Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica
FACULTAD DE CIENCIAS U N I C A
ESCUELA DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO TEMA 3
Funciones Continuas PRÁCTICAS
Alberto Gutiérrez Borda
Ica, Perú Abril de 2014
TEMA 3
Continuidad de Funciones
PRÁCTICA 3.1: Continuidad y Discontinuidad ==============================================================
Alberto Gutiérrez Borda*
] || √ √ √ √ √ [ [ ] || ⟦⟧ √ ||⟦⟧ | |⟦⟦⟧ ⟧|⟧|⟦⟦⟧ ⟧ | √ √
1. Sea
la función definida por
Hallar los valores de a y b de modo que f sea continua en todo su dominio. 2. Sean f y y g dos funciones definidas por y
2.1 Pruebe que f y g son discontinuas en 5 y 0 respectivamente. 2.2 ¿Qué puede afirmar sobre la continuidad de en 0? 3. Redefinir las siguientes funciones de manera que resulta continuas en el punto que se indica. 3.1
en x = 4.
3.2.
en x = 0.
3.3.
en x = 0.
4. Determinar la continuidad de la función
definida por
para todo , en los intervalos y . 5. En las siguientes funciones hallar los intervalos de continuidad y discontinuidad: 5.1
6. Sea
5.2
la función definida por
Hallar los intervalos de continuidad y discontinuidad de f. 7. Sean f y g dos funciones definidas por: y
7.1 ¿Son f y g funciones continuas continua s en x = 0? 7.2 ¿Serán f+g y f.g continuas en x = 0? 8. Sean f y g dos funciones definidas por: y
8.1 ¿Son ¿Son f y g continuas en x = 0?
8.2 ¿Serán f-g y
continua en x = 0?
9. Dar un ejemplo de dos funciones que sean discontinuas en un punto de las funciones sea continua en . 10. Se define f como
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pero la suma
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{ √ √ || ||| √ √ √ || | √ | ||√ | | | |||
Halle los números a y b de tal modo que la función f sea continua. Grafica la función.
11. Sea
determine el número m, para que la función f sea
continua en x = 1. Muestre la gráfica de f .
12. Dada la función
encuentre el valor de m para que
la función h sea continua en x = 1.
13. Sea
13.1 Analizar y dar el intervalo de continuidad. 13.2. Analizar si tiene una discontinuidad evitable, en caso afirmativo, redefinir la prolongación continua co ntinua de f (x). (x).
14. Dado
hallar intervalo de continuidad.
15. Analizar si la función
tiene una discontinuidad evitable en algún
número real. 16. Halle los puntos de discontinuidad de las funciones: 16.1 16.3
16.2
16.4
16.5
16.6
16.7
16.9
16.11
16.13
16.8
16.10
16.12
16.14
16.15
16.16
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Continuidad de Funciones
⟦ ⟧ [ | | | | √ ] || { | | [ ] ||| √ √ √
17. Sea
, halle el número m para que la función sea
continua en todo IR. 18. Halle el valor de a, b y c en cada uno de las funciones de tal manera que f sea continua en todo su dominio. 18.1
18.2
18.3
18.4
19. Determine para que valores de m la función una discontinuidad evitable en
tiene
.
20. Sea
. Definir
de manera que exista la
continuidad en x = 0.
21. Halle los puntos de discontinuidad de la función 22. Se define la función el intervalo 23. Sea
.
, halle los puntos de discontinuidad en
.
una función definida por
. Analizar la
continuidad en su dominio. 24. Determinar si cada uno de las funciones siguientes es continua en el punto x = 3. 24.1
24.2
24.3
25. Sea la función
24.4
, analizar si tiene una discontinuidad evitable en
algún punto, si la respuesta es afirmativa, redefina la prolongación continua de f (x). (x). 26. Estudiar la continuidad de la función
. Si existe discontinuidad evitable
refina la función. 27. Si
y
27.1 ¿Son f y y g continuas en x = 0? 27.2 ¿Serán f + + g continuas en x = 0? Alberto Gutiérrez Borda
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Continuidad de Funciones
⟧ ⟦⟧ √ √ ]
28. Sean
dos funciones definidas por y
y
. Analice la continuidad de las funciones
.
29. Dada la función
, ¿Qué valor debe tomar f (0) para que la
función f sea continua en todos los puntos?. 30. Estudie la continuidad de la función de la función g cuya regla de correspondencia es
en el intervalo <0, 3>.
31. Sea
,
halle el valor (o valores ) de m para la
función f sea sea continua en x = 1.
32. Se define la función
. Hallar los
puntos de
discontinuidad, siendo m IN. 33. Sean n y m dos números reales fijos. ¿Para qué valores de n la función definida por
es continua?
34. Estudiar la continuidad de las funciones: 34.1
34.3
34.2
34.4
34.5
34.7
34.6
34.9
34.8
34.11
34.10
34.12
34.13
34.14
35. Estudiar la continuidad de
en el punto x = 0.
36. Estudia la continuidad de la función
en el intervalo
. 37. ¿Son continua las siguientes funciones en x = 0? 38.1
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37.2
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38. Dada la función
38.1 Demostrar que f no es continua en x = 2. 38.2 ¿Existe una función continua que coincida con ? En caso afirmativo dar su expresión. 39. Estudiar la continuidad de la función .
para todos los valores
|| [ √ √ | | | | || √ {
40. Estudiar la continuidad de la función
.
41. La función definida por
es continua en
.
Hallar el valor de n que hace que esta afirmación sea cierta. 42. Encontrar los puntos de discontinuidad de la función 43. Se considera la función
.
. Si
determinar
los valores de a y b para f (x) (x) sea continua. 44. Dada la función
. Determinar el valor de n para la función
sea continua para x = 4. 45. Dada
la
función
.
Determinar
los
puntos
de
discontinuidad de la función. 46. Sea la función
. Determinar el valor de a para que
(x) sea continua. f (x)
47. Calcular el valor de k para que la función 48. Dada la función
sea continua.
. Hallar a y b para que la función
sea continua en todo IR.
49. Calcular los valores de a y b para que la función
sea continua en todo IR. 50. Hallar el conjunto de continuidad de cada uno de los siguientes funciones: 50.1 50.3
50.2
50.4
51. Estudiar la continuidad de la función
en x = -1.
52. Estudiar la continuidad de la función
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en x = 3.
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53. Representa la función
y estudiar si es continua en los
| |⟦⟦⟧|⟧|⟧|⟧| ⟦⟦⟧⟧ ⟦⟧ ⟦ ⟧ ] [ √ | | [] ⟦⟧ []
puntos0, 1, 2.
54. Sea la función
. Determinar b sabiendo que f es es discontinua en
el punto x = 2. 55. Se considera la función definida por
. Determinar a y b sabiendo que
,
.
56. La función
es discontinua en un único punto de abscisa positiva,
halle el punto y clasifica la discontinuidad. 57. Halla los puntos de discontinuidad de la función
58. Halla el intervalo en los cuales las siguiente función es continua . 59. Determinar si la función si y continua en los siguientes intervalos: (i) (ii) (iv) . 60. Sean las funciones
y
si (iii)
es
. Hallar todos los puntos en las cuales
la función compuesta g( f (x) es continua. f (x) 61. Estudiar si existen algún valor de k que haga que las siguientes funciones sean continuas: 61.1
62. Sea
61.2
la función definida como
. Hallar a
y b de modo que f sea continua para todo valor real de x. 63. Sea una función definida como intervalo ? 64. Determinar la continuidad de
. ¿Es f continua en el
en el intervalo
65. Determinar a y b sabiendo que la función
.
es continua
.
66. La función definida como
posee una discontinuidad evitable en x
= 2 para ciertos valores de a y b, también analiza el resto de la discontinuidad de la función. 67. Indica el tipo de discontinuidad que en el punto x = 0 presenta la función .
68. Calcular los limites en el infinito
de de
.
69. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados. 69.1
en x = 0
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69.2
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en x = 0
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69.3 69.5
√ √ √ √ ] √ √ √ { en x = 3
69.4
en x = 0
69.6
en x = 3
en x = 0
70. Determinar el conjunto de puntos de discontinuidad (en IR) de las siguientes funciones. Redefinirlas, si fuera posible, para que resulten continuas: 70.1 70.3
70.5
70.2
70.4
70.6
71. En cada uno de los siguientes casos, hallar todos los pares de números reales a y b para que la función f resulta continua en todo IR. 71.1
71.3
71.2
71.4
72. Para cada una de las siguientes funciones, estudiar la continuidad en IR. Si hubiera discontinuidades, clasificarlas, de ser posible, redefinir la función para que resulte continua. 72.1
17.3
√ √
17.4
√ √ 72.2
PRÁCTICA 3.2: Teoremas Afines y Aplicaciones
=============================================================
Alberto Gutiérrez Borda* 1.
Probar que si f(x) y g(x) son funciones continuas en el punto a, entonces las funciones
y
, cuando
, son continuas en a.
,
2. Sea f(x) una función definida en todo número real y tal que . Si f (x) (x) es continua en el punto 0, probar que f (x) (x) es continua en todo a. 3. Pruebe que si f(x) es continua en el punto a, entonces las funciones y son continuas en a. 4. Pruebe que si f es es continua en a entonces es una función continua en a. es Alberto Gutiérrez Borda
| |
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} [] ( ) [ ] √ [ ] √ [] | | || | | || | | | |
5. Pruebe que la función 6. 7. 8. 9.
no no es continua en
ningún punto. Pruebe que si y son dos funciones continuas en el punto a, entonces la función es continua en el punto a. es Comprueba que la tiene alguna solución en el intervalo . Dar ejemplos de dos funciones discontinuas tales que la suma y el producto de las mismas son funciones continuas. Prueba que las siguientes ecuaciones tiene al menos una raíz: 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.9
9.8
10. Sea la función
9.10
para lo que es
y
, pero la gráfica
de no corta al eje x de abscisas en el intervalo contradice el teorema de Bolzano.
11. Probar que existe
. Razona si esto
talque
.
12. Se dice que una función es aditiva si . Probar que si f es aditiva y continua en algún punto continua en cualquier punto de IR. 13. Suponga que una función f es es aditiva en IR, continua en 0. Si para todo . 14. Prueba que la ecuación
tiene solución en el intervalo
para todo , entonces es . Pruebe que .
15. ¿Se puede afirmar que la función toma el valor en algún punto del intervalo ? 16. Pruebe que el polinomio es una función continua en cada punto a. 17. Pruebe que es continua en el punto a y es continua en el punto f (a), entonces la función es es continua en el punto a. 18. Sea tal que , demuestre que f es es continua en x = 0. 19. Sea f y y g dos funciones tales que para cada x que pertenece a una para vecindad de centro en a = 0, tal que g(0) = 0. Demuestre que si g es continua en 0 también lo es f . 20. Sea . Si es continua e inyectiva, pruebe que f es estrictamente monótona. 21. Sea f una función tal que para cada x, y [a, b]. Demostrar que f es es continua en [a, b]. 22. Pruebe que la función y son continuas en IR. 23. Pruebe que la función racional
es continua en todos los
puntos en los que el e l denominador no se anule. 24. Sean f y g dos funciones reales de variable real definida por: y
Muestre que f es continua en 0. ¿La función g será continua en 0? Justifica tu respuesta (la relación entre f y g es que g es la derivada de f).
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[ ] [[] ] √ [ ] [ ] √ [ ] [ ] | | [ ] []
25. Sea f una función continua en el intervalo [0, 1] tal que: 0 f(x) 1, para x [0, 1]. Demostrar que existe un número real a, 0 a 1, tal que . 26. Sea la función definida por:
, dónde m y n son primos entre sí. Demuestre
que: (i) f es continua en (ii) f es es discontinua en . 27. Suponga que es continua en IR y que para cualquier número . racional “r “ r ”. ”. Pruebe que 28. Sean f y g funciones continuas en IR y suponga que para todos los números racionales r. ¿Es verdad que para para todo ? 29. Probar que (teorema del cero), si es una función continua en el intervalo cerrado ,y cambia de signo en los extremos, entonces existe un número x cambia en el intervalo abierto tal que . 30. Muestre que para existe y en tal que . 31. Sea
la función definida por
31.1 Pruebe que f es continua en 2. 31.2 ¿Es la función f continua continua en -3? 31.3 Pruebe que f es discontinua en si y . 32. Pruebe que tiene una raíz real en el intervalo . 33. Muestre que la ecuación tiene por lo menos tres raíces reales diferentes. 34. Sea f una una función polinomial definida por: ¿Cuántas raíces reales tiene esta función? Justifica tu respuesta. 35. Pruebe que todo polinomio P(x) de grado impar tiene una raíz real. 36. Sea una función continua tal que para todo . Pruebe que o bien , o bien , (sólo (sólo uno de ellos). 37. Sea
la función definida por
. Pruebe que f es es
la función definida por
. Demuestre
continua en 0.
38. Sea
que f tiene dos únicos puntos de continuidad. Justifica tu procedemiento. 39. Pruebe que existe tal que . 40. Sea n un número entero. Probar que, y
41. Dar un ejemplo de una función que sea discontinua en cualquier punto de pero pero tal que sea sea continua en . 42. Construya una función discontinua en todo su dominio, cuyo cuadrado sea una función continua. 43. Se define por para x racional y para x irracional. Encontrar todos los puntos en los g es es continua. 44. Sea
continua tal que
. Pruebe que existe
tal tal que
.
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| | | | [ ] ] || [] [] []
45. Sea una función tal que para todo , para algún . Pruebe que f es es continua en cualquier 46. Sean funciones continuas tales que que existe una función continua tal que 47. Sea
.
. Pruebe .
la función definida como sigue
.
Hallar los puntos de continuidad y de discontinuidad. 48. Sean f y g funciones continuas en tales que Demostrar que para para algún . 49. Estudiar la continuidad uniforme de la función 50. Mostrar que el polinomio . 51. Mostrar que existe un
y
.
en el intervalo
.
toma el valor cero en el intervalo
tal que
.
52. Determinar la existencia de raíces reales de la función , , y y . 53. Mostrar que los gráficos de las funciones para algún .
en los intervalos
y
se cortan
PRÁCTICA 3.3: Problemas y Aplicaciones =============================================================
Alberto Gutiérrez Borda* 1.
Una determinada compañía vende un producto de consumo por kg (o fracción). Para favorecer compras grandes, la productora cobra $ 1,10 por kg en compras de menos de 8 kg, mientras que cobra $ 1 por kg si compra 8 kg o más.
1.1 Expresar matemáticamente la función costo C(x) donde x indica cantidad de kilogramo que compra. Representar gráficamente esta función. 1.2 ¿Es continua C(x)? En caso negativo, indicar los puntos de discontinuidad, justificando su respuesta. re spuesta. 1.3 Explicar por qué no conviene (en estas condiciones) que un cliente compre 7,5 kg de este producto. 2.
La misma compañía productora del problema anterior vende un segundo producto a $ 1,20 por kg los primeros 5 kg, y para compras mayores a 5 kg cobra $ 6 más $ 0,90 por cada kilo que sobrepase los 5.
2.1 Expresar matemáticamente la función costo C(x) donde x indica la cantidad de kilogramo que se compra. Representar gráficamente esta función. 2.2. ¿Es continua C(x)? En caso negativo, indicar los puntos de discontinuidad, justificando dicha di cha respuesta.
Dr. Alberto Gutiérrez Borda Docente Principal Universidad Nacional “San Luis Gonzaga“ Ica Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas
[email protected] http://sabermatematica.blogdiario.com/ Alberto Gutiérrez Borda
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