perkalian-silang-2-vektor-di-r3

Perkalian Silang 2 Vektor di R3

Perkalian silang dua vektor di R3 Kartika Firdausy – UAD blog.uad.ac.id/kartikaf

Perkalian silang antara dua vektor di R 3 Diketahui u = ( u1,u2,u3 ) dan v = ( v1,v2,v3 ) Perkalian silang antara u dan v didefinisikan sebagai :

u x v = =

i u1 v1 u2 u3 v2 v3

j u2 v2

i-

k u3 v3 u1 u3 v1 v3

 j +

u1 u2 v1 v2

k 

u x v = (u2v3 – u3v2)i + (u1v3 – u3v1) j  j + (u1v2 – u2v1)k

Hasil kali silang dari dua buah vektor akan menghasilkan suatu vektor tegak lurus terhadap u dan v 2

Aljabar Linear dan Matriks

1

Perkalian Silang 2 Vektor di R3

Panjang Vektor Hasil Perkalian Silang

Kuadrat dari norm u x v adalah:

|u x v|2 = ( u2.v3 – u3.v2 )2 + (u1.v3 – u3.v1)2 + ( u1.v2 – u2.v1)2

= (u12 + u22 + u32 ) ( v12 + v22 + v32 ) – (u1v1 + u2v2 + u3v3 )2 = |u|2 |v|2 − (u . v)2 →

identitas Lagrange 

3

Dari identitas Lagrange |u x v|2 = |u|2 |v|2 − (u . v)2 = |u|2 |v|2

−

( |u| . |v| cos

θ )2

( θ sudut yang dibentuk oleh u dan v )

= |u|2 |v|2 (1− cos θ)2 |u x v|2 = |u|2 |v|2 sin 2 θ atau |u x v| = |u|. |v|. sin

θ 4

Aljabar Linear dan Matriks

2

Perkalian Silang 2 Vektor di R3

Perhatikan vektor u dan v berikut

|u x v| = |u|. |v|. sin

θ

merupakan luas segi empat yang dibentuk u dan v Luas segi empat

= panjang alas x tinggi = |v| x |u| sin θ = |u| |v| sin θ Hasil kali silang dua vektor u dan v akan menghasilkan suatu vektor yang tegak lurus terhadap u dan v serta memiliki panjang sama dengan luas dari segi empat yang dibentuk oleh vektor u dan v . 5

Contoh Diketahui a = ( 1,2,1 ) dan b = ( 2,2,3 ) Hitung luas segi empat yang dibentuk oleh a dan b

6

Aljabar Linear dan Matriks

3

Perkalian Silang 2 Vektor di R3

Contoh Diketahui segitiga ABC dengan titik – titik sudut adalah : A (2,1,–2 ) , B ( 0,–1,0 ) dan C ( –1,2,–1 ) Hitung luas segitiga ABC

7

Aljabar Linear dan Matriks

4