2011 Materi vektor untuk SMA Kelas III
Oleh: Muhammad Adib Achsan 08144100088 Tusiyamah 0814410059 Listiyana 0814410073
Materi vektor untuk SMA Kelas III
2011
Standar kompetensi:
1. Menggunakan Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. Kompetensi dasar:
3.4 Menggunakan Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah. 3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah. Indikator:
1. Menjelaskan vektor sebagai besaran yang memiliki besar dan arah. 2. Mengenal vektor satuan. 3. Menentukan operasi aljabar vektor: jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor. 4. Menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri. 5. Menggunakan Menggunakan rumus perbandingan perbandingan vektor 6. Menentukan hasil kali skalar dua vektor dibidang dan ruang. 7. Menjelaskan sifat-sifat perkalian skalar dua vektor. vektor.
A. VEKTOR DI R
2
1. Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang atau nilai) saja atau
besaran yang tidak memiliki arah. Misalnya: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa, dan sebagainya. Besaran vektor adalah besaran yang memiliki besar (panjang atau nilai) juga memiliki
arah. Misalnya: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik, dan sebagainya. 2. Notasi Vektor Vektor adalah suatu ruas garis berarah yang arah dan panjangnya tertentu. Panjang
tertentu itu disebut panjang (besar, nilai) vektor .
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II
Page 2
2011
Materi vektor untuk SMA Kelas III
Vektor dinyatakan dengan huruf latin, misalnya
,
, u (huruf yang ditebalkan) atau u
(huruf yang dimiringkan). Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis
⃗
dengan lambang u =
Panjang (besar nilai) vektor u denyatakan dengan | | dan vektor AB dinyatakan dengan
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
B
.
u=
(
mewakili u) u
u dibaca “vektor u”
dibaca “vektor AB” A
= vektor yang pangkalnya A dan ujungnya B.
Gambar 1.1
3. Penyajian Suatu Vektor
(i) Vektor u dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan, misalnya u = (a, b) dengan a = komponen mendatar dan b = komponen vertikal.
, atau u =
(ii) Vektor sebagai kombinasi vektor satuan. Vektor u dapat dibentuk menggunakan vektor satuan i dan j, misalkan u = ai + b j 4. Panjang Vektor
Misalkan u =
, maka panjang (besar, nilai) vektor u ditentukan dengan rumus:
√
| |=
+
.
5. Kesamaan Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama, bila besar dan arahnya sama. Misalkan u =
a = c dan b = d.
dan v =
. Jika u = v , maka | | = | | dan arah u = arah v, sehingga
6. Operasi Vektor (i) Operasi Penjumlahan Vektor
Jumlah dua vektor u dan v adalah suatu vektor w yang dituliskan dengan diagonal jajargenjang yang sisinya u dan v, ditulis w = u + v .
Penjumlahan Vektor Menurut Aturan Segitiga S egitiga dan Jajargenjang
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II
Page 3
2011
Materi vektor untuk SMA Kelas III
Penjumlahan Vektor Menggunakan Bentuk Pasangan Bilangan.
Jika u =
dan v =
, maka u + v =
(ii) Elemen Identitas dan Invers Aditif
+
+ +
=
Vektor yang memiliki besar nol disebut vektor nol, ditulis 0 . Vektor nol disebut elemen identitas. u+0=0+u=u
Misalnya u =
dan 0 =
0 , maka u + 0 = 0
0 = 0
+
Jika u adalah sebarang vektor bukan vektor nol, maka – u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi berlawanan arah. u – u = u + (-u) = 0 (iii) Operasi Pengurangan Vektor
Selisih dua vektor u dan v, ditulis u
−
v didefinisikan u + (-v).
Pengurangan Vektor Menggunakan Aturan Segitiga dan Jajargenjang
.
Pengurangan Vektor Menggunakan Bentuk Pasangan Bilangan.
Jika u =
dan v =
, maka u + v =
(iv) Operasi Perkalian Vektor dengan Skalar
− −− −− +(
)=
+
=
m u adalah suatu vektor yang panjangnya | | kali vektor u dan searah dengan u jika m> 0 dan berlawanan arah dengan u, jika m < 0.
∈
Jika m {
} dan u =
maka mu = m
=
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II
Page 4
2011
Materi vektor untuk SMA Kelas III
7. Sifat-sifat Operasi Vektor
(i)
Sifat komutatif: u + v = v + u
(ii)
Sifat asosiatif: (u + v) + w = u + (v + w)
(iii) Ada elemen identitas terhadap p enjumlahan u + 0 = 0 + u = u (iv)
Sifat tertutup: hasil penjumlahan berupa vektor vektor lagi.
(v)
Ketidaksamaan segitiga: | + |
(vi)
1u = u
≤
| |+ | |
(vii) 0u = 0 atau m0 = 0 (viii) Jika m0 = 0, maka m = 0 atau u = 0 (ix)
(mn)u = m(nu)
(x)
|
(xi)
(-m)u = -(mu) = m(-u)
| = | || |
(xii) Sifat distributif: (m + n)u = mu + nu (xiii) Sifat distributif: m(u + v) = mu + mv (xiv) u + (-1)u = u + (-u) = 0 8. Besar Suatu Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
(i)
Jika u =
− − dan v =
dan besarnya | + (ii)
Jika u =
|=
dan v =
dan besarnya |
|=
+ +
( + ) + ( +
)
, maka u - v =
(
) + (
| + |=
(iii)
−− −
, maka u + v =
)
| | + | | + 2| || |
|
(iv)
− − − |=
| |
| |
2| || |
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II
Page 5
2011
Materi vektor untuk SMA Kelas III
9. Arah Suatu Vektor hasil Penjumlahan dan Pengurangan Arah Suatu Vektor Hasil Penjumlahan
=
(
)
=
= arah vektor hasil penjumlahan
∝
−
Arah Suatu Vektor Pengurangan
+
= sin ( ) = arah vektor hasil penjumlahan
10. Vektor Posisi
=
0A = a dan 0B = b adalah vektor – vektor posisi
⃗ ⃗ =
0+ 0
=
0+ 0
=b-a Jika A = (a1 , a2) dan B = (b1 , b2), maka:
⃗ − − −− =
=
=
11. Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bidang dalam Bentuk Vektor dan Koordinat
Pembagian ruas garis dalam bidang dalam bentuk vector ditentukan oleh rumus: Jika 0 adalah suatu titik yang diketahui P adalah titik pada pad a ruas garis AB, sehingga AP : PB = m:n , maka:
⃗
⃗ ↔ ⃗ ⃗ ⃗ ↔
0 = o
⃗
0 + 0 +
=
+ +
Jika P adalah titik tengah dari ruas garis AB, maka:
0 =
1 2
0 + 0
=
1 2
( +
)
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II
Page 6
2011
Materi vektor untuk SMA Kelas III
Pembagian ruas garis dalam bidang dalam bentuk koordinat ditentukan oleh rumus: Jika A( x x1 , y1), B( x x2 , y2), dan P( x x p , y p) terletak pada ruas garis AB, sehingga AP:PB =
o
m:n, maka:
=
dan =
Jika titik P titik tengah ruas garis AB, maka:
o
=
(
+
) dan
=
(
+
)
B. VEKTOR DI R 3 1.
Sistem Koordinat dalam Ruang Pada sistem koodinat dalam ruang sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z berpotongan di titik O (0,0) dan saling tegak lurus. Sumbu OX ke kanan, sumbu OY ke belakang, dan sumbu OZ ke atas masing-masing adalah sumbu negative. Posisi titik P (x 1, y1, z 1) terletak di kuadran pertama, dengan x 1 adalah jarak P ke bidang YOZ, y1 adalah jarak P ke bidang XOZ, dan z1 adalah jarak P ke bidang XOY.
2.
Vektor Basis dalam Ruang Vector satuan dalam arah sumbu X disebut i Vector satuan dalam arah sumbu Y disebut j Vector satuan dalam arah sumbu Z disbeut k Tripel i, j, dan k merupakan kumpulan vector basis. Dalam bentuk komponen vector-vector satuan dinyatakan sebagai:
1 0 0 i = 0 , j = 1 , dan k = 0 0 0 1
3.
Vektor Baris dan Vektor Kolom Jika p sebarang vector titik P (x1, y1, z1) dan p = x1i + y1 j + z1k
⃑
maka p =
Vector p = x1i + y1 j + z1k dapat dinyatakan dalam vector baris, yaitu p = (x1, y1, z1) Vector p = x1i + y1 j + z1k dapat dinyatakan dalam vector
kolom, yaitu2 p=
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II
Page 7
2011
Materi vektor untuk SMA Kelas III
4.
Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalkan P Suatu titik dan O adalah titik pusat, maka
⃑
⃑ ⃑
adalah vector vector posisi dari titik P
(i)
Jika P (xp, yp) maka vector posisi dari titik P adalah
(ii)
Jika P (xp, yp, zp) maka vector posisi dari titik P adalah
⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑
(iii)
=
=
=p=
=p=
+
+
=b–a
− ⃑ −−
Jika A (a1, a2, a3) dan B (b1, b2, b3), maka 5.
Kesamaan Vektor
=
Dua vector u dan v dikatakan sama ditulis u = v, jika benar dan arah kedua vector itu sama. Misalkan u =
6.
dan v =
, maka u = v jika a 1 = b1, a2 = b2 dan a3 b3
Operasi penjulaman, pengurangan, dan perkalian vector dengan bilangan real (a) Jika u = (i)
,v=
Operasi penjumlahan vector u+v=
(ii)
+
=
−− − + + +
Operasi pengurangan vector u-v=
(iii)
, dan m (bilangan real) atau m scalar, maka
=
-
Operasi Perkalian Vektor dengan Bilangan real (Skalar) mu = m
=
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II
Page 8
Materi vektor untuk SMA Kelas III
2011
(b) Sifat-sifat Operasi Vektor Jika u, v, dan w adalah vector; m dan n adalah scalar, maka berlaku sifat-sifat : (i)
Komutatif penjumlahan : u + v = v + u
(ii)
Asosiatif penjumlahan : (u + v) + w = u + (v + w)
(iii)
Komutatif perkalian : mu = um
(iv)
Asosiatif perkaliabn (mn) u = m (nu)
(v)
Distributif :
(m + n) = mu + nu m (u + v) = mu + mv
7.
Hubungan antara Vektor (a) Jika vector u dan v koliner segaruis maka u = mv atau titik A, B, dan C dikatakan koliner jika
⃑ ⃑ =
, dengan m adalah scalar atau bilangan real.
(b) Vektor u dan v yang bukan vektor nol dan tidak kolinear dikatakan koplanar (sebidang) dengan vektor w, jika dan hanya jika terdapat bidang real m dan n, sedemikian hingga w=mu+nv (c) Jika vektor u, v, dan w bukan vektor nol, tidak kolinear, dan tidak koplanar, maka hanya ada satu cara untuk menyatakan setup p dalam bentuk lu + mv + nw, dengan 1, m, dan n bilangan real. (d) Vektor u, v, dan w yang bukan vektor nol adalah tidak koplanar, jika dan hanya jika memenuhi syarat “Jika l u + mv + nw = 0, maka l = 0, m = 0, dan n = 0”.
8.
Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Ruang dalam Bentuk Vektor dan Bentuk Koordinat
(a) Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n Sebuah titik P disebut membagi AB di dalam dengan perbandingan m: n, jika AP : PB =m : n, .dengan m > 0 dan n> 0 Sebuah titik P disebut membagi AB di luar dengan perbandingan m: n, jika AP : PB = m :-n dengan m>0 dan n>0.
Pada Gambar 1.14(a), AP : PB = 1: 1 dan dan AP : AB = 1: 2 Pada Gambar 1.14(b), AP : PB = 2: 1 dan A P : AB = 2: 3 Pada Gambar 1.14(c), AP : PB = 2:-I atau -2 : 1 dan dan AP : AB = 2 : 1 Pada Gambar 1.14(d), AP : PB = -1 : 4 dan AP : AB =-1 : 3
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II
Page 9
2011
Materi vektor untuk SMA Kelas III
Pada Gambar 1.14(e), AP : PB = m: n dan dan AP : AB = m : (m+ (m + n)
(b) Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Ruang dalam Bentuk Vektor Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n , maka
=
a vektor posisi titik A(x A( x1, y 1, z 1) b vektor posisi titik B(x2, y2, z2) p vektor posisi titik P(xp, yp, zp)
Gambar 1.15
Dalam hal khusus, P sebagai titik tengah dari AB , maka m: n = 1: I danp= dan p= (a+b).
(c) (c) Rumus Pembagian dalam Bentuk Koordinat Bila P(xp, yp , zp) membagi membagi garis yang menghubungkan A( x1, y 1, z 1) dan B(x2, y2, z2) dengan perbandingan m: n, maka koordinat P adalah:
√ =
9.
+
+
,
+
=
=
+
+
+
Panjang Vektor dalam Ruang
(a) Misalkan vektor u = li + m j m j + nk atau u =
, maka :
(i)
panjang (besar) vektor u, ditulis | | ditentukan oleh rumus | | =
(ii)
panjang vektor satuan dari u adalah 1, vektor vektor satuan biasa disebut dengan e tentukan
+
+
oleh rumus
(iii)
= √
=
| |
besar sudut-sufut antara u dengan dengan sumbu sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z yang yang dinyatakan dengan , β, dan γ ditentukan dengan rumus kosinus arahnya :
β γ γ
cos cos cos cos cos cos
= √ = = | | √ + + = = | | √ + + =
| |
⃑
(b) Bila A (x1, y 1, z 1) dan B (x2, y 2, z 2), maka
mewakili vektor
A dan B adalah :
−− −
, maka jarak antara
⃑ − − − |
|=
(x (x
x ) + (y
y ) + (z
z )
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II
Page 10
2011
Materi vektor untuk SMA Kelas III
PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR PADA VEKTOR LAIN
⃑ ⃑
Bila a diwakili oleh ortogonal A pada (i) (j)
, b diwakili oleh
⃑
,
θ sudut
antara a dan b, A’ adalah proyeksi
yang diwakili oleh c, maka:
proyeksi vektor a pada b adalah c yang ditentukan oleh rumus | | =
proyeksi skalar a pada b adalah | | yang ditentukan oleh rumus | | =
.
| | .
| |
Sudut antara vektor-vektor a dan b dapat diketahui:
(i) jika | | > 0, maka 0< θ < (ii) jika | | = 0, ma ka θ = (iii) jika | | < 0, maka
<0<
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II
Page 11
