A. Pengertian Vektor Di R2 Vektor di R2 ( Baca : Vektor di ruang dua ) adalah Vektor- di ruang dua ) adalah Vektor-vektor yang terletak pada bidang datar pengertian vektor yang lebih singkat adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah tertentu. a)
A
d
0
B. Notasi Vektor Di R2 Secara geometri,suatu vektor di R2 yang diwakili oleh ruas garis berarah dapat digambarkan pada bidang koordinat atau bidang tartesius, secara aljabar (nongeometri), vektor di R2 dapat dinyatakan dengan matriks garis atau matriks kolom yang merupakan komponen-komponen vektor, yaitu x (x,y) atay ( ) , dengan x sebagai komponen horizontal dan y sebagai y komponen vertikal.
C. Besar vector a Misalkan ( b ) adalah vector di R2 , besar dari vector
dilambangkan dengan ditentukan dengan rumus =
2
a b
D. Vektor Satuan Vektor Satuan adalah vector yang panjangnya satu-satuan. a Setiap vector = ( ) b
yang bukan nol mempunyai vector satuan yang
dilambangkan dengan
→ →
dan dapat ditentukan dengan persamaan
( )
√
E. Contoh : 1. Nyatakan Vektor pada gambar disamping secara aljabar dan tentukan pula besaran vector tersebut ? 2. Tentukan vector satuan dari vector → ( y
)
A.(4,3)
3
2 1 x
0
1
2
3
4
F. Vektor Nol Vektor Nol adalah vector yang panjangnya O (nol) dan Arahnya sembarang. Vector Nol dilambangkan dengan → = ( )
G. Vektor Posisi Suatu Matriks Vektor Posisi dari suatu titik adalah vector yang titik pangkalnya di titik 0 ( pangkal koordinat) & titik Ujungnya di titik yang bersangkutan.
y 0
1
2
1
3
x
a
2
A.(3,2)
H. Kesamaan Vektor Dua vector atau lebih dikatakan sama jika mempunyai besaran dan arah yang sama
A P R
L B
s
Q
K
I. Vektor Berlawanan Dua vector atau lebih dikatakan berlawanan mempunyai besar sama, tetapi arahnya berlawanan
J. Operasi PAda Vektor a. Penjumlahaan Vektor Penjumlahan Vektor secara geometri Penjumlahaan dua buah vector atau lebih geometri dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan aturan segitiga dan aturan jajaran genjang, 1. Aturan segitiga
Jika diketahui dua buah vector, misalnya vector dan vector V
kita jumlahkan, maka akan kita dapatkan resltan dari vector dan
V
V
v
c v
2. Aturan Jajar Genjang Pada aturan jajargenjang vector resultan diperoleh dengan mengimpikan titik pangkal kedua vector yang dijumlahkan, kemudian dibuat garis yang sejajar dengan kedua vector sehingga membentuk sebuah jajar genjang.
V
c v
V
b. Jumlahan Vektor secara Aljabar
Misalkan vector
=
a1 b dan Vektor 2
a2 b2
v=
, Maka
Penjumlahaan Kedua Vektor tsb dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut :
a a
v 1 2 b1 b2
K. Pengurangan Vektor Pengurangan vector secara geometri sebelumnya kita membahas tentang dua vector berlawanan yaitu dua vector yang mempunyai besar sama,
tetapi arahnya berlawanan sebagai contoh, vector a merupakan lawan
dari vector a dan vector b merupakan lawan dari vector b sementara itu
pada bilangan real berlaku hubungan : a-b = a + (-b), dengan b merupakan invers tambah dari b.
Dari Pengertian diatas jika diketahui dua buah vector, misalnya vector dan vector v , maka + v artinya sama dengan + v
Pengurangan vector secara aljabar a1 a Misalkan vector = dan v = 2 , Maka pengurangan b1 b2
vector Oleh vector v dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut
: - v - + (- v ) a a = 1 2 b1 b2
L. Perkalian Skala dengan vector Yang dimaksud dengan perkalian skala dengan vector adalah perkalian antara suatu bilangan real dengan vector.
Misalkan m adalah suat skala (bilangan real) dan a adalah suatu vector
Hasil kali scalar M dengan Vektor a , ditulis sebagai c = ma , ditentkan sebagai berikut :
Panjang vector c sama dengan hasil kali m dengan panjang vector a .
Jika nilai M > 0, Maka vector c searah dengan vector a
Jika nilai m < 0, Maka vector c berlawanan arah dengan arah a
M. Perkalian skalar dua vector
Perkalian Skalar dari a dan b baik di R2 Maupun di R3 Menghasikan bilangan real yang dapat ditentukan dengan persamaan berikut.
a . b a b cos
a dan b masing-masing adalah besar vector
a dan b sementara itu, adalah sudut antara kedua vector tsb, dapat kita
tulis = < a . b ( baca : adalah sudut antara vector a dan b
Contoh :
Panjang Vektor a dan panjang vector b masing-masing adalah 4 satuan dan 5
satuan besar sudut antara vector a dengan vector b sama dengan 60
0.
Hitunglah hasil kali scalar antara vector a dengan vector b
b. Sifat-sifat kali scalar dua variable - Sifat komulatif
Misalkan diketahui vector a =
x1 x dan vector b = 2 berdasarkan rumus hasil x1 x2
kali scalar dua vector dibidang maka diperoleh hubungan :
x x . b 1 , 2 x1 x 2 y1 y 2 y1 y 2 x x a . b 2 , 1 x 2 x1 y 2 y1 x1 x1 y1 y 2 y 2 y1
Berdasarkan Perhitungan diatas jelas bahwa
a . b b . a hubungan ini
menunjukan bahwa hasil kali skalar dua dibidang bersifat komlatif. Sifat Distributif x x x a 1 , b 2 dan c 3 : Misalkan bahwa x1 y 2 y3
adalah vektor dibidang Berlakunya sifat distributib
1. a . ( b c ) a . b a . c
.
2. ( a b ) c . a c b. c
Contoh :
Diketahui vector a dan vector b membentuk sudut membentuk 60o panjang
vector a adalah = a = 4 satuan dan panajng vector b adalah b = 5 satuan A. Tenkannilaidari a , a b B. Tenkannilaidari b , a b
C. Sudut Antara dua Vektor x x Misalkan Vector a , 1 dan vector b , 2 adalah vector-vector dibidang y1 y2
yang dinyatakan dalam bentuk vector kolom, sudut antara dua vector dibidang adalah. :
Cos
a. b
, asalkan a. 0 dan b. 0
a b
Contoh : Diketahui koordinat titik A ( 4.1 ) dan B (3.5) Tentukan besar sudut yang dibentuk
oleh vector posisi a dari titik A dan vector b dari titik B !
Perbandingan atau pembagian Ruas garis Vektor di R2
Misalkan titik T membagi AB dengan perbandingan M:N maka koordinat titik T
dapat diketahui. Misalkan diketahui titik A ( X., Y, ) dan AT :TB : m:n dengan m
na mb dan n skalar dan m.n,ER, Maka Vektor Posisi titik T adalah t : Bukti : mn
AT :TB : m : n
MTB n AT
m (b t ): n ( t a )
mb mt nt na
mt nt na mb
( m n) t n a m b
na mb t mn
Contoh
Diketahui ruas garis AB dengan titik A ( -2,5) B (10.1). Titik D Terletak Pada
AB sehingga AD : DB 1:3 Tentukan Koordinat Titik O !
Jika terletak di tengah-tengah AB , tentukan koordinat titik T! N.
