PLANOS TANGENTES A SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN INTRODUCCIÓN: EL PLANO Un plano queda determinado en el espacio por: 1. 2. 3. 4.
Tres pun punto toss no coli coline neal ales. es. Una Una recta recta y un punto punto exteri exterior or.. Por Por dos dos rect rectas as que que se se corta cortan. n. Por Por dos dos recta rectass paral paralel elas. as.
A. CONCEPTO SOBRE PLANOS TANGENTES a)
Un plano es tangente a una superficie de revolución cuando: on ella tiene un punto com!n y sólo uno. "#emplo: entre la esfera y un plano. $%ig. 1&.1'a(.
b) uando entre el plano y la superficie los puntos de contacto son los puntos que pertenecen a alguna generatri) contenida en la superficie de revolución. "#emplo: la tangencia de planos con superficies cónicas y cil*ndricas. $%ig. 1&.1'+(.
( a)
( b) Fig. 10.1
Anotación Anotación fn!a"#n fn!a"#nta$: ta$: como como sa+em sa+emos os las las difer diferen ente tess form formas as de como como qued quedaa determinado un plano $por e#emplo: por dos rectas que se cortan ' , entonces para construir construir un plano tangente tangente a una superficie superficie curva en alg!n alg!n punto de -sta, nos ser suficiente determinar dos l*neas contenidas en esta superficie y una recta tangente a cada una de dic/as l*neas que pasen por dic/o punto. "stas dos rectas nos delimitan el plano tangente.
0 contin continuaci uación ón expone exponemos mos m-todo m-todoss de determ determina inarr planos planos tangen tangentes tes con conos, conos, cilindros cilindros y esferas por un punto punto contenido en dic/a superficie, superficie, por un punto exterior y paralelo a una recta dada.
TEOR%A: B. PLANOS TANGENTES TANGENTES A CONO B&.POR UN PUNTO CONTENIDO EN SU SUPERFICIE 'ETODO
Unidos el v-rtice del cono con el punto dado mediante una recta $generatri)( que la prolongamos /asta tocar un punto de de la directri) del cono en la +ase de ella. Por -ste punto tra)amos una recta tangente a la directri). "l plano tangente queda determinado por la tangente geom-trica y la generatri) que pasa por el punto dado. a fig. 1&.2 nos muestra grficamente -ste m-todo.
VH VH
PH
PH
OH
OH
VF
TH
PF
f
OF
VF
SH
VF
PF TF OF
SF
SF
OF f
TF
B(.DESDE UN PUNTO ETERIOR 0 -ste plano tangente de+e pertenecer el punto dado y el punto v-rtice del cono la recta que une -stos puntos ser una recta contenida en -ste plano.
'ETODO
Unimos el v-rtice del cono y el punto dado con una recta que la prolongamos /asta intersectarlo con el plano donde se /alla contenido la directri) del cono $punto (. esde -ste punto tra)amos una tangente geom-trica a la directri) del cono.
"l plano tangente que +uscamos queda determinado por la tangente geom-trica y la recta al que pertenece el punto dado en el v-rtice $5ecta 6(. a fig. 1&.3 nos muestra grficamente -ste m-todo: 78 87U79"8.
B*.POR UNA RECTA PARALELA A OTRA DADA "n -ste caso, en el plano tangente se /allar contenida una recta paralela a la recta dada, y el punto v-rtice del cono pertenecer a ella.
'ETODO
Por el v-rtice del cono tra)amos una paralela a la recta dada prolongndola /asta cortar el plano donde se /alla contenido la directri) $punto (. esde -ste punto delineamos una recta tangente a la directri) del cono $78 87U79"8( "l plano tangente queda determinado por la tangente geom-trica y la recta paralela a la dada. as rectas 2 y 6 nos delimitan un plano tangente, paralela a la recta dada. a otra solución es el plano 16 $%ig. 1&.4(.
C. PLANOS TANGENTES A CILINDRO C&.POR UN PUNTO CONTENIDO EN SU SUPERFICIE "ste plano queda determinado por una generatri) que pase por el punto dado y una recta tangente a la directri) del cilindro.
'ETODO
elineamos una generatri) por el punto dado, la que prolongamos /asta cortar el plano de la +ase $punto1(. Por -ste punto tra)amos una tangente geom-trica. as rectas 21 y 8T $generatri) y tangente geom-trica en el cilindro, %ig. 1&.;(, nos delimitan el plano pedido.
C(.DESDE UN PUNTO ETERIOR
Por el punto dado delineamos una paralela alas generatrices del cilindro, la que prolongada intersecta el plano de la directri) $plano de la +ase del cilindro( en un punto $punto en nuestro e#emplo(. Por aquel punto tra)amos una tangente geom-trica a la directri) $78 87U79"8(. "l plano tangente queda determinado por la tangente geom-trica y la recta paralela que pasa por el punto dado $%ig. 1&.<(.
C*.PARALELO A UNA RECTA DADA Por un punto cualquiera delimitamos un plano inicial mediante una recta paralela a la dada y a la generatri) del cilindro, el que ser paralelo al plano que se pide.
'ETODO
Por un punto $P en nuestro e#emplo, %ig. 1&.=(, tra)amos una paralela a la recta dada que prolongamos /asta cortar el plano de la +ase del cilindro $punto >(. Por el mismo punto tra)amos otra recta paralela a las generatrices del cilindro que tam+i-n corten al plano de la +ase del cilindro $punto ?(. Por la DIRECTRI+ del cilindro tra)amos una tangente geom-trica paralela a la recta engendrada por los dos puntos originados de la intersección de las dos rectas en el plano de la +ase del cilindro $78 87U79"8(. "l plano tangente +uscado queda determinado por la tangente geom-trica y la generatri) tra)ada desde el punto de tangencia. "n nuestro e#emplo $%ig. 1&.=(, el plano determinado por 18 y 0@ $plano +uscado( es paralelo al plano inicial P?>.
D. PLANOS TANGENTES A ESFERA D&.POR UN PUNTO CONTENIDO EN SU SUPERFICIE 'ETODO
eterminamos la proyección a!,ac#nt# del punto dado $P(. Tra)amos una recta que una el centro de la esfera con el punto P $radio( y por -ste tra)amos un plano perpendicular a esta recta en dic/o punto. "n nuestro e#emplo, el plano formado por las rectas 0@ y $recta /ori)ontal y frontal, respectivamente( nos forman el plano tangente por el punto P en la superficie de la esfera $%ig. 1&.A(.
NOTA: o+servar que el plano tangente que se /a /allado es por un punto en la superficie del casquete superior de la esfera.
D(.POR UNA RECTA DADA FUERA DE LA SUPERFICIE DE LA ESFERA
Por cualquiera de las proyecciones dadas de la recta, determinamos una proyección de -sta como punto. uego, desde este punto tra)amos un plano de canto a la esfera $dos soluciones(. os radios de la esfera que se tracen perpendiculares a estos puntos de tangencia, nos locali)an completamente estos puntos. "n el e#emplo de la %ig. 1&.B, proyectamos la recta 0@ como puntos en la vista 2, de donde tra)amos planos tangentes $de canto( que tocan a la esfera en puntos 5 y T
los que trasferimos a las dems vistas, determinando luego la visi+ilidad de los planos tangentes.
D*.POR UN PUNTO ETERIOR FUERA DE LA SUPERFICIE DE LA ESFERA.- CO'O EN VOLANTE
Por un punto exterior a una esfera se podrn tra)ar infinitos planos tangentes cuyas infinitas rectas de tangencia contenidas en los planos tangentes nos genera un cono envolvente. "l mismo criterio de cono #no$#nt# se tendr si se tiene una recta tangente a la esfera que se mueve $con uno de sus extremos en el punto(, seg!n una circunferencia de tangencia en la superficie de la esfera.
CONO ENVOLVENTE A DOS ESFERAS 0 dos esferas que no sean tangentes ni se corten entre ellos siempre ser posi+le tra)ar dos tipos de conos envolventes en la que se /allen contenidas dic/as esferas.
Cono/ #no$#nt#/ !# na /o$a 0a"a: el v-rtice se /alla en la prolongación de la l*nea de centros am+as esferas se /allan contenidas en un solo cono. %ig. 1&.1&'a.
Cono/ #no$#nt#/ o1#/to/ 1o0 #$ 20tic#: tiene el v-rtice en la l*nea de los centros de las dos esferas. %ig. 1&.1&'+. a %ig.1&.1&'a nos muestra las proyecciones de dos esferas, donde prolongando la l*nea de centros encontramos un punto de intersección 6, punto de encuentro de las tangentes
a las esferas, desde donde se podr tra)ar un cono envolvente. "ste cono envolvente forma en las dos esferas dos circunferencias de tangencia. "n la %ig. 1&.1&'+, se o+serva que el v-rtice de los conos se /alla entre la l*nea de centro, y que esta recta tam+i-n es una recta /ori)ontal la circunferencia de tangencia queda indicado n*tidamente en el grafo, donde el cono envolvente toca a las dos esferas.
D3.POR UN PUNTO ETERIOR A DOS ESFERAS Para tra)ar planos tangentes dos esferas prolongamos la l*nea de centros /asta formar un cono que contenga a am+as esferas, luego tra)amos planos tangentes desde el punto dado al cono envolvente que sern los planos tangentes +uscados.
'ETODO "n la %ig. 1&.11, se dan las proyecciones de dos esferas de centro 0 y @, respectivamente. "n el plano 1 se muestra la l*nea de centros en 6, donde se forma el cono envolvente a las dos esferas desde 6 tra)amos una recta que pase por P e intersecte el plano de la +ase en el punto ?, desde donde tra)amos dos rectas tangentes. $Plano 2( a la circunferencia +ase del cono envolvente formndose de este modo los planos tangentes ?7? y ?7>, que trasferimos a las dems vistas, anali)ando la visi+ilidad correspondiente.
E.
CONOS RECTOS DE V4RTICE CO'UN.- APLICACIONES ELE'ENTALES: TRA+AR RECTAS 5 PLANOS 6DESDE UN PUNTO O UNA RECTA) 7UE 8AGAN ANGULOS DETER'INADOS CON OTRAS RECTAS O PLANOS. INTRODUCCIÓN9 DEFINICIONES 5 RECONOCI'IENTO PREVIO SOBRE DOS CONOS INSCRITOS EN UNA ESFERA
8i se pasa de un plano secante perpendicular al e#e del cono recto $que no sea en el v-rtice(, entonces se tendr que toda generatri) del cono forma un ngulo con este plano, generando una circunferencia como directri) so+re ella. 7+servar que B&.
CONOS DE V4RTICE CO'UN os conos rectos de v-rtice com!n, pueden ser entre ellos tangentes $si tiene una generatri) com!n(, secantes $si tienen dos generatrices comunes(, y no ser tangentes ni secantes $si no tienen ninguna generatri) com!n(.
La/ #n#0at0ic#/ !# $o/ cono/ 0#cto/ $siempre que la amplitud respecto a sus e#es sea menor de B&C(, podrn prolongarse en ia$ $onit! que los originales y formar otros cono/ o1#/to/ 1o0 #$ 20tic# a los dados. as generatrices de estos conos estarn contenidos en 5"T08 7U9"8, a los que denominaron: 0#cta #n#0at0i;9 las que nos engendran $a0#/ cónico/ de dos /o#as.
8iempre podremos conce+ir una esfera imaginaria en la que se /allen inscritos dos lugares cónicos que /emos logrado, con los v-rtices en el centro de la esfera y los c*rculos de sus +ases en la superficie esf-rica. La #/f#0a i"aina0ia #/ n a
"stos lugares cónicos, sern entre si: Tangentes: si tienen una sola recta generatri) com!n. 8ecantes: si tienen dos, tres o cuatro rectas generatrices comunes. 9i tangentes, ni secantes: si no tienen en com!n alguna recta generatri).
Para que dos lugares cónicos tengan rectas generatrices comunes depende de la amplitud de los ngulos que las rectas generatrices /agan con el e#e del cono o con el plano de sus +ases, y de la disposición espacial que exista entre ellos de modos que podr darse cero, uno, dos, tres o cuatro generatrices comunes. undo utilicemos este concepto en la resolución de pro+lemas o dificultades en geometr*a descriptiva, podremos /allar como respuesta uno cualquiera de las cinco posi+ilidades, las que podrn darnos indistintamente: cero, uno, dos, tres o cuatro soluciones. uando el ngulo entre los e#es de los conos #/ "a,o0 que la suma de los ngulos que forman las generatrices con su respectivo e#e, entonces, los conos no tienen recta de intersección. $%ig.1&.1;'a(. uando dic/o ngulo es igual a la suma de los ngulos que forman las generatrices con su respectivo e#e, entonces se trata de conos tangentes tienen en com!n una recta generatri). $%ig. 1&.1;'+(.
uando dic/o ngulo es menor que la suma de los dos ngulos que forman las generatrices con su respectivo e#e, entonces se trata de conos secantes, que pueden tener en com!n dos, tres o cuatro rectas generatrices comunes.$%ig. 1&.1;'c, d, e(.
0 continuación reseDamos diferentes aplicaciones elementales, de cómo situar o tra)ar una recta o un plano que /aga =n$o !a!o con otras rectas o planos donde /aremos uso del tra)ado del $a0 #o"2t0ico cónico9 y en algunos casos, elementos de #uicio so+re planos tangentes.
E&.TRA+AR UNA RECTA 7UE FOR'E ANGULOS DADOS CON OTROS DADOS 8i se tiene dos rectas cualesquiera, por el punto de intersección $para rectas que se cortan( o por el punto en que una paralela a la otra corta a la primera $para rectas que se cru)an(, tra)amos los lugares cónicos con ngulos dados y generatrices de igual longitud $tomando a aquellas como e#es(, que circunscri+imos en una esfera imaginaria, para me#or visuali)ar y determinar las rectas generatrices comunes $si existen(. 8i existe ms de una solución escogemos a criterio una de ellas.
E&.&. CON DOS RECTAS 7UE SE CORTAN 6CASO PARTICULAR) PROBLE'A: ados dos rectas 7 y 7 determinar entre ellos una tercera recta que /aga con la primera 3;C y con la segunda 3&C.
SOLUCIÓN omo las proyecciones de las rectas dadas en el plano % se /allan en 6, el punto de intersección 7 tomamos como v-rtice para formar conos cuyas generatrices /agan 3;C y 3&C con las rectas 7 y 7 $que los tomamos como e#es(.
"stos lugares cónicos, como se o+serva en la %ig. 1&.1<, son secantes seg!n dos rectas generatrices 55E y 88E, que son las soluciones del pro+lema. Podemos escoger cualquiera de ellas como la tercera recta que /ace con 7 y 7 3;C y 3&C, respectivamente, por e#emplo, 55E, donde se /alla contenido 75.
E&.(. DADAS DOS RECTAS 7UE SE CORTAN 6CASO GENERAL) PROBLE'A: adas las rectas 7 y 7, /allar entre ellos una tercera, que /aga con 7, <&C y con 7, 4;C.
SOLUCIÓN omo las rectas 7 y 7 tienen cualquier posición en el espacio, formamos el plano 71 en el que se /alle contenida la recta 7, lo que proyectamos en 6 en el plano 2. Por el punto de intersección de 7 y 7 tra)amos los lugares cónicos con <&C y 4;C respecto alas rectas dadas $que /acen de e#es de estos lugares cónicos(, que circunscri+imos en una esfera imaginaria. "ncontramos 3 soluciones: 55E, 88E y TTE, rectas generatrices a am+os lugares cónicos que visuali)amos me#or en el plano 3, donde el cono que /ace 4;C con su e#e, tiene esta $la recta 7( como punto. ualquiera de las tres soluciones podemos tomarlo como respuesta al pro+lema, cuyas proyecciones trasladamos a las dems vistas. $%ig. 1&.1=(.
E&.*. CON DOS RECTAS 7UE SE CRU+AN 6CASO GENERAL) PROBLE'A: Tra)ar una recta que /aga =2C y ;;C con las rectas y 0@. 6er grafico.
SOLUCIÓN omo las rectas dadas se cru)an, determinaremos una recta paralela a la otra que corte la primera y por dic/a intersección tra)amos los lugares cónicos con =2C y ;;C, tomando aquellas como e#es de los lugares cónicos. "n el grafo de la %ig. 1&.1A, proyectamos en el plano 3, rectas dadas en 6 y por el punto de tra)amos la recta paralela a 0@. Por el punto de intersección de con tra)amos los lugares cónicos con =2C y ;;C respecto a y $que /acen de e#es(, limitndolo con una esfera, para determinar cuatro rectas generatrices de intersección comunes entre los lugares cónicos: 11F, 22F, 33F y 44F. Tomamos a criterio 2 contenido en 22E. eterminamos 2 en el plano 2 en la proyección del lugar cónico que /ace ;;C con su e#e y desde un punto de tra)amos una paralela 9 a 2 con 9 en 0@. uego 9 es una de las rectas que cumple con las condiciones dadas. a proyección de 9 lo determinamos en el plano 3 aplicando el criterio de paralelismo respecto a 2, que trasferimos a las dems vistas.
E(. DESDE UN PUNTO TRA+AR UNA RECTA 7UE FOR'E ANGULOS DADOS CON DOS PLANOS Por el punto dado tra)amos rectas perpendiculares a los planos, como e#es de dos conos rectos cuyas generatrices van /acer ngulos pedidos con sus respectivas +ases. os conos cuyas +ases pueden estar o no contenidas en los planos dados, los podemos inscri+ir en una esfera con centro en el punto P $v-rtice de los conos(, para me#or visuali)ar nuestros anlisis.
E.(.&. CON DOS PLANOS PRINCIPALES 6E>E'PLO: CON LOS PLANOS 8 5 F) PROBLE'A: dado el punto 7, locali)ar una l*nea que /aga un ngulo de 3;C con el plano frontal y un ngulo de 43C con el plano /ori)ontal.
SOLUCIÓN
Tomamos el punto 7 como v-rtice de dos conos rectos, cuyas generatrices de igual longitud van /acer ngulos de 43C y 3;C con lo planos /ori)ontales y frontal, respectivamente. "n la %ig. 1&.1B se o+serva la construcción de estos conos, que nos ofrecen 4 rectas generatrices comunes: 00E, @@E, E, y E $cuatro soluciones que cumplen con las condiciones del pro+lema(. as proyecciones logradas en los planos G y % son +astantes explicitas para visuali)ar las rectas de intersección. orro+oramos estas cuatro soluciones inscri+iendo los conos en una esfera imaginaria, lo que proyectamos en el plano P.
E(.(. CON DOS PLANOS CUALES7UIERA PROBLE'A: tra)ar rectas que pasen por P y que /agan 2;C con el plano 0@ y 3;C con el plano 0@.
SOLUCIÓN U+icada la recta de intersección de los planos dados, proyectamos esta de punta y los planos dados de canto, lo que logramos en el plano 2. uego, desde el punto P tra)amos rectas perpendiculares a los planos que /acen de e#es de los conos. eterminamos cuatro soluciones posi+les: 11F, 22F, 33F y 44F. Tomamos a criterio P1 y P2 que con el auxilio de la proyección de uno de los conos en el plano 3, llevamos a las dems vistas $P1 y P2 contenidos en 11F, 22F(. 0 los planos 0@ y 0@ que /acen de e#e de dos conos cuyas generatrices de igual longitud forman con el plano de su +ase paralelos a los planos dados( 2;C y 3;C, respectivamente $%ig. 1&.2&(.
E*. POR UNA RECTA TRA+AR UN PLANO 7UE 8AGA ANGULO DADO CON UN PLANO: esde cualquier punto de la recta dada tra)amos una perpendicular al plano dado que /aga de e#e de un cono recto cuya generatri) /ace ngulo dado con el plano de su +ase. el punto de intersección de la recta dada con el plano de la +ase del cono tra)amos rectas tangentes a su directri). "l plano +uscado lo forman la recta dada y una recta que pasando por el punto de intersección de la recta dada con el plano de su +ase, sea tangente a la directri) del cono. "n este plano estar contenida una generatri) del cono que /aga ngulo dado con el plano de su +ase.
E*.&. POR UNA RECTA TRA+AR UN PLANO 7UE 8AGA ANGULO DADO CON EL PLANO 8 ó CON EL PLANO F PROBLE'A: dada la recta 0@ tra)ar un plano que /aga <&C con el plano G ó, 4;C con el plano %.
'ETODO on el plano G: por cualquier punto de la recta, por e#emplo, @, tra)amos una perpendicular como e#e de un cono cuya generatri) /aga <&C con el plano de su +ase.
ntersectamos la recta 0@ con el plano de la +ase del cono y desde el punto de intersección 0, tra)amos rectas tangentes, como 01 y 02, que nos forman los planos 0@1 y 0@2 $dos soluciones( que cumple con las condiciones del pro+lema. $%ig. 1&.21'a(. on el plano %: la construcción es similar $%ig. 1&.21'+(.
E*.(. POR UNA RECTA DADA TRA+AR UN PLANO 7UE 8AGA ANGULO DADO CON UN PLANO CUAL7UIERA PROBLE'A: Po0 la recta 0@ tra)ar un plano que /aga un ngulo de <&C con el plano 58T.
'ETODO
adas las proyecciones de los planos G y % de los planos 58T y la recta 0@, proyectamos el plano dado de canto en el plano 1. esde cualquier punto de 0@ tra)amos una recta perpendicular al plano que /aga de e#e de un cono cuyas generatrices formen <&C con el plano de su +ase > desde el punto de intersección de la recta con este plano tra)amos rectas tangentes a la directri) del cono $como se o+serva en la proyección del plano 2(. os planos 0?H y 0?> son dos soluciones al pro+lema. $%ig. 1&.22(.
E3. POR UN PUNTO TRA+AR UN PLANO 7UE 8AGA ANGULOS DETER'INADOS CON DOS PLANOS DADOS a idea +sica es que: si entre dos planos P y I se tra)a una recta tal que una am+os planos, que sea perpendicular a I, el ngulo formado por esta recta con el otro plano es co"1$#"#nta0io con el ngulo que forman los planos P y 5 como nos muestra la %ig. 1&.23.
"ntonces para lograr un plano que /aga ngulos dados con dos planos P y 5, tomamos un punto en el espacio y tra)amos dos rectas perpendiculares como e#es de dos conos rectos, cuyas generatrices de igual longitud de+en formar ngulos cuya amplitud de+en ser el complemento de los ngulos que de+e tener el plano que se +usca con los planos P y 5, respectivamente. uego, por una de las rectas generatrices comunes a
estos conos $si existen( o por su prolongación tra)amos un plano perpendicular a ella, ser el plano que /aga ngulos determinados con los planos dados. $%ig. 1&.24(.
E3.&. CON DOS PLANOS PRINCIPALES 6E>E'PLO: CON LOS PLANOS 8 , F) PROBLE'A: por el punto P tra)ar un plano que /aga 3;C y 43C con los planos % y G. 'ETODO Por un punto 7 cualquiera en el espacio formamos conos cuyas generatrices de igual longitud, /agan 3;C y 43C con los planos de sus +ases, paralelos a los planos % y G, respectivamente. e las cuatro soluciones, prolongamos la recta generatri) 44F al que desde el punto P tra)amos un plano perpendicular, como se muestra en la %ig. 1&.2;.
E3.(. CON DOS PLANOS CUALES7UIERA PROBLE'A: por el punto P tra)ar un plano que forme 4&C y 3&C con los planos 0@ y 0@.
'ETODO Proyectamos los planos dados de canto y desde el punto P tra)amos rectas perpendiculares que tomamos como e#es de dos conos rectos cuyas generatrices forman con el plano de sus +ases, ngulos complementarios a los ngulos que de+e formar el plano que nos proponemos determinar con los planos dados: B&C' 4&C J ;&C B&C' 3&C J <&C es decir, ;&C y <&C, respectivamente. os conos se intersentan seg!n 11F y 22F $dos soluciones(. %inalmente, por P en la recta P1 que se /alla en 11F, determinamos un plano perpendicular que lo concreti)amos mediante el plano P5I como se muestra en los planos G y % de la %ig. 1&.2<.
