KUIS FISIKA KUANTUM 1
1.
Turun runka kan n per persam samaa aan n Shc Shcro rodin dinge gerr dala dalam m 3 dime dimensi nsi Jawa!
Sebuah partikel dengan massa m, dipaksa untuk bergerak sepanjang sumbu-x sepanjang sumbu-x,, dikenai oleh sebuah gaya
(Gambar (Gambar 1.1). Biasanya Biasanya yang dilakukan dilakukan oleh mekanika mekanika
klasik klasik adalah menghitung menghitung posisi posisi dari partikel partikel pada sembarang sembarang waktu :
. Dengan
mend mendap apat atka kan n ung ungsi si posi posisi si,, kita kita dapa dapatt mene menemu muka kan n ke!e ke!epa pata tan n (
),
momentum (
), energi kinetik (
), atau atau "ariab "ariabel# el#"ar "ariab iabel el
dinami dinamiss lain lainnya nya yang yang kita kita suka. suka. Dan Dan bagaim bagaimana ana kita kita bisa bisa menghit menghitung ung terapkan terapkan &ukum 'ewton kedua:
$ %ita %ita
. (untuk (untuk sistem sistem yang konser"ati konser"ati#satu# #satu#
satunya hal yang perlu kita pertimbangkan, dan untungnya hanya terjadi pada le"el mikroskopi mikroskopik#gaya k#gaya dapat diekspresikan diekspresikan dalam bentuk deri"ati deri"ati dari ungsi energi potensial,
, dan hukum 'ewton kedua menjadi
.) ni, keduanya merupakan kondisi awal yang tepat (biasanya posisi dan ke!epatan pada
), ditulis dengan
.
endekatan mekanika kuantum pada masalah yang sama tersebut sungguh sangat berbeda. ada kasus ini, apa yang kita lihat adalah "ungsi gelomang
, dari dari
partikel, dan kita mendapatkannya mendapatkann ya dengan menyelesaikan persamaan Schroedinger :
#amar 1.1 : Sebuah artikel yang dipaksa bergerak dalam satu dimensi dibawah
pengaruh suatu gaya
Di mana i adal adalah ah akar akar dari dari #1, #1, dan dan
adal adalah ah konst konstan anta ta lan lan!k !k#a #ata tau u sebai sebaikn knya ya,,
konstanta konstanta asli asli ( ) yang yang dibagi dibagi dengan dengan *+: *+:
persamaan S!hroedinger memainkan peranan penting yang se!ara logika dapat dianalogikan dengan hukum 'ewton kedua: menentukan kondisi awal yang sesuai biasanya, biasanya,
-, persamaan persamaan Shroedinger Shroedinger ditulis ditulis
untuk setiap setiap waktu yang
akan datang, datang, sama seperti seperti dalam mekanika mekanika klasik, klasik, hukum 'ewton ditulis ditulis setiap waktu yang akan datang.
untuk
ntuk penurunan persamaan S!hrodinger untuk / dimensi adalah sebagai berikut: operator momentum
p ⇔ −i∇ or −
*
*m
∂
*
∂ x
*
*
⇒∇ ⇒
*
∇ Ψ ( x, y , z , t ) + V ( x, y, z , t ) Ψ =
i∂Ψ ∂t
enamb enambahan ahan dimens dimensii memberi memberikan kan bilanga bilangan n kuantum kuantum labih. labih. Dapat Dapat terdeg terdegener enerasi asi (lebih dari 1 keadaan pada energy yang sama). 0dded !ompleity. Ψ ( x, y , z , t ) = ψ ( x, y , z )φ (t ) −
*
*m
*
∇ ψ + V ( x, y , z )ψ = E ψ
2ika 3 linear maka dapat dipisahkan : 3(r) or 3()43y(y)435(5). dapat diselesaikan:
−
*
*m
*
∇ ψ + (V x ( x ) + V y ( y ) + V z ( z ))ψ = E ψ
assume ψ ( x, y , z ) = ψ x ( x )ψ y ( y )ψ z ( z ) −
*
*
( ∂∂ x * +
*m
∂
*
∂ y
*
)ψ + (V x + V y )ψ
=
*
∂ ψ
*
* m ∂ z *
ψ xψ yψ z −
*
*
( ∂∂ x * +
*m
∂
*
∂ y
*
)ψ xψ y
ψ xψ y
⇒
*
d *ψ z *
*m ψ z dz
−
ψ xψ yψ z *
+ (V x + V y ) =
*
*m
∂ ψ z
*m
1
+ ( E − V z ) = S *
( ∂∂ x * +
∂
*
∂ y
*
)ψ xψ y + V x + V y = S
S 6 %7'80'80 9S0&.
*
ψ z ∂ z
* ψ xψ y
+ ( E − V z )
+ E − V z
−
d *ψ x
*
* m ψ dx * x −
d *ψ y
*
* m ψ dy * y −
d *ψ z
*
* m ψ dz * z
+ V x = S A = E x + V y = S − S A = E y + V z = E − S = E z
2adi, persamaan s!hrodinger dalam / dimensi :
E x + E y + E z = S A+( S − S A ) + ( E − S ) = E −
*
*m
(
d *ψ z ψ xdx
*
+
d *ψ z ψ ydy
*
+
d *ψ z *
ψ zdz
) + V ψ ( x, y, z ) = E ψ ( x, y, z )
$. 2elaskan eek tunneling pada potensial konstan, tangga dan barrier;
2awab : •
9ek tunneling pada potensial konstan (!onstant un!tion) ada potensial dengan dinding yang memiliki ungsi konstan <=
V 0 = 0 aka partikel tidak akan di pantulkan balik dan hanya diteruskan
•
9ek tunneling pada potensial tangga (step un!tion)
Schr%dinger e&ua'ion ( 'unnelling asics
ertimbangan persamaan S!hr>dinger tergantung untuk satu partikel, dalam satu dimensi . ni dapat ditulis dalam bentuk
M ( x ) 6 V ( x ) ? E . M (x) V 6 (x) # E. %uantitas M (x) tidak memiliki nama diterima di isika umumnya, nama @energi moti@ digunakan dalam artikel pada emisi elektron lapangan .
Solusi dari persamaan S!hr>dinger mengambil bentuk yang berbeda untuk nilai yang berbeda x, tergantung pada apakah M (x) adalah positi atau negati. &al ini paling mudah untuk memahami jika kita mempertimbangkan situasi di mana kita memiliki daerah ruang di mana F (x) adalah (a) konstan dan negati dan (b) konstan dan positi. %etika M (x) adalah konstan dan negati, maka persamaan S!hr>dinger dapat ditulis dalam bentuk
Solusi dari persamaan ini merupakan perjalanan gelombang, dengan konstan 4 k fase atau # k. 0tau, jika F (x) adalah konstan dan positi, maka persamaan S!hr>dinger dapat ditulis dalam bentuk
Solusi persamaan ini adalah eksponensial naik dan turun, yang mengambil ormulir ep (4 κx) untuk naik eksponensial, atau bentuk ep (# κx) untuk terdegenrasi eksponensial (juga disebut @ gelombang !epat berlalu dr ingatan @). %etika M (x) ber"ariasi dengan posisi, perbedaan yang sama dalam perilaku terjadi, tergantung pada apakah M (x) adalah negati atau positi, namun parameter k dan ungsi menjadi κ posisi. ni berarti bahwa tanda M (x) menentukan siat @dari@ media, dengan M negati sesuai dengan @media tipe 1@ dibahas di atas, dan M positi sesuai dengan @menengah tipe *@. dapat terjadi jika wilayah M positi diapit dua daerah M negati.. &al ini terjadi jika V (x) memiliki bentuk @ tipe bukit# @.
•
9ek tunneling pada potensial barier
Dalam mekanika kuantum , po'ensial penghalang persegi pan)ang adalah masalah satu dimensi standar yang menunjukkan enomena tunneling gelombang#mekanis (juga disebut @kuantum tunneling@) dan releksi gelombang mekanik. asalahnya terdiri dari peme!ahan persamaan S!hr>dinger atu#dimensi tidak bergantung waktu untuk sebuah partikel menumbuk potensi hambatan energi barier. Biasanya diasumsikan, seperti di sini, bahwa partikel bebas impinges pada penghalang dari kiri. eskipun partikel hipotetis berperilaku sebagai massa titik akan terpantul, partikel sebenarnya berperilaku sebagai suatu probabilitas gelombang materi bahwa itu akan menembus rintangan dan meneruskan perjalanan sebagai gelombang di sisi lain. %emungkinan bahwa partikel akan melewati penghalang diberikan oleh koeisien transmisi, sedangkan kemungkinan bahwa hal itu ter!ermin diberikan oleh koeisien
releksi. ersamaan#gelombangS!hr>dingerAs memungkinkan koeisien ini akan dihitung. *erhi'ungan
&amburan potensial penghalang hingga ketinggian V =. 0mplitudo dan arah kiri dan kanan bergerak gelombang ditunjukkan. erah, gelombang yang digunakan untuk deri"asi dari amplitudo releksi dan transmisi. E V = ini untuk ilustrasi. ersamaan S!hr>dinger independen#waktu untuk ungsi gelombang (x) berbunyi
di mana ! adalah &amiltonian ,
is konstanta lan!k , m adalah massa , E the
energy partikel V ( x ) 6 V = C( x ) ? C( x ? a )- V (x) 6 V = C (x) # C (x # a)"
adalah potensial penghalang dengan ketinggian V = = dan #ebar.
adalah ungsi langkah &ea"iside . enghalang diposisikan antara x 6 = dan x 6 a. 8anpa mengubah hasil, posisi bergeser lain itu mungkin.
0turan pertama di &amilton,
adalah energi kinetik.
penghalang membagi ruang dalam tiga bagian (x E=,= $x $a, x a). Dalam salah satu bagian potensi konstan makna partikel Fuasi#bebas, dan solusi dari persamaan S!hr>dinger dapat ditulis sebagai superposisi dari kiri dan kanan gelombang bergerak (lihat partikel bebas ). 2ika E V = 2ika E V = ,, , and , Dan
di mana bilangan gelombang yang berkaitan dengan energi melalui
.. inde H l pada koeisien 0 dan B menunjukkan arah dari "ektor ke!epatan. Iatatan bahwa jika energi partikel berada di bawah ketinggian penghalang, k 1 menjadi khayalan dan ungsi gelombang eksponensial terdegenerasi dalam penghalang.
'amun demikian kita menjaga notasi r H l meskipun gelombang ini tidak merambat lagi dalam kasus ini. %asus E 6 V = adalah diperlakukan di bawah ini. %oeisien %, &, ' harus diperoleh dari kondisi batas dari ungsi gelombang pada x 6 = dan x 6 a. Jungsi gelombang dan turunannya harus terus menerus di mana#mana, jadi. (=) 6 ' (=) , (=) 6 ' (=),
,, ' ( a ) 6 ( a ) , ' (a) 6 (a),
.. emasukkan ungsi gelombang, kondisi batas memberikan pembatasan berikut pada koeisien % r 4 % # 6 & r 4 & # r % 4 # r % 6 & 4 # & i k = ( % r ? % # ) 6 i k 1 ( & r ? & # ) , i k = (r # # %) 6 i k 1 (& r # & #), ,, .. E + V ,
2ika energi yang sama dengan tinggi penghalang, solusi dari persamaan S!hr>dinger di wilayah penghalang tidak eksponensial ungsi linear lagi tapi ruang koordinat
Solusi lengkap dari persamaan S!hr>dinger ditemukan dengan !ara yang sama seperti di atas dengan pen!o!okan ungsi gelombang dan turunannya pada x 6 = dan x 6 a.: Kang mengakibatkan pembatasan berikut pada koeisien: % r 4 % # 6 & 1 r % 4 # % 6 & 1 i k = ( % r ? % # ) 6 & * , i k = (r # # %) & 6 *, ,, ..
Transmisi dan re"leksi
Dalam kasus kedua, partikel berperilaku sebagai partikel bebas di luar daerah penghalang. Sebuah partikel klasik dengan E energi yang besar dari ketinggian penghalang V = akan se#a#u melewati rintangan, dan partikel klasik dengan E $V = insiden pada rintangan akan se#a#u mendapatkan ter!ermin. ntuk studi kasus kuantum, mempertimbangkan situasi berikut: insiden partikel pada hambatan dari sisi kiri
(r
%). t may be rele!ted ( % # ) or transmitted ( ' r ). ni
mungkin ter!ermin (# %) atau dikirimkan (' r).
ntuk menemukan amplitudo untuk releksi dan transmisi untuk kejadian dari kiri, kita masukkan ke dalam persamaan di atas r % 6 1 (partikel masuk), % # r 6 (releksi), '
#
6 = (tidak ada partikel yang masuk dari kanan) dan '
kemudian menghilangkan koeisien &
#, r
r
6 t (transmisi). %ami
& dari persamaan dan meme!ahkan untuk r
dan t. &asilnya adalah:
%arena !ermin simetri model, amplitudo untuk kejadian dari sebelah kanan adalah sama seperti yang dari kiri. erhatikan bahwa ungkapan ini berlaku untuk setiap energi E =. Analisis ekspresi diperoleh E
8ransmisi probabilitas potensial penghalang hingga untuk
. .8itik#
titik : &asil klasik. Garis tebal: mekanika kuantum. &asil mengejutkan adalah bahwa untuk energi kurang dari ketinggian penghalang, E $V = ada non#probabilitas nol
untuk
partikel
yang
akan
dikirim
melalui
penghalang,
yang
. 8ransmisi eksponensial ditekan dengan lebar penghalang yang dapat dipahami dari bentuk ungsional dari ungsi gelombang: di luar batas itu berosilasi dengan "ektor k
gelombang =, sementara di dalam hambatan itu se!ara eksponensial teredam melalui H 1 k jarak jauh
1.
2ika penghalang ini jauh lebih besar daripada ini panjang
terdegenerasi, kiri dan kanan bagian yang hampir independen dan terowongan akibatnya ditekan. E> V ,
Dalam hal ini
Sama mengejutkan adalah bahwa untuk energi lebih besar dari ketinggian penghalang, E V =, partikel dapat ter!ermin dari penghalang dengan non#probabilitas nol
endekatan klasik hasil r 6 =, tidak ada releksi. 'ote that the probabilities and amplitudes as written are or any energy (abo"eHbelow) the barrier height. erhatikan bahwa probabilitas dan amplitudo sebagai tertulis untuk setiap energi (di atas H bawah) tinggi penghalang. E + V ,
untuk menge"aluasi probabilitas transmisi di E 6 V =
..
3. 0pa yang dimaksud dengan
a. Jungsi Gelombang Fungsi gelomang atau "ungsi gelomang adalah alat matematika yang digunakan
dalam mekanika kuantum untuk menggambarkan keadaan sesaat partikel subatom yang berkelakuan sebagaimana gelombang.
ni adalah ungsi dari sebuah ruang yang dipetakan oleh keadaan kemungkinan bagian sistem ke dalam bilangan kompleks. &ukum mekanika kuantum (yaitu persamaan
S!hr>dinger )
menggambarkan
bagaimana
ungsi
berkembang sepanjang waktu baik se!ara impli!it maupun eksplisist.
In'erpre'asi S'a'is'ik
gelombang
artikel, dengan sendirinya, terlokalisasi pada suatu titik, tetapi ungsi gelombang (seperti yang disebutkan namanya) tersebar pada suatu ruang (pada ungsi , untuk setiap waktu). Bagaimana sebuah objek dapat dikatakan untuk menjelaskan keadaan dari sebuah partikel$ 2awabannya adalah disajikan oleh in'erpre'asi s'a'is'ik Born dari suatu ungsi gelombang, di mana dikatakan bahwa
adalah
probabilitas untuk menemukan pertikel pada titik , pada sutu waktu t, atau lebih tepatnya: ntuk ungsi gelombang pada gambar 1.*, kemungkinan besar ditemukan partikel di sekitar titik 0, dan relati tidak mungkin untuk menemukan partikel di sekitar titik B.
#amar 1.$: Bentuk ungsi gelombang. artikel kemugnkinan besar ditemukan di
sekitar titik 0, dan kemungkinan paling ke!il ditemukan di sekitar titik B. 0rea terarsir merepresentasikan kemungkikan ditemukannya partkel pada jangkuan d.
#amar 1.3: pengeru!utan ungsi gelombang: graik dari segera setelah pengukuran
menemukan partikel di titik I. *rinsip Ke'idakpas'ian 2ika kita memegang ujung
sebuah tali yang
sangat panjang, dan kamu
membangkitkan gelombang dengan menggun!angnya naik turun se!ara beraturan (Gambar 1.L). 2ika seeorang bertanya kepadamu,Mtepatnya, di manakah gelombang itu berada$M aka Gelombangnya tidak tepat berada di suatu tempat, gelombangnya tersebar pada inter"al N= kaki. Dengan kata lain, jika kita bertanya berapakah panjang gelombannya, kamu mungkin bisa menjawabnya dengan jawaban yang beralasan: itu sekitar L kaki.8etapi sebaliknya, jika memberikan sentakan yang tiba#tiba pada tali itu
(Gambar 1.O), kita akan mendapatkan sebuah lengkungan sempit yang bergerak merambat pada tali. %ali ini pertanyaannya (tepatnya, di manakah gelombangnya berada$) ini adalah perntanyaan yang logis, dan yang kedua (Berapakah panjang gelombangnya$) kali ini gelombangnya memiliki periode yang tidak tentu, bagimanakah kamu bisa menentukan panjang gelombangnya$
#amar 1.-: gelombang dengan (se!ara wajar) memiliki panjang gelombang yang
pasti tetapi posisinya tidak jelas. enggunaan ini tentunya untuk semua enomena gelombang, dan juga pada ungsi gelombang mekanika kuantum. Sekarang panjang gelombang
dihubungkan
dengan momentum dari partikel dengan menggunakan "ormulasi de roglie 1/-: 7leh karena itu, penyebaran panjang gelombang berkitan dengan penyebaran momentum, dan se!ara umum dapat dikatakan bahwa, penentuan posisi yang paling tepat adalah penentuan momentum yang tidak tepat. Se!ara kuantitati: Di mana,
adalah standar de"iasi , dan
adalah standar de"iasi p. ni adalah
prinsip ke'idakpas'ian &eissenberg yang terkenal. (penjelasan mengenai ini akan
dijeaskan kemudian)
Gambar 1.O: Gelombang dengan posisi yang dapat ditentukan se!ara pasti tetapi memiliki panjang gelombang yang tidak pasti. engertian dari prinsip ketidak pastian: seperti pengukuran posisi, pengukuran momentum menghasilkan jawaban yang tepat, PpenyebaranM di sini merujuk pada akta bahwa pengukuran tersebut pada sistem#sistem yang identik tidak menghasilkan nilai yang konsisten. engukuran dapat dilakukan pada posisi berulang yang dilakukan sangat !epat antara satu pengukuran dengan yang lain (dengan membuat Q yang terlokalisasi dalam Pkeru!utM), tetapi ada harga yang harus dibayar: omentum pada pengukuran ini akan sangat lebar penyebarannya. 0tau bisa menyiapkan sistem yang bisa menghasilkan momentum (dengan membuat Q gelombang sinusoidal panjang), tetapi pada kasus ini pengukuran posisi kan menghasilkan nilai yang penyebarannya sangat lebar. ersamaan 1.R= adalah sebuah ketidaksamaan, dan tidak terdapat batas tentang seberapa besar
dan
, hanya dengan membuat Q pada tali
yang !ukup panjang dengan banyak perut dan lembah gelombang dan tanpa struktur periodik. Dari persamaan gerak non relati"istik dan persamaan gelo mbang de#broglie:
dimana
0sumsi kita adalah paket gelombang de#broglie adalah dengan rentangk * +k da k +k dengan momentum yang tak tentu:
Jungsi gelombang yang identik dengan gelombang berjalan mekanik
0tau
&al ini umumnya diterapkan sebagai yang berkaitan dengan partikel dualitas partikel# gelombang, di mana dilambangkan (p o s i t o i , t m i e) dan mana * adalah sama dengan kemungkinan menemukan subjek pada waktu tertentu dan posisi.
1-
Sebagai !ontoh, dalam sebuah atom dengan elektron tunggal, seperti hidrogen atau terionisasi helium , ungsi gelombang elektron yang memberikan gambaran lengkap tentang bagaimana elektron berperilaku. &al ini dapat didekomposisi menjadi serangkaian orbital atom yang membentuk dasar bagi ungsi gelombang mungkin.
8his bo: "iew T talk T edit %otak ino ini: lihat T bi!ara T sunting ntuk atom dengan lebih dari satu elektron (atau sistem dengan beberapa partikel), ruang yang digunakan sebagai konigurasi mungkin semua elektron dan ungsi gelombang menggambarkan probabilitas dari konigurasi.
.
Normalisasi
Dalam mekanika kuantum, ungsi gelombang yang menggambarkan partikel real harus dapat ternormalisasi dengan probabilitas dari partikel untuk menempati tempat harus sama dengan 1. matematis , dalam satu dimensi ini dinyatakan sebagai :
di mana parameter integrasi % dan & menunjukkan inter"al di mana partikel itu harus ada. Semua ungsi gelombang yang merupakan partikel real harus dapat dinormalisasi, yaitu, harus memiliki probabilitas total satu, harus menjelaskan kemungkinan partikel yang ada sebesar adalah 1==U. Siat ini memungkinkan siapa saja yang meme!ahkan persamaan S!hr>dinger untuk kondisi batas tertentu harus membuang solusi yang tidak memiliki batasan pada inter"al tertentu. Sebagai !ontoh, ungsi penghalang periodik sebagai solusi ungsi gelombang untuk inter"al yang tak terbatas, sedangkan ungsi dapat enjadi solusi untuk inter"al terbatas. *enurunan normalisasi
Se!ara umum, adalah sebuah ungsikompleks. Dimana,
adalah real, lebih besar dari atau sama dengan nol, dan dikenal sebagai ungsi probability density ni berarti bahwa
dimana p (x) adalah probabilitas menemukan partikel pada x.. ersamaan (1) diberikan oleh deinisi dari ungsi kepadatan probabilitas. Sejak partikel tersebut ada, probabilitasnya menjadi manapun dalam ruang harus sama dengan 1. 7leh karena itu kami mengintegrasikan lebih dari ruang semua:
2ika integral terbatas, kita dapat melipat gandakan ungsi gelombang, , dengan konstan seperti yang integral adalah sama dengan 1 atau jika ungsi gelombang sudah berisi konstan dan sesuai, kita dapat meme!ahkan persamaan (*) untuk menemukan nilai yang konstan ini akan menormalisai ungsi gelombang. /on'oh normalisasi
partikel terbatas pada wilayah 1D antara x 6 = dan x 6 # ungsi gelombang adalah:
ntuk menormalkan ungsi gelombang, kita perlu men!ari nilai konstanta sembarang %, yaitu meme!ahkan
untuk menemukan %. ensubstitusi ke
jadi,
kita dapatkan
7leh karena ituV
7leh karena itu, ungsi gelombang yang dinormalisasi adalah:
uk'i ahwa normalisasi "ungsi gelomang 'idak meruah proper'i 'erkai'
2ika normalisasi ungsi gelombang mengubah properti yang berhubungan dengan ungsi gelombang, proses menjadi sia#sia karena kita masih belum dapat menghasilkan inormasi tentang siat#siat dari partikel yang terkait dengan ungsi gelombang. %arena itu penting untuk menetapkan bahwa siat#siat yang terkait dengan ungsi gelombang tidak diubah oleh normalisasi. Semua siat#siat partikel seperti distribusi probabilitas, momentum, energi, nilai harapan, posisi dllV berasal dari persamaan gelombang S!hr>dinger . 8he properties are thereore un!hanged i the S!hr>dinger wa"e eFuation is in"ariant under normalisation. Siat yang tidak berubah ini jika ungsi gelombang S!hrodinger tidak berubah di bawah normalisasi. ersamaan gelombang S!hr>dinger adalah:
2ika menjadi normal kembali dan diganti dengan % , maka
dan
ersamaan gelombang S!hr>dinger karena itu menjadi:
ni merupakan persamaan gelombang S!hr>dinger yang asli. 0rtinya, persamaan gelombang S!hr>dinger adalah in"arian dibawah normalisasi, dan akibatnya properti terkait tidak berubah.
c.
*roaili'0 densi'0
%arena interpretasi statistik, proaili'as memainkan aturan penting dalam mekanika kuantum. Wangkah#langkah persamaan S!hrodinger bergantung kepada tasiran isika terhadap peme!ahan dierensialnya. 0rti dari ungsi gelombang ψ () belum seluruhnya jelas. Jungsi gelombang tersebut identik dengan ungsi gelombang mekanik, namun pengertian amplitudonya belumlah jelas berbeda dari gelombang mekanik biasa. 'ilai mutlak dari ungsi gelombangnya memberikan probabilitas untuk menemukan partikelnya pada suatu titik.
%arena partikel tunggal di dalam ruang tidak memiliki dimensi isikaV karena dimensi titik dalam ruang adalah nol, maka probabilitas dalam ruang adalah nol, namun dalam selang dx tidaklah nol. aka inilah yang disebut probabilitas density yang artinya probabilitas dalam suatu selang x atau dx.
Jaktor proporsionalitas,
, sering dinamakan dengan Pprobabilitas untuk
mendapatkan x,M bentuk yang lebih baik adalah P rapat probabilitas.M robablilitas bahwa berada diantara a dan b (pada inter"al terbatas) diberikan oleh integral dari :
Dan aturan yang telah dideduksi dari distribusi diskret di wujudkan dalam !ara di bawah:
di mana
adalah
maka untuk
adalah
dengan demikian σ
d.
*
=
( ∆ x
*
=
x
*
−
x
*
Nilai kspe'asi
'ilai ekspetasi adalah kemungkinan terbesar menemukan entitas dalam suatu kedudukan. 0dapun perhitungan nilai ekpektasi adalah 'ilai yang terukur dari sebuah kuantitas isik J haruslah berkesesuaian dengan satu nilai eigen untuk operatornya
. robabilitas / ( f i) untuk menemukan nilai eigen ke#i,
f i diberikan oleh kuadrat dari koeisien ke#i, i dalam ekspansi yang ditulis di atas dalam bentuk ungsi eigen yang ternormalisasi X1iY.
(0)
%arena probabilitas total haruslah sama dengan suatu satuan
%emudian konstanta a pada persamaan 0 harus dinormalisasi dengan !ara sebagai berikut.
Dari kedua aturan di atas, rata#rata dari nilai terukur 〈 f 〉 diharapkan diberikan oleh rumusan berikut ini.
'ilai pada sisi sebelah kanan pada persamaan ini ditentukan oleh besaran dari koeisien ekspansi XiY yang merepresentasikan jumlah dari masing#masing komponen yang termasuk dalam Q 2ika seluruh i (i Z 1) ke!uali untuk i (i 6 1) adalah =, kemudian 〈 f 〉 6 f i. Dalam kasus ini, Q adalah keadaan asli dari Q 6 !1[1, yang terdiri dari hanya ungsi eigen yang pertama dan ( 1 ) 6 1 untuk i 6 1 sementara ( f i) 6 = untuk i Z 1 . %etika suatu nilai eigen f i yang berasal dari seluruh nilai eigen X f iY dari
adalah selalu diamati, keadaan Q adalah keadaan eigen dari
suatu besaran isis J dan kuantitas isis ini selalu memiliki suatu nilai f . Di lain pihak untuk kasus#kasus yang lebih umum dari keadaan yang ter!ampur yang mana Q mengandung beberapa komponen dari himpunan XiY, nilai yang terukur akan terdistribusi pada nilai eigen yang berbeda daripada memiliki nilai tetap pada suatu nilai tertentu. ata#rata dari nilai yang dapat terukur 〈 f 〉 dapat langsung dihitung dengan nilai ekspektasi dari mekanika kuantum 〈J〉 dan dideinisikan oleh rumus berikut.
roses integrasi harus dilakukan untuk seluruh "ariabel yang disimbolkan dengan F pada seluruh daerah dari "ariabel Q. %etika Q telah dinormalisasi, penyebut menjadi satu dan dengan demikian hal ini dapat diabaikan.
2.
Jelaskan 'er)adin0a macam(macam warna pada 'aung hampa
Jawa! Teori 4asar Taung 5ampa
Dalam istilah sederhana, tabung hampa adalah di"ais yg mengontrol aliran ele!tron. Di"ais ini digunakan dalam berbagai ma!am rangkaian elektronik seperti ampliier, osilator. %omponen dari tabung hampa terletak didalam tabung
tertutup yg terbuat dari gelas,
keramik atau logam. Setiap tabung hampa mempunyai elemen yg mengalirkan arus kedalam dan keluar tabung hampa ini. 9lemen yg terhubung ke tegangan yg lebih rendah disebut katoda sedangkan yg terhubung ke tegangan yg lebih tinggi disebut anoda atau pelat. %atoda dilapisi dengan bahan yg memper!epat terbentuknya elektron bebas. elepasan elektron diper!epat dengan !ara memanasi katoda menggunakan ilamen atau elemen pemanas. %etika ilamen ini dialiri energi, PawanM elektron terbentuk disekitar katoda. &al ini terjadi karena proses yg disebut emisi termionik. 0rus internal mengalir dalam bentuk aliran elektron dari katoda melalui "akum ke pelat.
Berma!am#ma!am warna dikarenakan transisi atomi! dari logam yang diberikan pemanasan yaitu gejala emisi termionik. 9nergi panas yang sesuai dengan kuanta ele!tron pada atom#atomnya akan mengeksitasi ele!tron dan kejadiannya tunggal namun kaena terdapat banyak atom, atom tersebut saling berinteraksi dan menghasilkan berbagai ma!am warna.
otensial positi dari pelat menarik elektron dari katoda. %etika tabung dihubungkan dengan rangkaian lengkap, arus akan mengalir. 0rus elektron tidak akan mengalir dalam arah yang berlawanan yaitu dari anoda menuju katoda. Tipe-Tipe Tabung Hampa
8abung hampa dengan dua elemen dikenal sebagai dioda dan mempunyai ungsi yang sama sebagaimana dioda biasa. Gambar 1 menunjukkan simbol dioda.
ada dioda, hanya ada dua kondisi operasi yang dimungkinkan. 2ika pelat lebih positi dari katoda , arus akan mengalir melalui tabung. Sebaliknya, jika pelat lebih negati dari katoda maka tidak ada arus yang mengalir. 0mplitudo dari aliran arus merupakan ungsi tegangan dan total tahanan dalam rangkaian. ntuk
aplikasi rangkaian yang lebih kompleks, arus yang mengalir dalam tabung
ber"ariasi dari tak ada menjadi keadaan maksimum. &ali ini didapatkan dengan menambahkan elemen pengontrol pada konigurasi dasar dioda yang dinamakan grid . Grid pengontrol ini terletak di antara katoda dan anoda. 8abung berlemen tiga ini dikenal sebagai trioda. Gambar * menunjukkan simbol untuk trioda.
ada kebanyakan rangkaian, grid ini lebih negati daripada katoda dan tidak mengalirkan arus. &al ini menimbulkan eek penolakan terhadap elektron yang dilepaskan dari katoda, mengurangi arus yang mengalir dalam tabung. erubahan tegangan yang relati ke!il pada grid menyebabkan perubahan yang besar pada arus dan tegangan pelat. 8egangan pelat yang ber"ariasi merupakan tegangan input yang diperkuat dan mengalami perbedaaan asa sebesar 1\= derajat. Beberapa rangkaian seperti J power ampliiers memungkinkan grid menjadi lebih positi dari gelombang input akibatnya arus grid akan mengalir. eskipun trioda digunakan dalam banyak aplikasi, namun trioda tetap memiliki keterbatasan. enggunaannya dalam J menimbulkan internal eedba!k dan osilasi diri karena kapasistansi antar elektroda. ntuk menghilangkan keterbatasan tersebut, tabung hampa memerlukan komponen tambahan. Iontohnya adalah tetroda dan pentoda yang ditunjukkan se!ara skematik pada gambar /.
Sisi 4alam Sua'u Taung
Semua
tabung hampa modern didasarkan pada
konsep 0udion##suatu katoda yang dipanaskan sehingga melepaskan elektron#elektron ke dalam "akumV yang melewati satu atau lebih grid yang mengontrol arus elektronV elektron kemudian menumbuk anoda lalu diserap. Dengan mendesain katoda, grid dan pelat se!ara tepat, maka tabung hampa akan mengubah tegangan 0I yang ke!il menjadi tegangan 0I yang lebih besar. ( Sebagai perbandingan, transistor saat ini mempergunakan medan elektrik dalam suatu kristal yang telah diproses se!ara khusus##merupakan jumlah yang ke!il akan tetapi lebih bernilai pada saat ini). Gambar / menunjukkan suatu tipe tabung hampa modern. ni merupakan suatu bolam gelas dengan kawat#kawat melewatinya dari bagian bawah, dan menghubungkan berma!am elektroda di dalamnya. Sebelum bolam tertutup, pompa "akum yang sangat kuat menghisap dan mengeluarkan seluruh udara dan gas.ni memerlukan pompa khusus yang dapat membuat "akumyang sangatMkuatM. ntuk membuat tabung yang baik, tekanan udara dalam "akum harus dibuat tidak lebih dari satu juta pada permukaan laut. Dengan "akum yang lebihMkuatM, tabung akan bekerja lebih baik dan akan lebih tahan lama. embuat "akum yang sangat PkuatM dalam tabung merupakan suatu proses yang panjang, sehingga sebagian besar tabung modern mendekati pada suatu le"el "akum yang !ukup untuk aplikasi tabung.
Bagian-Bagian Tabung Hampa
A. Ka'oda
Saat ini, hampir semua tabung menggunakan dua ma!am katoda yang berbeda untuk menghasilkan elektron. 1. 8horiated ilament : merupakan tungsten ilament, seperti halnya pada bola lampu pijar, ke!uali adanya sejumlah ke!il logam 8&7 yang ditambahkan ke tungsten. %etika ilamen dipanaskan (sekitar *R== derajat !el!ius), thorium bergerak ke arah permukaan luar dan meman!arkan elektron.&ir semua tabung berkekuatan besar yang
digunakan dalam radio transmiter menggunakan thoriated ilament, misalnya beberapa tabung ka!a yang digunakan dalam penguat rekuensi tinggi. 8horiated ilament dapat berusia panjang dan sangat tahan terhadap tegangan tinggi. *. 2enis katoda yang lainnya adalah katoda atau ilamen berlapis oksida. ni merupakan ilamen yang dilapisi !ampuran barium dan strontium oksida dan 5at#5at lainnya atau dapat berupa katoda yang dipanaskan se!ara tidak langsung yang merupakan suatu tabung nikel dengan suatu lapisan oksida yang sama pada permukaan luar dan ilamen yang dipanaskan di dalamnya. %atoda (dan lapisan oksida) di panaskan dengan !ahaya orange yang tidak sepanas thoriated ilament ] sekitar 1=== derajat !el!ius. Dalam menghasilkan elektron, oksida ini lebih baik daripada thoriated ilament. %arena katoda oksida begitu eisien, maka katoda ini digunakan pada hampir semua tabung ka!a yang lebih ke!il.0kan tetapi katoda ini dapat dirusak oleh tegangan yang sangat tinggi dan pengeboman oleh ion oksigen yang nyasar dalam tabung, sehingga jarang digunakan dalam tabung berkekuatan besar. /. 8abung sinyal yang ke!il hampir selalu menggunakan katoda beroksida. 2ika tabung ini dioperasikan dengan baik pada tegangan heater yang tepat maka akan dapat beroperasi selama 1==.=== jam atau lebih.
. *ela' 6 Anoda 7
elat atau anoda merupakan elektroda tempat mun!ulnya sinyal keluaran. elat berubah menjadi panas karena ia menerima aliran elektron, khususnya elektroda pada tabung power. 7leh karena itu pelatnya didesain se!ara khusus untuk dapat melakukan pendinginan sendiri, dengan !ara meman!arkan panas melalui gelas tertutup (untuk tabung gelas), atau dengan !ara mengalirkan udara atau !airan pendingin (untuk tabung logam#keramik yang besar ). Beberapa tabung juga menggunakan pelat yang terbuat dari grait, karena lebih tahan terhadap temperatur tinggi dan hanya menghasilkan sedikit emisi sekunder yang dapat menimbulkan panas berlebih pada tabung dan kerusakan.
/. #rid *engon'rol
ada hampir semua tabung audio gelas, grid pengontrol terdiri dari sejumlah pelat kawat yang dililitkan pada dua batang logam. elat pada tabung yang ke!il biasanya terbuat dari emas dan memiliki dua batang tembaga. Grid pada tabung power yang besar harus tahan
terhadap panas sehingga biasanya terbuat dari kawat tungsten atau molybdenum yang dibentuk seperti keranjang. Di dalam tabung penguat modern, salah satu hal yang harus dihindari adalah terjadinya emisi sekunder. 9misi ini disebabkan oleh adanya elektron yang menumbuk permukaan logam yang lembut. 2ika terjadi banyak elektron sekunder yang keluar dari grid akan mengakibatkan grid kehilangan kontrol terhadap aliran elektron sehingga arus akan hilang dan tabung akan mengalami kerusakan. 0kibatnya tabung biasanya memiliki pelat yang terbuat dari logam yang !enderung dapat mengurangi emisi sekunder seperti emas.
4. Screen #rid 6 Te'roda 7
enambahan grid pada trioda yang diletakkan antara grid pengontrol dan pelat akan mengubahnya menjadi 8987D0. S!een grid ini membantu mengisolasi grid pengonrol dari pelat. ni penting untuk mengurangi eek iller yang membuat kapasistansi antara grid dan pelat kelihatan menjadi lebih besar dari keadaan yang sebenarnya. S!reen ini juga mengakibatkan peningkatan per!epatan elektron yang dapat menambah kerja tabung se!ara dramatis. S!reen grid pada tabung power dapat mengalirkan arus sehingga menyebabkan peningkatan panas. %arena alasan inilah s!reen grid biasanya dilapisi dengan grait yang !enderung mampu mengurangi emisi sekunder dan menjaga grid pengontrol tetap dingin. Sebagian besar satsiun radio dan 83 menggunakan tetroda power logam#keramik yang memiliki eisiensi tinggi jika digunakan sebagai J power ampliier. 8etroda power kadang juga digunakan pada radio amatir dan diterapkan dalam industri. (8etroda biasa jarang digunakan untuk audio karena adanya eek Ptetrode kinkM yang disebabkan oleh emisi sekunder). 8etroda keramik yang besar sering disebut Pradial beam tetrodesM atau singkatnya Pbeam tetrodesM karena emisi elektronnya berupa beam yang berbentuk dis!. %awat pada grid pengontrol dan s!reen menyatu untuk menambah eisiensi. . #rid 8ainn0a 6*en'oda7
Dengan menambahkan grid ketiga pada tetroda akan mengubahnya menjadi 9'87D0. Grid ketiga ini disebut grid prosesor yang diletakkan antara pelat dan s!reen grid. Grid ketiga ini hanya memiliki sedikit kawat sehingga ungsinya hanya untuk mengumpulkan emisi elektron
sekunder dan mengeliminasi Ptetrode kinkM. ni biasa dioperasikan pada tegangan yang sama seperti katoda. 8etroda dan pentoda !enderung memiliki distorsi yang lebih besar dibanding trioda, ke!uali jika ditambahkan suatu rangkaian khusus. 0dapula tabung yang memiliki grid lebih dari tiga. 8abung kon"erter pentagrid memiliki lima buah grid yang digunakan sebagai pengubah ekuensi akhir pada radio penerima. 8abung jenis ini sudah tidak diproduksi lagi karena telah digantikan dengan semikonduktor. F. Audio eam Te'rode
8etoda beam ini memiliki sejumlah pelat beam yang memaksa elektron menuju pita sempit di sisi lain katoda. S!reen grid dan grid pengontrol memiliki kawat yang menyatu seperti halnya tetroda keramik. 8idak seperti tetroda kramik, grid terpisah pada jarak kritis dari katoda sehingga menimbulkan eek katoda "irtual. Semua ini untuk menambah eisiensi dan membuat distorsi lebih rendah dari tetroda atau pentoda biasa. 8etroda beam yang populer pertama kalinya adalah I0 LWL yang diperkenalkan pada tahun 1^/L. 2enis tetroda beam yang saat ini masih digunakan adalah S3LWLGI dan S3LNN=I. 2enis yang pertama lebih populer dgunakan pada gitar ampliier sedangkan jenis yang kedua sering dipakai pada tabung power yang modern. Saat ini jenis ini hanya ada dalam bentuk tabung gelas bukan tabung power keramik.
#. 5ea'er 4alam Ka'oda
%atoda berlapis oksida tidak dapat memanasi dirinya sendiri dan untuk dapat meman!arkan elektron ia harus panas terlebih dahulu. &eater ini harus dilapisi dengan insulasi elektrik yang tidak akan terbakar pada temperatur tinggi, sehingga heater ini dilapisi dengan bubuk alumunium oksida. Berikut ini beberapa sebab umum kerusakan pada tabung yaitu rusaknya pelapis sehingga heater tidak dapat menyentuh katoda. 2ika heater mengalirkan arus 0I maka keluaran ampliier berupa sinyal 0I yang membuatnya tidak dapat dipakai untuk beberapa aplikasi. 8abung yang berkualitas baik harus memiliki lapisan heater yang reliabel dan kuat.
