Ej e r c i ci c i o s d e Ap A p l i c a ci c i ó n d e l a d e r i v a d a co co n r e c t a s t a n g e n t e s y n o r m a l e s
1) Dadas las funciones f ( x) = 1 − x
y
ϕ ´ (1) ⎛ π − x ⎞ ⎟ Hallar f ´ (1) ⎝ 2 ⎠
ϕ ( x) = 1 − Sen ⎜
f´(x) = − 1 ⇒ f´ (1) = − 1 π π ⎛ π x ⎞⎛ π ⎞ ⎛ π x ⎞ ⎛ π ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⇒ ϕ ´(x) = − cos⎜ ⎟ ⇒ ϕ ´(1) = − cos⎜ ⎟ ⇒ ϕ ´(1) = 0 2 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
ϕ ´ (x) = − cos⎜ ϕ ´ (1)
f´ (1)
= 0
2) ¿Qué ángulo forma con el eje ox las tangentes a la curva y = x − x 2 en el punto cuya abscisa es x = 0?
y´ = 1 − 2x ⇒ mtg = 1 − 2x m = tg θ ⇒ tg θ = 1 − 2x. para x = 0 ⇒ tg θ = 1 ⇒ tg
θ
= arctg (1) ⇒
θ
= 45º
3) ¿Qué ángulos forman con el eje de Abscisas, al cortarse con este en el origen de coordenadas las sinusoides a ) y = Sen x e b) y = S 2 x ?
6) Determine el valor de la primera derivada de la función I ( x )
I0 1
Be
ax
en
X=0, Donde I 0 , B y A son constantes. − I ( x ) = I 0 ⎛ ⎜1 + Be ⎝
I´(x) =
I0 AB e − Ax
(1 + Be Ax )2 −
⎞ ⎟ ⎠
Ax
−1
−2
⇒ I ′(x ) = − I 0 (1 + Be − Ax )
⇒ I´(0) =
I0 AB e0
(1 +
7) Hallar el punto de la curva y =
Be0 )
2
1 1 + x
2
(− AB e ) − Ax
⇒ I´ (0) =
I0 AB
(1 + B)2
cuya ecuación de la recta tangente es
paralela al eje oy. La recta tag es paralela al eje ox, si y ′ = 0 existe : 2 x 2 x y ´= − ⇒ − = 0 ⇒ x = 0 ⇒ f (0) = 1 ⇒ p (0,1) (1 + x 2 ) (1 + x 2 ) Lt g : y = 0 ( x − 0) + 1 ⇒ Lt g : y = 1 8) Encontrar el punto de la parábola y = 3 x 2 + 2 x +
1 4
cuya recta tangente forma
11) Una recta que pasa por por el punto (0, 54) es tangente a la curva y = x 3 Hallar el punto de tangencia. sea se a : l t g Re ct a Tg ⇒ y − y 1 = m tg ( x − x 1 ) ⇒ p (0,54 ) ∈ l t g ⇒ y − 54 = f ′( x ) x y = f ′( x ) x + 54
si p ( a , b ) es p t o t g ⇒ f ( a ) = f ′( a )a + 54
f ( a ) = a 3 ⇒ f ′( a ) = 3 a 2 ⇒ a 3 = (3 a 2 )a + 54 ⇒ a 3 = − 27 ⇒ a = − 3 ⇒ p t o t g ( − 3, − 27 )
12) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es horizontal si: a) f(x)= x2-3x+2
b) f(x)= x3-6x+5
La t g es horizontal si f ′( x ) = 0 a ) f ´( x ) = 2 x − 3 = 0 ⇒ x = b ) f ´( x ) = 3 x 2 − 6 = 0 Si x =
2
⇒
3 1 ⎛ 3 ⎞ 9 9 ⇒ f ⎜ ⎟ = − + 2 = − 2 4 ⎝ 2 ⎠ 4 2 ⇒ x = ± 2
f ( 2 ) = 2 2 − 6 2 + 5 = − 4 2 + 5
1 ⎞ ⎛ 3 El Pt o es : ⎜ , − ⎟ 4 ⎠ ⎝ 2 Pt o ( 2 , 4 2 + 5)
14) Hallar los puntos en que las tangentes a la curva y = 3 x4 + 4 x3 − 12x2 + 20 sean paralelas al eje de abscisas. ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 3 2 y ´ = 1 2 x + 1 2 x − 24 x ⇒ y ´ = 12 x ⎜ x + x − 2 ⎟ ⇒ m = 1 2 x ⎜ x + x − 2 ⎟ tg ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ t g θ = m Com Com o so n pa pa ra l ela s al eje d e l as ab sci sa s f ′( x) = 0 tg
⎛ 2 + x − 2 ⎞ ⇒ 12 x = 0 ⇒ x = 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ x 2 + x − 2 ⎞ = 0 ⇒ x + 2 x − 1 = 0 ( )( ) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x + 2 = 0 ⇒ x = − 2; x −1 = 0 ⇒ x = 1 0 = 12 x ⎜ x
Sust Sust. en la funci función ón f ( 0 ) = 2 0 ⇒ pto ( 0, 2 0 ); f ( −2 ) = 12 ⇒ pto ( − 2, 12 );
f (1) = − 3 ⇒ pto (1, − 3)
15) Demostrar que las curvas 5 y − 2 x + y 3 − x 2 y = 0 interceptan en ángulo recto en el origen.
y 2 y + 5 x + x3 y 2 = 0 se
N o t a : Para que dos curvas se intercepten en ángulo recto en un punto se debe
b) Dom ( f ) = [− 2,+∞ [
f ´( x) = −
1
2 x + 2 Si x =-2 entonces f´(x) no existe. Por lo tanto, en x =2 la gráfica de f tiene tangente vertical.
17) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es vertical si: a ) f ( x ) =
36 − x 2 b) f ( x ) = x La gráfica tiene tangente vertical en x =a si f´(a) no existe. x 2 x a ) Do Dom m ( f ) = [− 6 ,6 ] ⇒ f ´( x ) = − ⇒ f ′( x ) = 2 36 − x 2 36 − x 2 Si x = ±6 entonces f´(x) no existe. Por lo tanto, en x = ±6 la gráfica de f tiene una tangente vertical. 1 f ´( x ) = b) Dom ( f ) = [0,+∞ [ 2 x Si x =0 entonces f´(x) no existe. Por lo tanto en x = 0 la gráfica de f tiene una tangente vertical.
18) Determine los puntos en los cuales la recta tangente a: y = x 4 − 2x3 + 3 es
20) Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la parábola y = x en el punto cuya abscisa es x = 4 y ´ =
1 2 x
⇒ m tg =
1 2 x
⇒ m tg =
1 2 4
⇒ m tg =
1 4
Sustituimos el valor de x = 4 en la parábola para saber el punto de contacto:
y =
4 ⇒ y = 2 P ( 4,2) 1 (x − 4 ) ⇒ 4 y − 8 = x − 4 ⇒ x − 4 y + 4 = 0 R : y − 2 = t g 4 1 (x − 4 ) ⇒ y − 2 = − 4 (x − 4 ) ⇒ 4 x + y − 18 = 0 R : y − 2 = − N 1 4 to
21) Determine el punto P de la gráfica de y = Tangente pase por el origen. y =
2 x − 4 ⇒ y ' =
1 2 x − 4
⇒ y − 0 =
1 2 x − 4
2 x − 4 , para el que su recta
( x − 0) ⇒ y =
x
2 x − 4
24) En que punto la recta tangente a y = x 3 − 2 x 2 + 3 en (2,3); corta al eje y. y ′ = 3 x 2 − 4 x ⇒ y ′(2 ) = 4 ⇒ y − 3 = 4( x − 2 ) ⇒ y = 4 x − 5 x = 0 ⇒ y = − 5 ⇒ p c (0 , − 5 )
25) Usando derivada encontrar el vértice de la parábola y = x 2 + 4 x − 8. En el vértice de la parábola, la recta tangente a la gráfica tiene pendiente cero. y´= 0
⇒ 2 x + 4 = 0
⇒ x = −2
y (−2) = (−2) 2 + 4(−2) − 8 y (−2) = −12
Luego, el vértice de la parábola es (-2,-12).
26) Escribir la ecuación de la recta tangente y de la normal a la hipérbola y = 1 en el punto cuya abscisa es x = − . 2
1 x
27) Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = 3 x − 1 en el Punto (1,0). y´ =
1 3
( x − 1)− 2 / 3 ⇒
3
y − 0 = ∞ ( x − 1) y − 0 =
1
y´ =
⇒
−1 ( x − 1) ⇒ ∞
3
( x − 1)
2
1
= mtg (1) = 3
3
(1 − 1)
2
⇒ mtg = ∞
y = 0 Rtg
∞ ( y − 0 ) = − 1 ( x − 1) ⇒ 0 = − x + 1 ⇒ x − 1 = 0 R N
28) Hallar el punto en que la recta tangente al gráfico de f (x) = x3 + 4 en (1,5) se intercepta ella nuevamente.
29) En que punto de la curva: x 2 + y = x − x 2 la recta tangente a la curva es bisectriz del primer cuadrante. d y d y = 1 − 2 x ⇒ = 1 − 4 x x 2 + y = x − x 2 ⇒ 2 x + d x d x Sea (a, (a)) el punto de la curva, donde la tangente es bisectriz del primer cuadrante. Sea L : y = x , la recta tangente a la curva (ya que, L divide divide en dos ángulos iguales, el primer cuadrante) entonces 1 − 4 a = 1 ⇒ a = 0 Luego, y (0) = 0 − 2
02 = 0
Por lo tanto, el punto es (0,0)
31) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = perpendicular a la recta 6 x − 3 y − 4 = 0. y =
x − 3 ⇒ y´ =
1 2
( x − 3)
−1/ 2
⇒ y´ =
x −3
que es
1 2 ( x − 3)
6 x − 3 y − 4 = 0 ⇒ y = 2 x − 4 / 3 ⇒ mrecta = 2
−1 Com Como es perp perpeendic ndicul ular ar a la rec recta tg ⇒ m = tg 2 2 −1 1 2 ⎡ ⎤ = ⇒ − 2/ x − 3 = 2/ ⇒ x − 3 = − 1 ⇒ ⎣ x − 3 ⎦ = [−1] ⇒ x − 3= 1 ⇒ x = 4 2 2 x − 3 Sust x en la ec y = x − 3 y ⇒ y = 4 − 3 ⇒ y =1 ⇒ Pto (4,1) m = − y −1 = −
1 2
( x − 4) ⇒ 2 y − 2 = − x + 4 ⇒ x + 2 y − 6 = 0
Rtg
1 2
33) Calcular la ecuación de la recta tangente y una ecuación de la recta normal 1 a la curva y = , que es paralela a la recta x + 2 y − 6 = 0 . x y =
1 x
1
⇒ y´ −
⇒− =− 2
1
1 − x+6 − x ⇒ y= +3⇒mRecta=− =mt
1
x+2 y−6=0⇒ y=
2 x3
⇒−2 x =−2⇒ x =1⇒ x =1⇒ y= 3
3
2 x
2
3
2
1 x
2
⇒ y=1⇒ Pto: (1,1)
x +1 donde la recta normal es x+3 paralela a la recta de la ecuación 9x + 2y = 5 y determine la ecuación de la recta tangente en dichos puntos. 35) Determine los puntos en la curva f (x) =
f ´( x) =
x + 3 − x − 1
( x + 3)2
⇒ f ´( x) = 9 x
5
2 ( x + 3)2 9
1
36) Determine el o los puntos donde la gráfica de la x 2 + y 2 = 6x − 4y + 5 tiene tangentes paralelas a la recta y = x + 4 . 2 2 x + y = 6 x − 4 y + 5 ⇒ 2 x + 2 y
dy dx
=
6 − 2 x 2 y + 4
con y ≠ − 2
dy dx
=6−4
dy dx
⇒ (2 y + 4)
dy dx
= 6 − 2 x
y = x + 4 ⇒ mrecta = 1
l tg es paralela a la recta si mrecta = mtg ⇒
6 − 2 x 2 y + 4
= 1 ⇒ 6 − 2 x = 2 y + 4
2 − 2 x = 2 y ⇒ y = 1 − x
el punto (x, 1 - x)∈ x 2 + y 2 = 6 x − 4 y + 5 x + (1 − x) = 6 x − 4(1 − x) + 5 ⇒ x + 1 − 2 x + x = 6 x − 4 + 4 x + 5 2
2
2
2
2 x 2 − 12 x = 0 ⇒ 2 x( x − 6) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 6 x = 0 ⇒ y = 1 pto (0 ,1) ; x = 6 ⇒ y = −5 pto (6 , − 5) Rtg : p(0 ,1) ⇒ y − 1 = x − 0 ⇒ y = x + 1
relación
37) ¿En qué punto de la curva y 2 = 2 x3 la tangente es perpendicular a la recta 4 x − 3 y + 2 = 0 ? y = 2 x ⇒2 y y´=6 x ⇒ y´= 2
3
2
L : 4 x − 3 y + 2 = 0 ⇒ y = Sust en la ec(*):
−3 4
=
6 x2 2 y
4 x + 2 3
⇒ y´=
3 x2 y
⇒ mtg = 4
⇒ mrecta = ;
3 x2
3
3 x2 y
⇒ y = ± 2 x ⇒ mtg = 3
mtgmrecta = −1 ⇒ mtg =
3 x2 3
2 x
−3 4
2
2 ⇒ − 3 2 x = 12 x ⇒ ⎛ ⎜ − 2 x ⎞⎟ = (4 x2 ) ⇒ 2 x3 =16 x4 ⎝ ⎠ 2 x3 3
2
3
2 x3(1 −8 x)=0⇒ x = 0 ∧ x = 1 / 8 3
2 1 1 1 ⎛ 1 ⎞ Sust . y = ± 2⎜ ⎟ ⇒ y = ± ⇒ y = ± ⇒ y = ± ⇒ y =± 512 256 16 256 ⎝ 8 ⎠ 1 −3 1 − 24 x +1 ⎛ 1 −1 ⎞ ( x − ) ⇒ y = Pto⎜ , ⎟ ⇒ y + = 16 4 8 32 ⎝ 8 16 ⎠ 1 −3 1 − 24x + 5 ⎛ 1 1 ⎞ Pto ⎜ , ⎟ ⇒ y − = ( x − ) ⇒ y = 16 4 8 32 ⎝ 8 16 ⎠
(*)
38) Determine la ecuación de la tangente a la curva
x +y =x −
cuya pendiente es 1 . 2
1 + y` 2 x + y
= 1 − y´ ⇒ y´ =
2 x + y − 1 2 x + y + 1
⇒ mtg =
1 2
⇒ y´=
2 x + y − 1 1 2 x + y + 1
=
2
⇒2(2 x + y − 1) = 2 x + y + 1 ⇒ 4 x + y − 2 = 2 x + y +1⇒ 4 x + y − 2 x + y = 3 2 x + y = 3 ⇒ x + y =
3 2
De la curva x + y = x − y ⇒ x − y = y −
3 8
=
9
⇒ x + y = .
1 ⎛ 15 ⎞ 8 x − 9 ⎜ x − ⎟ ⇒ y = 2 ⎝ 8 ⎠ 16
4
3 2
⇒ x =
15
3 , y = . 8 8
40) Determine si la recta tangente a la curva y 2 − 2x3 + 4x 2 = −6x + 13 en el punto (2, -1) es una de las normales a la curva y − x 2 = 1 − 3x . d y − 6 x 2 + 8 x = − 6 d x d y 6 .22 − 8 .2 − 6 (2 , − 1 ) = ⇒ = −1 d x − 2
y 2 − 2 x 3 + 4 x 2 = − 6 x + 13 ⇒ d y 6 x 2 − 8 x − 6 = d x 2 y
2 y
luego, la recta tangente a la curva y 2
3 2 2x + 4x = 6x + 13 es:
41) Calcule la pendiente de la recta Tangente a la curva Ovalos de Cassini 2
+ a 2 ) − 4a 2 x2 = b4 en el punto (2, 2 ) , cuando a = 2 y b = 6
2
2
+ a2 )(2 x + 2 yy') − 8a2 x = 0
2
2
+ a2 )(2 yy') = 8a2 x − 4 x( x2 + y2 + a2 )
(x + y 2( x + y 2( x + y 2
y' =
2
(
8a x − 4 x x + y + a 2
(
2
2
4 y x2 + y2 + a2
2
)
) ⇒m
Tg =
2 2 8(2)2 2 − 4(2)⎛ ⎜(2) + 2 + (2) ⎞⎟
( ) ⎝ 4 2⎛ ⎜ 2 + ( 2) + 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ 2
2
2
2
⎠ ⇒ m = 64− 8(10) Tg
⎛ − ⎛ − 2 ⎞⎛ m= ⇒ mTg = ⇒ mTg = ⇒ mTg = ⇒ mTg = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ 40 2 40 2 10 2 5 2 ⎝ 5 2 ⎠⎝ 64− 80
mTg =
−2 2 5(2)
−16
⇒ mTg =
−4
−2
4 2 (10)
2 ⎞
⎟ 2 ⎠⎟
− 2 5
42) Determine las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la curva m
m
⎛ b ⎞ ⎛ a ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 en el punto (a, b). ⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠
L t g : y − y 1 = m T g ( x − x 1 ) ⇒ y − b = −
b a
(x − a ) ⇒
a y = − b x + b a + b a ⇒ a y = − b x + 2b a ⇒ y = − L N : y − y 1 = −
1 m Tg
( x − x1 ) ⇒ y − b =
by = ax − a + b ⇒ y = 2
2
2 2 ax − a + b
b
a b
b a
a y − a b = −b x + b a
( x − 2a )
(x − a ) ⇒
⇒ y =
a ⎛
⎜x+ b ⎝
by − b
2
= ax − a 2
2 2 b −a ⎞
a
⎟ ⎠
43) Determine las ecuaciones de la recta Tangente y de la recta normal a la curva y = e −
x
senx + x en el origen.
= −e− senx + e− cosx + 1 → y'= e− (cosx − senx) + 1 P (0,0) ⇒ y'= e0 (cos(0)− sen(0)) + 1 ⇒ y'= m = 2 tg tg y = e− xsenx + x ⇒ y'
L
tg
x
x
: y − y = m (x − x ) ⇒ y = 2x 1 Tg 1 1
x
44) Determine la ecuación de la recta Tangente a la curva cos(x y ) = x en el 1 2 ⎞ punto ⎛ ⎜ , ⎟.
⎝ 2 3 ⎠ cos ( xy) = x ⇒ − sen ( x y) [ y + x y'] = 1 ⇒ − ysen ( x y) − xy' sen ( xy) = 1
y' =
− 1 − y sen ( x y) x sen( x y)
3 ⎞ ⎛ 2π ⎞⎛ ⎛ 2π ⎞ ⎛ π ⎞ 3π ⎜ ⎟ − − 1 ⎜ ⎟⎜ − 1 − ⎜ ⎟ sen⎜ ⎟ − − 1 ⎟ ⎝ 3 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 2π ⎞ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 ⇒ = ⇒ = ⇒ y' = ' ' Pto Tg ⎜ , y y ⎟ 1 ⎛ π ⎞ ⎝ 2 3 ⎠ 3 1 ⎛ 3 ⎞ sen⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ 3 ⎠ 4 2 ⎝ ⎠
− 3 − 3π 3
y' =
⇒ y' =
3
− 4(3 + 3π ) 3
= mTg ⇒ y −
2π 3
=
− 4(3 + 3π ) ⎛ 1 ⎞ ⎜ x − ⎟ 3 ⎝ 2 ⎠
4 y = y =
− 4 x (3 + 3π ) 3
3
+
4(3 + 3π ) 6 3
+
2π 3
⇒ y =
− 4 x ⎡ 3 3 ⎤ 2⎡ 3 3 ⎤ 2π + + + π π ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎢⎣ 3 3 3 ⎥⎦ 3 ⎥⎦ 3 ⎢⎣ 3
⎤ 2⎡ 3 ⎤ 2π − 4 x ⎡ 3 − 4 x + + + + ⇒ = π π y ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
[
] 2 [ 3 + π ]+ 2π
3 + π +
45) Hallar la ecuación de la recta normal a la curva y = x ln (x ) que es paralela a la recta 2x − 3y + 3 = 0 . y ′ = ln( x ) + 1 = mtg ⇒ m N = − mrecta =
2 3
(
y e
y = −
)= e
−5 / 2
1
(
ln e
y = −
−
1 5 2
mtg
⇒ m N =
−1 ln( x) + 1
⇒ pero esta es paralela a la L N ⇒ m N = mrecta ⇒
− 3 = 2 ln x + 2 ⇒ ln x = −5 / 2
1
− 5 / 2
(
ln e
−5 / 2
−5 2
−5
⇒ A ln x = A 2 ⇒ x = A 2
)⇒ y = −
5 e −5 / 2
( x − e − ) − 5 e − 5 / 2
)+ 1 ( x − e − ) − 5 5 / 2
+1
−5
2 −1 = ln( x) + 1 3
2
2 5 / 2
2
e − 5 / 2 ⇒ y =
2 3
( x − e − ) − 5 e − 5 / 2
2
5 / 2
2
19
3
6
⇒ y = x −
e − 5 / 2
Se iguala con la curva dada x − 1
− 2 x 2 − 8 x − 14 2 x x x ( 1 ) ( 3 ) 2 = ⇒ − + = − − 8 x − 14 2/ x + 3 ( x + 3) x + 3 x − x − 3 = − 2 x − 8 x − 14 ⇒ x + 10 x + 11 = 0 2
x =
2
2
− 10 ± 100 − 4 (1) (11) 2
x = − 5 ±
14 ⇒
⇒ x =
x1 = − 5 +
− 10 ± 56 2
⇒ x =
− 10 ± 2 14 2
⇒ x 2 = − 5 − 14
14
Ahora calculamos las pendientes y las rectas: m tg =
4 ( x + 3) 2
y + 2 = m2 =
4 ( − 2 14 )
2
y + 2 =
14 + 3) 2
4 ( x + 1) (−2 −
(−5 +
( x + 1)
4 (−5 −
4
⇒ m1 =
14 )
2
⇒
⇒ m2 = ⇒
14 + 3 ) 2 y =
⇒ m1 =
4 ( x + 1) (−2 +
14 )
2
4 (−2 −
y =
14 ) 2
4 ( x + 1) (−2 −
14 )
2
−2
4 (−2 +
−2
14 ) 2
48) Encuentre los puntos del círculo x 2 + y 2 = 1 para los que la pendiente de la recta tangente vale -2. − x x 2 2 ⇒ mtg = y ′ = −2 ⇒ − 2 = − ⇒ 2 y = x x + y = 1 ⇒ 2 x + 2 y y ′ = 0 ⇒ y ′ = y y
(2 y) 2 + y 2 = 1 ⇒ 4 y 2 + y 2 = 1 ⇒ 5 y 2 = 1 ⇒ y 2 = Sustituyendo en la ecuación 2y
x
1 5
⇒ y=±
1 5
49) Calcular la ecuación de la recta tangente a la parábola y 2 = 2 p x en el punto de su gráfica P (x 0 , y 0 ) . y = 2 px ⇒ 2 y y ′ = 2 p ⇒ y ′ = 2
2 p 2 y
⎛ p ⎞ ⎟⎟ y = en el punto ( x 0 , y 0 ) ⇒ M tg = ⎜⎜ y ⎝ y 0 ⎠ p
y − y 0 =
p y 0
( x − x 0 ) ⇒ ( y − y 0 ) y 0 = px − px 0
yy 0 − y 02 = px − px 0 ⇒ yy 0 = px − px 0 + y 02
yy 0 = px − px 0 + y 0
2
Pero la parábola en el Pto ( x 0 , y 0 ) es y 02 = 2 px 0 ⇒ yy 0 = px − px 0 + 2 px 0 yy 0 = px + px 0
( Ec . Re cta Tg .)
50) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva y 2 4 y = x 2 x en el punto
− x 0 b 2
y − y 0 =
2
a y 0
2 2 ( x − x 0 ) ⇒ a y 0 ( y − y 0 ) = − xab ( x − x 0 )
a y 0 y − a y 0 = − x 0 xb + x 0 b ⇒ a y 0 y + x 0 xb = x 0 b + a y 0 2
2
2/
a/ y 0 y 2
a/ b
2
+
2
2
x 0 xb/ a b/ 2
2
2/
=
x 0 b/ 2
2
a b/
2
2
+
2
2
2
2
2
a/ y 0 2
a/ b
2
⇒
2
y 0 y b
+
2
x 0 x a
2
Pero; en el P ( x 0 , y 0 ) la elipse es Entonces:
y 0 y b
2
+
x 0 x a
2
x 0 a
2
2
2
2
=
x 0 a
2
2
2
2
2
+
y 0 b
2
2
+
y 0 b
2
=1
= 1 Ecuación de la recta Tg a la elipse.
52) Determine las ecuaciones de la tangente y normal a la curva 1 2 9 2 ⎞ el punto ⎛ k ⎟. ⎜ k , 16 16 ⎝ ⎠ 1
+
2 x
y ′
2 y 9
m tg = −
16
= 0 ⇒ y´ = − k
y x
al sust p tg
2
= − 3 ⇒ m N =
1
x +
y = k en
54) Demuestre que ninguna recta puede ser tangente a la curva y = x 2 en dos puntos diferentes. Suponemos que existe una recta tangente a la curva en dos puntos diferentes P 0 (x 0 , y 0 ) y P 1( x 1 , y 1 ) se debe demostrar que x 0 = x 1. Para P 0 : y 0 = 2 x 0 ⇒ y − y 0 = 2 x 0 ( x − x 0 ) ; pero y 0 = x 0 ´
2
y − x 0 = 2 x 0 ( x − x 0 ) ⇒ y = 2 x 0 ( x − x 0 ) + x 0 ( Ec. 1) 2
Para
2
1
:
y1 = 2 x1 ⇒ y − y1 = 2 x1 ( x − x1 ) ´
y − x1 = 2 x1 ( x − x1 ) ⇒ y = 2 x1 ( x − x1 ) + x1 ( Ec. 2) 2
2
Las ecuaciones de las tangentes y de la curva son satisfechas por ambos puntos. 2 2 2 2 x1 = 2 x 0 ( x1 − x 0 ) + x 0 ⇒ x1 − 2 x 0 x1 + x 0 = 0 2 ( x1 − x 0 ) = 0 ⇒ x1 = x 0
Ninguna recta Tg a la curva lo es en dos puntos diferentes, cualquier recta Tg, solo lo es un punto. 55) Hallar la ecuación de la parábola y = x 2 + bx + C , que es tangente a la recta
56) Determine los valores de las constantes a, b y c en la ecuación de la curva 2 y = ax + bx + c si ésta pasa por (1,0) y además la recta y = − 4 x − 8 es tangente en ella (-1, -4). f ( x ) = ax
2
+ bx + c ⇒ f (1) = a (1) 2 + b (1) + c ⇒ a + b + c = 0 Ec 1
f ( − 1) = a ( − 1) + b ( − 1) + c ⇒ a − b + c = − 4 Ec 2 2
f ′( x ) = 2 ax + b ⇒ De y = -4x - 8 ⇒ m recta = − 4
Como la recta dada es tangente a la curva en x = -1 ⇒ -2a + b = -4 Ec 3 2 Sistema de ecuaciones : a = 3, b = 2, c = − 5 ⇒ y = 3 x + 2 x − 5
y − x 3 − ax = b ⇒ y´−3 x 2 − a = 0 m recta = 5 ⇒ 3 + a = 5
⇒ y´ = 3 x 2 + a Sust . x = 1 ⇒ y´= 3 + a
⇒a=2
Sustituir el punto (1 , 2) en la curva y − x 3 − ax = b ⇒ 2 − (1) 3 − 2 ⇒ 1 = b Luego; y − x 3 − 2 x = −1
60) Determinar un punto P(a, b) en la curva de ecuación y = 2 x − 1 , tal que la recta x − 1
tangente a la curva en dicho punto forma con los ejes coordenados un triángulo en el primer cuadrante de área 25/2 con a>1. 2 x − 2 − 2 x + 1 1 1 2a − 1 = ⇒ ⇒ = − ⇒ = i ) y´= p a b y a p a b en y a b ( , ) ´( ) ; ( , ) ( ) 2 2 2 a −1 (a − 1) ( x − 1) ( x − 1) 1 2a − 1 − + ⇒ si y = 0 ⇒ x = ( 2a − 1) ( a − 1) + a ( ) Ltg : y = − x a 2 a −1 ( a − 1) si x = 0 ⇒ y =
a + (2a − 1) (a − 1)
área del triángulo :
(a − 1) xy
2
=
2
25 2
⇔ xy = 25 ⇒
((2a − 1) (a − 1) + a )2 (a − 1)
2 2 2 a − 2 a − a + 1 + a = 5a − 5 ⇒ 2 a − 7 a + 6 = 0 ⇒ a =
Si
a=2 ⇒ b=3 ;
P( 2 , 3)
Si a =
2 3
2
7±
⇒ b= 4 ;
= 25 ⇒
49 − 48 4
((2a − 1) (a − 1) + a ) (a − 1)
⇒ a=2 , a=
=5
3 2
⎛ 3 ⎞ , 4⎟ 2 ⎝ ⎠
P⎜
61) Usando derivada muestre que en una línea circunferencia de centro (h, k) y
62) Determine el valor de la constante C en la ecuación 3 y + x + ln ( y + 1) ( x − 1) = c, sabiendo que la recta tangente a dicha curva en − (e + 1) x = e + 1 tiene pendiente m = . e+3 x( y + 1) Derivando la ecuación de la curva se obtiene y = − y ( x − 1) ( y + 4) sustituyendo de acuerdo a la información suministrada, queda e +1 − (e + 1) ( y + 1) , Cuya solución es y = e – 1. =− e( y + 4) e+3
Haciendo ahora las correspondientes sustituciones de los valores de x, y en la ecuación dada C = 2e + 4.
63) Determine los valores de las constantes a y b en la ecuación y =
a
2
x
+
b
2
a−b
64)
Determine
los
valores
de
las
constantes a y b en la ecuación 3 π y = a sen x + b cos 2 x, sabiendo que la recta y = es tangente a ella en x = . 2 6 π Al evaluar en x = , la ecuación dada, queda a + b = 3 . Derivando y 6 usando el hecho de que la tangente tiene pendiente cero, se tiene:
y´ = a cos x − 2b sen 2 x ⇒ a − 2b = 0. ⎧a + b = 3 ⎫ Resolvamos ahora el sistema ⎨ ⎬ ⇒ a = 2, b = 1. a 2 b 0 − = ⎩ ⎭ 65)
Determine
los
valores
de
las
constantes
a
y
b
en
la
ecuación
ax + by − 9 xy = 0 si la recta normal en (2,1) está dada por 4 x + 15 y −13 = 0. 3
3
Sustituyendo las coordenadas del punto de tangencia en la ecuación de la curva obtenemos 8a + b = 18. De la ecuación de las normal se desprende que la pendiente de la tangente es
5 4
. Derivando implícitamente la ecuación de la curva
De D e las la s ec ecua ua cion ci on es 2 y 3
2 = a+b+c 6 = −a + b + c 8 = 2 b + 2 c E c5
D e las la s ecu e cu acio ac ione ne s 4 y 5
2 . ( − 4 = − b − 3c ) ⇒ − 8 = − 2 b − 6 c 8 = 2b + 2 c
8 = 2b + 2 c 0 = − 4c ⇒ c = 0
b=4
a = −2
67) Determine los valores de las constantes a, b, c y d si la curva
68) Determine el valor de la constante a en la ecuación de la curva y = a − x 2 − a sabiendo que la recta 3 x + 5 y − 4 5 − 4 = 0 es tangente a ella en el punto de abscisa x = 3. 2 x 3 x + 4 5 3 x x f ' ( x) = − De la recta y = ⇒ f ' ( x) = − ⇒ y = +4 2 2 5 5 2 x − a x − a 2
69) La recta x + y − 2 = 0 , es tangente en el punto (1,1) a la curva de ecuación x 5 + ay5 − bxy = 0
. Determine los valores de las constantes a y b .
− 5 x 4 + by 5 x + 5ay y ′ − b( y + xy ' ) = 0 ⇒ 5 x + 5ay y ′ − by − bxy ' = 0 ⇒ y ' = 5ay 4 − bx 4
4
4
4
− 5 x 4 + by De la recta x + y − 2 = 0 ⇒ y = − x + 2 ⇒ m = −1 = f ' ( x) ⇒ −1 = 5ay 4 − bx − 5ay 4 + bx = −5 x 4 + by
⇒ Sust Ptg (1 ,1) ⇒ −5a + b = −5 + b ⇒ a = 1
sust el p tg y el valor de a en la curva : 1 + (1)(1) − b(1)(1) = 0 ⇒ b = 2
x3 + a 70) Encontrar el valor de “a” en la curva y = . Sabiendo que la recta ax + 3 tangente a la curva en x = 1 es paralela a la recta y − 2x + 2 = 0. y´=
3 x 2 (ax + 3) − ( x 3 + a) a (ax + 3)
2
⇒ y´=
3ax2 + 9 x 2 − ax3 − a 2 (ax + 3)
2
⇒ y´=
2ax2 − a 2 + 9 x 2 (ax + 3)
2
= mtg
)
y 72) Determine el valor de la constante C en la ecuación ln e − 1 = c − x , sabiendo que la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa x = 3 tiene
1
pendiente m = − . 2
y y e y' 1− e y y = −1 → e y' = 1 − e → y' = , Ln e − 1 = c − x ⇒ Calcular la mtg ⇒ y y e −1 e y 1 1 1− e y y ⎞ y y ⇒ −e = 2⎛ pero m = − = y' ⇒ − = ⎜1 − e ⎟ → −e + 2e = 2 y 2 2 ⎝ ⎠ e y y e = 2 → Lne = Ln2 → y = Ln2
(
y
)
Ln2 − 1 ⎞ = c − 3 ⇒ Ln(2 − 1) = c − 3 ⇒ Ln(1) = c − 3 ⇒ c = 3 Sust en la Ec : Ln⎛ ⎜e ⎟
⎝
⎠
73) Determine el valor de la constante c en la ecuación y = x + csenx + cos x si se sabe que toda recta tangente a la gráfica de y es de pendiente 1. y' =1 + C cos x − senx ⇒ 1 = 1 + C cos x − senx ⇒ 0 = C cos x − senx ⇒ senx = C cos x
75) La recta y =
π 2
− 1 , es tangente a la curva y = x + a senx + b cos x en el punto
⎛ π π ⎞ . Determine los valores de las constantes a y b. ⎜ , − 1⎟ ⎝ 2 2 ⎠
f ' ( x) = 1 + a cos x − b senx ⇒ m = 0 (recta horizontal) ⇒ 0 =1 + a cos x − b senx a cos x − b senx= −1 ⇒ x =
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⇒ a cos x⎜ ⎟ − b sen⎜ ⎟ = −1 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
π
Sust en la curva
π 2
−1 =
π ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ π + a sen⎜ ⎟ + cos⎜ ⎟ ⇒ − 1 − = a ⇒ a = −1 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2
π
76) Hallar las ecuaciones de las tangentes a 9 x 2 + 16 y 2 = 52 que sean paralelas a la recta 9 x − 8 y = 1 . 18 x + 32 yy´= 0
⇒ y´=
−18 x 32 y
⇒ y´=
−9 x 16 y
⇒
9x −1 8
=y
⇒ mtg =
9 8
77) Hallar los puntos 2 2 x + 4 xy + 16 y = 27
de
2 x + 4 ( y + xy ´) + 32 yy´= 0
⇒ 2 x + 4 y + 4 xy ´+ 32 yy´= 0 − 2/ ( x + 2 y ) − ( x + 2 y ) y´= y´= 2 (2 x + 16 y ) 2 x + 16 y
y´= (4 x + 32 y ) = −2 x − 4 y
Tangentes Horizontales ⇒ y´= 0
las
tangentes
horizontales
y
verticales
de
59).Calcule el valor de K en la ecuación y = 5 x 2 − 8 x + Κ sabiendo que la recta y = 2 x − 1 es tangente a ella. y ' = 10 x − 8
⇒ m recta = 2 ⇒ 2 = 10 x − 8 ⇒ x = 1
Sust en la recta ⇒ y = 2(1) − 1 ⇒ y = 1 ⇒ Ptg (1,1) sust ⇒ 5(1) 2 − 8(1) + Κ ⇒ Κ = 4
Por favor a los lectores espero su valiosa colaboración, en la revisión de los mismos y hacerme llegar las sugerencias y correcciones necesarias a las direcciones electrónicas publicadas.
