WWW.EDICIONESRUBINOS.COM
GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA
ÁNGULOS POLIEDROS - ÁNGULOS TRIEDROS - POLIEDROS ÁNGULOS POLIEDROS
otras dos.
Un ángu ángulo lo polied poliedro ro es una una figur figura a geomé geométr trica ica form formada ada por infi infini nito toss rayos ayos que que tien tienen en el orig origen en comú común n y cont contie iene nen na los puntos de un polígono que está en un plano que no contiene a dicho origen. Vértice : Es el origen común “O” Aristas : Son los rayos que pasan por los vértices del polígono : OA, OB, OC, ........ Cara aras : Son las las region iones angular lares forma ormad das por dos aristas consecutivas : a, b, c, d, ............. Died Diedro ross : Son Son los ángu ángulos los diedr diedros os form formado adoss por por dos dos caras caras consecutivas : x, y, z, w, ..........
b-c
O
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS TRIEDROS
ab c
x A
1. TRIE TRIEDR DRO O ESCA ESCALE LENO NO.. Si sus sus tres tres car caras as son son diferentes. 2. TRIEDRO ISÓSCELES. Si dos de sus caras son iguales. 3. TRIEDRO EQUILÁTERO. Si sus sus tre tres car caras so son iguales. 4. TRIED IEDRO RECTÁNG ÁNGULO. LO. Si una una de sus sus cara carass mide mide 90°. 5. TRIED IEDRO BIRR IRRECT ECTÁNGULO. LO. Si dos dos de sus sus cara carass miden 90°.
E D
y z B
C
6. TRIED TRIEDRO RO TRIRR TRIRRECT ECTÁN ÁNGU GULO. LO. Si Si sus tres tres caras caras miden 90°. Sus tres diedros también miden 90°.
CLASIFICACIÓN
Los ángulos poliedros se clasifican de acuerdo a su número de caras de la siguiente manera: * ÁNGU ÁNGULO LO TRIE TRIEDR DRO O : Si tien tiene e 3 cara carass * ÁNGU ÁNGULO LO TETR TETRAE AEDR DRO O : Si tiene tiene 4 cara carass * ÁNGU ÁNGULO LO PENT PENTAE AEDR DRO O : Si tiene tiene 5 car caras as
PROPIEDADES EN EL TRIEDRO TRIRRECTÁNGULO
1. En todo triedro trirrectángulo se cumple que la proyección del vértice sobre un plano secante a las aris arista tass coin coinci cide de con con el orto ortoce cent ntro ro de de la sec secci ción ón determinada por dicho plano.
TEOREMA
En todo todo ángu ángulo lo poli polied edro ro la suma suma de las las medi medida dass de toda todass las caras es mayor que 0° y menor que 360° ÁNGULO TRIEDRO
Es aquel ángulo poliedro que tiene 3 caras.
En la figu figura ra “H” “H” es el orto ortoce cent ntro ro del del triá triáng ngul ulo o ABC ABC y ademá ademáss es la proy proyecc eccióndel ióndel vért vértice“O”sobr ice“O”sobre e el plano plano ABC Demostración
Por el teorema de las tres perpendiculares se puede afirmar que: y y
Vértice : O Aristas : , y Caras : a, b, c Diedros : x, y, z PROPIEDADES
Además se tiene que: plano AON plano COM
1. En todo todo ángu ángulo lo trie triedr dro o se cump cumple le que que la la sum suma a de de las las tres caras es mayor que 0° y menor que 360°
......... (1) ......... (2)
0° < a + b + c < 360° de (1) y (2) se concluye qu que plano ABC Luego : “H” es la proyección de “O” “H” es el ortocentr ortocentro o del ΔABC
2. En todo todo ángulo ángulo triedr triedro o se cump cumple le que que una cara es meno menorr que que la suma suma y mayo mayorr que que la dife difere renc ncia ia de las las -106-
WWW.EDICIONESRUBINOS.COM
GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA
2. En todotriedrotrirrectángulo secumple que la inversa delcuadrado de la distancia del vérticehacia un plano secante a las aristas, es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de las distancias del vértice hacia los puntos de intersección de las aristas con dicho plano.
Demostración:
Aplicando la propiedad número 3 Área2 (ΔBOC) = Área (ΔABC) . Área (ΔBHC) Área2 (ΔAOB) = Área (ΔABC) . Área (ΔAHB) Área2 (ΔAOC) = Área (ΔABC) . Área (ΔAHC)
Demostración
BOC :
.................. (1)
AOM :
.................. (2)
Si sumamos miembro a miembro quedará demostrado la propiedad. POLIEDROS
Reemplazando (2) en (1) :
3. En todo triedro trirrectángulo se cumple que al trazar un plano secante a las aristas, el área de una región triangular determinado en una cara, es media proporcional entre el área de su proyección sobre dicho plano y el área de la sección determinada por el plano.
Un poliedro es una figura geométrica formada por cuatro o más regiones poligonales no coplanares, de tal manera que entre dos regiones adyacentes o contiguas existe una arista común. La diagonal de un poliedro es aquel segmento que une dos vértices que no pertenecen a una misma cara. Un poliedro se denomina convexo si sólo tiene dos puntos en común con cualquier recta secante Caras : ABCD, BCGF, ................ Aristas : AB, BC, CD, .................. Vértices : A, B, C, ........................ Diagonales : BH, DF, AG, ............
CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS
Demostración:
Los poliedros se clasifican de acuerdoal número de caras, de la siguiente manera :
Área (ΔBHC) = Área (ΔBOC).Cos θ Área (ΔBOC) = Área (ΔABC).Cos θ Luego: [Área (ΔBOC)]2 = Área (ΔBHC). Área (ΔABC) 4. En todo triedro trirectángulo se cumple que al trazar un plano secante a las aristas, el cuadrado del área de la sección determinada, es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de las regiones triangulares determinadas en las caras.
-107-
POLIEDRO
N° CARAS
Tetraedro
4
Pentaedro
5
Exaedro
6
Heptaedro
7
Octaedro
8
WWW.EDICIONESRUBINOS.COM
Nonaedro
9
Decaedro
10
Endecaedro
11
Dodecaedro
12
Pentadecaedro
15
Icosaedro
20
GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA
2. En todo polígono se cumple que la suma de las medidas de losángulosinternos de todas las caras es igual a 360° multiplicado por el número de vértices menos dos i = 360° (V - 2) Donde : V = Número de vértices 3. Elnúmero dediagonales deun poliedrose determina mediante la siguiente fórmula
PROPIEDADES 1.
TEOREMA DE EULER :
En todo poliedro se cumple que la suma entre los números de vértices y caras es igual al número de aristas aumentado en dos Donde : V = Número de vértices A = Número de aristas D.C = Número de diagonales de todas las caras
V+C=A+2 Donde : V = Número de vértices C = Número de caras A = Número de aristas
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Dos caras de un triedro miden 150 y 170. Entonces, la mayor medida entera de la tercera cara es: A) 39 D) 25
B) 21 E) 38
06. Indicar en las siguientes proposiciones, cuáles son verdaderas (V) y falsas (F): ( ) En todo poliedro se cumple que el número de caras más el número de vértices es igual al numero de aristas más dos. ( ) Una superficie poliédrica está determinada por cuatro o más regiones poligonales planas. ( ) Si a un poliedro se traza una recta secante y ésta, sólo determina dos puntos de intersección, el poliedro será denominado convexo.
C) 30
02. En un triedro OABC, las caras BOC y AOB miden 179 y 79, respectivamente. Si la medida de la cara AOC es un número entero, entonces la medida de dicha cara es: A) 100 B) 101 C) 102 D) 103 E) 104
A) VFV D) FVF
03. OABC es un triedro isósceles (OB=OC). Si OA mide 45 entonces entre qué valores puede estar la medida del diedro OB. A) 68 < θ < 112 B) 67 < θ < 110 C) 67,5 < θ < 100 D) 67,5 < θ < 112 E) 67,5 < θ < 112,5
B) VFF E) FVV
C) FFF
07. Se tiene un poliedro convexo que está formado por “x” triángulos, 4 cuadriláteros y “z” pentágonos. Si además se sabe que la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras es 4680, calcular : (“z” - “x”); (z > x) A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 5
04. En un triedro OABC donde las caras AOB y BOC miden 26,5 y el diedroOB mide 90, calcular la medida de la cara AOC. A) 30 B)37 C)53 D) 60 E) 45
08. En un poliedro de seis caras y doce aristas, calcular la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras A) 2 520 B) 1 800 C) 3 600 D) 2 160 E) 1 440
05. En un triedro trirrectángulo OXYZ: - En la cara OXZ se ubica A que dista de OZ y de OX, 4 y 6 respectivamente. - En la cara XOY se ubica B que dista de OX y de OY, 3 y 6 respectivamente - En la cara ZOY se ubica C que dista de OZ y OY, 6 y 2 respectivamente. Si el plano ABC intersecta al eje OY en el punto P, entonces la medida de es: A) 6 B) 6,5 C) 7 D) 7,5 E) 8
09. El número de caras más el número de vértices más el número de aristas y más el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de las caras de todos los ángulos sólidos de un poliedro convexo excede en 14 al doble de la suma del número de aristas y vértices. Calcular el número de vértices A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 10. Un poliedro de 29 vértices está formado por 6 -108-
WWW.EDICIONESRUBINOS.COM
GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA
triángulos,18 cuadriláteros y “n”pentágonos. Calcular su número de aristas A) 35 B) 45 C) 55 D) 65 E) 75 11. En las aristas OA, OB y OC de un ángulo triedro OABCse ubicanlos puntos M, N y T respectivamente. Calcular la medida del diedro OA si las caras AOB y AOC miden 90, m OMN = 45; m NMT = 18,5 y
A) 30 D) 26,5
B) 60 E) 18,5
17. Se tiene un poliedro convexo que está limitado por cierto número de regiones triangulares y cuadrangulares, y además por tres regiones hexagonales. Si el número de aristas y el número de vérticesdeestepoliedrosonrespectivamente25y15, calcular el número de regiones triangulares que limitan a este poliedro A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
C) 45
12. Calcular la medida del mayor ángulo diedro de un ángulo triedro en el cual dos de sus caras miden 53 y la tercera 74 A) 60 B) 37 C) ArcCtg(3/5) D) ArcSen(3/4)
16. En el ángulo triedro O-ABC, m BOC=60 y los ángulos diedros OB y OC miden : ArcCtg . Calcule la medida del ángulo que forma OA con la cara BOC A) 45 B) 60 C) ArcCtg(1/2) D) ArcCtg( /3) E) ArcCtg(2 )
18. El número de caras, más el número de vértices más el número de aristas de un poliedro es 98. Calcular cuántas caras tiene, sabiendo que la suma de las medidas de los ángulos de sus caras es 7 200 A) 14 B) 18 C) 24 D) 28 E) 32
E) ArcSen
13. En un ángulo triedro OABC los ángulos diedros OB y OC miden 127 y 173. Si la medida del diedro OA es entero y menor que 122, calcule su medida A) 120 B) 110 C) 115 D) 90 E) 121
19. La diferencia entre la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras de dos poliedros A y B es 2 880. Si la diferencia entre el número de caras es 18, hallar la diferencia entre el número de aristas A) 13 B) 18 C) 26 D) 30 E) 34
14. En un triedro OABC si OA=BC; OB=AC y OC=AB, calcular la suma de las medidas de las caras del triedro. A) 60 B) 120 C) 180 D) 270 E) 90
20. En un tetraedro, dos aristas opuestas miden 6 y 8 m respectivamente. Calcular la suma de las medidas de todas las aristas del tetraedro, sabiendo que sus aristas son tangentes a una esfera. A) 42 B) 28 C) 32 D) 56 E) 47
15. Se tiene un ángulo triedro equilátero S-ABC, cuyas caras miden 30. Entonces la medida de uno de sus ángulos diedros es : A) ArcCos(2 +3) B) ArcCos(3 ) C) ArcCos( -1) D) ArcCos(2 +2) E) ArcCos(2 -3)
TAREA 01. Un plano intersecta a las aristas de un ángulo triedro O en los puntos A, B y C de modo que : m AOB=m COB = 60 y m AOC = m ABC = 90. Si OA+OC=m, calcule OB A) m/7 B) m/6 C) m/5 D) m/2 E) m/3
Cosα=3/5 (α es la medida del ángulo AOC). Calcular la medida del ángulo que forma
con el plano que
contiene a los puntos A, O y C. A) 37
02. En un triedro OABC los diedros y miden cada uno 164. Calcular la medida del diedro , siésta es menor que 150. A) 130 B) 128 C) 138 D) 149 E) 141
B) 15
D) ArcCos
C) 16 E) ArcCos
05. Sea el ángulo triedro O-ABC, las caras AOB y BOC miden 45, la semicircunferencia de diámetro (E ) intersecta a en el punto A. Si OC=15, EC=5 y AE=4, calcular la medida del diedro .
03. En un triedro O-ABC los diedros y miden 60 cada uno y a= 60. Calcular la medida del ángulo AOC. A) ArcCos(2/7) B) ArcCos( /7) C) ArcCos(1/8) D) ArcCos(1/6) E) ArcCos(2/9)
A) 30 D) ArcSen(
B) 26,5 /2)
C) 18,5 E) ArcTg(2
)
06. Determinar el número de caras de un poliedro sabiendo que la suma de las medidas de los ángulos
04. Se tiene un triedro O-ABC en el cual c = a = 45 y -109-
WWW.EDICIONESRUBINOS.COM
GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA
internos de todas sus caras es igual a 7 200 y la suma entre el número de caras, el número de vértices y el número de aristas es igual a 98. A) 16 B) 20 C) 28 D) 30 E) 32
A) 80 D) 45
B) 65 E) 50
C) 60
09. Calcular el número de aristas de aquel poliedro convexo cuyo número de caras es igual al número de vértices, además la suma de las medidas de los ángulos de todas sus caras, es de 1 440 A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 4
07. Un poliedro está formado por 3 regiones cuadrangulares, 5 pentagonales y x triangulares. Calcular x, sabiendo que la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras es 4 320. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
10. ¿Cuántas diagonales tiene aquel poliedro formado por 6 cuadriláteros y 8 triángulos? A) 36 B) 26 C) 24 D) 48 E) 30
08. Un poliedro convexo, está conformado por polígonos de cinco diagonales; si las caras fueran triangulares se necesitarán 40 caras más, para que el número de aristas no varíe. ¿Cuántas caras tiene el sólido inicial?
-110-
