

x x

Para explicar crecimiento y decrecimiento de funciones utilizó [11]: y 8 7 6 5 4 3 2 1 e

−4 −3 −2 −1 −2 −3 −4 t

e

t n e i

c

e r

c

1 2 3 4 5

x

n

e

i

c e

r

c

Para explicar la definición de integral definida, el autor utilizó los siguientes gráficos en la referencia [12]: y

y = x 2

1

y = x 2

1

1


y

x

1

x

116


y

y = x 2

1

y

y = x 2

1

1 y

x

1

y = x 2

1

y

x

y = x 2

1

1

x

1

x

La idea que el autor desea divulgar con esta sesión es que con el uso del paquete tikz usted puede elaborar diagramas de muchos tipos y elaborar materiales con la apariencia de la mejor editorial profesional. Se sugiere que busque un manual de uso del paquete tikz en Internet. De hecho, cuando se instala en su computadora este paquete se graba junto con él su manual, solo que debe buscarlo. Muy probablemente esté en: C:\Program Files\MiKTeX\doc\generic\pgf

Usted puede encontrar algunos materiales didácticos gratuitos diseñados por el autor de este libro en el siguiente sitio de Internet:

@

http://www.scribd.com/Efrain_Soto_Apolinar


s e r T

3

A T X 2 INTERMEDIO L ε E

En la historia de la ciencia, nadie ha dejado su marca en el mundo a menos que haya sido, en este sentido, un innovador. — Richet, Charles.

118

LATEX 2ε intermedio


3.1. SESIÓN 11: CREACIÓN DE INSTRUCCIONES PROPIAS

119

3.1 S ESIÓN 11: C REACIÓN DE INSTRUCCIONES PROPIAS En L A TE X 2ε el usuario puede definir instrucciones. Como se mencionó en la introducción (sección 1.1), algunas veces utilizamos mucho un símbolo o un diagrama que nos conviene más definir una instrucción y utilizarla para realizar eso que se debe repetir varias veces en un documento. Hay varias formas de definir una nueva instrucción. Empezamos con instrucciones personalizadas que no requieren de argumentos.

3.1.1

LATEX 2ε \newcommand{\nuevo}{ \par \vspace{1.5cm} \begin{flushright} \textcolor{red}{\rule{3.5cm}{2pt}} \end{flushright} }

Enseguida se explican las instrucciones que definen a la instrucción \nuevo. \newcommand Es la instrucción que nos permite definir instrucciones propias (personalizadas). Requiere de dos argumentos.



3.1.1

I NSTRUCCIONES SIN ARGUMENTOS

Supongamos que deseamos escribir un examen. Se nos ha ocurrido de alguna manera visual indicar que inicia una nueva pregunta del examen, así que tenemos que crear una instrucción para facilitar la edición del examen usando L A TE X 2ε . Para definir nuestra instrucción primero debemos decidir cómo se debe ver. Nosotros vamos a colocar una línea de color rojo a la izquierda, justo antes de empezar el siguiente problema. El siguiente código define la instrucción:



3.1

El primero corresponde al nombre de la instrucción y siempre debe iniciar con el caracter \. En este ejemplo, {\nuevo}. El segundo argumento corresponde al comando en sí. Lo que nosotros queremos que la instrucción haga, lo indicaremos en el segundo argumento. En este ejemplo corresponde al resto del código mostrado.

\par Indica que inicie un nuevo párrafo. \vspace{1.5cm} Indica que deje 1.5 cm de espacio vertical. Esto con la idea de que el estudiante tenga un espacio para incluir su respuesta. \begin{flushright} Inicia el ambiente flushright para justificar a la derecha. L A TEX 2ε en 15 sesiones

 El nombre de la instrucción solamente puede tener letras.



120


\textcolor{red} Indica que el argumento debe colorearse de rojo. \rule{3.5cm}{2pt} Indica que se dibujará una línea de 3.5 cm de largo con 2 pt de grosor. \end{flushright} Finaliza el ambiente flushright para justificar a la derecha. Ahora vamos a escribir un ejemplo de su uso. Empezamos desde la sección de las preguntas y la instrucción \nuevo se incluye a partir de la segunda pregunta. LATEX 2ε \begin{enumerate}[1.] \item Calula: $\displaystyle\frac{1}{2} + \frac{2}{3} =$ \nuevo \item Resuelve: $2\,x + 1 = 19$. \nuevo \item De los números $\sqrt{7}$ y $1 + \sqrt{2}$, ¿cuál es el mayor? \newline $\cdots$ \end{enumerate}


1. Calula:

1 2 + = 2 3

2. Resuelve: 2 x + 1 = 19.

√

√

3. De los números 7 y 1 + 2, ¿cuál es el mayor?

··· Ahora vamos a crear una nueva instrucción para que nos ahorre tiempo a la hora de escribir la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado. El código se muestra enseguida: LATEX 2ε \newcommand{\fg}{% fg = Formula General \ensuremath{ x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2\,a}



121

} % finaliza \ensuremath } % finaliza segundo argumento de \fg

Observe que no hemos iniciado un ambiente matemático. Esto es gracias a la instrucción \ensuremath. Esta instrucción se asegura de que la fórmula general quede dentro de un ambiente matemático. En caso de que no se haya iniciado el ambiente matemático, esta instrucción lo inicia, en caso de que se haya iniciado, no lo vuelve a iniciar. El siguiente código muestra ejemplos de uso de la instrucción \fg en ambos casos: LATEX 2ε La fórmula general: \fg, nos permite resolver... Por otra parte, ya sabemos que la fórmula: \begin{equation*} \fg \end{equation*} ...

y en el documento se incluye: La fórmula general:

√ − b ± b2 − 4 ac , nos permite resolver... x = 2a

Por otra parte, ya sabemos que la fórmula:

√ b ± b2 − 4 ac − x = 2a

... Un tercer ejemplo para mejorar el diseño de una lista de ejercicios. LATEX 2ε \newcommand{\inicio}{ \par \textcolor{cyan}{\rule{1ex}{1ex}} \hspace{1ex} }

Esta nueva instrucción simplemente dibuja una viñeta con forma de un cuadrado de color azul claro. Cada uno de los lados del cuadrado mide exactamente lo mismo que mide de alto la letra “x ”. Después de dibujar la viñeta deja un espacio horizontal vacío de longitud igual a su lado. El siguiente código muestra un ejemplo de su uso: LATEX 2ε \inicio \textbf{Instrucciones:} \textit{Resuelve cada problema correctamente.}\\ \textcolor{cyan}{\hrule} % Siguen las preguntas...




122


y en el documento se incluye: Instrucciones: Resuelve cada problema correctamente. Para el último ejemplo consideramos el siguiente caso. Se requiere escribir un diálogo entre dos personas. Hemos decidido utilizar el ambiente description para que los nombres aparezcan con fuente negrita. Debemos indicar los nombres definiendo comandos para ellos. LATEX 2ε \newcommand{\ana}{ \item [Ana:] } \newcommand{\mimi}{ \item [Mimi:] }

Lo único que hemos hecho es definir estas instrucciones para ahorrarnos trabajo al redactar el diálogo. El siguiente código muestra cómo podríamos usar estas nuevas instrucciones: LATEX 2ε \begin{description} \ana Hola! ¿Cómo has estado? \mimi Bien, gracias. ¿Y tú? \ana También, muy bien, con mucho trabajo en la escuela. \mimi Pero querías una maestría, ¿verdad? \ana (\textsl{sonríe}) Sí, todo por una maestría... \end{description}


Ana: Hola! ¿Cómo has estado? Mimi: Bien, gracias. ¿Y tú? Ana: También, muy bien, con mucho trabajo en la escuela. Mimi: Pero querías una maestría, ¿verdad? Ana: (sonríe ) Sí, todo por una maestría...

3.1.2 3.1.2

I NSTRUCCIONES CON ARGUMENTOS

Los ejemplos anteriores generalmente son poco comúnes. Los que se requieren con mayor frecuencia son los que incluyen argumentos. L A TEX 2ε en 15 sesiones


Por ejemplo, considere el caso en que debemos escribir un libro. Al inicio de cada sección vamos a incluir una frase. Para evitar tener que escribir el código cada vez que iniciemos una nueva sección vamos a crear una nueva instrucción. Obviamente, requerirá de un argumento, que será la frase que va a contener. Para indicar que la instrucción tiene argumentos escribimos el número de argumentos entre corchetes como se indica en el siguiente ejemplo:

123



LATEX 2ε \newcommand{\mifrase}[1]{ \begin{flushright} \fbox{ % crea una caja con marco \begin{minipage}{0.75\linewidth} \textsl{#1} \end{minipage} } % Termina \fbox \end{flushright} }

En la definición del nuevo comando utilizamos la instrucción \fbox, que crea una caja con marco que contendrá todo lo que está en su argumento. El ambiente minipage nos permite crear una mini-página dentro de la página actual. El agumento que está inmediatamente después de \begin{minipage} le indica a LA TE X 2ε que el ancho de la mini-página sea del 75% del ancho de la línea de texto. En la siguiente línea de código se incluye la instrucción \textsl{#1}. Con esto le pedimos a L A TE X 2ε que aplique el formato de texto inclinado al argumento que el usuario dé a la instrucción. Para usarlo, escribimos el nombre de la instrucción y después entre llaves su argumento, que corresponde a la frase que deseamos incluir en el documento. El siguiente código lo ejemplifica: LATEX 2ε \mifrase{ ¡Como \LaTeXe\ no hay dos! }


A T X 2 ε no hay dos! ¡Como L E

Igual, y podemos quitar el marco de la caja y en su lugar, permitir un segundo argumento para que se agregue el nombre del autor de la frase. Con esta modificación, el comando se define como sigue: L A TEX 2ε en 15 sesiones



124

LATEX 2ε intermedio LATEX 2ε \newcommand{\fraseautor}[2]{ \begin{flushright} \begin{minipage}{0.85\linewidth} \textsl{#1} \hfill --\textit{#2} \end{minipage} \end{flushright} }

Se ha cambiado el argumento opcional a 2, pues ahora daremos dos argumentos. Después de cambiar el formato de texto del primer argumento, le indicamos que llene el espacio vacío y después imprima un guión largo, que se indica con ---. Después con formato de texto itálico se imprime el segundo argumento, que en la frase debe corresponder al autor de la frase. LATEX 2ε \fraseautor{ % primer argumento (la frase) Las matemáticas son las reinas de las ciencias, pero la teoría de números es la reina de las matemáticas. }{ % segundo argumento (el autor) Carl F. Gauss. }

y en el documento se incluye: Las matemáticas son las reinas de las ciencias, pero la teoría de números es la reina de las matemáticas. — Carl F. Gauss. El siguiente ejemplo sirve para escribir las instrucciones del examen. Para cambiar el formato de texto usando una forma “única”, en el sentido de que el usuario la definió especialmente para su material, podemos definir la siguiente instrucción: LATEX 2ε \newcommand{\tipo}[1]{ \textcolor{red}{\textbf{#1}} }

Lo que estamos en realidad indicando es que queremos que convierta el texto a negritas de color rojo. El siguiente código muestra un ejemplo: LATEX 2ε \tipo{Instrucciones:} \textit{Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios}

y en el documento se incluye: L A TEX 2ε en 15 sesiones


125

Instrucciones: Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios Podemos utilizar esta instrucción para hacer otra instrucción más completa, por ejemplo, para todas las instrucciones del examen: LATEX 2ε \newcommand{\instrucciones}[1]{ \par \tipo{Instrucciones:} \textit{#1} }

Esta instrucción empieza con un nuevo párrafo, después imprime en el documento la palabra Instrucciones con negrita y en color rojo, después aplica el formato de letra a itálico del argumento de la instrucción que acabamos de definir. Observe que hemos utilizado un comando previamente definido dentro de otro. Esto no debe causar ninguna sorpresa, pues al definir una nueva instrucción estamos usando otras instrucciones que están definidas en L A TE X 2ε o en los paquetes que hemos cargado en el preámbulo del documento. LATEX 2ε \instrucciones{ Resuelve completa y correctamente los siguientes ejercicios. Tienes un total de 55 minutos para resolver el examen. Todos los problemas tienen solución única. }

y en el documento se incluye: Instrucciones:

Resuelve completa y correctamente los siguientes ejercicios. Tienes un total de 55 minutos para resolver el examen. Todos los problemas tienen solución única.

Podemos completar la definición de esa instrucción agregando unas líneas para delimitar las instrucciones de una manera visual: LATEX 2ε \newcommand{\instruccion}[1]{ \par \textcolor{red}{\dotfill}\\ \tipo{Instrucciones:} \textit{#1}\\ \textcolor{red}{\dotfill} \par }

Observe que se han agregado dos líneas idénticas: \textcolor{red}{\dotfill}. Su función consiste en agregar una línea punteada coloreada de rojo. También se agregaron algunos saltos de línea y al final un salto para generar un nuevo párrafo con el código que se incluya después de las instrucciones. El siguiente código ejemplifica su uso: L A TEX 2ε en 15 sesiones



126

LATEX 2ε intermedio LATEX 2ε \instruccion{ Resuelve completa y correctamente los siguientes ejercicios. Tienes un total de 55 minutos para resolver el examen. Todos los problemas tienen solución única. }

y en el documento se incluye: .............................................................................. Instrucciones: Resuelve completa y correctamente los siguientes ejercicios. Tienes un total de 55 minutos para resolver el examen. Todos los problemas tienen solución única.

..............................................................................



Compare este resultado con el anterior. Tal vez desee escribir las ecuaciones con una caja alrededor para resaltarlas y atraer la atención visual de los lectores. La siguiente instrucción hace eso: LATEX 2ε \newcommand{\eccaja}[1]{ % eccaja = Ecuación con Caja \begin{center} \fbox{ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{equation*} #1 \end{equation*} \end{minipage} } % Termina \fbox \end{center} }

Ahora mostramos un ejemplo de su uso: LATEX 2ε La siguiente es la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas: \eccaja{ x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2\,a} }

que incluye en el documento: La siguiente es la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas:

√ b ± b2 − 4 ac − x = 2a



Igual, podemos poner un fondo a la caja para atraer todavía más la atención usando la instrucción \fcolorbox. Esta instrucción requiere de 3 argumentos. El primero indica el color del marco de la caja. El segundo argumento indica el color del fondo de la caja y el tercer argumento corresponde a lo que va a ir dentro de la caja. El siguiente código corresponde al anterior, cambiando la instrucción \fbox por \fcolorbox usando un color azul para el marco de la caja y un fondo de color amarillo al 15% de intensidad: LATEX 2ε \newcommand{\eccajac}[1]{ % eccajac = Ecuación en Caja con Color \begin{center} \fcolorbox{blue}{yellow!15}{ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{equation*} #1 \end{equation*} \end{minipage} } % Termina \fcolorbox \end{center} }

Y ahora escribimos: LATEX 2ε La siguiente es la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas: \eccajac{ x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2\,a} }

que incluye en el documento: La siguiente es la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas:

√ − b ± b2 − 4 ac x = 2a

Alguien ajeno a LA TE X 2ε podría decir: “¡Qué diferencia hace solamente una letra! ”, pero nosotros sabemos ahora por qué esa letra cambia el fondo de la caja que contiene la ecuación: se trata de otra instrucción. Antes de empezar a codificar su instrucción defina qué es lo que ésta debe hacer cada vez que la incluye en el código de su documento. Lo único que va a requerir es imaginación y creatividad para simplificar su tarea al redactar documentos en L A TE X 2ε . Recuerde que al definir sus propias instrucciones se está ahorrando mucho trabajo. Cuando requiera modificar, por ejemplo, la forma como deben verse las instrucciones de las listas de ejercicios que incluirá en sus notas de clase, solamente L A TEX 2ε en 15 sesiones

127



128


basta hacer un cambio en la definición de esa instrucción y L A TE X 2ε se encarga de hacer la modificación cada vez que la encuentre. Usted no se debe preocupar porque alguna lista no lleva ese cambio.


3.2. SESIÓN 12: CREACIÓN DE AMBIENTES PROPIOS

129

3.2 S ESIÓN 12: C REACIÓN DE AMBIENTES PROPIOS

3.2

Así como es posible crear instrucciones propias con el uso de LA TE X 2ε , también podemos generar nuevos ambientes. Para definir un ambiente usaremos la instrucción \newenvironment. Esta instrucción requiere de 3 argumentos. El primero corresponde al nombre del ambiente. Para la explicación inicial vamos a considerar el nombre ambiente. Observe que el nombre del ambiente no requiere del símbolo \. En el segundo argumento le vamos a indicar a L A TE X 2ε qué es lo que queremos que haga cuando encuentre el código: \begin{ambiente}

Finalmente, el tercer argumento le indica a L A TE X 2ε qué es lo que debe hacer cuando encuentre el código: \end{ambiente}

Por ejemplo, suponga que desea definir el ambiente de nombre definicion. Para esto usted requiere de dos argumentos: la palabra que va a definir y la definición de esa palabra. Entonces, usted lo podrá definir con: LATEX 2ε \newenvironment{definicion}[2]{ % Aqui debe incluir lo que el ambiente % hará cuando encuentre la instrucción: % \begin{definicion} }{ % Aqui debe incluir lo que el ambiente % hará cuando encuentre la instrucción: % \end{definicion} }

El argumento opcional [2] indica que este ambiente requiere de dos argumentos. Dado que este manual está escrito pensando en los profesores de matemáticas de todos los niveles, incluimos ambientes que pueden ser de apoyo en el diseño de materiales didácticos en esta materia. Iniciamos con un ambiente para generar una lista de ejercicios de tarea.




130


3.2.1

3.2.1 

TAREA A MBIENTE

Este ambiente requerirá de dos argumentos. El primero contendrá las instrucciones para la tarea y el segundo ambiente contendrá los ejercicios.  Empezamos

indicando el nombre del ambiente y el número de argumen-

tos: \newenvironment{tarea}[2]{

 Inicio

un nuevo párrafo para separar del texto anterior:

\par % inicia un nuevo párrafo



Empieza con el título de la tarea. Se agregan líneas horizontales de color gris para llamar la atención visual del lector: \textcolor{gray}{\rule{1.0\linewidth}{0.25pt}} \textbf{Ejercicios de tarea}\\ \textcolor{gray}{\rule[1ex]{1.0\linewidth}{0.25pt}}

 Inicio

el ambiente centrado.

\begin{center}

 Ahora

vamos a encerrar las instrucciones de la tarea en una caja con

marco. \fbox{

 La

caja con marco tendrá un tamaño del 95 % del ancho de la línea de texto. Para eso, usamos el ambiente minipage: \begin{minipage}{0.95\linewidth}

 Aplicamos

a las instrucciones el formato de fuente inclinada usando la instrucción \textsl: % Aqui van las instrucciones de la tarea \textsl{#1}



131

 Finalizamos

el ambiente minipage y cerramos el argumento de la instrucción \fbox junto con el ambiente center: \end{minipage} } % finaliza \fbox \end{center}

 Ahora

inicio el ambiente enumerate para que vaya enumerando los ejercicios de tarea: % Ahora inician los ejercicios \begin{enumerate}[1.]

 Ahora

indicamos que ahí se imprima el segundo argumento:

{#2}

 Finalizo

la primera parte del ambiente e inicia la segunda parte. Indico el fin de la enumeración de los ejercicios (ambiente enumerate): }{ % finalizo la enumeracion % de los ejercicios... \end{enumerate} }

Todo el código que define este ambiente es el siguiente: LATEX 2ε \newenvironment{tarea}[2]{ \par % inicia un nuevo párrafo \textcolor{gray}{\rule{1.0\linewidth}{0.25pt}} \textbf{Ejercicios de tarea}\\ \textcolor{gray}{\rule[1ex]{1.0\linewidth}{0.25pt}} \begin{center} \fbox{ \begin{minipage}{0.95\linewidth} % Aqui van las instrucciones de la tarea \textsl{#1} \end{minipage} } % finaliza \fbox \end{center} % Ahora inician los ejercicios \begin{enumerate}[1.] % ejercicios de tarea {#2} }{ % finalizo la enumeracion % de los ejercicios... \end{enumerate} }




132


Ahora un ejemplo de su uso: LATEX 2ε \begin{tarea} {% instrucciones: Grafica cada una de las siguientes funciones. Encuentra además el dominio y el rango de cada una de ellas. Indica si presentan simetría respecto a los ejes o al origen. Si es posible, menciona sus raíces. }{ % ejercicios \begin{multicols}{2} % Inicia ambiente a dos columnas \item $f(x) = x$. \item $f(x) = x^2 - 1$. \item $f(x) = \displaystyle\frac{1 + x}{1 - x}$. \item $f(x) = \sqrt{1 - x}$. \item $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ \item $f(x) = -\sqrt{1 - x^2}$ \end{multicols} % Finaliza ambiente a dos columnas } \end{tarea}

Y en el documento obtenemos: Ejercicios de tarea Grafica cada una de las siguientes funciones. Encuentra además el dominio y el rango de cada una de ellas. Indica si presentan simetría respecto a los ejes o al origen. Si es posible, menciona sus raíces. 1. f (x) = x. 2. f (x) = x2 − 1. 3. f (x) =



√ √ 5. f (x) = 1 − x2 √ 6. f (x) = − 1 − x2 4. f (x) = 1 − x.

1 + x . 1 x

−

Podemos uniformizar más el ambiente si en lugar de considerar una caja alrededor de las instrucciones mejor incluimos otra línea horizontal justo antes de iniciar con la lista de ejercicios: LATEX 2ε \newenvironment{taream}[2]{ \par \textcolor{gray}{\rule{1.0\linewidth}{0.25pt}} \textbf{Ejercicios de tarea}\\ \textcolor{gray}{\rule[1ex]{1.0\linewidth}{0.25pt}} \textsl{#1} ~\\ % para que salte a la siguiente línea de texto... \textcolor{gray}{\rule[1ex]{1.0\linewidth}{0.25pt}} % Otra Linea + \begin{enumerate}[1.] {#2} % ejercicios de tarea }{ % finalizo la enumeracion de los ejercicios... \end{enumerate} }



133

Observe que se han eliminado algunas líneas del código. En particular, el código que generaba la caja (\fbox{), el ambiente minipage y el ambiente center que nos ayudaba a centrar la caja que contenía las instrucciones. Este ambiente está mejor diseñado que el anterior, porque tiene continuidad. Es decir, al iniciar el ambiente con líneas encerrando el título del ambiente, la continuidad se traduce en uniformidad del documento al finalizar las instrucciones con una línea. Además, el ancho de la línea de las instrucciones coincide con el largo de la línea horizontal dibujada para delimitarlas. Todo esto se traduce en un material con mejor legibilidad, de gran valor en todo material didáctico. Y ahora, la tarea que se incluyó con el ambiente tarea pero usando el nuevo ambiente taream se verá así:

Ejercicios de tarea Grafica cada una de las siguientes funciones. Encuentra además el dominio y el rango de cada una de ellas. Indica si presentan simetría respecto a los ejes o al origen. Si es posible, menciona sus raíces. 1. f (x) = x. 2. f (x) = x2 − 1. 3. f (x) =

√ √ 5. f (x) = 1 − x2 √ 6. f (x) = − 1 − x2 4. f (x) = 1 − x.

1 + x . 1 x

−

Los teoremas son algo que se encuentra en la esencia de las matemáticas, por esa razón, el segundo ejemplo es el ambiente que ayuda a incluir teoremas en sus documentos.

3.2.2

TEOREMITA A MBIENTE

El siguiente ejemplo consiste en un ambiente que servirá para incluir teoremas en los materiales que elaboremos. Hemos observado en diferentes libros que cuando se incluye un teorema éste inicia con la palabra teorema y generalmente está enumerado. Eso nos obliga a incluir un contador. Después viene el texto del teorema con estilo itálica. Finalmente se inicia un nuevo párrafo para continuar con la demostración en caso de que se incluya en el libro, o bien con el siguiente párrafo. Por ahora vamos a incluir el mismo ambiente, sin considerar el contador.  El

nombre de nuestro ambiente será: teoremita. Este ambiente incluirá dos argumentos, el primero corresponde al nombre del teorema y el segundo al teorema en sí.


3.2.2



134


\newenvironment{teoremita}[2]{ \par % inicia un nuevo párrafo

 Empezamos

incluyendo la palabra teorema con estilo negrita:

\textbf{Teorema.}\hspace{2ex}

 Ahora

le pedimos que imprima el nombre del teorema con estilo \textsc (mayúsculas pequeñas): \textsc{#1} \\ % Nombre del Teorema

 Y

el cuerpo del teorema debe tener fuente itálica: \textit{#2} % Aqui va el teorema }% finaliza \newenvironment{teorema}[2]{

 Para

terminar, iniciamos un nuevo párrafo:

{ \par }

 Todo

el código que define el ambiente teoremita, es el siguiente: LATEX 2ε

\newenvironment{teoremita}[2]{ \par % inicia un nuevo párrafo \textbf{Teorema.}\hspace{2ex} \textsc{#1} \\ % Nombre del Teorema \textit{#2} % Aquí va el Teorema }% finaliza \newenvironment{teorema}[2]{ { \par }

Ahora vamos a probarlo. Consideramos el teorema de Pitágoras para ver qué apariencia tiene en el documento: LATEX 2ε \begin{teoremita} {(Teorema de Pitágoras)} % nombre del teorema {Si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo que se encuentra en el plano, donde $c$ es la medida de la hipotenusa, entonces, \begin{equation*} a^2 + b^2 = c^2



135

\end{equation*} } % cuerpo del teorema \end{teoremita}

Nosotros obtenemos en el documento lo siguiente: (T EOREMA DE P ITÁGORAS)

Teorema.

Si a, b, c son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo que se encuentra en el plano, donde c es la medida de la hipotenusa, entonces,

a2 + b2 = c 2

Si usted desea cambiar todos los teoremas que ha enlistado con este ambiente, solamente debe modificar el código que lo define y con eso todos los teoremas quedarán con la modificación. Por ejemplo, supongamos que en lugar de que la palabra Teorema aparezca con estilo negrita, usted desea además, que sea de color azul, basta indicárselo al ambiente y todos los teoremas de su documento quedarán modificados. Si usted desea que algunos teoremas no incluyan más que un solo argumento, puede mejor generar otro ambiente. El siguiente ejemplo sirve de complemento al ambiente anterior.

3.2.3

PRUEBA A MBIENTE

Aquí definimos el ambiente prueba para continuar con el ejemplo anterior.  Definimos

el nombre del ambiente como prueba e indicamos el número de argumentos: \newenvironment{prueba}[1]{

 Iniciamos

un nuevo párrafo:

\par % inicia un nuevo párrafo



Incluimos el título del ambiente usando la palabra demostración con estilo negrita: \textbf{Demostración:}\\


3.2.3

136


Observe que se incluye al final un salto de línea. 

Después va el único argumento del ambiente, que consiste en la demostración: {#1}

 Para

terminar, se incluye el clásico símbolo del fin de un teorema de todo libro de matemáticas:  }{ \hfill$\square$\par }

Todo el código que define el ambiente es el que se enlista enseguida: LATEX 2ε \newenvironment{prueba}[1]{ \par % inicia un nuevo párrafo \textbf{Demostración:}\\ {#1} }{ \hfill$\square$\par }

Ahora un ejemplo. Empezamos con el teorema: LATEX 2ε \begin{teoremita} {} % sin nombre {Sean $x,y$ múltiplos del número $a$. Entonces, $x + y$ también es múltiplo de $a$. } \end{teoremita}

Y en el documento obtenemos: Teorema. Sean x, y múltiplos del número a . Entonces, x + y también es múltiplo de a .

Y ahora su demostración: Demostración: Si a, b, c ∈ Z y a  = 0, entonces, a | x implica x = ma. También, a | y implica y = na . Al considerar su suma obtenemos: x + y

= =

ma + na a (m + n)

lo que indica que la suma x + y también es un múltiplo de a .





137

que se obtuvo con el siguiente código: LATEX 2ε \begin{prueba}{ Si $a, b, c \in \mathbb{Z}$ y $a \neq 0$, entonces, $a \mid x$ implica $x = ma$. También, $a \mid y$ implica $y = na$. Al considerar su suma obtenemos: % \begin{eqnarray*} x + y &=& ma + na\\ &=& a\,(m + n) \end{eqnarray*} % lo que indica que la suma $x + y$ también es un múltiplo de $a$. } \end{prueba}

Otro ambiente que puede utilizar para elaborar unas notas de clase es el siguiente.

3.2.4

MIDEFINICION A MBIENTE

Para definir un concepto necesitamos dos cosas: la palabra o frase a definir y la definición en sí. Estas dos cosas serán los argumentos.  Indico

el nombre del ambiente y empiezo con un nuevo párrafo:

\newenvironment{midefinicion}[2]{ \par % inicio un nuevo párrafo

 Ahora

imprimimos el título del ambiente definición con estilo negrita y color rojo: \textcolor{red}{\textbf{Definición}}\\

Observe el un salto de línea al final de la misma.  En

la siguiente línea indicamos que inicie una caja con fondo de color. El marco de la caja se definió como rojo y el fondo de color rojo al 10% de intensidad. \fcolorbox{red}{red!10}{

 Ahora

iniciamos una minipágina que quedará dentro de la caja con fondo de color. Esta minipágina tiene el ancho igual a la línea de texto actual. \begin{minipage}{1.0\linewidth}


3.2.4

138

LATEX 2ε intermedio  Ahora

va la palabra o frase que se va a definir. Usamos fuente mayúscula pequeña: \textsc{#1}\\

De nuevo, incluimos un salto de línea.  Ahora

va la definición del primer argumento. Esto va como segundo argumento con estilo inclinada: \textsl{#2}

 Finalizamos

la minipágina y la caja con fondo de color:

\end{minipage} } % finaliza \fcolorbox{}{}{

 Para

terminar, nos aseguramos que se inicie un nuevo párrafo después de incluir la definición en el documento: }{ \par }

Entonces, el código que genera el ambiente midefinicion es: LATEX 2ε \newenvironment{midefinicion}[2]{ \par % inicio un nuevo párrafo \textcolor{red}{\textbf{Definición}}\\ \fcolorbox{red}{red!10}{ \begin{minipage}{1.0\linewidth} \textsc{#1}\\ \textsl{#2} \end{minipage} } % finaliza \fcolorbox{}{}{ }{ \par }

Aquí está un ejemplo: Definición P AR ÁB OL A Es el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran en el plano que equidistan de un punto fijo llamado foco como de una recta fija llamada directriz que no pasa por el foco.



139

que se obtuvo con el siguiente código: LATEX 2ε \begin{midefinicion} {Parábola} {Es el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran en el plano que equidistan de un punto fijo llamado foco como de una recta fija llamada directriz que no pasa por el foco. } \end{midefinicion}

Si la palabra Definición arriba de la caja le parece inapropiada, igual puede incluirla en el margen del texto usando la instrucción \marginpar{}. Igualmente, puede cambiarle el color o el formato. Eso es cuestión de diseño. Si los colores que se utilizaron en esta definición no le gustan o cree que se pueden mejorar, igual los puede cambiar. Si definitivamente desea que no aparezca en una caja, sino entre dos líneas, como en el ambiente tarea, igual, puede modificar el ambiente o iniciar desde cero para crear uno de su propia imaginación.

3.2.5

DETERMINANTE A MBIENTE

Ahora vamos a crear un ambiente para crear determinantes.  Indicamos

mentos:

el nombre del ambiente determinante y el número de argu-

\newenvironment{determinante}[2]{

 Después

iniciamos el ambiente array,

\left| \begin{array}{#1}

el primer argumento indicará cómo se van a ordenar las columnas del array:  Ahora

indicamos que incluya el segundo argumento, que será el determinante en sí: {#2} }{

 Finalmente


vamos a cerrar el ambiente array:

No se base en lo que le guste a usted, sino en lo que es más práctico para los lectores.

3.2.5

140


\end{array} \right| }



El ambiente completo se define con el siguiente código: LATEX 2ε \newenvironment{determinante}[2]{ \left| \begin{array}{#1} {#2} }{ \end{array} \right| }

Para generar en el documento:

det(A) =

basta el código:

 

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

 

LATEX 2ε $$ \det(A) = \begin{determinante}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{determinante} $$

Si usted intenta generar un determinante sin iniciar el ambiente matemático, el compilador le mostrará errores. Recuerde que el ambiente array genera tablas dentro del ambiente matemático, y debido a eso, requiere que se inicie y se cierre antes y después de utilizar el ambiente determinante. Un ejemplo de código que no inicia el ambiente matemático es el siguiente: LATEX 2ε Podemos calcular el determinante: \begin{determinante}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{determinante}



141

que le mostrará 2 errores al tratar de generar su documento. Para que usted diseñe un nuevo ambiente, empiece pensando exactamente cómo desea que se vea ese ambiente en su documento final. El autor diseñó el siguiente ambiente para incluir ejemplos en los libros [7], [8], [9], [10], [11] y [12] de matemáticas para bachillerato: Ejemplo 3.2.5.1

Este ejemplo solamente sirve para presumir el ambiente ejemplo que definí para mis libros de matemáticas para bachillerato.

 En

esta parte explico la solución del problema.

 Cada

punto representa un argumento.

 Aquí

puedo incluir ecuaciones: hA +

 También

tablas:

Tienda 1 2 3 4  Si

2 V A V 2 = hB + B 2g 2g

1 45.0 42.5 47.5 41.3

Precio por tonelada de fertilizante 2 3 4 13.9 29.9 31.9 17.8 31.0 35.0 19.9 24.0 32.5 12.5 31.2 29.8

5 9.9 12.3 12.4 11.0

incluyo una nota al margen, ésta estará en el margen correcto:

 Observe

 Esto

 Así

que la línea que está en el margen encierra todo el ejemplo.

es un apoyo visual para el estudiante.

sabe dónde termina el ejemplo que está estudiando.

 Aquí

está una gráfica:


Esta es una nota al margen.

142

LATEX 2ε intermedio x2 4

3

2

1

x1 1

Esta es otra nota al margen.

2

3

4

 Si

la página es par, la nota al margen queda en un lado de la página.

 Si

es impar, queda del otro lado.

 Igual  Y

ocurre con la línea que delimita el cuerpo del ejemplo.

aquí termina este ejemplo.

Espero que con estos ejemplos le ayude a despertar el interés por mejorar aún más el diseño de sus materiales y le facilite mucho esta tarea.


3.3. SESIÓN 13: PRIMEROS DOCUMENTOS EN LATEX 2ε

143

3.3 S ESIÓN 13: P RIMEROS DOCUMENTOS EN L A TE X 2ε Aunque ya se enlistó el código de un documento en L A TE X 2ε , vamos a hacer otros nuevos documentos, pero mucho más completos. Como este manual está dedicado a profesores de matemáticas de todos los niveles (desde elemental hasta superior) se incluyen documentos que el autor de este material ha elaborado antes de editar el presente texto y algunos que elaboré especialmente para este manual.

3.3.1

A RTÍCULO DE DIVULGACIÓN

En el siguiente artículo se explica la suma de Gauss. Este material fue escrito por el autor en el año 2007. El código se detalla con explicación que se encuentra como comentarios en el mismo. Después del código se inserta el documento tal como se verá elaborado por LA T X 2ε . E LATEX 2ε % Estructura en LaTeX2e % Artículo para la OMM-QRoo... % Olimpiada Matemática Mexicana % del Estado de Quintana Roo \documentclass[pdftex,twoside,12pt,a4paper]{article} % Sígnos de espa&ol. \usepackage[ansinew]{inputenc} % Cambio los márgenes de la página del documento \usepackage[left=2cm,top=1in,right=2.5cm]{geometry} % para incluir fuentes tipograficas con color \usepackage{color} % Para las ecuaciones \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} % ----------------------------% Encabezados... % ----------------------------\usepackage{fancyhdr} % paquete... % para usar encabezados y pie de pagina \pagestyle{fancy} \lhead{} % Encabezado de la izquierda \chead{} % Encabezado del centro % Encabezado de la derecha \rhead{\textcolor{blue}{OMM}\\\textcolor{blue}{QRoo}} % Pié de página de la izquierda \lfoot{\textcolor{blue}{Suma de Gauss}} % Pié de página del centro \cfoot{\small{\textcolor{blue}{\thepage}}} %Pie de página de la derecha \rfoot{\textcolor{blue}{2007}} % Formato del párrafo del documento... % Defino que no quiero que deje espacio en blanco % al iniciar el primer renglón de un nuevo párrafo... \setlength{\parindent}{0pt} % Defino el espacio entre párrafos consecutivos... \setlength{\parskip}{1ex}


3.3

3.3.1

144

LATEX 2ε intermedio % ----------------------------------------------------------------------% Termina el preámbulo del documento % % Inicia el documento \begin{document} % El título del artículo centrado y con formato especial... \begin{center} \textbf{\textcolor{blue}{La Suma de GAUSS}} \end{center} % inicia una sección... \section{La experiencia de Gauss} En este apartado, explicamos una experiencia de uno de los más grandes matemáticos de la historia de la humanidad: \textsl{Carl Friedrich Gauss.} % \textsl imprime al argumento con fuente inclinada (slanted) Gauss es considerado por muchos matemáticos como uno de los más grandes matemáticos de la historia. Nació en Alemania, y realizó sus estudios de nivel básico como cualquier otro estudiante. Para dar una muestra de su talento matemático, aquí se presenta una vivencia que se cuenta de él, cuando tenía 8 años. Un día Gauss fue a la escuela. Su maestra (guapa como todas las maestras de segundo de primaria) tenía a su novio, que muy pocas veces veía, debido a que vivían en poblados distintos. Un día el novio de la maestra fue a visitarla, y a ella se le hizo fácil entretener a sus estudiantes poniéndoles una tarea muy sencilla, pero bastante laboriosa: sumar todos los números del 1 al 100. Tan pronto como les dijeron, todos los niños del salón empezaron a sumar, pero a Gauss se le hizo demasiado aburrido recorrer todo el camino ‘‘a pie’’, así que utilizó ciertas propiedades de los números enteros para terminar más rápido haciendo menos esfuerzo. Veamos qué hizo Gauss. Seguramente pensó: Bueno, esta maestra floja quiere andar noviando, así que nos deja de tarea algo que ella misma considera laborioso, pero le daré una pequeña sorpresa. Ella nos pide que sumemos: % inicia una ecuación... \begin{equation*} 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + 99 + 100 \end{equation*} % Pero es evidente que la suma anterior es igual a: % Otra ecuación... \begin{equation*} 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + \cdots + 2 + 1 \end{equation*} % porque si fueran grupos de manzanas que estuviéramos colocando dentro del salón, entonces no importaría por cual grupo de manzanas empezara metiendo, al final de cuentas tendré el mismo número de manzanas, si es que se meten todos los grupos. Regresando a las sumas que nos pide la maestra, si sumo ambos renglones, tendré dos veces la suma que la maestra nos pide. Veamos si eso ayuda. % Una tabla en ambiente matemático \begin{equation*} \begin{array}{ccccccccccccccc} S &=& 1 &+& 2 &+& 3 &+& 4 &+& \cdots &+& 99 &+& 100\\ S &=& 100 &+& 99 &+& 98 &+& 97 &+& \cdots &+& 2 &+& 1\\\hline 2\,S &=& 101 &+& 101 &+& 101 &+& 101 &+& \cdots &+& 101 &+& 101\\ \end{array} \end{equation*} % Aquí veo luego, luego que el 101 se repite cien veces. Entonces la suma del último renglón debe ser 100 por 101, esto es, 10\,100


3.3. SESIÓN 13: PRIMEROS DOCUMENTOS EN LATEX 2ε (recuerda el truco de multiplicar por cien, solamente agrega dos ceros a la derecha). Este número es el doble de la suma que nos pidió la maestra, así que, si divido 10100 entre dos tengo la suma que estoy buscando. Entonces la suma debe ser 5050. La maestra quiere ver en la libreta: % Una ecuación más... \begin{equation*} 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + 99 + 100 = 5050 \end{equation*} % Listo! Desde luego, nuestro amigo Gauss realizó esto más rápido de lo que su maestra esperaba, que ella se sorprendió cuando Gauss levantó su pizarra para ponerla en su escritorio y decir ‘‘\textsl{ya está}’’. Para sorpresa de la maestra Gauss era el único que tenía el resultado correcto. % % % Inicia otra sección... \section{Generalización} Ahora, en caso de que quieras sumar: % Una ecuación más... \begin{equation} 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + n = \displaystyle\frac{n\,(n+1)}{2} \end{equation} % Porque, utilizando el método de Gauss, obtenemos: % Un arreglo más... \begin{equation*} \begin{array}{ccccccccccc} S &=& 1 &+& 2 &+& \cdots &+& n-1 &+& n \\ S &=& n &+& n-1 &+& \cdots &+& 2 &+& 1 \\\hline 2\,S &=&(n+1)&+& (n+1) &+& \cdots &+& (n+1) &+& (n+1)\\ \end{array} \end{equation*} % Observa que estamos sumando el número $n+1$ un total de $n$ veces, de aquí que: $2\,S=n\,(n+1)$, y % La última ecuación... \begin{equation*} S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + n = \displaystyle\frac{n\,(n+1)}{2} \end{equation*} % \textbf{\textcolor{blue}{Moraleja:}} Lo que parece difícil se hace fácil si te decides a pensar en resolver el problema que tienes enfrente. Como se puede ver, conocer unas pocas propiedades de las cosas que estemos operando, y aplicarlas a un problema específico, ayuda bastante a reducir el esfuerzo que se supone necesario para resolverlo sin aplicar tales propiedades. Para eso sirven las matemáticas..., aunque muchas de las veces, no nos demos cuenta; o peor aún, parezca lo contrario. \vfill \textsl{Profr. Efraín Soto Apolinar.} \textbf{\textcolor{blue}{P.D.}} ¿Puedes mencionar las propiedades de los números que utilizó Gauss para resolver su tarea? \end{document} % Termina el documento

Las siguientes dos páginas corresponden al documento que se genera con L A TE X 2ε .


145

OMM QRoo La Suma de GAUSS

1

La experiencia de Gauss

En este apartado, explicamos una experiencia de uno de los más grandes matem´ aticos de la historia de la humanidad: Carl Friedrich Gauss. Gauss es considerado por muchos matem´ aticos como uno de los más grandes matem´ aticos de la historia. Nació en Alemania, y realizó sus estudios de nivel básico como cualquier otro estudiante. Para dar una muestra de su talento matem´ atico, aqu´ı se presenta una vivencia que se cuenta de él, cuando ten´ıa 8 a˜ nos. Un d´ıa Gauss fue a la escuela. Su maestra (guapa como todas las maestras de segundo de primaria) ten´ıa a su novio, que muy pocas veces ve´ıa, debido a que viv´ıan en poblados distintos. Un d´ıa el novio de la maestra fue a visitarla, y a ella se le hizo f´ acil entretener a sus estudiantes poniéndoles una tarea muy sencilla, pero bastante laboriosa: sumar todos los n´ umeros del 1 al 100. Tan pronto como les dijeron, todos los ni˜ nos del salón empezaron a sumar, pero a Gauss se le hizo demasiado aburrido recorrer todo el camino “a pie”, as´ı que utiliz´ o ciertas propiedades de los n´ umeros enteros para terminar m´ as rápido haciendo menos esfuerzo. Veamos qué hizo Gauss. Seguramente pens´ o: Bueno, esta maestra floja quiere andar noviando, as´ı que nos deja de tarea algo que ella misma considera laborioso, pero le dar´ e una peque˜ na sorpresa. Ella nos pide que sumemos: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100 Pero es evidente que la suma anterior es igual a: 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + ... + 2 + 1 porque si fueran grupos de manzanas que estuviéramos colocando dentro del sal´ on, entonces no importar´ıa por cual grupo de manzanas empezara metiendo, al final de cuentas tendré el mismo n´ umero de manzanas, si es que se meten todos los grupos. Regresando a las sumas que nos pide la maestra, si sumo ambos renglones, tendr´ e dos veces la suma que la maestra nos pide. Veamos si eso ayuda. = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 99 + 100 2 + 1 S = 100 + 99 + 98 + 97 + · · · + 2 S = 101 + 101 + 101 + 101 + · · · + 101 + 101 S

Aqu´ı veo luego, luego que el 101 se repite cien veces. Entonces la suma del ultimo ´ renglón debe ser 100 por 101, esto es, 10 100 (recuerda el truco de multiplicar por cien, solamente agrega dos ceros a la derecha). Este n´ umero es el doble de la suma que nos pidi´ o la maestra, as´ı que, si divido 10100 entre dos tengo la suma que estoy buscando. Entonces la suma debe ser 5050. La maestra quiere ver en la libreta: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100 = 5050 Suma de Gauss

1

2007

OMM QRoo Listo! Desde luego, nuestro amigo Gauss realizó esto más rápido de lo que su maestra esperaba, que ella se sorprendi´ o cuando Gauss levantó su pizarra para ponerla en su escritorio y decir “ ya est´ ´ nico que ten´ıa el resultado correcto. a ”. Para sorpresa de la maestra Gauss era el u

2

Generalizaci´ on

Ahora, en caso de que quieras sumar: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · + n =

n (n + 1)

(1)

2

Porque, utilizando el método de Gauss, obtenemos: S S

2 S

n = 1 + 2 + · · · + n − 1 + = + n − 1 + · · · + 2 + 1 n = (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1) + (n + 1)

Observa que estamos sumando el n´ umero n (n + 1), y S =

n +

1 un total de

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · + n =

n veces,

de aqu´ı que: 2 S =

n (n + 1)

2

acil si te decides a pensar en resolver el problema Moraleja: Lo que parece dif´ıcil se hace f´ que tienes enfrente. Como se puede ver, conocer unas pocas propiedades de las cosas que estemos operando, y aplicarlas a un problema espec´ıfico, ayuda bastante a reducir el esfuerzo que se supone necesario para resolverlo sin aplicar tales propiedades. Para eso sirven las matem´ aticas..., aunque muchas de las veces, no nos demos cuenta; o peor aún, parezca lo contrario.

Profr. Efra´ın Soto Apolinar.

umeros que utilizó Gauss para resolver su P.D. ¿Puedes mencionar las propiedades de los n´ tarea? Suma de Gauss

2

2007

148


3.3.2

3.3.2

U N EXAMEN

El siguiente código documento corresponde a un examen de matemáticas. LATEX 2ε % % Estructura en LaTeX2e % % Examen diagnóstico % Elaborado por Efraín Soto A. % % para el manual: % LaTeX2e en 15 sesiones. % % 22 de noviembre de 2008. % \documentclass[pdftex,twoside,12pt,a4paper]{article} % Sígnos de espa&ol. \usepackage[ansinew]{inputenc} % Cambio los márgenes de la página del documento \usepackage[left=2cm,top=1in,right=2.5cm]{geometry} % para incluir fuentes tipograficas con color \usepackage{color} % Para las ecuaciones \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} % para hacer listas enumeradas \usepackage{enumerate} % ----------------------------% Encabezados... % ----------------------------\usepackage{fancyhdr} % paquete... % para usar encabezados y pie de pagina \pagestyle{fancy} \lhead{} % Encabezado de la izquierda \chead{} % Encabezado del centro \rhead{\textcolor{blue}{Matemáticas}} % Encabezado de la derecha \lfoot{\textcolor{blue}{Examen}} % Pié de página de la izquierda \cfoot{\small{\textcolor{blue}{\thepage}}} % Pié de página del centro \rfoot{\textcolor{blue}{Diagnóstico}} %Pie de página de la derecha % Formato del párrafo del documento... % Defino que no quiero que deje espacio en blanco % al iniciar el primer renglón de un nuevo párrafo... \setlength{\parindent}{0pt} % Defino el espacio entre párrafos consecutivos... \setlength{\parskip}{1ex} % -----------------------------------------------------------------------% Termina el preámbulo del documento % Inicia el documento \begin{document} % El título del artículo centrado y con formato especial... \begin{center} % el nombre de la materia tiene fuente tipográfica % \textsc{} que hace mayúsculas pequeñas... \textsc{Matemáticas} \\% Nombre de la Materia \textsl{Profr. Efraín Soto Apolinar.} \end{center} % Espacio para que el estudiante escriba sus datos \textbf{Nombre:} \rule{7.5cm}{0.5pt} \hfill \textbf{Grupo:} \rule{1.5cm}{0.5pt} \textbf{Calif:} \rule{1.5cm}{0.5pt} % Incluyo las instrucciones del examen. \textcolor{cyan}{\hrule}


3.3. SESIÓN 13: PRIMEROS DOCUMENTOS EN LATEX 2ε \textbf{\textcolor{blue}{Instrucciones:}} % \textit{} cambia la fuente tipográfica a itálica (cursiva). \textit{Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios y problemas.}\\ \textcolor{cyan}{\hrule} % % Empiezan las preguntas del examen % \begin{enumerate}[1)] % primer pregunta \item Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por cualquier método algebraico: $\left\{ \begin{array}{rcl} 3\,x - 2\,y &=& 1\\ 2\,x + 3\,y &=& 1 \end{array}\right. $ \vspace{3cm} % siguiente pregunta \item Adán tiene \$39 pesos en 12 monedas. Las únicas denominaciones de monedas que tiene son de \$2.00 y \$5.00 pesos. ¿Cuántas monedas tiene de cada denominación? \vspace{3cm} % siguiente pregunta \item Encuentra las coordenadas del centro $C(h,k)$ y el radio $r$ de la circunferencia que pasa por los siguientes tres puntos $P(1,3)$, $Q(-3,1)$ y $R(3,-1)$. \vspace{3cm} % siguiente pregunta \item Expresa como suma de fracciones con denominadores lineales: $\displaystyle\frac{x}{x^2 + 4\,x - 5} = $ \vspace{3cm} % siguiente pregunta \item Calcula: $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\!\frac{dx}{x^2}$ \end{enumerate} \end{document} % Termina el documento

En la siguiente página está el examen que se obtiene con el código anterior.


149

Matemáticas ´ ticas Matema

Profr. Efra´ın Soto Apolinar. Nombre:

Grupo:

Calif:

Instrucciones: Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios y problemas.

1) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por cualquier método algebraico: 3x − 2y = 1 2 x + 3 y = 1



2) Adán tiene $39 pesos en 12 monedas. Las u ´ nicas denominaciones de monedas que tiene son de $2.00 y $5.00 pesos. ¿Cu´ antas monedas tiene de cada denominaci´ on?

3) Encuentra las coordenadas del centro C (h, k ) y el radio r de la circunferencia que pasa por los siguientes tres puntos P (1, 3), Q(−3, 1) y R(3, −1).

4) Expresa como suma de fracciones con denominadores lineales:

x = x2 + 4 x − 5

1

5) Calcula:



dx x2

0

Examen

1

Diagnóstico


3.3.3

U N PROBLEMITA

Enseguida se enlista el código que utilicé para compartir la solución de un problema que me gustó mucho. % % % %

LATEX 2ε --------------------------------------------Problemitas para los que se aburren en casa viendo el techo por estar en la cama! ---------------------------------------------

% --------------------------------------------% Autor: Efraín Soto Apolinar. % ---------------------------------------------\documentclass[12pt,a4paper,twoside,landscape]{article} % Español... \usepackage[ansinew]{inputenc} % Formato del párrafo del documento... % % Defino que no quiero que deje espacio en blanco % al iniciar el primer renglón de un nuevo párrafo... \setlength{\parindent}{0pt} % Defino el espacio entre párrafos consecutivos... \setlength{\parskip}{2ex plus 0.5ex minus 0.2ex} % Defino los márgenes de la hoja \usepackage[left=2.5cm,top=2.5cm,right=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry} \usepackage{color} % por si se requieren letras de color... \usepackage{amsfonts} % Fuentes Matemáticas \usepackage{amsmath,amssymb} % igualmente... % -------------------------% Ambiente solucion... % -------------------------\newenvironment{solucion}[1]{ \textsc{\textbf{Solución.}}\\{\rmfamily #1} }{ \hfill$\square$ } % ---------------------% Encabezados... % ---------------------\usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} % Limpia todos los encabezados y pie de página \fancyhead[LE,RO]{\textcolor{blue}{Problemita...}} \fancyfoot[C]{\bfseries\thepage} % - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \begin{document} \large \begin{center} \textbf{Un problemita para los aburridos...} \end{center} \textsl{Para que no se la pasen rascándose la panza!} Problemita bonito. \textcolor{blue}{ \textsc{Demuestra que:} \begin{equation} a^{ix}=\cos\left(x\,\ln a\right)+i\,\sin\left(x\,\ln a\right)\nonumber \end{equation} } En mi trabajo nos encontramos este problemita y cuando encontramos la solución me gustó bastante... por eso les envío una copia para que se gocen con él! La solución está en la siguiente página... pero primero intenten!!! \newpage


151

3.3.3

152

LATEX 2ε intermedio Compara esta solución con tu solución... \textcolor{red}{Si no has intentado encontrar la solución, es mejor que regreses y lo intentes!!!} Ok. Ahí va: \begin{solucion} {Solamente se requiere utilizar las propiedades de los exponentes y los logaritmos y al final la fórmula de Euler... \Large \begin{eqnarray*} a^{ix} &=& \left(a^x\right)î\\ &=& \left[e^{\ln(a^x)}\right]î\\ &=& e^{i\,\ln(a^x)}\\ &=& e^{i\,x\,\ln a}\\ &=& \cos\left(x\,\ln a\right) + i\,\sin\left(x\,\ln a\right) \end{eqnarray*} } \end{solucion} Lo que me parece interesante de este problema es que si graficamos paramétricamente las coordenadas de $a^{i\,x}$, sigue siendo una circunferencia. No cambia el radio, sino la frecuencia. ¿Qué tal? Saludos. Efra. \vfill \textbf{P.D.} Si no pudiste resolverlo, no te preocupes... Así es la ciencia. \end{document}

En las siguientes imágenes se muestra el documento que se obtiene con este código. Problemita...

Un problemita para los aburridos...

Para que no se la pasen rasc´ andose la panza!

Problemita bonito. Demuestra que: a

ix

= cos(x ln a) + i sin(x ln a)

En mi trabajo nos encontramos este problemita y cuando encontramos la solución me gustó bastante... por eso les env´ıo una copia para qu e se gocen con él! La solución está en la siguiente página... pero primero intenten!!!

1



153

Problemita...

Compara esta solución con tu solución... Si no has intentado encontrar la solución, es mejor que regreses y lo intentes!!! Ok. Ah´ı va: Soluci´ on.

Solamente se requiere utilizar las propiedades de los exponentes y los logaritmos y al final la fórmula de Euler... ix

a

= (ax)i =



ln(ax) e

i



x

= ei ln( a ) = ei x ln a = cos (x ln a) + i sin (x ln a)  ix

Lo que me parece interesante de este problema es que si graficamos paramétricamente las coordenadas de a , sigue siendo una circunferencia. No cambia el radio, sino la frecuencia. ¿Qué tal? Saludos. Efra. P.D. Si no pudiste resolverlo, no te preocupes... As´ ı es la ciencia. 2

3.3.4 3.3.4

P ROBLEMA DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

El siguiente problema también me gustó cuando lo encontré. LATEX 2ε \documentclass{article} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage[top=1in,bottom=1in,left=1in,right=1in]{geometry} \usepackage{color} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{amsmath} \begin{document} % Para aquellos profesores que disfrutan de encontrar retos para los estudiantes, creo que este es uno bueno. \begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{0.85\linewidth} Resuelve: \begin{equation*} ab\,x^2 - a^2x = b^2x - ab \end{equation*} \end{minipage} } \end{center} \begin{dinglist}{51} \item \textcolor{red}{\textbf{Primer Método:}} Primero reescribimos la ecuación en la forma: $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ \begin{eqnarray*} ab\,x^2 - a^2x &=& b^2x - ab\\ ab\,x^2 - \left(a^2 + b^2\right)\,x + ab &=& 0 \end{eqnarray*} \item Ahora aplicamos la fórmula general: \begin{eqnarray*} x &=& \displaystyle \frac{a^2 + b^2 \pm \sqrt{\left(a^2 + b^2\right)^2 - 4a^2b^2}}{2\,ab}\\ &=& \displaystyle \frac{a^2 + b^2 \pm \sqrt{a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2}}{2\,ab}\\ &=& \displaystyle\frac{a^2 + b^2 \pm \sqrt{a^4 - 2a^2b^2 + b^4}}{2\,ab}\\


154

LATEX 2ε intermedio &=& \displays \displaystyle\ tyle\frac{ frac{a^2 a^2 + b^2 \pm \sqrt{(a^2 \sqrt{(a^2 - b^2)^2}}{2 b^2)^2}}{2\,ab} \,ab}\\ \\ &=& \displays \displaystyle\ tyle\frac{ frac{a^2 a^2 + b^2 \pm (a^2 - b^2)}{2\, b^2)}{2\,ab} ab} \end{eqnarray*} \item \item Ahora Ahora calcul calculamo amos s por separado separado cada una de las raíces raíces de la ecuaci ecuación: ón: \begin{eqnarray*} x_1 &=& \displayst \displaystyle\f yle\frac{ rac{a^2 a^2 + b^2 + (a^2 - b^2)}{2\, b^2)}{2\,ab}\\ ab}\\ &=& \displaystyle\frac{2\,a^2}{2\,ab} \displaystyle\frac{2\,a^2}{2\,ab} = \frac{a}{b}\\ x_2 &=& \displayst \displaystyle\f yle\frac{ rac{a^2 a^2 + b^2 - a^2 + b^2}{2\,ab b^2}{2\,ab}\\ }\\ &=& \displaystyle\frac{2\,b^2}{2\,ab} \displaystyle\frac{2\,b^2}{2\,ab} = \frac{b}{a} \end{eqnarray*} %\item %\item Ahora verifica verifica que las raíces raíces sean correctas. correctas. \item \textcolor{red}{\textbf{Segundo Método:}} Podemos dividi dividir r ambos ambos lados lados de la ecuaci ecuación ón entre entre $ab$ $ab$ y obtene obtener: r: \begin{eqnarray*} ab\,x^ ab\,x^2 2 - \left( \left(a^2 a^2 + b^2\ri b^2\right ght)\, )\,x x + ab &=& 0\\ x^2 - \displ \displays aystyl tyle\f e\frac rac{a^ {a^2 2 + b^2}{a b^2}{ab}\ b}\,x ,x + 1 &=& 0\\ x^2 - \left(\di \left(\display splaystyle style\frac \frac{a}{b {a}{b} } + \frac{b}{a \frac{b}{a}\rig }\right)\, ht)\,x x + 1 &=& 0\\ \left(x \left(x - \displayst \displaystyle\f yle\frac{a rac{a}{b}\ }{b}\right right)\lef )\left(x t(x - \frac{b}{ \frac{b}{a}\ri a}\right) ght) &=& 0 \end{eqnarray*} \item \item De donde donde se hace hace eviden evidente te que la soluci solución ón que encont encontram ramos os con el primer primer método método es correc correcta. ta. \end{dinglist} \vfill Un saludo.\\ saludo.\\ \textcolor{blue}{Efraín \textcolor{blue}{Efr aín Soto A.} \end{document}

El documento que se obtiene con el código anterior es el siguiente:

Para aquellos profesores que disfrutan de encontrar retos para los estudiantes, creo que este es uno bueno. Resuelve: abx 2  Primer

2

2

− a x = b x − ab

M´ etodo: Primero reescribimos la ecuación etodo: on en la forma: αx 2 + βx + γ = = 0 abx 2 abx 2

 Ahora

2

− a

= =

a2 + b2 a2 + b2 2

= = =

a + b

2

a2 + b2 a2 + b2

= b2 x = 0

− ab

± ± ±



(a2 + b2 )2

√ a 2 ab a b

2 2

− 4a b

+ 2 2 2 + b4 2 ab a 2a2 b2 + b4 2 ab (a2 b2 )2 4

√

4

− 4a b 2

2

−

±  −

2 ab (a2 2 ab

±

2

−b )

calculamos por separado cada una de las ra´ıces ıces de la ecuaci´ on: on: a2 + b2 + (a2 b2 ) 2 ab 2 a2 a = b 2 ab a2 + b2 a2 + b2 2 ab 2 b2 b = a 2 ab

−

=

x1

=

−

=

x2

=  Segu ndo

M´ etodo: Podemos dividir ambos lados de la ecuación entre ab y obtener: etodo: abx 2

2

x

2

2

− a + b  x + ab a + b x − x+1 ab 2

2

−





− ab

x

 De

a2 x

aplicamos la fórmula general: x

 Ahora

−

+ b2 x + ab

= 0

2

 +1  

a b + b a

x

= 0

x

= 0

− ab

= 0

donde se hace evidente que la solución que encontramos con el primer m´ etodo etodo es correcta.

Un saludo. Efra´ın ın Soto A. 1


3.3. SESIÓN 13: PRIMEROS DOCUMEN DOCUMENTOS TOS EN LATEX 2ε

3. 3. 5

L EY DE SENOS

El siguiente código genera un documento para explicar cómo se deduce la ley de senos. LATEX 2ε % % Estructura Estructura en LaTeX2e LaTeX2e % % Dedu Deducc cció ión n de la ley ley de seno senos s % % Elabor Elaborado ado por Efraín Efraín Soto A. % % Inclui Incluido do en el manual manual: : % LaTeX2 LaTeX2e e en 15 sesion sesiones. es. % % 12 de diciem diciembre bre de 2008. 2008. % \documentclass[pdftex,twoside,10pt,a4paper]{article} \usepackage[left=1.5cm,top=1in,right=1.5cm]{geometry} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{color} \usepackage{tikz} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \lhead{} \lhead{} % Encabezad Encabezado o de la izquierda izquierda \chead \chead{} {} % Encabe Encabezad zado o del centro centro % Encabe Encabezad zado o de la derech derecha a \rhead{\textcolor{blue}{Formularios}} % Pié de página página de la izquierd izquierda a \lfoot{\textcolor{blue}{Profr. \lfoot{\textcolor{bl ue}{Profr. Efraín Soto A.}} \cfoot \cfoot{}% {}% Pié de página página del centro centro \rfoot \rfoot{} {} %Pie %Pie de página página de la derech derecha a % Formato Formato del párrafo del documento documento... ... \setlength{\parindent}{0pt} \setlength \setlength{\par {\parskip} skip}{2ex {2ex plus 0.5ex minus minus 0.2ex} 0.2ex} \setcounter{page}{0} \pagenumbering{arabic} \begin{document} \begin{center} {\huge \textcolor \textcolor{blue {blue}{Ley }{Ley de senos} senos} } $\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} $\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma} \frac{c}{\sin\gamma}$ $ \end{center} % Empezamos Empezamos con un triángulo triángulo cualquiera. cualquiera. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.75] \draw[blue \draw[blue,thic ,thick] k] (0,0) -- (5,0) node[belo node[below,mid w,midway]{ way]{$a$}; $a$}; \draw[blue,thick] (0,0) -- (4,5)node[above,midw (4,5)node[above,midway]{$b$}; ay]{$b$}; \draw[blue,thick] (4,5) -- (5,0)node[above,midw (5,0)node[above,midway]{$c$}; ay]{$c$}; \draw[cyan \draw[cyan,thic ,thick,loo k,loosely sely dashed] dashed] (4,0) (4,0) -- (4,5); (4,5); \node[left,cyan] at (4,2.5){$h$}; \node[red] \node[red] at (0.4,0.25) (0.4,0.25) {$\gamma$} {$\gamma$}; ; \node[red] \node[red] at (4.65,0.25 (4.65,0.25) ) {$\beta$} {$\beta$}; ; \node[red, \node[red,below below] ] at (3.85,4.75 (3.85,4.75) ) {$\alpha$} {$\alpha$}; ; \end{tikzpicture} \end{center} Es claro, claro, de la figura figura que $h=c\,\sin\be $h=c\,\sin\beta$. ta$. Pero también, $h=b\,\sin\gamma$.


155

3.3.5

156

LATEX 2ε intermedio Al iguala igualar r los dos valore valores s de $h$ encont encontrad rados os obtene obtenemos mos: : % \begin{eqnarray*} h = c\,\sin\b c\,\sin\beta eta &=& b\,\sin\g b\,\sin\gamma\ amma\\ \ \displaystyle\frac{c}{\sin\gamma} \displaystyle\frac{c }{\sin\gamma} &=& \frac{b}{\sin\beta} \end{eqnarray*} % Pero Pero esa no es la única única altura altura que tiene tiene el triáng triángulo ulo. . Si dibujamos dibujamos ahora otra altura $h_2$, como se muestra muestra enseguida enseguida: : \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.75] \draw[blue \draw[blue,thic ,thick] k] (0,0) -- (5,0) node[belo node[below,mid w,midway]{ way]{$a$}; $a$}; \draw[blue,thick] (0,0) -- (4,5)node[above,midw (4,5)node[above,midway]{$b$}; ay]{$b$}; \draw[blue,thick] (4,5) -- (5,0)node[above,midw (5,0)node[above,midway]{$c$}; ay]{$c$}; \draw[cyan \draw[cyan,thic ,thick,loo k,loosely sely dashed] dashed] (1.95,2.4 (1.95,2.44) 4) -- (5,0); (5,0); \node[above,cyan] at (3.12,1.5){$h_2$}; \node[red] \node[red] at (0.4,0.25) (0.4,0.25) {$\gamma$} {$\gamma$}; ; \node[red] \node[red] at (4.65,0.25 (4.65,0.25) ) {$\beta$} {$\beta$}; ; \node[red, \node[red,below below] ] at (3.85,4.75 (3.85,4.75) ) {$\alpha$} {$\alpha$}; ; \end{tikzpicture} \end{center} Ahora tenemos que $h_2=a\,\ $h_2=a\,\sin\g sin\gamma$ amma$, , y también también se cumple: cumple: $h_2 = c\,\sin\al c\,\sin\alpha$. pha$. Al igualar igualar estos valores obtenemos: obtenemos: % \begin{eqnarray*} h_2=a\,\sin\gamma &=& c\,\sin\alpha\\ \displaystyle\frac{a}{\sin\alpha} \displaystyle\frac{a }{\sin\alpha} &=& \frac{c}{\sin\gamma \frac{c}{\sin\gamma} } \end{eqnarray*} % Pero ya habíamos habíamos encontrado encontrado que: % \begin{equation*} \displaystyle\frac{c}{\sin\gamma} \displaystyle\frac{c }{\sin\gamma} = \frac{b}{\sin\beta \frac{b}{\sin\beta} } \end{equation*} % Entonces, Entonces, por transitivi transitividad, dad, podemos podemos escribir: escribir: % \begin{equation*} \displaystyle\frac{a}{\sin\alpha} \displaystyle\frac{a }{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta \frac{b}{\sin\beta} } = \frac{c}{\sin\gamma} \end{equation*} % \end{document}

En la siguiente página está el documento generado con el código anterior. Este documento puede descargarse gratuitamente desde el siguiente sitio de Internet:

@



Formularios

Ley de senos a b c = = sin α sin β sin γ Empezamos con un tri´ angulo angulo cualquiera.

α

b

h

γ

c

β a

Es claro, de la figura que h = c = c sin β . Pero tambi´ tamb i´ en, en, h = b = b sin γ . Al igualar los dos valores de h encontrados obtenemos: = c sin β = h = c c = sin γ

b sin γ b sin β

Pero esa no es la ´ unica altura que tiene el triángulo. unica angulo. Si dibujamos ahora otra altura h2 , como se muestra enseguida: α

b

c h2

γ

β a

Ahora tenemos que h2 = a sin γ , y tambi´ en en se cumple: h2 = c sin α. Al igualar estos valores valores obtenemos: obtenemos: h2 = a sin γ = a = sin α

c sin α c sin γ

Pero ya hab h ab´ ´ıamos encontrado encontrad o que: c b = sin γ sin β Entonces, por transitividad, podemos escribir: a b c = = sin α sin β sin γ

Profr. Efra´ın ın Soto A.

158

3.3.6


3.3.6

N UEVA C RIBA DE E RATÓSTENES

El siguiente es un artículo científico redactado por el autor de este libro. Este documento contiene ejemplos de comandos y ambientes definidos por el usuario, así que si usted lee solamente el cuerpo del documento encontrará instrucciones que no existen en LA TE X 2ε . Puede descargar este artículo de la siguiente página de Internet:

@

http://www.scribd.com/Efrain_Soto_Apolinar % % % % % % % % % % % % % % % % %

LATEX 2ε --------------------------------------------Autor: Efraín Soto Apolinar. Ingeniero en Sistemas de Energía Egresado de la Universidad de Quintana Roo División de Ciencias e Ingeniería Generación 1997 - 2002 Basado en ideas compartidas por: Abel Chávez Morales ---------------------------------------------El autor de este artículo es estudiante de la Maestría en Ciencias en Ingeniería de Sistemas Programa de Posgrado impartido en la Falcultad de Ingeniería Mecánica - Eléctrica de la Universidad Autónoma de Nuevo León Fecha de Ingreso: Enero de 2008. -------------------------------------------------------------------------------------------

\documentclass[11pt,letterpaper,twoside]{article} \usepackage[spanish]{babel} % Esto ahorra mucho trabajo! \usepackage[latin1]{inputenc} %Permite el uso de los signos del español. % Formato del párrafo del documento... \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{2ex plus 0.5ex minus 0.2ex} \usepackage[left=2.5cm,top=2.5cm,right=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry} \usepackage{color} % por si se requieren letras de color... \usepackage{amsfonts} % Fuentes matemáticas.. \usepackage{amsmath,amssymb} % igualmente... \usepackage{enumerate} % para que enumere con romanos... \usepackage{cancel} % para que cancele algunas cosas... \usepackage{multicol} % para generar varias columnas... \newcommand{\tituloh}{ \textrm{Nueva criba de Eratóstenes} } % \newcommand{\titulo}{ \fontsize{14pt}{16.8pt} \textbf{La nueva criba de Eratóstenes} } % \newcommand{\auta}{ % Autor A \fontsize{10pt}{12pt} \textbf{Efraín Soto Apolinar \footnote{Estudiante del programa de posgrado en Ingeniería de Sistemas de la Facultad de Ingeniería Mecánica -- Eléctrica de la U.A.N.L.}} } % \newcommand{\filiacion}{ \fontsize{10pt}{12pt} \textrm{F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicolás, N.L. México.} } % \newcommand{\email}{ % Mi E-Mail \fontsize{10pt}{12pt}\textsl{[email protected]}


3.3. SESIÓN 13: PRIMEROS DOCUMENTOS EN LATEX 2ε } \newcommand{\encabezado}{ \begin{center} \titulo\\ \auta\\ \filiacion\\ \email \end{center} } \newcommand{\keywords}{ % Palabras clave \fontsize{10pt}{12pt} \textbf{Palabras clave: } \textsl{Congruencias -- divisibilidad -módulos -- números primos -- primos gemelos -teoría de números.} } % % -------------------------% Ambientes... % -------------------------\newenvironment{resumen}[1]{ \begin{center} \fontsize{12pt}{13.2pt} \textbf{Resumen} \end{center} \fontsize{10pt}{12pt} \rmfamily\begin{quotation}#1 }{ \end{quotation} \fontsize{11pt}{13.2pt} } \newcounter{defin} \setcounter{defin}{1} \newenvironment{definicion}[2]{ \textbf{Definición. \thesection.\thedefin.} \stepcounter{defin} \textsc{ \hspace{2.5ex} \fontsize{11pt}{13.2pt} \textbf{#1} } \hspace{2.5ex}{\textsl{#2}} }{ \par % iniciar un párrafo nuevo } \newenvironment{demostracion}[1]{ \textsc{\textbf{Demostración.}}\\ {\fontsize{11pt}{13.2pt}\rmfamily #1} }{ \hfill$\square$ } \newenvironment{nota}[1]{ \textsc{Nota:}\hspace{2.5ex}\textsl{#1} }{ \hfill$\checkmark$ } % % Nuevo ambiente theorem % \newtheorem{teorema}{Teorema}[section] % % Para los ejemplos % \newcounter{ejem} \setcounter{ejem}{1} \newenvironment{ejemplo}[1]{


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LATEX 2ε intermedio \textbf{Ejemplo \thesection.\theejem.} \stepcounter{ejem} \hspace{2.5ex}{\textsl{#1}} }{ % No hacer nada... } % ---------------------% Encabezados... % ---------------------\usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} % limpio el encabezado por default \renewcommand{\sectionmark}[1]{} \fancyhf{} % Limpia todos los encabezados y pie de página \fancyhead[LE]{\tituloh} \fancyfoot[C]{\bfseries\thepage} % % % \begin{document} \thispagestyle{empty} \encabezado \begin{resumen} {Se dan algunas definiciones básicas relacionadas con la divisibilidad y las clases de congruencia en el conjunto de los números naturales. Se muestra una forma más eficiente de enlistar los números primos, lo que se denomina \textsl{la nueva criba de Eratóstenes}. } \end{resumen} \keywords \section{DEFINICIONES}\label{define} \begin{definicion} {Cerradura} {Sea $\mathbb{A}$ un conjunto no vacío, y sea $\circ$ una operación binaria definida para cualesquiera dos elementos $a, b\in\mathbb{A}$. Si $a\circ b\in\mathbb{A}$ para cualesquiera $a,b\in\mathbb{A}$, entonces, decimos que el conjunto $\mathbb{A}$ es cerrado bajo la operación $\circ$. } \end{definicion} \begin{definicion} {Número primo.} {Un número natural es primo si tiene exactamente dos divisores (naturales). } \end{definicion} \begin{definicion} {Número compuesto.} {Un número natural es compuesto si tiene 3 o más divisores. } \end{definicion} \begin{definicion} {Números primos gemelos.} {Dos números primos son primos gemelos si la diferencia entre ellos es 2. } \end{definicion} \begin{definicion} {Divisibilidad.} {Sean $a,b,m$ números naturales. Decimos que el número $b$ divide al número $a$, o de forma equivalente, que el número $a$ es divisible por el número $b$, si existe un número natural $m$ tal que $a=b\cdot m$, y se denota por $b|a$.


3.3. SESIÓN 13: PRIMEROS DOCUMENTOS EN LATEX 2ε } \end{definicion} \begin{teorema}{ Sean $a,b,c,m,n$ números naturales. La divisibilidad tiene las siguientes propiedades: \label{propDivisibilidad} \begin{enumerate}[i.] \begin{multicols}{2}{ \item Si $b|a$, entonces $b|(a\cdot c)$. \item Si $b|a$, y $a|c$, entonces $b|c$. \item Si $b|a$, y $b|c$, entonces $b|(a+c)$. \item Si $b|a$, y $b|c$, entonces $b|(a-c)$. \item Si $b|a$, y $b|c$, entonces $b|(a\cdot m+c\cdot n)$. \item Si $b|a$ entonces $b\leq a$. \item Si $a\neq0$, entonces $a|a$. \item Si $a|b$, y $b|a$, entonces $a=b$. \item $1|a$. } \end{multicols} \end{enumerate} } \end{teorema} La siguiente definición es una notación inventanda por Carl F. Gauss que nos ayudará a simplificar cálculos y nos facilitará la construcción de la nueva criba de Eratóstenes. \begin{definicion} {Congruencias.} {Si $a=b\cdot m+r$, se entiende que $b|(a-r)$, y escribimos: $a\equiv r\mod b$ para indicarlo y se lee ‘‘\textsl{$a$ es congruente con $r$ módulo $b$}’’. } \end{definicion} \begin{teorema}{ Sean $a,b,c,r,s$ números naturales. Las congruencias tienen las siguientes propiedades: \label{propModulos} \begin{enumerate}[i.] \item Si $a\equiv r\mod b$, y $0\leq r\leq b$, entonces $r$ es el residuo de dividir $a$ entre $b$ \item $a\equiv r \mod b\qquad\Leftrightarrow\qquad b|(a-r) \qquad\Leftrightarrow\qquad a=b\cdot m+r$ \item $a\equiv a \mod b$ \item Si $a\equiv r\mod b$, entonces $r\equiv a\mod b$ \item Si $a\equiv r\mod b$, y $r\equiv s\mod b$, entonces $a\equiv s\mod b$ \item Si $a\equiv r\mod b$, y $c\equiv s\mod b$, entonces $a+c\equiv (r+s)\mod b$ \item Si $a\equiv r\mod b$, y $c\equiv s\mod b$, entonces $a-c\equiv (r-s)\mod b$ \item Si $a\equiv r\mod b$, y $c\equiv s\mod b$, entonces $a\cdot c\equiv (r\cdot s)\mod b$ \item Si $a\equiv r\mod b$, entonces $a^s\equiv r^s\mod b$ \end{enumerate} } \end{teorema} \begin{teorema}{ Sea $p\geq5$ un número primo. Entonces, bien $p\equiv1\mod6$, bien $p\equiv5\mod6$.\label{primoModulo} } \end{teorema} \begin{demostracion}{ Un número natural $a$ cualquiera puede estar en alguna de las siguientes clases de congruencia: \begin{itemize} \item $a\equiv 0 \mod 6$, con lo que sería divisible por 6. \item $a\equiv 1 \mod 6$, con lo que podría ser primo. \item $a\equiv 2 \mod 6$, con lo que resultaría ser divisible por 2. \item $a\equiv 3 \mod 6$, con lo que resultaría ser divisible por 3. \item $a\equiv 4 \mod 6$, con lo que resultaría ser divisible por 2.


161

162

LATEX 2ε intermedio \item $a\equiv 5 \mod 6$, con lo que podría ser primo. \end{itemize} } \end{demostracion} \begin{nota} {No todos los números naturales $p$ que cumplen con $p\equiv1\mod6$, o bien, $p\equiv5\mod6$ son primos, pero todos los primos mayores o iguales a 5, tienen esa forma. } \end{nota} \begin{teorema}{ Sea $\mathbb{P}$ el conjunto de todos los números naturales $p\geq5$ (no necesariamente primos) de la forma: $p\equiv1\mod 6$, ó $p\equiv5\mod 6$; o bien $\mathbb{P}=\{p~|~p\equiv 1\mod6, \mbox{ ó } p\equiv5 \mod 6; p\in\mathbb{N}, p\geq5\}$. Entonces, el conjunto $\mathbb{P}$ es cerrado bajo la multiplicación. \label{cerraduraP} } \end{teorema} \begin{demostracion}{ Sea $a\equiv1\mod6$, y $b\equiv5\mod6$. Por definición, $a,b\in\mathbb{P}$. Por las propiedades \textsc{i, iv} y \textsc{viii} de las congruencias de módulos tenemos: \begin{itemize} \item $a\cdot a\equiv1\mod 6$ \item $a\cdot b\equiv5\mod 6$ \item $b\cdot b\equiv25\mod 6\equiv1\mod6$ \end{itemize} con lo que queda establecido el teorema. } \end{demostracion} % % % \section{NUEVA CRIBA DE ERATÓSTENES} En los estudios de nivel elemental a medio superior se enseña la criba de Eratóstenes como un método para encontrar todos los números primos hasta un número natural finito. Con los teoremas enlistados tenemos una segunda forma (más eficiente) de encontrar la lista de los números primos. Para este fin empezamos enlistando a los únicos dos números primos que no pertenecen al conjunto $\mathbb{P}=\{p~|~p\equiv 1\mod6, \mbox{ ó } p\equiv5 \mod 6; p\in\mathbb{N}, p\geq5\}$; esos dos números primos son 2 y 3. Inmediatamente después podemos hacer una tabla donde enlistemos los números en columnas, de acuerdo a la clase de congruencia a la que pertenezcan: % \begin{table}[hc] \begin{center} \begin{tabular}{ccc}\toprule $5 \mod 6$ & $0 \mod 6$ & $1 \mod 6$\\ 5 & 6 & 7 \\ 11 & 12 & 13 \\ 17 & 18 & 19 \\ 23 & 24 & 25 \\ 29 & 30 & 31 \\ 35 & 36 & 37 \\ 41 & 42 & 43 \\ 47 & 48 & 49 \\ 53 & 54 & 55 \\ 59 & 60 & 61 \\ $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\\bottomrule \end{tabular} \caption{Clases 5, 0 y 1 de módulo 6.} \label{modulos} \end{center} \end{table} %


3.3. SESIÓN 13: PRIMEROS DOCUMENTOS EN LATEX 2ε En la tabla \ref{modulos} tenemos 3 columnas. La columna del centro contiene números que son divisibles por 6, solamente para que nos sirva de guía para encontrar las otras dos columnas. Las columnas de la izquierda y de la derecha son las que tienen a los elementos del conjunto $\mathbb{P}$. En la lista podemos ver algunos números que no son primos, e.g., 25. El teorema \ref{cerraduraP} explica por qué tenemos números compuestos en $\mathbb{P}$. La siguiente cuestión consiste en eliminar los números que son compuestos. Para lograr esta meta haremos uso del teorema \ref{cerraduraP} y de la definición de número compuesto. Es obvio que todo número natural $n$ (a excepción del número 1) tiene al menos dos divisores: el número 1 y el número $n$ (i.e., él mismo). Entonces, si aparece un divisor más, se entiende que ya es compuesto. Por el teorema \ref{cerraduraP} sabemos que algunos de los elementos de $\mathbb{P}$ tienen más de dos divisores, por lo que no son números primos, sino compuestos. % % % \section{CONSTRUYENDO LA NUEVA CRIBA} La tarea ahora parece muy sencilla: tomamos el menor de todos los elementos del conjunto $\mathbb{P}$ (esto es posible gracias al principio del buen ordenamiento, que dice que un conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento que es menor o igual a cualquier otro elemento del conjunto considerado) y lo multiplicamos por todos los elementos del conjunto $\mathbb{P}$. Así encontraremos los números $p\in\mathbb{P}$ que no son primos. Después de haber multiplicado el primer número primo $5\in\mathbb{P}$ por todos los elementos del conjunto $\mathbb{P}$ (incluido el 5 mismo), debemos continuar con el siguiente primo, en este caso el número 7. Ahora debemos multiplicar a este número primo por todos los demás elementos del conjunto $\mathbb{P}$ que todavía no han sido eliminados (en caso de no ser primos). Es claro que no se requiere multiplicar $7\times5$, dado que esta multiplicación se realizó cuando empezamos multiplicando el número 5 por todos los elementos del conjunto $\mathbb{P}$. Entonces, debemos empezar desde $7\times7$. Y así sucesivamente, hasta que hayamos terminado con la lista que deseamos obtener. Enseguida se muestra el proceso elaborado hasta el número primo 61. % \begin{table}[h] \begin{center} \begin{tabular}{cc}\toprule $5 \mod 6$ & $1 \mod 6$\\ 5 & 7 \\ 11 & 13 \\ 17 & 19 \\ 23 & \cancel{25} \\ 29 & 31 \\ \cancel{35}& 37 \\ 41 & 43 \\ 47 & \cancel{49} \\ 53 & \cancel{55} \\ 59 & 61 \\ $\vdots$ & $\vdots$ \\\bottomrule \end{tabular} \caption{Nueva criba de Eratóstenes.} \label{criba} \end{center} \end{table} % $5\times5$ eliminó al número 25, $5\times7$ eliminó al número 35,


163

164

LATEX 2ε intermedio $5\times11$ eliminó al número 55, etc., $7\times7$ eliminó al número 49, $7\times11$ elimina al número 77, etc., $11\times11$ elimina al número 121, etc., y así sucesivamente. % % % \section{CONCLUSIONES} Este mismo procedimiento puede usarse para generar un algoritmo muy eficiente para verificar si un número natural dado $n$ es o no un número primo. En este caso se debe iniciar comparando el número dado $n$ con los dos únicos números primos que no están en $\mathbb{P}$. En caso de que no sea así, se debe encontrar el residuo de dividir el número $n$ entre 6. Si este residuo es distinto a 1 ó 5, entonces, con certeza sabemos que el número es compuesto. Por otra parte, si el residuo de dividir $n$ entre 6 es, bien 1, bien 5, entonces debemos verificar si se divide por alguno de los números $p\in\mathbb{P}$. No requerimos checar todos los números $p\in\mathbb{P}$ hasta uno antes de $n$, como es bien sabido, basta verificar hasta el número natural mayor o igual a $\sqrt{n}$. El algoritmo creado con la criba de Eratóstenes verifica si el número $n$ es divisible por los números impares. Es claro que hay 3 números impares de cada 6 números naturales. El algoritmo de la nueva criba de Eratóstenes solamente verifica 2 de cada seis números naturales: los que pertenecen al conjunto $\mathbb{P}=\{p~|~p\equiv 1\mod6, \mbox{ ó } p\equiv5 \mod 6; p\in\mathbb{N}, p\geq5\}$. Más aún, algunos de los elementos del conjunto $\mathbb{P}$ son compuestos y es muy obvio verificarlo: cuando en la cifra de las unidades tiene un 5, por ejemplo: 25 ($5\times5$), 55 ($5\times11$), 125 ($5\times25$), etc. Se debe recordar que esta nueva criba no considera a los primeros dos números naturales primos: el 2 y el 3. Por tanto, cuando se haga la lista de los números primos utilizando la nueva criba de Eratóstenes deben incluirse estos dos números primos. Durante mucho tiempo ha existido la pregunta (sin responder hasta el día de hoy) si existe un número infinito de parejas de números primos gemelos. El teorema \ref{primoModulo} muestra por qué aparecen los números primos gemelos. En el primer intento por demostrar esta conjetura\footnote{En este artículo se incluyen ideas compartidas por el físico Abel Chávez Morales.} (la infinitud de los números primos gemelos) se encontraron los resultados que aquí se muestran. El reto que queda por resolver es la cuestión de si hay un número infinito de números primos gemelos, para lo cual habrá que estudiar la distribución de los productos de los elementos de $\mathbb{P}$. % \end{document}

En las siguientes páginas está el artículo generado con el código anterior.


La nueva criba de Erat´ ostenes Efra´ ın Soto Apolinar

1

F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicol´ as, N.L. México. efrain@yalma.fime.uanl.mx

Resumen

Se dan algunas definiciones básicas relacionadas con la divisibilidad y las clases de congruencia en el conjunto de los números naturales. Se muestra una forma más eficiente de enlistar los números primos, lo que se denomina la nueva criba de Eratóstenes .

Palabras clave: Congruencias – divisibilidad – m´ odulos – n´ umeros primos – primos gemelos – teor´ıa de

números.

1.

DEFINICIONES

Cerradura Sea A un conjunto no vac´ıo, y sea una operación binaria definida para cualesquiera dos elementos a, b A. Si a b A para cualesquiera a, b A, entonces, decimos que el conjunto A es cerrado bajo la operación .

◦

Definici´ on. 1.1.

∈


◦

N´ umero primo.

◦ ∈

∈

Un n´ umero natural es primo si tiene exactamente dos divisores

(naturales). Definici´ on. 1.3.

N´ umero compuesto.

Un n´ umero natural es compuesto si tiene 3 o más

divisores. N´ umeros primos gemelos. diferencia entre ellos es 2. Definici´ on. 1.4.

Dos n´ umeros primos son primos gemelos si la

Definici´ on. 1.5. Divisibilidad. Sean a,b, m n´ umeros naturales. Decimos que el número b divide al n´ umero a , o de forma equivalente, que el número a es divisible por el n´ umero b , si existe un número natural m tal que a = b m, y se denota por b a.

·

|

Teorema 1.1 Sean a,b,c,m,n n´ umeros naturales. La divisibilidad tiene las siguientes propiedades: i. Si b a, entonces b (a c). ii. iii . iv. v. 1

| | · Si b|a, y a|c, entonces b|c. Si b|a, y b|c, entonces b|(a + c). Si b|a, y b|c, entonces b|(a − c). Si b|a, y b|c, entonces b|(a · m + c · n).

vi. Si b a entonces b vii. viii. ix.

| ≤ a. Si a  = 0, entonces a|a. Si a|b, y b|a, entonces a = b . 1|a.

Estudiante del programa de posgrado en Ingenier´ıa de Sistemas de la Facultad de Ingenier´ıa Mecánica – Eléctrica de la U.A.N.L.

Nueva criba de Eratóstenes La siguiente definici´ on es una notaci´ on inventanda por Carl F. Gauss que nos ayudará a simplificar cálculos y nos facilitar´ a la construcci´ on de la nueva criba de Eratóstenes. Congruencias. Si a = b m + r , se entiende que b (a mod b para indicarlo y se lee “ a es congruente con r módulo b”.

| − r), y escribimos: a ≡ r

·


Teorema 1.2 Sean a,b,c,r,s n´ umeros naturales. Las congruencias tienen las siguientes propiedades: i. Si a

≡ r

mod b, y 0

≤ r ≤ b , entonces r es el residuo de dividir a entre b ⇔ b|(a − r) ⇔ a = b · m + r

≡ r mod b a ≡ a mod b Si a ≡ r mod b, entonces r ≡ a mod b Si a ≡ r mod b, y r ≡ s mod b, entonces a ≡ s mod b Si a ≡ r mod b, y c ≡ s mod b, entonces a + c ≡ ( r + s) mod b Si a ≡ r mod b, y c ≡ s mod b, entonces a − c ≡ ( r − s) mod b Si a ≡ r mod b, y c ≡ s mod b, entonces a · c ≡ ( r · s) mod b Si a ≡ r mod b, entonces a ≡ r mod b

ii. a iii . iv. v. vi. vii. viii. ix.

s

s

≥ 5 un n´ umero primo. Entonces, bien p ≡ 1

Teorema 1.3 Sea p

mod 6, bien p

≡ 5

mod 6.

Demostraci´ on.

Un n´ umero natural a cualquiera puede estar en alguna de las siguientes clases de congruencia:

≡ 0 a ≡ 1 a ≡ 2 a ≡ 3 a ≡ 4 a ≡ 5 a

mod 6, con lo que ser´ıa divisible por 6. mod 6, con lo que podr´ıa ser primo. mod 6, con lo que resultar´ıa ser divisible por 2. mod 6, con lo que resultar´ıa ser divisible por 3. mod 6, con lo que resultar´ıa ser divisible por 2. mod 6, con lo que podr´ıa ser primo. 

≡ 1

No todos los n´ umeros naturales p que cumplen con p pero todos los primos mayores o iguales a 5, tienen esa forma. Nota:

mod 6, o bien, p

≡ 5

mod 6 son primos, 

Teorema 1.4 Sea P el conjunto de todos los n´ umeros naturales p 5 (no necesariamente primos) de la N, p forma: p 1 mod 6, ´ o p 5 mod 6; o bien P = p p 1 mod 6, ´ o p 5 mod 6; p 5 .

≡

Entonces, el conjunto

P es

≡

{ | ≡

cerrado bajo la multiplicaci´ on. 2

≥

≡

∈

≥ }

Demostraci´ on.

Sea a 1 mod 6, y b 5 mod 6. Por definici´ on, a, b congruencias de módulos tenemos:

≡

∈ P. Por las propiedades i, iv y viii de las

≡

· ≡ 1 mod 6 a · b ≡ 5 mod 6 b · b ≡ 25 mod 6 ≡ 1 a a

mod 6

con lo que queda establecido el teorema.

2.



´ NUEVA CRIBA DE ERATOSTENES

En los estudios de nivel elemental a medio superior se enseñ a la criba de Eratóstenes como un método para encontrar todos los n´ umeros primos hasta un n´ umero natural finito. Con los teoremas enlistados tenemos una segunda forma (m´ as eficiente) de encontrar la lista de los números primos. Para este fin empezamos enlistando a los u ´ nicos dos n´ umeros primos que no pertenecen al conjunto P = { p | p ≡ 1 mod 6, o ´ p ≡ 5 mod 6; p ∈ N, p ≥ 5 }; esos dos n´ umeros primos son 2 y 3. Inmediatamente después podemos hacer una tabla donde enlistemos los n´ umeros en columnas, de acuerdo a la clase de congruencia a la que pertenezcan: 5 mod 6 5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 .. .

0 mod 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 ...

1 mod 6 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 ...

Cuadro 1: Clases 5, 0 y 1 de m´ odulo 6. En la tabla 1 tenemos 3 columnas. La columna del centro contiene números que son divisibles por 6, solamente para que nos sirva de gu´ıa para encontrar las otras dos columnas. Las columnas de la izquierda y de la derecha son las que tienen a los elementos del conjunto P. En la lista podemos ver algunos n´ umeros que no son primos, e.g., 25. El teorema 1.4 explica por qué tenemos números compuestos en P. 3

Nueva criba de Eratóstenes

La siguiente cuesti´ on consiste en eliminar los n´ umeros que son compuestos. Para lograr esta meta haremos uso del teorema 1.4 y de la definici´ on de n´ umero compuesto. Es obvio que todo n´ umero natural n (a excepci´ o n del n´ umero 1) tiene al menos dos divisores: el número 1 y el n´ umero n (i.e., él mismo). Entonces, si aparece un divisor m´ as, se entiende que ya es compuesto. Por el teorema 1.4 sabemos que algunos de los elementos de que no son n´ umeros primos, sino compuestos.

3.

P tienen

m´ as de dos divisores, por lo

CONSTRUYENDO LA NUEVA CRIBA

La tarea ahora parece muy sencilla: tomamos el menor de todos los elementos del conjunto P (esto es posible gracias al principio del buen ordenamiento, que dice que un conjunto no vac´ıo de n´ umeros naturales tiene un elemento que es menor o igual a cualquier otro elemento del conjunto considerado) y lo multiplicamos por todos los elementos del conjunto P. As´ı encontraremos los n´ umeros p ∈ P que no son primos. Despu´ es de haber multiplicado el primer n´ umero primo 5 ∈ P por todos los elementos del conjunto umero 7. Ahora P (incluido el 5 mismo), debemos continuar con el siguiente primo, en este caso el n´ debemos multiplicar a este n´ umero primo por todos los dem´ as elementos del conjunto P que todav´ıa no han sido eliminados (en caso de no ser primos). Es claro que no se requiere multiplicar 7 × 5, dado que esta multiplicaci´ on se realizó cuando empezamos multiplicando el n´ umero 5 por todos los elementos del conjunto P. Entonces, debemos empezar desde 7 × 7. Y as´ı sucesivamente, hasta que hayamos terminado con la lista que deseamos obtener. Enseguida se muestra el proceso elaborado hasta el n´ umero primo 61. 5 mod 6 5 11 17 23 29  35  41 47 53 59 .. .

1 mod 6 7 13 19  25  31 37 43  49   55  61 ...

Cuadro 2: Nueva criba de Eratóstenes.

4

× 5 eliminó al número 25, 5 × 7 eliminó al número 35, 5 × 11 eliminó al número 55, etc., 7 × 7 elimin´ o al n´ umero 49, 7 × 11 elimina al n´ umero 77, etc., 11 × 11 elimina al n´ umero 121, etc., y 5

as´ı sucesivamente.

4.

CONCLUSIONES

Este mismo procedimiento puede usarse para generar un algoritmo muy eficiente para verificar si un n´ umero natural dado n es o no un n´ umero primo. En este caso se debe iniciar comparando el número dado n con los dos u ´ nicos n´ umeros primos que no est´ an en P. En caso de que no sea as´ı, se debe encontrar el residuo de dividir el número n entre 6. Si este residuo es distinto a 1 ó 5, entonces, con certeza sabemos que el n´ umero es compuesto. Por otra parte, si el residuo de dividir n entre 6 es, bien 1, bien 5, entonces debemos verificar si se divide por alguno de los números p ∈ P. No requerimos checar todos los n´ umeros p ∈ P hasta uno antes de n , como es bien sabido, basta verificar √ hasta el n´ umero natural mayor o igual a n. El algoritmo creado con la criba de Erat´ ostenes verifica si el n´ umero n es divisible por los n´ umeros impares. Es claro que hay 3 n´ umeros impares de cada 6 números naturales. El algoritmo de la nueva criba de Erat´ ostenes solamente verifica 2 de cada seis n´ umeros naturales: los que pertenecen al conjunto P = { p | p ≡ 1 mod 6, o´ p ≡ 5 mod 6; p ∈ N, p ≥ 5 }. M´ as a´ un, algunos de los elementos del conjunto P son compuestos y es muy obvio verificarlo: cuando en la cifra de las unidades tiene un 5, por ejemplo: 25 (5 × 5), 55 (5 × 11), 125 (5 × 25), etc. Se debe recordar que esta nueva criba no considera a los primeros dos números naturales primos: el 2 y el 3. Por tanto, cuando se haga la lista de los n´ umeros primos utilizando la nueva criba de Erat´ ostenes deben incluirse estos dos números primos. Durante mucho tiempo ha existido la pregunta (sin responder hasta el d´ıa de hoy) si existe un número infinito de parejas de n´ umeros primos gemelos. El teorema 1.3 muestra por qué aparecen los n´ umeros primos gemelos. En el primer intento por demostrar esta conjetura 2 (la infinitud de los n´ umeros primos gemelos) se encontraron los resultados que aqu´ı se muestran. El reto que queda por resolver es la cuesti´ on de si hay un n´ umero infinito de n´ umeros primos gemelos, para lo cual habr´ a que estudiar la distribuci´ on de los productos de los elementos de P.

2

En este art´ıculo se incluyen ideas compartidas por el f´ısico Abel Chávez Morales.

5

170

3.3.7


3.3.7

C URRICULUM V ITAE

El siguiente código sirve de base para generar un curriculum vitae. La estructura de este CV se tomó del manual del paquete CV que viene con LA T X 2ε . Lo único que hice fue cambiar la información para que apareciera en E español. Personalmente generé nuevo código, pero usted puede ver el código que viene con la documentación del paquete CV de LA TE X 2ε en una dirección similar a la siguiente: C:\Program Files\MiKTeX\doc\latex\cv

Este CV me parece bien estructurado. Observe1 que cada sección se inicia con el código: \section*{. Esto le indica a LA T X 2ε que no enumere esa sección. E Esto mismo aplica a las demás instrucciones para seccionar un documento, como \chapter, \subsection, etc. LATEX 2ε \documentclass[a4paper]{article} \usepackage[ansinew]{inputenc} % % Fuentes tipográficas % \usepackage{slantsc} \usepackage[sc]{mathpazo} % % % \newcommand{\fecha}{21 de diciembre de 2008.} \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{2.5ex} \pagestyle{empty} % % % \begin{document} % \begin{center} \huge{\textsc{Curriculum Vitae}} \vspace{\baselineskip} \Large{\textsc{Efraín Soto Apolinar}} \end{center} \vspace{1.5\baselineskip} % % % \section*{Dirección} % \begin{flushleft} Av. Universo $\alpha$ \\ Fracc. Vía Láctea. \\ Apodaca, N.L. México \\\hspace{-2ex} \begin{tabular}{ll} Teléfono: & +32 (81) 55.55.55.55 \\ Fax: & +32 (81) 55.55.55.56 \\ Correo electrónico: & \textit{[email protected]} \\ Página de Internet: & {\tt http://www.scribd.com/Efrain\_Soto\_Apolinar}\\ 1 En el código que se incluye enseguida.


3.3. SESIÓN 13: PRIMEROS DOCUMENTOS EN LATEX 2ε \end{tabular} \end{flushleft} % % % \section*{Detalles Personales} \begin{flushleft} Sexo: Masculino \\ Fecha de nacimiento: 13 de abril de 1877 \\ Lugar de nacimiento: Tuxpam, Ver. \\ Nacionalidad: Mexicano. \end{flushleft} % % % \section*{Estudios} % \begin{description} \item[07/1994 -- 06/2002] Ing. en Sistemas de Energía. Universidad de Quintana Roo. \item[Desde 01/2008] Estudiante de la M.C. en Ingeniería de Sistemas. Factultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Universidad Autónoma de Nuevo León. Especialización: simulación de sistemas estocásticos. Proyecto de tesis: \emph{Simulación de una línea de espera no homogénea};\\ Director: Profr. Dr. César E. Villarreal Rodríguez. Pretendo obtener el grado de Maestro en Ciencias en diciembre de 2009. \end{description} %\newpage % % % \section*{Tesis} Diseño de una simulación de sistemas de espera con varias disciplinas de servicio, siendo la tasa de llegada variable una función del tiempo y del estado del sistema, definida por el usuario. % % % \section*{Experiencias} % \begin{description} \item[06/1998--12/1999] \emph{PIMECI} (Proyecto de matemáticas educativas). Asistente en la elaboración de materiales didácticos de matemáticas y entrenamiento de profesores y estudiantes en la resolución de problemas de matemáticas. Selección de materiales didácticos. % \item [08/2002--12/2002] \emph{Universidad de Quintana Roo}. \textsl{División de Ciencias e Ingeniería}. Diseño de reactivos para exámenes finales de matemáticas. % \item [09/2002 -- 07/2004] \emph{Instituto Cumbres de Quintana Roo}. \textsl{Bachillerato Anáhuac}. Profesor de asignaturas: Introduction to Physics and Chemistry (secundaria 1er grado), Conceptual Physics (secundaria 2do y 3er grados), Matemáticas I, II, IV (Bachillerato Anáhuac). % \item [09/2004--06/2006] \emph{Academia Gauss}. Director y profesor. Diseño de materiales didácticos, asesoría escolar en matemáticas, física y química principalmente, para todos los niveles académicos. % \item [10/2006--12/2007] \emph{Ingeniat}. Coordinador del área de matemáticas. Diseño de materiales didácticos de matemáticas,


171

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LATEX 2ε intermedio autor de libros de texto y trabajo: \textsl{Fundamentos de Matemáticas}, \textsl{Precálculo}, (nivel superior) \textsl{Lecciones de Matemáticas} (secundaria), \textsl{Mate\-má\-ti\-cas} (bachillerato). \end{description} % % % \section*{Idiomas} \begin{tabular}{p{2cm}p{2.5cm}p{3cm}} & \textbf{Español} & nativo \\ & \textbf{Inglés} & avanzado \\ & \textbf{Alemán} & casi nada\\ \end{tabular} % \newpage % \section*{Referencias} % Las siguientes personas están familiarizadas con mi desempeño escolar y profesional: \begin{tabular}{lll} \textbf{Profr. Dr. Isaac Newton} \\ Supervisor de Tesis & Tel.: & +32 (81) 55.55.55.50\\ Monterrey, N.L., México. & Email: & [email protected] \\ \end{tabular} \begin{tabular}{lll} \textbf{Profr. Dr. Albert Einstein} \\ Supervisor de Investigación & Tel.: & +32 (81) 55.55.55.51\\ Monterrey, N.L., México. & Email: & [email protected] \\ \end{tabular} \begin{tabular}{lll} \textbf{Profr. Dr. Carl F. Gauss} \\ Supervisor de Investigación & Tel.: & +32 (81) 55.55.55.52\\ Monterrey, N.L., México. & Email: & [email protected] \\ \end{tabular} \vspace{2\baselineskip} Monterrey, N.L., México. \fecha \end{document}

En las siguientes páginas se incluye el documento generado con este código:


Curriculum Vitae Efraín S oto A polinar

Dirección Av. Universo α Fracc. V´ıa L a´ ctea. Apodaca, N.L. México Teléfono: +32 (81) 55.55.55.55 Fax: +32 (81) 55.55.55.56 Correo electrónico: [email protected] Página de Internet: http://www.scribd.com/Efrain Soto Apolinar

Detalles Personales Sexo: Masculino Fecha de nacimiento: 13 de abril de 1877 Lugar de nacimiento: Tuxpam, Ver. Nacionalidad: Mexicano.

Estudios 07/1994 – 06/2002 Ing. en Sistemas de Energ´ıa. Universidad de Quintana Roo. Desde 01/2008 Estudiante de la M.C. en Ingenier´ıa de Sistemas. Factultad de Ingenier´ıa Mecánica y Eléctrica. Universidad Autonoma ´ de Nuevo León.

Especialización: simulación de sistemas estocásticos. Proyecto de tesis: Simulaci´ on de una l´ınea de espera no homog´ enea; Director: Profr. Dr. César E. Villarreal Rodr´ıguez. Pretendo obtener el grado de Maestro en Ciencias en diciembre de 2009.

Tesis ´ de sistemas de espera con varias disciplinas de Diseño de una simulacion servicio, siendo la tasa de llegada variable una función del tiempo y del estado del sistema, definida por el usuario.

Experiencias 06/1998–12/1999 PIMECI (Proyecto de matemáticas educativas). Asistente en ´ de materiales didácticos de matemáticas y entrenamiento la elaboracion de profesores y estudiantes en la resolución de problemas de matemáticas. Selección de materiales didácticos. 08/2002–12/2002 Universidad de Quintana Roo. Divisi´ on de Ciencias e Ingenier´ıa. Diseño de reactivos para exámenes finales de matemáticas. 09/2002 – 07/2004 Instituto Cumbres de Quintana Roo. Bachillerato An´ ahuac. Profesor de asignaturas: Introduction to Physics and Chemistry (secundaria 1er grado), Conceptual Physics (secundaria 2do y 3er grados), Matemáticas I, II, IV (Bachillerato Anáhuac). 09/2004–06/2006 Academia Gauss. Director y profesor. Diseno ˜ de materiales didácticos, asesor´ıa escolar en matemáticas, f´ısica y qu´ımica principalmente, para todos los niveles académicos. 10/2006–12/2007 Ingeniat. Coordinador del a´ rea de matemáticas. Diseno ˜ de materiales didácticos de matemáticas, autor de libros de texto y traaticas, Prec´ alculo, (nivel superior) Lecciones bajo: Fundamentos de Matem´ de Matem´ aticas (secundaria), Matem´ aticas (bachillerato).

Idiomas Espa˜ nol Inglés Alemán

nativo avanzado casi nada

Referencias Las siguientes personas están familiarizadas con mi desempeño escolar y profesional: Profr. Dr. Isaac Newton Supervisor de Tesis Monterrey, N.L., México.

Tel.: Email:

+32 (81) 55.55.55.50 [email protected]

Profr. Dr. Albert Einstein Supervisor de Investigació n Monterrey, N.L., Mé xico.

Tel.: Email:

+32 (81) 55.55.55.51 [email protected]

Profr. Dr. Carl F. Gauss Supervisor de Investigació n Monterrey, N.L., México.

Tel.: Email:

+32 (81) 55.55.55.52 [email protected]

Monterrey, N.L., México. 21 de diciembre de 2008.

176


3.3.8

3.3.8

600 P RIMOS

El siguiente código contiene tablas que incluyen los primeros 600 números primos y en las siguientes páginas el documento que éste arroja. LATEX 2ε \documentclass[12pt]{article} \usepackage[top=0.75in,bottom=0.75in,left=1in,right=1in]{geometry} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage{booktabs} \usepackage{color} % Fuentes tipográficas \usepackage[adobe-utopia]{mathdesign} \begin{document} \begin{center} {\huge \textcolor{blue}{Los primeros 600 números primos}} \begin{tabular}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}\toprule 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 \\ 31 & 37 & 41 & 43 & 47 & 53 & 59 & 61 & 67 & 71 \\ 73 & 79 & 83 & 89 & 97 & 101 & 103 & 107 & 109 & 113 \\ 127 & 131 & 137 & 139 & 149 & 151 & 157 & 163 & 167 & 173 \\ 179 & 181 & 191 & 193 & 197 & 199 & 211 & 223 & 227 & 229 \\\midrule 233 & 239 & 241 & 251 & 257 & 263 & 269 & 271 & 277 & 281 \\ 283 & 293 & 307 & 311 & 313 & 317 & 331 & 337 & 347 & 349 \\ 353 & 359 & 367 & 373 & 379 & 383 & 389 & 397 & 401 & 409 \\ 419 & 421 & 431 & 433 & 439 & 443 & 449 & 457 & 461 & 463 \\ 467 & 479 & 487 & 491 & 499 & 503 & 509 & 521 & 523 & 541 \\ \midrule 547 & 557 & 563 & 569 & 571 & 577 & 587 & 593 & 599 & 601 \\ 607 & 613 & 617 & 619 & 631 & 641 & 643 & 647 & 653 & 659 \\ 661 & 673 & 677 & 683 & 691 & 701 & 709 & 719 & 727 & 733 \\ 739 & 743 & 751 & 757 & 761 & 769 & 773 & 787 & 797 & 809 \\ 811 & 821 & 823 & 827 & 829 & 839 & 853 & 857 & 859 & 863 \\\midrule 877 & 881 & 883 & 887 & 907 & 911 & 919 & 929 & 937 & 941 \\ 947 & 953 & 967 & 971 & 977 & 983 & 991 & 997 & 1009 & 1013 \\ 1019 & 1021 & 1031 & 1033 & 1039 & 1049 & 1051 & 1061 & 1063 & 1069 \\ 1087 & 1091 & 1093 & 1097 & 1103 & 1109 & 1117 & 1123 & 1129 & 1151 \\ 1153 & 1163 & 1171 & 1181 & 1187 & 1193 & 1201 & 1213 & 1217 & 1223 \\\midrule 1229 & 1231 & 1237 & 1249 & 1259 & 1277 & 1279 & 1283 & 1289 & 1291 \\ 1297 & 1301 & 1303 & 1307 & 1319 & 1321 & 1327 & 1361 & 1367 & 1373 \\ 1381 & 1399 & 1409 & 1423 & 1427 & 1429 & 1433 & 1439 & 1447 & 1451 \\ 1453 & 1459 & 1471 & 1481 & 1483 & 1487 & 1489 & 1493 & 1499 & 1511 \\ 1523 & 1531 & 1543 & 1549 & 1553 & 1559 & 1567 & 1571 & 1579 & 1583 \\\midrule 1597 & 1601 & 1607 & 1609 & 1613 & 1619 & 1621 & 1627 & 1637 & 1657 \\ 1663 & 1667 & 1669 & 1693 & 1697 & 1699 & 1709 & 1721 & 1723 & 1733 \\ 1741 & 1747 & 1753 & 1759 & 1777 & 1783 & 1787 & 1789 & 1801 & 1811 \\ 1823 & 1831 & 1847 & 1861 & 1867 & 1871 & 1873 & 1877 & 1879 & 1889 \\ 1901 & 1907 & 1913 & 1931 & 1933 & 1949 & 1951 & 1973 & 1979 & 1987 \\\midrule 1993 & 1997 & 1999 & 2003 & 2011 & 2017 & 2027 & 2029 & 2039 & 2053 \\ 2063 & 2069 & 2081 & 2083 & 2087 & 2089 & 2099 & 2111 & 2113 & 2129 \\ 2131 & 2137 & 2141 & 2143 & 2153 & 2161 & 2179 & 2203 & 2207 & 2213 \\ 2221 & 2237 & 2239 & 2243 & 2251 & 2267 & 2269 & 2273 & 2281 & 2287 \\ 2293 & 2297 & 2309 & 2311 & 2333 & 2339 & 2341 & 2347 & 2351 & 2357 \\\midrule 2371 & 2377 & 2381 & 2383 & 2389 & 2393 & 2399 & 2411 & 2417 & 2423 \\ 2437 & 2441 & 2447 & 2459 & 2467 & 2473 & 2477 & 2503 & 2521 & 2531 \\ 2539 & 2543 & 2549 & 2551 & 2557 & 2579 & 2591 & 2593 & 2609 & 2617 \\ 2621 & 2633 & 2647 & 2657 & 2659 & 2663 & 2671 & 2677 & 2683 & 2687 \\ 2689 & 2693 & 2699 & 2707 & 2711 & 2713 & 2719 & 2729 & 2731 & 2741 \\ \bottomrule \end{tabular} \begin{tabular}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}\toprule 2749 & 2753 & 2767 & 2777 & 2789 & 2791 & 2797 2833 & 2837 & 2843 & 2851 & 2857 & 2861 & 2879 2909 & 2917 & 2927 & 2939 & 2953 & 2957 & 2963 3001 & 3011 & 3019 & 3023 & 3037 & 3041 & 3049 3083 & 3089 & 3109 & 3119 & 3121 & 3137 & 3163 3187 & 3191 & 3203 & 3209 & 3217 & 3221 & 3229 3259 & 3271 & 3299 & 3301 & 3307 & 3313 & 3319 3343 & 3347 & 3359 & 3361 & 3371 & 3373 & 3389 3433 & 3449 & 3457 & 3461 & 3463 & 3467 & 3469 3517 & 3527 & 3529 & 3533 & 3539 & 3541 & 3547

& & & & & & & & & &

2801 2887 2969 3061 3167 3251 3323 3391 3491 3557

& & & & & & & & & &

2803 2897 2971 3067 3169 3253 3329 3407 3499 3559

& & & & & & & & & &

2819 2903 2999 3079 3181 3257 3331 3413 3511 3571

\\ \\ \\ \\ \\\midrule \\ \\ \\ \\ \\\midrule


3.3. SESIÓN 13: PRIMEROS DOCUMENTOS EN LATEX 2ε 3581 & 3583 & 3659 & 3671 & 3733 & 3739 & 3823 & 3833 & 3911 & 3917 & 4001 & 4003 & 4073 & 4079 & 4153 & 4157 & 4241 & 4243 & 4327 & 4337 & \bottomrule \end{tabular}

3593 3673 3761 3847 3919 4007 4091 4159 4253 4339

& & & & & & & & & &

3607 3677 3767 3851 3923 4013 4093 4177 4259 4349

& & & & & & & & & &

3613 3691 3769 3853 3929 4019 4099 4201 4261 4357

& & & & & & & & & &

3617 3697 3779 3863 3931 4021 4111 4211 4271 4363

& & & & & & & & & &

3623 3701 3793 3877 3943 4027 4127 4217 4273 4373

\vfill \begin{flushright} \textcolor{blue}{Elaborado usando \LaTeXe}. \end{flushright} \end{document}


& & & & & & & & & &

3631 3709 3797 3881 3947 4049 4129 4219 4283 4391

& & & & & & & & & &

3637 3719 3803 3889 3967 4051 4133 4229 4289 4397

177 & & & & & & & & & &

3643 3727 3821 3907 3989 4057 4139 4231 4297 4409

\\ \\ \\ \\ \\\midrule \\ \\ \\ \\ \\

Los primeros 600 números primos 2 31 73 127 179

3 37 79 131 181

5 41 83 137 191

7 43 89 139 193

11 47 97 149 197

13 53 101 151 199

17 59 103 157 211

19 61 107 163 223

23 67 109 167 227

29 71 113 173 229

233 283 353 419 467

239 293 359 421 479

241 307 367 431 487

251 311 373 433 491

257 313 379 439 499

263 317 383 443 503

269 331 389 449 509

271 337 397 457 521

277 347 401 461 523

281 349 409 463 541

547 607 661 739 811

557 613 673 743 821

563 617 677 751 823

569 619 683 757 827

571 631 691 761 829

577 641 701 769 839

587 643 709 773 853

593 647 719 787 857

599 653 727 797 859

601 659 733 809 863

877 947 1019 1087 1153

881 953 1021 1091 1163

883 967 1031 1093 1171

887 971 1033 1097 1181

907 977 1039 1103 1187

911 983 1049 1109 1193

919 991 1051 1117 1201

929 997 1061 1123 1213

937 1009 1063 1129 1217

941 1013 1069 1151 1223

1229 1297 1381 1453 1523

1231 1301 1399 1459 1531

1237 1303 1409 1471 1543

1249 1307 1423 1481 1549

1259 1319 1427 1483 1553

1277 1321 1429 1487 1559

1279 1327 1433 1489 1567

1283 1361 1439 1493 1571

1289 1367 1447 1499 1579

1291 1373 1451 1511 1583

1597 1663 1741 1823 1901

1601 1667 1747 1831 1907

1607 1669 1753 1847 1913

1609 1693 1759 1861 1931

1613 1697 1777 1867 1933

1619 1699 1783 1871 1949

1621 1709 1787 1873 1951

1627 1721 1789 1877 1973

1637 1723 1801 1879 1979

1657 1733 1811 1889 1987

1993 2063 2131 2221 2293

1997 2069 2137 2237 2297

1999 2081 2141 2239 2309

2003 2083 2143 2243 2311

2011 2087 2153 2251 2333

2017 2089 2161 2267 2339

2027 2099 2179 2269 2341

2029 2111 2203 2273 2347

2039 2113 2207 2281 2351

2053 2129 2213 2287 2357

2371 2437 2539 2621 2689

2377 2441 2543 2633 2693

2381 2447 2549 2647 2699

2383 2459 2551 2657 2707

2389 2467 2557 2659 2711

2393 2473 2579 2663 2713

2399 2477 2591 2671 2719

2411 2503 2593 2677 2729

2417 2521 2609 2683 2731

2423 2531 2617 2687 2741

1

2749 2833 2909 3001 3083

2753 2837 2917 3011 3089

2767 2843 2927 3019 3109

2777 2851 2939 3023 3119

2789 2857 2953 3037 3121

2791 2861 2957 3041 3137

2797 2879 2963 3049 3163

2801 2887 2969 3061 3167

2803 2897 2971 3067 3169

2819 2903 2999 3079 3181

3187 3259 3343 3433 3517

3191 3271 3347 3449 3527

3203 3299 3359 3457 3529

3209 3301 3361 3461 3533

3217 3307 3371 3463 3539

3221 3313 3373 3467 3541

3229 3319 3389 3469 3547

3251 3323 3391 3491 3557

3253 3329 3407 3499 3559

3257 3331 3413 3511 3571

3581 3659 3733 3823 3911

3583 3671 3739 3833 3917

3593 3673 3761 3847 3919

3607 3677 3767 3851 3923

3613 3691 3769 3853 3929

3617 3697 3779 3863 3931

3623 3701 3793 3877 3943

3631 3709 3797 3881 3947

3637 3719 3803 3889 3967

3643 3727 3821 3907 3989

4001 4073 4153 4241 4327

4003 4079 4157 4243 4337

4007 4091 4159 4253 4339

4013 4093 4177 4259 4349

4019 4099 4201 4261 4357

4021 4111 4211 4271 4363

4027 4127 4217 4273 4373

4049 4129 4219 4283 4391

4051 4133 4229 4289 4397

4057 4139 4231 4297 4409

Elaborado usando L A TE X 2 .

2

180

3.3.9


3. 3. 9

F ORMULARIO DE CÁLCULO INFINITESIMAL

El siguie siguiente nte código código genera genera un formul formulari arioo de cálcul cálculoo infinites infinitesima imall (incluye (incluye difere diferenncial e integral) en una hoja tamaño oficio. \documentclass[10pt,landscape,legalpaper]{article} \documentclass[10pt,landscape,lega lpaper]{article} \usepackage[top=0.75in,bottom=0.25 \usepackage[top=0 .75in,bottom=0.25in,left=1in,right in,left=1in,right=1in]{geometry} =1in]{geometry} \usepackage{amsmath,amsfonts} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage{multicol} \usepackage{color} \usepackage{tikz} \usepackage{enumerate} % % Fuentes tipográficas % \usepackage{slantsc} \usepackage[sc]{mathpazo} \usepackage{pifont} % % Para los encab encabezad ezados os % \newcommand{\enc}[1]{ \textbf{\textcolor{blue}{#1}} } % \pagestyle{empty} % \begin{document} % \begin{multicols}{2} \begin{center} \enc{\Large Formulario para Cálculo Diferencial} \end{center} % \begin{center} \enc{\Lar \enc{ \Large ge Formu Formulario lario para Cálcu Cálculo lo Inte Integral} gral} \end{center} \end{multicols} % \vspace{2em} % \begin{multicols}{4} % % Form Formulari ulario o para Calculo Difer Diferencia encial l % \begin{enumerate}[i.] % Func Funciones iones algeb algebraica raicas s \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{dc}{dx}=0$ ac{dc}{dx}=0$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{dx}{dx}=1$ ac{dx}{dx}=1$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d(u+v)}{dx}=\ ac{d(u+v)}{dx}=\frac{du}{dx}+\fra frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$ c{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d(c\cdot ac{d(c\cdot v)}{dx}=c\,\frac v)}{dx}=c\,\frac{dv}{dx}$ {dv}{dx}$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d(u\cdot ac{d(u\cdot v)}{dx}=u\,\frac v)}{dx}=u\,\frac{dv}{dx}+v\,\frac {dv}{dx}+v\,\frac{du}{dx}$ {du}{dx}$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d(v^n)}{dx}=n ac{d(v^n)}{dx}=n v^{n-1}\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\ ac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) frac{u}{v}\right) = \frac{v\,\displaystyle\frac{du}{ \frac{v\,\displ aystyle\frac{du}{dx}-u\,\frac{dv} dx}-u\,\frac{dv}{dx}}{v^2}$ {dx}}{v^2}$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac ac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}\cdot\fra {dy}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}$ c{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac ac{dy}{dx}=\frac{1}{\displaystyle {1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}$ \frac{dx}{dy}}$ % Funciones trascendentes \item $\displaystyle\frac{d(\sin v)}{dx}= \cos v\,\frac{dv}{dx v\,\frac{dv}{dx}$ }$ \item $\displaystyle\frac{d(\cos $\displaystyle\frac{d(\cos v)}{dx}= - \sin v\,\frac{dv}{dx} v\,\frac{dv}{dx}$ $ \item $\displayst $\displaystyle\f yle\frac{ rac{d(\ta d(\tan n v)}{ v)}{dx}= dx}= \sec^2 \sec ^2 v\,\f v\,\frac{d rac{dv}{d v}{dx}$ x}$ \item $\displaystyle\frac{d(\cot $\displaystyle\frac{d(\cot v)}{dx}= - \csc^2 v\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displayst $\displaystyle\f yle\frac{ rac{d(\se d(\sec c v)}{ v)}{dx}= dx}= \sec v\,\tan v\,\frac{dv}{ v\,\frac{dv}{dx}$ dx}$ \item $\displaystyle\frac{d(\csc $\displaystyle\frac{d(\csc v)}{dx}= - \csc v\,\cot v\,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d(\arcsin ac{d(\arcsin v)}{dx}=\frac{1 v)}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\, }{\sqrt{1-v^2}}\,\frac{dv}{dx}$ \frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d(\arccos ac{d(\arccos v)}{dx}=\frac{v)}{dx}=\frac{-1}{\sqrt{1-v^2}}\ 1}{\sqrt{1-v^2}}\,\frac{dv}{dx}$ ,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d(\arctan ac{d(\arctan v)}{dx}=\frac{1 v)}{dx}=\frac{1}{1+v^2}\,\frac{d }{1+v^2}\,\frac{dv}{dx}$ v}{dx}$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d(\mbox{arcco ac{d(\mbox{arccot t } v)}{dx}=\frac{-1 v)}{dx}=\frac{-1}{1+v^2}\,\frac{d }{1+v^2}\,\frac{dv}{dx}$ v}{dx}$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d(\mbox{arcse ac{d(\mbox{arcsec c } v)}{dx}=\frac{1} v)}{dx}=\frac{1}{v\,\sqrt{v^2-1}} {v\,\sqrt{v^2-1}}\,\frac{dv}{dx}$ \,\frac{dv}{dx}$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d(\mbox{arccs ac{d(\mbox{arccsc c }v)}{dx}=\frac{ }v)}{dx}=\frac{-1}{v\,\sqrt{v^2-1}{v\,\sqrt{v^2-1}}\,\frac{dv}{dx 1}}\,\frac{dv}{dx}$ }$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d(\ln ac{d(\ln v)}{dx}=\frac{1} v)}{dx}=\frac{1}{v}\,\frac{dv}{dx {v}\,\frac{dv}{dx}$ }$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d(\log_a ac{d(\log_a v)}{dx}=\frac{\log_a e}{v}\,\frac{dv}{ e}{v}\,\frac{dv}{dx}$ dx}$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d(a^v)}{dx}=a ac{d(a^v)}{dx}=a^v\,\ln ^v\,\ln a\,\frac{dv}{dx a\,\frac{dv}{dx}$ }$ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d(e^v)}{dx}=e ac{d(e^v)}{dx}=e^v\,\frac{dv}{dx} ^v\,\frac{dv}{dx}$ $ \item $\displaystyle\fr $\displaystyle\frac{d(u^v)}{dx}=\ ac{d(u^v)}{dx}=\left(v\cdot left(v\cdot u^{v-1}+\ln u\cdot u^v\right)\,\frac u^v\right)\,\frac{dv}{dx}$ {dv}{dx}$ \end{enumerate} % % % Form Formulari ulario o para Cálculo Integral % \begin{enumerate}[i.] \item $\displaystyle\int\!(dv+dw) = \displaystyle\i \displaystyle\int\!dv nt\!dv + \displaystyle\in \displaystyle\int\!dw$ t\!dw$ \item $\displaystyle\int\!a\,dv = a\displaystyle\in a\displaystyle\int\!dv$ t\!dv$ \item $\displayst $\displaystyle\i yle\int\! nt\!{dx} {dx} = x + C$ \item $\displaystyle\int\!v^n\,{dv} $\displaystyle\int\!v^n\,{dv} = \displaystyle\frac{v^{n+1}}{n+1} \displaystyle\frac{v^{n+1}}{n+1} + C$ \item $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{ $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{dv}{v} dv}{v} = \ln |v| + C$ \item $\displaystyle\int\!a^v\,dv $\displaystyle\int\!a^v\,dv = \displaystyle\f \displaystyle\frac{a^v}{\ln rac{a^v}{\ln a} + C$ \item $\displaystyl $\displaystyle\in e\int\!e^ t\!e^v\,dv v\,dv = e^v + C$ \item $\displays $\displaystyle tyle\int\ \int\! ! \ln v\,{dv} v\,{dv} = v\,\ v\,\ln ln v - v + C$ \item $\displayst $\displaystyle\i yle\int\! nt\!\sin \sin v\,dv = -\cos v + C$ \item $\displayst $\displaystyle\i yle\int\! nt\!\cos \cos v\,dv = \sin v + C$ \item $\displayst $\displaystyle\i yle\int\! nt\!\sec^ \sec^2v 2v \,dv = \tan v + C$ \item $\displayst $\displaystyle\i yle\int\! nt\!\csc^ \csc^2v 2v \,dv = -\co -\cot t v + C$


3.3. SESIÓN 13: PRIMEROS DOCUMEN DOCUMENTOS TOS EN LATEX 2ε

181

\item $\disp $\displayst laystyle\i yle\int\! nt\!\sec \sec v\tan v \,dv = \sec v + C$ \item $\displayst $\displaystyle\i yle\int\! nt\!\sec \sec v \,dv = \ln \left(\sec \left(\sec v + \tan v\right) v\right) + C$ \item $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{dv}{a^ $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{dv}{a^2 2 - v^2} = \frac{1}{ \fra c{1}{2\,a} 2\,a}\,\l \,\ln\lef n\left(\fr t(\frac{a ac{a + v}{a - v}\r v}\right) ight) + C$ \item $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{dv}{a^ $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{dv}{a^2 2 + v^2} = \frac{1}{a}\,\arctan\left(\frac{ \frac{1}{a}\,\a rctan\left(\frac{v}{a}\right) v}{a}\right) + C$ \item $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{dv}{v^ $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{dv}{v^2 2 - a^2} = \frac{1}{ \fra c{1}{2\,a} 2\,a}\,\l \,\ln\lef n\left(\fr t(\frac{v ac{v - a}{v + a}\r a}\right) ight) + C$ \item $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{dv}{\s $\displaystyle\int\!\displaystyle\frac{dv}{\sqrt{a^2 qrt{a^2 - v^2}} = \arcsin \left(\frac{v}{a}\right) \left(\frac{v}{a}\right) + C$ \item $\displaystyle\in $\displaystyle\int\!\displaystyle\ t\!\displaystyle\frac{dv}{\sqrt{v frac{dv}{\sqrt{v^2 ^2 \pm a^2}}= \ln\left( \ln\ left(v+\sq v+\sqrt{v rt{v^2 ^2 \pm a^2} a^2}\righ \right) t) + C$ \item $\displaystyle\int\!\sqrt{a^2 $\displaystyle\int\!\sqrt{a^2 - v^2}\,dv = \displaystyle\frac{v}{2}\,\sqrt{ \displaystyle\f rac{v}{2}\,\sqrt{a^2 a^2 - v^2} + \frac{a^2}{2}\,\arcsin\left(\fra \frac{a^2}{2}\, \arcsin\left(\frac{v}{a}\right) c{v}{a}\right) + C$ \item $\displaystyle\int\!\sqrt{v^2 $\displaystyle\int\!\sqrt{v^2 \pm a^2}\,dv = \displaystyle\frac{v}{2}\,\sqrt{ \displaystyle\f rac{v}{2}\,\sqrt{v^2 v^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2}\,\ln\left(v+\sqrt{ \frac{a^2}{2}\, \ln\left(v+\sqrt{v^2 v^2 \pm a^2}\right) + C$ \item $\int\!u\,d $\int\!u\,dv v = u\cdo u\cdot t v - \int\ \int\!v\,d !v\,du$ u$ % % % \begin{center} \enc{Sustituciones \enc{Sustitucione s Trigonométricas Trigonométricas} } \end{center} \begin{dinglist}{51} \item $\sqrt{a^2 - u^2}\qquad\righ u^2}\qquad\rightarrow$ tarrow$ hágase hágas e \\$u = a\,\s a\,\sin in z\ri z\rightar ghtarrow row a\,\cos z$ \item $\sqrt{a^2 + u^2}\qquad\righ u^2}\qquad\rightarrow$ tarrow$ hágase hágas e \\$u = a\,\t a\,\tan an z\ri z\rightar ghtarrow row a\,\sec z$ \item $\sqrt{u^2 - a^2}\qquad\righ a^2}\qquad\rightarrow$ tarrow$ hágase hágas e \\$u = a\,\s a\,\sec ec z\ri z\rightar ghtarrow row a\,\tan z$ \end{dinglist} \end{enumerate} % \end{multicols} % \vfill % \textcolor{blue}{Elaborado \textcolor{blue}{ Elaborado usando \LaTeXe.} \hfill \textcolor{blue}{Profr. \textcolor{blue}{ Profr. Efraín Soto Apolinar.} % \end{document}

El documento que obtenemos es el que se muestra en la siguiente imagen: Formulario para Cálculo Diferencial

d(sec v ) dv = sec v tan v dx dx

i.

dc = 0 dx

xiv.

ii.

dx = 1 dx

d(csc v ) xv. = dx

iii.

d(u + v ) du dv = + dx dx dx

xvi.

iv.

d ( c v) dv = c dx dx

xvii.

v.

d ( u v) dv du = u + v dx dx dx

vi.

·

·

n)

d( v dx

d vii. dx

viii.

= nv n−1

dv dx

 u  = v dudx − u dvdx v2

v

dy dy dv = dx dv dx

·

x.

d(arcsin v ) = dx

dv √ 1 1− v2 dx d(arccos v) −1 dv = √ dx 1 − v2 dx

1 dv d(arctan v) = 1 + v2 dx dx

xix.

1 dv d(arccot v ) = 1 + v2 dx dx 1 v2

v

dv 1 dx

√ − −1 dv d(arccsc v ) = √ dx v v2 − 1 dx

−

dv sin v dx

xii.

d(tan v) dv = sec2 v dx dx

xiii.

d(cot v ) = dx

− csc2 v dv dx

xxiii.

d(loga v) log a e dv = dx v dx

xxiv.

d( a v ) dv = a v ln a dx dx

·



dv a2

·



xiv.

sec vdv = ln = ln (sec v + tan + tan v ) + C

− v2 =

1 ln 2a

 a + v  a

−v

+ C

 dv 1  v  + C xvi. = arctan a a a + v  dv 1  v − a  2

2

− a2 = 2 a ln v + a + C  v  + C dv xviii. √ = arcsin a a 2 − v2  dv    √ xix. = ln v + v2 ± a2 + C v2 ± a2 xvii.

v2



xx.

v

2

d( uv ) dv = v uv−1 + ln u uv dx dx



xv.

  

− v2 dv

  

± a2 dv

a2

=

v 2

 a − v

=

v 2

 v ± a

a2 v arcsin + C 2 a

xxi.



v2

a2

   ln v + v ± a + C 2   xxii. u dv = u · v − vd u 2

2

2

2

2

+

±

2

Sustituciones Trigonométricas

2

d ( ev ) dv xxv. = e v dx dx

xxvi.

v

v

−

d(arcsec v ) xx. = dx v

n+1

n

d(ln v) 1 dv = xxii. dx v dx

d(sin v) dv = cos v dx dx

d(cos v ) = xi. dx

−

     ii. a dv = a dv  iii. dx = x + C  v iv. v dv = + C n + 1 + 1  dv v. = ln | v| + C v  a + C vi. a dv = ln a  vii. e dv = e + C  viii. ln vdv = v ln v − v + C  ix. sin v dv = − cos v + C  x. cos vdv = sin = sin v + C  xi. sec vdv = tan = tan v + C  xii. csc vdv = − cot v + C  xiii. sec v tan vdv = sec = sec v + C 

i. ( dv + dw ) = dv + dw

dv csc v cot v dx

xviii.

xxi.

1 dy = ix. dx dx dy

Formulario para Calculo ´ Integral

√ 2

a´ gase a − u2 → hagase u = a sin z → a cos z √ → hágase agase a2 + u 2 u = a tan z → a sec z √ 2 2 u −a → hagase  a´ gase u = a sec z → a tan z 



Elaborado usando LATEX2 ε .

Profr. Efra´ın ın Soto Apolinar.

y también se puede descargar desde: http://www.scribd.com/Efrain_Soto_Apolinar


@

182


3. 3. 10

3.3.10

L ISTA DE E JERCICIOS

LATEX 2ε % Estructura Estructura en LaTeX2e LaTeX2e % % Lista Lista de Ejerci Ejercicio cios s % Elaborada Elaborada por Efraín Efraín Soto Apolinar. Apolinar. % para para el manual: manual: % LaTeX2 LaTeX2e e en 15 sesion sesiones. es. % 22 de noviem noviembre bre de 2008. 2008. % \documentclass[pdftex,twoside,12pt,a4paper]{article} % Sígnos Sígnos de espa&o espa&ol. l. \usepackage[ansinew]{inputenc} % Cambio Cambio los márgen márgenes es de la página página del docume documento nto \usepackage[left=2cm,top=1in,right=2.5cm \usepackage[left=2cm ,top=1in,right=2.5cm,bottom=1in]{geometr ,bottom=1in]{geometry} y} % para incluir fuentes tipograficas tipograficas con color \usepackage{color} \usepackag \usepackage{tik e{tikz} z} % para usar cyan!25 % Para Para las ecuaci ecuacione ones s \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} % para hacer listas enumeradas enumeradas \usepackage{enumerate} % para para usar usar varias varias column columnas as \usepackage{multicol} % -------------------------------------------------------% Encabezado Encabezados... s... % -------------------------------------------------------\usepackage{fancyhdr} \usepackage{fancyhdr } % paquete... % para para usar usar encabe encabezad zados os y pie de pagina pagina \pagestyle{fancy} \lhead{} \lhead{} % Encabezad Encabezado o de la izquierda izquierda \chead \chead{} {} % Encabe Encabezad zado o del centro centro \rhead{\te \rhead{\textcol xtcolor{bl or{blue}{M ue}{Matemá atemáticas ticas}} }} % Encabezado Encabezado de la derecha derecha \lfoot{\te \lfoot{\textcol xtcolor{bl or{blue}{E ue}{Ejerci jercicios} cios}} } % Pié de página página de la izquierda izquierda \cfoot{\sm \cfoot{\small{\ all{\textc textcolor{ olor{blue} blue}{\the {\thepage} page}}} }} % Pié de página página del centro centro \rfoot{\te \rfoot{\textcol xtcolor{bl or{blue}{Á ue}{Álgebr lgebra}} a}} %Pie de página página de la derecha derecha % Formato Formato del párrafo del documento documento... ... % Defino Defino que no quiero quiero que deje deje espaci espacio o en blanco blanco % al inicia iniciar r el primer primer renglón renglón de un nuevo nuevo párraf párrafo.. o... . \setlength{\parindent}{0pt} % Defino Defino el espacio espacio entre párrafos consecutivos consecutivos... ... \setlength{\parskip}{1ex} % -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------% Termina Termina el preámbulo preámbulo del documento documento % + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + % I M P O R T A N T E : % Si desea desea imprim imprimir ir las soluci solucione ones s de los ejerci ejercicio cios s % borre borre el signo signo de porcie porciento nto (%) % que está está en las líneas líneas inmedi inmediata atamen mente te despué después s % de la que tienen tienen el coment comentari ario: o: % Solución: Solución: % Es decir, decir, las que empieza empiezan n con: con: %\hfill\textcolor{blue}{ % + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + % Inicia Inicia el docume documento nto \begin{document} % El título título del artícu artículo lo centra centrado do y con formato formato especi especial. al... .. \begin{center} % el nombre nombre de la materi materia a tiene tiene fuente fuente tipográf tipográfica ica % \textsc{} \textsc{} que hace mayúsculas mayúsculas pequeñas.. pequeñas... . \textsc{Ma \textsc{Matemát temáticas} icas} \\% Nombre Nombre de la Materia Materia \textsl{Pr \textsl{Profr. ofr. Efraín Efraín Soto Apolinar.} Apolinar.} \end{center} % Incluy Incluyo o las instru instrucci ccione ones s de la lista lista de ejerci ejercicio cios. s. \hrule \textbf{Instrucciones:} \textit{Re \textit{Resuelv suelve e completa completa y correctam correctamente ente cada uno de los siguientes ejercicios.} \vspace{0.5em} \hrule % A T X 2ε en L A E 15 sesiones

3.3. SESIÓN 13: PRIMEROS DOCUMEN DOCUMENTOS TOS EN LATEX 2ε % Empiezan Empiezan los ejercicios ejercicios % \begin{enumerate}[1.] \item \item Resuelve Resuelve: : $7\,x $7\,x + 1 = 50$. 50$. % Solución: Solución: %\hfill\textcolor{blue}{$x %\hfill\textcolor{bl ue}{$x = 7$} % \item Resuelve: Resuelve: $\left\{ $\left\{ \setlength{\arraycolsep}{0.11111em} \begin{array}{rcrcl} 2\,x & + & y & = & 8\\ x & + & 2\,y & = & 7 \end{array} \right. $ % Solución: Solución: %\hfill\te %\hfill\textcol xtcolor{bl or{blue}{$ ue}{$x x = 3, y = 2$} % \ite \item m Resu Resuel elve ve: : $x^2 $x^2 + 7\,x 7\,x + 12 = 0$ % Solución: Solución: %\hfill\te %\hfill\textcol xtcolor{bl or{blue}{$ ue}{$x x = -4, x = -3$} % \item Calcula: Calcula: $\left(\di $\left(\display splaystyle style\frac \frac{x}{2 {x}{2} } - \frac{3\,y \frac{3\,y^2}{7 ^2}{7}\rig }\right)^2 ht)^2 = $ % Solución: Solución: %\hfill\textcolor{blue}{$\displaystyle\f %\hfill\textcolor{bl ue}{$\displaystyle\frac{x^2}{4} rac{x^2}{4} - \frac{3}{7}\,xy^2 % + \frac{ \frac{9\, 9\,y^4 y^4}{4 }{49}$ 9}$} } % \item \item Factoriz Factoriza: a: $x^5 - y^5 = $ % Solución: Solución: %\hfill\te %\hfill\textcol xtcolor{bl or{blue}{$ ue}{$(x (x - y)\left(x^ y)\left(x^4 4 + x^3y + x^2y^2 x^2y^2 + xy^3 + y^4\right) y^4\right)$} $} % \item \item Calcul Calcula: a: $\disp $\display laysty style\ le\fra frac{1 c{1}{x }{x + 1} - \frac{ \frac{x}{ x}{x x - 1} = $ % Solución: Solución: %\hfill\textcolor{blue}{$-\displaystyle\ %\hfill\textcolor{bl ue}{$-\displaystyle\frac{1+{x}^{2}}{{x}^{ frac{1+{x}^{2}}{{x}^{2}-1}$} 2}-1}$} % \item \item Resuel Resuelve: ve: $\disp $\display laysty style\ le\fra frac{1 c{1}{2 }{2 - x} - \frac{ \frac{1}{ 1}{2 2 + x} = 2$ % Solución: Solución: %\hfill\textcolor{blue}{$\sqrt{2}, %\hfill\textcolor{bl ue}{$\sqrt{2}, -\sqrt{2}$} % \item \item Resuelve Resuelve: : $6\,x^ $6\,x^2 2 - 19\,x 19\,x - 7 = 0$ % Solución: Solución: %\hfill\textcolor{blue}{$x %\hfill\textcolor{bl ue}{$x = \displaystyle-\fra \displaystyle-\frac{1}{3},\quad\frac{7 c{1}{3},\quad\frac{7}{2}$} }{2}$} % \item \item Compré Compré un sombre sombrero, ro, una camisa camisa, , un pantal pantalón ón y una corbat corbata. a. Por la camisa camisa, , el pantal pantalón ón y la corbat corbata a debía debía pagar pagar \$430. \$430.00 00 pesos. pesos. Por el sombre sombrero, ro, la corbat corbata a y el pantalón pantalón debía pagar \$400.00 \$400.00 pesos. pesos. Por el sombrero, sombrero, la camisa camisa, , y la corbat corbata a debía debía pagar pagar \$440. \$440.00 00 pesos. pesos. Por el sombre sombrero, ro, la camisa camisa y el pantal pantalón ón debía debía pagar pagar \$380.00 \$380.00 pesos. ¿Cuánto me costó cada prenda? prenda? % Solución: Solución: %\hfill\te %\hfill\textcol xtcolor{bl or{blue}{S ue}{Sombre ombrero: ro: \$120, \$120, camisa: camisa: \$150, \$150, corbata: corbata: \$110, \$110, % pantal pantalón: ón:\$1 \$170. 70.} } % \ite \item m Un terr terren eno o tien tiene e su larg largo o 3 metr metros os mayo mayor r a su anch ancho o y su área área es de 180 metros metros cuadrado cuadrados. s. ¿Cuále ¿Cuáles s son las medidas medidas del terren terreno? o? % Solución: Solución: %\hfill\textcolor{blue}{$15 %\hfill\textcolor{bl ue}{$15 \mbox{m}\times 12\mbox{m}$.} % \end{enumerate} \vfill \begin{flushright} \textb \textbf{F f{Fech echa a de entreg entrega:} a:} 31 de febrer febrero o de 2009. 2009. \end{flushright} \end{document}

En la siguiente página se muestra el documento que se obtiene con este código.


183

Matemáticas ´ ticas Matema

Profr. Efra´ın Soto Apolinar. Instrucciones: Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios.

1. Resuelve: 7 x + 1 = 50. 2. Resuelve:



3. Resuelve:

x

4. Calcula:



5. Factoriza: 6. Calcula: 7. Resuelve:

2 x + y = 8 x + 2 y = 7

2

+ 7 x + 12 = 0

3 y2 − 2 7

x

x

5



2

=

− y5 =

1 − x + 1

x x

−1

=

1 1 − =2 2 − x 2 + x

8. Resuelve: 6 x2 − 19 x − 7 = 0 9. Compr´ e un sombrero, una camisa, un pantal´ on y una corbata. Por la camisa, el pantalón y la corbata deb´ıa pagar $430.00 pesos. Por el sombrero, la corbata y el pantalón deb´ıa pagar $400.00 pesos. Por el sombrero, la camisa, y la corbata deb´ıa pagar $440.00 pesos. Por el sombrero, la camisa y el pantalón deb´ıa pagar $380.00 pesos. ¿Cuánto me costó cada prenda? 10. Un terreno tiene su largo 3 metros mayor a su ancho y su área es de 180 metros cuadrados. ¿Cu´ ales son las medidas del terreno?

Fecha de entrega: 31 de febrero de 2009.

Ejercicios

1

´ Algebra


3.3.11

L ETREROS

Muy frecuentemente se requiere escribir un anuncio por alguna razón. En el siguiente documento se define la instrucción letrero que requiere de un argumento, que consiste en el contenido del letrero. LATEX 2ε \documentclass[landscape]{article} % \usepackage[top=1in,bottom=1in,left=1in,right=1in]{geometry} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage{color} \usepackage{tikz} % Fuentes tipográficas... \usepackage[adobe-utopia]{mathdesign} \pagestyle{empty} % \newcommand{\letrero}[1]{ \begin{tikzpicture}[remember picture,overlay] \node [scale=8,text width=15cm] at (current page.center) { \begin{center} #1 \end{center} }; \end{tikzpicture} } % \begin{document} % \letrero{ Aquellos que hacen \\ el peor uso del \\ TIEMPO\\ Son los primeros \\ en quejarse que no \\ tienen suficiente } % \newpage % \letrero{ Hoy haré lo que \\ otros no están \\ dispuestos a hacer.\\ Así, mañana podré\\ lograr lo que pocos\\ pueden alcanzar... } % \end{document}

Aquellos que hacen el peor uso del TIEMPO Son los primeros en quejarse que no tienen suficiente L A TEX 2ε en 15 sesiones

185

Hoy haré lo que otros no están dispuestos a hacer. Así, mañana podré lograr lo que pocos pueden alcanzar...

3.3.11

186

3.3.12


3.3.12

T ARJETAS DE PRESENTACIÓN

Si usted requiere de elaborar una tarjeta de presentación para entregar a otras personas que pudieran estar interesadas en mantener contacto con usted, el siguiente código le puede ayudar. Solo basta que cambie los datos del autor por los suyos. LATEX 2ε % Código en LaTeX2e para generar % tarjetas de presentación. % Autor: Efraín Soto Apolinar % Para el manual: % LaTeX2e en 15 sesiones. % \documentclass[letterpaper,twoside]{article} % \usepackage[top=1in,bottom=1in,left=0.5in,right=1in]{geometry} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage{color} \usepackage{tikz} \usepackage[adobe-utopia]{mathdesign} \usepackage{calc} % \pagestyle{empty} % \setlength{\parskip}{1ex} % \newcommand{\fuente}{ \fontsize{19}{20} \usefont{OT1}{pzc}{m}{n} \selectfont\small } % \newcommand{\loquehago}{ Autor de libros de matemáticas, \\ enseñanza efectiva de las ciencias\\ y diseño de materiales didácticos. } % \newcommand{\letrero}{ \begin{tikzpicture} \draw[blue,thick] (0,0) rectangle (8.9,5.0); \node at (1.375,3.125){ \includegraphics[width=2.5cm]{portadaEEM.jpg} }; \node [text width=8.5cm,rounded corners] at (4.25,2.65) { \begin{minipage}{2cm+1ex} \hspace{0.5ex} \end{minipage} \begin{minipage}{6cm-1ex} \begin{center} {\fuente~\\~\\} \textcolor{blue}{\textbf{Profr. Efraín Soto Apolinar}}\\ %\textsl{Ing. en Sistemas de Energía}\\ ~\\ \textsl{\loquehago} \end{center} \end{minipage} \begin{center} \begin{tabular}{c} \fuente Aprende a aprender y a enseñar matemáticas mejor\\ {\fuente Usando} {\footnotesize\LaTeXe} \fuente ~\\ ~\\ \textcolor{blue}{\textbf{Tel.}} 00.0000.0000 \hspace{7ex} \textcolor{blue}{\textbf{E.mail:}} \textit{[email protected]}\\ {\footnotesize\texttt{http://www.scribd.com/Efrain\_Soto\_Apolinar}} \end{tabular} \end{center}


3.3. SESIÓN 13: PRIMEROS DOCUMENTOS EN LATEX 2ε }; \end{tikzpicture} } % % Empieza el documento... % \begin{document} \letrero\hfill\letrero \vfill \letrero\hfill\letrero \vfill \letrero\hfill\letrero \vfill \letrero\hfill\letrero \end{document}

El documento consiste en una página que contiene 8 tarjetas de presentación, cada una de dimensiones 8.9 cm × 5.0 cm, como la que se muestra enseguida 2 :

Profr. Efraín Soto Apolinar

Autor de libros de matemáticas, enseñanza efectiva de las ciencias y diseño de materiales didácticos. Aprende a aprender y a ense nar ˜ matem aticas ´ mejor Usando L A TE X 2

Tel. 00.0000.0000

E.mail: [email protected]


Si usted no desea incluir la imagen en la tarjeta, basta ocultar el código que la inserta. En caso de que usted desee incluir una imagen de su preferencia, copie el archivo a la misma carpeta donde se encuentra el código fuente de su documento en L A TE X 2ε y cambie el nombre portadaEEM.jpg por el de su imagen.

2 La tarjeta mostrada está magnificada.


187

188



3.4. SESIÓN 14: PRESENTACIONES

189

3.4 S ESIÓN 14: P RESENTACIONES En esta sesión vamos a ver ejemplos de presentaciones diseñadas usando el paquete beamer. Este no es el único paquete que tiene LA TE X 2ε para esta tarea, pero es el preferido del autor. En cada ejemplo se muestra primero el código y después se incluye la presentación tal y como usted la verá.

3.4.1

I NSTRUCCIONES DE BEAMER

En esta sección vamos a conocer las instrucciones y ambientes más elementales del paquete beamer. Instrucciones:

• \frametitle Define el título de la diapositiva actual. • \framesubtitle Define el subtítulo de la diapositiva actual. • \author Define al autor de la presentación. • \title Define el título de la presentación. • \date Define la fecha de la exposición de la presentación. • \institute define la institución de filiación del expositor. • \pause Inserta una pausa. Crea una diapositiva con todo el contenido hasta ese punto. La siguiente diapositiva tendrá todo el contenido de la diapositiva actual.

• fragile Indica que la diapositiva puede contener instrucciones o caracteres especiales. Así es más flexible.

• \usetheme Define el formato de la diapositiva. • \usecolortheme Permite una combinación distinta de colores predefinida. También puede incluir cualquier otra instrucción de las que hemos estudiado, siempre que cargue los paquetes necesarios para cada caso. Ambientes:

• frame Sirve para crear una diapositiva. • block Sirve para crear un bloque de información. L A TEX 2ε en 15 sesiones

3.4

3.4.1

190


Usted puede ampliar esta lista consultando el manual del paquete beamer.

3.4.2

3.4.2

E STRUCTURA BÁSICA

El siguiente código corresponde a una estructura básica para una presentación. % % % % % % %

LATEX 2ε Estructura básica de Beamer Elaborada para el manual LaTeX2e en 15 sesiones por Efraín Soto Apolinar

\documentclass{beamer} \usepackage{color} \usepackage[ansinew]{inputenc} % % defino el tema % \usetheme{Antibes} \usecolortheme{dolphin} % % Definiciones % \title{Presentaciones en \LaTeXe} \subtitle{\LaTeXe\ en 15 sesiones} \date{16 de diciembre de 2008} \author{Efraín Soto Apolinar.} \institute{Instituto Cerro Azul} % + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \begin{document} % ----------------------------------------------% Diapositiva Inicial de la Presentación... % ----------------------------------------------\begin{frame} \maketitle \end{frame} % % Primera diapositiva... % \begin{frame}[fragile]{Titulo de la diapositiva} \begin{itemize} \item Esta es la primera diapositiva \item El ambiente \verb|frame| permite delimitar el contenido de cada diapositiva. \item Esta diapositiva no contiene subtítulo. \item Pero la siguiente sí. \end{itemize} \end{frame} % % Segunda diapositiva... % \begin{frame}[fragile]{Segunda Diapositiva}{Con subtítulo} \begin{itemize} \item Esta es la segunda diapositiva \item La instrucción \verb|\pause| permite mostrar una parte del contenido de la diapositiva.\pause \item Esta diapositiva contiene subtítulo. \item La siguiente contiene un bloque. \end{itemize} \end{frame} % % Tercera diapositiva... % \begin{frame}[fragile]{Tercera Diapositiva}{Con bloque} \begin{itemize} \item Esta es la tercera diapositiva



191

\item El siguiente bloque tiene información: \end{itemize} % \begin{block}{importante:} Esta presentación se realizó con el paquete \verb|beamer| de \LaTeXe. \end{block} \end{frame} % \end{document}

Las siguientes imágenes corresponden a la presentación generada con el código que acabamos de enlistar. Presentaciones en LATEX2 ε

AT X2 Presentaciones en L ε E

Titulo de la diapositiva

Presentaciones en LATEX 2ε LATEX 2ε en 15 sesiones Efra´ın Sot o Ap olinar.

Esta es la primera diapositiva El ambiente frame permite delimitar el contenido de cada diapositiva. Esta diap ositiva no contiene subt´ıtulo.

Instituto Cerro Azul

Pero la siguie nte s´ı.

16 de diciembre de 2008

Presentaciones en LATEX2 ε

AT X2 Presentaciones en L ε E

Segunda Diapositiva

Tercera Diapositiva

Con subt´ıtulo

Con bloque

Esta es la segunda diapositiva

Esta es la tercera diapositiva

La instrucci´ on \pause permite mostrar una parte del contenido de la diapositiva.

El siguiente bloque tiene informaci´ on:

Esta diapositiva contiene subt´ıtulo.

importante:

La siguiente contiene un bloque.

Esta presentaci´ on se realiz´ o con el paquete beamer de LATEX 2ε .

3.4.3 3.4.3

E JEMPLO SENCILLO

Ahora vamos a elaborar un ejemplo que incluya ecuaciones. LATEX 2ε % % Estructura básica de Beamer % % Elaborada para el manual % LaTeX2e en 15 sesiones % % por Efraín Soto Apolinar % \documentclass{beamer} \usepackage{color} \usepackage[ansinew]{inputenc} % % Defino el tema % \usetheme{warsaw} % Cambio el tema (Varsovia)


192

LATEX 2ε intermedio \usecolortheme{orchid} % Colores del tema (Orquidea) % % Definiciones % \title{Productos notables} \subtitle{Álgebra elemental} \date{16 de diciembre de 2008} \author{Efraín Soto Apolinar.} \institute{Instituto Cerro Azul} % + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \begin{document} % ----------------------------------------------% Diapositiva Inicial de la Presentación... % ----------------------------------------------\begin{frame} \maketitle \end{frame} % % Primera diapositiva... % \begin{frame}{¿Qué es un producto notable?} \begin{block}{Producto notable} Es una operación con resultado evidente de manera que podamos conocer su resultado con solo ver la expresión. \end{block} % \begin{itemize} \item Por ejemplo, % \begin{equation*} 10^6 = 1’000,000 \end{equation*} es un producto notable: no necesitas realizar la operación directamente. \end{itemize} \end{frame} % % Segunda diapositiva... % \begin{frame}{Productos notables} Los siguientes son los productos notables más comunes: \begin{itemize} \item Binomio al cuadrado: $(x + y)^2 = x^2 + 2\,xy + y^2$ \item Binomio al cubo: $(x + y)^3 = x^3 + 3\,x^2y + 3\,xy^2 + y^3$ \item Producto conjugado: $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$ \item Producto de binomios con término comun: \begin{equation*} (x + m)(x + n) = x^2 + (m + n)\,x + m\cdot n \end{equation*} \end{itemize} \end{frame} % % Tercera diapositiva... % \begin{frame}{¿Para qué sirven?} \begin{itemize} \item Calcula la siguiente suma: \begin{equation*} \displaystyle \frac{749}{1498} + \frac{853}{1706} = \pause \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \end{equation*} \end{itemize}\pause \alert{\textbf{Moraleja:}} ¡Simplifica primero! \end{frame} % % % \begin{frame}{Ejemplo de aplicación:} \begin{block}{Calcula:} \begin{eqnarray*} (\textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{y})^2 &=&



193

\textcolor{red}{x}^2 + 2\,\textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{y} + \textcolor{blue}{y}^2\\ (\textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{2})^2 &=& \pause (\textcolor{red}{x})^2 + \pause 2\,(\textcolor{red}{x})(\textcolor{blue}{2}) + \pause (\textcolor{blue}{2})^2\\\pause &=& x^2 + 4\,x + 4 \end{eqnarray*} \end{block} \end{frame} % % % \end{document}

Y la presentación queda como se muestra en las siguientes imágenes3 : ¿Qué es un prod ucto n otable?

Productos notables ´ Algebra elemental Efra´ın Sot o Ap olinar.

Producto notable Es una operaci´ on con resultado evidente de manera que podamos conocer su resultado con solo ver la expresión. Por ejemplo, 106 = 1 000 000 

,

Instituto Cerro Azul

16 de diciembre de 2008

Efra´ ın Soto Apolinar.

es un producto notable: no necesitas realizar la operación directamente.

Productos notables

Productos notables


Productos notables

¿Para qué si rven?

Los siguientes son los productos notables más comunes: Binomio al cuadrado: ( x + y )2 = x 2 + 2 xy + y 2

Calcula la siguiente suma:

Binomio al cubo: ( x + y )3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3 Producto conjugado: ( x + y )(x − y ) = x 2 − y 2

749 853 1 1 + = + = 1 1498 1706 2 2

Producto de binomios con t´ ermino comun: (x + m )(x + n ) = x 2 + (m + n ) x + m · n


Moraleja: ¡Simplifica primero!

Productos notables


Ejemplo de aplicación:

Calcula: (x + y )2 =

2 x

+ 2 x y + y 2

(x + 2)2 = (x )2 + 2 (x )(2) + (2)2 =

2 x


+ 4 x + 4

Productos notables

3 No se incluyen todas las diapositivas generadas por L A T X 2

E


ε

.

Productos notables

194

3.4.4


3.4.4

E JEMPLO CON GRÁFICAS

El siguiente código incluye algunas gráficas generadas con el paquete tikz. El documento se generó a partir de un ejemplo de la referencia [7], escrito por el autor de este manual. % % % % % % % % % % % % %

LATEX 2ε Estructura básica de Beamer Elaborada para el manual LaTeX2e en 15 sesiones por Efraín Soto Apolinar Este material fue extraído del libro Matemáticas para Bachillerato Primer Semestre del mismo autor.

\documentclass[spanish,10pt]{beamer} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage{color} \usepackage{pifont} \usepackage{hyperref} \usepackage{tikz} \usepackage{times} \rmfamily %\usepackage[absolute,overlay]{textpos} %\usepackage{animate} \usetikzlibrary{arrows} \tikzstyle{block}=[draw opacity=0.7,line width=1.4cm] % % formato de fuente para ENCabezados % \newcommand{\enc}[1]{ \textcolor{blue}{\textbf{#1}} } \title{Sistemas de Ecuaciones Lineales} \subtitle{Solución por el Método Gráfico} \date{11 de julio de 2008} \author{Efraín Soto Apolinar} % \subject{Sistemas de Ecuaciones Lineales} \usetheme{Warsaw} % Tema de esta presentación \usecolortheme{whale} % Colores para la presentación % \begin{document} % % % ----------------------------------------------% Diapositiva Inicial de la Presentación... % ----------------------------------------------\begin{frame} \maketitle \end{frame} % \section{Sistemas de Ecuaciones lineales} % \subsection{Interpretación Geométrica} % \begin{frame}{Introducción} \begin{itemize} \item Una ecuación lineal con dos variables puede escribirse en forma de una función. \begin{equation*} a\,x + b\,y = k \end{equation*}


3.4. SESIÓN 14: PRESENTACIONES \item \item Para eso debemos debemos despejar despejar la variable variable $y$\pause: $y$\pause: \fbox{ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{equation*} y = \displayst \displaystyle\f yle\frac{k rac{k - a\,x}{b} a\,x}{b} \end{equation*} \end{minipage} }\pause \item \item Esta Esta funció función n nos ayuda ayuda a calcul calcular ar un valor valor de $y$ una vez que nosotros nosotros conozcam conozcamos os un valor valor de $x$. $x$. \end{itemize} \end{frame} \begin{frame}{Ejemplo} \begin{block}{Problema} Resuelve Resuelve el siguiente siguiente S.E.L. por el método método gráfico: gráfico: $$ \setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} x &-& y &=& 2\\ x &+& &+& 2\,y 2\,y &=& 11 \end{array} $$ \end{block}\pause \begin{itemize} \item Para graficar graficar las ecuaciones ecuaciones, , primero primero debemos debemos despejar despejar $y$: \pause \begin{eqnarray*} y &=& &=& x - 2\\\ 2\\\pa paus use e y &=& \displayst \displaystyle\f yle\frac{1 rac{11 1 - x}{2} x}{2} \end{eqnarray*} \item Ahora necesitamo necesitamos s encontrar encontrar dos puntos puntos para cada cada una de las rectas. rectas. \end{itemize} \end{frame} % % % \begin{frame}{Ejemplo} \begin{itemize} \item Primero Primero encontramo encontramos s dos puntos puntos (\textcolo (\textcolor{red r{red}{$A$ }{$A$} } y \textcolor \textcolor{red} {red}{$B$} {$B$}) ) para la primera primera recta y después después otros dos (\textcolo (\textcolor{blu r{blue}{$C e}{$C$} $} y \textcolor \textcolor{blue {blue}{$D$ }{$D$}) }) para la otra. \item \item Para Para esto, esto, vamos vamos a sustit sustituir uir valore valores s para para $x$ y calcul calculamo amos s el valor valor de $y$ que le correspon corresponden.\ den.\pause pause \item \item Despué Después s de tener tener los puntos puntos por donde pasa cada cada recta, recta, las graficamos...\pause \end{itemize} \begin{center} \begin{minipage}{0.2\linewidth} \begin{center} \rule{3.5cm}{2pt}\\ \begin{tabular}{clr} \enc{Punto} & \textcolor{red}{$x$} & \textcolor{blue}{$y$}\\\hline \textcolor \textcolor{red} {red}{$A$} {$A$} & 3 & \pause1 \pause1 \\ \textcolor \textcolor{red} {red}{$B$} {$B$} & 7 & \pause5 \pause5 \\ \textcolor \textcolor{blue {blue}{$C$ }{$C$} } & 3 & \pause4 \pause4 \\ \textcolor \textcolor{blue {blue}{$D$ }{$D$} } & 7 & \pause2 \pause2 \\ \end{tabular}\\ \rule{3.5cm}{2pt} \end{center} \end{minipage} \hfill\pause \begin{minipage}{0.75\linewidth} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \draw[colo \draw[color=gra r=gray,loo y,loosely sely dotted] dotted] (0,0) (0,0) grid (8,6); (8,6); % Dibujo Dibujo los ejes.. ejes... . % Eje x \draw[thick,->] (-0.5,0)--(8.5,0) node[right] {$x$}; \forea \foreach ch \x/\xt \x/\xtext ext in {1/1, {1/1, 2/2, 2/2, 3/3, 3/3, 4/4, 4/4, 5/5, 5/5, 6/6, 6/6, 7/7, 7/7, 8/8} 8/8} \draw[shift={(\x,0)}] \draw[shift={(\x,0)} ] (0pt,2pt)--(0pt,-2 (0pt,2pt)--(0pt,-2pt) pt) node[below] {$\xtext$}; % Eje y \draw[thick,->] (0,-0.5)--(0,6.5) node[above] {$y$};


195

196

LATEX 2ε intermedio \forea \foreach ch \y/\yt \y/\ytext ext in {1/1, {1/1, 2/2, 2/2, 3/3, 3/3, 4/4, 4/4, 5/5, 5/5, 6/6} 6/6} \draw[shift={(0,\y)}] \draw[shift={(0,\y)} ] (2pt,0pt)--(-2pt,0 (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) pt) node[left] {$\ytext$}; % \pause \draw[red, \draw[red, fill=red] fill=red] (3,1) circle circle (1.5pt) (1.5pt) node[above node[above] ] {$(3,1)$}; {$(3,1)$};\paus \pause e \draw[red, \draw[red, fill=red] fill=red] (7,5) circle circle (1.5pt) (1.5pt) node[above node[above] ] {$(7,5)$}; {$(7,5)$};\paus \pause e \draw[thic \draw[thick,red k,red,<->] ,<->] (1,-1) (1,-1) -- (8,6);\pa (8,6);\pause use \draw[blue \draw[blue, , fill=blue] fill=blue] (3,4) (3,4) circle circle (1.5pt) (1.5pt) node[above node[above] ] {$(3,4)$} {$(3,4)$};\pau ;\pause se \draw[blue \draw[blue, , fill=blue] fill=blue] (7,2) (7,2) circle circle (1.5pt) (1.5pt) node[above node[above] ] {$(7,2)$} {$(7,2)$};\pau ;\pause se \draw[thic \draw[thick,blu k,blue,<-> e,<->] ] (-1,6) (-1,6) -- (9,1); (9,1); % \end{tikzpicture} \end{center} \end{minipage} \end{center} \end{frame} % % % \begin{frame}{Solución} \begin{itemize} \item \item Este Este S.E.L. S.E.L. tiene tiene soluci solución ón única, única, porque porque al grafic graficar ar cada cada una de las ecuaciones, ecuaciones, obtenemos obtenemos dos rectas rectas que no son paralelas.\pau paralelas.\pause se \item \item La soluci solución ón está está repres represent entada ada por el punto punto de inters intersecc ección ión de las rectas rectas \begin{block}{Solución} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \draw[colo \draw[color=gra r=gray,loo y,loosely sely dotted] dotted] (0,0) (0,0) grid (8,6); (8,6); % Dibujo Dibujo los ejes... ejes... \draw[thick,->] (-0.5,0)--(8.5,0) node[right] {$x$}; \forea \foreach ch \x/\xt \x/\xtext ext in {1/1, {1/1, 2/2, 2/2, 3/3, 3/3, 4/4, 4/4, 5/5, 5/5, 6/6, 6/6, 7/7, 7/7, 8/8} 8/8} \draw[shift={(\x,0)}] \draw[shift={(\x,0)} ] (0pt,2pt)--(0pt,-2 (0pt,2pt)--(0pt,-2pt) pt) node[below] {$\xtext$}; \draw[thick,->] (0,-0.5)--(0,6.5) node[above] {$y$}; \forea \foreach ch \y/\yt \y/\ytext ext in {1/1, {1/1, 2/2, 2/2, 3/3, 3/3, 4/4, 4/4, 5/5, 5/5, 6/6} 6/6} \draw[shift={(0,\y)}] \draw[shift={(0,\y)} ] (2pt,0pt)--(-2pt,0 (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) pt) node[left] {$\ytext$}; % \draw[red, \draw[red, fill=red] fill=red] (3,1) circle circle (1.5pt) (1.5pt) node[above node[above] ] {$(3,1)$}; {$(3,1)$}; \draw[red, \draw[red, fill=red] fill=red] (7,5) circle circle (1.5pt) (1.5pt) node[above node[above] ] {$(7,5)$}; {$(7,5)$}; \draw[thic \draw[thick,red k,red,<->] ,<->] (1,-1) (1,-1) -- (8,6); (8,6); % \draw[blue \draw[blue, , fill=blue] fill=blue] (3,4) (3,4) circle circle (1.5pt) (1.5pt) node[above node[above] ] {$(3,4)$} {$(3,4)$}; ; \draw[blue \draw[blue, , fill=blue] fill=blue] (7,2) (7,2) circle circle (1.5pt) (1.5pt) node[above node[above] ] {$(7,2)$} {$(7,2)$}; ; \draw[thic \draw[thick,blu k,blue,<-> e,<->] ] (-1,6) (-1,6) -- (9,1); (9,1); % \draw[cyan \draw[cyan, , fill=cyan] fill=cyan] (5,3) (5,3) circle circle (1.5pt) (1.5pt) node[above node[above] ] {$(5,3)$} {$(5,3)$}; ; \end{tikzpicture} \end{center} \end{block}\pause \item \textbf{\textcolor{blue}{Solución:}} \textbf{\textcolor{blue}{Solución:}} $x=5$, $y=3$. \end{itemize} \end{frame} % % % \begin{frame}{Final} \begin{center} \fcolorbox{gray!25}{gray!25}{ \begin{minipage}{0.75\linewidth} \begin{center} {\Huge \textcolor \textcolor{blue {blue}{¿Qu }{¿Quién ién NO tiene preguntas preguntas?} ?} } \end{center} \end{minipage} } \end{center} \end{frame} \end{document}

Las siguientes imágenes muestran la presentación. A T X 2ε en L A E 15 sesiones


197 ´ Introduccion

Sistemas de Ecuaciones Lineales

´ lineal con dos variables puede escribirse en forma Una ecuacion ´ de una funcion. + b y = = k a x +

´ por el Metodo ´ ´ Solución Soluci Grafico

Para eso debemos despejar la variable y variable y ::

Efra´ın Soto Apol inar

= y =

Esta función on nos ayuda a calcular un valor de y una y una vez que nosotros conozcamos un valor de x de x ..

11 de julio de 2008

Efra´ın ın Soto Apolinar

k − a x b

Sistemasde EcuacionesLineales


Ejemplo


Ejemplo Primero encontramos dos puntos (A ( A y B y B ) para la primera recta y despu´ despues e´ s otros dos (C (C y y D ) para la otra.

Problema

Para esto, vamos a sustituir valores para x y x y calculamos el valor de y de y que que le corresponden.

´ Resuelve el siguiente S.E.L. por el m etodo grafico: a´ fico:

´ de tener los puntos por donde pasa cada recta, las Despu´ Despues graficamos...

= 2 − y = x − + 2 y = = 11 x +

y Para graficar las ecuaciones, primero debemos despejar y despejar y :: y = y =

− 2 x − 11 − x 2

Punto

A B C D

Ahora necesitamos encontrar dos puntos para cada una de las rectas.

x 3 7 3 7

y 1 5 4 2

6 5 4 3 2 1

(7 5) ,

(3 4) ,

(7 2) ,

(3 1) ,

1 2 3 4 5 6 7 8 Efraın Efra´ ıń Soto Apolinar


Efraın Efra´ ıń Soto Apolinar

´ Solucion

x


Final

´ unica, Este S.E.L. tiene soluci on u´ nica, porque al graficar cada una de las ecuaciones, obtenemos dos rectas que no son paralelas. ´ esta´ representada por el punto de intersecci on ´ de La solucion las rectas ´ Solución Soluci

´ NO tiene ¿Quien ¿Qui´ preguntas?

y 6 5 4 3 2 1

(7 5) ,

(3 4) ,

(5 3) ,

(7 2) ,

(3 1) ,

1 2 3 4 5 6 7 8

x

´ x = 5, y 5, y = 3. Solucion: Efra´ın ın Soto Apolinar




Esta presentación puede descargarse desde:

@


3. 4. 5

R EGRESIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA CUADRÁTICA

El último ejemplo corresponde a una presentación que elaboré para una exposición en la materia simulación de sistemas durante mis estudios de maestría. LATEX 2ε

\documentclass[spanish,10pt]{beamer} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage{color} \usepackage{hyperref} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{tikz} \usepackage{colortbl} \usepackage{fancyvrb} \usepackage{booktabs}


3.4.5

198


% Defino Defino el format formato o para para el código código... ... \DefineVerbatimEnvironment{codcpp}{Verbatim} {fontfamily=courier, frame=single,framer frame=single,framerule=2pt,rulecolor=\c ule=2pt,rulecolor=\color{cyan!50}, olor{cyan!50}, fontsize=\footnotesize} % \newcommand{\dedx}[1]{ \displaystyle\frac{dE}{d#1} } % % % \title{Reg \title{Regresió resión n lineal lineal y cuadrátic cuadrática} a} \subject{R \subject{Regres egresión ión lineal lineal y cuadrátic cuadrática} a} \subtitle{Pronósticos} \date{ \date{21 21 de marzo marzo de 2008} 2008} \author{Ef \author{Efraín raín Soto Apolinar.} Apolinar.} % \institute {Programa {Programa de Posgrado Posgrado en Ingeniería Ingeniería de Sistemas\\ Sistemas\\ FIME FIME -- UANL} UANL} % \usetheme{Rochester} \usecolortheme{beaver} \useoutertheme{smoothtree} % + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \begin{document} % - - - - - - - - - - - - - \begin{frame} \maketitle \end{frame} % \begin{frame}\frametitle{Índice} \tableofcontents \end{frame} % \section{R \section{Regres egresión ión lineal lineal y cuadrátic cuadrática} a} % \begin{frame}{Fundamentos \begin{frame}{Fundam entos matemáticos} \begin{itemize} \item \item Este Este método método es muy utiliz utilizado ado. . \item Pronostica Pronostica solamente solamente casos lineales lineales o cuadrático cuadráticos. s. \item Interpola Interpolación ción Vs. Extrapolac Extrapolación. ión. \end{itemize} \end{frame} % \section{Regresión lineal} % \begin{frame}{Fundamentos \begin{frame}{Fundam entos matemáticos}{Deduc matemáticos}{Deducción} ción} \begin{itemize} \item Conocemos Conocemos $n$ datos $(x_i,y_i)$. $(x_i,y_i)$. \item \item Querem Queremos os encont encontrar rar la recta recta que mejor se ajusta ajusta a los $n$ datos. datos. \item \item Supone Suponemos mos que la recta recta es: \begin{equation*} y = \bet \beta a + m\,x m\,x \end{equation*} donde donde $\beta $\beta$ $ y $m$ son paráme parámetro tros s a determ determina inar. r. \end{itemize} \end{frame} % \begin{frame}{Fundamentos \begin{frame}{Fundam entos matemáticos}{Deduc matemáticos}{Deducción} ción} \begin{itemize} \item Gráficame Gráficamente nte tenemos tenemos la siguiente siguiente situación: situación: \end{itemize} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale \begin{tikzpicture}[ scale =0.75] % Dibujo Dibujo una cuadrícula... cuadrícula... \draw[loos \draw[loosely ely dotted, dotted, color=gray color=gray] ] (0,0) grid (7,6); (7,6); % Dibujo Dibujo los ejes... ejes... \draw[thic \draw[thick,->, k,->,blue] blue] (-0.25,0) (-0.25,0)--(7. --(7.5,0) 5,0) node[right node[right] ] {$x$}; {$x$}; % Eje x \forea \foreach ch \x/\xt \x/\xtext ext in {1/1, {1/1, 2/2, 2/2, 3/3, 3/3, 4/4, 4/4, 5/5, 5/5, 6/6, 6/6, 7/7} 7/7} \draw[shift={(\x,0)}] \draw[shift={(\x,0)} ] (0pt,2pt)--(0pt,-2 (0pt,2pt)--(0pt,-2pt) pt) node[blue,below] {$\xtext$}; % \draw[thic \draw[thick,->, k,->,blue] blue] (0,-0.25) (0,-0.25)--(0, --(0,6.5) 6.5) node[right node[right] ] {$y$}; {$y$}; % Eje y


3.4. SESIÓN 14: PRESENTACIONES \foreach \y/\ytext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) node[blue,left] {$\ytext$}; \draw[red,fill = red] (1,0.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (2,2.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (3,2.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (4,4.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (5,3.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (6,6.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (7,5.5) circle (1.5pt); \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} % \begin{frame}{Fundamentos matemáticos}{Deducción} \begin{itemize} \item Gráficamente tenemos la siguiente situación: \end{itemize} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale =0.75] % Dibujo una cuadrícula... \draw[loosely dotted, color=gray] (0,0) grid (7,6); % Dibujo los ejes... \draw[thick,->,blue] (-0.25,0)--(7.5,0) node[right] {$x$}; % Eje x \foreach \x/\xtext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6, 7/7} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt)--(0pt,-2pt) node[blue,below] {$\xtext$}; \draw[thick,->,blue] (0,-0.25)--(0,6.5) node[right] {$y$}; % Eje y \foreach \y/\ytext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) node[blue,left] {$\ytext$}; \draw[red,fill = red] (1,0.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (2,2.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (3,2.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (4,4.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (5,3.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (6,6.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (7,5.5) circle (1.5pt); \draw[thick,cyan] (0,0.07) -- (7,5.946); % la recta de regresión... \node[cyan,right] at (0,5) {$y = \beta + m\,x$}; \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} % \begin{frame}{Fundamentos matemáticos}{Deducción} \begin{itemize} \item Gráficamente tenemos la siguiente situación: \end{itemize} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale =0.75] % Dibujo una cuadrícula... \draw[loosely dotted, color=gray] (0,0) grid (7,6); % Dibujo los ejes... \draw[thick,->,blue] (-0.25,0)--(7.5,0) node[right] {$x$}; % Eje x \foreach \x/\xtext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6, 7/7} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt)--(0pt,-2pt) node[blue,below] {$\xtext$}; \draw[thick,->,blue] (0,-0.25)--(0,6.5) node[right] {$y$}; % Eje y \foreach \y/\ytext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) node[blue,left] {$\ytext$}; \draw[red,fill = red] (1,0.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (2,2.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (3,2.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (4,4.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (5,3.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (6,6.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (7,5.5) circle (1.5pt); \draw[thick,cyan] (0,0.07) -- (7,5.946); % la recta de regresión... \node[cyan,right] at (0,5) {$y = \beta + m\,x$}; \draw[brown,thick] (5,3.5) -- (5,4.27) node [black,right,midway] {$\delta_i$}; \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} % \begin{frame}{Fundamentos matemáticos}{Deducción} \begin{itemize} \item Gráficamente tenemos la siguiente situación:


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LATEX 2ε intermedio \end{itemize} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale =0.75] % Dibujo una cuadrícula... \draw[loosely dotted, color=gray] (0,0) grid (7,6); % Dibujo los ejes... \draw[thick,->,blue] (-0.25,0)--(7.5,0) node[right] {$x$}; % Eje x \foreach \x/\xtext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6, 7/7} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt)--(0pt,-2pt) node[blue,below] {$\xtext$}; \draw[thick,->,blue] (0,-0.25)--(0,6.5) node[right] {$y$}; % Eje y \foreach \y/\ytext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) node[blue,left] {$\ytext$}; \draw[red,fill = red] (1,0.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (2,2.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (3,2.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (4,4.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (5,3.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (6,6.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (7,5.5) circle (1.5pt); \draw[thick,cyan] (0,0.07) -- (7,5.946); % la recta de regresión... \node[cyan,right] at (0,5) {$y = \beta + m\,x$}; %\draw[brown,thick] (5,3.5) -- (5,4.27); \draw[brown,thick] (5,3.5) -- (5,4.27) node [black,right,midway] {$\delta_i$}; \draw[brown,thick] (4,4) -- (4,3.43) node [black,left,midway] {$\delta_{j}$}; \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} % \begin{frame}{Fundamentos matemáticos}{Deducción} \begin{itemize} \item Gráficamente tenemos la siguiente situación: \end{itemize} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale =0.75] % Dibujo una cuadrícula... \draw[loosely dotted, color=gray] (0,0) grid (7,6); % Dibujo los ejes... \draw[thick,->,blue] (-0.25,0)--(7.5,0) node[right] {$x$}; % Eje x \foreach \x/\xtext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6, 7/7} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt)--(0pt,-2pt) node[blue,below] {$\xtext$}; \draw[thick,->,blue] (0,-0.25)--(0,6.5) node[right] {$y$}; % Eje y \foreach \y/\ytext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) node[blue,left] {$\ytext$}; \draw[red,fill = red] (1,0.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (2,2.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (3,2.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (4,4.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (5,3.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (6,6.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (7,5.5) circle (1.5pt); \draw[thick,cyan] (0,0.07) -- (7,5.946); % la recta de regresión... \node[cyan,right] at (0,5) {$y = \beta + m\,x$}; \draw[brown,fill = brown,thick] (5,3.5) rectangle (5.77,4.27); %,fill = brown \draw[brown,fill = brown,thick] (4,4) rectangle (3.43,3.43); %,fill = brown \draw[brown,thin] (5,3.5) -- (5,4.27) node [black,right,midway] {$\delta_i^2$}; \draw[brown,thin] (4,4) -- (4,3.43) node [black,left,midway] {$\delta_{j}^2$}; \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} % \begin{frame}{Fundamentos matemáticos}{Deducción} \begin{itemize} \item Defino el error total: \begin{eqnarray*} E &=& \sum\limits_{i=1}^{n}{\delta_i^2}\\ &=& \sum\limits_{i=1}^{n}{\left(y_i - \beta - m\,x_i\right)^2} \end{eqnarray*} \item Necesitamos encontrar los parámetros $\beta$ y $m$ que minimicen $E$. \end{itemize} \end{frame} % \begin{frame}{Fundamentos matemáticos}{Deducción} \begin{itemize} \item Derivamos respecto a los parámetros:


3.4. SESIÓN 14: PRESENTACIONES \begin{eqnarray*} \dedx{\beta} &=& -2\,\sum\limits_{i=1}^{n}{ \left(y_i - \beta - m\,x_i\right)}\\ \dedx{m} &=& -2\,\sum\limits_{i=1}^{n}{ \left(y_i - \beta - m\,x_i\right)\,x_i}\\ \end{eqnarray*} \item Para encontrar el mínimo igualamos a cero y resolvemos el S.E.L. para $\beta$ y $m$ \end{itemize} \end{frame} % \begin{frame}{Fundamentos matemáticos}{Deducción} \begin{itemize} \item El S.E.L. es: \begin{eqnarray*} n\,\beta + m\sum x_i & = & \sum y_i\\ \beta\,\sum x_i + m\,\sum x_i^2 & = & \sum x_i\,y_i \end{eqnarray*} \item Ahora resolvemos el S.E.L. para $\beta$ y $m$ \end{itemize} \end{frame} % \begin{frame}{Fundamentos matemáticos}{Deducción} \begin{itemize} \item La solución es: \begin{eqnarray*} m &=& \displaystyle\frac{n\,\sum{x_i\,y_i} - \sum{x_i}\,\sum{y_i}} {n\,\sum{x_i^2} - \left(\sum{x_i}\right)^2}\\ \beta &=& \displaystyle\frac{\sum{y_i} - m\,\sum{x_i}}{n} \end{eqnarray*} \end{itemize} \end{frame} % \section{Regresión cuadrática} % \begin{frame}{Fundamentos matemáticos}{Deducción} \begin{itemize} \item De manera semejante resolvemos el caso para encontrar la parábola de mejor ajuste. \end{itemize} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale = 0.75] % Dibujo una cuadrícula... \draw[loosely dotted, color=gray] (0,0) grid (7,6); % Dibujo los ejes... \draw[thick,->,blue] (-0.25,0)--(7.5,0) node[right] {$x$}; % Eje x \foreach \x/\xtext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6, 7/7} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt)--(0pt,-2pt) node[blue,below] {$\xtext$}; \draw[thick,->,blue] (0,-0.25)--(0,6.5) node[right] {$y$}; % Eje y \foreach \y/\ytext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) node[blue,left] {$\ytext$}; \draw[red,fill = red] (1,0.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (2,2.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (3,2.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (4,4.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (5,3.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (6,6.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (7,5.5) circle (1.5pt); \draw[thin,brown] plot[smooth] file{pma.txt}; % La parábola \node[dotted,cyan,right] at (0,5) {$y = \beta + m\,x$}; \node[brown,right] at (0,5.5) {$y = a\,x^2 + b\,x +c$}; \draw[thin,cyan] (0,0.07) -- (7,5.946); % la recta de regresión... \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} % \begin{frame}{Fundamentos matemáticos}{Deducción} \begin{itemize} \item De manera semejante resolvemos el caso para encontrar la parábola de mejor ajuste. \end{itemize} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale = 0.75] % Dibujo una cuadrícula...


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LATEX 2ε intermedio \draw[loosely dotted, color=gray] (0,0) grid (7,6); % Dibujo los ejes... \draw[thick,->,blue] (-0.25,0)--(7.5,0) node[right] {$x$}; % Eje x \foreach \x/\xtext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6, 7/7} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt)--(0pt,-2pt) node[blue,below] {$\xtext$}; \draw[thick,->,blue] (0,-0.25)--(0,6.5) node[right] {$y$}; % Eje y \foreach \y/\ytext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) node[blue,left] {$\ytext$}; \draw[red,fill = red] (1,0.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (2,2.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (3,2.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (4,4.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (5,3.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (6,6.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (7,5.5) circle (1.5pt); \draw[thick,brown] plot[smooth] file{pma.txt}; % la parábola \node[brown,right] at (0,5.5) {$y = a\,x^2 + b\,x +c$}; \draw[dotted,cyan] (0,0.07) -- (7,5.946); % la recta de regresión... \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} % \begin{frame}{Fundamentos matemáticos}{Deducción} \begin{itemize} \item En este caso el error total es: \begin{eqnarray*} E &=& \sum\limits_{i=1}^{n}{\delta_i^2}\\ &=& \sum\limits_{i=1}^{n}{\left(y_i - a\,x_i^2 - b\,x_i - c\right)^2} \end{eqnarray*} \item Necesitamos encontrar los parámetros $a,b$ y $c$ que minimicen $E$. \end{itemize} \end{frame} % \begin{frame}{Fundamentos matemáticos}{Deducción} \begin{itemize} \item Derivamos respecto a los parámetros: \begin{eqnarray*} \dedx{c} &=& -2\,\sum\limits_{i=1}^{n}{ \left(y_i - a\,x_i^2 - b\,x_i - c\right)}\\ \dedx{b} &=& -2\,\sum\limits_{i=1}^{n}{ \left(y_i - a\,x_i^2 - b\,x_i - c\right)\,x_i}\\ \dedx{a} &=& -2\,\sum\limits_{i=1}^{n}{ \left(y_i - a\,x_i^2 - b\,x_i - c\right)\,x_i^2} \end{eqnarray*} \item Para encontrar el mínimo igualamos a cero y resolvemos el S.E.L. para $a,b$ y $c$ \end{itemize} \end{frame} % \begin{frame}{Fundamentos matemáticos}{Deducción} \begin{itemize} \item El S.E.L. es: % \begin{eqnarray*} a\,\sum{x_i^2} + b\,\sum{x_i} + n\,c & = & \sum{y_i} \\ a\,\sum{x_i^3} + b\,\sum{x_i^2} + c\,\sum{x_i} & = & \sum{x_i\,y_i}\\ a\,\sum{x_i^4} + b\,\sum{x_i^3} + c\,\sum{x_i^2} & = & \sum{x_i^2\,y_i} \end{eqnarray*} % \item Ahora resolvemos el S.E.L. para $a,b$ y $c$ \end{itemize} \end{frame} % \begin{frame}{Fundamentos matemáticos}{Deducción} \begin{itemize} \item La solución es: \begin{eqnarray*} a &=& \displaystyle\frac{\left| \begin{array}{ccc} \sum{y_i} & \sum{x_i} & n \\ \sum{x_i\,y_i} & \sum{x_i^2} & \sum{x_i} \\ \sum{x_i^2\,y_i} & \sum{x_i^3} & \sum{x_i^2} \end{array}\right| }{


3.4. SESIÓN 14: PRESENTACIONES \left| \begin{array}{ccc} \sum{x_i^2} & \sum{x_i} & n \\ \sum{x_i^3} & \sum{x_i^2} & \sum{x_i} \\ \sum{x_i^4} & \sum{x_i^3} & \sum{x_i^2} \end{array}\right| }\\ b &=& \displaystyle\frac{\sum{x_i} \left(\sum{y_i} - a\,\sum{x_i^2}\right) - n\,\sum{x_iy_i} - a\,\sum{x_i^3}}{\left(\sum{x_i}\right)^2 - n\,\sum{x_i^2}}\\ c &=& \displaystyle\frac{\sum{y_i} - a\,\sum{x_i^2} - b\,\sum{x_i}}{n} \end{eqnarray*} \end{itemize} \end{frame} % \section{Implementación} % % + + + + [fragile] -> perimite escribir código con ambientes {Verbatim} % \begin{frame}[fragile]{Implementación}{Código del programa} \only{\scriptsize} \begin{codcpp} /* Nombre del archivo: CR.cpp Este programa pide las coordenadas (x,y) de n puntos y los graba en un archivo. Después lee estos datos y calcula a) la recta demejor ajuste, la cual se expresa como: y = beta + mx b) La parábola de mejor ajuste, que se expresa como: y = ax^2 + bx + c por el método de mínimos cuadrados. ------------------------------------------------------------------Autor: Efraín Soto Apolinar Email: [email protected] [email protected] Fecha de última Modificación: 21 de marzo de 2008 ------------------------------------------------------------------- */ \end{codcpp} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Implementación}{Código del programa} \only{\scriptsize} \begin{codcpp} #include // #include // #include // Funciones básicas para input/output #include // para usar: getche, getch #include // para grabar los datos generados... using namespace std; int main(void){ char respuesta, letra; // char file_name[15]; int i, j, n; // contadores double a, b, c; // parámetros para parábola... double m, beta; // parámetros para recta... double Da = 0, Dp = 0; double xi, yi; // datos double Sx, Sy, Sx2, Sx3, Sx4, Sxy, Sx2y; // sumas de datos... double Error_p = 0, Error_r = 0; double dip, dir, y_approxp, y_approxr; \end{codcpp} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Implementación}{Código del programa} \only{\scriptsize} \begin{codcpp} for(;;){ // for infinito... Sx = 0; Sy = 0; Sxy = 0; Sx2 = 0; Sx3 = 0; Sx4 = 0; Sx2y = 0; // Información sobre el programa... cout << "\n\nEste programa pide un grupo de datos "; cout << "\nque corresponden a las coordenadas de n";


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204

LATEX 2ε intermedio cout << "\npuntos en el plano, guarda esta información"; cout << "\nen un archivo y después lee esa información"; cout << "\npara encontrar la parábola de regresión"; cout << "\n\n\nPor favor, introduce las coordenadas de "; cout << "\nlos puntos conocidos, ingresando primero"; cout << "\nlacoordenada en x y después la coordenada en y"; cout << "\nCuando hayas terminado introduce el número "; cout << "\n1 000 000, pero sin espacios."; \end{codcpp} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Implementación}{Código del programa} \only{\scriptsize} \begin{codcpp} ifstream in_stream; ofstream out_stream; // cout << "\nNombre del archivo: "; // cin >> file_name; //out_stream.open(file_name); // creo y abro el archivo... // out_stream.open("CR.txt"); // creo y abro el archivo... if (out_stream.fail()){ // si no puede abrir el archivo... cout << "\n\nNo se pudo abrir el archivo..."; cout << "\nPor favor, reinicie el programa..."; exit(1); // Termina el programa } \end{codcpp} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Implementación}{Código del programa} \only{\scriptsize} \begin{codcpp} for (i = 1 ; ; i++){ cout << "\nCoordenada en x del punto " << i << ": "; cin >> xi; if (xi == 1000000){ cout << "\n\n\nEl último valor no se incluye..."; out_stream.close();// Cierro el archivo... cout << "\nLos datos se han grabado correctamente..."; cout << "\n\nProcesando información..."; n = i - 1; // Número total de datos... break; } \end{codcpp} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Implementación}{Código del programa} \only{\scriptsize} \begin{codcpp} cout << "\nCoordenada en y del punto " << i << ": "; cin >> yi; if (yi == 1000000){ cout << "\n\n\nEl último valor no se incluye..."; out_stream.close();// Cierro el archivo... cout << "\nLos datos se han grabado correctamente..."; cout << "\n\nProcesando información..."; n = i - 1; // número total de datos... break; } out_stream << xi << " " << yi << " i\n"; cout << "Dato " << i << " grabado correctamente"; cout << "\n"; } // Termino de grabar la información... \end{codcpp} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Implementación}{Código del programa} \only{\scriptsize} \begin{codcpp} // Abrimos el archivo para leer... in_stream.open("CR.txt"); if (in_stream.fail()){ // si no puede abrir el archivo... cout << "\n\nNo se pudo abrir el archivo..."; cout << "\nPor favor, reinicie el programa...";


3.4. SESIÓN 14: PRESENTACIONES exit(1); // Termina el programa } \end{codcpp} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Implementación}{Código del programa} \only{\scriptsize} \begin{codcpp} for (j=1; j <= n ; j++){ // realizo cálculos... in_stream >> xi >> yi; do { // estoy buscando el siguiente renglón in_stream >> letra; } while (!letra == ’\n’); // Sx += xi; // Suma de x Sy += yi; // Suma de y Sxy += xi * yi; // Suma de xy Sx2 += xi * xi; // Suma de x cuadrada Sx3 += xi * xi * xi; // Suma de x cúbica Sx4 += xi * xi * xi * xi; // Suma x cuarta Sx2y += xi * xi * yi; } // Cierro el archivo de lectura... in_stream.close(); \end{codcpp} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Implementación}{Código del programa} \only{\scriptsize} \begin{codcpp} // Calculo parámetros de recta... m = ( n * Sxy - Sx * Sy) / (n * Sx2 - Sx * Sx); beta = (Sy - m * Sx) / n; // Calculo los parámetros de parábola... Da = Sy * Sx2 * Sx2 + n * Sxy * Sx3 + Sx * Sx * Sx2y; D a = D a - n * Sx2 * Sx2y - Sx * Sx3 * Sy - Sx * Sxy * Sx2; Dp = Sx2 * Sx2 * Sx2 + n * Sx3 * Sx3 + Sx4 * Sx * Sx; D p = D p - n * Sx2 * Sx4 - 2 * Sx * Sx2 * Sx3; a = Da / Dp; b = (Sx * (Sy - a * Sx2) - n * (Sxy - a * Sx3)) / (Sx * S x - n * Sx2); c = ( S y - a * Sx2 - b * Sx) / n; \end{codcpp} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Implementación}{Código del programa} \only{\scriptsize} \begin{codcpp} // Muestro los resultados... cout << "\n\n\n"; // espacio cout << "La recta de mejor ajuste es: \n"; cout << "\n y = " << beta << " + " << m << " x "; cout << "\n\n\n"; // espacio cout << "La parábola de mejor ajuste es: \n"; cout << "\n y = " << a << " x^2 + " << b << " x + " << c; cout << "\n\n\n"; \end{codcpp} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Implementación}{Código del programa} \only{\scriptsize} \begin{codcpp} // Vuelvo a abrir el archivo donde están grabados los datos... in_stream.open("CR.txt"); if (in_stream.fail()){ // si no puede abrir el archivo... cout << "\n\nNo se pudo abrir el archivo..."; cout << "\nPor favor, reinicie el programa..."; exit(1); // Termina el programa } \end{codcpp} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Implementación}{Código del programa} \only{\scriptsize}


205

206

LATEX 2ε intermedio \begin{codcpp} for (j=1; j <= n ; j++){ // realizo cálculos... in_stream >> xi >> yi; do { // estoy buscando el siguiente renglón in_stream >> letra; } while (!letra == ’\n’); // // cálculo con la parábola de regresión... y_approxp = a * xi * x i + b * xi + c; y_approxr = beta + m * xi; // discrepancia... dip = (yi - y_approxp) * (yi - y_approxp); dir = (yi - y_approxr) * (yi - y_approxr); Error_p += dip; // Error total Error_r += dir; } \end{codcpp} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Implementación}{Código del programa} \only{\scriptsize} \begin{codcpp} // Cierro el archivo de lectura... in_stream.close(); cout << "\n\n\n"; // espacio cout << "\nError total para la recta: " << Error_r; cout << "\nError total para la parábola: " << Error_p; cout << "\n\n\n"; // espacio cout << "Generando datos de la parábola de mejor ajuste..."; // creo y abro el archivo... // pma = parábola de mejor ajuste. out_stream.open("pma.txt"); if (out_stream.fail()){ // si no puede abrir el archivo... cout << "\n\nNo se pudo abrir el archivo..."; cout << "\nPor favor, reinicie el programa..."; exit(1); // Termina el programa } \end{codcpp} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Implementación}{Código del programa} \only{\scriptsize} \begin{codcpp} // Reinicio las coordenadas... xi = 0; yi = 0; for (i = 0 ; i <= 100 ; i++){ y i = a * xi * x i + b * xi + c; // grabamos los datos en el archivo... out_stream << xi << " " << yi << " i\n"; xi = xi + 0.07; } cout << "\n\n\nSe han grabado 100 datos en el intervalo"; cout << "\n(0,7) en el archivo <>"; out_stream.close();// Cierro el archivo... \end{codcpp} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Implementación}{Código del programa} \only{\scriptsize} \begin{codcpp} // pregunto si desea salir... cout << "\n\n\nPresione < S > para salir..."; respuesta = getche(); if ((respuesta == ’S’)||(respuesta == ’s’)){ break; // Salir del ciclo for inicial... } cout << "\n\n\n"; } // end for infinito... return 0; } \end{codcpp} \end{frame} %


3.4. SESIÓN 14: PRESENTACIONES \section{Un caso de ejemplo} % \begin{frame}{Ejemplo}{Un caso de ejemplo} Consideramos los siguientes datos: \begin{center} \begin{tabular}{cccc}\toprule \rowcolor{yellow!25} $x$ & $y$\\\midrule 1 & 0.5 \\ 2 & 2.5 \\ 3 & 2.0 \\ 4 & 4.0 \\ 5 & 3.5 \\ 6 & 6.0 \\ 7 & 5.5 \\\midrule \end{tabular} \end{center} \end{frame} % \begin{frame}{Ejemplo}{Gráfica de datos} \begin{center} \begin{tikzpicture} % Dibujo una cuadrícula... \draw[loosely dotted, color=gray] (0,0) grid (7,6); % Dibujo los ejes... \draw[thick,->,blue] (-0.25,0)--(7.5,0) node[right] {$x$}; % Eje x \foreach \x/\xtext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6, 7/7} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt)--(0pt,-2pt) node[blue,below] {$\xtext$}; \draw[thick,->,blue] (0,-0.25)--(0,6.5) node[right] {$y$}; % Eje y \foreach \y/\ytext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) node[blue,left] {$\ytext$}; \draw[red,fill = red] (1,0.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (2,2.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (3,2.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (4,4.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (5,3.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (6,6.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (7,5.5) circle (1.5pt); %\draw[thick,cyan] (0,0.07) -- (7,5.946); % la recta de regresión... \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} % \section{Resultados} % \begin{frame}{Ejemplo}{Resultados} \begin{block} {El programa arroja los siguientes resultados:} {\begin{itemize} \item Recta de mejor ajuste: \begin{equation*} y = 0.0714286 + 0.839286\,x. \end{equation*} \item Parábola de mejor ajuste: \begin{equation*} y = -0.0297619\,x^2 + 1.07738\,x - 0.285714 \end{equation*} \item Error total para la recta: \alert{2.99107}%\textcolor{red}{2.99107} \item Error total para la parábola: \alert{2.91667}%\textcolor{red}{2.91667} \end{itemize} } \end{block} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Resultados}{Recta de regresión} \begin{center} \begin{tikzpicture} % Dibujo una cuadrícula... \draw[loosely dotted, color=gray] (0,0) grid (7,6); % Dibujo los ejes... \draw[thick,->,blue] (-0.25,0)--(7.5,0) node[right] {$x$}; % Eje x \foreach \x/\xtext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6, 7/7} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt)--(0pt,-2pt) node[blue,below] {$\xtext$};


207

208

LATEX 2ε intermedio % \draw[thick,->,blue] (0,-0.25)--(0,6.5) node[right] {$y$}; % Eje y \foreach \y/\ytext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) node[blue,left] {$\ytext$}; \draw[red,fill = red] (1,0.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (2,2.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (3,2.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (4,4.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (5,3.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (6,6.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (7,5.5) circle (1.5pt); \node[cyan,right] at (0,5) {$y = 0.0714286 + 0.839286\,x$}; \draw[thick,cyan] (0,0.07) -- (7,5.946); % la recta de regresión... \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} % \begin{frame}[fragile]{Resultados}{Parábola de regresión} \begin{center} \begin{tikzpicture} % Dibujo una cuadrícula... \draw[loosely dotted, color=gray] (0,0) grid (7,6); % Dibujo los ejes... \draw[thick,->,blue] (-0.25,0)--(7.5,0) node[right] {$x$}; % Eje x \foreach \x/\xtext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6, 7/7} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt)--(0pt,-2pt) node[blue,below] {$\xtext$}; \draw[thick,->,blue] (0,-0.25)--(0,6.5) node[right] {$y$}; % Eje y \foreach \y/\ytext in {1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt)--(-2pt,0pt) node[blue,left] {$\ytext$}; \draw[red,fill = red] (1,0.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (2,2.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (3,2.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (4,4.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (5,3.5) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (6,6.0) circle (1.5pt); \draw[red,fill = red] (7,5.5) circle (1.5pt); \draw[thick,brown] plot[smooth] file{pma.txt}; % La parábola \node[cyan,right] at (0,5) {$y = 0.0714286 + 0.839286\,x$}; \node[brown,right] at (0,5.5) {$y = -0.02976\,x^2 + 1.077\,x - 0.2857$}; \draw[dotted,cyan] (0,0.07) -- (7,5.946); % la recta de regresión... \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} % \begin{frame}{Desventajas}{Desventajas del método} \begin{itemize} \item Se requiere más información. \item Cada parámetro tiene asociado un error. \item El método de regresión aproxima bien en interpolación NO en extrapolación. \item El proceso no es estocástico, sino determinista. \item No se conoce la distribución de las discrepancias. \end{itemize} \end{frame} % \begin{frame}{Ventajas}{Ventajas del método} \begin{itemize} \item Parámetros con errores pequeños. \item Mientras mayor información se tenga, los parámetros tienen menos errores. \item Puede servir para aproximar datos faltantes. \end{itemize} \end{frame} % \begin{frame}{Gracias}{Fin de la presentación} \begin{center} \alert{\textbf{Preguntas, comentarios, sugerencias...}} \end{center} \end{frame} % \end{document}

Las siguientes imágenes corresponden a las diapositivas que se obtienen con el L A TEX 2ε en 15 sesiones


209

código anterior. Regresión inea y cua rática

Regresión inea y cua rática

Índice

1

Regresión lineal y cuadrática

2

Regresión lineal

Efraín Soto Apolinar.

3

Regresión cuadrática

Programa de Posgrado en Ingeniería de Sistemas FIME – UANL

4

Implementación

21 de marzo de 2008

5

Regresión lineal y cuadrática Pronósticos

6

Regresión lineal y cuadrática Regresión lineal y cuadrática

Un caso de ejemplo Resultados

Regresión lineal y cuadrática Regresiónlineal

Fundamentos matemáticos


Deducción

Conocemos n datos ( x i , y i ). Este método es muy utilizado.

Queremos encontrar la recta que mejor se ajusta a los n datos.

Pronostica solamente casos lineales o cuadráticos.

Suponemos que la recta es:

Interpolación Vs. Extrapolación.

y = β + m x donde β y m son parámetros a determinar.

Regresión inea y cua rática Regresiónlineal




Deducción

Deducción

Gráficamente tenemos la siguiente situación: y 6

Defino el error total:

5 y = β + m x

E =

4

δ i 2

i 1 n

δ i 2

δ j 2

n  =

=

3



2

(y i − β − m x i )

i 1 =

2

Necesitamos encontrar los parámetros β y m que minimicen E .

1 1

2

3

4

5

6

7

x





Deducción

Deducción

Derivamos respecto a los parámetros: dE d β dE dm

= −2

n 

El S.E.L. es:

(y i − β − m x i )

=

= −2



 x i  2

n β + m

i 1 n

(y i − β − m x i ) x i

β



x i + m

x i

i 1 =

Ahora resolvemos el S.E.L. para β y m Para encontrar el mínimo igualamos a cero y resolvemos el S.E.L. para β y m


= =

 y i 

x i y i

210

LATEX 2ε intermedio Regresión lineal y cuadrática Regresiónlineal

Regresión lineal y cuadrática Regresióncuadrática



Deducción

Deducción

De manera semejante resolvemos el caso para encontrar la parábola de mejor ajuste. y 6

La solución es:

=

m

β =

y = a x 2 + b x + c 5 y = β + m x

 x y  x  y − i i2 i 2 i ny x mi −(x x i ) n

i −

4

i

3

n

2 1 1

Regresión inea y cua rática Regresióncuadrática

2

3

4

5

6

x

7




Deducción

Deducción

Derivamos respecto a los parámetros: En este caso el error total es: E =

n 

δ i 2

i 1 =

=

n  

y i −

ax i 2

2

− b x i − c

i 1 =

Necesitamos encontrar los parámetros a , b y c que minimicen E .

dE dc

= −2

dE db

= −2

dE da

= −2

n  

y i − a x i 2 − b x i − c



i 1 n =



y i − a x i 2 − b x i − c x i



i 1 n =



y i − a x i 2 − b x i − c x i 2



i 1 =

Para encontrar el mínimo igualamos a cero y resolvemos el S.E.L. para a , b y c





Deducción

Deducción

La solución es:

b =

    y i   x 2i y i  x i 2y i   x i 3   x i 4 x  i

c =

 y

El S.E.L. es:

 2  a x i + b x i + n c  3  2  a x i + b x i + c x i  4  3  2

a

x i + b

x i + c

x i

= = =

 y i  x i y i  2

a

=

x i y i

Ahora resolvemos el S.E.L. para a , b y c

Regresión inea y cua rática Implementación

i −

i

−

i

n


Implementación

Implementación

Código del programa


/* Nombre del archivo: CR.cpp Este programa pide las coordenadas (x,y) de n puntos y los graba en un archivo. Después lee estos datos y calcula a) la recta demejor ajuste, la cual se expresa como: y = beta + mx b) La parábola de mejor ajuste, que se expresa como: y = ax^2 + bx + c por el método de mínimos cuadrados. ------------------------------------------------------------------Autor: Efraín Soto Apolinar Email: [email protected] [email protected] Fecha de última Modificación: 21 de marzo de 2008 ------------------------------------------------------------------- */

x i

   x x 2i nx  i  i 3  2  x x  x i n i   2i    x i 3  x 2i  x i x  2 i   3 y i − a x i − n x y − a x i  2  2 i i x i ( x i ) − n   2 a x b x

#include // #include // #include // Funciones básicas para input/output #include // para usar: getche, getch #include // para grabar los datos generados... using namespace std; int main(void){ char respuesta, letra; // char file_name[15]; int i, j, n; // contadores double a, b, c; // parámetros para parábola... double m, beta; // parámetros para recta... double Da = 0, Dp = 0; double xi, yi; // datos double Sx, Sy, Sx2, Sx3, Sx4, Sxy, Sx2y; // sumas de datos... double Error_p = 0, Error_r = 0; double dip, dir, y_approxp, y_approxr;


3.4. SESIÓN 14: PRESENTACIONES Regresión lineal y cuadrática Implementación

211 Regresión lineal y cuadrática Implementación

Implementación

Implementación



for(;;){ // for infinito... Sx = 0; Sy = 0; Sxy = 0; Sx2 = 0; Sx3 = 0; Sx4 = 0; Sx2y = 0; // Información sobre el programa... cout << "\n\nEste programa pide un grupo de datos "; cout << "\nque corresponden a las coordenadas de n"; cout << "\npuntos en el plano, guarda esta información"; cout << "\nen un archivo y después lee esa información"; cout << "\npara encontrar la parábola de regresión"; cout << "\n\n\nPor favor, introduce las coordenadas de "; cout << "\nlos puntos conocidos, ingresando primero"; cout << "\nlacoordenada en x y después la coordenada en y"; cout << "\nCuando hayas terminado introduce el número "; cout << "\n1 000 000, pero sin espacios.";


ifstream in_stream; ofstream out_stream; // cout << "\nNombre del archivo: "; // cin >> file_name; //out_stream.open(file_name); // creo y abro el archivo... // out_stream.open("CR.txt"); // creo y abro el archivo... if (out_stream.fail()){ // si no puede abrir el archivo... cout << "\n\nNo se pudo abrir el archivo..."; cout << "\nPor favor, reinicie el programa..."; exit(1); // Termina el programa }


Implementación

Implementación



for (i = 1 ; ; i++){ cout << "\nCoordenada en x del punto " << i << ": "; cin >> xi; if (xi == 1000000){ cout << "\n\n\nEl último valor no se incluye..."; out_stream.close();// Cierro el archivo... cout << "\nLos datos se han grabado correctamente..."; cout << "\n\nProcesando información..."; n = i - 1; // Número total de datos... break; }

Regresión inea y cua rática Un caso de ejemplo

// pregunto si desea salir... cout << "\n\n\nPresione < S > para salir..."; respuesta = getche(); if ((respuesta == ’S’)||(respuesta == ’s’)){ break; // Salir del ciclo for inicial... } cout << "\n\n\n"; } // end for infinito... return 0; }

Regresión inea y cua rática Un caso de ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Un caso de ejemplo

Gráfica de datos

y 6 Consideramos los siguientes datos: x

y

1 2 3 4 5 6 7

0.5 2.5 2.0 4.0 3.5 6.0 5.5

5 4 3 2 1 x 1

Regresión inea y cua rática Resultados

2

3

4

5

6

7

5

6

7


Ejemplo

Resultados

Resultados

Recta de regresión

y 6 El programa arroja los siguientes resultados: Recta de mejor ajuste: y = 0 .0714286 + 0.839286 x . Parábola de mejor ajuste:

5 y = 0 .0714286 + 0.839286 x 4 3

y = −0.0297619 x 2 + 1.07738 x − 0.285714 Error total para la recta: 2.99107 Error total para la parábola: 2.91667

2 1 x 1


2

3

4

212

LATEX 2ε intermedio Regresión lineal y cuadrática Resultados

Regresión lineal y cuadrática Resultados

Resultados

Desventajas

Parábola de regresión

Desventajas del método

y 6 y = −0.02976 x 2 + 1.077 x − 0.2857 5 y = 0 .0714286 + 0.839286 x

Se requiere más información. Cada parámetro tiene asociado un error.

4

El método de regresión aproxima bien en interpolación NO en extrapolación.

3

El proceso no es estocástico, sino determinista. No se conoce la distribución de las discrepancias.

2 1 x 1

2

3

4

5

6

7



Ventajas

Gracias

Ventajas del método

Fin de la presentación

Parámetros con errores pequeños. Mientras mayor información se tenga, los parámetros tienen menos errores.

Preguntas, comentarios, sugerencias...

Puede servir para aproximar datos faltantes.

No se han incluído todas las diapositivas por cuestiones de espacio.


3.5. SESIÓN 15: SUGERENCIAS

213

3.5 S ESIÓN 15: S UGERENCIAS En esta sesión final aprovechamos el espacio para dar unas sugerencias generales para el diseño de materiales didácticos y para la preparación de presentaciones a través de diapositivas con el uso de LA TE X 2ε . Algunas de estas sugerencias se han tomado del manual del usuario del paquete beamer de L A TE X 2ε [15]. Otras sugerencias se tomaron de la fuente [1]. Algunas más son recopiladas de sugerencias de profesores y otros colegas. Recuerde que su material puede tener la fuente tipográfica perfecta, los colores ideales, las imágenes más adecuadas al tema, pero si no se adapta al estilo de aprendizaje de sus estudiantes, puede no obtener el mayor provecho de su esfuerzo.

3.5.1

DE LA PRESENTACIÓN A NTES

Prepare su presentación con suficiente tiempo. No espere al último minuto. Así tendrá mayor tiempo para revisarla y prepararse para cualquier imprevisto. Revise su presentación varias veces (al menos 3 veces) antes de usarla en clase. Pida a alguien más que la revise también. Verifique el equipo antes de la presentación. Frecuentemente ocurre alguna de las siguientes circunstancias.  Pruebe

el equipo que usará en su presentación para verificar que los colores no se distorsionan por el equipo o las condiciones del salón o auditorio.



En caso necesario, cambie los colores de su presentación para que se aprecien mejor. Los colores en un monitor no se ven igual que en una hoja impresa o en un cañón proyector o en un proyector de acetatos.

 Averigüe

si requerirá de una extensión eléctrica o algún adaptador para su proyector. Es posible que usted planee todo bien, salvo que no hay una extensión eléctrica suficientemente larga para conectar el equipo que requiere para su presentación.

 Verifique

el nivel de voltaje de los enchufes del auditorio o salón. Si el equipo que usará trabaja a 110 V y el auditorio solamente cuenta con conexiones a 220 V corre el riesgo de quemar el equipo antes de terminar con su presentación.

 Verifique

que la iluminación del salón o auditorio sea adecuada para su presentación. Lo mismo para el aire acondicionado o ventilación.

 Considere

la acústica y los niveles de ruido del salón o auditorio para el diseño de su presentación. Especialmente si usará audio o video.

 Planée

qué hará en caso de que la energía eléctrica falte a la hora de su presentación. Al menos imprima las diapositivas y llévelas. Eso le servirá


3.5

3.5.1

214


de guía en la exposición sin electricidad en caso de que no se posponga la presentación.

3.5.2 3.5.2

D ISEÑO DE DIAPOSITIVAS



Conozca el tiempo que tiene para su presentación. No intente abarcar más material de lo que el tiempo le permite.



El tiempo asignado a cada diapositiva depende del tema y de su contenido. Un concepto puede explicarse en un minuto, pero el procedimiento para resolver una ecuación puede llevar más de diez.

 Coloque

un título apropiado a su presentación.

 Cada

diapositiva prepara mentalmente a los estudiantes cuando tiene un título que sugiere de qué trata.

 Incluya

las ideas principales en cada diapositiva teniendo como prioridad la sencillez.

 Utilice

el mínimo de ecuaciones posible para explicar su tema.

 Utilice

el ambiente description cuando desee enumerar varias defini-

ciones.  Utilice

el ambiente itemize para ir explicando ideas y argumentos.

 Utilice

la instrucción \alert para destacar palabras importantes.

 Escriba  Prefiera

ideas con pocas palabras. imágenes de buena calidad.

 El

tamaño de una imagen debe ser suficientemente grande para que los estudiantes entiendan su contenido. Particularmente cuando tienen muchos símbolos.

 Prefiera

crear las figuras y gráficos usando el paquete tikz.

 El

texto que aparece en un gráfico o en una figura debe tener la misma fuente y tipo que el texto de la presentación.



Preferentemente utilice colores suaves u oscuros. Use combinaciones de colores que contrasten de una manera agradable entre las partes que se desean resaltar y el resto.

 Utilice 

animaciones para explicar conceptos de física o química.

No exponga una clase con una presentación que no ha sido revisada. Errores en los procedimientos causan mayor confusión en los estudiantes. L A TEX 2ε en 15 sesiones

3.5. SESIÓN 15: SUGERENCIAS 

No escriba usando solamente mayúsculas. Parece que le grita a la gente. Aún en el título de la diapositiva es incorrecto. El texto escrito solamente en mayúsculas es más difícil de leer porque éstas no tienen distinta forma. Mejore la legibilidad de su documento utilizando las letras mayúsculas como lo marcan las reglas ortográficas.



No incluya cosas que no se requieren para explicar el tema. Evite las distracciones.



No escriba demasiadas palabras en una diapositiva. Entre 40 y 80 palabras es aceptable. Si tiene más de 100 palabras es mejor una hoja impresa para entregar a los estudiantes.



No incluya en la diapositiva todo lo que va a decir a sus estudiantes. En ese caso envíe por correo electrónico un documento y que ellos lleguen preparados para estudiar en clase material adicional.



No incluya más de una idea por cada viñeta en una lista.



No utilice transiciones entre diapositivas. Prepare la presentación con el mínimo de distractores.



No elija colores que molesten o lastimen la vista.



No utilice letras con color pastel. Algunas veces se vuelve ilegible debido a las características del equipo que utiliza para su proyección.



No utilice animaciones solamente para atraer la atención de los estudiantes. Utilice las animaciones siempre que sea justificable para la explicación del tema.

215

3.5.3 3.5.3

D ISEÑO DE MATERIALES DIDÁCTICOS

Tenga en mente el objetivo propuesto en el programa de estudio a la hora de planear el diseño del material didáctico. La idea es rebasar el objetivo y alcanzar las metas sugeridas en el programa de estudio. 

Diseñe los materiales para que los estudiantes aprendan, no para presumir cuánto sabe usted.

 Justifique

los procedimientos basado en conocimiento previo. Utilice el conocimiento previo para justificar sus argumentos.



Relacione las ideas del tema actual con ideas de otras ramas de la matemática y con otras ramas de las ciencias.

 Seleccione

los ejemplos más interesantes y apropiados para explicar el tema y alcanzar los objetivos impuestos en el programa de estudio.

 Prefiera

problemas cotidianos con una aplicación o enfoque en los intereses de sus estudiantes.


216

LATEX 2ε intermedio  Explique

los conceptos nuevos con aplicaciones cotidianas. El estudiante generalmente desea conocer para qué le servirá cada concepto.

 Explique

ejemplos aumentando la dificultad y no al revés.

 Introduzca  Defina

un nuevo concepto solamente cuando sea necesario.

cada concepto una vez que lo mencionó.

 Sea

breve en sus argumentos. Evite palabras o frases innecesarias. Éstas pueden causar confusión entre los estudiantes. Sea directo y al punto.

 Organice  Evite

sus ideas de manera que sigan una de la otra de manera lógica.

incluir información que le desvíe del tema principal.

 Determine  Enseñe

qué es apropiado para la exposición de acuerdo al grupo.

trucos para facilitar los procedimientos y cálculos.



Muestre analogías siempre que sean fáciles de entender y faciliten el aprendizaje del grupo.



Traduzca a palabras las ecuaciones que utilice en su presentación. Explique qué implican.

 Entre

dos métodos, prefiera siempre el más sencillo. Si debe explicar ambos, siempre explique al final el más sencillo.

 Evite

los sinónimos al redactar cuando puedan generar confusión. Por ejemplo, “concentración de plomo ” y “nivel de plomo ”.

3.5.4 3.5.4

E LABORACIÓN DE GRÁFICAS

Verifique que sus gráficas tienen un tamaño apropiado para el material que está elaborando. Si se trata de una presentación, la gráfica no debe salir de la diapositiva. Si se trata de algunas notas, la gráfica debe quedar dentro de los márgenes del documento.  Ante

todo, trate que la gráfica diga exactamente lo que desea transmitir.

 En

una gráfica, las curvas siempre deben estar dibujadas con líneas más gruesas que los ejes.

 En

una gráfica que incluya varias curvas, utilice distintos tipos de líneas (contínua, punteada, etc.).

 En

lugar de usar distintos tipos de líneas puede usar distintos grosores en las mismas.



No utilice colores solamente para diferenciar varias curvas en una gráfica. Una impresión en blanco y negro causará dificultad para diferenciar una curva de otra. L A TEX 2ε en 15 sesiones

3.5. SESIÓN 15: SUGERENCIAS  Evite

el uso de símbolos para identificar puntos de gráficas (por ejemplo:

).  Use

las gráficas para mostrar tendencias. No se empeñe en mostrar los valores exactos.



Muestre la escala y las unidades en cada eje. Esto es extremadamente importante. Siempre coloque las etiquetas de los ejes paralelas a éstos.



Las unidades indicadas en los ejes pueden ser modificadas por múltiplos o submúltiplos de mil. Por ejemplo, usar km en lugar de m.

 Tenga

cuidado con las abreviaciones de las unidades. m se refiere a metros, no a minutos.

 Las

abreviaciones de las unidades no se pluralizan. Por ejemplo, utilizar “hrs ” es incorrecto para indicar horas. Basta con una sola letra: h.

 Prefiera

una gráfica de barras cuando cada dato no dependa del anterior. Por ejemplo, en poblaciones de distintos países se sugiere el uso de una gráfica de barras.

 Prefiera

una gráfica de curvas o líneas cuando los datos dependan de su anterior. Por ejemplo, para mostrar el crecimiento de la población de una ciudad.

 No

incluya información que no sea relevante para la gráfica.

 Evite

utilizar gráficas de barras agrupadas. Por ejemplo, para indicar varios parámetros de un país (ingreso mensual promedio, porcentajes de analfabetas, etc.). Prefiera una tabla en su lugar. El máximo de categorías para gráficas de barras agrupadas es de tres.

 En

las gráficas de barras, el espacio entre las barras debe ser más angosto que el grosor de éstas.

 Procure

ordenar las barras en valores decrecientes.

 Prefiera

el uso de gráfica de pastel para mostrar porcentajes. Una gráfica de pastel debe tener las siguientes características: 1. El segmento más grande empieza en la posición vertical (como si marcara las 12:00 en el reloj). 2. Los segmentos están ordenados decrecientemente en valor, en el sentido de las manecillas del reloj. 3. El número de segmentos no es mayor a cinco. 4. Las etiquetas están fuera del círculo. Usted puede enfatizar un segmento dibujándolo aparte.


217

218

3.5.5


3.5.5

D ISEÑO DE TABLAS

 Si

una tabla muestra una tendencia o una relación, el título debe ser declarativo.

 Si

redondeó valores, no force a que la suma sea exactamente 100%. Mejor explique con una nota al pié, que la suma de los porcentajes es distinto al 100% debido al redondeo.

 Si

una tabla sugiere dos conclusiones, es preferible dividirla en dos partes, una para cada conclusión. Así una conclusión no opaca u oculta a la otra.

 Algunas

veces una gráfica de líneas es preferible a una tabla para mostrar una tendencia. Pruebe ambas antes de decidir cuál incluir. Siempre incluya en su material la que sea más fácil de interpretar.

 Para

maximizar la legibilidad en las tablas evite el uso de líneas verticales en las mismas.

 Utilice

máximo tres líneas horizontales en las tablas: dos para separar el encabezado del cuerpo de la tabla y una última para indicar el fín de la tabla.



Si se incluyen abreviaciones en la tabla, explique su significado al pié de la misma. Esto también aplica para las gráficas.

 Prefiera

tablas de a lo más cinco columnas. Demasiada información en poco espacio solamente sirve para promover el miedo a la lectura.

Más sugerencias para la elaboración de materiales didácticos puede encontrar en cualquier libro relacionado con este tema. Espero que estas sugerencias le sean de ayuda y le motiven a preparar usted mismo los materiales a la medida de cada uno de sus grupos.


Bibliografía

[1] Björn, Gustavii How to write and illustrate scientific papers EE.UU. Cambridge university Press. 2008. [2] Knuth, Donald Ervin, The TE Xbook. Addison Wesley Publishing Company. 1986. [3] Mittelbach, Frank. The L A TE X 2ε companion EE.UU. Ed. Addison Wesley 2004. [4] Seyler Dorothy U.; Sipple M. Noel. Thinking for Writing EE.UU. Ed. Science and Research Associates, Inc. 1978. [5] Soto,

de las Matemáticas http://www.scribd.com/Efrain_Soto_Apolinar (Visitado el 19 de julio de 2009) México. 2008.

[6] Soto,

A.,

Efraín.

A.,

Enseñanza

Efraín.

Efectiva

Mini-manual

LA T X 2ε de E http://www.scribd.com/Efrain_Soto_Apolinar (Visitado el 19 de julio de 2009) México. 2008.

[7] Soto, A., Efraín. Matemáticas para Bachillerato I En revisión técnica. México. 2009. [8] Soto, A., Efraín. Matemáticas para Bachillerato II En edición y revisión técnica. México. 2009. [9] Soto, A., Efraín. Matemáticas para Bachillerato III En revisión técnica. México. 2009. [10] Soto, A., Efraín. Matemáticas para Bachillerato IV En revisión técnica. México. 2009. [11] Soto, A., Efraín. Matemáticas para Bachillerato V (Cálculo Diferencial) En revisión técnica. México. 2009. L A TEX 2ε en 15 sesiones

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Indice alfabético

TE XnicCenter Descarga, 8 LA T X 2ε E Índice, 37 Ambiente figure, opciones de, 89 Ambientes, 23 Bibliografía, 36 Código fuente, 5 Caracteres especiales, 24 Cargar paquete, 18 Color, 30 Colores disponibles, 96 Descarga, 5 Encabezados, 34 Español, en, 17 Formato de texto, 29 Fuentes Selección, 32 Funciones matemáticas, 60 Lista de Figuras, 37 Tablas, 37 Márgenes de página, 35 Manuales, 19 Paquetes, 18 Referencias bibliográficas, 36 Requerimientos mínimos, 5 Software libre, 5 Tabla de contenidos, 37 Tablas, 75 justificaciones, 75 Tamaño de texto, 29 L A TEX 2ε en 15 sesiones

Ventajas de usar, 3 Alfabeto Griego, 63 Ambiente Matemático, 45 Código ∆y ∆x x

··· , 55 ··· , 55

= e =

Último teorema de Fermat, 47 Alfabeto griego, 63 Bibliografía, 36 Cambiar márgenes, 35 Conjuntos de números, 58 Conversión de temperatura, 52 Datos para graficar, 100 Derivada, 61 Derivadas parciales, 55 Determinante, 81, 140 Diagrama, 102 División sintética, 81 Ecuación E = mc 2 , 92 Ecuación con exponentes, 47 Ecuación con subíndices, 48 Ecuación en línea, 45 Ecuación fraccionaria, 46 Ejes coordenados, 96 Energía cinética, 51 Fórmula Área del triángulo, 53 Distancia, 54 Punto de división, 54

222

Indice alfabético

Punto medio, 53 Ejemplo Velocidad de caída, 51 Ambiente Fórmula general, 50 array, 80, 82, 140 center, 23, 26, 126, 127, 131 Figura description, 26, 122 Insertar, 89 enumerate, 19, 25, 131 Fuentes matemáticas, 58 equation, 45 Función definida por intervalos, 82 equation*, 46, 126, 127 Funciones matemáticas, 60 figure, 89 Gráfica de flushleft, 26 Rectas, 97 flushright, 26, 119 Grafica de itemize, 25 Datos de archivo, 99, 101 minipage, 27, 87, 123, 126, 127, Funciones, 98 131, 138 Guión largo, 124 multicols, 27, 132 Identidades trigonométricas, 63 tabular, 76, 80 Imagen tikzpicture, 95, 102 Al margen, 86 Documento, 15 Escalar, 85 Instrucción Insertar, 85 \Delta, 55, 61 Rotar, 86 \alpha, 53, 63, 64 y texto, 87 \angle, 53 Insertar figura, 89 \bar, 59 Insertar tabla, 90 \beta, 53, 63 Integral, 56 \caption, 89 Integral definida, 61 \cdot, 60, 61 Integral indefinida, 61 \cdots, 55 Ley de senos, 64 \cellcolor, 78 Lista de figuras, 90 \chapter, 22 Lista de tablas, 90 \cos, 63 Matriz A = [aij ], 48 \cot, 63 Matriz aumentada, 81 \csc, 63 Promedio, 59 \cup, 58 Propiedades de logaritmos, 60 \displaystyle, 47, 120 Recíproco, 47 \dotfill, 125 Referencia a figura, 91 \emph, 22 Referencia a sección, 92 \ensuremath, 120, 140 Símbolos matemáticos, 57 \fancybox, 19 Sección no numerada, 170 \fbox, 21, 123, 126, 131 Segunda ley de Newton, 51 \fcolorbox, 127, 138 Serie aritmética, 58 \footnote, 21 Sistema de ecuaciones, 82 \frac, 46 Suma de Gauss (diagrama), 103 \gamma, 53 Teorema de Pitágoras, 134 \hfill, 87, 123, 136 Vectores, 60 \hspace, 134 Documento \infty, 62 Opciones, 16 \int, 56, 61, 62 Documentos \label, 91 Tipos de, 16 \left, 61, 140 Donald Knuth, 3 \lim, 61 L A TEX 2ε en 15 sesiones

INDICE ALFABÉTICO

\limits, 58, 61 \linewidth, 87, 123, 131 \ln, 56, 60 \log, 61 \marginpar, 86 \mathbb, 58 \mathcal, 58 \mathfrak, 58 \mathsf, 58 \multicolumn, 77 \multirow, 78 \newcommand, 119 \newenvironment, 130 \newline, 21 \newpage, 21 \noindent, 87 \notin, 58 \overline, 54 \pageref, 91 \par, 21, 119, 125, 131, 134, 136, 138 \parpic, 87 \partial, 55 \pi, 53, 58 \pm, 50, 120 \ref, 91 \right, 61, 140 \rightarrow, 61 \rowcolor, 78 \rule, 22, 121, 131 \sec, 63 \section, 22 \sin, 51, 63, 64 \sqrt, 49, 54 \square, 136 \star, 21 \sum, 58, 62 \tan, 63 \textbf, 131, 134, 136, 138 \textcolor, 20, 119, 124, 125, 131, 138 \textit, 125 \textsc, 134, 138 \textsl, 123, 131, 134, 138 \tikz, 95 \times, 53 \today, 21 \usepackage, 22 \vdots, 92 \vec, 60 L A TEX 2ε en 15 sesiones

223

\vspace, 21 \qquad, 52 Instrucciones, 21 Argumentos, 21 Tabla Líneas verticales, 76 Tipos de fuente, 29 Uso de gnuplot, 101 Uso de paquetes, 17 Fuentes Con color, 30 Formato, 29 Selección, 32 Tamaño, 29 Leslie Lamport, 3 MiKTE X Descarga, 5 Paquete color, 30 fancyhdr, 34 geometry, 35 multirow, 78 tikz, 95 Símbolos Matemáticos Fuentes, 58 Lista de, 57 Tamaño de fuente, 29 Texto Procesador de, 5

LATEX en 15 Sesiones

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