Tugas Mata Kuliah Pengendalian Mutu
"PETA KENDALI ATRIBUT n DAN np"
OLEH :
PUJI BATARI ASIS (H 121 13 316)
PRODI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR
2015
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Banyak karakteristik kualitas tidak dapat dengan mudah dinyatakan secara numerik. Dalam hal seperti itu, biasanya tiap benda yang diperiksa diklasifikasi sesuai dengan spesifikasi pada karakteristik kualitas itu atau tidak sesuai dengan spesifikasi. Istilah "cacat" dan "tidak cacat" kadang-kadang digunakan untuk mengidentifikasikan kedua klasifikasi produk ini. Baru-baru ini, istilah "sesuai" dan "tidak sesuai" menjadi populer. Karakteristik kualitas seperti ini dinamakan sifat (atribut). Beberapa contoh karakteristik kualitas adalah terjadinya tangkai penghubung mesin mobil yang bengkok dalam suatu hari produksi, bagian keping semi konduktor tak berfungsi dalam satu giliran produksi, dan sebagainya.
Atribut, seperti didefinisikan dalam kualitas merujuk kepada karakteristik kualitas yang sesuai dengan spesifikasi atau tidak sesuai dengan spesifikasi. Peta kendali atribut yaitu peta kendali untuk mengukur data yang bersifat atribut (Besterfield. Dale. H, dkk, Total Quality Management). Pengendalian data yang bersifat atribut dilakukan apabila pengukuran tidak mungkin dilakukan, contohnya inspeksi secara visual seperti penentuan cacat warna, goresan, dan sebagainya atau bila pengukuran tidak dilakukan karena keterbatasan waktu, biaya, atau keperluan lainnya. Dalam makalah ini, disajikan dua grafik pengendali sifat yang banyak digunakan. Yang pertama berhubungan dengan bagian produk yang tak sesuai atau cacat yang diproduksi oleh suatu proses produksi, dan dinamakan grafik pengendali untuk bagian tak sesuai, atau grafik p. Yang kedua Peta kendali np menyatakan bagan untuk banyaknya unit yang tak sesuai dalam suatu sampel (Besterfield. Dale. H, dkk, Total Quality Management) dengan nilai p sama dengan nilai p pada peta kendali p.
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang, maka dapat ditarik perumusan masalah. Hal ini bertujuan untuk mempermudah penulisan makalah ini. Adapun rumusan masalah dari makalah ini adalah sebagai berikut :
Bagaimana grafik pengendali bagian tak sesuai ?
Bagaimana grafik pengendali ketidaksesuaian (cacat) ?
Bagaimana mencari distribusi baru UCL dan LCL ?
BAB II
PEMABAHASAN
Peta Kendali untuk Data Atribut
Data yang hanya memiliki dua karakteristik, memenuhi atau tak memenuhi spesifikasinya. Sebenarnya data yang bersifat variabel dapat diubah menjadi data yang bersifat atribut dengan menetapkan suatu batasan yang memisahkan antara produk yang sesuai dengan produk yang tidak sesuai. Data yang berupa atribut dapat diperoleh lebih cepat daripada data variabel.
Peta Kendali p
Peta kendali p ialah bagan untuk proporsi unit yang ditolak dalam suatu sampel karena tidak sesuai terhadap spesifikasi (Mc Graw Hill, Human Resource Management). Dalam hal ini tidak diperlukan ukuran lot yang konstan.
Peta kendali p (pengendali proporsi kesalahan) merupakan salah satu peta kendali atribut yang digunakan untuk mengendalikan bagian produk cacat dari hasil produksi. Pengendali proporsi kesalahan (p-chart) digunakan untuk mengetahui apakah cacat produk yang dihasilkan masih dalam batas yang disyaratkan atau tidak. Dapat dikatakan juga sebagai perbandingan antara banyaknya cacat dengan semua pengamatan, yaitu setiap produk yang diklasifikasikan sebagai "diterima" atau "ditolak" (yang diperhatikan banyaknya produk cacat).
Peta pengendali proporsi kesalahan digunakan bila kita memakai ukuran cacat berupa proporsi produk cacat dalam setiap sempel yang diambil. Bila sampel yang diambil untuk setiap kali melakukan observasi jumlahnya sama maka kita dapat menggunakan peta pengendali proporsi kesalahan (p-chart) maupun banyaknya kesalahan (np-chart). Namun bila sampel yang diambil bervariasi untuk setiapkali melakukan observasi berubah-ubah jumlahnya atau memang perusahaan tersebut akan melakukan 100% inspeksi maka kita harus menggunakan peta pengendali proporsi kesalahan (p-chart).
Langkah-Langkah Pembuatan Peta Kendali p :
Lakukan pemeriksaan terhadap n buah item yang cacat (p). Ulangi pemeriksaan untuk sampel lain yang diambil dari lot produksi atau waktu produksi yang lain.
Untuk setiap pemeriksaan (sampel i), hitung fraksi cacat dengan rumus :
Hitung rata-rata fraksi cacat dari seluruh item yang diperiksa dengan rumus :
=
Dimana k = jumlah sampel yang diperiksa
Hitung standar deviasi fraksi cacat dengan rumus :
Buat peta p dengan batas-batas kendali sebagai berikut :
Garis sentral (central limit) : CL =
Batas kendali atas (Upper Control Limit) : UCL = p + 3
Batas kendali bawah (Lower Control Limit) : LCL = p - 3
Plot fraksi cacat p untuk setiap pemeriksaan (sampel) pada peta kendali yang dibuat pada langkah 5. Pada tahap konstruksi peta ini jika terdapat data-data yang keluar dari kontrol dan diketahui penyebabnya, buang data dan lakukan perhitungan ulang untuk mendapatkan CL, UCL, dan LCL revisi sampai semua data berada dalam batas kendali.
Interpretasikan peta kendali yang terbentuk dan lakukan analisis terhadapnya.
Contoh Peta Kendali p
Bila sampel yang diambil untuk setiap kali observasi jumlahnya selalu sama atau konstan, maka langkah-langkah pembuatan peta kendali p dengan menggunakan software Minitab adalah sebagai berikut:
1. Masukkan data produk yang cacat pada lembar kerja minitab
2. Klik: Stat – Control Charts – Attributes Charts – p
3. Masukkan data pada kolom "Variables", dan masukkan angka ukuran sampel pada kolom "subgroup sizes", lalu OK.
Bila sampel yang diambil bervariasi untuk setiapkali melakukan observasi atau jumlah sampel berubah-ubah jumlahnya, maka pada kolom "subgroup sizes" diisi dengan jumlah seluruh ukuran sampel.
Contoh kasus:
Suatu pemeriksaan karakteristik mutu terhadap produk X dengan jumlah inspeksi sebanyak 25 observasi datanya adalah sebagai berikut:
No. Sampel
Ukuran sampel
Banyak cacat
1
100
12
2
80
8
3
80
6
4
100
9
5
110
10
6
110
12
7
100
11
8
100
16
9
90
10
10
90
6
11
110
20
12
120
15
13
120
9
14
120
8
15
110
6
16
80
8
17
80
10
18
80
7
19
90
5
20
100
8
21
100
5
22
100
8
23
100
10
24
90
6
25
90
9
Jumlah
2450
Penyelesaian:
Dari hasil analisis dengan software minitab diperoleh grafik pengendali berikut:
Pada peta kendali p di atas dapat diketahui bahwa proses produksi produk X masih belum terkendali dikarenakan terdapat satu sampel yang berada di luar batas pengendali atas yaitu pada sampel ke 11. Sehingga data observasi pada baris ke 11 dihilangkan dan diperoleh gambar grafik yang baru seperti yang ditunjukkan di bawah ini:
Dari peta kendali p di atas dapat diketahui bahwa proses produksi produk X telah terkendali dikarenakan tidak ada sampel yang berada di luar batas pengendali atas maupun batas pengendali bawah.
PETA KENDALI np
Peta kendali np menyatakan bagan untuk banyaknya unit yang tak sesuai dalam suatu sampel (Besterfield. Dale. H, dkk, Total Quality Management) dengan nilai p sama dengan nilai p pada peta kendali p.
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa bila sampel yang diambil setiap kali melakukan observasi jumlahnya sama maka kita dapat menggunakan peta pengendali proporsi kesalahan (p-chart) maupun banyaknya kesalahan (np-chart). Bila peta kendali p digunakan untuk memetakan proses secara proporsional, maka peta kendali np merupakan peta kendali yang digunakan untuk mengukur banyaknya produk cacat per item.
Peta kendali np biasa digunakan untuk memetakan jumlah item cacat atau banyaknya cacat dari sebuah sampel yang diambil. Berbeda dengan peta kendali p yang dapat memetakan proses dengan jumlah sampel tiap observasi sama maupun tidak sama, peta kendali np hanya biasa digunakan apabila sampel yg diambil tiap observasi jumlahnya sama.
Langkah-Langkah Pembuatan Peta Kendali np :
Catat jumlah cacat setiap lot yang diperiksa.
Hitung rata-rata jumlah cacat dengan rumus :
Hitung garis sentral dari peta np :
Hitung standar deviasi jumlah cacat dengan rumus :
Buat peta np dengan batas-batas kendali sebagai berikut :
Garis sentral (central limit) : C L = n p
Batas kendali atas (Upper Control Limit) : UCL = p + 3si
Batas kendali bawah (Lower Control Limit) : LCL = p - 3si
Plot titik-titik np pada peta yang terbentuk. Pada tahap konstruksi peta ini jika terdapat data-data yang keluar dari kontrol dan diketahui penyebabnya, buang data dan lakukan perhitungan ulang untuk mendapatkan CL, UCL, dan LCL revisi sampai semua data berada dalam batas kendali.
Interpretasikan peta dan lakukan analisis.
Langkah-langkah pembuatan peta kendali np dengan menggunakan software Minitab adalah sebagai berikut:
Masukkan data produk yang cacat pada lembar kerja minitab
Klik: Stat – Control Charts – Attributes Charts – np
Masukkan data pada kolom "Variables", dan masukkan angka ukuran sampel pada kolom "subgroup sizes", lalu OK.
Contoh:
Suatu perusahaan pembuat plastik ingin membuat peta pengendali untuk periode mendatang dengan mengadakan inspeksi terhadap proses produksi pada bulan ini. Perusahaan melakukan 25 kali observasi dengan mengambil 50 buah sampel untuk setiap kali observasi dilakukan. Berikut data banyaknya produk cacat:
Observasi
Ukuran Sampel
Banyaknya produk cacat
p
1
50
4
0,04
2
50
2
0,02
3
50
5
0,06
4
50
3
0,03
5
50
2
0,02
6
50
1
0,01
7
50
3
0,03
8
50
2
0,02
9
50
5
0,06
10
50
4
0,04
11
50
3
0,03
12
50
5
0,06
13
50
5
0,06
14
50
2
0,02
15
50
3
0,03
16
50
2
0,02
17
50
4
0,04
18
50
10
0,11
19
50
4
0,04
20
50
3
0,03
21
50
2
0,02
22
50
5
0,06
23
50
4
0,04
24
50
3
0,03
25
50
4
0,04
Jumlah
90
Penyelesaian:
Dari hasil analisis dengan software minitab diperoleh grafik pengendali np berikut:
Dari peta kendali np di atas dapat diketahui bahwa proses produksi plastik masih belum terkendali dikarenakan terdapat satu sampel yang berada di luar batas pengendali atas yaitu pada sampel ke 18. Sehingga data observasi pada baris ke 18 dihilangkan dan diperoleh gambar grafik yang baru seperti yang ditunjukkan di bawah ini:
Dari peta kendali np di atas dapat diketahui bahwa proses produksi plastik telah terkendali dikarenakan tidak ada sampel yang berada di luar batas pengendali atas maupun batas pengendali bawah.
MODEL DISTRIBUSI PROBABILITAS UNTUK PENGENDALIAN KUALITAS
Untuk lebih memahami proses pengendalian kualitas, maka sebelumnya penting untuk dipelajari model-model distribusi dari probabilitas cacat dalam suatu sampel.
Distribusi Binomial
Distribusi Binomial digunakan jika ukuran lot relatif besar dibandingkan dengan ukuran sampelnya. Distribusi ini dibentuk oleh n kejadian independen yang berurutan, dimana keluaran dari tiap kejadian tersebut adalah sukses atau gagal. Kejadian ini disebut sebagai Bernoulli Trials. Jika probabilitas kesuksesan p pada tiap kejadian konstan, maka probabilitas dari d kejadian sukses dari n percobaan yang dilakukan adalah:
pd= ndpd(1-p)n-d d=0,1,…,n (1)
Fungsi probabilitas ini akan membentuk distribusi Binomial. Parameter dari distribusi ini adalah n dan p. Nilai p berada dalam range 0 < p < 1, dan n merupakan bilangan bulat. Rata-rata (mean) dari distribusi Binomial dapat diperoleh dengan :
ED = np 2
dan varians dapat diperoleh dengan:
VarD = np 1 – p (3)
Dalam pengendalian kualitas statistis, seringkali muncul variabel acak p, yang merupakan rasio antara jumlah cacat dengan jumlah sampel dan sering disebut dengan fraksi defektif.
p= dn (4)
dimana : p = proporsi produk cacat d = jumlah produk cacat /jumlah defektif n = ukuran sampel.
Distribusi probabilitas p dapat diperoleh dari distribusi Binomial, yaitu:
Pp a=P Xn a=PX m= d=0nandpd(1-p)n-d (5)
Rata-rata dari variabel acak p adalah p dan variansnya didapat dengan :
Varp= p(1-p)n (6)
Distribusi Binomial merupakan distribusi yang diskret.
Distribusi Normal
Berbeda dengan distribusi Binomial, distribusi Normal merupakan distribusi yang kontinyu. Pengukuran yang bervariasi di sekitar nilai tengah akan membentuk distribusi Normal. Distribusi Normal memiliki dua parameter, yaitu rata-rata / mean (µ) dan varians (σ2). Fungsi kepadatan (density function) diperoleh dengan :
fx= 1σ2πexp-12x- μσ2, -
dimana - < µ < dan σ2 > 0.
Notasi untuk menyatakan distribusi ini adalah N (µ , σ2 ). Dibawah ini adalah bentuk dari distribusi Normal.
µ - 3σ µ - 2σ µ - σµ µ + σ µ + 2σ µ + 3σ µ - 3σ µ - 2σ µ - σµ µ + σ µ + 2σ µ + 3σ
µ
- 3
σ
µ
- 2
σ
µ
-
σ
µ
µ
+
σ
µ
+ 2
σ
µ
+ 3
σ
µ
- 3
σ
µ
- 2
σ
µ
-
σ
µ
µ
+
σ
µ
+ 2
σ
µ
+ 3
σ
Gambar 1. Gambar Distribusi Normal
Standar deviasi dari distribusi Normal adalah
σ2 = σ (8)
Perhatikan dalam gambar:
68.26% dari keseluruhan distribusi berada dalam µ ± σ
95.44% dari keseluruhan distribusi berada dalam µ ± 2σ
99.73% dari keseluruhan distribusi berada dalam µ ± 3σ
Fungsi distribusi kumulatif ( cumulative distribution function/ cdf ) diperoleh dengan:
Fx= - 1σ2πexp-12t-μσdt (9)
Distribusi Normal dapat distandarisasi dengan merubah standar deviasi (σ) sehingga memiliki nilai satu. Dan X menjadi Z, dengan :
Z= X-μσ 10
Probabilitas didapatkan cacat kurang atau sama dengan a, adalah:
PX a=PZ a-μσ= Φa-μσ (11)
Φ adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal yang distandarisasi. Distribusi normal yang distandarisasi dapat diperoleh dengan :
fz= 12πe-z2/2- z (12)
dengan μ=0 dan σ2 =1. Jadi distribusi normal yang distandarisasi akan memiliki notasi
N (0 ,1), dan
Φz= - zftdt (13)
Pendekatan Distribusi Binomial Dengan Distribusi Normal
Dalam melakukan proses pengendalian kualitas, penting untuk melakukan pendekatan suatu distribusi probabilitas dengan distribusi probabilitas yang lain. Proses pendekatan akan berguna pada saat nilai tabel dari suatu distribusi tak ada. Dengan pendekatan distribusi yang lain akan didapatkan nilainya dengan tabel. Selain itu pendekatan distribusi dilakukan jika penggunaan distribusi aslinya tidak praktis.
Dengan melakukan proses standarisasi peta kendali p berarti dilakukan pendekatan distribusi Binomial yang merupakan distribusi asli probabilitas cacat dengan menggunakan distribusi Normal.
Karena distribusi Binomial merupakan distribusi yang diskrit, dan distribusi Normal merupakan distribusi yang kontinu, maka perlu ditambahkan faktor koreksi kontinuitas (continuity correction) , yaitu sebesar 0.5.
Jika n bernilai besar, maka pendekatan distribusi Binomial dengan distribusi Normal dapat dilakukan dengan
μ=np (14)
dan
σ=npq (15)
Distribusi Binomial yang telah distandarisasi diasumsikan memiliki distribusi normal.
Karena itu probabilitas yang keluar dari BKA maupun dari BKB seharusnya mendekati α/2. Misalnya jika digunakan α = 0.0027, maka probabilitas yang keluar dari BKA maupun BKB seharusnya mendekati 0.0027/2 = 0.00135.
D. Peta Kendali p (p-CHART)
Peta kendali merupakan salah satu alat (tool) untuk melakukan pengendalian proses statistis (SPC). Peta kendali atau control chart digunakan untuk menganalisa output dari suatu proses. Data yang merupakan kecacatan dari output diplotkan pada peta kendali. Jika tidak ada data yang keluar dari batas kendali atas (BKA) ataupun batas kendali bawah (BKB), serta plot data tidak menunjukkan gejala-gejala penyimpangan, maka dapat dikatakan proses telah terkendali. Sebaliknya jika ada data yang keluar dari batasbatas kendali, maka proses tersebut belum stabil. Data yang keluar dari batas kendali tersebut disebabkan karena adanya penyebab khusus (special cause).
Tujuan utama pembuatan peta kendali adalah untuk mendeteksi adanya penyebab khusus dengan cepat, sehingga dapat segera diambil tindakan perbaikan terhadap sumber dari penyebab khusus tersebut.
Selain itu dengan membuat peta kendali dapat diketahui kecakapan proses (process capability) . Menurut data yang diplotkan, ada dua macam peta kendali, yaitu :
Peta Kendali Variabel
Data yang diplotkan adalah data variabel, yaitu data yang memiliki ukuran, misalnya berat, panjang, waktu, panas, dan lain-lain.
Yang merupakan peta kendali variabel adalah R-chart, X -chart, dan S-chart.
Peta Kendali Atribut
Data yang diplot pada peta kendali ini adalah data atribut, yaitu data yang hanya memiliki dua karakteristik, memenuhi atau tak memenuhi (go or no go) spesifikasinya. Sebenarnya data yang bersifat variabel dapat diubah menjadi data yang bersifat atribut dengan menetapkan suatu batasan yang memisahkan antara produk yang sesuai dengan produk yang tidak sesuai. Data yang berupa atribut dapat diperoleh lebih cepat daripada data variabel. Ada empat macam peta kendali data atribut, yaitu: a. Peta kendali fraksi defektif (p-chart)
Peta kendali jumlah defektif (np-chart)
Peta kendali jumlah cacat (c-chart)
Peta kendali cacat per unit (u-chart)
Selanjutnya peta kendali p ini akan dibahas lebih mendalam.
1. Peta Kendali p
Digunakan untuk pengambilan sampel dengan ukuran sampel (n) tetap.
p=dknk (16)
BKA= p+3(p(1-p)n (17)
BT= p (18)
BKB= p-3(p(1-p)n (19)
μ=p (20)
σ= (p1-p)n (21)
Dimana :
μ = nilai rata-rata (mean)
σ = standar deviasi
p = taksiran proporsi cacat
Jika ukuran sampel (n) berubah-ubah, maka dapat kita gunakan :
nk= n1,n2,n3,…
dk= d1,d2,d3,…
p=dknk (22)
BKAk= p+3(p1-p)nk (23)
BT= p 24
BKBk=p-3p1-pnk (25)
Untuk membuat suatu peta kendali, harus dilakukan penentuan batas kendalinya. Penentuan batas kendali mengikuti model
BKA=EX+kVar(X) (26)
BK=EX (27)
BKB=EX-kVarX (28)
dimana E(X) merupakan rerata dari data dan Var(X) adalah simpangan baku. Nilai k ditentukan berdasarkan α. Besar kecilnya nilai α ditentukan oleh keadaan production run dan kebutuhan. Namun pada umumnya nilai k yang sering digunakan adalah 3 (α=0.00135).
2. Peta Kendali p yang Distandarisasi (konvensional)
Standarisasi peta kendali p digunakan untuk mempermudah interpretasi dari peta itu. Standarisasi terutama digunakan pada ukuran sampel yang bervariasi untuk mendapatkan peta kendali dengan batas kendali yang konstan. Standarisasi dilakukan dengan menggunakan rumus:
Zk=(pk-p)σk=(pk-p)(p1-p)nk=nk(pk-p)(p1-p) (29)
Untuk melakukan standarisasi, harus dihitung simpangan baku untuk tiap-tiap sampel
(σk ). Karena tiap sampel memiliki jumlah yang tak sama (nk), maka simpangan baku untuk tiap sampel juga akan berbeda.
σk=(p1-p)nk (30)
3. Peta Kendali p yang distandarisasi untuk proses pendek
Dalam proses yang dilakukan dalam proses pendek akan sulit untuk memperoleh jumlah sampel yang mencukupi untuk membuat peta kendali dengan cara konvensional. Untuk mengatasi masalah ini, maka Lai K. Chan memberikan suatu metode baru untuk mendapatkan Z yang lebih tepat, yaitu :
Zk*= n(pk-p-Cn)p(1-p), k=1,2,3,… (31)
Rumus ini dapat diturunkan untuk mendapatkan factor koreksinya, yaitu :
Zk*=npk-p-Cnp1-p
=npk-p-Cnp(1-p)
=npk-pp(1-p)-C/np(1-p)
=npk-pp(1-p)-C/nnp(1-p)
Jadi factor koreksinya adalah
=Cnp(1-p)=Cnpqn=Cnσ (32)
Rumus standarisasi di atas digunakan untuk probabilitas cacat (p) diketahui, dan pengambilan sampel dilakukan dengan ukuran yang sama.
Metode yang diberikan oleh Lai K. Chan ini memiliki beberapa kemudahan dalam pemakaiannya, yaitu:
Rumusnya merupakan perluasan/pengembangan dari peta kendali cacat konvensional yang telah sering digunakan, sehingga pemakai rumus ini akan mudah dalam menggunakannya.
Mudah dipahami dan sederhana dalam penerapannya.
Memiliki batas kendali yang konstan, yaitu + 3 dan center line 0 . Hal ini tetap berlaku meskipun jumlah sampel bervariasi atau data berasal dari production run yang berbeda.
BAB III
KESIMPULAN
Dari pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa grafik pengendali sifat terbagi atas dua, yaitu : grafik pengendali bagian tak sesuai dan grafik pengendali ketidaksesuaian (cacat).
Bagian tak sesuai didefinisikan sebagai perbandingan banyak benda yang tak sesuai dalam suatu populasi dengan banyak benda dalam keseluruhan populasi itu. Asas-asas statistik yang melandasi grafik pengendali untuk bagian tak sesuai didasarkan atas distribusi binomial.
Benda yang tidak sesuai adalah unit produk yang tidak memenuhi satu atau beberapa spesifikasi untuk produk itu. Setiap titik tertentu di mana spefikiasi tidak dipenuhi menghasilkan satu catat atau tidak sesuai. Akibatnya suatu benda yang tak sesuai akan memuat paling sedikit satu ketidaksesuaian.
DAFTAR PUSTAKA
Hendra Poerwanto G . https://sites.google.com/site/kelolakualitas/p-Chart
Lai, K. Chan., 1996,"Standardized p control charts for Short Runs", International Journal of Quality and Reliability Management, Vol. 13 No.6, 88-95
http://ari-aja-01.blogspot.com/2012/05/peta-kendali-np-np-control-chart_10.html
https://www.google.co.id/url?sa=t&source=web&rct=j&ei=xd0pVaX_JtGXuATV_YGIAw&url=http://elib.unikom.ac.id/download.php%3Fid%3D55268&ved=0CCEQFjAD&usg=AFQjCNEL7PSWkSKhlODnZBLlBfVhMOVf7g
