Penggunaan Turunan Dalam Kehidupan Sehari-hari
Turunan dapat diaplikasan ke dalam berbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya adalah dengan cara memaksimumkan dan meminimmumkan suatu fungsi, misalnya ketika seorang pedagang yang ingin mendapatkan keuntungan besar, yaitu dengan menghitung kombinasi antara besar keuntungan dengan biaya pembelian dan penjualan. Selain itu, penggunaan turunan juga dapat diaplikasikan untuk mengetahui biaya produksi sekecil-kecilnya (minimum). Berikut ini sedikit penjelasan mengenai Penggunaan Turunan yang telah dibagi-bagi ke dalam beberapa sub-bab, disertai contoh-contoh aplikasi soal. Maksimum dan Minimum
Seperti yang telah dijelaskan diatas, salah satu penggunaan turunan turunan yang sering dipakai adalah mengenai Maksimum dan Minimum. Untuk memahami masalah maksimum dan minimum, berikut ini adalah definisi atau batasanbatasan mengenai Maksimum dan Minimum.
Definisi Maksimum dan Minimum Jika S, adalah daerah daerah asal f, dan memuat memuat titik c . Kita katakan katakan bahwa : f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x)untuk semua x di S; f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤ f(x)untuk semua x di S; f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum •
• •
Akan tetapi dalam prakteknya, terdapat beberapa masalah yang tidak dapat terpecahkan dengan definisi tersebut, diantaranya adalah apabila suatu fungsi ternyata tidak memiliki nilai maksimum atau minimum pada daerah asal tertentu. Seperti pada fungsi tak kontinu. Oleh sebab itu, digunakan teorema berikut ini untuk menyelesaikan masalah tersebut.
1
Teorema A (Teorema Eksistensi Maks-Min). Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum. Jadi, nilai maksimum dan minimum akan ditemukan pada fungsi f yang kontinu dan daerah asal f harus berupa selang tertutup.
Dalam teori maksimum dan minimum, terdapat titik-titik kunci atau yang biasa disebut sebagai titik kritis. Titik-titik tersebut tentunya sebarang titik dalam daerah asal suatu fungsi f, yaitu: •
•
•
Titik-titik ujung, yaitu suatu titik yang merupakan batas-batas ujung kiri dan kanan selang tertutup. Beberapa selang memuat titik-titik ujung, namun beberapa tidak memuat titik ujung satupun. (Gb.1) Titik stasioner, yaitu suatu titik c dalam suatu selang dimana f’(c) = 0. Nilai-nilai ekstrim seringkali terjadi pada titik-tik stasioner. (Gb.2) Titil singular, yaitu suatu titik c dalam suatu selang dimana f’ tidak tidak ada. Titik singular merupakan titik dimana grafik f mempunyai mempunyai sudut tajam, garis singgung vertical, atau mungkin berupa lompatan. (Gb.3)
Teorema B (Teorema Titik Kritis). Jika f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c, dan jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yaitu c harus berupa salah satu dari: (i) Titik ujung dari f (ii)Titik stasioner dari f(f’(c)=0) (iii)Titik singular dari f(f’(c)=tidak f(f’(c)=tidak ada) Contoh Soal:
Sebuah SMA di cilegon berencana membangun sebuah pagar yang mengelilingi sekolah tersebut. Pada bagian pojok sekolah tersebut, terdapat tembok siku-siku sepanjang 20 meter dan lebar 10 meter yang tidak perlu dipagari. Jika sekolah tersebut hanya mempunyai 40 meter pagar, tentukan luas maksimum yang dapat dipagari. Dan dengan pagar sepanjang 40 meter tersebut, berapakah luas minimum kebun yang dapat dipagari?
Jawab:
Misal: Ukuran kebun adalah x x y seperti diperlihatkan pada gambar, maka panjang pagarnya adalah: x+ y + ( x -10) + ( y – 20) meter. Karena sekolah hanya mempunyai 40 meter pagar, maka x+ y + ( x -10) + ( y – 20) = 40 x + y = 35 atau y = 35 – x Ukuran terkecil dari x yang diperbolehkan sehingga x ≥ 10 Ukuran terkecil dari y yang diperbolehkan sehingga y ≥ 20. 35 – x ≥ 20 x ≥ 15 maka 10 ≤ x ≤ 15 Luas sekolah L = xy, =>L (x) = x (35 – x), 10 ≤ x ≤ 15 L’ (x) =35 – 2x, 10 ≤ x ≤ 15 Titik Ujung [10,15] Titik Stasioner L’(x) = 0
1
adalah 10 meter, adalah 20 meter,
35 – 2x =0 2x = 35 x =35/2 (Tidak memenuhi memenuhi syarat 10 ≤ x ≤ 15) Pengujian : L(10) = 10 (35 – 10) = 250 m2 L(15) = 15(35 – 15) = 300 m2
Maka luas sekolah maksimum yang dapat dipagari adalah 300 m 2 , dan luas minimum yang dapat dipagari adalah 250 m 2.
Kemonotonan Kemonotonan dan Kecekungan
Pada bagian ini penggunaan turunan akan di titikberatkan untuk mengetahui sifat-sifat yang dimiliki suatu kurva antara lain kemonotonan, kecekungan, nilai ekstrim , titik belok dan asymtot. Hal ini ditekankan agar kita mudah dalam menganalisa dan menggambarkan grafik fungsi. Definisi Fungsi Monoton
Grafik fungsi f(x) dikatakan naik pada selang I bila f ( x 1) > f ( x 2) untuk x 1) x 2) x 1> 1> x 2 ; x 1, 1, x 2 ÎI . Sedangkan f(x) dikatakan turun pada selang I bila 1) < f ( x 2) untuk x 1> 1> x 2 ; x 1, 1, x 2 ÎI . f ( x x 1) x 2) Fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton. Dalam menentukan selang fungsi monoton naik atau turun digunakan pengertian berikut. Gradien dari suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut ( a ) yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan a . Bila sudut lancip (a < ½ p ) maka m > 0 dan m < 0 untuk a > ½ p. Karena gradien garis singgung suatu kurva y = f(x) di titik ( x,y ) diberikan dengan m = f ‘ ( x ) dan selang fungsi naik atau turun berturut-turut berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka selang atau selang dimana fungsi monoton diberikan berikut : x )> 1. Fungsi f(x) naik bila f ‘ ‘ ( x )> 0 2. Fungsi f(x) turun bila f ‘ ‘ ( x )< 0 x )< Definisi Kecekungan Fungsi Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada selang selang I, sedang f(x) dikatakan cekung ke bawah
I bila f ‘ ‘ ( x )naik pada x )naik x ) turun pada bila f ‘ ‘ ( x
selang I. Oleh karena itu dapat disimpulkan : 1. Bila f “( “( x x ) > 0 , x ÎI maka f(x) cekung ke atas pada I dan x ) < 0 , x ÎI maka f(x) cekung ke bawah pada I. 2. Bila f “( “( x
Contoh Soal:
Tentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari x ) = x 4 + 2 x 3 + x 2 - 5 fungsi f ( x
Jawab :
x ) = 4 x 3 + 6 x 2 + 2 x . Turunan pertama, f ‘( ‘( x Untuk f ‘( ‘( x x ) = 4 x 3 + 6 x 2 + 2 x > 0 , maka fungsi naik pada –1 < x < –½ atau x > 0 dan fungsi turun pada x < -1 atau – ½ < x < 0.
Secara geometris, grafik fungsi y = f(x) cekung ke bawah di suatu titik bila kurva terletak di bawah garis singgung kurva di titik tersebut. Sedangkan garfik fungsi y = f ( x ) cekung c ekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung yang melalui titik tersebut. 1
Maksimum dan Minimum Lokal
Definisi
Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa: (i) f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a, b) ∩ S; (ii) f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a, b) ∩ S; (iii) f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal. Teorema A (Uji Turunan Pertama)
Andaikan f kontinu pada selang buka (a,b) yang
memuat titik kritis c. Jika f ’(x) ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ’(x) ’(x) <>f (c) adalah nilai maksimum lokal f . Jika f ’(x) ’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f (c) adalah nilai minimum lokal f . •
•
•
Jika f ”(x) ”(x) bertanda sama pada kedua pihak c maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal f .
Teorema B (Uji Turunan Kedua)
Andaikan f ’ dan f ” ada pada setiap titik selang s elang buka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0 Jika f ” (c) < f (c) adalah nilai maksimum lokal f . Jika f ” (c) > 0, f (c) adalah nilai minimum lokal f . • •
Contoh Soal:
Carilah nilai ekstrim lokal dari fungsi f (x) = x 3– 12x – 5 pada (-∞,∞) !
Jawab: ”(x)=3x2–
12 = 3(x2 – 4) 3(x – 2) (x + 2) Titik Kritis: 2 dan -2 Pengujian terhadap titik -3, 0, dan 3 (x – 2) (x + 2) > 0 pada (-∞,-2) dan (2, ∞) (x – 2) (x + 2) < 0 pada (-2, 2)
1
Menurut uji turunan, dapat disimpulkan bahwa f(-2) = 11 adalah nilai maksimum lokal dan f(2) = -21 adalah nilai minimum lokal. Lebih Banyak Masalah Maksimum Minimum
Dalam menyelesaikan masalah praktis, terkadang kita harus mengerjakan tahap demi tahap untuk mempermudah dalam menyelesaikan masalah maks-min terapan. Tahapan yang sebaiknya kita terapkan antara lain: Langkah 1 buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan varianel yang sesuai untuk besaran kunci. Langkah 2 tuliskan untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variabel-variabel tersebut. •
•
•
•
•
•
Langkah 3 gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variabel, misalnya x. Langkah 4 tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang. Langkah 5 tentukan titik kritis (titik ujung, titik stasioner, s tasioner, titik singular). Paling sering, titik kritis kunci berupa titik stasioner dimana dQ/dx = 0 Langkah 6 gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik –titik kritis mana yang memberikan maksimum (minimum).
Contoh soal:
Carilah Carilah nilai nilai maksimu maksimum m dan dan minimum minimum dari fungsi fungsi f(x) f(x) = 3 – │x – 2 │pada interval [1,4] Jawab:
Jika x ≤ 2 maka x – 2 ≤ 0, sehingga f(x) = 3 – (2- x) = x + 1 Jika x ≥ 2 maka x – 2 ≥ 0, sehingga f(x) = 3 – (x – 2) = 5 – x Titik kritis dari f [1,4] terjadi hanya di x = 2, sebab nilai f’(x) adalah
1 dan -1 (dan tidak pernah 0) untuk setiap x dalam interval itu, sehingga f’(2) tidak ada. f(1) = 2 f(2) = 3 (maksimum mutlak) f(4) = 1 (minimum mutlak)
Penerapan Ekonomi
Hal mendasar yang membedakan masalah ekonomi dengan fisika adalah masalah-masalah diskrit. Seorang produsen sepatu misalnya, tidak mungkin menjual 321,65 pasang sepatu. Oleh sebab itu, permasalahan ekonomi cendeung menggunakan satuan-satuan diskrit. Jadi fungsi yang digunakan pada umumnya didefinisikan hana untuk x = 0,1,2,3,….dst. dan sebagai akibatnya, grafikna terdiri dari titik-titik diskrit.
1
Agar kita dapat mempergunakannya dalam kalkulus, titik ini dihubungkan satu sama lain sehingga membentuk kurva, sehingga fungsi-fungsi yag digunakan dapat terdiferensialkan. Hal ini menggambarkan salah satu aspek dari model matematika yang hamper selalu diperlukan, terutama dalam ilmu ekonomi. Untuk membuat model ini, diperlukan penyederhanaan asumsi. Hal inilah yang menyebabkan jawaban yang kita peroleh hanya merupakan pendekatan. Contoh soal:
Seorang produsen sepatu lokal dalam seminggu maksimum dapat menjual 300 pasang sepatu. Jika produsen itu dapat membuat sebanya x pasang sepatu, dapat menetapkan biaya p(x) = 300 – 0,3x (ribu) rupiah per pasangnya dan akan mempunyai total biaya perminggu C(x) = 5000 + 12x(0,012)x2 (ribu rupiah). Berapa tingkat produksi yang memaksimumkan total laba perbulan?
Jawab:
R(x) = x p(x) = x (300 – 0,3x) = 300x – 0,3×2 Sehingga P(x) = 300x – 0,3x 2 – (5000 + 12x- 0,012x 2) = -5000 + 288x – 0,298x 2 P’(x) = 288 – 0,576x Titik stasioner ; x = 500. Tetapi 500 tidak memenuhi, karena maksimum penjualan perminggu adalah 300 pasang Titik ujung : 0 dan 300 Jadi, maksimumnya terjadi jika ia mampu menjual 300 pasang, P(300) = 54.580 (ribu rupiah)Keuntungan maksimum : Rp.54.580.000.
Limit di Ketakhinggaan, dan Limit Tak Terhingga Definisi
(Limit bila x ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c, [ c, ∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat x ∞ bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga x > M │f(x) – L │ < ε →
→
→
Definisi
(Limit bila x – ∞). Andaikan f terdefinisi pada (– ∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat x –∞ bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga x < M │f(x) – L │ < ε →
→
→
Definisi
(Limit-limit tak-terhingga). Kita katakan bahwa lim f(x) = ∞ jika untuk tiap x c+ bilangan positif M, berpadanan suatu δ > 0 sedemikian sehingga 0< x – c < │f(x) – L │ < ε →
Penggambaran Grafik Canggih
1
Untuk menelesaikan masalah pembuatan grafik dan penyelesaian soal-soal terapan turunan, tekadang diperlukan beberapa tahap yang sistematis untuk mempermudah dalam menyelesaikan masalah tersebut. Langkah1 Buat analisis pendahuluan sebagai berikut:
a) Periksa Periksa daerah asal dan daerah daerah hasil fungsi fungsi untuk melihat melihat apakah apakah ada daerah dibidanga yang dikecualikan. b) Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah (apakah fungsi genap atau ganjil?) c) Cari perpot perpotongan ongan dengan dengan sumbu sumbu-sumb -sumbu u kordinat. kordinat. d) Gunakan turunan turunan pertama pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun. e) Uji titik-titk titik-titk kritis kritis untuk maksimum maksimum dan dan minimum minimum lokal. lokal. f) Gunakan Gunakan turunan turunan kedua kedua untuk untuk mengetahui mengetahui tempat-te tempat-tempat mpat grafik grafik cekung keatas dan cekung kebawah untuk melokasikan titik-titik balik. g) Cari Cari Asimot Asimot-asi -asimto mtott
Langkah 2 Gambarkan beberapa titik (termasuk titik-titik kritis dan titik balik Langkah 3 sketsakan grafik
Contoh Soal: Buatlah grafik dari fungsi x 4 – 4x3 + 10 F’(x) = 4x3 – 12x2 = 4x2 (x -3) Titik kritis: 0 dan 3 F’(x) > 0 pada (3, ∞) F’(x) < 0 pada (-∞,0) dan (0, 3)
Teorema Nilai Rata-Rata Teorema A (Teorema nilai rata-rata untuk turunan)
Jika f kontinu pada selang tutup [a,b] dan terdiferensiasikan pada titik-titik dalam dari (a,b) maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dengan (f (b) – f (a))/ b – a= f’ (c) atau, sama dengan f (b)- f (a) = f’ (c) (b-a) Teorema B
Jika F’ (x) dan G’ (x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian rupa sehingga F (x) = G (x) + C untuk semua x dalam (a,b)
Contoh soal:
Carilah bilangan c yang memenuhi kesimpulan teorema rata-rata pada fungsi x2 +2x pada selang [-2,2] Jawab:
f’(x) = 2x + 2 (f(2) – f(-2))/2 – (-2) = 4/4=1 Selanjutnya, kita selesaikan 2c + 2 = 1 2c + 1 = 0 c = -1/2 c = -1/2 berada pada selang [-1,2]
1
1
Penerapan fungsi turunan dalam kehidupan
Penerapan turunan dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak yg dapat ditemui.Antara lain dalam bidang fisika,kimia,astronomi dan ekonomi.Beberapa contoh aplikasi nya dapat dilihat dalam bidang fisika antara lain dalam mencari turunan waktu dan fungsi implicit. Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan dengan turunan, disebut sebagai persamaan diferensial.Contoh aplikasi nya adalah: Turunan waktu
. Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap waktu, dan konsep “ tutunan waktu” laju perubahan terhadap perubahan waktu sangatlah penting sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep penting. Sebagai contohnya, turunan waktu terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika Newtonman : • •
kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu. Percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua posisi benda terhadap waktu.
Sebagai contoh, jika posisi s ebuah benda dalam sebuah garis adalah: maka kecepatan benda tersebut adalah: dan percepatan benda itu adalah: Teorema fungsi implisit Beberapa bentuk geometri alami, seperti lingkaran, tidak dapat digambar sebagai grafik fungsi. Jika F ( x , y ) = x ² + y ², ² , maka lingkaran adalah himpunan pasangan ( x , y ) di mana F ( x , y ) = 0. Himpunan ini disebut sebagai himpunan nol (zero set) (bukan himpunan kosong) dari F . Ini tidaklah sama dengan grafik F , yang berupa kerucut. Teorema fungsi implisit mengubah relasi seperti F ( x , y ) = 0 menjadi fungsi . Teorema ini menyatakan bahwa jik ji k a F adalah secara kontinu terdiferensialkan, maka di sekitar kebanyakan titik-titik, himpunan nol dari F tampak seperti grafik fungsi yang digabungkan bersama. Titik di mana hal ini tidak benar ditentukan pada kondisi turunan F . Lingkaran dapat digabungkan bersama dengan grafik dari dua fungsi . Di setiap titik lingkungan dari lingkaran kecuali (-1, 0) dan (1, 0),satu dari dua fungsi ini mempunyai grafik yang mirip dengan lingkaran. (Dua fungsi ini juga bertemu di (-1, 0)dan (1, 0), namun hal ini tidak dipastikan oleh teorema fungsi implisit). Teorema fungsi implisit berhubungan dekat dengan teorema fungsi implicit yang menentukan kapan sebuah fungsi tampak mirip dengan grafik fungsi terbalikkan yang digabungkan bersama
1
