11
TUGAS
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor di R3
SILVIA ALVINI
1201272/2012
Dosen Pembimbing : Drs. H. Mukhni, M.Pd.
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI PADANG
2013
VEKTOR DI R3
Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya, kecepatan, momen, dan sebagainya. Vektor dalam fisika berada dalam bidang datar atau ruang-fisik atau di R2 dan R3. Dalam matematika vektor-fisik ini disebut vektor konkret.
Vektor ini pada intinya yaitu besaran yang memiliki arah. Besaran besaran seperti panjang, suhu, luas, dan massa merupakan besaran skalar, dengan kata lain besarannya tanpa arah. Berbeda dengan vektor yang disertai arah di setiap besarannya. Contohnya kecepatan, kecepatan itu memiliki laju yang sifatnya skalar namun disertakan juga dengan arahnya.
Kelajuan dan arahnya bersama-sama membentuk kecepatan sebagai besaran vektor. Contoh lainnya yaitu gaya dan perpindahan yang tentunya juga mempunyai arah. Dalam pengertian lain dikatakan bahwa vektor merupakan koleksi bilangan dalam pasangan berurutan.
Dalam matematika kita membuat aksioma ruang vektor yang diilhami oleh sifat-sifat vektor fisik. Segala sesuatu yang memenuhi aksioma ruang vektor disebut sebuah vektor, yang membebaskan diri dari sifat "besar" dan "arah" maupun sifat-sifat fisik lainnya. Oleh karena itu vektor dalam ruang vektor aksiomatis ini kita.
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang memiliki besar/panjang dan arah. Setiap vektor tersebut dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen garis berarah pada bidang atau ruang, dengan notasi garis berpanah. Arah panah menyatakan arah vektor dan panjang panah menyatakan panjang vektor. Ekor panah dinamakan initial point 'titik awal' dan ujung panah menyatakan terminal point 'titik akhir'. Vektor di R3 adalah vektor pada bidang dengan 3 sumbu, yaitu ; sumbu x, sumbu y, dan sumbu z.
Titik pangkal P dan titik ujung Q, maka vektor disebut sebagai vektor PQ. Panjang vektor PQ ini dilambangkan dengan PQ.
Qa Selain cara diatas, dapat ditulis menggunakan :
Q
a
Huruf kecil yang dicetak tebal.
QaPMisalnya, vektor PQ ditulis sebagai vektor a.
Q
a
P
PHuruf kecil yang diatas huruf itu dibubuhi tanda panah.
P
Misalnya, vektor PQ ditulis sebagai vektor a
Penulisan vektor dengan menggunakan lambang panah di atas lebih sering digunakan daripada yang dicetak tebal. Sedangkan unsur vektor tersebut ditulis berurutan, matriks satu kolom, atau memakai notasi vektor satuan , , dan .
Arah vektor bisa berupa arah dalam ruang dimensi 1, dimensi 2, atau dimensi 3.
Dimensi 3Dimensi 2zyDimensi 1
Dimensi 3
Dimensi 2
z
y
Dimensi 1
xa
x
a
a =xa a
a =x
a
a
a =x+yyx
a =x+y
y
x
a =x+y+z
a =x+y+z
x
x
Diketahui vektor a dengan komponen-komponen x, y, dan z ditulis dalam :
Vektor Kolom : a=xyz
Vektor Baris : a=x, y, z
Basis Vektor : a=x+y+z
(, , dan vektor satuan pada sumbu x, y, dan z)
Rumus-rumus pada vektor di R3
Diketahui titik P (x1, y1, z1) dan Q (x2, y2, z2) maka vektor posisi dari :
Titik P : p = x1, y1, z1
Titik Q : q = x2, y2, z2
PQ = q-p = x2-x1y2-y1z2-z1
Panjang vektor a=x+y+z adalah :
a=x2+y2+z2
Panjang vektor PQ = x2-x1y2-y1z2-z1 adalah :
PQ=x2-x12+y2-y12+z2-z12
Sifat-sifat Vektor
Dua vektor dikatakan sama, bila keduanya mempunyai besar (panjang) dan arah yang sama, tanpa memandang kedudukan titik-titik pangkalnya.
ba Kedua vektor tersebut mempunyai titik pangkal dan titik terminal yang berbeda, tetapi besar (panjang) dan arah kedua vektor tersebut sama. Jadi, a=b
b
a
Jika 2 buah vektor mempunyai besar (panjang) yang sama, tetapi arahnya berlawanan, maka salah satu vektor tersebut dinyatakan sebagai minus dari vektor tersebut.
b=-a a Pada gambar di samping, a dan b mempunyai besar (panjang) yang sama, tetapi arahnya berlawanan sehingga dapat dinyatakan b=-a
b=-a
a
Vektor yang tidak mempunyai panjang disebut zero vektor 'vektor nol' ditulis : 0. Maka, a+0=a
Vektor letak atau vektor posisi
Letak titik P terhadap titik acuan (titik pangkal) O didefinisikan sebagai vektor OP=p. Jadi, PQ=q-p
Elemen Invers
a+-a=-a+a=0
Penjumlahan antara 2 Buah Vektor
Menjumlahkan vektor dengan vektor dilakukan dengan cara menjumlahkan kedua komponen vektor yang seletak. Menjumlahkan 2 vektor atau lebih sama saja dengan kita mencari vektor resultannya.
Sifat-sifat penjumlahan vektor :
a+b=b+a (sifat komutatif)
a+b+c=a+b+c (sifat asosiatif)
ka+b=ka+kb (sifat distributif)
a+b a+b
Jika a dan b adalah sembarang dua vektor, maka jumlah a+b adalah vektor yang dapat ditentukan dengan 2 cara :
Cara Jajargenjang
a+b didefinisikan sebagai sebuah vektor yang titik awalnya sama dengan titik awal a dan titik akhirnya merupakan titik ujung dari vektor b (setelah digeser) sehingga titik awal vektor b diletakkan pada ujung vektor a.
Seperti gambar dibawah ini.
a+b b
a+b
b
a
a
Cara Poligon
a+b didefinisikan sebagai sebuah vektor dimana pangakal vektor b berada pada ujung vektor a. Jadi, dari pangkal vektor a sampai ujung vektor b merupakan vektor a+b.
Seperti gambar dibawah ini.
a+b
a+b
b
b
a
a
Pada intinya, hasilnya sama cuma berbeda pada penggambarannya. Jika, pada perhitungan dapat dilihat pada contoh dibawah ini
a=3,4,5 dan b=5,2,6
Maka, a+b=345+526=8611
a+b=8,6,11
Selisih antara 2 Buah Vektor
Sama halnya dengan penjumlahan 2 vektor. Selisih 2 buah vektor juga dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu :
Cara Jajargenjang
a Bagi vektor yang bertanda negatif, maka arah vektornya berlawanan arah dari yang positif. Seperti gambar dibawah ini.
a
a-b -b b
a-b
-b
b
-b
-b
Cara Poligon
Caranya sama seperti pada vektor penjumlahan
Seperti gambar dibawah ini :
a-b -b a
a-b
-b
a
Pada intinya, hasilnya sama cuma berbeda pada penggambarannya. Jika, pada perhitungan dapat dilihat contoh dibawah ini.
a=3,4,5 dan b=5,2,6
Maka, a-b=345-526=-22-1
a-b=-2,2,-1
Perkalian Titik antara 2 buah Vektor
Perkalian titik dua buah vektor a dan b dinyatakan oleh a b (dibaca : a titik b)
Secara Geometri
a b didefinisikan sebagai perkalian antara besarnya vektor-vektor a dan b dan kosinus sudut θ antara keduannya.
a b=ab cos θ 0 θ π
Secara Analitik
Misalkan, a =a1+a2+a3 dan b =b1+b2+b3 adalah dua vektor pada ruang dengan system koordinat x, y, dan z. Maka a b didefinisikan
a b=a1b1+a2b2+a3b3
Hasil kali titik dari dua buah vektor menghasilkan skalar.
Sifat-sifat perkalian titik dua buah vektor
Misalkan a,b dan c adalah tiga buah vektor dan m adalah bilangan riil, maka berlaku :
a a=a2
a b=b a (sifat komutatif)
ma b= ma b=a mb=a bm
0 a=0
Jika a b=0, dimana a dan b adalah vektor-vektor tak nol,maka a b
k a=ka (ketaksamaan Schwarz)
zBerdasarkan definisi secara goemetri didapat
z
=cos0˚=1.1.1=1
y =cos0˚=1.1.1=1
y
x =cos0˚=1.1.1=1
x
=cos90˚=1.1.0=0
=cos90˚=1.1.0=0
=cos90˚=1.1.0=0
=cos90˚=1.1.0=0
=cos90˚=1.1.0=0
=cos90˚=1.1.0=0
Contoh soal :
Jika a =2-2+ dan b=3++2, tentukanlah a b
Kita gunakan definisi secara analitik
a b=2-2+ 3++2
=23+-21+12=6-2+2= 6
Perkalian Silang antara 2 Buah Vektor
Perkalian silang dua vektor a dan b dinyatakan oleh a×b (dibaca : a silang b)
Secara Geometri
Perkalian silang dari dua buah vektor a dan b dimana u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari a×b
a×b=ab sin θ u 0 θ π
Seacara Analisis
Misalkan, a =a1+a2+a3 dan b =b1+b2+b3. Maka a×b didefinisikan
a×b=a1a2a3b1b2b3 =a1a2a3b1b2b3a1a2b1b2
=a2b3+a3b1+a1b2-a2b1+a3b2+a1b3
Sifat-sifat perkalian silang dua buah vektor
Misalkan a,b dan c adalah tiga buah vektor dan m adalah bilangan riil, maka berlaku :
a×b=-b×a (tidak berlaku sifat komutatif)
a×b+c=a×b+a×c (sifat distributif)
ma×b= ma×b=a×mb=a×bm, m skalar
Hasil kali dari a×b sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi a dan b
Jika a b=0, dimana a dan b bukan vektor-vektor nol, maka a""bz
z
Berdasarkan definisi secara goemetri didapat
=sin0˚u=0
y =sin0˚u=0
y
x =sin0˚u=0
x
=sin90˚u=1.1.1.=
=sin90˚u=1.1.1.-=-
=sin90˚u=1.1.1.-=-
=sin90˚u=1.1.1.=
=sin90˚u=1.1.1.=
=sin90˚u=1.1.1.-=-
Contoh soal
Jika a =2-2+ dan b=3++2, tentukanlah a×b
Kita gunakan definisi secara analitik
a×b=2-21312 =2-213122-231
=-22+13+21-3-2+11+ 22
= -4+3+2--6+1+4=-5-1+8
Sudut antara 2 buah Vektor
Sudut antara dua buah vektor dapat dicari dengan menggunakan rumus secara geometri pada perkalian titik dan perkalian silang.
Pada perkalian titik
a b=ab cos θ 0 θ π
cos θ=a bab θ=cos-1a bab
Pada perkalian silang
a×b=ab sin θ u 0 θ π
a×b=ab sin θ a×ba×b
sin θ=a×bab θ=sin-1a×bab
Contoh soal
Jika a =2-2+ dan b=3++2, carilah sudut yang dibentuk oleh a dan b.
a b=6
a×b=-5-+8
a×b=-52+-12+82=25+1+64=90
a=22+-22+12=4+4+1=9
b=32+12+22=9+1+4=14
Rumus sudut pada perkalian titik
θ=cos-1a bab=cos-16914=57,69˚
Rumus sudut pada perkalian silang
θ=sin-1a×bab=sin-190914=57,69˚
