Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang

Alja Aljaba barr Line Linear ar Elem Elemen ente terr MA1223 3 SKS Silabus : Bab I

Matriks dan Operasinya

Bab II

De Determinan Matri triks

Bab III

Sistem Persamaan Linear

Bab IV

Vektor di Bidang dan di Ruang

Bab V

Ruang Vektor

Bab VI

Ruang Hasil Kali Dalam

Bab VII VII Tra Transfo nsform rmas asii Line Linea ar Bab VIII Ru Ruang Eigen 07/03/2007 12:16

MA-1223 Aljabar Linear

1

VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG Pokok Bahasan : 1. Notasi dan Operasi Vektor 2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal 3. Perkalian silang dan Aplikasinya Beberapa Aplikasi : • Proses Grafika Komputer • Kuantisasi pada proses kompresi • Least Square pada Optimasi • Dan lain-lain 07/03/2007 12:16


2

Notasi dan Operasi Vektor



besa besara ran n yan yang memp mempu unya nyai arah arah

Notasi vektor tor

⎛ c1 ⎞ ⎜ ⎟ c = ⎜ c2 ⎟ = c1iˆ + c2 jˆ + c3 k ˆ = (c1 , c2 , c3 ) ⎜c ⎟ ⎝ 3 ⎠ Notasi panj panja ang vekt ektor adalah

c =

⎛ c1 ⎞ ⎜ ⎟ c = ⎜ c2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ c3 ⎠

c1 + c2 + c3

Vektor satuan

2



2

2

Vektor dengan panjang atau norm sama dengan satu

07/03/2007 12:16


3

Operasi Vektor meliputi : 1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama) 2. Perkalia lian vektor tor (a) (a) deng dengan an skal skalar ar (b) dengan vektor lain • Hasil kali titik (Dot Product ) • Hasil kali silang (Cross Product )

07/03/2007 12:16


4

Penj Penjum umla laha han n Vekt Vektor or Misalkan u dan v adalah vektor – vektor yang berada di ruang yang sama, maka vektor maka u + v didefinisikan

v

u +v

u

{ u

07/03/2007 12:16


5

Perkalian vektor dengan skalar Perk Perkal alia ian n vekt vektor or

u dengan skalar

k ,

k u

dide dideffinis inisik ikan an seba sebaga gaii vek vektor tor yang yang pa panjan njangn gny ya

k

kali

panjang vektor u dengan arah Jika k > 0  seara earah h deng dengan an u Jika k < 0  berlawanan arah dengan u

2u u

− 2u 07/03/2007 12:16


6

Scaling P’

P

07/03/2007 12:16


7

Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut : Misalkan a = (a11 a 2 , a 3 ) dan

b =

(b1 ,

b2 , b3 )

adalah vektor-vektor di ruang yang sama maka

1. a + b

=

(a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )

2. a − b = (a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 ) 3. k a = (ka1 , ka2 , ka3 )

07/03/2007 12:16


8

Perkalian antara dua vektor • Hasil kali titik (dot product ) • Hasil kali silang (cross product ) Hasil kali titik (dot product ) 

Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar

Hasil kali silang (Cross product )  Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3 yang menghasilkan vektor

07/03/2007 12:16


9

Dot Product Misalkan a, b adalah vektor pada ruang yang sama maka hasil kali titik antara dua vektor : a•b = a

b cosα

dimana a

: panjang a

b

: panjang b

α

: sud sudut ut kedu kedua anya nya

07/03/2007 12:16


10

Ilustrasi dot pr product ve vektor A da dan B A • B = A

07/03/2007 12:16

B cosα


11

Contoh 2 : Tentukan hasil kali titik dari dua vektor a = 2iˆ

dan b = 2iˆ + 2 ˆj

Jawab :

Karena tan α = 1 , artinya = 45 0 a•b

=

=

a

b cosα

2 8

1 2

=4 07/03/2007 12:16


12

Ingat aturan cosinus c α

a

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos

α

b

Perhatikan a b−a

a

−b

α

b

b

b −a

2

= a

07/03/2007 12:16

2

+ b

2

−2 a

b cos α


13

Selan lanjut jutnya dapat ditu itulis lis b cos θ =

a

1 2

⎡ a ⎢⎣

2

+ b

2

− b −a

2

⎤ ⎥⎦

Ingat bahwa : 1. a • b = a

2.

a

2

= 2

3. 4.

b b−a

b cosα a1

2

+

a2

2

= b1 + b 2 2

2

2

a • b = a1b1 + a2b2 + ... +

... a n

2

+ ... + b n

2

= (b1 − a1 ) + (b2 − a2 ) + ... + (bn − an ) 2

2

2

2

2

2

2

2

= b1 + b 2 + ... + b n + a 1 + a 2 + ... + a n

Perhatikan setia tiap sukunya, diperoleh leh hub hubungan :

a • b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn Tentukan kembali hasil kali tit titik dari dua vektor p cont contoh oh sebe sebelu lumn mnya ya a • b = a1b1 + a 2 b2

= 2 (2) + 0 (2) =4 Beberapa sifat hasilkali titik : 1.

a•b = b •a

2. a • (b + c ) = a • b + a • c

Proy Proyek eksi si Orto Ortogo gona nall a

w

terlihat bahwa b

c = k b k =

c = proy b a

Karena

a = w +c

a •b b

2

a • b = (w + c ) • b

= w •b + c •b = k b • b = k b

07/03/2007 12:16


16

Jadi, rumus proyeksi diperoleh : Pr oyb a =

a •b b

2

b

Contoh 4 : Tentukan proyeksi ortogonal ⎛ − 2 ⎞ ⎜ ⎟ vektor u = ⎜ − 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ terhadap vektor v = ⎜ 3 ⎟ ⎜ − 4⎟ ⎝ ⎠

07/03/2007 12:16


17

Jawab : Pr oy v w =

w •v v

2

v

⎛ − 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 4⎟ • ⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ − 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 2 2 2 1 + 3 + ( − 4)

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 4 ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎟ − 2 + ( − 12 ) + ( − 12 ) ⎜ = ⎜ 3 ⎟ 26 ⎜ ⎟ ⎝ − 4 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎟ − 26 ⎜ = ⎜ 3 ⎟ 26 ⎜ ⎟ ⎝ − 4 ⎠ ⎛ − 1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − 3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ 07/03/2007 12:16


18

(hasil ilka kali li sila silang ng)) Cross Product (has Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di Ruang (R3) yan yang g men mengh ghas asil ilka kan n vekt vektor or yang yang tega tegak k lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

iˆ

ˆ k

jˆ

C = A x B = A1 B2 A3 B1 B2 =

07/03/2007 12:16

A2

A3

B2

B3

B3 iˆ

−

A1

A3

B1 B3

jˆ

+


A1 B1

A2 ˆ k B2

19

Ilustrasi Cross Product (has (hasil ilka kali li sila silang ng))

C = A x B

07/03/2007 12:16


20

Contoh : Tentukan w = u ×v

u = (1, 2, − 2)

dimana

, v = (3, 0, 1)

Jawab : iˆ

jˆ

ˆ k

w = u1

u2

u3

v1

v2

v3

iˆ

jˆ

k ˆ

= 1 2 −2 3

0

1

= (2.1 − 0(−2) ) iˆ + (3(−2) − 1.1) ˆj + (1.0 − 3.2) k ˆ

= 2 iˆ − 7 jˆ − 6 k ˆ 07/03/2007 12:16


21

Bebe Beberrapa apa sifat ifat Cros Cross s Pr Produ oduct : a. u • ( u x v ) = 0 b. v • ( u x v c.

u ×v

2

)=0

= u

07/03/2007 12:16

2

v

2

− (u • v )

2


22

Dari Dari sif sifat at ke-3 ke-3 dipe dipero role leh h u ×v

2

= u

2

v

2

− (u • v )

2

= u ⋅ v − ( u ⋅ v ⋅ cos α ) 2

2

2

2

2

2

2

2

2

(1 − cos α )

= u ⋅ v − u ⋅ v ⋅ cos 2 α = u ⋅ v

= u

Jadi,

2

⋅ v

2

2

⋅ sin

2

α

u x v = u ⋅ v ⋅ sin α

07/03/2007 12:16


23

Perhatikan ilustrasi berikut :

v v sin α α

u

u Luas Jajaran Genjang = u x v

=

u

⋅

v

⋅

sin α

Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah Luas segitiga

07/03/2007 12:16

=

1 2

u ×v


24

Contoh : Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah : A = (1, –1, –2) B = (4,

1, 0)

C = (2, 3, 3) Dengan menggunakan hasilk ilkali silan lang, ten tentukan lua luas segitig tiga ABC ! Jawab : Tulis

A

= B – A= (4, 1, 0) – (1, (1, –1 –1, –2) = (3, 2, 2)

A

= C – A= (2, 3, 3) – (1, (1, –1 –1, –2) = (1, 4, 5)

07/03/2007 12:16


25

AB × AC =

iˆ

jˆ

k ˆ

3

2

2

1

4

5

= 2iˆ − 13 jˆ + 10k ˆ

Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah Luas = =

1 2 1 2

4 + 169 + 100

273

Orientasi pada titik B BA = a − b = (1,-1 (1,-1,-2 ,-2)) – (4,1,0) (4,1,0) = (-3,(-3,-2,2,-2) 2) BC =

(2,3,3 ,3)) – (4,1 (4,1,0 ,0)) = (-2 (-2,2,3 ,2,3)) c − b = (2,3 iˆ

BA × BC =

k ˆ

jˆ

−

3

−

2

2

−

2

−

2

= −

2 iˆ + 13 k ˆ − 10 jˆ

3

Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah : =

1 2

BA x BC

1

=

2 =

1 2

07/03/2007 12:16

4 + 169 + 100

273


27

Latihan Bab 4 1. Tentukan cos sudut yang ter terbentuk tuk oleh pasangan vektor berikut : ⎛ 6 ⎞ a. u = ⎛ ⎜⎜ 1 ⎞⎟⎟ dan v = ⎜⎜ ⎟⎟ b.

⎝ 2 ⎠

⎝ − 8 ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ u = ⎜ − 3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 7 ⎠

⎛ 8 ⎞ ⎜ ⎟ v = ⎜ − 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 2 ⎠

dan

2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut: a. a = ⎛ ⎜⎜ 2 ⎞⎟⎟ dan b = ⎛ ⎜ − 3 ⎞⎟ ⎝ 1 ⎠

⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ b. a = ⎜ − 1⎟ dan ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠

07/03/2007 12:16

⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ b = ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠


28

3. Tentukan dua buah vektor satuan yang tegak lurus terhadap

⎛ 3 ⎞ ⎟⎟ u = ⎜⎜ ⎝ − 2 ⎠

4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor ⎛ − 7 ⎞ ⎜ ⎟ u =⎜ 3 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ dan v = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠

5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)

07/03/2007 12:16


29

Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang

Recommend Documents