Solusi Tugas I Mekanika Kuantum
1.
Menurunkan persamaan radiasi benda hitam yang dirumuskan oleh Rayleight dan Jeans Solusi:
=̅ + ̅ + = 8 ̅ = 2 ̅ = = = 8 Dengan
merupakan rapat energi dalam interval frekuensi ke
pada temperatur T, adalah adalah rata-rata energi per gelombang berdiri,
dan
adalah jumlah gelombang berdiri persatuan volume dengan
interval frekuensi ke
Sebelumnya telah diperoleh bahwa
Untuk menghitung rata-rata energi, digunakan teori ekipartisi energi
dengan n adalah derajat kebebasan, n = 2 (dua jenis polarisasi)
Maka rapat energi menjadi:
2.
Menurunkan persamaan radiasi benda hitam yang dirumuskan oleh Planck. Solusi: Persamaan radiasi dalam fungsi frekuensi, f rekuensi,
=̅ + ̅ Dengan
diturunkan melalui:
merupakan rapat energi dalam interval frekuensi ke
pada temperatur T, adalah adalah rata-rata energi per osilator, dan
adalah jumlah osilator persatuan volume dengan interval frekuensi ke
+ 8 =
Sebelumnya telah diperoleh bahwa
̅
Sementara itu, untuk menghitung rata-rata energi per osilator , menggunakan kuantisasi energi yang dimiliki oleh osilator dan distribusi energinya mengikuti statistik Boltzman:
∑ ̅ = ∑ $ # & % " ∑ ! ̅ = ∑ "#$&% $&% # ∑ ! " ̅ = ∑ "#$&% $% '= #( ∑ ' " ̅ = ∑ "#( ' )*" #( = , ∑∑ "#("#( #( ∑ ' " #( ,' ' )*" = ∑ "#( #( ̅ = -,' ' )*" . ̅ = ,'/ ' )* 0,"0 #(1 ̅ = ,'/ ' )* 0,"0 #(1 #( " ̅ = '/ 0,"#(1 Misalkan
maka persamaan di atas menjadi:
Untuk menyelesaikannya, dapat menggunakan sifat berikut ini.
Dengan demikian, maka bentuk rata-rata energi nya menjadi:
$&% # " ̅ = !- 0,"#$&%. ̅ = "$&!% ,0 =̅ 8! = "$&% ,0
Dengan demikian, persamaan rapat energi,
3.
adalah:
Menurunkan Hukum Stefan dari persamaan Planck untuk radiasi benda hitam
=3 = 4 3 8! = 4 3 "$&% ,0 2 ! = 3 "$&% ,0 7 7 2 5 = ! 3 " ,0 5 7 7 7 2 = ! 09 ; 7 2 = :09 !< 7 = 7 >?%@ = A; BC$D
Misalkan
dengan
5= %$ 6 5= %$
4.
Menurunkan Hukum Pergeseran Wien dari persamaan Planck untuk radiasi benda hitam
Solusi:
E E E=, E E EE=, E=, E 8! = "$&% ,0 = E E =, E F G 8! E E= , "$B&H% ,0 F, E G E= 8!E; "$B&H%0 ,0 E E JHKHL = HHM $B ! H M% " 9 8! , ERS :"HM$B% ,0< + E T :"HM$B% ,0< =X didefinisikan dari kesamaan bahwa:
Tanda minus menyatakan bahwa meskipun positif tetapi
dan
dan
sama-sama
memiliki tanda berlawanan.
Dengan
Turunan
terhadap pada daerah maksimum sama dengan nol
0
R
8!
$B H % M 9 ! " , :"HM$B% ,0< + ER :"HM$B% ,0<
$B HM% =5 $B H % M ! " ,9+ ER "HM$B% ,0 =X " ,9+5 " ,0 =X 95 = 0,"0 # 59 =0,"# 59 +"# =0 Misalkan
=X
maka persamaan di atas menjadi:
5
Dengan metode numerik diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah 0
5 5
dan 4,965. Secara fisis, tidak boleh nol, jika nol maka yang memenuhi adalah = 4,965
!ER =5 !ER =46YZ9 ER = 46Y!Z9 0 ER = = 76[$BS; % Dengan
ER =X
sehingga
