PERMAINAN 4 KUBUS Graf dapat digunakan untuk menemukan solusi dari permainan 4 kubus. Adapun permasalahan permainan 4 kubus yaitu: 1. Diberikan 4 jaring-jaring kubus dengan warna tertentu. 2. Setiap kubus ditumpuk sedemikian rupa sehingga kubus I berada dipaling bawah sampai yang tertinggi adalah kubus IV. 3. Pada setaip sisi susunan, warna sisi antara kubus satu dengan yang lain harus berbeda. Dari 4 kubus yang diberikan memiliki beberapa kemungkinan solusi, diantaranya solusi tunggal, banyak solusi,dan solusinya lebih dari satu. Contoh jaring jaring kubus yang memiliki solusi tunggal yaitu:
Gambar 1.1
Dari jaring-jaring kubus di atas kita mengkonversi bentuk-bentuk tersebut menjadi suatu graf. Adapun tata cara pengonversian menjadi suatu graf kita tentukan dulu vertex yang merepresentasikan warna sisi pada setiap kubus yaitu M,O,H, dan B. Kemudian buatlah suatu edge yang merepresentasikan hubungan antar warna pada setiap kubus. Maksud hubungan antar warna disini adalah setiap warna pada suatu kubus dipasangkan dengan warna sisi seberangnya. Adapun graf dari gambar 1.1 yaitu:
Kemudian kita gabungkan graf dari kubus 1 sampai 4 sehingga:
Berilah label pada setiap edge sebagai tanda bahwa edge tersebut merupakan edge kubus 1, 2, 3, ataupun 4s eperti gambar graf diatas. Dari gabungan graf tadi akan dibentuk subgraf A dan subgraf B dengan syarat: a. Setiap subgraf memuat tepat satu edge dari suatu graf pada setiap kubus. b. Setiap subgraf tidak memiliki edge yang sama. c. Setiap vertex incident dengan dengan dua edge. Kemudian subgraf A digunakan untuk memberi warna depan dan belakang sedangkan subgraf B digunakan untuk memberi warna samping kanan dan kiri. Hasil subgraf A dan subgraf B digunakan sebagai acuan untuk menentukan warna masing masing kubus sesuai. Label pada subgraf menentukan warna sisi setiap kubus yaitu:
Setelah diperoleh subgraf A dan B maka akan disusun warna sisi depan, belakang, kanan, kiri sisi setiap kubus sesuai dengan edge dan vertex yang incident. Contoh untuk kubus pertama (lihat edge 1 yang incident dengan vertex-vertexnya) warna bagian depan yaitu biru dan bagian belakang hijau, untuk bagian kanan berwarna biru dan untuk bagian kiri berwarna merah.
Jika diberikan 4 jaring jarring kubus seperti dibawah ini , maka akan ditemukan lebih dari satu solusi yaitu:
Dari jaring-jaring kubus diatas dibuatlah suatu graf yaitu:
Yang kemudian digabungkan menjadi graf gabungan yaitu:
Ketika kita membuat subgraf A dan B ternyata ada dua pola subgraf A yang dapat dibentuk, sehingga dapat disimpulkan bahwa solusinya lebih dari satu yaitu:
Sama halnya dengan satu solusi untuk menyusun warna yang tepat dapat menggunakan subgraf A pertama dengan subgraf B atau subgraf A kedua dengan subgraf B. sehingga akan menghasilkan 2 cara penyusunan yaitu:
Jika diberikan 4 jaring-jaring kubus dibawah ini:
Dengan graf dan gabungan graf berikut.
Maka tidak dapat ditemukan suatu solusi karena ketika kita membuat subgraf dari graf gabungan hanya dapat ditentukan 1 subgraf saja dan tidak ada subgraf lagi, padahal butuh minimal 2 subgraf dari graf gabungan untuk mendapatkan solusi. Hal ini disebabkan ada dua vertex B dan H yang hanya dihubungkan 1 edge. Graf yang sering muncul dalam permainan ini yaitu terkait dengan subgraf, karena butuh ketelitian dan keuletan dalam menentukan subgraf. Ketika kita salah menentukan banyaknya subgraf yang dapat dibuat maka solusinyapun tidak tepat. Kesimpulan : Permainan 4 kubus ini dapat menggunakan teori graf sebagai salah satu cara penyelesaian, untuk menentukan 4 kubus yang diberikan memiliki solusi atau tidak dapat dilihat dari subgraf yang dapat dibentuk dari graf gabungan 4 kubus. Jika subgraf dapat dibuat satu atau tidak sama sekali maka 4 kubus itu tidak memiliki solusi. Jika subgraf dapat dibuat tepat dua maka 4 kubus tersebut memiliki satu selesaian. Jika subgraf dapat dibentuk lebih dari dua maka 4 kubus memiliki solusi lebih dari satu.
STUDI KASUS KERANGKA BANGUNAN Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita temui permasalahan yang terjadi dalam membuat kerangka bangunan, yaitu bagaimana membuat kerangka bangunan yang kokoh tetpi dengan biaya yang sedikit. Ada tiga tipe kerangka bangunan, yaitu: 1. Tidak kokoh 2. Kokoh dengan penguat maksimal 3. Kokoh dengan penguat minimum Penerapan graph sangat membantu untuk menentukan kerangka yang kokoh dengan biaya minimum. Salah satu graph yang dapat kita gunakan adalah graph bipartisi. Graph bipartisi dapat dijadikan graph yang diasmsikan sebagai langkah awal untuk membuat kerangka bangunan. Maka dari itu, akan dibuat tiga model kerangka bangunan denan ukuran 3x3 satuan Dengan mengasumsikan C1,C2,C3 sebagai kolom dan r 1,r 2,r 3 sebagai baris. 1. Kerangka bangunan tidak kokoh
2. Kerangka bangunan kokoh dengan penguat maksimal
Kerangka tersebut kokoh maksimum karena terdapat lintasan r 2 atau r 3, r 2 ke r 1 atau r 3, dan r 3 ke r 1 atau r 2. Dari gambar juga menunjukkan suatu bipartisi graph lengkap. Suatu kerangka bangunan dapat dikatakan kokoh maksimum apabila memenuhi syarat bipartisi graph komplit. Suatu kerangka bangunan dikatakan kokoh jika dan hanya jika graph bipartite yang berasosiasi (terikat) adalah graph yang terhubung. 3. Kerangka bangunan kokoh dengan penguat minimal
Kerangka bangunan di atas termasuk kerangka bangunan kokoh minimum karena tidak ada lintasan (path) bipartisi graph dari r 2 ke r 1 atau dengan kata lain tidak ada lintasan. Suatu kerangka bangunan disebut tidak kokoh dengan penguat minimum jika graph bipartite yang berasosiasi (terkait) mempunyai salah satu dari sifat berikut a. Graph minimum n titik dan lebuh dari n-1 sisi b. Graph mengandung suatu sikel
ISOMER SENYAWA KIMIA HIDROKARBON
Graph dapat digunakan dalam memodelkan molekul senyawa alkana CnH2n+2 untuk menghitung jumlah isomernya. Atom karbon (C) dan atom hidrogen (H) dinyatakan sebagai titik, sedangkan ikatan antara atom C dan H dinyatakan sebagai sisi. Isomer adalah senyawa kimia yang mempunyai rumus molekul sama tetapi rumus bangun (bentuk graf) berbeda. Sebagai contoh kita mengambil senyawa Pentana (C5H12) untuk dicari isomernya.
n-pentana
Senyawa pentana dapat digambarkan dalam graph sebagai berikut : ℎ
Graph G
Keterangan : dan
titik menggambarkan atom garis menggambarkan derajat valensi
Cara mencari isomernya adalah dengan mencari graph yang tidak isomorfis dengan graph G. Pentana mempunyai 2 isomer, yaitu : 2 – metil metil butana dan 2,2 – dimetil dimetil propana.
2 – metil metil butana
ℎ
Graph
Bukti Graph dan Graph tidak isomorfis: ∶ () ( ) → () → →
dan saling adjacent, sedangkan dan tidak adjacent, sehingga dapat diketahui bahwa kedua graph tersebut tidak isomorfis.
2,2 – dimetil dimetil propana
ℎ
Graph
Bukti Graph dan Graph tidak isomorfis: ∶ () ( ) → ( ) → →
dan saling adjacent, sedangkan dan tidak adjacent, sehingga dapat diketahui bahwa kedua graph tersebut tidak isomorfis. Dasar teori yang diterapkan : 1. Isomorfisme : misalkan dan adalah graph. Jika ada pemetaan satu-satu dan pada dari → yang mengawetkan operasi. 2. Graph tree : graph yang menghubungkan setiap titik tanpa memiliki sikel. Kesimpulan : 1. Jika terdapat senyawa yang memiliki rumus molekul sama dan graph dari senyawa tersebut tidak berisomorfis, maka senyawa-senyawa itu dapat dikatakan berisomer. 2. Graph dari senyawa hidrokarbon akan membentuk suatu graph tree.
OPTIMASI WAKTU TRAFFIC LIGHT Waktu tunggu traffic light tidak tidak dibuat dengan sembarangan perlu perhitungan yang teoat agar waktu tunggu traffic light dapat berguna sebagaimana mestinya supaya menghindari kecelakaan dan kemacetan. Salah satu metode yang digunakan untuk mengatur waktutraffic waktu traffic light yaitu dengan metode Webster. Jadi kami akan mencoba membuat waktu tunggu traffic light yang yang baru dengan langkah langkah yaitu: 1. Gambar bentuk simpangan jalan.
u
2. Mengubah persimpangan jalan menjadi graf kompatibel Pertama-tama membuat patokan arah jalan menjadi vertex kemudian tentukan edge sebagai bentuk graf kompatibel.
Dari gambar diatas dapat dilihat table dibawah ini. Arus L.L. Kompatibel dengan Tidak kompatibel dengan a Semua arus b a,c,d,f,g,h,j e,i,k,l c a,b,d,g,j,k e,f,h,i,l d Semua arus e a,d,f,g,i,j,k b,c,h,l f a,b,d,e,g,j c,h,i,k,l g Semua arus h a,b,d,g,i,j,l c,e,f,k i a,d,e,g,h,j b,c,f,k,l j Semua arus k a,c,d,e,g,j,l b,f,h,i l a,d,g,h,j,k b,c,e,f,i 3. Menyederhanakan graf kompatibel dengan menghilangkan arus a,d,g,j sehingga graf kompatibelnya yaitu:
4. Bobot suatu jalan : a. Lebar jalan 4 meter : nilai 4 4-5 meter : nilai 3 5-6 meter : nilai 2 >6 meter : nilai 1 b. Volume kendaraan 0-399 kend/h : nilai 1 400-799 kend/h : nilai 2 800-1199 kend/h : nilai 3 1200-1599 kend/h : nilai 4 >1600 kend/h : nilai 5 Menentukan bobot suatu jalan Arus Volume kendaraan (bobot nilai) b 350 (1) c 300 (1) e 600 (2)
Lebar jalan Total nilai (bobot nilai) 5 (3) 4 5 (3) 4 6 (2) 4
f h i k l
200 (1) 800 (3) 1050 (3) 800 (3) 450 (2)
6 (2) 5 (3) 5 (3) 7 (1) 7 (1)
3 6 6 4 3
Mengubah graf kompatibel menjadi graf ganda berarah berbobot
Jadi untuk jalan terusan dieng berbobot 8 , Jalan raya langsep berbobot 7, jalan dieng 12, dan jalan galunggung 7. Sehingga terjadi 3 fase karena bobot jalan raya langsep sama dengan bobot jalan galunggung. Misalkan jalan terusan dieng , jalan raya langsep , jalan galunggung , jalan dieng . 5. Menentukan arus jenuh Arus Jenuh dipersimpangan disajikan dengan table berikut.
525 smp/j dengan Sedangkan untuk lebar jalan lebih dari 5,2 m maka arus jenuhnya . 525 adalah panjang jalan dalam meter. Daftar table arus nyata , , , yaitu: Jalan Arus Nyata 467 1131 993 489 Sehingga rasio arus normal =
=
yaitu
467
= 0,1886 2475 1131 = = 0,359 3150
993
=
= 0,27 3675 489 = = 0,1975 2475 Ukuran kemacetan (Rasio Fase) yaitu = ∑ max
= 0,1886 0,359 0,1975 = 0,7451 Waktu Kuning = 5 detik 2.3 5 = 11 11 detik Waktu Terbuang = 2 5 dengan adalah banyak fase yaitu = 2.3 Waktu siklus optimum =
. .+ −
=
( ,.+) −,
=
,+ ,
= 84,35 ≈ 85 detik
Jumlah waktu siklus hijau maksimum yaitu = 85 11 = 74 detik Waktu Hijau : Fase I :
,
. 74 = 18,73 18,73 ≈ 19 detik
, ,
Fase II : :
. 74 = 35,65 35,65 ≈ 36 detik
, ,
Fase III : :
,
. 74 = 19,61 19,61 ≈ 20 detik
Waktu Merah : Fase I : 85 19 5 = 61 detik 36 5 = 44 detik Fase II : 85 36 Fase III : 85 20 5 = 60 detik Graf yang digunakan dalam menentukan waktu tunggu Traffic light adalah graf kompatibel dengan menggunakan metode Webster yang kutip dari Staf pengajar ITP, Diktat Kuliah 9 RLL, RLL, http://sisfo.itp.ac.id/bahabajar . Kesimpulan Jadi setelah dilakukan proses perhitungan diperoleh waktu tunggu traffic light sebagai sebagai berikut. Arah Jalan Terusan Dieng Jalan Galunggung Jalan Dieng Jalan Raya lLangsep
Hijau 19 Detik 36 Detik 20 Detik 36 Detik
Kuning 5 Detik 5 Detik 5 Detik 5 Detik
Merah 61 Detik 44 Detik 60 Detik 44 Detik
